Kraadivalemid kasutatakse vähendamise ja lihtsustamise protsessis keerulised väljendid, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Number c on n-arvu aste a Millal:
Tehted kraadidega.
1. c astmete korrutamine samal alusel nende näitajad annavad kokku:
olen·a n = a m + n .
2. Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid:
3. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:
(a/b) n = a n/bn.
5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse eksponendid:
(a m) n = a m n .
Kõik ülaltoodud valemid kehtivad vasakult paremale ja vastupidi.
Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operatsioonid juurtega.
1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:
2. Suhtumise juur võrdne suhtega juurte dividend ja jagaja:
3. Juure tõstmisel astmele piisab radikaalarvu tõstmisest selle astmeni:
4. Kui suurendate juure astet n kord ja samal ajal sisse ehitada n aste on radikaalarv, siis juure väärtus ei muutu:
5. Kui vähendate juure astet n eemaldage samal ajal juur n-radikaalarvu astmes, siis juure väärtus ei muutu:
Negatiivse astendajaga kraad. Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui see, mis on jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne absoluutväärtus mittepositiivne indikaator:
Valem olen:a n =a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka koos m< n.
Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Valemile olen:a n =a m - n muutus õiglaseks, kui m = n, on vajalik null kraadi olemasolu.
Kraad nullindeksiga. Mis tahes arvu võimsus, mitte võrdne nulliga, nullastendajaga võrdub ühega.
Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu A kraadini m/n, peate juure ekstraheerima n aste m-selle arvu aste A.
1. Toote jõu juur ei ole negatiivsed arvud võrdne tootega sama astme juured teguritest: kus (tootest juure eraldamise reegel).
2. Kui , siis y (murru juure eraldamise reegel).
3. Kui siis (juurest juure eraldamise reegel).
4. Kui siis juure astmeks tõstmise reegel).
5. Kui siis kus, st juure ja radikaalavaldise astendaja saab korrutada sama arvuga.
6. Kui siis 0, st vastab suuremale positiivse radikaali avaldisele ja kõrgem väärtus juur
7. Kõiki ülaltoodud valemeid kasutatakse sageli vastupidises järjekorras(st paremalt vasakule). Näiteks,
(juurte korrutamise reegel);
(juurjaotuse reegel);
8. Juurmärgi alt kordaja eemaldamise reegel. Kell
9. Pöördprobleem- kordaja sisestamine juure märgi alla. Näiteks,
10. Irratsionaalsuse kõrvaldamine murdosa nimetajas.
Vaatame mõningaid tüüpilisi juhtumeid.
Näiteks,
11. Lühendatud korrutusidentiteetide rakendamine aritmeetiliste juurtega tehtetele:
12. Koefitsienti juure ees nimetatakse selle koefitsiendiks. Näiteks Siin 3 on koefitsient.
13. Juuri (radikaale) nimetatakse sarnasteks, kui neil on samad juurindeksid ja samad radikaalavaldised ning need erinevad ainult koefitsiendi poolest. Et otsustada, kas need juured (radikaalid) on sarnased või mitte, peate need taandama lihtsaimale kujule.
Näiteks ja on sarnased, kuna
HARJUTUSED LAHENDUStega
1. Lihtsustage väljendeid:
Lahendus. 1) Radikaalset avaldist pole mõtet korrutada, kuna iga tegur esindab täisarvu ruutu. Kasutame toote juure eraldamise reeglit:
Edaspidi teeme selliseid toiminguid suuliselt.
2) Proovime võimalusel esitada radikaalavaldist tegurite korrutisena, millest igaüks on täisarvu kuup, ja rakendame reeglit korrutise juure kohta:
2. Leidke avaldise väärtus:
Lahendus. 1) Murru juure eraldamise reegli kohaselt on meil:
3) Teisendage radikaalavaldised ja eraldage juur:
3. Lihtsustage, millal
Lahendus. Juurest juure eraldamisel korrutatakse juurte näitajad, kuid radikaalavaldis jääb muutumatuks
Kui juure all asuva juure ees on koefitsient, siis enne juure eraldamise toimingu sooritamist sisestage see koefitsient selle radikaali märgi alla, mille ees see ilmub.
Ülaltoodud reeglite põhjal eraldame kaks viimast juurt:
4. Tõstke astmeni:
Lahendus. Juure tõstmisel astmele jääb juure astendaja muutumatuks ja radikaalavaldise astendajad korrutatakse astendajaga.
(kuna see on määratletud, siis );
Kui antud juur on koefitsient, siis tõstetakse see koefitsient eraldi astmeni ja tulemus kirjutatakse juure koefitsiendiks.
Siin kasutasime reeglit, et juure ja radikaalavaldise indikaatorit saab korrutada sama arvuga (korrutasime, s.t. jagasime 2-ga).
Näiteks või
4) Sulgudes olev avaldis, mis esindab kahe erineva radikaali summat, on kuubik ja lihtsustatud:
Kuna meil on:
5. Kõrvaldage nimetaja irratsionaalsus:
Lahendus. Murru nimetaja irratsionaalsuse kõrvaldamiseks (hävitamiseks) tuleb leida kõige lihtsam avaldis, mis nimetajaga korrutis annab ratsionaalne väljendus ja korrutage selle murru lugeja ja nimetaja leitud teguriga.
Näiteks kui murdosa nimetaja sisaldab binoom, siis tuleb murdosa lugeja ja nimetaja korrutada avaldisega konjugeerida nimetajaga, st summa tuleb korrutada vastava erinevusega ja vastupidi.
Rohkem rasked juhtumid Nad hävitavad irratsionaalsuse mitte kohe, vaid mitme sammuga.
1) Väljend peab sisaldama
Murru lugeja ja nimetaja korrutamisel saame:
2) Korrutades murdosa lugeja ja nimetaja summa osalise ruuduga, saame:
3) Toome murrud ühise nimetaja juurde:
Otsustades see näide, peame meeles pidama, et igal murdel on tähendus, see tähendab, et iga murru nimetaja on nullist erinev. Pealegi,
Radikaleid sisaldavate avaldiste teisendamisel tehakse sageli vigu. Need on põhjustatud suutmatusest kontseptsiooni (definitsiooni) õigesti rakendada aritmeetiline juur ja absoluutväärtus.
