Eksponentvõrrandite lahendamine. Näited.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")
Mis on juhtunud eksponentsiaalvõrrand? See on võrrand, milles on tundmatud (x-id) ja nendega seotud avaldised näitajad mõned kraadid. Ja ainult seal! See on tähtis.
Seal sa oled eksponentsiaalvõrrandi näited:
3 x 2 x = 8 x+3
Märge! Kraadide alustes (allpool) - ainult numbrid. IN näitajad kraadid (ülal) – lai valik X-ga väljendeid. Kui võrrandis ilmub äkki X kusagil mujal kui indikaatoris, näiteks:
see on juba segatüüpi võrrand. Sellistel võrranditel pole selgeid reegleid nende lahendamiseks. Me ei võta neid praegu arvesse. Siin me tegeleme eksponentsiaalvõrrandite lahendamine kõige puhtamal kujul.
Tegelikult ei ole isegi puhtad eksponentsiaalvõrrandid alati selgelt lahendatud. Kuid on teatud tüüpi eksponentsiaalvõrrandeid, mida saab ja tuleks lahendada. Need on tüübid, mida me kaalume.
Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine.
Esiteks lahendame midagi väga elementaarset. Näiteks:
Isegi ilma igasuguste teooriateta on lihtsa valikuga selge, et x = 2. Ei midagi enamat, eks!? Ükski teine X väärtus ei tööta. Vaatame nüüd selle keerulise eksponentsiaalvõrrandi lahendust:
Mida me oleme teinud? Tegelikult viskasime samad alused (kolmikud) lihtsalt välja. Täiesti välja visatud. Ja hea uudis on see, et tabasime naelapea pihta!
Tõepoolest, kui eksponentsiaalvõrrandis on vasak ja parem sama numbreid mis tahes astmetes, saab neid numbreid eemaldada ja eksponente võrdsustada. Matemaatika lubab. Jääb lahendada palju lihtsam võrrand. Suurepärane, eks?)
Pidagem siiski kindlalt meeles: Aluseid saate eemaldada ainult siis, kui vasakul ja paremal olevad baasnumbrid on suurepärases isolatsioonis! Ilma igasuguste naabrite ja koefitsientideta. Ütleme võrrandites:
2 x +2 x+1 = 2 3 või
kahekesi ei saa eemaldada!
Noh, me saime kõige olulisema asja selgeks. Kuidas liikuda kurjade eksponentsiaalsete avaldiste juurest lihtsamate võrrandite juurde.
"Need on ajad!" - sa ütled. "Kes annaks kontrolltööde ja eksamite kohta nii primitiivse õppetunni!?"
Pean nõustuma. Keegi ei tee seda. Kuid nüüd teate, kuhu keeruliste näidete lahendamisel sihtida. See tuleb viia vormile, kus vasakul ja paremal on sama alusnumber. Siis on kõik lihtsam. Tegelikult on see matemaatika klassika. Võtame algse näite ja muudame selle soovitud näiteks meie meelt. Matemaatika reeglite järgi muidugi.
Vaatame näiteid, mis nõuavad lisapingutusi, et taandada need kõige lihtsamatele. Helistame neile lihtsad eksponentsiaalvõrrandid.
Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine. Näited.
Eksponentvõrrandite lahendamisel on põhireeglid toimingud kraadidega. Ilma nendest tegevustest teadmata ei tööta midagi.
Kraadidega tegudele tuleb lisada isiklik tähelepanelikkus ja leidlikkus. Kas vajame samu baasnumbreid? Seega otsime neid näites selgesõnaliselt või krüptitud kujul.
Vaatame, kuidas seda praktikas tehakse?
Toome näite:
2 2x - 8 x+1 = 0
Esimene terav pilk on suunatud põhjustel. Nad... Nad on erinevad! Kaks ja kaheksa. Kuid on liiga vara heituda. On aeg seda meeles pidada
Kaks ja kaheksa on astmes sugulased.) On täiesti võimalik kirjutada:
8 x+1 = (2 3) x+1
Kui meenutame valemit kraadidega tehtetest:
(a n) m = a nm,
see toimib suurepäraselt:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Algne näide hakkas välja nägema järgmine:
2 2x - 2 3 (x+1) = 0
Teeme üle 2 3 (x+1) paremale (keegi pole matemaatika elementaartehteid tühistanud!), saame:
2 2x = 2 3 (x+1)
See on praktiliselt kõik. Aluste eemaldamine:
Me lahendame selle koletise ja saame
See on õige vastus.
Selles näites aitas meid välja kahe jõudude teadmine. Meie tuvastatud kaheksas on krüpteeritud kaks. See tehnika (tavaliste aluste kodeerimine erinevate numbrite all) on eksponentsiaalvõrrandites väga populaarne tehnika! Jah, ja ka logaritmides. Peate olema võimeline numbrites ära tundma teiste arvude astmeid. See on eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel äärmiselt oluline.
Fakt on see, et mis tahes arvu suurendamine mis tahes astmeni ei ole probleem. Korrutage, kasvõi paberil, ja kõik. Näiteks võib igaüks tõsta 3 viienda astmeni. 243 saab korda, kui tead korrutustabelit.) Kuid eksponentsiaalvõrrandites pole palju sagedamini vaja astmeni tõsta, vaid vastupidi... Uuri välja mis number millisel määral on peidus numbri 243 või, ütleme, 343 taha... Siin ei aita sind ükski kalkulaator.
Mõne arvu võimsusi on vaja teada nägemise järgi, eks... Harjutame?
Tehke kindlaks, millised võimsused ja numbrid on numbrid:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Vastused (muidugi segaduses!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Kui vaatate tähelepanelikult, näete kummalist tõsiasja. Vastuseid on oluliselt rohkem kui ülesandeid! Noh, juhtub... Näiteks 2 6, 4 3, 8 2 – see on kõik 64.
Oletame, et olete võtnud teadmiseks teabe arvude tundmise kohta.) Tuletan teile ka meelde, et eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks kasutame kõik matemaatiliste teadmiste varu. Kaasa arvatud juunioride ja keskklasside esindajad. Sa ei läinud otse keskkooli, eks?)
Näiteks eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel aitab sageli ühisteguri sulgudest välja panemine (tere 7. klassile!). Vaatame näidet:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Ja jälle on esimene pilk vundamentidele! Kraadide alused on erinevad... Kolm ja üheksa. Kuid me tahame, et need oleksid samad. Sel juhul on soov täielikult täidetud!) Sest:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Kasutades samu reegleid kraadide käsitlemisel:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
See on suurepärane, võite selle üles kirjutada:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Samadel põhjustel tõime näite. Niisiis, mis saab edasi!? Kolmeseid välja visata ei saa... Ummik?
Üldse mitte. Pidage meeles kõige universaalsemat ja võimsamat otsustusreeglit kõik matemaatika ülesanded:
Kui te ei tea, mida vajate, tehke seda, mida saate!
