Mida peate teadma ebavõrdsuse ikoonide kohta? Ebavõrdsused ikooniga rohkem (> ), või vähem (< ) kutsutakse range. Ikoonidega rohkem või võrdne (≥ ), väiksem või võrdne (≤ ) kutsutakse mitte range. Ikoon pole võrdne (≠ ) eristub, kuid selle ikooniga tuleb kogu aeg ka näiteid lahendada. Ja me otsustame.)
Ikoon ise ei oma lahendusprotsessile erilist mõju. Kuid otsuse lõpus, lõpliku vastuse valimisel, ilmub ikooni tähendus täies jõus! Seda näeme allpool näidetes. Seal on naljad...
Ebavõrdsus, nagu ka võrdsus, on olemas ustav ja truudusetu. Siin on kõik lihtne, ei mingeid trikke. Oletame, et 5 > 2 on tõeline ebavõrdsus. 5 < 2 - vale.
See ettevalmistus töötab ebavõrdsuse korral mis tahes ja õuduseni lihtne.) Peate lihtsalt õigesti sooritama kaks (ainult kaks!) elementaarset toimingut. Need toimingud on kõigile tuttavad. Kuid iseloomulikult on eksimused nendes tegevustes peamine viga ebavõrdsuse lahendamisel, jah... Seetõttu tuleb neid toiminguid korrata. Neid toiminguid nimetatakse järgmiselt:
Ebavõrdsuse identsed teisendused.
Võrratuste identsed teisendused on väga sarnased võrrandite identsete teisendustega. Tegelikult on see peamine probleem. Erinevused käivad üle pea ja... siin sa oled.) Seetõttu toon need erinevused eriti esile. Niisiis, esimene identne ebavõrdsuse teisendus:
1. Võrratuse mõlemale poolele saab liita (lahutada) sama arvu või avaldise. Ükskõik milline. See ei muuda ebavõrdsuse märki.
Praktikas kasutatakse seda reeglit terminite ülekandmiseks ebavõrdsuse vasakult poolelt paremale (ja vastupidi) koos märgivahetusega. Termini märgi muutmisega, mitte ebavõrdsusega! Üks-ühele reegel on sama, mis võrrandite reegel. Kuid järgmised identsed teisendused võrratustes erinevad oluliselt võrrandite omadest. Seetõttu tõstan need punaselt esile:
2. Ebavõrdsuse mõlemad pooled saab korrutada (jagada) sama asjagapositiivnenumber. Igapositiivne Ei muutu.
3. Ebavõrdsuse mõlemad pooled saab korrutada (jagada) sama asjaganegatiivne number. Iganegatiivnenumber. Ebavõrdsuse märk sellestmuutub vastupidiseks.
Mäletate (ma loodan...), et võrrandit saab korrutada/ jagada millega iganes. Ja mis tahes arvu ja X-ga avaldise jaoks. Kui see poleks vaid null. See teeb temast, võrrandist, ei kuuma ega külma.) See ei muutu. Kuid ebavõrdsus on korrutamise/jagamise suhtes tundlikum.
Selge näide pika mälu kohta. Kirjutame ebavõrdsuse, mis ei tekita kahtlusi:
5 > 2
Korrutage mõlemad pooled arvuga +3, saame:
15 > 6
Kas on vastuväiteid? Vastuväiteid pole.) Ja kui me korrutame algse võrratuse mõlemad pooled arvuga -3, saame:
15 > -6
Ja see on otsene vale.) Täielik vale! Rahva petmine! Kuid niipea, kui muudate ebavõrdsuse märgi vastupidiseks, loksub kõik paika:
15 < -6
Ma ei vannu ainult valede ja pettuste pärast.) "Unustasin võrdusmärgi vahetada..."- See Kodu viga ebavõrdsuse lahendamisel. See tühine ja lihtne reegel on nii paljudele inimestele haiget teinud! Mille nad unustasid...) Nii et ma vannun. Ehk tuleb meelde...)
Eriti tähelepanelikud inimesed märkavad, et ebavõrdsust ei saa korrutada avaldisega, millel on X. Respekt neile, kes on tähelepanelikud!) Miks mitte? Vastus on lihtne. Me ei tea selle X-ga väljendi märki. See võib olla positiivne, negatiivne... Seetõttu me ei tea, milline ebavõrdsusmärk panna pärast korrutamist. Kas ma peaksin seda muutma või mitte? Tundmatu. Muidugi saab sellest piirangust (keeld korrutada/jagada võrratust x-iga avaldisega) mööda hiilida. Kui sa seda tõesti vajad. Kuid see on teiste tundide teema.
See on kõik ebavõrdsuse identsed teisendused. Lubage mul teile veel kord meelde tuletada, et nad töötavad ükskõik milline ebavõrdsused Nüüd saate liikuda konkreetsete tüüpide juurde.
