See on kohustuslik eksponentsiaalvõrrandisüsteemi lahendamisel? kindlasti, muutumine see süsteem lihtsate võrrandite süsteemiks.
Näited.
Lahendage võrrandisüsteeme:
Väljendame juures läbi X(2) süsteemivõrrandist ja asendage see väärtus (1) süsteemivõrrandiga.
Lahendame (2) saadud süsteemi võrrandi:
2 x +2 x +2 =10, rakendage valemit: a x + y=a x∙ jah.
2 x +2 x ∙2 2 =10, võtame sulgudest välja ühisteguri 2 x:
2 x (1+2 2)=10 või 2 x ∙5=10, seega 2 x =2.
2 x = 2 1, siit x=1. Tuleme tagasi võrrandisüsteemi juurde.
Vastus: (1; 2).
Lahendus.
Esitame võrrandi (1) vasakut ja paremat poolt alusega astmete kujul 2 , ja võrrandi (2) parem pool kui arvu nullaste 5 .
Kui kaks sama alusega astet on võrdsed, siis on nende astmete astendajad võrdsed – võrdsustame astendajad alustega 2 ja eksponendid alustega 5 .
Saadud kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi lahendame liitmismeetodi abil.
Leiame x=2 ja me asendame selle väärtuse X süsteemi teise võrrandisse.
Leiame juures.
Vastus: (2; 1,5).
Lahendus.
Kui kahes eelmises näites läksime üle lihtsama süsteemi juurde, võrdsustades kahe kraadi näitajad samade alustega, siis 3. näites on see tehe võimatu. Selliseid süsteeme on mugav lahendada uute muutujate sisseviimisega. Tutvustame muutujaid u Ja v, ja seejärel väljendada muutujat u läbi v ja saame muutuja võrrandi v.
Lahendame (2) süsteemi võrrandi.
v 2 +63v-64=0. Valime juured Vieta teoreemi abil, teades, et: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙ v 2 =-64.
Saame: v 1 =-64, v 2 =1. Naaseme süsteemi juurde ja leiame u.
Kuna eksponentsiaalfunktsiooni väärtused on alati positiivsed, on võrrandid 4 x = -1 ja 4 a = -64 pole lahendusi.
Tund ja ettekanne teemal: "Eksponentvõrrandid ja eksponentsiaalvõrrad"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 11. klassile
Interaktiivne käsiraamat 9.–11. klassile "Trigonomeetria"
Interaktiivne käsiraamat 10.–11. klassile "Logaritmid"
Eksponentvõrrandite definitsioon
Poisid, uurisime eksponentsiaalfunktsioone, õppisime nende omadusi ja koostasime graafikuid, analüüsisime võrrandite näiteid, milles eksponentsiaalfunktsioone leiti. Täna uurime eksponentsiaalvõrrandeid ja võrratusi.Definitsioon. Võrrandid kujul: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kus $a>0$, $a≠1$ nimetatakse eksponentsiaalvõrranditeks.
Tuletades meelde teoreeme, mida uurisime teemas "Eksponentfunktsioon", saame tutvustada uut teoreemi:
Teoreem. Eksponentvõrrand $a^(f(x))=a^(g(x))$, kus $a>0$, $a≠1$ on samaväärne võrrandiga $f(x)=g(x) $.
Näited eksponentsiaalvõrranditest
Näide.Lahenda võrrandid:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Lahendus.
a) Teame hästi, et $27=3^3$.
Kirjutame oma võrrandi ümber: $3^(3x-3)=3^3$.
Kasutades ülaltoodud teoreemi, leiame, et meie võrrand taandub võrrandiks $3x-3=3$, lahendades selle võrrandi, saame $x=2$.
Vastus: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Seejärel saab meie võrrandi ümber kirjutada: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Vastus: $x=0$.
C) Algne võrrand on samaväärne võrrandiga: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ja $x_2=-3$.
Vastus: $x_1=6$ ja $x_2=-3$.
Näide.
Lahendage võrrand: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Lahendus:
Teeme järjestikku toiminguid ja viime võrrandi mõlemad pooled samadele alustele.
Teeme vasakpoolsel küljel mitmeid toiminguid:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Liigume edasi paremale poole:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 $*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Algne võrrand on samaväärne võrrandiga:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Vastus: $x=0$.
Näide.
Lahendage võrrand: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Lahendus:
Kirjutame oma võrrandi ümber: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Teeme muutujate muudatuse, olgu $a=3^x$.
