Mooduliga võrrandite lahendamise õppimiseks peate meeles pidama ja õppima mooduli määratlust.
Definitsioonist on selge, et mis tahes arvu moodul on mittenegatiivne. Lisaks näitab definitsioon, kuidas see võimalik on vabaneda mooduli märgist in Eq.
Praktikas tehakse seda järgmiselt:
1) Leidke muutuja väärtused, mille juures mooduli märgi all olevad avaldised muutuvad nulliks.
2) Märgi arvreale kõik nullid. Nad jagavad selle rea kiirteks ja intervallideks, millel kõigil submodulaarsetel avaldistel on konstantne märk.
3) Määrame igas intervallis submodulaarsete avaldiste märgid ja laiendame kõiki mooduleid (asendades need alammoodulavaldistega pluss- või miinusmärgiga, olenevalt alammooduli avaldise märgist).
4) Lahendame saadud võrrandid igal intervallil (mitu intervalli, nii palju võrrandeid) Pange tähele, et valime tingimata ainult need lahendid, mis on antud intervallis (saadud lahendid ei pruugi intervalli kuuluda).
Aitab juba teooriast, on aeg vaadata näiteid, et näha, kuidas mooduli võrrandid lahendatakse. Alustame millestki lihtsamast.
Moodulitega võrrandite lahendamine
Näide 1. Lahenda võrrand.
Lahendus. Sellest ajast. Kui , siis ja võrrand võtab kuju .
Siit saame .
Näide 2. Lahenda võrrand.
Lahendus. Võrrandist tuleneb, et .
Seetõttu , , ja võrrand võtab kuju või .
Alates , pole algsel võrrandil juuri.
Vastus: pole juuri.
Näide 3. Lahenda võrrand.
Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber samaväärsel kujul.
Saadud võrrand kuulub tüüpi võrrandite hulka.
On teada, et seda tüüpi võrrand võrdub ebavõrdsusega. Seetõttu on meil siin või .
Vastus: .
Arvan, et olete juba välja mõelnud, kuidas seda tüüpi võrrandit mooduliga lahendada. Proovime hakkama saada keerulisem võrrand.
Näide 4. Lahendage võrrand: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|
Submodulaarsete avaldiste nullide leidmine:
x 2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x = 0 või x = ‒ 2. Sel juhul on parabool y = x 2 + 2x positiivne intervallidel (–∞; –2) ja (0; +∞ ) ja intervallil (–2; 0) on see negatiivne (vt joonis).
x 2 ‒ x = 0, x(x – 1) = 0, x = 0 või x = 1. See parabool y = x 2 ‒ x on positiivne intervallidel (–∞; 0) ja (1; +∞) , ja intervallil (0; 1) on see negatiivne (vt joonist).
2 – x = 0, x = 2, moodul on positiivne vahemikus (–∞; 0) ja võtab negatiivsed väärtused intervallil (2; +∞) (vt joonist).
Nüüd lahendame võrrandid intervallidega:
1) x ≤ ‒2: x = 1/2
2) –2 ≤ x<0: ‒(x 2 + 2x) – (2 – x) = x 2 ‒ x, ‒x 2 ‒ 2x – 2 + x = x 2 ‒ x, ‒2 x 2 = 2, x 2 = ‒1, lahendusi pole.
3) 0 ≤ x<1:
x 2 + 2x ‒ (2 – x) = ‒ (x 2 ‒ x), x 2 + 2x ‒ 2 + x = ‒x 2 + x, 2x 2 + 2x – 2 = 0, x 2 + x – 1 = 0, √D = √5,
x 1 = (‒1 ‒ √5)/2 ja x 2 = (‒1 + √5)/2.
Kuna esimene juur on negatiivne, ei kuulu see meie intervalli ja teine juur on suurem kui null ja väiksem kui üks; see on meie lahendus sellel intervallil.
