See veebipõhine matemaatikakalkulaator aitab teid lahendage võrrand või võrratus moodulitega. Programm jaoks võrrandite ja võrratuste lahendamine moodulitega mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid viib üksikasjalik lahendus koos selgitustega, st. kuvab tulemuse saamise protsessi.
See programm võib olla kasulik keskkooliõpilastele keskkoolid ettevalmistamisel testid ja eksamid teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit, et vanemad saaksid juhtida paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö matemaatikas või algebras? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.
Nii saad läbi viia enda ja/või enda koolitust. nooremad vennad või õed, samal ajal kui haridustase lahendatavate probleemide vallas tõuseb.
|x| või abs(x) – moodul xSisestage võrrand või võrratus moodulitega
Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse kuvamiseks peate lubama JavaScripti.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...
Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Moodulitega võrrandid ja võrratused
Põhikooli algebra kursusel võib kohata lihtsamaid võrrandeid ja võrratusi moodulitega. Nende lahendamiseks saate kasutada geomeetriline meetod, mis põhineb asjaolul, et \(|x-a| \) on kaugus arvujoonel punktide x ja a vahel: \(|x-a| = \rho (x;\; a)\). Näiteks võrrandi \(|x-3|=2\) lahendamiseks tuleb leida arvujoonelt punktid, mis asuvad punktist 3 kaugemal 2. Selliseid punkte on kaks: \(x_1=1 \) ja \(x_2=5\) .
Võrratuse lahendamine \(|2x+7| 
Kuid peamine viis võrrandite ja võrratuste lahendamiseks moodulitega on seotud niinimetatud "mooduli definitsiooni järgi ilmutamisega":
kui \(a \geq 0 \), siis \(|a|=a \);
if \(a Reeglina taandatakse moodulitega võrrand (võrrand) võrrandite (võrratuste) hulgaks, mis ei sisalda moodulimärki.
Välja arvatud ülaltoodud määratlus, kasutatakse järgmisi väiteid:
1) Kui \(c > 0\), siis võrrand \(|f(x)|=c \) on samaväärne võrrandite hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(massiivi)\right.
2) Kui \(c > 0 \), siis võrratus \(|f(x)| 3) Kui \(c \geq 0 \), siis on võrratus \(|f(x)| > c \) samaväärne ebavõrdsuste hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) c \end(massiivi)\right. \)
4) Kui võrratuse \(f(x) mõlemad pooled NÄIDE 1. Lahendage võrrand \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Kui \(x-1 \geq 0\), siis \(|x-1| = x-1\) ja taga antud võrrand võtab vormi
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Paremnool x^2 +2x -8 = 0 \).
Kui \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \paremnool x^2 -2x -4 = 0 \).
Seega tuleks antud võrrandit vaadelda mõlemal näidatud juhul eraldi.
1) Olgu \(x-1 \geq 0 \), st. \(x\geq 1\). Võrrandist \(x^2 +2x -8 = 0\) leiame \(x_1=2, \; x_2=-4\). Tingimust \(x \geq 1 \) täidab ainult väärtus \(x_1=2\).
2) Olgu \(x-1 Vastus: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
NÄIDE 2. Lahendage võrrand \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Esimene viis(mooduli laiendus definitsiooni järgi).
Põhjendades nagu näites 1, jõuame järeldusele, et antud võrrandit tuleb eraldi käsitleda, kui on täidetud kaks tingimust: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) või \(x^2-6x+7
1) Kui \(x^2-6x+7 \geq 0 \), siis \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ja antud võrrand on kujul \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Paremnool 3x^2-23x+30=0 \). Olles seda otsustanud ruutvõrrand, saame: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Uurime, kas väärtus \(x_1=6\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0\). Selleks asendage määratud väärtus väärtusega ruutvälist ebavõrdsust. Saame: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), st. \(7 \geq 0 \) on tõeline ebavõrdsus. See tähendab, et \(x_1=6\) on antud võrrandi juur.
