Intervall meetod on spetsiaalne algoritm, mis on loodud lahendamiseks keerulised ebavõrdsused kujul f(x) > 0. Algoritm koosneb 5 sammust:
- Lahendage võrrand f(x) = 0. Seega saame võrratuse asemel võrrandi, mida on palju lihtsam lahendada;
- Märkige kõik saadud juured koordinaatjoonele. Seega jagatakse sirgjoon mitmeks intervalliks;
- Leidke juurte paljusus. Kui juured on ühtlaselt palju, tõmmake silmus juure kohale. (Juur loetakse mitmekordseks, kui identseid lahendeid on paarisarv)
- Leia funktsiooni f(x) märk (pluss või miinus) kõige parempoolsemal intervallil. Selleks piisab, kui asendada f(x)-ga suvaline arv, mis jääb kõigist märgitud juurtest paremale;
- Märkige märgid ülejäänud intervallidega, muutes neid vaheldumisi.
Pärast seda jääb üle vaid meid huvitavad intervallid kirja panna. Need on tähistatud “+” märgiga, kui ebavõrdsus oli kujul f(x) > 0, või märgiga “−”, kui ebavõrdsus oli kujul f(x)< 0.
Mitterangete võrratuste (≤ , ≥) korral on vaja intervallidesse kaasata punkte, mis on võrrandi f(x) = 0 lahendiks;
Näide 1:
Lahenda ebavõrdsus:
(x - 2) (x + 7)< 0
Töötame intervallmeetodil.
Samm 1: asendage võrratus võrrandiga ja lahendage see:
(x - 2) (x + 7) = 0
Korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks teguritest võrdne nulliga:
x - 2 = 0 => x = 2
x + 7 = 0 => x = -7
Meil on kaks juurt.
2. samm: Märgime need juured koordinaatjoonele. Meil on:
3. samm: leiame funktsiooni märgi kõige parempoolsemast intervallist (märgitud punktist x = 2 paremal). Selleks peate võtma mis tahes numbri, mis rohkem numbrit x = 2. Võtame näiteks x = 3 (aga keegi ei keela võtta x = 4, x = 10 ja isegi x = 10 000).
f(x) = (x - 2) (x + 7)
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 * 10 = 10
Saame, et f(3) = 10 > 0 (10 on positiivne arv), seega paneme parempoolseimasse intervalli plussmärgi.
4. samm: peate märkima ülejäänud intervallide märgid. Peame meeles, et iga juure läbimisel peab märk muutuma. Näiteks juurest x = 2 paremal on pluss (selles veendusime eelmises etapis), seega peab miinus olema vasakul. See miinus laieneb kogu intervallile (−7; 2), seega on miinus juurest x = −7 paremal. Seetõttu on juurest x = −7 vasakul pluss. Jääb üle märkida need märgid koordinaatide teljele.
Pöördume tagasi algse ebavõrdsuse juurde, millel oli vorm:
(x - 2) (x + 7)< 0
Seega peab funktsioon olema väiksem kui null. See tähendab, et meid huvitab miinusmärk, mis esineb ainult ühel intervallil: (−7; 2). See on vastus.
Näide 2:
Lahenda ebavõrdsus:
(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) ≥ 0
Lahendus:
Kõigepealt peate leidma võrrandi juured
(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0
Ahendame esimese sulu ja saame:
(3x - 1) 2 (x - 2) = 0
x-2 = 0; (3x - 1) 2 = 0
Nende võrrandite lahendamisel saame:
Joonistame punktid arvujoonele:
Sest x 2 ja x 3 on mitu juurt, siis on joonel üks punkt ja selle kohal " silmus”.
Võtame vasakpoolseimast punktist väiksema arvu ja asendame selle algse võrratusega. Võtame arvu -1.
Ärge unustage lisada võrrandile lahendust (leitud X), sest meie ebavõrdsus ei ole range.
Vastus:
()U)