4) 1 ≤ x<2: x 2 + 2x – (2 – x) = x 2 – x, x 2 + 2x – 2 + x = x 2 – x, 4x = 2, x = 1/2(ei kuulu vaatlusalusesse perioodi)
5) x ≥ 2: x 2 + 2x –(‒(2 – x)) = x 2 – x, x 2 + 2x + 2 – x = x 2 – x, 2x = – 2, x = ‒1(ei kuulu vaadeldavasse perioodi).
Vastus: (‒1 + √5)/2 .
Märkasite, et see võrrand on lahendatud samamoodi nagu eelmised, erinevus on intervallide arvus. Kuna mooduli all on ruutväljendid, on rohkem juuri ja vastavalt ka lünki.
Kuidas aga lahendada võrrandit, milles moodul on mooduli all? Vaatame näidet.
Näide 5. Lahenda võrrand |3 – |x – 2|| = 1
Submodulaarne avaldis võib saada väärtuseks 1 või – 1. Saame kaks võrrandit:
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1 või 3 ‒ |x ‒ 2|= 1
Lahendame iga võrrandi eraldi.
1)
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1, ‒|x ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|x ‒ 2|= ‒4, |x ‒ 2|= 4,
x ‒ 2= 4 või x ‒ 2= ‒ 4, kust me saame x 1 = 6, x 2 = ‒2.
2)
3 ‒ |x ‒ 2|= 1, ‒|x ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|x – 2|= ‒2, |x – 2|= 2,
x – 2 = 2 või x – 2 = ‒2,
x 3 = 4, x 4 = 0.
Loodan, et pärast selle artikli uurimist saate edukalt lahendada moodulvõrrandid. Kui teil on küsimusi, registreeruge minuga tundidele. Juhendaja Valentina Galinevskaja.
veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.
Juhised
Asendusmeetod Avaldage üks muutuja ja asendage see teise võrrandiga. Saate väljendada mis tahes muutujat oma äranägemise järgi. Näiteks väljendage y teisest võrrandist:
x-y=2 => y=x-2Seejärel asendage kõik esimese võrrandiga:
2x+(x-2)=10 Liigutage kõik ilma "x"ta paremale poole ja arvutage:
2x+x=10+2
3x=12 Järgmiseks, et saada x, jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:
x=4. Niisiis, leidsite "x. Leidke "y. Selleks asendage "x" võrrandis, millest väljendasite "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.
Tehke kontroll. Selleks asendage saadud väärtused võrranditesse:
2*4+2=10
4-2=2
Tundmatud on õigesti leitud!
Võimalus võrrandite liitmiseks või lahutamiseks Vabanege kohe igast muutujast. Meie puhul on seda lihtsam teha y-ga.
Kuna “y”-s on märk “+” ja teises “-”, siis saab teha liitmistoimingu, s.t. murra vasak külg vasakuga ja parem parempoolsega kokku:
2x+y+(x-y)=10+2Teisenda:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Asendage mis tahes võrrandis "x" ja leidke "y":
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2Esimese meetodiga näete, et need leiti õigesti.
Kui selgelt määratletud muutujaid pole, siis on vaja võrrandeid veidi teisendada.
Esimeses võrrandis on meil "2x" ja teises on meil lihtsalt "x". Selleks, et liitmise ajal x väheneks, korrutage teine võrrand 2-ga:
x-y=2
2x-2y=4 Seejärel lahutage esimesest võrrandist teine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Pange tähele, et kui sulgu ees on miinus, siis pärast avamist muutke see vastupidiseks:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
leida y=2x, väljendades mis tahes võrrandist, st.
x=4
Video teemal
Vihje 2: kuidas lahendada lineaarvõrrandit kahes muutujas
Võrrand, mis on kirjutatud üldkujul ax+bу+c=0, nimetatakse lineaarvõrrandiks kahega muutujad. Selline võrrand ise sisaldab lõpmatult palju lahendeid, mistõttu ülesannetes täiendatakse seda alati millegagi - mõne teise võrrandi või piiravate tingimustega. Sõltuvalt ülesande poolt pakutavatest tingimustest lahendage lineaarvõrrand kahega muutujad järgneb erineval viisil.
