Arvulised võrratused ja nende omadused. Näited ebavõrdsuse lahendamisest

Väide on tõestatud.

Tõepoolest, näiteks 2< 3, но

Omadus 4. Kui a > b ja c > d, siis a + c > b+ d.

Tõestus. Kuna a>b ja c>d, on erinevused a-b ja c-d positiivsed arvud. Siis on ka nende arvude summa positiivne arv (a-b)+(c-d). Avame sulud ja rühmitame (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Seda võrdsust silmas pidades on saadud avaldis (a+c)-(b+d) positiivne arv. Seetõttu a+ c> b+ d.

Ebavõrdsused kujul a>b, c >d või a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Omadus 5. Kui a > b, c > d, siis ac> bd, kus a, b, c, d on positiivsed arvud.

Tõestus. Kuna a>b ja c on positiivne arv, siis omadust 3 kasutades saame ac > bc. Kuna c >d ja b on positiivne arv, siis bc > bd. Seetõttu esimese atribuudiga ac > bd. Tõestatud omaduse tähendus on järgmine: "Kui korrutada termin samatähenduslike võrratustega, mille vasak ja parem pool on positiivsed arvud, saame samatähendusliku ebavõrdsuse."

Näiteks 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Vara 6. Kui a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Tõestus. Kui korrutada n antud võrratuste liige liikmega a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Omandi taotlemine

Vaatleme näidet meie poolt käsitletud omaduste rakendamisest.

Las 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Hindame summat a + b. Kasutades atribuuti 4, saame 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Hindame vahet a - b. Kuna lahutamise omadust pole, asendame vahe a - b summaga a + (-b). Esmalt hindame (- b). Selleks kasutades omadust 3, ebavõrdsuse 3 mõlemad pooled< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Saame -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Hindame korrutist a ∙ b. Omadusega 5 korrutame sama märgi võrratused

Ebavõrdsust õppisime koolis, kus kasutame arvulisi ebavõrdsusi. Selles artiklis käsitleme arvuliste võrratuste omadusi, millest koostatakse nendega töötamise põhimõtted.

Võrratuste omadused on sarnased arvuliste võrratuste omadustega. Vaadeldakse omadusi, selle põhjendust ja tuuakse näiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numbrilised ebavõrdsused: definitsioon, näited

Ebavõrdsuse kontseptsiooni tutvustamisel oleme seisukohal, et nende määratlus on tehtud kirje tüübi järgi. On algebralisi avaldisi, millel on märgid ≠,< , >, ≤ , ≥ . Anname definitsiooni.

Definitsioon 1

Numbriline ebavõrdsus nimetatakse ebavõrdsuseks, mille mõlemal poolel on arvud ja arvavaldised.

Arvulisi ebavõrdsusi käsitleme koolis pärast naturaalarvude uurimist. Selliseid võrdlusoperatsioone uuritakse samm-sammult. Esialgsed näevad välja nagu 1< 5 , 5 + 7 >3. Pärast seda reegleid täiendatakse ja võrratused muutuvad keerulisemaks, siis saame võrratused kujul 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73-17 2< 0 .

Numbriliste võrratuste omadused

Ebavõrdsustega korrektseks töötamiseks peate kasutama arvuliste võrratuste omadusi. Need pärinevad ebavõrdsuse mõistest. See mõiste on määratletud väitega, mis on tähistatud kui "rohkem" või "vähem".

2. definitsioon

• arv a on suurem kui b, kui erinevus a - b on positiivne arv;
• arv a on väiksem kui b, kui erinevus a - b on negatiivne arv;
• arv a on võrdne b-ga, kui erinevus a - b on null.

Definitsiooni kasutatakse ebavõrdsuse lahendamisel suhetega "väiksem või võrdne", "suurem või võrdne". Me saame sellest aru

3. definitsioon

• a on suurem kui b või sellega võrdne, kui a - b on mittenegatiivne arv;
• a on väiksem kui b või sellega võrdne, kui a - b on mittepositiivne arv.

Definitsioone kasutatakse arvuliste võrratuste omaduste tõestamiseks.