Uurime, kas väärtus \(x_2=\frac(5)(3)\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0\). Selleks asendage näidatud väärtus ruutvõrratusega. Saame: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), st. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) on vale võrratus. See tähendab, et \(x_2=\frac(5)(3)\) ei ole antud võrrandi juur.
2) Kui \(x^2-6x+7 väärtus \(x_3=3\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 väärtus \(x_4=\frac(4)(3) \) ei vasta tingimus \ (x^2-6x+7 Seega, antud võrrandil on kaks juurt: \(x=6, \; x=3 \).
Teine viis. Kui on antud võrrand \(|f(x)| = h(x) \), siis \(h(x) \(\left[\begin(massiivi)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(massiivi)\right \)
Mõlemad võrrandid lahendati eespool (kasutades antud võrrandi esimest lahendusmeetodit), nende juured on järgmised: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Tingimus \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) nendest neli väärtust rahuldavad ainult kaks: 6 ja 3. See tähendab, et antud võrrandil on kaks juurt: \(x=6, \; x=3\).
Kolmas viis(graafika).
1) Koostame funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \) graafiku. Esmalt konstrueerime parabooli \(y = x^2-6x+7\). Meil on \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funktsiooni \(y = (x-3)^2-2\) graafiku saab funktsiooni \(y = x^2\) graafikult, nihutades seda 3 skaalaühiku võrra paremale (piki x-telg) ja 2 skaalaühikut allapoole ( piki y-telge). Sirge x=3 on meid huvitava parabooli telg. Täpsema joonistamise kontrollpunktidena on mugav võtta punkt (3; -2) - parabooli tipp, punkt (0; 7) ja punkt (6; 7) sümmeetriliselt parabooli telje suhtes. .
Funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \) graafiku koostamiseks peate muutmata jätma konstrueeritud parabooli need osad, mis ei asu x-telje all, ja peegeldama seda osa parabool, mis asub x-telje suhtes x-telje suhtes allpool.
2) Koostame graafiku lineaarne funktsioon\(y = \frac(5x-9)(3)\). Kontrollpunktideks on mugav võtta punkte (0; –3) ja (3; 2).
On oluline, et sirge ja abstsisstelje lõikepunkti punkt x = 1,8 asuks parabooli vasakpoolsest lõikepunktist abstsissteljega paremal - see on punkt \(x=3-\ sqrt(2) \) (alates \(3-\sqrt(2 ) 3) Joonise järgi otsustades ristuvad graafikud kahes punktis - A(3; 2) ja B(6; 7). Asendades nende abstsissid punktid x = 3 ja x = 6 antud võrrandisse, oleme veendunud, et mõlemal juhul saadakse õige arvuline võrdus See tähendab, et meie hüpotees sai kinnitust - võrrandil on kaks juurt: x = 3 ja x = 6. Vastus: 3;
Kommenteeri. Graafiline meetod kogu oma elegantsi juures pole see kuigi usaldusväärne. Vaadeldavas näites töötas see ainult seetõttu, et võrrandi juurteks on täisarvud.
NÄIDE 3. Lahendage võrrand \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Esimene viis
Avaldis 2x–4 muutub 0-ks punktis x = 2 ja avaldis x + 3 muutub 0-ks punktis x = –3. Need kaks punkti jagavad arvujoone kolmeks intervalliks: \(x
Mõelge esimesele intervallile: \((-\infty; \; -3) \).
Kui x Vaatleme teist intervalli: \([-3; \; 2) \).
Kui \(-3 \leq x Vaatleme kolmandat intervalli: \(
Teine oluline fakt: moodul ei ole kunagi negatiivne. Ükskõik millise arvu me võtame – olgu see siis positiivne või negatiivne –, selle moodul osutub alati positiivseks (või äärmisel juhul nulliks). Seetõttu nimetatakse moodulit sageli absoluutväärtus numbrid.