Juurte korrutamise reeglid
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga “mitte väga. »
Ja neile, kes “väga. ")
Eelmises tunnis saime aru, mis on ruutjuur. On aeg välja mõelda, millised need on olemas juurte valemid mis on juurte omadused, ja mida selle kõigega teha saab.
Juurte valemid, juurte omadused ja juurtega töötamise reeglid- see on sisuliselt sama asi. Valemid jaoks ruutjuuredüllatavalt vähe. Mis teeb mind kindlasti õnnelikuks! Õigemini võib kirjutada palju erinevaid valemeid, aga praktiliseks ja enesekindlaks juurtega tööks piisab vaid kolmest. Kõik muu tuleneb neist kolmest. Kuigi paljud inimesed lähevad kolmes juurvalemis segadusse, jah.
Alustame kõige lihtsamast. Siin ta on:
Tuletan teile meelde (eelmisest õppetunnist): a ja b on mittenegatiivsed arvud! Muidu pole valemil mõtet.
See juurte omadus , nagu näete, on lihtne, lühike ja kahjutu. Kuid selle juurvalemiga saate teha nii palju suurepäraseid asju! Vaatame edasi näiteid kõik need kasulikud asjad.
Esimene kasulik asi. See valem võimaldab meil paljundada juuri.
Kuidas juuri paljundada?
Jah, väga lihtne. Otse valemi juurde. Näiteks:
Näib, et nad korrutasid seda, mis siis? Kas rõõmu on palju?! Nõustun, natuke. Kuidas see teile meeldib näiteks?
Juured ei ole täpselt teguritest välja võetud. Ja tulemus on suurepärane! See on parem, eks? Igaks juhuks ütlen teile, et kordajaid võib olla nii palju kui soovite. Juurte korrutamise valem töötab endiselt. Näiteks:
Niisiis, korrutamisega on kõik selge, miks see vajalik on? juurte omadus- ka arusaadav.
Teine kasulik asi. Numbri sisestamine juurmärgi alla.
Kuidas sisestada number juure alla?
Oletame, et meil on see väljend:
Kas on võimalik peita kahekesi juure sisse? Lihtsalt! Kui teete juur kahest, töötab juurte korrutamise valem. Kuidas saab kahest juure teha? Jah, pole ka küsimust! Kaks on ruutjuur neljast!
Muide, juure saab teha mis tahes mittenegatiivsest arvust! See on ruutjuur selle arvu ruudust. 3 on 9. juur. 8 on 64. juur. 11 on 121. juur. No ja nii edasi.
Muidugi pole vaja nii üksikasjalikult kirjeldada. Noh, alustuseks. Piisab, kui mõista, et ükskõik milline mittenegatiivne arv, korrutatuna juurega, saab sisestada juure alla. Aga ära unusta! - juure all muutub see number ruut ise. Seda toimingut – arvu sisestamist juure alla – võib nimetada ka arvu korrutamiseks juurega. IN üldine vaade võib kirjutada:
Protseduur on lihtne, nagu näete. Miks seda vaja on?
Nagu iga ümberkujundamine, laiendab see protseduur meie võimalusi. Võimalused muuta julm ja ebamugav ilme pehmeks ja kohevaks). Siin on teile lihtne näiteks:
Nagu sa näed, juurte omadus, mis võimaldab sisestada kordaja juuremärgi alla, sobib lihtsustamiseks üsna hästi.
Lisaks muudab kordaja lisamine juurele väärtuste võrdlemise lihtsaks ja lihtsaks erinevad juured. Ilma igasuguste arvutuste ja kalkulaatorita! Kolmas kasulik asi.
Kuidas juuri võrrelda?
See oskus on väga oluline tõsiste ülesannete puhul, moodulite ja muude lahedate asjade paljastamisel.
Võrrelge neid väljendeid. Kumb on suurem? Ilma kalkulaatorita! Igaühel kalkulaator. uh-ah. Ühesõnaga, kõik saavad sellega hakkama!)
Seda ei saa kohe öelda. Mis siis, kui sisestate numbrid juurmärgi alla?
Meenutagem (mis siis, kui ei teaks?): kui juuremärgi all olev arv on suurem, siis on juur ise suurem! Seega õige vastus kohe, ilma ühegita keerulised arvutused ja arvutused:
Suurepärane, eks? Kuid see pole veel kõik! Pidage meeles, et kõik valemid töötavad nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. Siiani oleme kasutanud juurte vasakult paremale korrutamise valemit. Käitame seda juurte omadust tagurpidi, paremalt vasakule. Nagu nii:
Ja mis vahet sellel on? Kas see annab midagi? Kindlasti! Nüüd näete ise.
Oletame, et peame eraldama (ilma kalkulaatorita!) arvu 6561 ruutjuure. Mõned inimesed selles etapis langevad ülesandega ebavõrdsesse võitlusse. Kuid me oleme püsivad, me ei anna alla! Neljas kasulik asi.
Kuidas suurtest arvudest juuri välja tõmmata?
Tuletagem meelde tootest juurte eraldamise valemit. See, mille ma just eespool kirjutasin. Aga kus on meie töö!? Meil on tohutu number 6561 ja see on kõik. Jah, tööd pole siin. Aga kui vaja, siis teeme teeme seda! Arvutame selle arvu. Meil on õigus.
