Tund ja ettekanne teemal: "Ebavõrdsuse süsteemid. Lahendusnäited"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 9. klassile
Interaktiivne õpik 9. klassile "Reeglid ja harjutused geomeetrias"
Elektrooniline õpik "Arusaadav geomeetria" 7.-9.klassile
Ebavõrdsuse süsteem
Poisid, olete uurinud lineaarset ja ruutvõrratust ning õppinud nendel teemadel probleeme lahendama. Liigume nüüd matemaatika uue kontseptsiooni juurde – ebavõrdsuse süsteemi juurde. Võrdsuste süsteem on sarnane võrrandisüsteemiga. Kas mäletate võrrandisüsteeme? Õppisite seitsmendas klassis võrrandisüsteeme, proovige meeles pidada, kuidas te need lahendasite.Tutvustame ebavõrdsuse süsteemi definitsiooni.
Mitmed võrratused mõne muutujaga x moodustavad võrratuste süsteemi, kui on vaja leida kõik x väärtused, mille jaoks iga võrratus moodustab tõese numbriline avaldis.
Iga x väärtus, mille korral iga võrratus võtab õige arvavaldise, on ebavõrdsuse lahendus. Võib nimetada ka privaatseks lahenduseks.
Mis on privaatne lahendus? Näiteks vastuses saime avaldise x>7. Siis on x=8 või x=123 või mõni muu seitsmest suurem arv konkreetne lahendus ja avaldis x>7 on ühine otsus. Üldlahenduse moodustavad paljud eralahendused.
Kuidas me võrrandisüsteemi ühendasime? See on õige, lokkis traks ja nii teevad nad sama ebavõrdsusega. Vaatame näidet võrratuste süsteemist: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Kui võrratuste süsteem koosneb identsed väljendid, näiteks $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Niisiis, mida see tähendab: leida lahendus ebavõrdsuse süsteemile?
Ebavõrdsuse lahendus on ebavõrdsuse osalahenduste kogum, mis rahuldab süsteemi mõlemad ebavõrdsused korraga.
Kirjutame võrratussüsteemi üldkuju kujul $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$
Tähistame võrratuse f(x)>0 üldlahendiks $Х_1$.
$X_2$ on ebavõrdsuse g(x)>0 üldlahend.
$X_1$ ja $X_2$ on konkreetsete lahenduste komplekt.
Ebavõrdsuse süsteemi lahenduseks on arvud, mis kuuluvad nii $X_1$ kui ka $X_2$ hulka.
Meenutagem tehteid komplektidega. Kuidas leiame hulga elemente, mis kuuluvad korraga mõlemasse hulka? See on õige, selle jaoks on ristmiku operatsioon. Seega saab meie ebavõrdsuse lahenduseks hulk $A= X_1∩ X_2$.
Näited ebavõrdsussüsteemide lahendustest
Vaatame näiteid ebavõrdsussüsteemide lahendamisest.Lahendage võrratuste süsteem.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Lahendus.
a) Lahendage iga võrratus eraldi.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1 $.
$5x-10
Märgime oma intervallid ühele koordinaatjoonele.
Süsteemi lahendus on meie intervallide lõikumislõik. Ebavõrdsus on range, siis on segment avatud.
Vastus: (1;3).
B) Lahendame ka iga ebavõrdsuse eraldi.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 dollarit.
$-x-4 -5 $. 
Süsteemi lahendus on meie intervallide lõikumislõik. Teine ebavõrdsus on range, siis on segment vasakult avatud.
Vastus: (-5; 5].
Teeme õpitu kokkuvõtte.
Oletame, et on vaja lahendada võrratuste süsteem: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Seejärel on intervall ($x_1; x_2$) esimese ebavõrdsuse lahendus.
Intervall ($y_1; y_2$) on teise ebavõrdsuse lahendus.
Ebavõrdsuse süsteemi lahendus on iga ebavõrdsuse lahenduste ristumiskoht. 
Ebavõrdsuse süsteemid võivad koosneda mitte ainult esimest järku ebavõrdsustest, vaid ka mis tahes muud tüüpi ebavõrdsustest.
Olulised reeglid ebavõrdsussüsteemide lahendamisel.
Kui süsteemi ühel ebavõrdsusel pole lahendusi, siis pole ka kogu süsteemil lahendusi.
Kui üks ebavõrdsustest on täidetud muutuja mis tahes väärtusega, on süsteemi lahendus teise võrratuse lahendus.
Näited.
Lahendage võrratuste süsteem:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Lahendus.