Lisaks, kui kombineerime positiivse ja negatiivse arvu mooduli definitsiooni, saame kõigi arvude mooduli globaalse definitsiooni. Nimelt: arvu moodul on võrdne selle arvu endaga, kui arv on positiivne (või null) või võrdne vastupidine number, kui arv on negatiivne. Selle saate kirjutada valemina:
Seal on ka nullmoodul, kuid see on alati võrdne nulliga. Lisaks null ainsus, millel pole vastandit.
Seega, kui arvestada funktsiooni $y=\left| x \right|$ ja proovige joonistada selle graafik, saate midagi sellist:
Mooduligraafik ja võrrandi lahendamise näide
Sellelt pildilt on kohe selge, et $\left| -m \right|=\left| m \right|$ ja moodulgraafik ei jää kunagi x-teljest allapoole. Kuid see pole veel kõik: punane joon tähistab sirget $y=a$, mis positiivse $a$ korral annab meile kaks juurt korraga: $((x)_(1))$ ja $((x) _(2)) $, aga sellest räägime hiljem :)
Peale puhtalt algebraline määratlus, on geomeetriline. Oletame, et arvureal on kaks punkti: $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Sel juhul avaldis $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ on lihtsalt määratud punktide vaheline kaugus. Või kui soovite, siis neid punkte ühendava segmendi pikkus:
Moodul on arvujoone punktide vaheline kaugus See määratlus viitab ka sellele, et moodul on alati mittenegatiivne. Aga piisavalt definitsioone ja teooriat – liigume edasi reaalvõrrandite juurde :)
Põhivalem
Olgu, oleme määratluse välja selgitanud. Kuid see ei teinud asja lihtsamaks. Kuidas lahendada võrrandeid, mis sisaldavad just seda moodulit?
Rahulik, lihtsalt rahulik. Alustame kõige lihtsamatest asjadest. Kaaluge midagi sellist:
\[\left| x\right|=3\]
Seega on $x$ moodul 3. Millega võiks $x$ olla võrdne? Noh, definitsiooni järgi otsustades oleme $x=3$-ga üsna rahul. Tõesti:
\[\left| 3\right|=3\]
Kas on ka muid numbreid? Kork näib vihjavat, et on olemas. Näiteks $x=-3$ on ka $\left| -3 \right|=3$, st. nõutav võrdsus on täidetud.
Ehk siis kui otsime ja mõtleme, leiame veel numbreid? Kuid katkestage see: rohkem numbreid Ei. Võrrand $\left| x \right|=3$ on ainult kaks juurt: $x=3$ ja $x=-3$.
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Laske funktsioon $f\left(x \right)$ muutuja $x$ asemel rippuda mooduli märgi all ja parempoolse kolmiku asemel paneme suvaline arv$a$. Saame võrrandi:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]
Niisiis, kuidas me saame selle lahendada? Tuletan teile meelde: $f\left(x \right)$ on suvaline funktsioon, $a$ on suvaline arv. Need. Midagigi! Näiteks:
\[\left| 2x+1 \right|=5\]
\[\left| 10x-5 \parem|=-65\]
Pöörame tähelepanu teisele võrrandile. Tema kohta võib kohe öelda: tal pole juuri. Miks? See on õige: kuna see nõuab, et moodul oleks võrdne negatiivne arv, mida kunagi ei juhtu, kuna me juba teame, et moodul on alati positiivne arv või äärmisel juhul null.
Kuid esimese võrrandiga on kõik lõbusam. On kaks võimalust: kas mooduli märgi all on positiivne avaldis ja seejärel $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ või see avaldis on ikka negatiivne ja siis $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Esimesel juhul kirjutatakse meie võrrand ümber järgmiselt:
\[\left| 2x+1 \right|=5\Paremnool 2x+1=5\]
Ja äkki selgub, et submodulaarne avaldis $2x+1$ on tõesti positiivne – see on võrdne arvuga 5. See on saame selle võrrandi ohutult lahendada - saadud juur on osa vastusest:
Need, kes on eriti umbusklikud, võivad proovida asendada leitud juur algvõrrandiga ja veenduda, et moodul on tegelikult positiivne arv.