Vaata, kõik saab korda).
Mis on selles eksponentsiaalvõrrandis Saab teha? Jah, vasakul küljel see lihtsalt anub, et see sulgudest välja võetaks! Üldine kordaja 3 2x viitab sellele selgelt. Proovime ja siis näeme:
3 2x (3 4–11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Eeskuju läheb aina paremaks ja paremaks!
Peame meeles, et aluste kõrvaldamiseks vajame puhast kraadi, ilma koefitsientideta. Number 70 häirib meid. Seega jagame võrrandi mõlemad pooled 70-ga, saame:
Oih! Kõik läks paremaks!
See on lõplik vastus.
Juhtub aga, et samadel alustel ruleerimine saavutatakse, kuid nende kõrvaldamine pole võimalik. See juhtub teist tüüpi eksponentsiaalvõrrandite puhul. Õppigem seda tüüpi.
Muutuja asendamine eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel. Näited.
Lahendame võrrandi:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Esiteks - nagu tavaliselt. Liigume edasi ühe baasi juurde. Kahekesi.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Saame võrrandi:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Ja see on koht, kus me aega veedame. Eelmised tehnikad ei tööta, ükskõik kuidas te seda vaatate. Peame oma arsenalist välja tõmbama veel ühe võimsa ja universaalse meetodi. Seda nimetatakse muutuv asendus.
Meetodi olemus on üllatavalt lihtne. Ühe keeruka ikooni (meie puhul - 2 x) asemel kirjutame teise, lihtsama (näiteks - t). Selline näiliselt mõttetu asendus viib hämmastavate tulemusteni!) Kõik saab lihtsalt selgeks ja arusaadavaks!
Nii et las
Siis 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2
Meie võrrandis asendame kõik astmed x-idega t-ga:
Noh, kas see jõuab teile kohale?) Kas olete ruutvõrrandid juba unustanud? Diskriminandi kaudu lahendades saame:
Siin on peamine mitte peatuda, nagu juhtub... See pole veel vastus, vajame x-i, mitte t-d. Tuleme tagasi X-ide juurde, st. teeme tagurpidi asendamise. Esiteks t 1 jaoks:
See on,
Leiti üks juur. Otsime teist alates t 2:
Hm... 2 x vasakul, 1 paremal... Probleem? Üldse mitte! Piisab meeles pidada (võimudega tehtetest jah...), et üksus on ükskõik milline number nulliastmeni. Ükskõik milline. Mida iganes vaja, paigaldame selle. Meil on vaja kahte. Tähendab:
See on nüüd kõik. Meil on 2 juurt:
See on vastus.
Kell eksponentsiaalvõrrandite lahendamine lõpus jõuad vahel mingi kohmetu ilmega. Tüüp:
Seitset ei saa lihtsa astme abil kaheks teisendada. Nad ei ole sugulased... Kuidas me saame olla? Keegi võib olla segaduses... Aga inimene, kes luges sellel saidil teemat "Mis on logaritm?" , naeratab vaid säästlikult ja kirjutab kindla käega üles absoluutselt õige vastuse:
Ühtse riigieksami ülesannetes “B” sellist vastust ei saa olla. Seal on nõutav konkreetne number. Kuid ülesannete "C" puhul on see lihtne.
See õppetund annab näiteid kõige levinumate eksponentsiaalvõrrandite lahendamisest. Toome välja peamised punktid.
Praktilised näpunäited:
1. Kõigepealt vaatame põhjustel kraadid. Me mõtleme, kas neid on võimalik teha identsed. Proovime seda teha aktiivselt kasutades toimingud kraadidega.Ärge unustage, et ka ilma x-deta numbreid saab teisendada astmeteks!
2. Püüame viia eksponentsiaalvõrrandi vormile, kui vasakul ja paremal on sama numbrid mis tahes astmetes. Me kasutame toimingud kraadidega Ja faktoriseerimine. Mida saab arvudes üles lugeda, seda loeme.
3. Kui teine näpunäide ei tööta, proovige kasutada muutuja asendust. Tulemuseks võib olla võrrand, mida saab kergesti lahendada. Kõige sagedamini - ruut. Või murdosa, mis samuti taandub ruuduks.
4. Eksponentvõrrandite edukaks lahendamiseks peate teadma mõne arvu astmeid nägemise järgi.
Nagu tavaliselt, palutakse tunni lõpus veidi otsustada.) Ise. Lihtsast keerukani.
Lahendage eksponentsiaalvõrrandid:
Keerulisem:
2 x+3 – 2 x+2 – 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0
Leidke juurte toode:
2 3 + 2 x = 9
Juhtus?
Noh, siis väga keeruline näide (kuigi selle saab mõistuses lahendada...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Mis on huvitavam? Siis siin on teile halb näide. Suurenenud raskuste jaoks üsna ahvatlev. Lubage mul vihjata, et selles näites päästab teid leidlikkus ja kõige universaalsem reegel kõigi matemaatiliste probleemide lahendamiseks.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Lihtsam näide lõõgastumiseks):
9 2 x - 4 3 x = 0
Ja magustoiduks. Leidke võrrandi juurte summa:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Jah Jah! See on segatüüpi võrrand! Mida me selles õppetükis ei käsitlenud. Miks neid arvestada, need tuleb lahendada!) Sellest õppetunnist piisab võrrandi lahendamiseks. Noh, teil on vaja leidlikkust... Ja seitsmes klass võib teid aidata (see on vihje!).
Vastused (segi, semikoolonitega eraldatud):
1; 2; 3; 4; lahendusi pole; 2; -2; -5; 4; 0.
Kas kõik on õnnestunud? Suurepärane.
Kas on probleem? Pole probleemi! Spetsiaalne jaotis 555 lahendab kõik need eksponentsiaalvõrrandid üksikasjalike selgitustega. Mida, miks ja miks. Ja loomulikult on väärtuslikku lisateavet igasuguste eksponentsiaalvõrranditega töötamise kohta. Mitte ainult need.)
Viimane lõbus küsimus, mida kaaluda. Selles õppetükis töötasime eksponentsiaalvõrranditega. Miks ma ei rääkinud siin ODZ-st sõnagi? Võrrandites on see muide väga oluline asi...
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
See õppetund on mõeldud neile, kes alles hakkavad eksponentsiaalvõrrandeid õppima. Nagu alati, alustame määratluse ja lihtsate näidetega.
Kui loete seda õppetundi, siis ma kahtlustan, et teil on juba vähemalt minimaalne arusaam kõige lihtsamatest võrranditest - lineaar- ja ruutvõrrandid: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ jne. Selliste konstruktsioonide lahendamise oskus on igati vajalik, et mitte “kinni jääda” teemasse, millest nüüd juttu tuleb.