Lahendame iga ebavõrdsuse eraldi.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0 $.
Lahendame teise ebavõrdsuse.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0 $.
Ebavõrdsuse lahendus on intervall. 
Joonistame mõlemad intervallid samale sirgele ja leiame ristmiku. 
Intervallide ristumiskohaks on lõik (4; 6]).
Vastus: (4;6].
Lahendage võrratuste süsteem.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.
Lahendus.
a) Esimesel võrratusel on lahend x>1.
Leiame teise ebavõrdsuse diskriminandi.
$D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Meenutagem reeglit: kui ühel võrratustel pole lahendeid, siis pole ka kogu süsteemil lahendusi.
Vastus: Lahendusi pole.
B) Esimesel võrratusel on lahend x>1.
Teine võrratus on kõigi x-de puhul suurem kui null. Siis langeb süsteemi lahendus kokku esimese võrratuse lahendiga.
Vastus: x>1.
Võrdsussüsteemide ülesanded iseseisvaks lahendamiseks
Lahendage võrratussüsteemid:a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(juhtumid)$
e) $\begin(cases)x^2+36
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Ebavõrdsus on avaldis, mille väärtus on, ≤ või ≥. Näiteks 3x - 5 võrratuse lahendamine tähendab muutujate kõigi väärtuste leidmist, mille puhul ebavõrdsus on tõene. Kõik need arvud on ebavõrdsuse lahendus ja kõigi selliste lahenduste hulk on tema palju lahendusi. Nimetatakse võrratusi, millel on sama lahendite hulk samaväärsed ebavõrdsused.
Lineaarsed ebavõrdsused
Võrratuste lahendamise põhimõtted on sarnased võrrandite lahendamise põhimõtetega.Ebavõrdsuse lahendamise põhimõtted
Mis tahes reaalarvude a, b ja c korral:
Võrratuste liitmise põhimõte: Kui a Korrutamise põhimõte ebavõrdsuse korral: Kui 0 on tõene, siis ac Kui bc on samuti tõene.
Sarnased väited kehtivad ka a ≤ b kohta.
Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled on korrutatud negatiivne arv, on vaja ebavõrdsuse märk täielikult muuta.
Esimese astme ebavõrdsusi, nagu näites 1 (allpool), nimetatakse lineaarsed ebavõrdsused.
Näide 1 Lahendage kõik järgmised võrratused. Seejärel joonistage lahenduste komplekt.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Lahendus
Lahenduseks on mis tahes arv, mis on väiksem kui 11/5.
Lahenduste hulk on (x|x
Kontrollimiseks saame joonistada graafiku y 1 = 3x - 5 ja y 2 = 6 - 2x. Siis on selge, et x jaoks 
Lahendushulk on (x|x ≤ 1) või (-∞, 1] Lahendushulga graafik on näidatud allpool. 
Kahekordne ebavõrdsus
Kui kaks ebavõrdsust on ühendatud sõnaga Ja, või, siis see moodustub kahekordne ebavõrdsus. Topelt ebavõrdsus meeldib
-3
Ja 2x + 5 ≤ 7
helistas ühendatud, sest see kasutab Ja. Kirje -3 Topeltvõrratusi saab lahendada võrratuste liitmise ja korrutamise põhimõtete abil.
Näide 2 Lahenda -3 Lahendus Meil on
Lahenduste hulk (x|x ≤ -1 või x > 3). Lahenduse saame kirjutada ka kasutades intervallmärki ja sümbolit for ühendused või sisaldab mõlemat hulka: (-∞ -1] (3, ∞). Lahendushulga graafik on näidatud allpool. 
Kontrollimiseks joonistagem y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ja y 3 = 1. Pange tähele, et (x|x ≤ -1 või x > 3), y 1 ≤ y 2 või y 1 > y 3 . 
Ebavõrdsused absoluutväärtusega (moodul)
Ebavõrdsused sisaldavad mõnikord mooduleid. Nende lahendamiseks kasutatakse järgmisi omadusi.
Kui a > 0 ja algebraline avaldis x:
|x| |x| > a on samaväärne x või x > a.
Sarnased väited |x| jaoks ≤ a ja |x| ≥ a.
Näiteks,
|x| |y| ≥ 1 on samaväärne y ≤ -1-ga või y ≥ 1;
ja |2x + 3| ≤ 4 võrdub -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Näide 4 Lahendage kõik järgmised võrratused. Joonistage lahenduste hulk.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Lahendus
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Lahenduste hulk on (x|x ≤ 2 või x ≥ 3) või (-∞, 2] .
