Avaldamise kuupäev: 2016-03-23
Lühike kirjeldus: ...
NÄITED VÕRRANDITE LAHENDAMISEKS MÕNE ORIGINAALTEHNIKA KASUTAMISEKS.
1
. Irratsionaalsete võrrandite lahendamine.
Asendusmeetod.
1.1.1 Lahenda võrrand .
Pange tähele, et x märgid radikaali all on erinevad. Tutvustame tähistust
, .
Siis
Teostame võrrandi mõlema poole terminipõhise liitmise.
Ja meil on võrrandisüsteem
Sest a + b = 4, siis
Seega: 9 – x = 8 x = 1. Vastus: x = 1.
1.1.2. Lahenda võrrand .
Tutvustame järgmist tähistust: , ; , .
Tähendab:
Lisades võrrandite vasaku ja parema külje termini kaupa, saame .
Ja meil on võrrandisüsteem
a + b = 2, , , ,
Tuleme tagasi võrrandisüsteemi juurde:
, .
Olles lahendanud võrrandi (ab) jaoks, saame ab = 9, ab = -1 (-1 kõrvaline juur, sest , .).
Sellel süsteemil pole lahendeid, mis tähendab, et ka algsel võrrandil pole lahendust.
Vastus: lahendusi pole.
Lahendage võrrand: .
Tutvustame tähistust , kus . Siis,.
, ,
Vaatleme kolme juhtumit:
1) . 2) . 3) .
A + 1 - a + 2 = 1, a - 1 - a + 2 = 1, a - 1 + a - 2 = 1, a = 1, 1 [ 0;1). [ 1 ; 2). a = 2.
Lahendus: [ 1 ; 2].
Kui , See , , .
Vastus: .
1.2. Vasaku ja parema külje hindamise meetod (majorantne meetod).
Peamine meetod on meetod funktsiooni piirituse leidmiseks.
Majoriseerimine – funktsiooni piirpunktide leidmine. M – majorante.
Kui meil on f(x) = g(x) ja ODZ on teada ja kui
, , See
Lahendage võrrand: .
ODZ: .
Vaatame võrrandi paremat külge.
Tutvustame funktsiooni. Graafik on parabool tipuga A(3; 2).
Funktsiooni y(3) väikseim väärtus = 2, st.
Vaatame võrrandi vasakut külge.
Tutvustame funktsiooni. Tuletist kasutades ei ole keeruline leida x (2; 4) diferentseeruva funktsiooni maksimumi.
Kell ,
X=3.
G` + -
2 3 4
g(3) = 2.
Meil on .
Selle tulemusena siis
Loome ülaltoodud tingimustel võrrandisüsteemi:
Lahendades süsteemi esimese võrrandi, saame x = 3. Asendades selle väärtuse teise võrrandiga, oleme veendunud, et x = 3 on süsteemi lahendus.
Vastus: x = 3.
1.3. Funktsiooni monotoonsuse rakendamine.
1.3.1. Lahendage võrrand:
DZ kohta: , sest .
On teada, et suurenevate funktsioonide summa on kasvav funktsioon.
Vasak pool on kasvav funktsioon. Parem pool on lineaarfunktsioon (k=0). Graafiline tõlgendus viitab sellele, et on ainult üks juur. Leiame selle valiku teel, meil on x = 1.
Tõestus:
Oletame, et juur x 1 on suurem kui 1, siis
Sest x 1 > 1,
Me järeldame, et ühest suuremat juurt pole.
Samamoodi saab tõestada, et pole ühtegi juurt vähem kui üks.
See tähendab, et x=1 on ainus juur.
Vastus: x = 1.
1.3.2. Lahendage võrrand:
Umbes DZ: [ 0,5; + ), sest need. .
Teisendame võrrandi,
Vasak pool on kasvav funktsioon (kasvavate funktsioonide korrutis), parem pool on lineaarfunktsioon (k = 0). Geomeetriline tõlgendus näitab, et algsel võrrandil peab olema üks juur, mille saab leida valikuga, x = 7.
Eksam:
Saab tõestada, et muid juuri pole (vt ülaltoodud näidet).
Vastus: x = 7.
2. Logaritmvõrrandid.
Vasaku ja parema külje hindamise meetod.
2.1.1. Lahenda võrrand: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.
Andkem hinnang võrrandi vasakpoolsele küljele.
2x - x 2 + 15 = - (x 2 - 2x - 15) = - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) = - (x - 1) 2 + 16 16.
Seejärel logi 2 (2x - x 2 + 15) 4.
Hindame võrrandi paremat külge.
x 2 - 2x + 5 = (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1) 2 + 4 4.
Algsel võrrandil saab olla lahendus ainult siis, kui mõlemad pooled on võrdsed neljaga.
Tähendab
Vastus: x = 1.
Iseseisvaks tööks.
2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) = x 2 - 6x + 11 Vastus: x = 3.
2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 Vastus: x = 6.
2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) = x 2 - 2x + 2 Vastus: x = 1.
2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) = x 2 - 6x + 11 Vastus: x = 3.
2.2. Funktsiooni monotoonsuse kasutamine, juurte valimine.
2.2.1. Lahenda võrrand: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.
Teeme asenduseks 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Siis x 2 - 2x + 5 = 20 - t, mis tähendab
log 2 t = 20 - t .
Funktsioon y = log 2 t kasvab ja funktsioon y = 20 - t väheneb. Geomeetriline tõlgendus teeb meile selgeks, et algsel võrrandil on üks juur, mida on lihtne leida, valides t = 16.
Olles lahendanud võrrandi 2x - x 2 + 15 = 16, leiame, et x = 1.
Kontrollides veendume, et valitud väärtus on õige.
Vastus: x = 1.
2.3. Mõned "huvitavad" logaritmilised võrrandid.
2.3.1. Lahenda võrrand .
ODZ: (x - 15) cosx > 0.
Liigume edasi võrrandi juurde
, , ,
Liigume edasi samaväärse võrrandi juurde
(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,
x - 15 = 0 või cos 2 x = 1,
x = 15. cos x = 1 või cos x = -1,
x = 2 k, k Z . x = + 2 l, l Z.
Kontrollime leitud väärtusi, asendades need ODZ-ga.
1) kui x = 15, siis (15–15) cos 15 > 0,
0 > 0, vale.
x = 15 ei ole võrrandi juur.
2) kui x = 2 k, k Z, siis (2 k - 15) l > 0,
2 k > 15, pange tähele, et 15 5 . Meil on
k > 2,5, k Z,
k = 3, 4, 5, ….
3) kui x = + 2 l, l Z, siis ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,
+ 2 l< 15,
2 l< 15 - , заметим, что 15 5 .
Meil on: l< 2,
l = 1, 0, -1, -2,….
Vastus: x = 2 k (k = 3,4,5,6,...); x = +2 1(1 = 1,0, -1,- 2,…).
3. Trigonomeetrilised võrrandid.
3.1. Meetod võrrandi vasaku ja parema külje hindamiseks.
4.1.1. Lahendage võrrand cos3x cos2x = -1.
Esimene viis..
0,5 (maks x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.
Kuna cos x - 1, cos 5 x - 1, järeldame, et cos x+ cos 5 x> -2, siit
järgib võrrandisüsteemi
c os x = -1,
cos 5 x = - 1.
Olles lahendanud võrrandi cos x= -1, saame X= + 2 k, kus k Z.
Need väärtused X on ka võrrandi cos 5 lahendid x= -1, sest
cos 5 x= cos 5 ( + 2 k) = cos ( + 4 + 10 k) = -1.
Seega X= + 2 k, kus k Z on kõik süsteemi ja seega ka algvõrrandi lahendid.
Vastus: X= (2k + 1), k Z.
Teine viis.
Võib näidata, et algne võrrand hõlmab süsteemide komplekti
cos 2 x = - 1,
cos 3 x = 1.
cos 2 x = 1,
cos 3 x = - 1.
Olles lahendanud iga võrrandisüsteemi, leiame juurte liidu.
Vastus: x = (2 k + 1), k Z.
Iseseisvaks tööks.
Lahendage võrrandid:
3.1.2. 2 kui 3x + 4 sin x/2 = 7. Vastus: lahendusi pole.
3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Vastus: lahendusi pole.
3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Vastus: x = 2 k, k Z.
3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Vastus: x = /2 + k, k Z.
3.1.6. cos 8 x + patt 7 x = 1. Vastus: x = m, m Z; x = /2 + 2 n, n Z.