Sa vajad
- - kahe muutujaga lineaarvõrrand;
- - teine võrrand või lisatingimused.
Juhised
Arvestades kahe lineaarse võrrandi süsteemi, lahendage see järgmiselt. Valige üks võrranditest, milles koefitsiendid asuvad muutujad väiksemad ja väljendada üht muutujatest, näiteks x. Seejärel asendage see y-d sisaldav väärtus teise võrrandiga. Saadud võrrandis on ainult üks muutuja y, liigutage kõik osad y-ga vasakule ja vabad paremale. Leidke y ja asendage see mis tahes algse võrrandiga, et leida x.
Kahest võrrandist koosneva süsteemi lahendamiseks on veel üks viis. Korrutage üks võrranditest arvuga nii, et ühe muutuja, näiteks x, koefitsient oleks mõlemas võrrandis sama. Seejärel lahutage üks võrranditest teisest (kui parempoolne külg ei võrdu 0-ga, ärge unustage samamoodi lahutada ka paremad küljed). Näete, et muutuja x on kadunud ja alles on jäänud ainult üks y muutuja. Lahendage saadud võrrand ja asendage leitud väärtus y mis tahes algse võrrandiga. Leia x.
Kolmas viis kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks on graafiline. Joonistage koordinaatide süsteem ja joonistage graafik kaks sirget, mille võrrandid on teie süsteemis antud. Selleks asendage võrrandis mis tahes kaks x väärtust ja leidke vastav y - need on joonele kuuluvate punktide koordinaadid. Kõige mugavam viis koordinaattelgedega ristumiskoha leidmiseks on lihtsalt asendada väärtused x=0 ja y=0. Ülesanneteks on nende kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.
Kui ülesande tingimustes on ainult üks lineaarvõrrand, siis on sulle antud lisatingimused, mille kaudu saad lahenduse leida. Nende tingimuste leidmiseks lugege probleem hoolikalt läbi. Kui muutujad x ja y tähistavad vahemaad, kiirust, kaalu – seadke vabalt piirid x≥0 ja y≥0. Täiesti võimalik, et x või y peidab õunte arvu jne. – siis saavad väärtused olla ainult . Kui x on poja vanus, on selge, et ta ei saa olla oma isast vanem, seega märkige see probleemi tingimustes.
Allikad:
- kuidas lahendada ühe muutujaga võrrandit
Iseenesest võrrand kolmega teadmata on palju lahendusi, nii et enamasti täiendatakse seda veel kahe võrrandi või tingimusega. Olenevalt sellest, millised on lähteandmed, sõltub suuresti otsuse käik.
Sa vajad
- - kolmest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga.
Juhised
Kui kahel süsteemil kolmest on kolmest tundmatust ainult kaks, proovige väljendada mõnda muutujat teistega ja asendada need võrrand kolmega teadmata. Teie eesmärk on sel juhul muuta see normaalseks võrrand tundmatu inimesega. Kui see on , on edasine lahendus üsna lihtne – asendage leitud väärtus teiste võrranditega ja leidke kõik muud tundmatud.
Mõningaid võrrandisüsteeme saab ühest võrrandist teise võrra lahutada. Vaadake, kas on võimalik korrutada ühte või muutujat nii, et kaks tundmatut tühistatakse korraga. Kui selline võimalus on, kasutage seda ära, tõenäoliselt pole järgnev lahendus keeruline. Pidage meeles, et arvuga korrutamisel tuleb korrutada nii vasak kui ka parem pool. Samuti tuleb võrrandite lahutamisel meeles pidada, et lahutada tuleb ka parempoolne pool.