Lineaarsed ebavõrdsused. Lahendus, näited.
Lineaarsed võrratused on võrratused, milles x on esimeses astmes ja x-ga jagamist ei toimu. Tüüp:
x+3 > 5x-5
Kuidas selline ebavõrdsus lahendatakse? Neid on väga lihtne lahendada! Nimelt: abil vähendame kõige segasemat lineaarset ebavõrdsust otse vastuse juurde. See on lahendus. Toon välja otsuse põhipunktid. Rumalate vigade vältimiseks.)
Lahendame selle ebavõrdsuse:
x+3 > 5x-5
Lahendame selle täpselt samamoodi nagu lineaarvõrrandit. Ainsa erinevusega:
Jälgime hoolega ebavõrdsuse märki!
Esimene samm on kõige tavalisem. X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale... See on esimene identne teisendus, lihtne ja probleemideta.) Ärge unustage lihtsalt ülekantud terminite märke muuta.
Ebavõrdsuse märk jääb alles:
x-5x > -5-3
Siin on sarnased.
Ebavõrdsuse märk jääb alles:
4x > -8
Jääb üle rakendada viimane identne teisendus: jagage mõlemad pooled -4-ga.
Jagage poolt negatiivne number.
Ebavõrdsuse märk muutub vastupidiseks:
X < 2
See on vastus.
Nii lahendatakse kõik lineaarsed ebavõrdsused.
Tähelepanu! Punkt 2 on joonistatud valgeks, st. värvimata. Seest tühi. See tähendab, et ta ei ole vastuses! Ma joonistasin ta meelega nii tervena. Sellist punkti (tühi, mitte terve!)) matemaatikas nimetatakse torgatud punkt.
Ülejäänud numbreid teljel saab märkida, kuid mitte vajalik. Kõrvalised arvud, mis ei ole seotud meie ebavõrdsusega, võivad tekitada segadust, jah... Tuleb vaid meeles pidada, et arvud suurenevad noole suunas, s.t. numbrid 3, 4, 5 jne. on paremale on kahed ja arvud on 1, 0, -1 jne. - vasakule.
Ebavõrdsus x < 2 - range. X on rangelt väiksem kui kaks. Kahtluse korral on kontrollimine lihtne. Asendame kahtlase arvu ebavõrdsusega ja mõtleme: "Kaks on vähem kui kaks? Ei, muidugi!" Täpselt nii. Ebavõrdsus 2 < 2 vale. Kaks vastutasuks ei sobi.
Kas üks on korras? Kindlasti. Vähem... Ja null on hea, ja -17 ja 0,34... Jah, kõik arvud, mis on alla kahe, on head! Ja isegi 1,9999.... Vähemalt natuke, aga vähem!
Nii et märgime kõik need numbrid arvuteljele. Kuidas? Siin on valikud. Esimene võimalus on varjutamine. Liigutame hiirekursori pildi kohal (või puudutame tahvelarvutis pilti) ja näeme, et kõigi tingimusele x vastavate x-ide ala on varjutatud < 2 . See on kõik.
Vaatame teist võimalust teise näite abil:
X ≥ -0,5
Joonistage telg ja märkige arv -0,5. Nagu nii:
Kas märkate erinevust?) Noh, jah, seda on raske mitte märgata ... See täpp on must! Üle värvitud. See tähendab -0,5 sisaldub vastuses. Siin, muide, võib kontrollimine kedagi segadusse ajada. Asendame:
-0,5 ≥ -0,5
Kuidas nii? -0,5 ei ole suurem kui -0,5! Ja seal on veel ikooni ...
See on korras. Nõrga ebavõrdsuse korral sobib kõik, mis ikoonile sobib. JA võrdub hea ja rohkem hea. Seetõttu on vastuses -0,5.
Niisiis märkisime teljele -0,5; jääb üle märkida kõik numbrid, mis on suuremad kui -0,5. Seekord märgin sobivate x väärtuste ala vibu(sõnast kaar), mitte varjutada. Hõljutame kursori joonise kohal ja näeme seda vibu.
Varjutuse ja käepideme vahel pole erilist erinevust. Tehke nii, nagu õpetaja ütleb. Kui õpetajat pole, joonista kaared. Keerulisemate ülesannete puhul on varjutus vähem ilmne. Sa võid segadusse sattuda.
Nii joonistatakse teljele lineaarsed võrratused. Liigume edasi järgmise ebavõrdsuse tunnuse juurde.
Vastuse kirjutamine ebavõrdsusele.
Võrrandid olid head.) Leidsime x ja kirjutasime vastuse üles, näiteks: x=3. Ebavõrdsuses on vastuste kirjutamiseks kaks vormi. Üks on lõpliku ebavõrdsuse kujul. Hea lihtsate juhtumite jaoks. Näiteks:
X< 2.