Esiteks mõtleme välja, millega see arv täpselt jagub? Mida, sa ei tea!? Kas olete jagavuse märgid unustanud!? Asjatult. Minge spetsiaalsesse jaotisesse 555, teemasse "Murrud", need on seal. See arv jagub 3 ja 9-ga. Sest arvude summa (6+5+6+1=18) jagatakse nende arvudega. See on üks jagatavuse märke. Me ei pea jagama kolmega (nüüd saate aru, miks), kuid me jagame 9-ga. Vähemalt nurgas. Saame 729. Seega oleme leidnud kaks tegurit! Esimene on üheksa (valisime selle ise) ja teine on 729 (nii see välja tuli). Võid juba kirjutada:
Kas saate ideest aru? Teeme sama numbriga 729. See jagub ka 3 ja 9-ga. Me ei jaga uuesti 3-ga, me jagame 9-ga. Saame 81. Ja me teame seda arvu! Kirjutame üles:
Kõik osutus lihtsaks ja elegantseks! Juurt tuli jupphaaval välja tõmmata, aga noh. Saate seda teha kellega tahes suured numbrid. Korrutage need ja minge edasi!
Muide, miks sa ei pidanud 3-ga jagama? Kas arvasid ära? Jah, sest kolme juurt ei saa täpselt välja tõmmata! Mõistlik on see arvestada selliste teguritega, et vähemalt ühest saaks juuri hästi välja võtta. Need on 4, 9, 16 hästi jne. Jagage oma suur arv nende arvudega ükshaaval ja teil veab!
Aga mitte tingimata. Sul ei pruugi vedada. Oletame, et arv 432, kui arvestada ja kasutada toote juurvalemit, annab järgmise tulemuse:
No okei. Igatahes lihtsustasime väljendit. Matemaatikas on kombeks kõige rohkem lahkuda väike arv võimalikust. Lahendamise käigus sõltub kõik näitest (võib-olla saab kõike lühendada ilma lihtsustamiseta), kuid vastuses peate andma tulemuse, mida ei saa veelgi lihtsustada.
Muide, kas sa tead, mida me tegime 432 juurega?
Meie võttis tegurid juurmärgi alt välja ! Seda operatsiooni nimetatakse nii. Vastasel juhul saate ülesande - " eemalda faktor juurmärgi alt"Aga mehed isegi ei tea.) Siin on teile veel üks rakendus juurte omadused. Kasulik asi viies.
Kuidas kordistajat juure alt eemaldada?
Kergesti. Faktorige radikaalset väljendust ja ekstraheerige ekstraheeritud juured. Vaatame:
Ei midagi üleloomulikku. Oluline on valida õiged kordajad. Siin oleme 72 laiendanud 36·2-ks. Ja kõik osutus hästi. Või oleksid nad võinud seda teisiti laiendada: 72 = 6 · 12. Ja mida!? Juure ei saa eraldada ei 6-st ega 12-st. Mida teha?!
See on korras. Otsige teisi lagundamisvõimalusi või jätkake kõike lagundamist, kuni see peatub! Nagu nii:
Nagu näha, läks kõik korda. See, muide, pole kõige kiirem, vaid kõige rohkem usaldusväärne viis. Jagage arv väikseimateks teguriteks ja seejärel koguge samad kuhjadesse. Meetodit kasutatakse edukalt ka ebamugavate juurte paljundamisel. Näiteks peate arvutama:
Korrutage kõik - saate hullu numbri! Ja kuidas sealt siis juuri välja tõmmata?! Jälle faktoring? Ei, me ei vaja lisatööd. Jaotame selle kohe teguriteks ja kogume samad rühmadesse:
See on kõik. Loomulikult ei ole vaja seda lõpuni laiendada. Kõik määravad teie isiklikud võimed. Viisime näite selleni, kus kõik on sulle selge See tähendab, et saame juba arvestada. Peaasi, et mitte vigu teha. Mitte inimene matemaatika jaoks, vaid matemaatika inimese jaoks!)
Rakendame teadmisi praktikas? Alustame millegi lihtsaga:
KRAD RATSIOONI INDIKAATORIGA,
TOITEFUNKTSIOON IV
§ 82. Juurete korrutamine ja jagamine
1. Juurte paljundamine. Paragrahvis 79 juurte korrutamise reegel identsed näitajad:
Juurte paljundamiseks erinevad näitajad, kõigepealt tuleb need kohale tuua üldine näitaja, ja korrutage seejärel juurtena väärtusega samad näitajad.
Olgu näiteks vaja korrutada n √ a peal m √ b . Kasutades §80 teoreemi 3, saame kirjutada:
Näiteks √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3
Juurte üldise näitajana n √ a peal m √ b Kõige mugavam on valida arvude vähim ühiskordne n Ja m . Näiteks kui teil on vaja 4 √ 2 korrutada 6 √ 32-ga, siis on nende juurte ühiseks näitajaks mugav valida arv 12, mis on arvude 4 ja 6 vähim ühiskordne.
Teoreem 3 § 80 annab: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.
4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2
2. Juurte jagunemine. Paragrahvis 79 saadi samade astendajatega juurte jagamise reegel:
Erinevate näitajatega juurte eraldamiseks tuleb need kõigepealt viia ühise näitajani ja seejärel jagada samade näitajatega juurteks.
oldskola1.narod.ru
Juurte korrutamine: põhireeglid
Tervitused, kassid! IN viimane kord Arutasime üksikasjalikult, mis on juured (kui te ei mäleta, soovitan seda lugeda). Selle õppetunni peamine järeldus: on ainult üks universaalne määratlus juured, mida peate teadma. Ülejäänu on jama ja ajaraisk.
Täna läheme kaugemale. Õpime korrutama juuri, uurime mõnda korrutamisega seotud ülesannet (kui neid ülesandeid ei lahendata, võivad need eksamil saatuslikuks saada) ja harjutame korralikult. Seega varuge popkorni, tehke end mugavalt – ja alustame. :)
Sa pole ka seda veel suitsetanud, eks?
Tund osutus üsna pikaks, nii et jagasin selle kaheks osaks:
Need, kes ei jõua ära oodata, et otse teise osa juurde hüpata, olete teretulnud. Alustame ülejäänud järjekorras.