Munitsipaalharidusasutus
"Kuedino 2. Keskkool"
Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid
Lõpetanud: Olga Egorova,
Juhendaja:
Õpetaja
matemaatika,
kõrgeim kvalifikatsioon
Sissejuhatus....……………………………………………………………………………………… 3
Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid…………………………………6
1.1 C osa irratsionaalvõrrandite lahendamine……….….….…………………21
2. jagu. Individuaalsed ülesanded…………………………………………….....………...24
Vastused………………………………………………………………………………………….25
Bibliograafia…….…………………………………………………………………….26
Sissejuhatus
Põhikoolis omandatud matemaatiline haridus on üldhariduse ja tänapäeva inimese üldkultuuri oluline komponent. Peaaegu kõik, mis tänapäeva inimest ümbritseb, on kõik kuidagi seotud matemaatikaga. Ja hiljutised edusammud füüsikas, inseneriteaduses ja infotehnoloogias ei jäta kahtlust, et asjade seis jääb ka tulevikus samaks. Seetõttu taandub paljude praktiliste probleemide lahendamine erinevat tüüpi võrrandite lahendamisele, mida peate õppima lahendama. Üks neist tüüpidest on irratsionaalvõrrandid.
Irratsionaalsed võrrandid
Võrrandit, mis sisaldab tundmatut (või tundmatu ratsionaalset algebralist avaldist) radikaalimärgi all, nimetatakse irratsionaalne võrrand. Elementaarmatemaatikas leitakse irratsionaalsete võrrandite lahendused reaalarvude hulgast.
Iga irratsionaalse võrrandi saab taandada ratsionaalseks algebraliseks võrrandiks, kasutades algebralisi elementaartehteid (korrutamine, jagamine, võrrandi mõlema poole tõstmine täisarvuni). Tuleb meeles pidada, et saadud ratsionaalne algebraline võrrand võib osutuda mitteekvivalentseks algse irratsionaalse võrrandiga, nimelt võib see sisaldada "lisa" juuri, mis ei ole algse irratsionaalse võrrandi juured. Seetõttu tuleb pärast saadud ratsionaalse algebralise võrrandi juurte leidmist kontrollida, kas kõik ratsionaalse võrrandi juured on irratsionaalvõrrandi juured.
Üldjuhul on raske näidata ühtki universaalset meetodit mis tahes irratsionaalse võrrandi lahendamiseks, kuna on soovitav, et algse irratsionaalvõrrandi teisenduste tulemusena ei oleks tulemuseks lihtsalt mingi ratsionaalne algebraline võrrand mis on antud irratsionaalvõrrandi juured, vaid ratsionaalne algebraline võrrand, mis on moodustatud väikseima võimaliku astme polünoomidest. Soov saada võimalikult väikese astmega polünoomidest moodustatud ratsionaalne algebraline võrrand on üsna loomulik, kuna ratsionaalse algebralise võrrandi kõigi juurte leidmine iseenesest võib osutuda üsna keeruliseks ülesandeks, mille saame täielikult lahendada ainult väga piiratud arvul juhtudel.
Irratsionaalvõrrandite tüübid
Paarisastmega irratsionaalsete võrrandite lahendamine tekitab alati rohkem probleeme kui paaritu astmega irratsionaalsete võrrandite lahendamine. Paaritu astmega irratsionaalsete võrrandite lahendamisel OD ei muutu. Seetõttu käsitleme allpool irratsionaalseid võrrandeid, mille aste on paaris. Irratsionaalseid võrrandeid on kahte tüüpi:
2.
.
Vaatleme neist esimest.
ODZ võrrandid: f(x)≥ 0. ODZ-s on võrrandi vasak pool alati mittenegatiivne – seega saab lahendus eksisteerida ainult siis, kui g(x)≥ 0. Sel juhul on võrrandi mõlemad pooled mittenegatiivsed ja astendamine 2 n annab samaväärse võrrandi. Me saame sellest aru
Pöörame tähelepanu asjaolule, et antud juhul ODZ tehakse automaatselt ja te ei pea seda kirjutama, vaid tingimuseg(x) ≥ 0 tuleb kontrollida.
Märge:
See on väga oluline samaväärsuse tingimus. Esiteks vabastab see õpilase uurimisvajadusest ning pärast lahenduste leidmist kontrollige tingimust f(x) ≥ 0 – radikaalavaldise mittenegatiivsust. Teiseks keskendub see seisukorra kontrollimiseleg(x) ≥ 0 – parema poole mittenegatiivsus. Peale ruudustamist on võrrand ju lahendatud 
st lahendatakse kaks võrrandit korraga (kuid arvtelje erinevatel intervallidel):
1. - kus g(x)≥ 0 ja
2. 
- kus g(x) ≤ 0.
Samal ajal käituvad paljud ODZ-i leidmise kooliharjumusest selliste võrrandite lahendamisel täpselt vastupidiselt:
a) pärast lahenduste leidmist kontrollivad nad tingimust f(x) ≥ 0 (mis on automaatselt täidetud), tehes samas aritmeetilisi vigu ja saades vale tulemuse;
b) ignoreerida tingimustg(x) ≥ 0 - ja jällegi võib vastus valeks osutuda.
Märge: Samaväärsuse tingimus on eriti kasulik trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, kus ODZ leidmine hõlmab trigonomeetriliste võrratuste lahendamist, mis on palju keerulisem kui trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. Paaristingimuste kontrollimine trigonomeetrilistes võrrandites g(x)≥ 0 ei ole alati lihtne teha.
Vaatleme teist tüüpi irratsionaalseid võrrandeid.
.
Olgu võrrand antud . Tema ODZ:
ODZ-s on mõlemad küljed mittenegatiivsed ja ruudustamisel saadakse samaväärne võrrand f(x) =g(x). Seetõttu ODZ-is või
Selle lahendusmeetodi puhul piisab, kui kontrollida ühe funktsiooni mittenegatiivsust - saate valida lihtsama.
Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid
1 meetod. Radikaalidest vabanemine, tõstes võrrandi mõlemad pooled järjestikku vastava loomuliku võimsuseni
Kõige sagedamini kasutatav meetod irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks on radikaalide kõrvaldamise meetod, tõstes võrrandi mõlemad pooled järjestikku sobiva loomuliku võimsuseni. Tuleb meeles pidada, et kui võrrandi mõlemad pooled tõstetakse paaritu astmeni, on saadud võrrand samaväärne algse astmega ja kui võrrandi mõlemad pooled tõstetakse paaris astmeni, on saadud võrrand üldiselt rääkides ei ole algse võrrandiga samaväärne. Seda saab hõlpsasti kontrollida, tõstes võrrandi mõlemad pooled mis tahes ühtlase astmeni. Selle toimingu tulemuseks on võrrand 
, mille lahenduste hulk on lahendushulkade liit: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Vaatamata sellele puudusele on võrrandi mõlema poole tõstmine mõne (sageli isegi) astmeni kõige levinum protseduur irratsionaalse võrrandi taandamiseks ratsionaalseks võrrandiks.
Lahendage võrrand:
Kus 
- mõned polünoomid. Kuna reaalarvude komplektis on juure ekstraheerimise toimingu määratlus, on tundmatu lubatud väärtused https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.
Kuna võrrandi 1 mõlemad pooled olid ruudus, võib selguda, et kõik võrrandi 2 juured ei ole algse võrrandi lahendid, juurte kontrollimine on vajalik.
Lahendage võrrand:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
Kuubikud võrrandi mõlemad pooled, saame
Arvestades, et https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(viimasel võrrandil võivad olla juured, mis üldiselt ei ole võrrand 
).
Kuubime selle võrrandi mõlemad pooled: . Kirjutame võrrandi ümber kujul x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Kontrollides teeme kindlaks, et x1 = 0 on võrrandi (-2 ≠ 1) kõrvaljuur ja x2 = 1 rahuldab originaali. võrrand.
Vastus: x = 1.
2. meetod. Kõrvaloleva tingimuste süsteemi asendamine
Ühtlase järjestusega radikaale sisaldavate irratsionaalsete võrrandite lahendamisel võivad vastustesse ilmuda kõrvalised juured, mida pole alati lihtne tuvastada. Kõrvaliste juurte tuvastamise ja kõrvaldamise hõlbustamiseks asendatakse see irratsionaalsete võrrandite lahendamisel kohe külgneva tingimuste süsteemiga. Täiendavad ebavõrdsused süsteemis võtavad tegelikult arvesse lahendatava võrrandi ODZ-d. ODZ leiate eraldi ja saate seda hiljem arvesse võtta, kuid eelistatav on kasutada segatingimuste süsteeme: võrrandi lahendamisel on väiksem oht midagi unustada või mitte arvestada. Seetõttu on mõnel juhul ratsionaalsem kasutada segasüsteemidele ülemineku meetodit.