See on täielik vastus.
Mõnikord on vaja sama asja kirja panna, kuid erineval kujul, numbriliste intervallidega. Siis hakkab salvestus väga teaduslik välja nägema):
x ∈ (-∞; 2)
Ikooni all ∈ sõna on peidetud "kuulub".
Kirje kõlab järgmiselt: x kuulub vahemikku miinus lõpmatusest kaheni välja arvatud. Üsna loogiline. X võib olla mis tahes arv kõigist võimalikest arvudest miinus lõpmatusest kaheni. Topelt-X ei saa olla, mida see sõna meile ütleb "välja arvatud".
Ja kus vastuses on see selge "välja arvatud"? Seda asjaolu märgitakse vastuses ümmargune sulgudes kohe pärast kahte. Kui need kaks oleksid kaasatud, oleks sulg ruut. Nagu see: ]. Järgmises näites kasutatakse sellist sulgu.
Paneme vastuse kirja: x ≥ -0,5 intervallidega:
x ∈ [-0,5; +∞)
Loeb: x kuulub vahemikku miinus 0,5, kaasa arvatud, pluss lõpmatuseni.
Lõpmatust ei saa kunagi sisse lülitada. See ei ole number, see on sümbol. Seetõttu on sellistes tähistes lõpmatus alati sulu kõrval.
See salvestusvorm on mugav keerukate vastuste jaoks, mis koosnevad mitmest tühikust. Aga - ainult lõplike vastuste jaoks. Vahetulemustes, kus on oodata edasist lahendust, on parem kasutada tavalist vormi, lihtsa ebavõrdsuse kujul. Seda käsitleme vastavates teemades.
Populaarsed ülesanded ebavõrdsusega.
Lineaarsed ebavõrdsused ise on lihtsad. Seetõttu muutuvad ülesanded sageli raskemaks. Seega oli vaja mõelda. Kui te pole sellega harjunud, pole see eriti meeldiv.) Aga see on kasulik. Toon näiteid sellistest ülesannetest. Mitte teie jaoks, et neid õppida, see pole vajalik. Ja selleks, et selliseid näiteid kohates mitte karta. Mõelge natuke - ja see on lihtne!)
1. Leidke võrratuse 3x - 3 mis tahes kaks lahendit< 0
Kui pole väga selge, mida teha, pidage meeles matemaatika peamist reeglit:
Kui te ei tea, mida vajate, tehke seda, mida saate!)
X < 1
Ja mida? Ei midagi erilist. Mida nad meilt küsivad? Meil palutakse leida kaks konkreetset arvu, mis on ebavõrdsuse lahendus. Need. sobib vastus. Kaks ükskõik milline numbrid. Tegelikult tekitab see segadust.) Sobivad paar 0 ja 0,5. Paar -3 ja -8. Neid paare on lõpmatu arv! Kumb vastus on õige?!
Vastan: kõike! Iga arvupaar, millest igaüks on väiksem kui üks, oleks õige vastus. Kirjutage, millist soovite. Liigume edasi.
2. Lahenda ebavõrdsus:
4x-3 ≠ 0
Sellise vormi ülesanded on haruldased. Kuid abivõrratustena esinevad need näiteks ODZ leidmisel või funktsiooni määratluspiirkonna leidmisel kogu aeg. Sellist lineaarset võrratust saab lahendada tavalise lineaarvõrrandina. Ainult kõikjal, välja arvatud märk "=" ( võrdub) pane silt " ≠ " (pole võrdne). Nii lähenete vastusele ebavõrdsusmärgiga:
X ≠ 0,75
Keerulisemate näidete puhul on parem teha asju teisiti. Tehke võrdsusest ebavõrdsus. Nagu nii:
4x-3 = 0
Lahendage see rahulikult nagu õpetatud ja saate vastuse:
x = 0,75
Peaasi, et päris lõpus, lõplikku vastust üles kirjutades, ärge unustage, et leidsime x, mis annab võrdsus. Ja me vajame - ebavõrdsus. Seetõttu me seda X-i tegelikult ei vaja.) Ja me peame selle õige sümboliga üles kirjutama:
X ≠ 0,75
Selline lähenemine toob kaasa vähem vigu. Need, kes lahendavad võrrandid automaatselt. Ja neile, kes võrrandeid ei lahenda, pole ebavõrdsustest tegelikult kasu...) Veel üks näide populaarsest ülesandest:
3. Leidke võrratuse väikseim täisarvuline lahend:
3 (x - 1) < 5x + 9
Kõigepealt lahendame lihtsalt ebavõrdsuse. Avame sulgud, liigutame, toome sarnased... Saame:
X > - 6
Kas see nii ei läinud!? Kas järgisite märke!? Ja liikmete märkide taga ja ebavõrdsuse märgi taga...