Niisiis, eksponentsiaalvõrrandid. Toon paar näidet:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Mõned neist võivad teile tunduda keerulisemad, samas kui teised, vastupidi, on liiga lihtsad. Kuid neil kõigil on üks oluline ühine tunnus: nende tähistus sisaldab eksponentsiaalset funktsiooni $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Seega tutvustame määratlust:
Eksponentvõrrand on mis tahes võrrand, mis sisaldab eksponentsiaalfunktsiooni, s.t. vormi $((a)^(x))$ avaldis. Lisaks näidatud funktsioonile võivad sellised võrrandid sisaldada ka muid algebralisi konstruktsioone - polünoome, juuri, trigonomeetriat, logaritme jne.
Olgu siis. Oleme määratluse välja selgitanud. Nüüd on küsimus: kuidas kogu seda jama lahendada? Vastus on ühtaegu lihtne ja keeruline.
Alustame headest uudistest: paljude õpilaste õpetamise kogemuse põhjal võin öelda, et enamik neist leiab eksponentsiaalvõrrandid palju lihtsamalt kui samad logaritmid ja veelgi enam trigonomeetria.
Kuid on ka halb uudis: mõnikord tabab igasuguste õpikute ja eksamite ülesannete kirjutajaid "inspiratsioon" ja nende uimastipõletiku aju hakkab tootma nii jõhkraid võrrandeid, et nende lahendamine muutub problemaatiliseks mitte ainult õpilastele - isegi paljudele õpetajatele. takerduda sellistesse probleemidesse.
Siiski, ärme räägi kurbadest asjadest. Ja tuleme tagasi nende kolme võrrandi juurde, mis olid antud loo alguses. Proovime igaüks neist lahendada.
Esimene võrrand: $((2)^(x))=4$. Noh, millise astmeni peate tõstma arvu 2, et saada number 4? Tõenäoliselt teine? $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - ja saime õige arvulise võrdsuse, st. tõepoolest $x=2$. Tänan, Cap, aga see võrrand oli nii lihtne, et isegi minu kass sai selle lahendada. :)
Vaatame järgmist võrrandit:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Kuid siin on see veidi keerulisem. Paljud õpilased teavad, et $((5)^(2))=25$ on korrutustabel. Mõned kahtlustavad ka, et $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ on sisuliselt negatiivsete jõudude määratlus (sarnaselt valemiga $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Lõpuks mõistavad vaid vähesed, et neid fakte saab kombineerida ja anda järgmise tulemuse:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Seega kirjutatakse meie algne võrrand ümber järgmiselt:
\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Paremnool ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Aga see on juba täiesti lahendatav! Võrrandis vasakul on eksponentsiaalfunktsioon, võrrandis paremal on eksponentsiaalfunktsioon, peale nende pole kuskil midagi muud. Seetõttu võime alused "ära visata" ja näitajad rumalalt võrdsustada:
Oleme saanud lihtsaima lineaarvõrrandi, mida iga õpilane saab lahendada vaid paari reaga. Olgu, neljas reas:
\[\begin(joona)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(joonda)\]
Kui te ei saa aru, mis viimasel neljal real juhtus, pöörduge kindlasti tagasi teema juurde "lineaarvõrrandid" ja korrake seda. Sest ilma selle teema selge mõistmiseta on teil liiga vara eksponentsiaalvõrrandeid võtta.
\[((9)^(x))=-3\]
Niisiis, kuidas me saame seda lahendada? Esimene mõte: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, seega saab algse võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
Siis me mäletame, et astme tõstmisel astmeks korrutatakse eksponendid:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Paremnool ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(joona)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(joonda)\]
Ja sellise otsuse eest saame ausalt ära teenitud kahe. Sest Pokemoni meelekindlusega saatsime kolme ees oleva miinusmärgi just selle kolme võimsuseks. Kuid te ei saa seda teha. Ja sellepärast. Vaadake kolme erinevat võimsust:
\[\begin(maatriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(maatriks)\]
Seda tahvelarvutit koostades ei moonutanud ma midagi: vaatasin positiivseid jõude ja negatiivseid ja isegi murdosa... no kus on siin vähemalt üks negatiivne arv? Ta on läinud! Ja see ei saa olla, sest eksponentsiaalne funktsioon $y=((a)^(x))$ võtab esiteks alati ainult positiivseid väärtusi (ükskõik kui palju üks korrutatakse või jagatakse kahega, on see ikkagi positiivne arv) ja teiseks on sellise funktsiooni alus - arv $a$ - definitsiooni järgi positiivne arv!
Kuidas siis lahendada võrrand $((9)^(x))=-3$? Kuid mitte mingil juhul: juuri pole. Ja selles mõttes on eksponentsiaalvõrrandid väga sarnased ruutvõrranditega – juured võivad samuti puududa. Aga kui ruutvõrrandites määrab juurte arvu diskriminant (positiivne diskriminant - 2 juurt, negatiivne - juurteta), siis eksponentsiaalvõrrandites sõltub kõik sellest, mis on võrdusmärgist paremal.
Seega sõnastagem põhijäreldus: lihtsaimal eksponentsiaalvõrrandil kujul $((a)^(x))=b$ on juur siis ja ainult siis, kui $b>0$. Seda lihtsat fakti teades saate hõlpsalt kindlaks teha, kas teile pakutud võrrandil on juured või mitte. Need. Kas tasub seda üldse lahendada või kohe kirja panna, et juuri pole.
Need teadmised aitavad meid palju kordi, kui peame lahendama keerulisemaid probleeme. Praeguseks on laulusõnadest piisavalt - on aeg uurida eksponentsiaalvõrrandite lahendamise põhialgoritmi.
Kuidas lahendada eksponentsiaalvõrrandeid
Niisiis, sõnastame probleemi. On vaja lahendada eksponentsiaalvõrrand:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Varem kasutatud “naiivse” algoritmi kohaselt tuleb arv $b$ esitada arvu $a$ astmena:
Lisaks, kui muutuja $x$ asemel on mingi avaldis, saame uue võrrandi, mida saab juba lahendada. Näiteks:
\[\begin(joona)& ((2)^(x))=8\Paremnool ((2)^(x))=((2)^(3))\Paremnool x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Paremnool ((3)^(-x))=((3)^(4))\Paremnool -x=4\Paremnool x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Paremnool ((5)^(2x))=((5)^(3))\Paremnool 2x=3\Paremnool x=\frac(3)( 2). \\\lõpp(joonda)\]
Kummalisel kombel töötab see skeem umbes 90% juhtudest. Aga ülejäänud 10%? Ülejäänud 10% on kergelt "skisofreenilised" eksponentsiaalvõrrandid järgmisel kujul:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Noh, millise võimsusega peate 2 tõstma, et saada 3? Esiteks? Aga ei: $((2)^(1))=2$ ei piisa. Teiseks? Ei ka: $((2)^(2))=4$ on liiga palju. Kumba siis?