Lahendage võrrand: 
Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
See võrrand on samaväärne süsteemiga
Vastus: võrrandil pole lahendeid.
3. meetod. N-nda juure omaduste kasutamine
Irratsionaalvõrrandite lahendamisel kasutatakse n-nda juure omadusi. Aritmeetiline juur n- th kraadi hulgast A helistada mittenegatiivsele numbrile n- i, kelle võimsus on võrdne A. Kui n – isegi( 2n), siis a ≥ 0, vastasel juhul juur puudub. Kui n – kummaline( 2 n+1), siis a on suvaline ja = - ..gif" width="45" height="19"> Seejärel:
2. 
3. 
4. 
5. 
Nende valemite formaalselt (määratletud piiranguid arvesse võtmata) rakendamisel tuleb meeles pidada, et nende vasaku ja parema osa VA võib olla erinev. Näiteks on avaldis defineeritud f ≥ 0 Ja g ≥ 0, ja väljend on justkui f ≥ 0 Ja g ≥ 0, ja koos f ≤ 0 Ja g ≤ 0.
Iga valemi 1–5 puhul (määratletud piiranguid arvesse võtmata) võib selle parema külje ODZ olla laiem kui vasaku ODZ. Sellest järeldub, et võrrandi teisendused valemite 1–5 formaalse kasutamisega "vasakult paremale" (nagu need on kirjutatud) viivad võrrandini, mis on algse võrrandi tagajärg. Sel juhul võivad ilmneda algse võrrandi kõrvalised juured, seega on kontrollimine algse võrrandi lahendamisel kohustuslik samm.
Võrrandite teisendamine valemite 1-5 formaalse kasutamisega "paremalt vasakule" on vastuvõetamatu, kuna on võimalik hinnata algse võrrandi OD ja sellest tulenevalt juurte kadumist.
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
mis on algse tagajärg. Selle võrrandi lahendamine taandub võrrandite komplekti lahendamiseks 
.
Selle hulga esimesest võrrandist leiame https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> kust me leiame. Seega juured see võrrand võib olla ainult numbrid (-1) ja (-2).Kontroll näitab, et mõlemad leitud juured vastavad sellele võrrandile.
Vastus: -1,-2.
Lahenda võrrand:.
Lahendus: identiteetide põhjal asendage esimene termin sõnaga . Pange tähele, et kahe mittenegatiivse arvu summana vasakul küljel. "Eemaldage" moodul ja pärast sarnaste terminite toomist lahendage võrrand. Kuna , saame võrrandi . Alates 
, seejärel https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">
Vastus: x = 4,25.
4. meetod Uute muutujate kasutuselevõtt
Teiseks näiteks irratsionaalvõrrandi lahendamiseks on uute muutujate sisseviimise meetod, mille suhtes saadakse kas lihtsam irratsionaalvõrrand või ratsionaalvõrrand.
Irratsionaalsete võrrandite lahendamine, asendades võrrandi selle tagajärjega (millele järgneb juurte kontrollimine), saab teha järgmiselt:
1. Leidke algse võrrandi ODZ.
2. Liigu võrrandilt selle tagajärje juurde.
3. Leia saadud võrrandi juured.
4. Kontrollige, kas leitud juured on algvõrrandi juured.
Kontroll on järgmine:
A) kontrollitakse iga leitud juure kuulumist algvõrrandisse. Need juured, mis ei kuulu ODZ-i, on algse võrrandi kõrval.
B) iga algvõrrandi ODZ-s sisalduva juure puhul kontrollitakse, kas iga algvõrrandi lahendamise käigus tekkinud ja paarisastmeni tõstetud võrrandi vasakul ja paremal küljel on samad märgid. Need juured, mille paarisastmeks tõstetud võrrandi osadel on erinevad märgid, on algvõrrandi kõrval.
C) otsese asendamise teel kontrollitakse ainult neid juuri, mis kuuluvad algvõrrandi ODZ-sse ja mille puhul iga algvõrrandi lahendamise käigus tekkinud ja paarisastmeni tõstetud võrrandi mõlemal poolel on samad märgid. algne võrrand.
See määratud kontrollimeetodiga lahendusmeetod võimaldab vältida tülikaid arvutusi juhul, kui viimase võrrandi iga leitud juur asendatakse otse algse juurtega.
Lahendage irratsionaalne võrrand:
.
Selle võrrandi kehtivate väärtuste komplekt on:
Pannes , pärast asendamist saame võrrandi
või samaväärne võrrand
mida võib vaadelda ruutvõrrandina suhtes. Selle võrrandi lahendamisel saame
.
Seetõttu on algse irratsionaalvõrrandi lahendushulk kahe järgmise võrrandi lahendushulkade liit:
, .
Tõstades mõlema võrrandi mõlemad pooled kuubiks, saame kaks ratsionaalset algebralist võrrandit:
, .
Neid võrrandeid lahendades leiame, et sellel irratsionaalsel võrrandil on üks juur x = 2 (kontrollida pole vaja, kuna kõik teisendused on samaväärsed).
Vastus: x = 2.
Lahendage irratsionaalne võrrand:
Tähistame 2x2 + 5x – 2 = t. Seejärel saab algne võrrand kuju 
. Saadud võrrandi mõlemad pooled ruudustades ja sarnased liikmed tuues saame võrrandi, mis on eelmise tagajärg. Sellest leiame t = 16.
Tulles tagasi tundmatu x juurde, saame võrrandi 2x2 + 5x – 2 = 16, mis on algse tagajärg. Kontrollides oleme veendunud, et selle juured x1 = 2 ja x2 = - 9/2 on algvõrrandi juured.
Vastus: x1 = 2, x2 = -9/2.
5 meetod. Võrrandi identne teisendus
Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel ei tohiks alustada võrrandi lahendamist võrrandite mõlema poole tõstmisega loomuliku astmeni, püüdes taandada irratsionaalvõrrandi lahendit ratsionaalse algebralise võrrandi lahendiks. Kõigepealt peame nägema, kas võrrandist on võimalik teha mõni identne teisendus, mis võib selle lahendamist oluliselt lihtsustada.
Lahendage võrrand:
Selle võrrandi vastuvõetavate väärtuste komplekt: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Jagame selle võrrandi .
.
Saame:
Kui a = 0, ei ole võrrandil lahendeid; kui võrrandit saab kirjutada kujul
sest sellel võrrandil pole lahendeid, kuna ühegi jaoks X, mis kuulub võrrandi lubatud väärtuste hulka, on võrrandi vasakul küljel olev avaldis positiivne;
kui võrrandil on lahendus
Võttes arvesse, et võrrandi lubatavate lahendite hulk määratakse tingimusega , saame lõpuks:
Selle irratsionaalse võrrandi lahendamisel on https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> võrrandi lahenduseks. Kõigi muude väärtuste puhul X võrrandil pole lahendeid.
NÄIDE 10:
Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
Süsteemi ruutvõrrandi lahendamine annab kaks juurt: x1 = 1 ja x2 = 4. Saadud juurtest esimene ei rahulda süsteemi ebavõrdsust, seega x = 4.
Märkmed
1) Identsete teisenduste läbiviimine võimaldab teil teha ilma kontrollimiseta.
2) Ebavõrdsus x – 3 ≥0 viitab identiteedi teisendustele, mitte võrrandi definitsioonipiirkonnale.
3) Võrrandi vasakul küljel on kahanev funktsioon ja selle võrrandi paremal küljel on kasvav funktsioon. Vähenevate ja suurenevate funktsioonide graafikutel nende definitsioonivaldkondade ristumiskohas võib olla ainult üks ühine punkt. Ilmselgelt on meie puhul x = 4 graafikute lõikepunkti abstsiss.
Vastus: x = 4.
6 meetod. Funktsioonide valdkonna kasutamine võrrandite lahendamiseks
See meetod on kõige tõhusam võrrandite lahendamisel, mis sisaldavad funktsioone https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> ja selle ala määratlusi (f)..gif" width="53" height="21"> 
.gif" width="88" height="21 src=">, siis peate kontrollima, kas võrrand on intervalli lõpus õige ja kas< 0, а b >0, siis on vajalik kontroll intervallidega (a;0) Ja . E(y) väikseim täisarv on 3.
Vastus: x = 3.
8 meetod. Tuletise rakendamine irratsionaalvõrrandite lahendamisel
Kõige tavalisem meetod võrrandite lahendamiseks tuletismeetodi abil on hinnangumeetod.
NÄIDE 15:
Lahendage võrrand: (1)
Lahendus: alates https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> või (2). Mõelge funktsioonile 
..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> üldse ja seetõttu suureneb. Seetõttu võrrand 
on samaväärne võrrandiga, mille juur on algse võrrandi juur.