Mõtleme uuesti. Peame leidma konkreetse numbri, mis vastab nii vastusele kui ka tingimusele "väikseim täisarv". Kui see teile kohe ei tule, võite lihtsalt võtta suvalise numbri ja selle välja mõelda. Kaks üle miinus kuus? Kindlasti! Kas on sobiv väiksem number? Muidugi. Näiteks null on suurem kui -6. Ja veel vähem? Vajame väikseimat võimalikku asja! Miinus kolm on rohkem kui miinus kuus! Saate juba mustrist kinni püüda ja lõpetada rumalate numbrite läbimise, eks?)
Võtame arvu, mis on lähemal -6-le. Näiteks -5. Vastus on täidetud, -5 > - 6. Kas on võimalik leida teist arvu, mis on väiksem kui -5, kuid suurem kui -6? Võid näiteks -5,5... Stop! Meile öeldakse terve lahendus! Ei veere -5,5! Aga miinus kuus? Ahh! Ebavõrdsus on range, miinus 6 ei ole mingil juhul väiksem kui miinus 6!
Seetõttu on õige vastus -5.
Loodan, et üldlahenduse väärtuse valikuga on kõik selge. Veel üks näide:
4. Lahenda ebavõrdsus:
7 < 3x+1 < 13
Vau! Seda väljendit nimetatakse kolmekordne ebavõrdsus. Rangelt võttes on see ebavõrdsuse süsteemi lühendatud vorm. Aga selliseid kolmekordseid ebavõrdsusi tuleb mõnes ülesandes ikkagi lahendada... Seda saab lahendada ka ilma igasuguste süsteemideta. Samade identsete teisenduste järgi.
Peame lihtsustama, viima selle ebavõrdsuse puhtale X-le. Aga... Mis kuhu tuleks üle kanda?! Siin on aeg meeles pidada, et vasakule ja paremale liikumine on vajalik lühendatud vorm esimene identiteedi transformatsioon.
Ja täisvorm kõlab järgmiselt: Võrrandi (ebavõrdsuse) mõlemale poolele saab liita/lahutada mis tahes arvu või avaldise.
Siin on kolm osa. Seega rakendame kõigile kolmele osale identsed teisendused!
Niisiis, vabaneme ebavõrdsuse keskosas olevast. Lahutame kogu keskmisest osast ühe. Et ebavõrdsus ei muutuks, lahutame ülejäänud kahest osast ühe. Nagu nii:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
See on parem, eks?) Jääb vaid jagada kõik kolm osa kolmeks:
2 < X < 4
See on kõik. See on vastus. X võib olla mis tahes arv kahest (ei sisalda) kuni neljani (ei sisalda). See vastus kirjutatakse ka intervallidega; sellised kirjed on ruutvõrratustes. Seal on need kõige tavalisemad asjad.
Tunni lõpus kordan üle kõige olulisema. Lineaarvõrratuste lahendamise edukus sõltub lineaarvõrrandite teisendamise ja lihtsustamise võimest. Kui samal ajal jälgige ebavõrdsuse märki, probleeme ei tule. Seda ma teile soovin. Ei ole probleeme.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Ebavõrdsus mängib matemaatikas olulist rolli. Koolis tegeleme põhiliselt arvulised ebavõrdsused, mille määratlusega alustame seda artiklit. Ja siis loetleme ja põhjendame arvuliste võrratuste omadused, millel põhinevad kõik ebavõrdsustega töötamise põhimõtted.
Märgime kohe, et paljud arvulise ebavõrdsuse omadused on sarnased. Seetõttu esitame materjali sama skeemi järgi: sõnastame omaduse, anname selle põhjenduse ja näited, misjärel liigume edasi järgmise omaduse juurde.
Leheküljel navigeerimine.
Numbrilised ebavõrdsused: definitsioon, näited
Kui tutvustasime ebavõrdsuse mõistet, märkasime, et ebavõrdsust defineeritakse sageli selle järgi, kuidas need on kirjutatud. Seega nimetasime ebavõrdsust tähenduslikeks algebraavaldisteks, mis sisaldavad märke, mis ei võrdu ≠, vähem<, больше >, väiksem või võrdne ≤ või suurem või võrdne ≥. Ülaltoodud definitsiooni põhjal on mugav anda arvulise ebavõrdsuse definitsioon:
Kohtumine numbriliste ebavõrdsustega toimub matemaatikatundides esimeses klassis, kohe pärast esimeste naturaalarvudega 1-9 tutvumist ja võrdlustehtega tutvumist. Tõsi, seal nimetatakse neid lihtsalt ebavõrdsusteks, jättes välja "numbrilise" määratluse. Selguse huvides ei teeks paha tuua paar näidet kõige lihtsamatest arvulistest ebavõrdsustest nende uuringu selles etapis: 1<2 , 5+2>3 .