Kogu ülalkirjeldatud algoritm on kirjutatud järgmiselt:
3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12; x ≤ – 4 .
Vastus: x ≤ − 4 või (− ∞ , − 4 ] .
Näide 2
Märkige ebavõrdsuse − 2, 7 · z > 0 kõik saadaolevad lahendid.
Lahendus
Tingimusest näeme, et koefitsient a z jaoks on võrdne -2,7 ja b selgelt puudub või on võrdne nulliga. Te ei saa kasutada algoritmi esimest sammu, vaid liikuda kohe teise juurde.
Jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga - 2, 7. Kuna arv on negatiivne, on vaja ebavõrdsuse märk ümber pöörata. See tähendab, et saame, et (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Kirjutame kogu algoritmi sisse lühivorm:
− 2, 7 z > 0; z< 0 .
Vastus: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Näide 3
Lahendage võrratus - 5 x - 15 22 ≤ 0.
Lahendus
Tingimuse järgi näeme, et on vaja lahendada ebavõrdsus koefitsiendiga a muutuja x jaoks, mis on võrdne - 5, koefitsiendiga b, mis vastab murdarvule - 15 22. Ebavõrdsus on vaja lahendada algoritmi järgides, see tähendab: liiguta - 15 22 teise ossa koos vastupidine märk, jagage mõlemad pooled -5-ga, muutke ebavõrdsuse märki:
5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Viimase parema poole ülemineku ajal kasutatakse numbrijagamisreeglit erinevad märgid 15 22: - 5 = - 15 22: 5, misjärel teostame jagamise harilik murd naturaalarvule - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Vastus: x ≥ - 3 22 ja [ - 3 22 + ∞) .
Vaatleme juhtumit, kui a = 0. Lineaarne avaldis kujul a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Kõik põhineb ebavõrdsuse lahenduse leidmisel. Mis tahes x väärtuse korral saame arvuline ebavõrdsus tüüp b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Kaalume kõiki otsuseid lahendusalgoritmi kujul lineaarsed ebavõrdsused 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :
Definitsioon 5
Vormi arvuline ebavõrdsus b< 0 (≤ , >, ≥) on tõene, siis on algsel võrratusel mis tahes väärtuse lahendus ja see on väär, kui algsel võrratusel pole lahendeid.
Näide 4
Lahendage võrratus 0 x + 7 > 0.
Lahendus
See lineaarne võrratus 0 x + 7 > 0 võib võtta mis tahes väärtuse x. Siis saame ebavõrdsuse kujul 7 > 0. Viimast ebavõrdsust peetakse tõeseks, mis tähendab, et selle lahenduseks võib olla mis tahes arv.
Vastus: intervall (− ∞ , + ∞) .
Näide 5
Leidke lahend ebavõrdsusele 0 x − 12, 7 ≥ 0.
Lahendus
Mis tahes arvu muutuja x asendamisel saame, et ebavõrdsus on kujul − 12, 7 ≥ 0. See on vale. See tähendab, et 0 x − 12, 7 ≥ 0 ei sisalda lahendusi.
Vastus: lahendusi pole.
Vaatleme lineaarsete võrratuste lahendamist, kus mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga.
Näide 6
Määrake lahendamatu võrratus väärtustest 0 x + 0 > 0 ja 0 x + 0 ≥ 0.
Lahendus
Asendades x asemel suvalise arvu, saame kaks võrratust kujul 0 > 0 ja 0 ≥ 0. Esimene on vale. See tähendab, et 0 x + 0 > 0 ei sisalda lahendusi, kuid 0 x + 0 ≥ 0 on lõpmatu arv lahendused, see tähendab suvaline arv.
Vastus: võrratusel 0 x + 0 > 0 pole lahendeid, aga 0 x + 0 ≥ 0-l on lahendid.
See meetod aastal arutatud koolikursus matemaatika. Intervallmeetod on võimeline lahendama erinevat tüüpi ebavõrdsused, ka lineaarsed.
Intervallmeetodit kasutatakse lineaarsete võrratuste korral, kui koefitsiendi x väärtus ei ole 0. Vastasel juhul peate arvutama teistsugust meetodit kasutades.
Definitsioon 6
Intervalli meetod on:
- funktsiooni y = a · x + b tutvustamine;
- nullide otsimine, et jagada definitsioonipiirkond intervallideks;
- märkide määratlemine nende mõistete jaoks intervallidel.