Korrutamise põhireegel
Alustame kõige lihtsamast - klassikalistest ruutjuurtest. Samad, mis on tähistatud $\sqrt$ ja $\sqrt $. Kõik on neile selge:
Korrutamisreegel. Ruutjuure korrutamiseks teisega korrutage lihtsalt nende radikaalavaldised ja kirjutage tulemus tavalise radikaali alla:
Paremal ega vasakul olevatele numbritele lisapiiranguid ei seata: kui juurtegurid on olemas, siis on ka toode olemas.
Näited. Vaatame korraga nelja näidet numbritega:
Nagu näete, on selle reegli peamine tähendus irratsionaalsete väljendite lihtsustamine. Ja kui esimeses näites oleksime me ise 25 ja 4 juured välja võtnud ilma uute reegliteta, siis läheb asi karmiks: $\sqrt $ ja $\sqrt $ ei loeta iseenesest, vaid nende korrutis osutub täiuslikuks ruuduks, seega on selle juur võrdne ratsionaalarvuga.
Eriti tahaksin esile tõsta viimast rida. Seal on mõlemad radikaalsed avaldised murrud. Tänu tootele tühistatakse paljud tegurid ja kogu avaldis muutub piisavaks arvuks.
Muidugi ei ole asjad alati nii ilusad. Mõnikord on juurte all täielik jama - pole selge, mida sellega teha ja kuidas seda pärast korrutamist teisendada. Veidi hiljem, kui õppima asud irratsionaalsed võrrandid ja ebavõrdsused, on üldiselt igasuguseid muutujaid ja funktsioone. Ja väga sageli loodavad probleemide kirjutajad sellele, et avastate mõned tühistavad terminid või tegurid, mille järel probleem lihtsustub mitu korda.
Lisaks pole üldse vaja täpselt kahte juuri korrutada. Saate korrutada kolm, neli või isegi kümme korraga! See reeglit ei muuda. Vaata:
Ja jälle väike märkus teise näite kohta. Nagu näete, on juure all olevas kolmandas teguris kümnendmurd - arvutuste käigus asendame selle tavalisega, mille järel kõike on lihtne vähendada. Niisiis: soovitan tungivalt vabaneda kümnendmurdudest mis tahes irratsionaalsed väljendid(st sisaldab vähemalt ühte radikaalsümbolit). See säästab tulevikus palju aega ja närve.
Aga oli küll lüüriline kõrvalepõige. Nüüd vaatame rohkem üldine juhtum- kui juurnäidik on suvaline arv$n$ ja mitte ainult "klassikaline" kaks.
Suvalise näitaja juhtum
Niisiis, oleme välja sorteerinud ruutjuured. Mida teha kuubikutega? Või isegi suvalise $n$ astme juurtega? Jah, kõik on sama. Reegel jääb samaks:
Kahe astme $n$ juure korrutamiseks piisab, kui korrutada nende radikaalavaldised ja seejärel kirjutada tulemus ühe radikaali alla.
Üldiselt pole midagi keerulist. Välja arvatud see, et arvutuste arv võib olla suurem. Vaatame paari näidet:
Näited. Arvutage tooteid:
Ja jälle tähelepanu teisele väljendile. Me korrutame kuubiku juured, lahti saama kümnend ja selle tulemusena saame nimetaja arvude 625 ja 25 korrutise. suur number- Mina isiklikult ei oska kohe välja arvutada, millega see võrdub.
Seetõttu eraldasime lugejas ja nimetajas täpse kuubiku ning kasutasime siis $n$-nda juure ühte võtmeomadust (või, kui soovite, definitsiooni):
Sellised "mahhinatsioonid" võivad säästa palju aega eksamil või proovitöö, nii et pidage meeles:
Ärge kiirustage radikaalsete avaldiste abil arve korrutama. Esiteks kontrollige: mis siis, kui mis tahes väljendi täpne aste on seal "krüpteeritud"?
Vaatamata selle märkuse ilmselgusele, pean tunnistama, et enamik ettevalmistamata tudengeid ei näe täpseid kraade tühipaljas. Selle asemel korrutavad nad kõik otse läbi ja siis imestavad: miks nad said nii jõhkraid numbreid? :)
Kõik see aga beebi jutt võrreldes sellega, mida me praegu uurime.
Juurte korrutamine erinevate astendajatega
Olgu, nüüd saame juured samade näitajatega korrutada. Mis siis, kui näitajad on erinevad? Oletame, kuidas korrutada tavalist $\sqrt $ sellise jamaga nagu $\sqrt $? Kas seda on üldse võimalik teha?
Jah muidugi saab. Kõik tehakse järgmise valemi järgi:
See valem töötab aga ainult siis, kui radikaalsed väljendid on mittenegatiivsed. See on väga oluline märkus, mille juurde tuleme veidi hiljem tagasi.
Praegu vaatame paari näidet:
Nagu näete, pole midagi keerulist. Nüüd mõtleme välja, kust tuli mittenegatiivsuse nõue ja mis juhtub, kui me seda rikume. :)
Juurte paljundamine on lihtne
Miks peavad radikaalsed väljendid olema mittenegatiivsed?
Muidugi võite olla nagu kooli õpetajad ja tsiteerida nutikalt õpikut:
Mittenegatiivsuse nõue on seotud erinevad määratlused paaris- ja paaritu astme juured (vastavalt on ka nende määratlusvaldkonnad erinevad).
No kas sai selgemaks? Mina isiklikult 8. klassis seda jama lugedes sain aru umbes sellisest: “Mitteegatiivsuse nõue on seotud *#&^@(*#@^#)
%" – ühesõnaga, ma ei saanud tol korral mitte midagi aru. :)
Nii et nüüd selgitan kõike tavalisel viisil.