Ja naturaalarvudest kaugemal laienevad teadmised ka teist tüüpi arvudele (täisarvud, ratsionaalarvud, reaalarvud), uuritakse nende võrdlemise reegleid ja see laiendab oluliselt arvulise ebavõrdsuse tüüpide valikut: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .
Numbriliste võrratuste omadused
Praktikas võimaldab ebavõrdsustega töötamine mitmeid arvuliste võrratuste omadused. Need tulenevad meie kasutusele võetud ebavõrdsuse kontseptsioonist. Seoses arvudega annab selle mõiste järgmine väide, mida võib pidada arvuhulga seoste "vähem kui" ja "rohkem kui" määratluseks (seda nimetatakse sageli ebavõrdsuse erinevuse määratluseks):
Definitsioon.
- number a on suurem kui b siis ja ainult siis, kui erinevus a−b on positiivne arv;
- arv a on arvust b väiksem siis ja ainult siis, kui erinevus a−b on negatiivne arv;
- arv a on võrdne arvuga b siis ja ainult siis, kui erinevus a−b on null.
Selle määratluse saab ümber töötada suhete "väiksem või võrdne" ja "suurem või võrdne" määratluseks. Siin on tema sõnastus:
Definitsioon.
- number a on suurem või võrdne b-ga siis ja ainult siis, kui a-b on mittenegatiivne arv;
- a on väiksem või võrdne b-ga siis ja ainult siis, kui a-b on mittepositiivne arv.
Kasutame neid definitsioone arvuliste võrratuste omaduste tõestamisel, mille ülevaatamisele jätkame.
Põhiomadused
Alustame ülevaadet ebavõrdsuse kolme peamise omadusega. Miks need on elementaarsed? Sest need peegeldavad ebavõrdsuse omadusi kõige üldisemas tähenduses ja mitte ainult seoses arvulise ebavõrdsusega.
Märkide abil kirjutatud arvulised võrratused< и >, iseloomulik:
Mis puudutab nõrkade võrratuste märkide ≤ ja ≥ abil kirjutatud arvulisi võrratusi, siis neil on refleksiivsuse (ja mitte antirefleksiivsuse) omadus, kuna võrratused a≤a ja a≥a hõlmavad ka võrdsuse a=a juhtu. Neid iseloomustab ka antisümmeetria ja transitiivsus.
Seega on märkide ≤ ja ≥ abil kirjutatud arvulistel võrratustel järgmised omadused:
- refleksiivsus a≥a ja a≤a on tõelised ebavõrdsused;
- antisümmeetria, kui a≤b, siis b≥a ja kui a≥b, siis b≤a.
- transitiivsus, kui a≤b ja b≤c, siis a≤c ja samuti, kui a≥b ja b≥c, siis a≥c.
Nende tõestus on väga sarnane juba esitatutega, mistõttu me neil pikemalt ei peatu, vaid liigume edasi muude oluliste arvulise ebavõrdsuse omaduste juurde.
Muud arvuliste võrratuste olulised omadused
Täiendagem arvuliste võrratuste põhiomadusi rea tulemustega, millel on suur praktiline tähtsus. Nendel põhinevad avaldiste väärtuste hindamise meetodid, neil põhinevad põhimõtted lahendusi ebavõrdsusele ja nii edasi. Seetõttu on soovitatav neid hästi mõista.
Selles jaotises sõnastame ebavõrdsuse omadused ainult ühe range ebavõrdsuse märgi jaoks, kuid tasub meeles pidada, et sarnased omadused kehtivad nii vastupidise märgi kui ka mitterange ebavõrdsuse märkide puhul. Selgitame seda näitega. Allpool sõnastame ja tõestame järgmise võrratuste omaduse: kui a
Mugavuse huvides esitame arvuliste võrratuste omadused loendi kujul, samal ajal kui anname vastava väite, kirjutame selle formaalselt tähtedega, anname tõestuse ja näitame seejärel kasutusnäiteid. Ja artikli lõpus võtame tabelis kokku kõik arvulise ebavõrdsuse omadused. Mine!
Tagajärg. Vormi a identsete tõeliste võrratuste termiline korrutis
Mis tahes arvu lisamine (või lahutamine) tõelise arvulise ebavõrdsuse mõlemale poolele annab tõelise arvulise ebavõrdsuse. Teisisõnu, kui arvud a ja b on sellised, et a
Selle tõestamiseks teeme vahe viimase arvulise võrratuse vasaku ja parema külje vahel ning näitame, et see on negatiivne tingimusel a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Kuna tingimusel a
Me ei peatu selle arvulise ebavõrdsuse omaduse tõestamisel arvu c lahutamisel, kuna reaalarvude hulgal saab lahutamise asendada liitmisega −c.