Kui eelmised meetodid ei aidanud, kasutage mis tahes võrrandite lahendamiseks kolmega üldist meetodit teadmata. Selleks kirjuta võrrandid ümber kujul a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Nüüd loo x (A) koefitsientide maatriks, tundmatute maatriks (X) ja vabade muutujate maatriks (B). Pange tähele, et korrutades koefitsientide maatriksi tundmatute maatriksiga, saate vabade liikmete maatriksi, st A*X=B.
Leidke maatriks A astmele (-1), leides esmalt , pange tähele, et see ei tohiks olla võrdne nulliga. Pärast seda korrutage saadud maatriks maatriksiga B, mille tulemusena saate soovitud maatriksi X, mis näitab kõiki väärtusi.
Kolmest võrrandist koosnevale süsteemile saab lahenduse leida ka Crameri meetodi abil. Selleks tuleb leida süsteemimaatriksile vastav kolmandat järku determinant ∆. Seejärel leidke järjestikku veel kolm determinanti ∆1, ∆2 ja ∆3, asendades vastavate veergude väärtuste asemel vabade liikmete väärtused. Nüüd leia x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Allikad:
- kolme tundmatuga võrrandite lahendid
Võrrandisüsteemi lahendamine on keeruline ja põnev. Mida keerulisem on süsteem, seda huvitavam on seda lahendada. Kõige sagedamini on keskkooli matemaatikas kahe tundmatuga võrrandisüsteemid, kuid kõrgemas matemaatikas võib muutujaid olla rohkem. Süsteeme saab lahendada mitme meetodi abil.
Juhised
Kõige tavalisem meetod võrrandisüsteemi lahendamiseks on asendamine. Selleks peate väljendama üht muutujat teisega ja asendama selle teisega võrrand süsteemid, seega juhtiv võrrandühele muutujale. Näiteks kui on antud järgmised võrrandid: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Teisest avaldisest on mugav väljendada üht muutujatest, nihutades kõik muu avaldise paremale poole, unustamata muuta koefitsiendi märki: x = 3-y.
Avage sulud: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Asendame saadud väärtuse y avaldisesse: x=3-y;x=3-1;x=2 .
Esimeses avaldises on kõik liikmed 2, korrutamise jaotusomaduseni võib sulust välja võtta 2: 2*(2x-y-3)=0. Nüüd saab avaldise mõlemat osa selle arvu võrra vähendada ja seejärel väljendada y-na, kuna selle moodulitegur on võrdne ühega: -y = 3-2x või y = 2x-3.
Nii nagu esimesel juhul, asendame selle avaldise teisega võrrand ja saame: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Asendage saadud väärtus avaldisesse: y=2x-3;y=4-3=1.
Näeme, et y koefitsient on väärtuselt sama, kuid märgilt erinev, seega kui need võrrandid liita, saame y-st täielikult lahti: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2. Asendage x väärtus süsteemi mis tahes kahes võrrandis ja saame y=1.
Video teemal
Bikvadraatne võrrand esindab võrrand neljas aste, mille üldkuju kujutab avaldis ax^4 + bx^2 + c = 0. Selle lahendus põhineb tundmatute asendusmeetodi kasutamisel. Sel juhul asendatakse x^2 teise muutujaga. Seega on tulemuseks tavaline ruut võrrand, mis vajab lahendamist.
Juhised
Lahenda ruut võrrand, mis tuleneb asendamisest. Selleks arvutage esmalt väärtus vastavalt valemile: D = b^2? 4ac. Sel juhul on muutujad a, b, c meie võrrandi koefitsiendid.
Leia bikvadraatvõrrandi juured. Selleks võtke saadud lahenduste ruutjuur. Kui oli üks lahendus, siis on neid kaks - ruutjuure positiivne ja negatiivne väärtus. Kui lahendusi oleks kaks, on bikvadraatvõrrandil neli juurt.
Video teemal
Üks klassikalisi meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on Gaussi meetod. See seisneb muutujate järjestikuses elimineerimises, kui lihtsaid teisendusi kasutav võrrandisüsteem teisendatakse astmeliseks süsteemiks, millest leitakse järjestikku kõik muutujad, alustades viimastest.