Vastus:
NÄIDE 16:
Lahendage irratsionaalne võrrand:
Funktsiooni domeeniks on segment. Leiame segmendis selle funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused. Selleks leiame funktsiooni tuletise f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Leiame funktsiooni väärtused f(x) segmendi otstes ja punktis: Nii, Aga ja seega võrdsus on võimalik ainult siis, kui https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. Kontrollimine näitab, et arv 3 on selle võrrandi juur.
Vastus: x = 3.
9 meetod. Funktsionaalne
Eksamitel palutakse teil mõnikord lahendada võrrandeid, mille saab kirjutada kujul , kus on funktsioon.
Näiteks mõned võrrandid: 1) 
2) 
. Tõepoolest, esimesel juhul 
, teisel juhul 
. Seetõttu lahendage irratsionaalvõrrandid järgmise väitega: kui funktsioon on hulgal rangelt kasvav X ja mis tahes , siis võrrandid jne on hulgal samaväärsed X .
Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> suureneb komplektis rangelt R, ja https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > millel on üks juur.Seetõttu on ka sellega ekvivalentsel võrrandil (1) üks juur
Vastus: x = 3.
NÄIDE 18:
Lahendage irratsionaalne võrrand: 
(1)
Ruutjuure definitsiooni põhjal saame, et kui võrrandil (1) on juured, siis kuuluvad need hulka https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" height="47" >.(2)
Võtke arvesse, et funktsioon https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> suureneb selles komplektis rangelt mis tahes ..gif" width="100" korral kõrgus ="41">, millel on üks juur Seetõttu ja selle ekvivalent komplektis X võrrandil (1) on üks juur
Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
Lahendus: see võrrand on samaväärne segasüsteemiga
1.1 Irratsionaalvõrrandid
Matemaatika sisseastumiseksamitel leidub sageli irratsionaalseid võrrandeid, kuna nende abil on lihtne diagnoosida teadmisi sellistest mõistetest nagu ekvivalentteisendused, määratluspiirkond ja muud. Irratsionaalvõrrandi lahendamise meetodid põhinevad tavaliselt võimalusel asendada (mõne teisenduse abil) irratsionaalne võrrand ratsionaalsega, mis on kas samaväärne algse irratsionaalvõrrandiga või on selle tagajärg. Kõige sagedamini tõstetakse võrrandi mõlemad pooled samale astmele. Samaväärsust ei rikuta, kui mõlemad pooled tõstetakse paaritu astmeni. Vastasel juhul on vaja kontrollida leitud lahendusi või hinnata võrrandi mõlema poole märki. Kuid on ka teisi tehnikaid, mis võivad ebaratsionaalsete võrrandite lahendamisel olla tõhusamad. Näiteks trigonomeetriline asendusmeetod.
Näide 1: lahendage võrrand
Sellest ajast. Seetõttu saame panna 
. Võrrand saab kuju
Paneme siis kuhu
.
.
Vastus: 
.
Algebraline lahendus
Sellest ajast 
. Tähendab, 
, et saaksite moodulit laiendada
.
Vastus: .
Võrrandi algebraline lahendamine eeldab häid oskusi identiteedi teisenduste läbiviimisel ja samaväärsete üleminekute kompetentset käsitlemist. Kuid üldiselt on mõlemad otsustusmeetodid samaväärsed.
Näide 2: lahendage võrrand
.
Lahendus trigonomeetrilise asendusega
Võrrandi definitsioonipiirkonna annab ebavõrdsus, mis on tingimusega ekvivalentne, siis. Seetõttu võite panna . Võrrand saab kuju
Sellest ajast. Avame sisemooduli
Paneme 
, Siis
.
Tingimus on täidetud kahe väärtusega ja .
.
.
Vastus: 
.
Algebraline lahendus
.
Teeme ruudus esimese rahvastikusüsteemi võrrandi ja saame
Las siis olla. Võrrand kirjutatakse ümber kujul
Kontrollides teeme kindlaks, et see on juur, jagades polünoomi binoomiga, saame võrrandi parema poole lagunemise teguriteks
Liigume muutujalt muutujale, saame
.
Seisund 
rahuldada kahte väärtust
.
Asendades need väärtused algsesse võrrandisse, leiame, et see on juur.
Lahendades sarnasel viisil alghulga teise süsteemi võrrandit, leiame, et see on ka juur.
Vastus: .
Kui eelmises näites olid algebraline lahendus ja trigonomeetrilist asendust kasutav lahendus võrdväärsed, siis sel juhul on asenduslahendus tasuvam. Võrrandi lahendamisel algebra abil tuleb lahendada kahest võrrandist koosnev hulk ehk ruudustatakse see kaks korda. Pärast seda ebavõrdset teisendust saame kaks neljanda astme võrrandit irratsionaalsete koefitsientidega, mida saab asendada. Teine raskus on leitud lahenduste kontrollimine, asendades need algsesse võrrandisse.
Näide 3: lahendage võrrand
.
Lahendus trigonomeetrilise asendusega
Sellest ajast. Pange tähele, et tundmatu negatiivne väärtus ei saa olla probleemi lahendus. Tõepoolest, teisendagem algne võrrand vormiks
.
Võrrandi vasakpoolses servas sulgudes olev tegur on positiivne, võrrandi parem pool samuti positiivne, seega ei saa võrrandi vasakpoolne tegur olla negatiivne. Sellepärast võite siis panna 
Algne võrrand kirjutatakse ümber kujul
Alates , siis ja . Võrrand saab kuju
Laske . Liigume võrrandilt samaväärse süsteemi juurde
.
Arvud ja on ruutvõrrandi juured
.
Algebraline lahendus Paneme võrrandi mõlemad pooled ruudu ruutu
Tutvustame asendust 
, siis kirjutatakse võrrand kujul
Teine juur on üleliigne, seega kaaluge võrrandit
.
Sellest ajast.
Sel juhul on algebraline lahendus tehniliselt lihtsam, kuid antud lahendust tuleb kindlasti arvestada trigonomeetrilise asendusega. Selle põhjuseks on esiteks asendus enda ebastandardne olemus, mis hävitab stereotüübi, mille kohaselt on trigonomeetrilise asendamise kasutamine võimalik ainult siis, kui. Selgub, et rakendust leiab ka trigonomeetriline asendus. Teiseks on trigonomeetrilise võrrandi lahendamine keeruline 
, mida vähendatakse võrrandisüsteemi asendamise sisseviimisega. Teatud mõttes võib seda asendust pidada ka mittestandardseks ning selle tundmine võimaldab rikastada oma tehnikate ja meetodite arsenali trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.
Näide 4: lahendage võrrand
.
Lahendus trigonomeetrilise asendusega
Kuna muutuja võib võtta mis tahes tegeliku väärtuse, paneme 
. Siis
,
Sest .
Esialgne võrrand, võttes arvesse tehtud teisendusi, saab kuju
Kuna me jagame võrrandi mõlemad pooled , saame
Lase 
, Siis 
. Võrrand saab kuju
.
Arvestades asendust , saame kahe võrrandi komplekti
.
Lahendame iga hulga võrrandi eraldi.
.
Ei saa olla siinusväärtus, kuna argumendi mis tahes väärtuste jaoks.
.
Sest 
ja algse võrrandi parem pool on positiivne, siis . Millest järeldub, et 
.
Sellel võrrandil pole juuri, kuna .
Seega on algsel võrrandil üks juur
.
Algebraline lahendus
Seda võrrandit saab hõlpsasti "teisutada" kaheksanda astme ratsionaalseks võrrandiks, kui ruudustatakse algse võrrandi mõlemad pooled. Saadud ratsionaalse võrrandi juurte leidmine on keeruline ja probleemiga toimetulemiseks peab teil olema kõrge leidlikkus. Seetõttu on soovitatav teada teist, vähem traditsioonilist lahendusviisi. Näiteks I. F. Sharygini pakutud asendus.
Paneme 
, Siis
Teisendame võrrandi parema külje :
Võttes arvesse teisendusi, võrrand võtab vormi
.
Tutvustame siis asendust
.
Teine juur on seetõttu üleliigne ja 
.
Kui võrrandi lahendamise idee pole ette teada , siis on standardlahenduse lahendamine võrrandi mõlema poole ruudustamisel problemaatiline, kuna tulemuseks on kaheksanda astme võrrand, mille juuri on äärmiselt raske leida. Trigonomeetrilist asendust kasutav lahendus tundub tülikas. Võrrandi juurte leidmine võib olla keeruline, kui te ei märka, et see on vastastikune. Selle võrrandi lahendamine toimub algebra aparaadi abil, seega võime öelda, et pakutud lahendus on kombineeritud. Selles töötab algebra ja trigonomeetria teave koos ühe eesmärgi nimel - lahenduse saamiseks. Samuti nõuab selle võrrandi lahendamine kahe juhtumi hoolikat kaalumist. Asenduslahendus on tehniliselt lihtsam ja ilusam kui trigonomeetrilise asendamise kasutamine. Soovitav on, et õpilased teaksid seda asendusmeetodit ja kasutaksid seda ülesannete lahendamisel.