Kõigepealt uurime, kust pärineb ülaltoodud korrutamisvalem. Selleks tuletan teile meelde üht asja oluline vara juur:
Teisisõnu võime radikaalse väljendi hõlpsasti tõsta ükskõik milliseks loomulik kraad$k$ - sel juhul tuleb juureksponent korrutada sama astmega. Seetõttu saame hõlpsalt taandada kõik juured ühiseks astendajaks ja need seejärel korrutada. Siit pärineb korrutusvalem:
Kuid on üks probleem, mis piirab järsult kõigi nende valemite kasutamist. Mõelge sellele numbrile:
Äsja antud valemi järgi saame lisada mis tahes kraadi. Proovime lisada $k=2$:
Miinuse eemaldasime just seetõttu, et ruut põletab miinuse (nagu iga teine paariskraad). Nüüd teeme seda pöördkonversioon: "vähendada" kahte eksponendis ja võimsuses. Lõppude lõpuks saab iga võrdsust lugeda nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule:
Aga siis selgub, et see on mingi jama:
Seda ei saa juhtuda, kuna $\sqrt \lt 0$ ja $\sqrt \gt 0$. See tähendab, et paarisastmete ja negatiivsete arvude puhul meie valem enam ei tööta. Pärast seda on meil kaks võimalust:
- Põrutada vastu seina ja väita, et matemaatika on rumal teadus, kus "on mõned reeglid, aga need on ebatäpsed";
- Sisenema täiendavad piirangud, mille juures valem töötab 100%.
- Eemaldage radikaalidest kõik negatiivsed. Miinused eksisteerivad ainult paaritu paljususega juurtes - neid saab asetada juure ette ja vajadusel vähendada (näiteks kui neid miinuseid on kaks).
- Tehke korrutamine vastavalt ülaltoodud reeglitele, millest tänases tunnis räägiti. Kui juurte näitajad on samad, korrutame radikaalsed avaldised lihtsalt. Ja kui need on erinevad, kasutame kurja valemit \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
- 3.Naudi tulemust ja häid hindeid. :)
- Juure all ei ole konkreetne number või aste ja muutuja on $a$. Esmapilgul on see pisut ebatavaline, kuid tegelikkuses lahendades matemaatilisi probleeme Enamasti peate tegelema muutujatega.
- Lõpuks õnnestus radikaali indikaatorit ja radikaali väljenduse astet "vähendada". Seda juhtub üsna sageli. Ja see tähendab, et kui te ei kasutanud põhivalemit, oli võimalik arvutusi oluliselt lihtsustada.
- Ilmajäetus juhiluba joobeseisundi eest 2018. aastal Sõitmine olekus alkoholimürgistus- üks tõsisemaid reeglite rikkumisi liiklust. 23. juuli 2013. aasta seadus nr 196-FZ […]
Esimeses variandis peame pidevalt tabama "mittetöötavaid" juhtumeid - see on keeruline, aeganõudev ja üldiselt äge. Seetõttu eelistasid matemaatikud teist võimalust. :)
Aga ära muretse! Praktikas see piirang arvutusi kuidagi ei mõjuta, sest kõik kirjeldatud probleemid puudutavad vaid paaritu astme juuri ja neist saab võtta miinuseid.
Seetõttu sõnastagem veel üks reegel, mis kehtib üldiselt kõigi juurtega toimingute kohta:
Enne juurte korrutamist veenduge, et radikaalavaldised ei oleks negatiivsed.
Näide. Numbris $\sqrt$ saate juurmärgi alt eemaldada miinuse - siis on kõik normaalne:
Kas tunnete erinevust? Kui jätta juure alla miinus, siis radikaalavaldise ruudustamisel see kaob ja hakkab jama. Ja kui võtad kõigepealt miinuse välja, siis saad ruutu ruudustada/eemaldada, kuni oled näost sinine – number jääb negatiivseks. :)
Seega on kõige õigem ja usaldusväärsem viis juurte paljundamiseks järgmine:
Noh? Kas harjutame?
Näide 1: avaldise lihtsustamine:
See on kõige lihtsam variant: juured on samad ja paaritud, ainus probleem on see, et teine tegur on negatiivne. Selle miinuse võtame pildilt välja, misjärel on kõik lihtsalt välja arvutatud.
Näide 2: avaldise lihtsustamine:
Paljud siin oleksid segaduses sellest, mis lõpus juhtus irratsionaalne arv. Jah, see juhtub: me ei saanud juurtest täielikult lahti, kuid vähemalt lihtsustasime väljendit oluliselt.
Näide 3: avaldise lihtsustamine:
Tahaksin juhtida teie tähelepanu sellele ülesandele. Siin on kaks punkti:
Näiteks võite teha järgmist.
Tegelikult viidi kõik teisendused läbi ainult teise radikaaliga. Ja kui te ei kirjelda üksikasjalikult kõiki vaheetappe, siis lõpuks väheneb arvutuste hulk oluliselt.
Tegelikult oleme juba kokku puutunud sarnane ülesanneülaltoodud näite lahendamisel $\sqrt \cdot \sqrt $. Nüüd saab selle kirjutada palju lihtsamalt:
Ruutjuurte olemasolu avaldis muudab jagamise protsessi keerulisemaks, kuid on reegleid, mis muudavad murdudega töötamise palju lihtsamaks.
Ainus asi, mida pead kogu aeg meeles pidama- radikaalsed avaldised jagunevad radikaalideks ja tegurid teguriteks. Ruutjuurte jagamise protsessis lihtsustame murdosa. Samuti pidage meeles, et juur võib olla nimetajas.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Meetod 1. Radikaalavaldiste jagamine
Toimingute algoritm:
Kirjutage murdosa
Kui avaldist ei esitata murdena, tuleb see sellisena kirjutada, sest ruutjuurte jagamise põhimõtet on lihtsam järgida.
Näide 1
144 ÷ 36, tuleks see avaldis ümber kirjutada järgmiselt: 144 36
Kasutage ühte juurmärki
Kui nii lugeja kui ka nimetaja sisaldavad ruutjuuri, on lahendusprotsessi hõlbustamiseks vaja kirjutada nende radikaalavaldised sama juurmärgi alla.
Tuletame meelde, et radikaalavaldis (või arv) on avaldis juuremärgi all.
Näide 2
144 36. See väljend tuleks kirjutada järgmiselt: 144 36
Eraldage radikaalsed väljendid
Lihtsalt jagage üks avaldis teisega ja kirjutage tulemus juuremärgi alla.