Teadlikud õpilased on ilmselt juba aimanud: sellistel puhkudel, kui seda pole võimalik “ilusalt” lahendada, tuleb mängu “raskekahurvägi” - logaritmid. Lubage mul teile meelde tuletada, et logaritme kasutades saab iga positiivse arvu esitada mis tahes muu positiivse arvu astmena (välja arvatud üks):
Kas mäletate seda valemit? Kui ma oma õpilastele logaritmidest räägin, hoiatan alati: see valem (mis on ka logaritmi põhiidentiteet või, kui soovite, logaritmi definitsioon) jääb teid kummitama väga pikka aega ja "äratab" kõige rohkem ootamatud kohad. Noh, ta kerkis pinnale. Vaatame oma võrrandit ja seda valemit:
\[\begin(joona)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(joonda) \]
Kui eeldame, et $a=3$ on meie algarv paremal ja $b=2$ on eksponentsiaalfunktsiooni alus, mille võrra tahame paremat poolt taandada, saame järgmise:
\[\begin(joona)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Paremnool 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Paremnool ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Paremnool x=( (\log )_(2))3. \\\lõpp(joonda)\]
Saime veidi kummalise vastuse: $x=((\log )_(2))3$. Mõnes muus ülesandes kahtleksid paljud sellise vastusega ja hakkaksid oma lahendust üle kontrollima: mis siis, kui kuskilt oleks sisse hiilinud viga? Kiirustan teile meeldima: siin pole viga ja logaritmid eksponentsiaalvõrrandite juurtes on täiesti tüüpiline olukord. Nii et harjuge ära. :)
Nüüd lahendame ülejäänud kaks võrrandit analoogia põhjal:
\[\begin(joona)& ((5)^(x))=15\Paremnool ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Paremnool x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Paremnool ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Paremnool 2x=( (\log )_(4))11\Paremnool x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\lõpp(joonda)\]
See on kõik! Muide, viimase vastuse saab kirjutada erinevalt:
Tutvustame logaritmi argumendile kordajat. Kuid keegi ei takista meil seda tegurit baasi lisamast:
Pealegi on kõik kolm võimalust õiged – need on lihtsalt sama numbri kirjutamise erinevad vormid. Milline neist valida ja sellesse lahendusse kirja panna, on teie enda otsustada.
Seega oleme õppinud lahendama mis tahes eksponentsiaalvõrrandeid kujul $((a)^(x))=b$, kus arvud $a$ ja $b$ on rangelt positiivsed. Meie maailma karm reaalsus on aga see, et nii lihtsaid ülesandeid tuleb ette väga-väga harva. Enamasti kohtate midagi sellist:
\[\begin(joona)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\lõpp(joonda)\]
Niisiis, kuidas me saame selle lahendada? Kas seda saab üldse lahendada? Ja kui jah, siis kuidas?
Ära paanitse. Kõik need võrrandid taanduvad kiiresti ja lihtsalt lihtsateks valemiteks, mida oleme juba kaalunud. Peate lihtsalt meeles pidama paar nippi algebra kursusest. Ja loomulikult pole kraadidega töötamiseks reegleid. Ma räägin teile sellest kõigest nüüd. :)
Eksponentvõrrandite teisendamine
Esimene asi, mida meeles pidada: iga eksponentsiaalvõrrand, ükskõik kui keeruline see ka poleks, tuleb ühel või teisel viisil taandada kõige lihtsamateks võrranditeks - nendeks, mida oleme juba kaalunud ja mida me teame lahendada. Teisisõnu näeb mis tahes eksponentsiaalvõrrandi lahendamise skeem välja järgmine:
- Kirjutage üles algne võrrand. Näiteks: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Tehke imelikku jama. Või isegi mingi jama nimega "teisenda võrrand";
- Väljundis saad lihtsaimad avaldised kujul $((4)^(x))=4$ või midagi muud taolist. Pealegi võib üks algvõrrand anda mitu sellist avaldist korraga.
Esimese punktiga on kõik selge – isegi minu kass oskab võrrandi paberile kirjutada. Kolmas punkt näib ka enam-vähem selge olevat – eespool oleme juba terve hunniku selliseid võrrandeid lahendanud.
Aga kuidas on lood teise punktiga? Milliseid transformatsioone? Mis milleks teisendada? Ja kuidas?
Noh, uurime välja. Kõigepealt tahaksin märkida järgmist. Kõik eksponentsiaalvõrrandid jagunevad kahte tüüpi:
- Võrrand koosneb sama alusega eksponentsiaalfunktsioonidest. Näide: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Valem sisaldab erinevate alustega eksponentsiaalfunktsioone. Näited: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ja $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.
Alustame esimest tüüpi võrranditest – neid on kõige lihtsam lahendada. Ja nende lahendamisel aitab meid selline tehnika nagu stabiilsete väljendite esiletõstmine.
Stabiilse väljendi eraldamine
Vaatame seda võrrandit uuesti:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Mida me näeme? Neli on tõstetud erineval määral. Kuid kõik need astmed on muutuja $x$ lihtsad summad teiste arvudega. Seetõttu on vaja meeles pidada kraadidega töötamise reegleid:
\[\begin(joona)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\lõpp(joonda)\]
Lihtsamalt öeldes saab liitmise teisendada astmete korrutiseks ja lahutamise saab hõlpsasti teisendada jagamiseks. Proovime rakendada neid valemeid meie võrrandi kraadidele:
\[\begin(joona)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cpunkt 4. \ \\lõpp(joonda)\]
Kirjutame seda asjaolu arvesse võttes algse võrrandi ümber ja kogume seejärel kõik vasakul olevad terminid:
\[\begin(joona)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - üksteist; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cpunkt \frac(1)(4)-((4)^(x))\cpunkt 4+11=0. \\\lõpp(joonda)\]
Esimesed neli terminit sisaldavad elementi $((4)^(x))$ – võtame selle sulust välja:
\[\begin(joona)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\lõpp(joonda)\]
Jääb üle jagada võrrandi mõlemad pooled murdosaga $-\frac(11)(4)$, s.o. sisuliselt korrutada pöördmurruga - $-\frac(4)(11)$. Saame:
\[\begin(joona)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\lõpp(joonda)\]
See on kõik! Oleme taandanud algse võrrandi selle lihtsaimale kujule ja saanud lõpliku vastuse.
Samal ajal avastasime (ja võtsime selle isegi sulgudest välja) ühise teguri $((4)^(x))$ - see on stabiilne avaldis. Selle saab määrata uueks muutujaks või lihtsalt väljendada seda hoolikalt ja saada vastuse. Igal juhul on lahenduse põhiprintsiip järgmine:
Leidke algses võrrandis stabiilne avaldis, mis sisaldab muutujat, mis on kergesti eristatav kõigist eksponentsiaalfunktsioonidest.
Hea uudis on see, et peaaegu iga eksponentsiaalvõrrand võimaldab teil sellist stabiilset avaldist eraldada.