Näiteks kui lisada õige arvulise võrratuse 7>3 mõlemale poolele arv 15, saate õige arvulise võrratuse 7+15>3+15, mis on sama, 22>18.
Kui kehtiva arvulise ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutatakse (või jagatakse) sama positiivse arvuga c, saate kehtiva arvulise võrratuse. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada (või jagada) negatiivse arvuga c ja ebavõrdsuse märk on vastupidine, on ebavõrdsus tõene. Literaalses vormis: kui arvud a ja b rahuldavad ebavõrdsust a eKr.
Tõestus. Alustame juhtumist, kui c>0. Teeme tõestatava arvulise võrratuse vasaku ja parema külje vahe: a·c−b·c=(a−b)·c . Kuna tingimusel a 0 , siis on korrutis (a−b)·c negatiivne arv negatiivse arvu a−b ja positiivse arvu c korrutisena (mis tuleneb ). Seetõttu a·c−b·c<0
, откуда a·c Me ei peatu tõelise arvulise võrratuse mõlema poole jagamisel sama arvuga c vaadeldava omaduse tõestamisel, kuna jagamise saab alati asendada korrutamisega arvuga 1/c. Näitame analüüsitud omaduse kasutamise näidet konkreetsetel numbritel. Näiteks võib teil olla õige arvulise võrratuse 4 mõlemad pooled<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Äsja käsitletud omadusest korrutada arvulise võrdsuse mõlemad pooled arvuga, järgneb kaks praktiliselt väärtuslikku tulemust. Seega sõnastame need tagajärgede vormis. Kõiki ülaltoodud selles lõigus käsitletud omadusi ühendab asjaolu, et esmalt antakse õige arvuline võrratus ja sellest saadakse läbi mõningate manipulatsioonide võrratuse osade ja märgiga veel üks õige arvuline võrratus. Nüüd esitame omaduste ploki, milles on algselt antud mitte üks, vaid mitu õiget arvulist võrratust, mille ühiskasutusest saadakse peale nende osade liitmist või korrutamist uus tulemus. Kui arvud a, b, c ja d rahuldavad ebavõrdsust a
Tõestame, et (a+c)−(b+d) on negatiivne arv, see tõestab, et a+c Induktsiooni abil laieneb see omadus kolme, nelja ja üldiselt mis tahes lõpliku arvu arvuliste võrratuste liigendamisele. Seega, kui arvude a 1, a 2, …, a n ja b 1, b 2, …, b n korral on tõesed järgmised võrratused: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Näiteks antakse meile kolm õiget sama märgiga –5 numbrilist võrratust<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Saate korrutada sama märgiga arvulisi võrratusi liikme kaupa, mille mõlemad pooled on esitatud positiivsete arvudega. Eelkõige kahe ebavõrdsuse puhul a
Selle tõestamiseks võite korrutada ebavõrdsuse a mõlemad pooled
See omadus kehtib ka mis tahes lõpliku arvu tõeliste arvuliste võrratuste korrutamisel positiivsete osadega. See tähendab, et kui a 1, a 2, ..., a n ja b 1, b 2, ..., b n on positiivsed arvud ja a 1 a 1 a 2…a n . Eraldi väärib märkimist, et kui arvuliste võrratuste tähis sisaldab mittepositiivseid arve, võib nende terminihaaval korrutamine põhjustada valesid arvulisi võrratusi. Näiteks arvulised võrratused 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Artikli lõpus, nagu lubatud, kogume kõik uuritud omadused sisse arvuliste võrratuste omaduste tabel:
Bibliograafia.
- Moro M.I.. Matemaatika. Õpik 1 klassi jaoks. algust kool 2 tunniga Osa 1. (I poolaasta) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6. väljaanne. - M.: Haridus, 2006. - 112 lk.: ill.+Lisa. (2 eraldi l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matemaatika: õpik 5. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga.1.osa.Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Ebavõrdsust nimetatakse lineaarseks mille vasak ja parem pool on tundmatu suuruse suhtes lineaarsed funktsioonid. Nende hulka kuuluvad näiteks ebavõrdsused:
2x-1-x+3; 7x0;
5 >4-6x 9- x< x + 5 .
1) Range ebavõrdsus: kirves +b>0 või kirves+b<0
2) Mitterange ebavõrdsus: kirves +b≤0 või kirves+b≫ 0
Analüüsime seda ülesannet. Rööpküliku üks külg on 7cm. Kui suur peab olema teise külje pikkus, et rööpküliku ümbermõõt oleks suurem kui 44 cm?
Olgu vajalik pool X cm. Sel juhul on rööpküliku ümbermõõt (14 + 2x) cm. Võrratus 14 + 2x > 44 on rööpküliku perimeetri ülesande matemaatiline mudel. Kui asendame muutuja selles võrratuses X näiteks arvul 16, siis saame õige arvulise võrratuse 14 + 32 > 44. Sel juhul öeldakse, et arv 16 on võrratuse 14 + 2x > 44 lahend.