Näide 3
144 36 = 4, kirjutame selle avaldise järgmiselt: 144 36 = 4
Lihtsustage radikaalset väljendit (vajadusel)
Kui radikaalavaldis või üks teguritest on täiuslik ruut, lihtsustage avaldist.
Tuletage meelde, et täiuslik ruut on arv, mis on mõne täisarvu ruut.
Näide 4
4 on täiuslik ruut, sest 2 × 2 = 4. Seetõttu:
4 = 2 × 2 = 2. Seega 144 36 = 4 = 2.
2. meetod. Radikaalse avaldise faktoriseerimine
Toimingute algoritm:
Kirjutage murdosa
Kirjutage avaldis ümber murruna (kui see on nii esitatud). See muudab ruutjuurtega avaldiste jagamise palju lihtsamaks, eriti faktoringu puhul.
Näide 5
8 ÷ 36, kirjutage see ümber nii 8 36
Tegurige iga radikaalset avaldist
Tegutsege arv juure all nagu iga teinegi täisarv, kirjutage tegurid ainult juuremärgi alla.
Näide 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Lihtsustage murdosa lugejat ja nimetajat
Selleks eemalda juurmärgi alt tegurid, mis on täiuslikud ruudud. Seega saab radikaalavaldise tegurist juuremärgi eelne tegur.
Näide 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, on järgmine: 8 36 = 2 2 6
Ratsionaliseerige nimetaja (vabanege juurest)
Matemaatikas kehtivad reeglid, mille järgi juure nimetajasse jätmine on märk halvast vormist, s.t. see on keelatud. Kui nimetajas on ruutjuur, siis vabane sellest.
Korrutage lugeja ja nimetaja ruutjuurega, mille soovite eemaldada.
Näide 8
Avaldises 6 2 3 peate selle nimetajas vabanemiseks korrutama lugeja ja nimetaja 3-ga:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Lihtsustage saadud avaldist (vajadusel)
Kui lugeja ja nimetaja sisaldavad numbreid, mida saab ja tuleks vähendada. Lihtsustage selliseid väljendeid nagu iga murdosa.
Näide 9
2 6 lihtsustab 1 3 ; seega 2 2 6 lihtsustab 1 2 3 = 2 3
3. meetod: ruutjuurte jagamine teguritega
Toimingute algoritm:
Lihtsustada tegureid
Tuletage meelde, et tegurid on juuremärgile eelnevad arvud. Tegurite lihtsustamiseks peate need jagama või vähendama. Ärge puudutage radikaalseid väljendeid!
Näide 10
4 32 6 16 . Esiteks vähendame 4 6: jagame nii lugeja kui ka nimetaja 2-ga: 4 6 = 2 3.
Ruutjuurte lihtsustamine
Kui lugeja jagub nimetajaga ühtlaselt, siis jaga. Kui ei, siis lihtsustage radikaalseid väljendeid nagu kõiki teisi.
Näide 11
32 jagub 16-ga, seega: 32 16 = 2
Korrutage lihtsustatud tegurid lihtsustatud juurtega
Pidage meeles reeglit: ärge jätke nimetajasse juuri. Seetõttu korrutame lugeja ja nimetaja lihtsalt selle juurega.
Näide 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Ratsionaliseerige nimetaja (vabanege nimetaja juurest)
Näide 13
4 3 2 7 . Nimetaja juurest vabanemiseks peaksite lugeja ja nimetaja korrutama 7-ga.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
4. meetod: jagamine ruutjuurega binoomnumbriga
Toimingute algoritm:
Tehke kindlaks, kas nimetajas on binoom
Tuletage meelde, et binoom on avaldis, mis sisaldab kahte monoomi. See meetod töötab ainult juhtudel, kui nimetaja on ruutjuurega binoom.
Näide 14
1 5 + 2 - nimetajas on binoom, kuna seal on kaks monomi.
Leia binoomarvu konjugeeritud avaldis
Tuletage meelde, et konjugeeritud binoom on binoom, millel on samad monoomid, kuid vastupidised märgid. Avaldise lihtsustamiseks ja nimetaja juurest vabanemiseks tuleks konjugeeritud binoomid korrutada.
Näide 15
5 + 2 ja 5 - 2 on konjugeeritud binoomid.
Korrutage lugeja ja nimetaja binoomiga, mis on nimetaja binoomväärtuse konjugaat
See valik aitab vabaneda nimetaja juurest, kuna konjugeeritud binoomide korrutis on võrdne binoomide iga liikme ruutude erinevusega: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Näide 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Sellest järeldub: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
Nõuanne:
- Kui töötate ruutjuurtega seganumbrid, seejärel teisendage need valeks murdarvuks.
- Liitmise ja jagamisest lahutamise erinevus seisneb selles, et jagamise korral ei soovita radikaalseid avaldisi lihtsustada (täisruutude arvelt).
- Ära kunagi (!) jäta nimetajasse juurt.
- Ei mingeid kümnendkohti ega sega enne juurt – tuleb need teisendada harilik murd ja seejärel lihtsustada.
- Kas nimetaja on kahe monoomi summa või erinevus? Korrutage selline binoom selle konjugeeritud binoomiga ja eemaldage nimetaja juurest.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Tervitused, kassid! Eelmisel korral arutasime üksikasjalikult, mis on juured (kui te ei mäleta, soovitan seda lugeda). Peamine järeldus sellest õppetunnist: juurtel on ainult üks universaalne määratlus, mida peate teadma. Ülejäänu on jama ja ajaraisk.
Täna läheme kaugemale. Õpime korrutama juuri, uurime mõnda korrutamisega seotud ülesannet (kui neid ülesandeid ei lahendata, võivad need eksamil saatuslikuks saada) ja harjutame korralikult. Seega varuge popkorni, seadke end mugavalt ja alustame. :)
Sa pole ka seda veel suitsetanud, eks?