Rõhutame, et trigonomeetrilise asendamise kasutamine probleemide lahendamisel peab olema teadlik ja põhjendatud. Asendust on soovitav kasutada juhtudel, kui muul viisil lahendus on keerulisem või täiesti võimatu. Toome veel ühe näite, mida saab erinevalt eelmisest tavameetodil lihtsamalt ja kiiremini lahendada.
Reaalarvud. Reaalarvude lähendamine lõplike kümnendmurdudega.
Reaalarv ehk reaalarv on matemaatiline abstraktsioon, mis tekkis vajadusest mõõta ümbritseva maailma geomeetrilisi ja füüsikalisi suurusi, samuti teostada selliseid toiminguid nagu juurte eraldamine, logaritmide arvutamine ja algebraliste võrrandite lahendamine. Kui naturaalarvud tekkisid loendamise käigus, ratsionaalarvud - vajadusest opereerida terviku osadega, siis reaalarvud on mõeldud pidevate suuruste mõõtmiseks. Seega tõi vaadeldava arvuvaru laiendamine kaasa reaalarvude hulga, mis sisaldab lisaks ratsionaalsetele arvudele ka teisi elemente nn. irratsionaalsed arvud .
Absoluutne viga ja selle piir.
Olgu seal kindel arvväärtus ja sellele omistatud arvväärtus loetakse täpseks, siis all viga arvväärtuse ligikaudses väärtuses (viga) aru saada arvväärtuse täpse ja ligikaudse väärtuse erinevusest: . Viga võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Kogust nimetatakse teadaolev lähendus numbrilise suuruse täpse väärtuseni – mis tahes arv, mida kasutatakse täpse väärtuse asemel. Lihtsaim vea kvantitatiivne mõõt on absoluutne viga. Absoluutne viga ligikaudne väärtus on suurus, mille kohta on teada, et: Suhteline viga ja selle piir.
Lähenduse kvaliteet sõltub oluliselt aktsepteeritud mõõtühikutest ja suuruste skaaladest, seetõttu on soovitatav korreleerida suuruse viga ja selle väärtus, mille puhul võetakse kasutusele suhtelise vea mõiste. Suhteline viga ligikaudne väärtus on suurus, mille kohta on teada, et: 
. Suhtelist viga väljendatakse sageli protsentides. Suhteliste vigade kasutamine on mugav eelkõige seetõttu, et need ei sõltu suuruste ja mõõtühikute skaalast.
Irratsionaalsed võrrandid
Võrrandeid, mis sisaldavad juurmärgi all muutujat, nimetatakse irratsionaalseteks. Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel nõuavad saadud lahendid kontrollimist, sest näiteks vale võrdus ruudustamisel võib anda õige võrduse. Tegelikult annab vale võrdus ruudus õige võrdsuse 1 2 = (-1) 2, 1 = 1. Mõnikord on mugavam lahendada irratsionaalseid võrrandeid samaväärsete üleminekute abil.
Teeme selle võrrandi mõlemad küljed ruudus; Pärast teisendusi jõuame ruutvõrrandini; ja asendame.
Keerulised numbrid. Tehted kompleksarvudega.
Kompleksarvud on reaalarvude hulga laiendus, mida tavaliselt tähistatakse . Iga kompleksarvu saab esitada formaalse summana x + iy, Kus x Ja y- reaalarvud, i- imaginaarühik Kompleksarvud moodustavad algebraliselt suletud välja - see tähendab, et astme polünoom n keeruliste koefitsientidega on täpselt n keerulised juured, st algebra põhiteoreem on tõene. See on üks peamisi põhjuseid kompleksarvude laialdaseks kasutamiseks matemaatikauuringutes. Lisaks võimaldab kompleksarvude kasutamine mugavalt ja kompaktselt sõnastada paljusid matemaatilises füüsikas ja loodusteadustes kasutatavaid matemaatilisi mudeleid - elektrotehnika, hüdrodünaamika, kartograafia, kvantmehaanika, vibratsiooniteooria ja paljud teised.
Võrdlus a + bi = c + di tähendab seda a = c Ja b = d(kaks kompleksarvu on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende reaal- ja mõtteline osa on võrdsed).
Lisa ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .
Lahutamine ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .
Korrutamine
Numbriline funktsioon. Funktsiooni määramise meetodid
Matemaatikas on arvufunktsioon funktsioon, mille domeenid ja väärtused on arvuhulkade alamhulgad – tavaliselt reaalarvude või kompleksarvude hulk.
Verbaalne: kasutades loomulikku keelt, on Y võrdne X-i täisarvuga. Analüütiline: analüütilise valemi kasutamine f (x) = x !
Graafika Graafi kasutamine Funktsiooni graafiku fragment.
Tabelikujuline: väärtuste tabeli kasutamine
Funktsiooni põhiomadused
1) Funktsiooni domeen ja funktsioonide vahemik . Funktsiooni domeen x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) kindlaks määratud.
Funktsioonide vahemik y, mille funktsioon aktsepteerib. Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.2 ) Nullfunktsioon) Funktsiooni monotoonsus . Funktsiooni suurendamine Vähenev funktsioon . Ühtlane funktsioon X f(-x) = f(x). Veider funktsioon- funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X f (-x) = - f (x. Funktsiooni kutsutakse piiratud piiramatu .7) Funktsiooni perioodilisus. Funktsioon f(x) - perioodiline funktsiooni periood
Funktsioonigraafikud. Graafikute lihtsaimad teisendused funktsiooni abil
Funktsiooni graafik- punktide kogum, mille abstsissid on kehtivad argumentide väärtused x, ja ordinaadid on funktsiooni vastavad väärtused y .
Sirgjoon- lineaarfunktsiooni graafik y = ax + b. Funktsioon y suureneb monotoonselt a > 0 korral ja väheneb a korral< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)
Parabool- ruuttrinoomfunktsiooni graafik y = ax 2 + bx + c. Sellel on vertikaalne sümmeetriatelg. Kui a > 0, on minimaalne, kui a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
Hüperbool- funktsiooni graafik. Kui a > O asub see I ja III kvartalis, kui a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) või y - x (a< 0).
Logaritmiline funktsioon y = log a x(a > 0)
Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide koostamisel kasutame radiaan nurkade mõõt. Siis funktsioon y= patt x on kujutatud graafikuga (joonis 19). Seda kõverat nimetatakse sinusoid .
Funktsiooni graafik y=cos x näidatud joonisel fig. 20; see on ka siinuslaine, mis tuleneb graafiku liigutamisest y= patt x piki telge X vasakule /2.
Funktsioonide põhiomadused. Funktsioonide monotoonsus, ühtlus, veidrus, perioodilisus.
Funktsiooni domeen ja funktsiooni domeen . Funktsiooni domeen on argumendi kõigi kehtivate kehtivate väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) kindlaks määratud.
Funktsioonide vahemik on kõigi tegelike väärtuste kogum y, mille funktsioon aktsepteerib.
Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.2 ) Nullfunktsioon- argumendi väärtus, mille juures funktsiooni väärtus on null.3 ) Funktsiooni konstantse märgi intervallid- sellised argumentide väärtuste komplektid, mille funktsiooni väärtused on ainult positiivsed või ainult negatiivsed.4 ) Funktsiooni monotoonsus .
Funktsiooni suurendamine(teatud intervallis) - funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.
Vähenev funktsioon(teatud intervallis) - funktsioon, mille argumendi suurem väärtus sellest intervallist vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.5 ) Paaris (paaritu) funktsioon . Ühtlane funktsioon- funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline. Veider funktsioon- funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus tõene f (-x) = - f (x). Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti suhtes.6 ) Piiratud ja piiramatud funktsioonid. Funktsiooni kutsutakse piiratud, kui on positiivne arv M, mille puhul |f (x) | ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist arvu pole, siis funktsioon on piiramatu .7) Funktsiooni perioodilisus. Funktsioon f(x) - perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et funktsiooni definitsioonipiirkonna mis tahes x korral kehtib järgmine: f (x+T) = f (x). Seda väikseimat numbrit nimetatakse funktsiooni periood. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni põhiperioodi leidmise reeglid.