Kuid halb uudis on see, et need väljendid võivad olla üsna keerulised ja neid võib olla üsna raske tuvastada. Vaatame siis veel ühte probleemi:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Võib-olla tekib kellelgi nüüd küsimus: “Paša, kas sa oled kividega loobitud? Siin on erinevad alused – 5 ja 0,2.” Kuid proovime teisendada võimsuse baasiks 0,2. Näiteks vabaneme kümnendmurdust, taandades selle tavaliseks:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \parem))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Nagu näha, ilmus ikkagi number 5, kuigi nimetajas. Samal ajal kirjutati näitaja ümber negatiivseks. Nüüd meenutagem üht kõige olulisemat kraadiga töötamise reeglit:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Paremnool ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Siin ma muidugi natuke valetasin. Sest täielikuks mõistmiseks tuli negatiivsetest näitajatest vabanemise valem kirjutada järgmiselt:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Paremnool ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ paremal))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Teisest küljest ei takistanud miski meil töötamast ainult murdarvudega:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ parem))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Kuid sel juhul peate suutma tõsta võimsust teisele võimsusele (tuletan meelde: sel juhul liidetakse näitajad kokku). Kuid ma ei pidanud murde ümber pöörama - võib-olla on see mõne jaoks lihtsam. :)
Igal juhul kirjutatakse algne eksponentsiaalvõrrand ümber järgmiselt:
\[\begin(joona)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\lõpp(joonda)\]
Selgub, et algse võrrandi saab lahendada veelgi lihtsamalt kui eelnevalt käsitletu: siin pole vaja isegi stabiilset avaldist valida - kõik on iseenesest redutseeritud. Jääb vaid meeles pidada, et $1=((5)^(0))$, millest saame:
\[\begin(joona)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\lõpp(joonda)\]
See on lahendus! Saime lõpliku vastuse: $x=-2$. Samal ajal tahaksin märkida ühte tehnikat, mis lihtsustas meie jaoks oluliselt kõiki arvutusi:
Eksponentvõrrandites loobuge kindlasti kümnendmurdudest ja teisendage need tavalisteks. See võimaldab teil näha samu kraadide aluseid ja oluliselt lihtsustada lahendust.
Liigume nüüd edasi keerukamate võrrandite juurde, milles on erinevad alused, mida ei saa astmete abil üksteiseks üldse taandada.
Atribuudi Degrees kasutamine
Lubage mul teile meelde tuletada, et meil on kaks eriti karmimat võrrandit:
\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\lõpp(joonda)\]
Peamine raskus seisneb siin selles, et pole selge, mida ja mille alusel kinkida. Kus on stabiilsed väljendid? Kus on samad põhjused? Sellest pole midagi.
Kuid proovime minna teistmoodi. Kui valmis identseid aluseid pole, võite proovida neid leida olemasolevate aluste faktooreerimise teel.
Alustame esimese võrrandiga:
\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\lõpp(joonda)\]
Kuid võite teha ka vastupidi - tehke numbritest 7 ja 3 number 21. Seda on eriti lihtne teha vasakul, kuna mõlema kraadi näitajad on samad:
\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\lõpp(joonda)\]
See on kõik! Võtsid astendaja korrutisest välja ja said kohe ilusa võrrandi, mida saab paari reaga lahendada.
Vaatame nüüd teist võrrandit. Siin on kõik palju keerulisem:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Sel juhul osutusid murrud taandamatuteks, aga kui midagi vähemaks sai, siis vähenda kindlasti. Sageli ilmnevad huvitavad põhjused, millega saate juba töötada.
Kahjuks meie jaoks midagi erilist ei paistnud. Kuid näeme, et toote vasakpoolsed eksponendid on vastupidised:
Tuletan teile meelde: indikaatori miinusmärgist vabanemiseks peate lihtsalt murdosa ümber pöörama. Noh, kirjutame algse võrrandi ümber:
\[\begin(joona)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\lõpp(joonda)\]
Teisel real võtsime lihtsalt summaarse astendaja korrutisest sulust välja vastavalt reeglile $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$ ja viimases korrutasid nad arvu 100 lihtsalt murdosaga.
Pange tähele, et numbrid vasakul (alusel) ja paremal on mõnevõrra sarnased. Kuidas? Jah, see on ilmne: need on sama arvu võimsused! Meil on:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \parem))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \paremal))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]
Seega kirjutatakse meie võrrand ümber järgmiselt:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \parem))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\paremal))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \parem))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \parem))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
Sel juhul saab paremalt ka sama alusega kraadi, mille jaoks piisab murdosa lihtsalt “ümber keeramisest”:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Meie võrrand saab lõpuks järgmise kuju:
\[\begin(joona)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\lõpp(joonda)\]
See on lahendus. Tema põhiidee taandub tõsiasjale, et isegi erinevate alustega püüame, kas konksu või võhmaga, taandada need alused samaks. Selles aitavad meid võrrandite elementaarsed teisendused ja võimsustega töötamise reeglid.
Aga milliseid reegleid ja millal kasutada? Kuidas aru saada, et ühes võrrandis peate mõlemad pooled millegagi jagama, teises aga eksponentsiaalfunktsiooni baasi?
Vastus sellele küsimusele tuleb kogemusega. Proovige esmalt kätt lihtsate võrranditega ja seejärel muutke probleemid järk-järgult keerulisemaks – ja varsti piisab teie oskustest, et lahendada kõik sama ühtse riigieksami eksponentsiaalvõrrandid või mis tahes sõltumatud/testitööd.
Ja et teid selles keerulises ülesandes aidata, soovitan oma veebisaidilt alla laadida võrrandite komplekti, et see ise lahendada. Kõigil võrranditel on vastused, nii et saate end alati proovile panna.
Loeng: "Eksponentvõrrandite lahendamise meetodid."
1 . Eksponentvõrrandid.
Eksponentides tundmatuid sisaldavaid võrrandeid nimetatakse eksponentsiaalvõrranditeks. Lihtsaim neist on võrrand ax = b, kus a > 0, a ≠ 1.
1) Kell b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Kui b > 0, kasutades funktsiooni monotoonsust ja juurteoreemi, on võrrandil unikaalne juur. Selle leidmiseks tuleb b esitada kujul b = aс, аx = bс ó x = c või x = logab.
Algebraliste teisendustega eksponentsiaalvõrrandid viivad standardvõrranditeni, mis lahendatakse järgmiste meetoditega:
1) ühele alusele taandamise meetod;
2) hindamismeetod;
3) graafiline meetod;
4) uute muutujate sisseviimise meetod;
5) faktoriseerimise meetod;
6) eksponentsiaalne – võimsusvõrrandid;
7) demonstratiivne parameetriga.
2 . Ühele alusele vähendamise meetod.
Meetod põhineb järgmisel kraadide omadusel: kui kaks kraadi on võrdsed ja nende alused on võrdsed, siis on nende eksponendid võrdsed, st tuleb püüda võrrandit taandada kujule.