Koostame algoritmi lineaarvõrrandite a x + b lahendamiseks< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 puhul, kasutades intervallmeetodit:
- funktsiooni y = a · x + b nullpunktide leidmine võrrandi kujul a · x + b = 0 lahendamiseks. Kui a ≠ 0, on lahenduseks üks juur, mis võtab tähise x 0;
- koordinaadi sirge konstrueerimine punkti kujutisega koordinaadiga x 0, koos range ebavõrdsus punkt on tähistatud torkepunktiga või kui see ei ole range, siis maalitud punktiga;
- funktsiooni y = a · x + b märkide määramine intervallidel, selleks on vaja leida funktsiooni väärtused intervalli punktides;
- ebavõrdsuse lahendamine märkidega > või ≥ koordinaatjoonel, lisades positiivsele intervallile varjutuse,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Vaatame mitmeid näiteid lineaarsete võrratuste lahendamisest intervallmeetodil.
Näide 6
Lahendage võrratus − 3 x + 12 > 0.
Lahendus
Algoritmist järeldub, et kõigepealt tuleb leida võrrandi juur − 3 x + 12 = 0. Saame, et − 3 · x = − 12 , x = 4 . On vaja tõmmata koordinaatjoon, kuhu märgime punkti 4. See torgatakse, sest ebavõrdsus on range. Mõelge allolevale joonisele.
Märgid on vaja kindlaks määrata intervallidega. Selle määramiseks intervallil (− ∞, 4) on vaja arvutada funktsioon y = − 3 x + 12, kui x = 3. Siit saame, et − 3 3 + 12 = 3 > 0. Intervalli märk on positiivne.
Määrame märgi intervallist (4, + ∞), seejärel asendame väärtusega x = 5. Meil on, et − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Lahendame ebavõrdsuse märgiga > ja varjutamine toimub positiivse intervalli ulatuses. Mõelge allolevale joonisele.
Jooniselt on selgelt näha, et soovitud lahendus on kujul (− ∞ , 4) või x< 4 .
Vastus: (− ∞ , 4) või x< 4 .
Graafilise kujutamise mõistmiseks on vaja võtta näitena 4 lineaarset ebavõrdsust: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ja 0, 5 x − 1 ≥ 0. Nende lahendused on x väärtused< 2 , x ≤ 2 , x >2 ja x ≥ 2. Selleks joonistame graafiku lineaarne funktsioon y = 0,5 x − 1 allpool toodud.
Selge see
Definitsioon 7
- võrratuse 0, 5 x − 1 lahendamine< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- lahendit 0, 5 x − 1 ≤ 0 loetakse vahemikuks, kus funktsioon y = 0, 5 x − 1 on väiksem kui O x või langeb kokku;
- lahendit 0, 5 · x − 1 > 0 loetakse intervalliks, funktsioon asub O x kohal;
- lahendit 0, 5 · x − 1 ≥ 0 loetakse intervalliks, kus O x või kohal olev graafik langeb kokku.
Tähendus graafiline lahendus ebavõrdsused on leida intervallid, mis tuleb graafikul kujutada. IN sel juhul me saame sellest aru vasak pool on y = a · x + b ja parempoolsel on y = 0 ning see langeb kokku O x-ga.
Definitsioon 8Joonistatakse funktsiooni y = a x + b graafik:
- lahendades võrratuse a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- võrratuse a · x + b ≤ 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik on kujutatud O x telje all või langeb kokku;
- võrratuse a · x + b > 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik on kujutatud O x kohal;
- Võrratuse a · x + b ≥ 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik asub O x kohal või langeb kokku.
Näide 7
Lahendage võrratus - 5 · x - 3 > 0 graafiku abil.
Lahendus
On vaja koostada lineaarfunktsiooni graafik - 5 · x - 3 > 0. See joon väheneb, kuna x koefitsient on negatiivne. Selle ja O x - 5 · x - 3 > 0 lõikepunkti koordinaatide määramiseks saame väärtuse - 3 5. Kujutame seda graafiliselt.
Lahendades võrratuse märgiga >, siis tuleb tähelepanu pöörata O x kohal olevale intervallile. Tõstkem punasega esile lennuki vajalik osa ja saame selle
Vajalik vahe on osa O x punane. Nii et see on avatud numbrikiir- ∞ , - 3 5 on ebavõrdsuse lahendus. Kui tingimuse järgi oleks meil mitterange ebavõrdsus, siis oleks ebavõrdsuse lahenduseks ka punkti väärtus - 3 5. Ja see langeks kokku O x-ga.