Juhised
Esiteks viige võrrandisüsteem sellisele kujule, kus kõik tundmatud on rangelt määratletud järjekorras. Näiteks kõik tundmatud X-id ilmuvad igal real esimesena, kõik Y-d tulevad X-i järel, kõik Z-d tulevad Y-i järel jne. Iga võrrandi paremal küljel ei tohiks olla tundmatuid. Määrake vaimselt iga tundmatu ees olevad koefitsiendid, samuti iga võrrandi paremal küljel olevad koefitsiendid.
Mooduliga võrrandite ja võrratuste lahendamine põhjustab sageli raskusi. Kui aga hästi aru saada, millega on tegu arvu absoluutväärtus, Ja kuidas õigesti laiendada moodulmärki sisaldavaid avaldisi, siis esinemine võrrandis avaldis mooduli märgi all, lakkab olemast takistus selle lahendusele.
Natuke teooriat. Igal arvul on kaks tunnust: arvu absoluutväärtus ja selle märk.
Näiteks numbril +5 või lihtsalt 5 on plussmärk ja absoluutväärtus 5.
Arvul -5 on märk "-" ja absoluutväärtus on 5.
Numbrite 5 ja -5 absoluutväärtused on 5.
Arvu x absoluutväärtust nimetatakse arvu mooduliks ja seda tähistatakse |x|.
Nagu näeme, on arvu moodul võrdne arvu endaga, kui see arv on suurem või võrdne nulliga, ja selle arvuga vastupidise märgiga, kui see arv on negatiivne.
Sama kehtib kõigi avaldiste kohta, mis ilmuvad mooduli märgi all.
Mooduli laiendamise reegel näeb välja selline:
|f(x)|= f(x), kui f(x) ≥ 0 ja
|f(x)|= - f(x), kui f(x)< 0
Näiteks |x-3|=x-3, kui x-3≥0 ja |x-3|=-(x-3)=3-x, kui x-3<0.
Moodulimärgi all olevat avaldist sisaldava võrrandi lahendamiseks peate esmalt mooduli laiendamine vastavalt mooduli laiendamise reeglile.
Siis muutub meie võrrand või ebavõrdsus kaheks erinevaks võrrandiks, mis eksisteerivad kahel erineval arvulisel intervallil.
Üks võrrand eksisteerib arvulisel intervallil, millel mooduli märgi all olev avaldis on mittenegatiivne.
Ja teine võrrand eksisteerib intervallil, millel mooduli märgi all olev avaldis on negatiivne.
Vaatame lihtsat näidet.
Lahendame võrrandi:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Avame mooduli.
|x-3|=x-3, kui x-3≥0, s.o. kui x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, kui x-3<0, т.е. если х<3
2. Saime kaks numbrilist intervalli: x≥3 ja x<3.
Vaatleme, millisteks võrranditeks algne võrrand igal intervallil teisendatakse:
A) Kui x≥3 |x-3|=x-3 ja meie haavand on kujul:
Tähelepanu! See võrrand eksisteerib ainult intervallil x≥3!
Avame sulud ja esitame sarnased terminid:
ja lahendage see võrrand.
Sellel võrrandil on juured:
x 1 = 0, x 2 = 3
Tähelepanu! kuna võrrand x-3=-x 2 +4x-3 eksisteerib ainult intervallil x≥3, siis meid huvitavad vaid need juured, mis sellesse intervalli kuuluvad. Seda tingimust täidab ainult x 2 =3.
B) x juures<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Tähelepanu! See võrrand eksisteerib ainult intervallil x<3!
Avame sulud ja esitame sarnased terminid. Saame võrrandi:
x 1 = 2, x 2 = 3
Tähelepanu! kuna võrrand 3-x=-x 2 +4x-3 eksisteerib ainult intervallil x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Niisiis: esimesest intervallist võtame ainult juur x=3, teisest - juur x=2.