Näited. Lahendage võrrand:
1 . 3x = 81;
Esitame võrrandi paremat poolt kujul 81 = 34 ja kirjutame võrrandi, mis on ekvivalentne originaaliga 3 x = 34; x = 4. Vastus: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">ja liigume edasi eksponentide võrrandi juurde 3x+1 = 3–5x; 8x = 4; x = 0,5 Vastus: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Pange tähele, et arvud 0,2, 0,04, √5 ja 25 tähistavad 5 astmeid. Kasutame seda ära ja teisendame algse võrrandi järgmiselt:
,
kust 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, millest leiame lahendi x = -1. Vastus: -1.
5. 3x = 5. Logaritmi definitsiooni järgi x = log35. Vastus: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Kirjutame võrrandi ümber kujul 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, st.png" width="181" height="49 src="> Siit x – 4 =0, x = 4. Vastus: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Kasutades astmete omadusi, kirjutame võrrandi kujul 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 siis 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, st x+1 = 2, x =1. Vastus: 1.
Probleempank nr 1.
Lahendage võrrand:
Test nr 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) juurteta |
1) 7;1 2) juurteta 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test nr 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) juurteta 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Hindamismeetod.
Juureteoreem: kui funktsioon f(x) suureneb (väheneb) intervallil I, on arv a mis tahes väärtus, mille f sellel intervallil võtab, siis võrrandil f(x) = a on intervallis I üks juur.
Võrrandite lahendamisel hindamismeetodil kasutatakse seda teoreemi ja funktsiooni monotoonsuse omadusi.
Näited. Lahenda võrrandid: 1. 4x = 5 – x.
Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber 4x +x = 5.
1. kui x = 1, siis 41+1 = 5, 5 = 5 on tõene, mis tähendab, et 1 on võrrandi juur.
Funktsioon f(x) = 4x – suureneb R ja g(x) = x – suureneb R => h(x)= f(x)+g(x) suureneb R, kui suurenevate funktsioonide summa, siis x = 1 on võrrandi 4x = 5 – x ainus juur. Vastus: 1.
2.
Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber kujul 
.
1. kui x = -1, siis 
, 3 = 3 on tõene, mis tähendab, et x = -1 on võrrandi juur.
2. tõestada, et ta on ainus.
3. Funktsioon f(x) = - väheneb R-l ja g(x) = - x – väheneb R=> h(x) = f(x)+g(x) – väheneb R-l, kui summa funktsioonide vähenemine. See tähendab, et vastavalt juurteoreemile on x = -1 võrrandi ainus juur. Vastus: -1.
Probleempank nr 2. Lahenda võrrand
a) 4x + 1 =6 – x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Uute muutujate sisseviimise meetod.
Meetodit on kirjeldatud punktis 2.1. Uue muutuja sisseviimine (asendamine) viiakse tavaliselt läbi pärast võrrandi tingimuste teisendamist (lihtsustamist). Vaatame näiteid.
Näited.
R Lahendage võrrand: 1.
.
Kirjutame võrrandi teistmoodi ümber: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Lahendus. Kirjutame võrrandi teistmoodi ümber: 
Määrame https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ei sobi.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> – irratsionaalne võrrand. Pange tähele, et 
Võrrandi lahend on x = 2,5 ≤ 4, mis tähendab, et 2,5 on võrrandi juur. Vastus: 2.5.
Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber kujul ja jagame mõlemad pooled 56x+6 ≠ 0. Saame võrrandi
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Ruutvõrrandi juured on t1 = 1 ja t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Lahendus . Kirjutame võrrandi ümber kujul
ja pange tähele, et see on teise astme homogeenne võrrand.
Jagage võrrand 42x, saame 
Asendame https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Vastus: 0; 0.5.
Probleempank nr 3. Lahenda võrrand
b) 
G) 
Test nr 3 vastuste valikuga. Minimaalne tase.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) -log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) juurteta 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) juurteta 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test nr 4 vastuste valikuga. Üldine tase.
A1 | 1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0 |
A2 2x – (0,5) 2x – (0,5) x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) juured puuduvad |
5. Faktoriseerimise meetod.
1. Lahendage võrrand: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Lahendus..png" width="169" height="69"> , kust
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Lahendus. Paneme võrrandi vasakule küljele 6x sulgudest välja ja paremale poole 2x. Saame võrrandi 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Kuna 2x >0 kõigi x-ide korral, saame selle võrrandi mõlemad pooled jagada 2x-ga, kartmata lahendite kaotamist. Saame 3x = 1 - x = 0.
3. 
Lahendus. Lahendame võrrandi faktoriseerimise meetodil.
Valime binoomi ruudu 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 on võrrandi juur.
Võrrand x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x = 1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test nr 6 Üldine tase.
A1 (22x-1) (24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponentsiaalne – võimsusvõrrandid.
Eksponentvõrrandite kõrval on nn eksponentsiaal-võimsusvõrrandid, st võrrandid kujul (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Kui on teada, et f(x)>0 ja f(x) ≠ 1, siis lahendatakse võrrand, nagu ka eksponentsiaalne, võrdsustades eksponente g(x) = f(x).
Kui tingimus ei välista f(x)=0 ja f(x)=1 võimalust, siis peame eksponentsiaalvõrrandi lahendamisel neid juhtumeid arvestama.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Lahendus. x2 +2x-8 – on mõistlik iga x puhul, kuna see on polünoom, mis tähendab, et võrrand on võrdne kogusummaga
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Eksponentvõrrandid parameetritega.
1. Milliste parameetri p väärtuste korral on võrrandil 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) kordumatu lahendus?
Lahendus. Toome sisse asendus 2x = t, t > 0, siis saab võrrand (1) kujul t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Võrrandi (2) diskriminant D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Võrrandil (1) on kordumatu lahendus, kui võrrandil (2) on üks positiivne juur. See on võimalik järgmistel juhtudel.
1. Kui D = 0, st p = 1, siis on võrrand (2) kujul t2 – 2t + 1 = 0, seega t = 1, seega on võrrandil (1) kordumatu lahendus x = 0.
2. Kui p1, siis 9(p – 1)2 > 0, siis on võrrandil (2) kaks erinevat juurt t1 = p, t2 = 4p – 3. Ülesande tingimused on täidetud süsteemide hulgaga
Asendades süsteemides t1 ja t2, saame
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Lahendus. Lase 
siis on võrrand (3) kujul t2 – 6t – a = 0. (4)
Leiame parameetri a väärtused, mille puhul vähemalt üks võrrandi (4) juur vastab tingimusele t > 0.