Vaatame nüüd negatiivse submodulaarse avaldise juhtumit:
\[\left\( \begin(joon)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(joonda) \right.\Rightnarrow -2x-1=5 \Paremnool 2x+1=-5\]
Oih! Jällegi on kõik selge: eeldasime, et $2x+1 \lt 0$ ja tulemuseks saime, et $2x+1=-5$ – tõepoolest, see avaldis on väiksem kui null. Lahendame saadud võrrandi, teades juba kindlalt, et leitud juur sobib meile:
Kokku saime taas kaks vastust: $x=2$ ja $x=3$. Jah, arvutuste maht osutus veidi suuremaks kui väga lihtsas võrrandis $\left| x \right|=3$, kuid põhimõtteliselt pole midagi muutunud. Ehk on mingi universaalne algoritm?
Jah, selline algoritm on olemas. Ja nüüd analüüsime seda.
Moodulimärgist vabanemine
Olgu meile antud võrrand $\left| f\left(x \right) \right|=a$ ja $a\ge 0$ (muidu, nagu me juba teame, pole juuri). Seejärel saate mooduli märgist lahti saada, kasutades järgmist reeglit:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightnarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Seega jaguneb meie võrrand mooduliga kaheks, kuid ilma moodulita. See on kõik tehnoloogia! Proovime lahendada paar võrrandit. Alustame sellest
\[\left| 5x+4 \right|=10\Paremnool 5x+4=\pm 10\]
Mõelgem eraldi, kui paremal on kümme pluss, ja eraldi, kui on miinus. Meil on:
\[\begin(joona)& 5x+4=10\Paremnool 5x=6\Paremnool x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Paremnool 5x=-14\Paremnool x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\lõpp(joonda)\]
See on kõik! Saime kaks juurt: $x=1,2$ ja $x=-2,8$. Kogu lahendus võttis sõna otseses mõttes kaks rida.
Ok, pole kahtlust, vaatame midagi veidi tõsisemat:
\[\left| 7-5x\right|=13\]
Jällegi avame pluss- ja miinusmooduli:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightnarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Paremnool -5x=-20\Paremnool x=4. \\\lõpp(joonda)\]
Jälle paar rida – ja vastus ongi valmis! Nagu ma ütlesin, pole moodulites midagi keerulist. Peate lihtsalt meeles pidama mõnda reeglit. Seetõttu liigume edasi ja alustame tõeliselt keerukamate ülesannetega.
Parempoolse muutuja juhtum
Nüüd kaaluge seda võrrandit:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\]
See võrrand erineb põhimõtteliselt kõigist eelmistest. Kuidas? Ja see, et võrdusmärgist paremal on avaldis $2x$ - ja me ei saa ju ette teada, kas see on positiivne või negatiivne.
Mida sel juhul teha? Esiteks peame sellest lõplikult aru saama kui võrrandi parem pool osutub negatiivseks, pole võrrandil juuri- me juba teame, et moodul ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.
Ja teiseks, kui parempoolne osa on endiselt positiivne (või võrdne nulliga), siis saab toimida täpselt samamoodi nagu varem: lihtsalt avada moodul eraldi plussmärgiga ja eraldi miinusmärgiga.
Seega sõnastame reegli suvalised funktsioonid$f\left(x \right)$ ja $g\left(x \right)$ :
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightnarrow \left\( \begin(joona)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(joonda) \right.\]
Seoses võrrandiga saame:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\Paremnool \left\( \begin(joona)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(joonda) \right.\]
Eks me saame kuidagi hakkama ka nõudega $2x\ge 0$. Lõpuks võime rumalalt asendada esimesest võrrandist saadud juured ja kontrollida, kas ebavõrdsus kehtib või mitte.