Vastus: - ∞ , - 3 5 või x< - 3 5 .
Graafiline meetod lahendust kasutatakse juhul, kui vasak pool vastab funktsioonile y = 0 x + b, st y = b. Siis on sirge paralleelne O x-ga või langeb kokku punktiga b = 0. Need juhtumid näitavad, et ebavõrdsusel ei pruugi olla lahendeid või lahendus võib olla suvaline arv.
Näide 8
Määrake võrratuste 0 x + 7 põhjal< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Lahendus
y = 0 x + 7 esitus on y = 7, siis see antakse koordinaattasand sirgjoonega, mis on paralleelne O x -ga ja asub O x kohal. Seega 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
Funktsiooni y = 0 x + 0 graafik loetakse y = 0, see tähendab, et sirge langeb kokku O x-ga. See tähendab, et võrratusel 0 x + 0 ≥ 0 on palju lahendeid.
Vastus: Teisel võrratusel on lahendus mis tahes x väärtuse jaoks.
Lineaarseks taanduvad ebavõrdsused
Ebavõrdsuse lahenduse saab taandada lahenduseks lineaarvõrrand, mida nimetatakse ebavõrdsusteks, mis taanduvad lineaarseks.
Neid ebavõrdsusi käsitleti koolikursuses, kuna tegemist oli ebavõrdsuse lahendamise erijuhtumiga, mis viis sulgude avamiseni ja sarnased terminid. Näiteks arvestage, et 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.
Eespool toodud ebavõrdsused taandatakse alati lineaarvõrrandi kujule. Seejärel avatakse sulud ja antakse sarnased terminid ning kantakse üle erinevad osad, muutes märgi vastupidiseks.
Võrratuse 5 − 2 x > 0 taandamisel lineaarseks esitame selle nii, et see on kujul − 2 x + 5 > 0 ja teise taandamiseks saame, et 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Vaja on avada sulud, tuua sarnased terminid, nihutada kõik terminid vasakule ja tuua sarnased terminid. See näeb välja selline:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
See viib lahenduse lineaarse ebavõrdsuseni.
Neid ebavõrdsusi peetakse lineaarseteks, kuna neil on sama lahenduspõhimõte, mille järel on võimalik need taandada elementaarvõrratusteks.
Seda tüüpi ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja see taandada lineaarseks. Seda tuleks teha järgmiselt:
Definitsioon 9
- avatud sulud;
- koguda vasakule muutujaid ja paremale numbreid;
- anna sarnaseid termineid;
- jaga mõlemad pooled koefitsiendiga x.
Näide 9
Lahendage võrratus 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.
Lahendus
Avame sulud, siis saame ebavõrdsuse kujul 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Pärast sarnaste liikmete vähendamist saame 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Pärast terminite liigutamist vasakult paremale leiame, et 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Seega on 0 x + 32 ≤ 0 arvutamisel saadud ebavõrdsus kujul 32 ≤ 0. On näha, et ebavõrdsus on väär, mis tähendab, et tingimusega antud võrratusel pole lahendeid.
Vastus: lahendusi pole.
Väärib märkimist, et on palju muud tüüpi ebavõrdsust, mida saab taandada ülaltoodud tüüpi lineaarseteks või ebavõrdsusteks. Näiteks 5 2 x − 1 ≥ 1 on eksponentsiaalvõrrand, mis taandub lineaarlahenduseks 2 x − 1 ≥ 0 . Neid juhtumeid võetakse seda tüüpi ebavõrdsuse lahendamisel arvesse.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Mitte igaüks ei tea, kuidas lahendada ebavõrdsust, mis on struktuurilt ja eristavad tunnused võrranditega. Võrrand on harjutus, mis koosneb kahest osast, mille vahel on võrdusmärk ja võrratuse osade vahel võib olla märk "üle" või "vähem kui". Seega, enne konkreetsele ebavõrdsusele lahenduse leidmist, peame mõistma, et arvu märki (positiivset või negatiivset) tasub arvestada, kui on vajadus korrutada mõlemad pooled mis tahes avaldisega. Sama asjaolu tuleks arvesse võtta ka siis, kui ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja ruudustamist, kuna ruudustamist teostatakse korrutamise teel.