Tund osutus üsna pikaks, nii et jagasin selle kaheks osaks:
- Kõigepealt tutvume korrutamise reeglitega. Näib, et kork vihjab: see on siis, kui on kaks juurt, nende vahel on märk "korrutada" - ja me tahame sellega midagi ette võtta.
- Vaatame siis vastupidist olukorda: on üks suur juur, aga me tahtsime seda kujutada kahe lihtsama juure produktina. Miks see vajalik on, on omaette küsimus. Analüüsime ainult algoritmi.
Need, kes ei jõua ära oodata, et saaksid kohe teise osa juurde liikuda, olete teretulnud. Alustame ülejäänud järjekorras.
Korrutamise põhireegel
Alustame kõige lihtsamast - klassikalistest ruutjuurtest. Samad, mida tähistatakse $\sqrt(a)$ ja $\sqrt(b)$. Kõik on neile selge:
Korrutamisreegel. Ruutjuure korrutamiseks teisega korrutage lihtsalt nende radikaalavaldised ja kirjutage tulemus tavalise radikaali alla:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Paremal ega vasakul olevatele numbritele lisapiiranguid ei seata: kui juurtegurid on olemas, siis on ka toode olemas.
Näited. Vaatame korraga nelja näidet numbritega:
\[\begin(joonda) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(joonda)\]
Nagu näete, on selle reegli peamine tähendus irratsionaalsete väljendite lihtsustamine. Ja kui esimeses näites oleksime me ise 25 ja 4 juured välja võtnud ilma uute reegliteta, siis läheb asi karmiks: $\sqrt(32)$ ja $\sqrt(2)$ ei loeta iseenesest, vaid nende korrutis osutub täiuslikuks ruuduks, seega on selle juur võrdne ratsionaalarvuga.
Eriti tahaksin esile tõsta viimast rida. Seal on mõlemad radikaalsed avaldised murrud. Tänu tootele tühistatakse paljud tegurid ja kogu avaldis muutub piisavaks arvuks.
Muidugi ei ole asjad alati nii ilusad. Mõnikord on juurte all täielik jama - pole selge, mida sellega teha ja kuidas seda pärast korrutamist teisendada. Veidi hiljem, kui hakkate uurima irratsionaalseid võrrandeid ja võrratusi, on seal igasuguseid muutujaid ja funktsioone. Ja väga sageli loodavad probleemide kirjutajad sellele, et avastate mõned tühistavad terminid või tegurid, mille järel probleem lihtsustub mitu korda.
Lisaks pole üldse vaja täpselt kahte juuri korrutada. Saate korrutada kolm, neli või isegi kümme korraga! See reeglit ei muuda. Vaata:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(joonda)\]
Ja jälle väike märkus teise näite kohta. Nagu näete, on juure all olevas kolmandas teguris kümnendmurd - arvutuste käigus asendame selle tavalisega, mille järel kõike on lihtne vähendada. Seega: soovitan tungivalt vabaneda kümnendmurdudest mis tahes irratsionaalsetes avaldistes (st mis sisaldavad vähemalt ühte radikaalsümbolit). See säästab tulevikus palju aega ja närve.
Kuid see oli lüüriline kõrvalepõige. Vaatleme nüüd üldisemat juhtumit - kui juureksponent sisaldab suvalist arvu $n$, mitte ainult "klassikalist" kahte.
Suvalise näitaja juhtum
Niisiis, oleme välja sorteerinud ruutjuured. Mida teha kuubikutega? Või isegi suvalise $n$ astme juurtega? Jah, kõik on sama. Reegel jääb samaks:
Kahe astme $n$ juure korrutamiseks piisab, kui korrutada nende radikaalavaldised ja seejärel kirjutada tulemus ühe radikaali alla.
Üldiselt pole midagi keerulist. Välja arvatud see, et arvutuste arv võib olla suurem. Vaatame paari näidet:
Näited. Arvutage tooteid:
\[\begin(joona) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(joonda)\]
Ja jälle tähelepanu teisele väljendile. Korrutame kuupjuured, eemaldame kümnendmurru ja saame tulemuseks selle, et nimetaja on arvude 625 ja 25 korrutis. See on üsna suur arv – mina isiklikult ei saa aru, millega see ülevalt võrdub. minu peast.
Seetõttu eraldasime lugejas ja nimetajas lihtsalt täpse kuubiku ning kasutasime seejärel $n$-nda juure ühte võtmeomadust (või, kui soovite, definitsiooni):
\[\begin(joonda) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(joonda)\]
Sellised "mahhinatsioonid" võivad säästa palju aega eksamil või testil, seega pidage meeles:
Ärge kiirustage radikaalsete avaldiste abil arve korrutama. Esiteks kontrollige: mis siis, kui mis tahes väljendi täpne aste on seal "krüpteeritud"?
Vaatamata selle märkuse ilmselgusele, pean tunnistama, et enamik ettevalmistamata tudengeid ei näe täpseid kraade tühipaljas. Selle asemel korrutavad nad kõik otse läbi ja siis imestavad: miks nad said nii jõhkraid numbreid? :)
See kõik on aga beebijutt võrreldes sellega, mida me praegu uurime.
Juurte korrutamine erinevate astendajatega
Olgu, nüüd saame juured samade näitajatega korrutada. Mis siis, kui näitajad on erinevad? Ütleme, kuidas korrutada tavalist $\sqrt(2)$ sellise jamaga nagu $\sqrt(23)$? Kas seda on üldse võimalik teha?
Jah muidugi saab. Kõik tehakse järgmise valemi järgi:
Juurte korrutamise reegel. $\sqrt[n](a)$ korrutamiseks $\sqrt[p](b)$-ga piisab järgmise teisenduse tegemisest:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
See valem töötab aga ainult siis, kui radikaalsed väljendid on mittenegatiivsed. See on väga oluline märkus, mille juurde tuleme veidi hiljem tagasi.
Praegu vaatame paari näidet:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(joonda)\]
Nagu näete, pole midagi keerulist. Nüüd mõtleme välja, kust tuli mittenegatiivsuse nõue ja mis juhtub, kui me seda rikume. :)
Juurte paljundamine on lihtne Miks peavad radikaalsed väljendid olema mittenegatiivsed?