Lahendame siis võrrandi enda:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightnarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Paremnool 3x=0\Paremnool x=0. \\\lõpp(joonda)\]
Noh, milline neist kahest juurtest täidab nõuet $2x\ge 0$? Jah mõlemad! Seetõttu on vastuseks kaks numbrit: $x=(4)/(3)\;$ ja $x=0$. See on lahendus :)
Kahtlustan, et mõnel tudengil hakkab juba igav? Noh, vaatame veelgi keerulisemat võrrandit:
\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \parem|=x-((x)^(3))\]
Kuigi see näeb kurja välja, on see tegelikult ikkagi sama võrrand kujul "moodul võrdub funktsiooniga":
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
Ja see lahendatakse täpselt samal viisil:
\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \paremale|=x-((x)^(3))\Paremnool \vasak\( \begin(joonda)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(joonda) \paremale.\]
Ebavõrdsusega tegeleme hiljem - see on kuidagi liiga kuri (tegelikult on see lihtne, aga me ei lahenda seda). Praegu on parem tegelda saadud võrranditega. Vaatleme esimest juhtumit - see on siis, kui moodulit laiendatakse plussmärgiga:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Noh, pole mõtet, et peate kõik vasakult kokku koguma, tooma sarnased ja vaadake, mis juhtub. Ja see juhtub:
\[\begin(joona)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\lõpp(joonda)\]
Me võtame selle välja ühine kordaja$((x)^(2))$ sulgudest välja ja saame väga lihtsa võrrandi:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Paremnool \vasak[ \begin(joona)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\lõpp(joondamine) \paremale.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Siin kasutasime oluline vara korrutis, mille huvides arvestasime algse polünoomiga: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.
Nüüd käsitleme täpselt samamoodi teist võrrandit, mis saadakse mooduli laiendamisel miinusmärgiga:
\[\begin(joona)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\lõpp(joonda)\]
Jälle sama: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Meil on:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(joonda) \right.\]
Noh, saime kolm juurt: $x=0$, $x=1.5$ ja $x=(2)/(3)\;$. Noh, milline sellest komplektist läheb lõplikku vastust? Selleks pidage meeles, et meil on täiendav piirang ebavõrdsuse kujul:
Kuidas seda nõuet arvesse võtta? Asendame lihtsalt leitud juured ja kontrollime, kas ebavõrdsus kehtib nende $x$ kohta või mitte. Meil on:
\[\begin(align)& x=0\Paremnool x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Paremnool x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Paremnool x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\lõpp(joonda)\]
Seega juur $x=1,5$ meile ei sobi. Ja vastuseks on ainult kaks juurt:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2) (3).\]
Nagu näete, polnud ka sel juhul midagi keerulist - moodulitega võrrandid lahendatakse alati algoritmi abil. Peate lihtsalt hästi aru saama polünoomidest ja ebavõrdsustest. Seetõttu liigume edasi keerukamate ülesannete juurde - mooduleid pole juba üks, vaid kaks.
Kahe mooduliga võrrandid
Siiani oleme õppinud ainult kõige rohkem lihtsad võrrandid— oli üks moodul ja midagi muud. Saatsime selle “midagi muud” ebavõrdsuse teise ossa, moodulist eemale, et lõpuks taandataks kõik võrrandiks kujul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ või veelgi lihtsam $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Aga lasteaed lõppes – on aeg kaaluda midagi tõsisemat. Alustame selliste võrranditega:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]
See on võrrand kujul "moodul võrdne mooduliga" Põhimõtteliselt oluline punkt on muude terminite ja tegurite puudumine: ainult üks moodul vasakul, veel üks moodul paremal - ja ei midagi enamat.
Keegi arvab nüüd, et selliseid võrrandeid on keerulisem lahendada kui seni uurituid. Aga ei: neid võrrandeid on veelgi lihtsam lahendada. Siin on valem:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Kõik! Me lihtsalt võrdsustame submodulaarsed avaldised, pannes ühe neist ette pluss- või miinusmärgi. Ja siis lahendame saadud kaks võrrandit - ja juured on valmis! Mitte ühtegi täiendavad piirangud, ei mingit ebavõrdsust jne. Kõik on väga lihtne.