Tutvustame funktsiooni f(t) = t2 – 6t – a. Võimalikud on järgmised juhtumid.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Juhtum 2. Võrrandil (4) on ainulaadne positiivne lahend, kui
D = 0, kui a = – 9, siis on võrrand (4) kujul (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Juhtum 3. Võrrandil (4) on kaks juurt, kuid üks neist ei rahulda ebavõrdsust t > 0. See on võimalik, kui
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Seega on a 0 korral võrrandil (4) üks positiivne juur 
. Siis on võrrandil (3) ainulaadne lahendus 
Kui< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
kui a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kui a = – 9, siis x = – 1;
kui a 0, siis
Võrdleme võrrandite (1) ja (3) lahendamise meetodeid. Pange tähele, et võrrandi (1) lahendamisel taandati ruutvõrrandiks, mille diskriminandiks on täiuslik ruut; Seega arvutati ruutvõrrandi juurte valemi abil kohe võrrandi (2) juured ja seejärel tehti nende juurte kohta järeldused. Võrrand (3) on taandatud ruutvõrrandiks (4), mille diskriminant ei ole täiuslik ruut, mistõttu on võrrandi (3) lahendamisel soovitatav kasutada ruuttrinoomi juurte asukoha teoreeme. ja graafiline mudel. Pange tähele, et võrrandit (4) saab lahendada Vieta teoreemi abil.
Lahendame keerulisemaid võrrandeid.
Ülesanne 3: lahendage võrrand 
Lahendus. ODZ: x1, x2.
Tutvustame asendust. Olgu 2x = t, t > 0, siis saab teisenduste tulemusena võrrand kujul t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Leiame a väärtused, mille puhul on vähemalt üks juur võrrand (*) rahuldab tingimust t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Vastus: kui a > – 13, a 11, a 5, siis kui a – 13,
a = 11, a = 5, siis pole juuri.
Bibliograafia.
1. Guzeev haridustehnoloogia alused.
2. Guzejevi tehnoloogia: vastuvõtust filosoofiani.
M. “Koolidirektor” nr 4 1996. a
3. Guzeev ja koolituse organisatsioonilised vormid.
4. Guzeev ja integraalse haridustehnoloogia praktika.
M. “Rahvaharidus”, 2001
5. Guzeev tunni vormidest - seminar.
Matemaatika koolis nr 2, 1987 lk 9 – 11.
6. Seleuko haridustehnoloogiad.
M. “Rahvaharidus”, 1998
7. Epiševa koolilapsed matemaatikat õppima.
M. "Valgustus", 1990
8. Ivanova valmistab ette õppetunnid - töötoad.
Matemaatika koolis nr 6, 1990 lk. 37-40.
9. Smirnovi matemaatika õpetamise mudel.
Matemaatika koolis nr 1, 1997 lk. 32-36.
10. Tarasenko praktilise töö korraldamise viisid.
Matemaatika koolis nr 1, 1993 lk. 27-28.
11. Ühest individuaalse töö liigist.
Matemaatika koolis nr 2, 1994, lk 63 – 64.
12. Koolilaste Khazankini loomingulised võimed.
Matemaatika koolis nr 2, 1989 lk. 10.
13. Scanavi. Kirjastaja, 1997
14. ja teised Algebra ja analüüsi algus. Didaktilised materjalid
15. Krivonogovi ülesanded matemaatikas.
M. “Esimene september”, 2002
16. Tšerkassov. Käsiraamat gümnaasiumiõpilastele ja
ülikoolidesse astudes. “AS T - pressikool”, 2002
17. Zhevnyak ülikoolidesse astujatele.
Minsk ja Venemaa Föderatsiooni "Ülevaade", 1996
18. Kirjalik D. Valmistume matemaatika eksamiks. M. Rolf, 1999
19. jne võrrandite ja võrratuste lahendamise õppimine.
M. "Intellekt – keskus", 2003
20. jne. EGE-ks valmistumise õppe- ja koolitusmaterjalid.
M. "Luurekeskus", 2003 ja 2004.
21 ja teised. CMM-i valikud. Vene Föderatsiooni kaitseministeeriumi katsekeskus, 2002, 2003.
22. Goldbergi võrrandid. "Kvant" nr 3, 1971
23. Volovitš M. Kuidas edukalt matemaatikat õpetada.
Matemaatika, 1997 nr 3.
24 Okunev tunni eest, lapsed! M. Haridus, 1988
25. Yakimanskaya - orienteeritud õpe koolis.
26. Liimets tunnitöö. M. Teadmised, 1975
Selles õppetükis käsitleme keerukamate eksponentsiaalvõrrandite lahendamist ja tuletame meelde eksponentsiaalfunktsiooni teoreetilisi põhiprintsiipe.
1. Eksponentfunktsiooni definitsioon ja omadused, meetodid lihtsaimate eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks
Tuletagem meelde eksponentsiaalfunktsiooni määratlust ja põhiomadusi. Kõigi eksponentsiaalvõrrandite ja võrratuste lahendus põhineb neil omadustel.
Eksponentfunktsioon on funktsioon vormist , kus alus on aste ja siin x sõltumatu muutuja argument; y on sõltuv muutuja, funktsioon.
Riis. 1. Eksponentfunktsiooni graafik
Graafik näitab kasvavaid ja kahanevaid eksponente, illustreerides eksponentsiaalfunktsiooni, mille alus on vastavalt suurem kui üks ja väiksem kui üks, kuid suurem kui null.
Mõlemad kõverad läbivad punkti (0;1)
Eksponentfunktsiooni omadused:
Domeen: ;
Väärtuste vahemik: ;
Funktsioon on monotoonne, suureneb koos, väheneb koos.
Monotoonne funktsioon võtab kõik selle väärtused ühe argumendi väärtuse alusel.
Kui argument suureneb miinusest lõpmatuseni, suureneb funktsioon nullist plusslõpmatuseni. Vastupidi, kui argument suureneb miinusest plusslõpmatuseni, väheneb funktsioon lõpmatusest nullini, mitte kaasav.
2. Standardsete eksponentsiaalvõrrandite lahendamine
Tuletame teile meelde, kuidas lahendada lihtsamaid eksponentsiaalvõrrandeid. Nende lahendus põhineb eksponentsiaalfunktsiooni monotoonsusel. Peaaegu kõik keerulised eksponentsiaalvõrrandid saab taandada sellisteks võrranditeks.
Võrdsete alustega eksponentide võrdsus tuleneb eksponentsiaalfunktsiooni omadusest, nimelt selle monotoonsusest.
Lahenduse meetod:
Võrdsustage kraadide alused;
Võrdsusta eksponendid.
Liigume edasi keerukamate eksponentsiaalvõrranditega; meie eesmärk on taandada igaüks neist kõige lihtsamateks.
Vabaneme vasakpoolsest juurest ja toome kraadid samale alusele:
Keerulise eksponentsiaalvõrrandi taandamiseks lihtsaimaks kasutatakse sageli muutujate asendamist.