Kuidas lahendada ebavõrdsuse süsteemi
Võrdsussüsteeme on palju keerulisem lahendada kui tavalisi ebavõrdsusi. Kuidas lahendada ebavõrdusi hinne 9, vaatame konkreetsed näited. Tuleb mõista, et enne ruutvõrratuste (süsteemide) või muude ebavõrdsuste süsteemide lahendamist on vaja iga võrratus eraldi lahendada ja seejärel võrrelda. Ebavõrdsuse süsteemi lahendus on kas positiivne või eitav vastus (kas süsteemil on lahendus või ei ole lahendust).
Ülesandeks on lahendada ebavõrdsuse hulk:
Lahendame iga ebavõrdsuse eraldi
Ehitame arvujoone, millel kujutame lahenduste kogumit
Kuna hulk on lahendushulkade liit, peab see hulk arvureal olema vähemalt ühe reaga alla joonitud.
Võrratuste lahendamine mooduliga
See näide näitab, kuidas mooduli abil ebavõrdsust lahendada. Nii et meil on määratlus:
Peame lahendama ebavõrdsuse:
Enne sellise ebavõrdsuse lahendamist on vaja vabaneda moodulist (märgist)
Kirjutame definitsiooniandmete põhjal:
Nüüd peate iga süsteemi eraldi lahendama.
Ehitame ühe arvurea, millel kujutame lahendushulki.
Sellest tulenevalt on meil kollektsioon, mis ühendab endas palju lahendusi.
Ruutvõrratuste lahendamine
Arvurida kasutades vaatame ruutvõrratuste lahendamise näidet. Meil on ebavõrdsus:
Me teame, et ajakava ruuttrinoom on parabool. Samuti teame, et parabooli harud on suunatud ülespoole, kui a>0.
x 2 -3x-4< 0
Vieta teoreemi kasutades leiame juured x 1 = - 1; x 2 = 4
Joonistame parabooli või õigemini selle visandi.
Nii saime teada, et ruuttrinoomi väärtused on vahemikus – 1 kuni 4 väiksemad kui 0.
Paljudel inimestel on küsimusi topeltvõrratuste (nt g(x) lahendamisel< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
Tegelikult on ebavõrdsuse lahendamiseks mitu meetodit, nii et saate kasutada keerulised ebavõrdsused graafiline meetod.
Murdvõrratuste lahendamine
Need nõuavad hoolikamat lähenemist murdosa ebavõrdsused. See on tingitud asjaolust, et mõne osalise ebavõrdsuse lahendamise käigus võib märk muutuda. Enne murdvõrratuste lahendamist peate teadma, et nende lahendamiseks kasutatakse intervallmeetodit. Murdvõrratus tuleb esitada nii, et märgi üks pool näeks välja selline murdosa ratsionaalne avaldis ja teine – “- 0”. Sel viisil ebavõrdsust teisendades saame tulemuseks f(x)/g(x) > (.
Võrratuste lahendamine intervallmeetodil
Intervalltehnika põhineb meetodil täielik induktsioon st ebavõrdsusele lahenduse leidmiseks on vaja kõik läbi sorteerida võimalikud variandid. See lahendusmeetod ei pruugi olla vajalik 8. klassi õpilaste jaoks, sest nad peaksid teadma, kuidas lahendada 8. klassi ebavõrdsusi, mis on lihtsad harjutused. Kuid vanemate klasside jaoks on see meetod asendamatu, kuna see aitab lahendada murdosa ebavõrdsust. Selle tehnika abil ebavõrdsuste lahendamine põhineb ka pideva funktsiooni sellisel omadusel nagu märgi säilitamine väärtuste vahel, milles see muutub 0-ks.
Koostame polünoomi graafiku. See pidev funktsioon, omandades väärtuse 0 3 korda, see tähendab, et f(x) võrdub 0-ga punktides x 1, x 2 ja x 3, polünoomi juurtes. Nende punktide vahelistes intervallides säilib funktsiooni märk.
Kuna võrratuse f(x)>0 lahendamiseks vajame funktsiooni märki, siis liigume edasi koordinaatjoonele, jättes graafiku.
f(x)>0 x(x 1 ; x 2) ja x(x 3) jaoks;
f(x)x(- ; x 1) ja x (x 2 ; x 3)
Graafik näitab selgelt võrratuste f(x)f(x)>0 lahendeid (esimese võrratuse lahend on sinisega ja teise võrratuse lahend punasega). Funktsiooni märgi määramiseks intervallil piisab, kui teate funktsiooni märki ühes punktis. See tehnika võimaldab kiiresti lahendada ebavõrdsusi, milles on arvestatud vasak pool, sest sellistes ebavõrdustes on juurte leidmine üsna lihtne.