Proovime seda probleemi lahendada:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]
Elementaarne Watson! Moodulite laiendamine:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Paremnool 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Vaatleme iga juhtumit eraldi:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Paremnool 2x+3=-2x+7. \\\lõpp(joonda)\]
Esimesel võrrandil pole juuri. Sest millal on $3=-7$? Mis väärtustel $x$? "Mis kuradit on $x$? Kas sa oled kividega loobitud? Seal pole $x$ üldse," ütlete te. Ja sul on õigus. Oleme saanud võrdsuse, mis ei sõltu muutujast $x$ ja samas on võrdsus ise vale. Sellepärast pole ka juuri :)
Teise võrrandiga on kõik veidi huvitavam, aga ka väga-väga lihtne:
Nagu näete, lahendati kõik sõna otseses mõttes paari reaga - me ei oodanud lineaarselt võrrandilt midagi muud :)
Selle tulemusena on lõplik vastus: $x=1$.
Niisiis, kuidas? Raske? Muidugi mitte. Proovime midagi muud:
\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \parem|\]
Meil on jällegi võrrand kujul $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Seetõttu kirjutame selle kohe ümber, paljastades mooduli märgi:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Võib-olla küsib keegi nüüd: "Kuule, mis jama? Miks ilmub "pluss-miinus" parempoolsele väljendile ja mitte vasakule? Rahune maha, ma selgitan nüüd kõike. Tõepoolest, heas mõttes oleksime pidanud oma võrrandi ümber kirjutama järgmiselt:
Seejärel peate avama sulud, viima kõik terminid võrdusmärgi ühele küljele (kuna võrrand on loomulikult mõlemal juhul ruut) ja seejärel leidma juured. Kuid peate nõustuma: kui "pluss või miinus" on enne kolme terminit (eriti kui üks neist terminitest on ruutväljend), tundub see kuidagi keerulisem kui olukord, kus "pluss või miinus" esineb ainult kahe termini ees.
Kuid miski ei takista meil algset võrrandit järgmiselt ümber kirjutamast:
\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Paremnool \vasak| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]
Mis juhtus? Ei midagi erilist: nad lihtsalt vahetasid vasaku ja parema külje. Väike asi, mis teeb meie elu lõpuks pisut lihtsamaks :)
Üldiselt lahendame selle võrrandi, võttes arvesse pluss- ja miinusvõimalusi:
\[\begin(joona)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Paremnool ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Paremnool ((x)^(2))-2x+1=0. \\\lõpp(joonda)\]
Esimesel võrrandil on juured $x=3$ ja $x=1$. Teine on üldiselt täpne ruut:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Seetõttu on sellel ainult üks juur: $x=1$. Kuid me oleme selle juure juba varem hankinud. Seega läheb lõplikku vastust ainult kaks numbrit:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Ülesanne täidetud! Võid piruka riiulilt võtta ja ära süüa. Neid on 2, sinu oma on keskmine :)
Oluline märkus. Kättesaadavus identsed juured juures erinevaid valikuid mooduli laiendamine tähendab, et algsed polünoomid on faktoriseeritud ja nende tegurite hulgas on kindlasti ühine. Tõesti:
\[\begin(joona)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \parem|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\lõpp(joonda)\]
Üks mooduli atribuutidest: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (st toote moodul võrdne tootega moodulid), seega saab algse võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]
Nagu näete, on meil tõesti ühine tegur. Nüüd, kui kogute kõik moodulid ühele küljele, saate selle teguri sulust välja võtta:
\[\begin(joona)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \parem|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\lõpp(joonda)\]
Noh, nüüd pidage meeles, et korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(joonda) \paremale.\]
Seega on algne kahe mooduliga võrrand taandatud kahele kõige lihtsamale võrrandile, millest me juba tunni alguses rääkisime. Selliseid võrrandeid saab sõna otseses mõttes paari reaga lahendada :)
See märkus võib tunduda tarbetult keeruline ja praktikas kohaldamatu. Kuid tegelikkuses võite kohata palju muud keerulised ülesanded, kui need, mida täna analüüsime. Nendes saab mooduleid kombineerida polünoomidega, aritmeetilised juured, logaritmid jne. Ja sellistes olukordades võib võrrandi üldist astet langetada, võttes midagi sulgudest välja :)
Nüüd tahaksin vaadata veel ühte võrrandit, mis esmapilgul võib tunduda hullumeelne. Paljud õpilased jäävad sellega jänni, isegi need, kes arvavad, et saavad moodulitest hästi aru.