Ebavõrdsuse lahendamine nimeta muutuja väärtus, mis muudab selle tõeliseks arvuliseks võrratuseks.
Seetõttu on iga arv 15,1; 20;73 toimivad ebavõrdsuse 14 + 2x > 44 lahendusena, kuid näiteks arv 10 ei ole selle lahendus.
Lahendage ebavõrdsus tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või tõestamist, et lahendusi pole.
Võrratuse lahendi formuleerimine on sarnane võrrandi juure sõnastusega. Ja ometi pole kombeks nimetada "ebavõrdsuse juuri".
Arvuliste võrrandite omadused aitasid meil võrrandeid lahendada. Samamoodi aitavad ebavõrdsust lahendada numbriliste võrratuste omadused.
Võrrandi lahendamisel muudame selle teise, lihtsama võrrandi vastu, kuid samaväärseks antud võrrandiga. Vastus ebavõrdsusele leitakse sarnaselt. Võrrandi muutmisel samaväärseks võrrandiks kasutavad nad teoreemi võrrandi ühelt küljelt teisele kuuluvate terminite ülekandmise kohta ja võrrandi mõlema poole korrutamise kohta sama nullist erineva arvuga. Võrratuse lahendamisel on selle ja võrrandi vahel oluline erinevus, mis seisneb selles, et iga võrrandi lahendit saab kontrollida lihtsalt algvõrrandiga asendamisega. Ebavõrdsuses see meetod puudub, kuna pole võimalik asendada lugematuid lahendusi algse ebavõrdsusega. Seetõttu on oluline kontseptsioon, need nooled<=>on samaväärsete või samaväärsete teisenduste märk. Transformatsiooni nimetatakse samaväärne, või samaväärne, kui need lahenduste komplekti ei muuda.
Sarnased reeglid ebavõrdsuse lahendamiseks.
Kui liigutada mis tahes liiget ebavõrdsuse ühest osast teise, asendades selle märgi vastupidise märgiga, saame sellega võrdväärse võrratuse.
Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada (jagada) sama positiivse arvuga, saame selle võrratuse.
Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada (jagada) sama negatiivse arvuga, asendades ebavõrdsuse märgi vastupidise arvuga, saame võrratuse, mis on samaväärne antud ebavõrdsusega.
Kasutades neid reeglid Arvutame välja järgmised võrratused.
1) Analüüsime ebavõrdsust 2x - 5 > 9.
See lineaarne ebavõrdsus, leiame selle lahenduse ja arutame põhimõisteid.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5 nihutati vastupidise märgiga vasakule poole), siis jagasime kõik 2-ga ja ongi käes x > 7. Joonistame lahenduste hulga teljele x
Oleme saanud positiivselt suunatud kiire. Märgime lahenduste hulga kas ebavõrdsuse kujul x > 7, või intervalli x(7; ∞) kujul. Mis on selle ebavõrdsuse konkreetne lahendus? Näiteks, x = 10 on selle ebavõrdsuse eriline lahendus, x = 12- see on ka selle ebavõrdsuse eriline lahendus.
Osalahendusi on palju, kuid meie ülesanne on leida kõik lahendused. Ja lahendusi on tavaliselt lugematu arv.
Teeme asja korda näide 2:
2) Lahenda ebavõrdsus 4a - 11 > a + 13.
Lahendame selle: A liigutage seda ühele küljele 11 liigutage see teisele poole, saame 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ebavõrdsusel on vorm a<8 .
4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .
Näitame ka komplekti a< 8 , aga juba teljel A.
Kirjutame vastuse kas ebavõrdsuse a kujul< 8, либо A(-∞;8), 8 ei lülitu sisse.
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Näiteks ebavõrdsus on avaldis \(x>5\).
Ebavõrdsuse tüübid:
Kui \(a\) ja \(b\) on arvud või , siis nimetatakse võrratust numbriline. See on tegelikult lihtsalt kahe numbri võrdlemine. Sellised ebavõrdsused jagunevad ustav Ja truudusetu.
Näiteks:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) on vale numbriline võrratus, kuna \(17+3=20\) ja \(20\) on väiksem kui \(115\) (ja mitte suurem või võrdne sellega) .
Kui \(a\) ja \(b\) on muutujat sisaldavad avaldised, siis meil on ebavõrdsus muutujaga. Sellised ebavõrdsused jagunevad olenevalt sisust tüüpideks:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Muutuv ainult esimese astmeni |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Teises astmes (ruut) on muutuja, kuid kõrgemaid astmeid (kolmas, neljas jne) pole. |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Mis on ebavõrdsuse lahendus?
Kui asendate ebavõrdsusega muutuja asemel arvu, muutub see numbriliseks.