Perioodiline funktsioon- funktsioon, mis kordab oma väärtusi pärast mõnda nullist erinevat perioodi, see tähendab, et see ei muuda oma väärtust, kui argumendile lisatakse fikseeritud nullist erinev arv (punkt). Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. On truudusetud väited perioodiliste funktsioonide summa kohta: 2 funktsiooni summa proportsionaalsete (isegi põhi) perioodidega T 1 ja T 2 on funktsioon LCM perioodiga ( T 1 ,T 2). Kahe pideva funktsiooni summa võrreldamatute (isegi põhiliste) perioodidega on mitteperioodiline funktsioon. Pole olemas perioodilisi funktsioone, mis ei oleks võrdsed konstandiga, mille perioodid on võrreldamatud arvud.
Võimsusfunktsioonide graafikud.
Toitefunktsioon. See on funktsioon: y = axn, Kus a, n- püsiv. Kell n= 1 saame otsene proportsionaalsus : y =kirves; juures n = 2 - ruudu parabool; juures n = 1 - pöördvõrdelisus või hüperbool. Seega on need funktsioonid võimsusfunktsiooni erijuhud. Teame, et mis tahes muu arvu kui nulli nullaste on 1, seega millal n= 0, muutub võimsusfunktsioon konstantseks väärtuseks: y =a, st. selle graafik on teljega paralleelne sirgjoon X, välja arvatud päritolu (palun selgitage, miks?). Kõik need juhtumid (koos a= 1) on näidatud joonisel 13 ( n 0) ja joonis 14 ( n < 0). Отрицательные значения x pole siin käsitletud, sest sellest ajast alates on mõned funktsioonid:
Pöördfunktsioon
Pöördfunktsioon- funktsioon, mis muudab selle funktsiooniga väljendatud sõltuvuse ümber. Funktsioon on funktsiooniga pöördvõrdeline, kui on täidetud järgmised identiteedid: kõigi jaoks 
kõigi jaoks
Funktsiooni piirväärtus punktis. Piiri põhiomadused.
N-s juur ja selle omadused.
Arvu n-s juur on arv, mille n-s aste on võrdne a-ga.
Definitsioon: a n-nda astme aritmeetiline juur on mittenegatiivne arv, mille n-s aste on võrdne a-ga.
Juurte peamised omadused:
Suvalise reaalastendajaga aste ja selle omadused.
Olgu antud positiivne arv ja suvaline reaalarv. Arvu nimetatakse astmeks, arv on astme alus ja arv on astendaja.
Definitsiooni järgi usuvad nad:
Kui ja on positiivsed arvud ja mis tahes reaalarvud, kehtivad järgmised omadused:
.
.
Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafikud
Toitefunktsioon kompleksne muutuja f (z) = z n täisarvulise astendajaga määratakse reaalargumendi sarnase funktsiooni analüütilise jätku abil. Selleks kasutatakse kompleksarvude kirjutamise eksponentsiaalset vormi. täisarvulise astendajaga astmefunktsioon on analüütiline kogu komplekstasandil identiteedikaardi lõpliku arvu eksemplaride korrutis f (z) = z. Unikaalsusteoreemi kohaselt on need kaks kriteeriumi piisavad saadud analüütilise jätku kordumatuse jaoks. Seda määratlust kasutades võime kohe järeldada, et kompleksmuutuja võimsusfunktsioonil on olulisi erinevusi selle tegelikust vastest.
See on vormi funktsioon . Arvesse võetakse järgmisi juhtumeid:
A). Kui siis. Siis , ; kui arv on paaris, siis on funktsioon paaris (st 
kõigi ees); kui arv on paaritu, siis funktsioon on paaritu (st 
kõigi ees).
Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafikud
Eksponentfunktsioon- matemaatiline funktsioon.
Reaalsel juhul on astme aluseks mõni mittenegatiivne reaalarv ja funktsiooni argument on reaalastendaja.
Kompleksfunktsioonide teoorias käsitletakse üldisemat juhtumit, kui argumendiks ja eksponendiks võivad olla suvalised kompleksarvud.
Kõige üldisemal kujul - u v, mille tutvustas Leibniz 1695. aastal
Eriti tähelepanuväärne on juhtum, kui arv e toimib astme alusena. Sellist funktsiooni nimetatakse eksponentsiaalseks (reaal- või kompleksfunktsiooniks).
Omadused ; 
; .
Eksponentvõrrandid.
Liigume otse eksponentsiaalvõrrandite juurde. Eksponentvõrrandi lahendamiseks tuleb kasutada järgmist teoreemi: Kui astmed on võrdsed ja alused on võrdsed, positiivsed ja erinevad ühest, siis on nende eksponendid võrdsed. Tõestame seda teoreemi: Olgu a>1 ja a x =a y.
Tõestame, et antud juhul x=y. Oletame vastupidist sellele, mida on vaja tõestada, s.t. oletame, et x>y või et x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х jah. Mõlemad tulemused on vastuolus teoreemi tingimustega. Seetõttu x = y, mida oli vaja tõestada.
Teoreem on tõestatud ka juhul, kui 0
Eksponentsiaalne ebavõrdsus
Vormi ebavõrdsused (või vähem) juures a(x) >0 ja on lahendatud eksponentsiaalfunktsiooni omaduste põhjal: for 0 < а (х) < 1 kui võrrelda f(x) Ja g(x) ebavõrdsuse märk muutub ja millal a(x) > 1- on salvestatud. Kõige keerulisem juhtum a(x)< 0 . Siin saame anda vaid üldise vihje: määrata, millistel väärtustel X näitajad f(x) Ja g(x) on täisarvud ja valige nende hulgast need, mis vastavad tingimusele. Lõpuks, kui algne ebavõrdsus kehtib a(x) = 0 või a(x) = 1(näiteks kui ebavõrdsus ei ole range), siis tuleb ka neid juhtumeid arvesse võtta.
Logaritmid ja nende omadused
Arvu logaritm b põhineb a (kreeka keelest λόγος - "sõna", "seos" ja ἀριθμός - "arv") on defineeritud kui võimsuse näitaja, milleni alus tuleb tõsta. a numbri saamiseks b. Määramine: . Definitsioonist järeldub, et kirjed ja on samaväärsed. Näide: , sest . Omadused
Põhilogaritmiline identiteet:
Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafikud.
Logaritmiline funktsioon on vormi funktsioon f (x) = log a x, määratletud aadressil
Domeen:
Ulatus:
Mis tahes logaritmilise funktsiooni graafik läbib punkti (1; 0)
Logaritmifunktsiooni tuletis on võrdne:
Logaritmilised võrrandid
Võrrandit, mis sisaldab muutujat logaritmilise märgi all, nimetatakse logaritmiliseks. Logaritmilise võrrandi lihtsaim näide on võrrand log a x = b (kus a > 0, a 1). Tema otsus x = a b .
Logaritmi definitsioonil põhinevate võrrandite lahendamine, näiteks võrrand. log a x = b (a > 0, a 1) on lahendus x = a b .
Potentsieerimise meetod. Potentsiatsiooni all peame silmas üleminekut logaritme sisaldavalt võrduselt neid mitte sisaldavale võrdusele:
Kui log a f (x) = log a g (x), See f(x) = g(x), f(x)>0 ,g(x)>0 ,a > 0 , a 1 .
Meetod logaritmilise võrrandi taandamiseks ruutvõrrandiks.
Võrrandi mõlema poole logaritmide võtmise meetod.
Meetod logaritmide taandamiseks samale alusele.
Logaritmilised võrratused.
Ebavõrdsust, mis sisaldab muutujat ainult logaritmilise märgi all, nimetatakse logaritmiliseks: log a f (x) > log a g (x).
Logaritmiliste võrratuste lahendamisel tuleks arvesse võtta võrratuste üldisi omadusi, logaritmifunktsiooni monotoonsuse omadust ja selle määratluspiirkonda. Ebavõrdsus log a f (x) > log a g (x) süsteemiga samaväärne f (x) > g (x) > 0, kui a > 1 ja süsteem 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .
Nurkade ja kaare radiaani mõõtmine. Siinus, koosinus, puutuja, kotangens.
Kraadimõõt. Siin on mõõtühik kraad ( nimetus ) - See on tala pöörlemine 1/360 võrra ühest täispöördest. Seega on tala täispööre 360. Üks kraad koosneb 60-st minutit ( nende nimetus "); üks minut - vastavalt 60-st sekundit ( on tähistatud tähega ").
Radiaani mõõt. Nagu me planimeetriast teame (vt lõiku "Kaare pikkus" jaotises "Punktide geomeetriline asukoht. Ring ja ring") on kaare pikkus l, raadius r ja vastav kesknurk on seotud seosega: =l/r.