Seda võrrandit on aga veelgi lihtsam lahendada kui seda, mida me varem vaatlesime. Ja kui saate aru, miks, saate selle eest veel ühe triki kiire lahendus võrrandid moodulitega.
Seega võrrand on järgmine:
\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]
Ei, see ei ole kirjaviga: see on pluss moodulite vahel. Ja me peame leidma, kui palju $x$ on kahe mooduli summa võrdne nulliga :)
Milles ikkagi probleem? Kuid probleem on selles, et iga moodul on positiivne arv või äärmuslikel juhtudel null. Mis juhtub, kui liita kaks positiivset arvu? Ilmselgelt jälle positiivne arv:
\[\begin(joona)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(joonda)\]
Viimane rida võib anda teile aimu: ainus juhtum, kui moodulite summa on võrdne nulliga – see on siis, kui iga moodul on võrdne nulliga:
\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Paremnool \vasak\( \begin(joon)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.
Ja millal on moodul võrdne nulliga? Ainult ühel juhul - kui alammooduli avaldis on võrdne nulliga:
\[((x)^(2))+x-2=0\Paremnool \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Paremnool \vasak[ \begin(joonda)& x=-2 \\& x=1 \\\end(joonda) \paremale.\]
Seega on meil kolm punkti, kus esimene moodul nullitakse: 0, 1 ja −1; samuti kaks punkti, kus teine moodul nullitakse: −2 ja 1. Siiski on vaja, et mõlemad moodulid nullitakse korraga, nii et leitud numbrite hulgast peame valima need, mis sisalduvad mõlemad komplektid. Ilmselgelt on ainult üks selline arv: $x=1$ – see on lõplik vastus.
Lõhestamise meetod
Noh, oleme juba hunniku probleeme käsitlenud ja õppinud palju tehnikaid. Kas sa arvad, et see on kõik? Kuid mitte! Nüüd vaatame lõplikku tehnikat - ja samal ajal kõige olulisemat. Räägime võrrandite jagamisest mooduliga. Millest me üldse räägime? Läheme veidi tagasi ja vaatame mõnda lihtsat võrrandit. Näiteks see:
\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]
Põhimõtteliselt me juba teame, kuidas sellist võrrandit lahendada, sest see on standardkonstruktsioon kujul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Kuid proovime seda võrrandit veidi teise nurga alt vaadata. Täpsemalt mõelge moodulmärgi all olevale avaldisele. Lubage mul teile meelde tuletada, et mis tahes arvu moodul võib olla võrdne arvu endaga või vastupidine sellele arvule:
\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(joonda) \right.\]
Tegelikult on see ebaselgus kogu probleem: kuna mooduli all olev arv muutub (see sõltub muutujast), pole meile selge, kas see on positiivne või negatiivne.