Muidugi võite olla nagu kooliõpetajad ja nutika pilguga õpikut tsiteerida:
Mittenegatiivsuse nõue on seotud paaris- ja paarituastme juurte erinevate definitsioonidega (vastavalt on ka nende määratlusvaldkonnad erinevad).
No kas sai selgemaks? Mina isiklikult 8. klassis seda jama lugedes sain aru umbes sellisest: “Mitteegatiivsuse nõue on seotud *#&^@(*#@^#)~%” - ühesõnaga ma sain Ma ei saanud sel ajal mitte midagi aru. :)
Nii et nüüd selgitan kõike tavalisel viisil.
Kõigepealt uurime, kust pärineb ülaltoodud korrutamisvalem. Selleks tuletan teile meelde juure ühte olulist omadust:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Teisisõnu saame radikaalavaldise hõlpsasti tõsta mis tahes loomuliku astmeni $k$ – sel juhul tuleb juure astendaja sama astmega korrutada. Seetõttu saame hõlpsalt taandada kõik juured ühiseks astendajaks ja need seejärel korrutada. Siit pärineb korrutusvalem:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Kuid on üks probleem, mis piirab järsult kõigi nende valemite kasutamist. Mõelge sellele numbrile:
Äsja antud valemi järgi saame lisada mis tahes kraadi. Proovime lisada $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Miinuse eemaldasime just seetõttu, et ruut põletab miinuse (nagu iga teine paariskraad). Nüüd teostame pöördteisendust: "vähendame" kahte eksponendis ja võimsuses. Lõppude lõpuks saab iga võrdsust lugeda nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule:
\[\begin(joona) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Paremnool \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Paremnool \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(joonda)\]
Aga siis selgub, et see on mingi jama:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Seda ei saa juhtuda, sest $\sqrt(-5) \lt 0$ ja $\sqrt(5) \gt 0$. See tähendab, et paarisastmete ja negatiivsete arvude puhul meie valem enam ei tööta. Pärast seda on meil kaks võimalust:
- Põrutada vastu seina ja väita, et matemaatika on rumal teadus, kus "on mõned reeglid, aga need on ebatäpsed";
- Kehtestage täiendavaid piiranguid, mille alusel valem muutub 100% toimivaks.
Esimeses variandis peame pidevalt tabama "mittetöötavaid" juhtumeid - see on keeruline, aeganõudev ja üldiselt tüütu. Seetõttu eelistasid matemaatikud teist võimalust. :)
Aga ära muretse! Praktikas see piirang arvutusi kuidagi ei mõjuta, sest kõik kirjeldatud probleemid puudutavad vaid paaritu astme juuri ja neist saab võtta miinuseid.
Seetõttu sõnastagem veel üks reegel, mis kehtib üldiselt kõigi juurtega toimingute kohta:
Enne juurte korrutamist veenduge, et radikaalavaldised ei oleks negatiivsed.
Näide. Numbris $\sqrt(-5)$ saate juurmärgi alt eemaldada miinuse - siis on kõik normaalne:
\[\begin(joonda) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Paremnool \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(joonda)\]
Kas tunnete erinevust? Kui jätta juure alla miinus, siis radikaalavaldise ruudustamisel see kaob ja hakkab jama. Ja kui võtad kõigepealt miinuse välja, siis saad ruudustada/eemaldada, kuni oled näost sinine – number jääb negatiivseks. :)
Seega on kõige õigem ja usaldusväärsem viis juurte paljundamiseks järgmine:
- Eemaldage radikaalidest kõik negatiivsed. Miinused eksisteerivad ainult paaritu paljususega juurtes - neid saab asetada juure ette ja vajadusel vähendada (näiteks kui neid miinuseid on kaks).
- Tehke korrutamine vastavalt ülaltoodud reeglitele, millest tänases tunnis räägiti. Kui juurte näitajad on samad, korrutame radikaalsed avaldised lihtsalt. Ja kui need on erinevad, kasutame kurja valemit \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Naudi tulemust ja häid hindeid. :)
Noh? Kas harjutame?
Näide 1: avaldise lihtsustamine:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(joonda)\]
See on kõige lihtsam variant: juured on samad ja paaritud, ainus probleem on see, et teine tegur on negatiivne. Selle miinuse võtame pildilt välja, misjärel on kõik lihtsalt välja arvutatud.
Näide 2: avaldise lihtsustamine:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( joondada)\]
Siin oleks paljudes segaduses asjaolu, et väljund osutus irratsionaalseks arvuks. Jah, see juhtub: me ei saanud juurtest täielikult lahti, kuid vähemalt lihtsustasime väljendit oluliselt.
Näide 3: avaldise lihtsustamine:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \parem))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(joonda)\]
Tahaksin juhtida teie tähelepanu sellele ülesandele. Siin on kaks punkti:
- Juur ei ole konkreetne arv või aste, vaid muutuja $a$. Esmapilgul on see veidi ebatavaline, kuid tegelikkuses tuleb matemaatikaülesannete lahendamisel kõige sagedamini tegeleda muutujatega.
- Lõpuks õnnestus radikaali indikaatorit ja radikaali väljenduse astet "vähendada". Seda juhtub üsna sageli. Ja see tähendab, et kui te ei kasutanud põhivalemit, oli võimalik arvutusi oluliselt lihtsustada.
Näiteks võite teha järgmist.
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \parem))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\lõpp(joonda)\]
Tegelikult viidi kõik teisendused läbi ainult teise radikaaliga. Ja kui te ei kirjelda üksikasjalikult kõiki vaheetappe, siis lõpuks väheneb arvutuste hulk oluliselt.
Tegelikult oleme juba eespool sarnase ülesandega kokku puutunud, kui lahendasime näite $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nüüd saab selle kirjutada palju lihtsamalt:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(joonda)\]
Noh, oleme juurte korrutamise korda ajanud. Nüüd kaalume pöördtoimingut: mida teha, kui juure all on toode?