See valem on nurkade radiaani mõõtmise definitsiooni aluseks. Niisiis, kui l = r, siis = 1 ja me ütleme, et nurk võrdub 1 radiaaniga, mida tähistatakse: = 1 rõõmus. Seega on meil järgmine radiaani mõõtühiku määratlus:
Radiaan on kesknurk mille kaare pikkus ja raadius on võrdsed(A m B = AO, joonis 1). Niisiis, Nurga radiaanmõõt on suvalise raadiusega tõmmatud ja selle nurga külgede vahele jääva kaare pikkuse ja kaare raadiuse suhe.
Teravnurkade trigonomeetrilisi funktsioone saab defineerida täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste suhtena.
Siinus:
Koosinus:
Tangent:
Kotangent:
Numbriargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
Definitsioon .
Siinus x on arv, mis võrdub nurga siinusega x radiaanides. Arvu x koosinus on arv, mis võrdub nurga koosinusega x radiaanides .
Arvulise argumendi teised trigonomeetrilised funktsioonid on defineeritud sarnaselt X .
Kummitusvormelid.
Lisamise valemid. Topelt- ja poolargumentide valemid.
Kahekordne.
(
; 
.
Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende graafikud. Trigonomeetriliste funktsioonide põhiomadused.
Trigonomeetrilised funktsioonid- elementaarfunktsioonide tüüp. Tavaliselt sisaldavad need sinus (sin x), koosinus (cos x), puutuja (tg x), kotangent (ctg x), Tavaliselt on trigonomeetrilised funktsioonid defineeritud geomeetriliselt, kuid neid saab defineerida analüütiliselt jadasummade või teatud diferentsiaalvõrrandite lahenditena, mis võimaldab laiendada nende funktsioonide definitsiooni ulatust kompleksarvudele.
Funktsioon y sinx selle omadused ja graafik
Omadused:
2. E (y) = [-1; 1].
3. Funktsioon y = sinx on paaritu, kuna trigonomeetrilise nurga siinuse definitsiooni järgi patt (- x)= - y/R = - sinx, kus R on ringi raadius, y on punkti ordinaat (joonis fig).
4. T = 2l - väikseim positiivne periood. Tõesti,
sin(x+p) = sinx.
koos härja teljega: sinx= 0; x = pn, nОZ;
Oy teljega: kui x = 0, siis y = 0,6. Märgi püsivuse intervallid:
sinx > 0, kui xО (2pn; p + 2pn), nОZ;
sinx< 0 , kui xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.
Siinusmärgid neljandikku
y > 0 esimese ja teise kvartali nurkade a puhul.
juures< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.
7. Monotoonsuse intervallid:
y = sinx suureneb igal intervallil [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],
nÎz ja väheneb igal intervallil , nÎz.
8. Funktsiooni äärmuspunktid ja ekstreemumid:
xmax= p/2 + 2pn, nÎz; y max = 1;
ymax= - p/2 + 2pn, nÎz; y min = - 1.
Funktsiooni omadused y = cosx ja tema ajakava:
Omadused:
2. E (y) = [-1; 1].
3. Funktsioon y = cosx- isegi, kuna trigonomeetrilise nurga koosinuse definitsiooni järgi cos (-a) = x/R = cosa trigonomeetrilisel ringil (joonis fig)
4. T = 2p - väikseim positiivne periood. Tõesti,
cos(x+2pn) = cosx.
5. Lõikepunktid koordinaattelgedega:
Ox teljega: cosx = 0;
x = p/2 + pn, nÎZ;
Oy teljega: kui x = 0, siis y = 1.
6. Märkide püsivuse intervallid:
cosx > 0, kui xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;
cosx< 0 , kui xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.
Seda tõestab trigonomeetriline ring (joonis). Koosinusmärgid neljandikku:
x > 0 esimese ja neljanda kvartali nurkade a korral.
x< 0 для углов a второй и третей четвертей.
7. Monotoonsuse intervallid:
y = cosx suureneb igal intervallil [-p + 2pn; 2pn],
nÎz ja väheneb igal intervallil , nÎz.
Funktsiooni omadused y = tgx ja selle graafik: omadused -
1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).
3. Funktsioon y = tgx – paaritu
tgx > 0
tgx< 0 xО jaoks (-p/2 + pn; pn), nОZ.
Vt joonist kvartalite puutujamärkide kohta.
6. Monotoonsuse intervallid:
y = tgx suureneb iga intervalliga
(-p/2 + pn; p/2 + pn),
7. Funktsiooni äärmuspunktid ja ekstreemumid:
8. x = p/2 + pn, nÎz - vertikaalsed asümptoodid
Funktsiooni omadused y = ctgx ja tema ajakava:
Omadused:
1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) = R.
3. Funktsioon y = ctgx- kummaline.
4. T = p - väikseim positiivne periood.
5. Märkide püsivuse intervallid:
ctgx > 0 xО jaoks (pn; p/2 + pn;), nОZ;
ctgx< 0 xО jaoks (-p/2 + pn; pn), nОZ.
Vt joonist kotangentsete märkide kohta kvartalite kaupa.
6. Funktsioon juures= ctgx suureneb igal intervallil (pn; p + pn), nÎZ.
7. Funktsiooni äärmuspunktid ja ekstreemumid y = ctgx Ei.
8. Funktsioonigraafik y = ctgx on puutuja, mis saadakse graafiku nihutamisel y = tgx piki Ox-telge vasakule p/2-ga ja korrutades (-1)-ga (joonis)
Pöördtrigonomeetrilised funktsioonid, nende omadused ja graafikud
Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid (ringikujulised funktsioonid , kaare funktsioonid) - matemaatilised funktsioonid, mis on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioon. Kuus funktsiooni liigitatakse tavaliselt trigonomeetrilisteks pöördfunktsioonideks: arcsiin , kaarkoosinus , arctangent ,arccotanges. Trigonomeetrilise pöördfunktsiooni nimi moodustatakse vastava trigonomeetrilise funktsiooni nimest, lisades eesliide "arc-" (alates lat. kaar- kaar). See on tingitud asjaolust, et geomeetriliselt saab pöördtrigonomeetrilise funktsiooni väärtust seostada konkreetsele segmendile vastava ühikulise ringi kaare pikkusega (või selle kaare nurga all). Vahetevahel kasutatakse väliskirjanduses arcsiini vms jaoks selliseid tähiseid nagu sin −1; Seda ei peeta täiesti õigeks, kuna funktsiooni astmesse −1 tõstmisega võib tekkida segadus. Põhisuhe
Funktsioon y=arcsinX, selle omadused ja graafikud.
Arcsine numbrid m seda nurka nimetatakse x, mille funktsioon y= patt x y= arcsin x kasvab rangelt. (funktsioon on paaritu).
Funktsioon y=arccosX, selle omadused ja graafikud.
kaarkoosinus numbrid m seda nurka nimetatakse x, mille jaoks
Funktsioon y=cos x on pidev ja piiratud piki kogu oma arvjoont. Funktsioon y= arccos x väheneb rangelt. cos (arccos x) = x juures 
arccos (cos y) = y juures D(arccos x) = [− 1; 1], (domeen), E(arccos x) = . (väärtuste vahemik). Arccose funktsiooni omadused (funktsioon on punkti suhtes tsentraalselt sümmeetriline
Funktsioon y=arctgX, selle omadused ja graafikud.
Arktangent numbrid m on nurk α, mille puhul funktsioon on pidev ja piiratud piki kogu oma reaaljoont. Funktsioon suureneb rangelt.
juures 
Funktsiooni arctg omadused
,
.
Funktsioon y=arcctg, selle omadused ja graafikud.
Arkotangent numbrid m seda nurka nimetatakse x, mille jaoks
Funktsioon on pidev ja piiratud kogu oma arvujoonega.
Funktsioon väheneb rangelt. kell 0< y
< π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки 
iga x
.
.
Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid.
Definitsioon. Wada võrrandid sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, Kus x
Trigonomeetriliste võrrandite erijuhud
Definitsioon. Wada võrrandid sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, Kus x- kutsutakse muutujat aR lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid.
Trigonomeetrilised võrrandid
Stereomeetria aksioomid ja nende tagajärjed
Põhifiguurid ruumis: punktid, sirged ja tasapinnad. Punktide, sirgete ja tasandite põhiomadused nende suhtelise positsiooni kohta on väljendatud aksioomides.
A1. Läbi mis tahes kolme punkti, mis ei asu samal sirgel, läbib tasapind ja ainult üks. A2. Kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal
Kommenteeri. Kui sirgel ja tasapinnal on ainult üks ühine punkt, siis öeldakse, et need ristuvad.