Kasutame võimsuse omadust:
Tutvustame asendust. Las siis olla 
Korrutame saadud võrrandi kahega ja liigutame kõik liikmed vasakule:
Esimene juur ei rahulda y väärtuste vahemikku, seega jätame selle kõrvale. Saame:
Vähendame kraadid samale indikaatorile:
Tutvustame asendust:
Las siis olla 
. Sellise asendamise korral on ilmne, et y omandab rangelt positiivsed väärtused. Saame:
Me teame, kuidas selliseid ruutvõrrandeid lahendada, saame vastuse üles kirjutada:
Veendumaks, et juured leitakse õigesti, saab kontrollida Vieta teoreemi abil, st leida juurte ja nende korrutise summa ning võrrelda neid võrrandi vastavate kordajatega.
Saame:
3. Teise astme homogeensete eksponentsiaalvõrrandite lahendamise metoodika
Uurime järgmist olulist tüüpi eksponentsiaalvõrrandeid:
Seda tüüpi võrrandeid nimetatakse funktsioonide f ja g suhtes teise astme homogeenseteks. Selle vasakul küljel on ruudukujuline trinoom f suhtes parameetriga g või ruuttrinoom g suhtes parameetriga f.
Lahenduse meetod:
Seda võrrandit saab lahendada ruutvõrrandina, kuid lihtsam on seda teha teisiti. Kaaluda tuleb kahte juhtumit:
Esimesel juhul saame
Teisel juhul on meil õigus jagada kõrgeima astmega ja saada:
On vaja sisse viia muutujate muutus, saame ruutvõrrandi y jaoks:
Pangem tähele, et funktsioonid f ja g võivad olla mis tahes, kuid meid huvitab juhtum, kui need on eksponentsiaalsed funktsioonid.
4. Näited homogeensete võrrandite lahendamisest
Liigutame kõik terminid võrrandi vasakule poole:
Kuna eksponentsiaalfunktsioonid omandavad rangelt positiivsed väärtused, on meil õigus võrrandit kohe jagada, arvestamata juhul, kui:
Saame:
Tutvustame asendust: 
(vastavalt eksponentsiaalfunktsiooni omadustele)
Saime ruutvõrrandi:
Juured määrame Vieta teoreemi abil:
Esimene juur ei rahulda y väärtuste vahemikku, jätame selle kõrvale, saame:
Kasutame kraadide omadusi ja taandame kõik kraadid lihtsateks alusteks:
Funktsioone f ja g on lihtne märgata:
Kuna eksponentsiaalfunktsioonid omandavad rangelt positiivsed väärtused, on meil õigus võrrand kohe jagada , arvestamata juhtumit, kui .
Minge meie veebisaidi YouTube'i kanalile, et olla kursis kõigi uute videotundidega.
Kõigepealt meenutagem võimsuste põhivalemeid ja nende omadusi.
Arvu korrutis a esineb enda peal n korda, saame selle avaldise kirjutada kujul a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Võimsuse või eksponentsiaalvõrrandid– need on võrrandid, milles muutujad on astmetes (või astendajates) ja alus on arv.
Näited eksponentsiaalvõrranditest:
Selles näites on number 6 alus; see on alati allosas ja muutuja x aste või näitaja.
Toome rohkem näiteid eksponentsiaalvõrrandite kohta.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0
Vaatame nüüd, kuidas eksponentsiaalvõrrandid lahendatakse?
Võtame lihtsa võrrandi:
2 x = 2 3
Selle näite saab lahendada isegi teie peas. On näha, et x=3. Lõppude lõpuks, selleks, et vasak ja parem külg oleksid võrdsed, peate x asemel panema numbri 3.
Nüüd vaatame, kuidas seda otsust vormistada:
2 x = 2 3
x = 3
Sellise võrrandi lahendamiseks eemaldasime identsed põhjused(ehk kahekesi) ja pani kirja, mis alles jäi, need on kraadid. Saime vastuse, mida otsisime.
Nüüd teeme oma otsuse kokkuvõtte.
Algoritm eksponentsiaalvõrrandi lahendamiseks:
1. Vaja kontrollida sama kas võrrandil on alused paremal ja vasakul. Kui põhjused pole samad, otsime selle näite lahendamise võimalusi.
2. Kui alused muutuvad samaks, võrdsustama kraadi ja lahendage saadud uus võrrand.
Vaatame nüüd mõnda näidet:
Alustame millestki lihtsast.
Vasakul ja paremal küljel olevad alused on võrdsed arvuga 2, mis tähendab, et saame aluse kõrvale jätta ja nende kraadid võrdsustada.
x+2=4 Saadakse kõige lihtsam võrrand.
x=4–2
x=2
Vastus: x=2
Järgmises näites näete, et alused on erinevad: 3 ja 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Esiteks liigutage üheksa paremale, saame:
Nüüd peate tegema samad alused. Teame, et 9=3 2. Kasutame astmevalemit (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Saame 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Nüüd on selge, et vasakul ja paremal küljel on alused samad ja võrdsed kolmega, mis tähendab, et saame need kõrvale jätta ja kraadid võrdsustada.
3x=2x+16 saame lihtsaima võrrandi
3x - 2x = 16
x=16
Vastus: x=16.
Vaatame järgmist näidet:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Kõigepealt vaatame aluseid, aluseid kaks ja neli. Ja me vajame, et need oleksid ühesugused. Teisendame neli, kasutades valemit (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Ja me kasutame ka ühte valemit a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Lisa võrrandile:
2 2 x 2 4 – 10 2 2 x = 24
Samadel põhjustel tõime näite. Aga meid häirivad teised numbrid 10 ja 24. Mida nendega peale hakata? Kui vaatate tähelepanelikult, näete, et vasakul küljel on meil 2 2x kordamine, siin on vastus - saame sulgudest välja panna 2 2x:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Arvutame sulgudes oleva avaldise:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Jagame kogu võrrandi 6-ga:
Kujutame ette 4 = 2 2:
2 2x = 2 2 alust on samad, jätame need kõrvale ja võrdsustame kraadid.
2x = 2 on kõige lihtsam võrrand. Jagage see 2-ga ja saame
x = 1
Vastus: x = 1.
Lahendame võrrandi:
9 x – 12*3 x +27= 0
Muutame:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Saame võrrandi:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Meie alused on samad, võrdsed kolmega. Selles näites näete, et esimesel kolmel on kraad kaks korda (2x) kui teisel (ainult x). Sel juhul saate lahendada asendusmeetod. Asendame arvu väikseima astmega:
Siis 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Asendame võrrandis kõik x astmed t-ga:
t 2 – 12t+27 = 0
Saame ruutvõrrandi. Diskriminandi kaudu lahendades saame:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t2 = 3
Tulles tagasi muutuja juurde x.
Võtke t 1:
t 1 = 9 = 3 x
See on,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Leiti üks juur. Otsime teist alates t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastus: x 1 = 2; x 2 = 1.
Veebilehel saad esitada kõik tekkinud küsimused rubriigis ABI OTSUSTADA, vastame Sulle kindlasti.
Liituge grupiga