Uutes muutujates on võrrand kujul: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ja $a_2=3$.
Teeme muutujate pöördmuutuse: $3^x=-12$ ja $3^x=3$.
Viimases tunnis õppisime, et eksponentsiaalsed avaldised võivad võtta ainult positiivseid väärtusi, jätke graafik meelde. See tähendab, et esimesel võrrandil pole lahendeid, teisel võrrandil on üks lahend: $x=1$.
Vastus: $x=1$.
Tuletame meelde, kuidas lahendada eksponentsiaalvõrrandeid:
1. Graafiline meetod. Esitame mõlemad võrrandi pooled funktsioonidena ja koostame nende graafikud, leiame graafikute lõikepunktid. (Kasutasime seda meetodit viimases õppetükis).
2. Näitajate võrdsuse põhimõte. Põhimõte põhineb asjaolul, et kaks sama alusega avaldist on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende aluste astmed (astendajad) on võrdsed. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Muutuv asendusmeetod. Seda meetodit tuleks kasutada juhul, kui võrrand muutujate asendamisel lihtsustab selle vormi ja seda on palju lihtsam lahendada.
Näide.
Lahendage võrrandisüsteem: $\begin (juhud) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (juhtumid)$.
Lahendus.
Vaatleme süsteemi mõlemat võrrandit eraldi:
27 $^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Mõelge teisele võrrandile:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Kasutame muutujate muutmise meetodit, olgu $y=2^(x+y)$.
Siis saab võrrand järgmise kuju:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0 $.
$y_1=4$ ja $y_2=-3$.
Liigume edasi algmuutujate juurde, esimesest võrrandist saame $x+y=2$. Teisel võrrandil pole lahendeid. Siis on meie esialgne võrrandisüsteem samaväärne süsteemiga: $\begin (juhud) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (juhtumid)$.
Lahutage esimesest võrrandist teine, saame: $\begin (juhud) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (juhtumid)$.
$\begin (juhtumid) y=-1, \\ x=3. \end (juhtumid)$.
Vastus: $(3;-1)$.
Eksponentsiaalne ebavõrdsus
Liigume edasi ebavõrdsuse juurde. Ebavõrdsuse lahendamisel tuleb tähelepanu pöörata astme alusele. Ebavõrdsuse lahendamisel on sündmuste arenguks kaks võimalikku stsenaariumi.Teoreem. Kui $a>1$, siis on eksponentsiaalne võrratus $a^(f(x))>a^(g(x))$ samaväärne võrratusega $f(x)>g(x)$.
Kui 0 dollarit
Näide.
Lahenda ebavõrdsused:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Lahendus.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Meie ebavõrdsus võrdub ebavõrdsusega:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Meie võrrandis on alus siis, kui aste on väiksem kui 1, siis Võrratuse asendamisel samaväärsega on vaja märki muuta.
$2x-4>2$.
$x>3 $.
C) Meie ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsusega:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0 $.
Kasutame intervalllahenduse meetodit:
Vastus: $(-∞;-5]U \ \
Vastus: $(-4,6)$.
Näide 2
Lahenda võrrandisüsteem
Joonis 3.
Lahendus.
See süsteem on süsteemiga samaväärne
Joonis 4.
Kasutame võrrandite lahendamiseks neljandat meetodit. Olgu $2^x=u\ (u >0)$ ja $3^y=v\ (v >0)$, saame:
Joonis 5.
Lahendame saadud süsteemi liitmismeetodi abil. Liidame võrrandid kokku:
\ \
Siis saame teisest võrrandist selle
Asenduse juurde naastes sain uue eksponentsiaalvõrrandi süsteemi:
Joonis 6.
Saame:
Joonis 7.
Vastus: $(0,1)$.
Eksponentvõrratuste süsteemid
2. definitsioon
Eksponentvõrranditest koosnevaid võrratussüsteeme nimetatakse eksponentsiaalvõrratuste süsteemideks.
Vaatleme eksponentsiaalvõrratuste süsteemide lahendamist näidete abil.
Näide 3
Lahendage võrratuste süsteem
Joonis 8.
Lahendus:
See ebavõrdsuse süsteem on süsteemiga samaväärne
Joonis 9.
Esimese ebavõrdsuse lahendamiseks tuletage meelde järgmine teoreem eksponentsiaalvõrratuste samaväärsuse kohta:
1. teoreem. Võrratus $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, kus $a >0,a\ne 1$ on võrdne kahe süsteemi kogumiga
\}