A3. Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid.
|
|
A ja ristuvad piki sirget a. |
Järeldus 1. Tasapind läbib sirget ja sellel mitte asuvat punkti ning sellel ainult üks tasapind. Järeldus 2. Tasapind läbib kahte ristuvat joont ja ainult ühte.
Kahe joone suhteline asukoht ruumis
Kaks võrranditega antud rida
ristuvad punktis.
Sirge ja tasapinna paralleelsus.
Definitsioon 2.3 Sirget ja tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte. Kui sirge a on paralleelne tasapinnaga α, siis kirjutage a || α. Teoreem 2.4 Sirge ja tasandi paralleelsuse katse. Kui tasapinnast väljaspool olev sirge on paralleelne mõne tasapinna sirgega, siis on see sirge paralleelne tasapinna endaga. Tõestus Olgu b α, a || b ja a α (joonis 2.2.1). Tõestuse teostame vastuoluga. Olgu a mitte paralleelne α-ga, siis sirge a lõikub tasapinnaga α mingis punktis A. Veelgi enam, A b, kuna a || b. Viltuse joonte kriteeriumi järgi on sirged a ja b viltu. Oleme jõudnud vastuoluni. Teoreem 2.5 Kui tasand β läbib tasapinnaga α paralleelset sirget a ja lõikab seda tasapinda mööda sirget b, siis b || a. Tõestus Tõepoolest, sirged a ja b ei ole viltu, kuna asuvad β-tasandil. Lisaks pole neil ridadel ühiseid punkte, kuna a || α. Definitsioon 2.4 Sirget b nimetatakse mõnikord tasandi β jäljeks tasapinnal α.
Sirgete joonte ületamine. Ridade ületamise märk
Sirgeid nimetatakse ristuvateks, kui on täidetud järgmine tingimus: Kui kujutame ette, et üks sirgetest kuulub suvalisele tasapinnale, siis teine sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei kuulu esimesele sirgele. Teisisõnu ristuvad kaks sirget kolmemõõtmelises Eukleidilises ruumis, kui neid sisaldav tasapind puudub. Lihtsamalt öeldes kaks sirget ruumis, millel ei ole ühiseid punkte, kuid mis ei ole paralleelsed.
Teoreem (1): Kui üks kahest sirgest asub teatud tasapinnal ja teine sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei asu esimesel sirgel, siis need sirged lõikuvad.
Teoreem (2): iga kahe kaldjoone kaudu läbib teise sirgega paralleelne tasapind ja pealegi ainult üks.
Teoreem (3): Kui kahe nurga küljed on vastavalt joondatud, siis on need nurgad võrdsed.
Joonte paralleelsus. Paralleelsete tasandite omadused.
Paralleelsed (mõnikord võrdkülgsed) sirged nimetatakse sirgeks, mis asetsevad samas tasapinnas ja kas langevad kokku või ei ristu. Mõnes koolimääratluses ei loeta kattuvaid jooni paralleelseks, siin sellist määratlust ei käsitleta. Omadused Paralleelsus on kahendekvivalentsuseos, mistõttu jagab kogu ridade komplekti üksteisega paralleelsete joonte klassideks. Läbi mis tahes punkti saab tõmmata täpselt ühe sirge, mis on paralleelne antud sirgega. See on eukleidilise geomeetria eristav omadus; teistes geomeetriates asendatakse number 1 teistega (Lobatševski geomeetrias on selliseid sirgeid vähemalt kaks) 2 paralleelset joont ruumis asuvad samal tasapinnal. b Kui 2 paralleelset sirget lõikuvad kolmandaga, nimetatakse sekant: Sekant lõikub tingimata mõlemat sirget. Lõikumisel moodustub 8 nurka, millest mõnel iseloomulikul paaril on erilised nimed ja omadused: Lamades risti nurgad on võrdsed. Asjakohane nurgad on võrdsed. Ühepoolne nurgad on kokku 180°.
Sirge ja tasapinna risti.
Tasapinnaga lõikuvat sirget nimetatakse risti see tasapind, kui see on risti iga sellel tasapinnal paikneva ja lõikepunkti läbiva sirgega.
SIRGUSE JA TASANDI PERpendikulaarsuse MÄRK.
Kui tasapinda lõikuva sirge on risti selle tasapinna kahe sirgega, mis läbivad selle sirge ja tasandi lõikepunkti, siis on see tasapinnaga risti.
1. RISTI SIRGSE JA TASANDI KINNISTU .
Kui tasapind on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega.
2. PISTSIRGSE JA TASANDI OMADUS .
Kaks sama tasapinnaga risti olevat sirget on paralleelsed.
Kolme risti teoreem
Lase AB- risti tasapinnaga α, A.C.- kaldu ja c- punkti läbiv sirgjoon α tasapinnal C ja projektsiooniga risti B.C.. Teeme otse CK joonega paralleelne AB. Otse CK on risti tasapinnaga α (kuna see on paralleelne AB) ja seega selle tasandi mis tahes sirge, CK risti sirgjoonega c AB Ja CK tasapind β (paralleelsed jooned määravad tasapinna ja ainult üks). Otse c risti kahe β-tasapinnas asuva lõikuva sirgega, see on B.C. vastavalt seisundile ja CK konstruktsiooni järgi tähendab see, et see on risti mis tahes sellele tasapinnale kuuluva sirgega, mis tähendab, et see on risti joonega A.C. .
Kolme risti teoreemi pöörd
Kui tasapinnal läbi kaldjoone aluse tõmmatud sirge on kaldjoonega risti, siis on see ka risti tema projektsiooniga.
Lase AB- tasapinnaga risti a , AC- kaldu ja Koos- sirgjoon tasapinnas a, mis läbib kalde alust KOOS. Teeme otse SK, paralleelselt joonega AB. Otse SK tasapinnaga risti a(selle teoreemi järgi, kuna see on paralleelne AB) ja seega selle tasandi mis tahes sirge, SK risti sirgjoonega Koos. Joonistame läbi paralleelsed jooned AB Ja SK lennuk b(paralleelsed jooned määratlevad tasapinna ja ainult ühe). Otse Koos risti kahe tasapinnas paikneva sirgega b, See AC vastavalt seisundile ja SK konstruktsiooni järgi tähendab see, et see on risti mis tahes sellele tasapinnale kuuluva sirgega, mis tähendab, et see on risti joonega Päike. Teisisõnu, projektsioon Päike risti sirgjoonega Koos, lebab lennukis a .
Risti ja kaldu.
Perpendikulaarne, langetatud antud punktist antud tasapinnal, on lõik, mis ühendab antud punkti tasapinna punktiga ja asub tasapinnaga risti asetseval sirgel. Selle segmendi tasapinnal asuvat otsa nimetatakse risti alus .
Kallutatud antud punktist antud tasapinnale tõmmatud on mis tahes segment, mis ühendab antud punkti tasandi punktiga, mis ei ole tasapinnaga risti. Tasapinnas asuva segmendi lõppu nimetatakse kaldus alus. Lõik, mis ühendab risti aluseid samast punktist tõmmatud kaldnurgaga, nimetatakse kaldus projektsioon .
Definitsioon 1. Antud sirgega risti on antud sirgega risti olev lõik, mille üks otstest on nende lõikepunktis. Antud sirgel asuva lõigu lõppu nimetatakse risti aluseks.
2. definitsioon. Antud punktist antud sirgele tõmmatud kaldjoon on lõik, mis ühendab antud punkti joone mis tahes punktiga, mis ei ole samast punktist antud sirgele tõmmatud risti alus. 
AB on risti tasapinnaga α.
AC - kaldus, CB - projektsioon.
C on kalde alus, B on risti alus.
Nurk sirge ja tasapinna vahel.
Nurk sirge ja tasapinna vahel Nimetatakse mis tahes nurka sirgjoone ja selle sellele tasapinnale projektsiooni vahel.
Dihedraalne nurk.
Dihedraalne nurk- ruumiline geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest sirgest lähtuvat pooltasapinda, samuti osa ruumist, mida need pooltasandid piiravad. Poollennukeid nimetatakse servad kahetahuline nurk ja nende ühine sirgjoon on serv. Dihedraalnurki mõõdetakse lineaarnurgaga, st nurgaga, mis moodustub kahetahulise nurga ja selle servaga risti oleva tasapinna lõikumisel. Igal polüeedril, olgu siis korrapärasel või ebakorrapärasel, kumeral või nõgusal, on igas servas kahetahuline nurk.
Kahe tasandi risti.
Tasapindade PERpendikulaarsuse MÄRK.
Kui tasapind läbib teise tasapinnaga risti olevat sirget, siis on need tasapinnad risti.