Aga mis siis, kui soovite, et see arv oleks positiivne? Näiteks nõuame, et $3x-5 \gt 0$ – sellisel juhul saame garanteeritult moodulimärgi all positiivse arvu ja saame sellest moodulist täielikult lahti:
Seega muutub meie võrrand lineaarseks, mida saab hõlpsasti lahendada:
Tõsi, kõik need mõtted on mõttekad ainult tingimusel $3x-5 \gt 0$ - me ise kehtestasime selle nõude, et moodulit ühemõtteliselt paljastada. Seetõttu asendame leitud $x=\frac(5)(3)$ selle tingimusega ja kontrollime:
Selgub, et millal määratud väärtus$x$ meie nõue ei ole täidetud, sest avaldis osutus võrdseks nulliga ja meil on vaja, et see oleks nullist rangelt suurem. Kurb :(
Aga pole midagi! On ju teine variant $3x-5 \lt 0$. Veelgi enam: on ka juhtum $3x-5=0$ – ka sellega tuleb arvestada, muidu jääb lahendus poolikuks. Niisiis, kaaluge juhtumit $3x-5 \lt 0$:
Ilmselt avaneb moodul miinusmärgiga. Kuid siis tekib kummaline olukord: algses võrrandis jääb nii vasakul kui ka paremal välja sama avaldis:
Huvitav, millisel $x$ on avaldis $5-3x$ võrdne avaldisega $5-3x$? Isegi Captain Obviousness lämbuks sellistest võrranditest sülg, kuid me teame: see võrrand on identiteet, s.t. see kehtib muutuja mis tahes väärtuse kohta!
See tähendab, et meile sobib iga $x$. Meil on aga piirang:
Teisisõnu, vastus ei ole üks arv, vaid terve intervall:
Lõpuks on veel üks juhtum, mida kaaluda: $3x-5=0$. Siin on kõik lihtne: mooduli all on null ja nullmoodul on samuti võrdne nulliga (see tuleneb otseselt definitsioonist):
Aga siis algne võrrand $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kirjutatakse ümber järgmiselt:
Selle juure saime juba eespool, kui kaalusime juhtumit $3x-5 \gt 0$. Pealegi on see juur lahendus võrrandile $3x-5=0$ - see on piirang, mille me ise mooduli lähtestamiseks kasutusele võtsime.
Seega oleme lisaks intervallile rahul ka selle intervalli lõpus oleva numbriga:
Juurte ühendamine moodulvõrrandites Lõplik vastus kokku: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Üsna lihtsa (sisuliselt lineaarse) mooduliga võrrandi vastuses pole sellist jama väga sageli näha, noh, harjuge ära: mooduli raskus seisneb selles, et vastused sellistes võrrandites võivad olla täiesti ettearvamatud.
Midagi muud on palju olulisem: analüüsisime just universaalset algoritmi mooduliga võrrandi lahendamiseks! Ja see algoritm koosneb järgmistest sammudest:
- Võrdsusta iga võrrandi moodul nulliga. Saame mitu võrrandit;
- Lahendage kõik need võrrandid ja märkige arvujoonele juured. Selle tulemusena jagatakse sirgjoon mitmeks intervalliks, millest igaühel on kõik moodulid kordumatult nähtavad;
- Lahendage iga intervalli algne võrrand ja ühendage vastused.
See on kõik! Jääb vaid üks küsimus: mida teha 1. sammus saadud juurtega? Oletame, et meil on kaks juurt: $x=1$ ja $x=5$. Nad jagavad numbrirea kolmeks osaks:
Arvrea jagamine intervallideks punktide abil Millised on siis intervallid? On selge, et neid on kolm:
- Vasakpoolseim: $x \lt 1$ — ühik ise ei kuulu intervalli;
- Keskne: $1\le x \lt 5$ - siin sisaldub intervallis üks, aga viit ei arvestata;
- Parempoolne: $x\ge 5$ – viis sisaldub ainult siin!
Ma arvan, et sa juba mõistad mustrit. Iga intervall sisaldab vasakut otsa ja ei sisalda paremat.
Esmapilgul võib selline sissekanne tunduda ebamugav, ebaloogiline ja üldiselt mingi hull. Kuid uskuge mind: pärast väikest harjutamist leiate, et see lähenemine on kõige usaldusväärsem ega sega moodulite ühemõttelist avamist. Parem on kasutada sellist skeemi kui mõelda iga kord: andke vasak/parem ots praegune intervall või "viska" see järgmisesse.