Kui x-i antud väärtus muudab algse võrratuse tõeliseks numbriliseks, siis seda nimetatakse lahendus ebavõrdsusele. Kui ei, siis see väärtus ei ole lahendus. Ja selleks lahendada ebavõrdsus– peate leidma kõik selle lahendused (või näitama, et neid pole).
Näiteks, kui asendame arvu \(7\) lineaarvõrratusega \(x+6>10\), saame õige arvulise võrratuse: \(13>10\). Ja kui asendame \(2\), tekib vale numbriline ebavõrdsus \(8>10\). See tähendab, et \(7\) on algse ebavõrdsuse lahendus, kuid \(2\) mitte.
Võrratusel \(x+6>10\) on aga ka teisi lahendusi. Tõepoolest, \(5\), ja \(12\) ja \(138\) asendamisel saame õiged arvulised võrratused... Ja kuidas leida kõik võimalikud lahendused? Selleks kasutavad nad meie puhul:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
See tähendab, et meile sobib iga number, mis on suurem kui neli. Nüüd peate vastuse üles kirjutama. Võrratuste lahendused kirjutatakse tavaliselt numbriliselt, märkides need täiendavalt arvuteljele varjutusega. Meie juhtumi jaoks on meil:
Vastus:
\(x\in(4;+\infty)\)
Millal muutub ebavõrdsuse märk?
Ebavõrdsuses on üks suur lõks, millesse õpilased väga "armavad" langeda:
Võrratuse korrutamisel (või jagamisel) negatiivse arvuga pööratakse see ümber (“rohkem” väärtusega “vähem”, “rohkem või võrdne” arvuga “vähem või võrdne” jne).
Miks see juhtub? Selle mõistmiseks vaatame arvulise võrratuse \(3>1\) teisendusi. See on õige, kolm on tõepoolest suurem kui üks. Esiteks proovime seda korrutada mis tahes positiivse arvuga, näiteks kahega:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Nagu näeme, jääb pärast korrutamist ebavõrdsus tõeseks. Ja ükskõik millise positiivse arvuga me korrutame, saame alati õige ebavõrdsuse. Proovime nüüd korrutada negatiivse arvuga, näiteks miinus kolm:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Tulemuseks on vale ebavõrdsus, sest miinus üheksa on väiksem kui miinus kolm! See tähendab, et ebavõrdsuse tõeseks muutumiseks (ja seetõttu oli negatiivsega korrutamise teisendamine "seaduslik"), peate võrdlusmärgi ümber pöörama järgmiselt: \(−9<− 3\).
Jagamisel toimib see samamoodi, saate seda ise kontrollida.
Eespool kirjutatud reegel kehtib igat tüüpi ebavõrdsuse kohta, mitte ainult numbrilise ebavõrdsuse kohta.
Näide: Lahendage võrratus \(2(x+1)-1<7+8x\)Lahendus:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Liigume \(8x\) vasakule ja \(2\) ja \(-1\) paremale, unustamata märke muuta |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled arvuga \(-6\), unustamata muuta "vähem" asemel "rohkem" |
|
Märgime teljele numbrilise intervalli. Ebavõrdsus, seetõttu "torgame välja" väärtuse \(-1\) enda ja ei võta seda vastusena |
|
|
Kirjutame vastuse intervallina |
Vastus: \(x\in(-1;\infty)\)
Ebavõrdsus ja puue
Võrratustel, nagu ka võrranditel, võivad olla piirangud , see tähendab x väärtustele. Sellest lähtuvalt tuleks need väärtused, mis on DZ järgi vastuvõetamatud, lahenduste hulgast välja jätta.
Näide: Lahendage võrratus \(\sqrt(x+1)<3\)
Lahendus: On selge, et selleks, et vasak pool oleks väiksem kui \(3\), peab radikaalavaldis olema väiksem kui \(9\) (lõppude lõpuks, alates \(9\) lihtsalt \(3\)). Saame:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
Kõik? Kas meile sobib mis tahes x väärtus, mis on väiksem kui \(8\)? Ei! Sest kui me võtame näiteks väärtuse \(-5\), mis näib vastavat nõuet, ei ole see algse ebavõrdsuse lahendus, kuna see viib meid negatiivse arvu juure arvutamiseni.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Seetõttu peame arvestama ka X väärtuse piirangutega – see ei saa olla selline, et juure all on negatiivne arv. Seega on meil x jaoks teine nõue:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Ja selleks, et x oleks lõpplahendus, peab see täitma korraga mõlemad nõuded: see peab olema väiksem kui \(8\) (et oleks lahendus) ja suurem kui \(-1\) (et oleks põhimõtteliselt vastuvõetav). Joonistades selle arvujoonele, saame lõpliku vastuse:
Vastus: \(\left[-1;8\right)\)