Põhiomadused

Vaatame 3 peamist ebavõrdsust. Märkide kasutamine< и >iseloomulik järgmistele omadustele:

4. definitsioon

• antirefleksiivsus, mis ütleb, et mis tahes arv a võrratusest a< a и a >a peetakse ebaõigeks. On teada, et iga a korral kehtib võrdus a − a = 0, seega saame, et a = a. Nii et a< a и a >a on vale. Näiteks 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 on valed.
• asümmeetria. Kui arvud a ja b on sellised, et a< b , то b >a, ja kui a > b, siis b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Selle teine ​​osa on tõestatud sarnasel viisil.

Näide 1

Näiteks kui võtta arvesse ebavõrdsust 5< 11 имеем, что 11 >5, mis tähendab, et selle arvuline võrratus − 0, 27 > − 1, 3 kirjutatakse ümber kujul − 1, 3< − 0 , 27 .

Enne järgmise omaduse juurde liikumist pange tähele, et asümmeetria abil saate lugeda ebavõrdsust paremalt vasakule ja vastupidi. Sel viisil saab arvulisi võrratusi muuta ja vahetada.

Definitsioon 5

• transitiivsus. Kui arvud a, b, c vastavad tingimusele a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b ja b > c , siis a > c .

Tõendid 1

Esimest väidet saab tõestada. Seisukord a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Teine osa transitiivsuse omadusega on tõestatud sarnaselt.

Näide 2

Vaatleme analüüsitavat omadust võrratuste näitel − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ja 1 8 > 1 32 järeldub, et 1 2 > 1 32.

Numbrilistel võrratustel, mis on kirjutatud nõrkade võrratuste märkide abil, on refleksiivsuse omadus, sest a ≤ a ja a ≥ a võivad olla võrdsed a = a. Neid iseloomustab asümmeetria ja transitiivsus.

Definitsioon 6

Ebavõrdsustel, mille kirjas on märgid ≤ ja ≥, on järgmised omadused:

• refleksiivsus a ≥ a ja a ≤ a loetakse tõeliseks ebavõrdsuseks;
• antisümmeetria, kui a ≤ b, siis b ≥ a ja kui a ≥ b, siis b ≤ a.
• transitiivsus, kui a ≤ b ja b ≤ c, siis a ≤ c ning samuti, kui a ≥ b ja b ≥ c, siis a ≥ c.

Tõestus viiakse läbi sarnaselt.

Muud arvuliste võrratuste olulised omadused

Ebavõrdsuse põhiomaduste täiendamiseks kasutatakse tulemusi, millel on praktiline tähtsus. Meetodi põhimõtet kasutatakse avaldiste väärtuste hindamiseks, millel põhinevad võrratuste lahendamise põhimõtted.

See lõik paljastab ühe range ebavõrdsuse märgi ebavõrdsuse omadused. Sama tehakse ka mitterangete puhul. Vaatame näidet, sõnastades ebavõrdsuse, kui a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• kui a > b, siis a + c > b + c;
• kui a ≤ b, siis a + c ≤ b + c;
• kui a ≥ b, siis a + c ≥ b + c.

Mugavaks esitluseks anname vastava väite, mis on kirja pandud ja toodud tõendid, toodud kasutusnäited.

Definitsioon 7

Arvu lisamine või arvutamine mõlemale poolele. Teisisõnu, kui a ja b vastavad ebavõrdsusele a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Tõendid 2

Selle tõestamiseks peab võrrand täitma tingimust a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Näide 3

Näiteks kui me suurendame võrratuse 7 > 3 mõlemat poolt 15 võrra, siis saame 7 + 15 > 3 + 15. See on võrdne 22 > 18.

Definitsioon 8

Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada või jagada sama arvuga c, saame tõelise ebavõrdsuse. Kui võtate negatiivse arvu, muutub märk vastupidiseks. Muidu näeb see välja järgmine: a ja b korral kehtib ebavõrdsus, kui a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >eKr.

Tõendid 3

Kui on juhtum c > 0, on vaja konstrueerida ebavõrdsuse vasaku ja parema külje erinevus. Siis saame, et a · c − b · c = (a − b) · c . Tingimusest a< b , то a − b < 0 , а c >0, siis korrutis (a − b) · c on negatiivne. Sellest järeldub, et a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Tõestamisel saab täisarvuga jagamise asendada antud arvu pöördarvuga korrutamisega, st 1 c. Vaatame teatud numbrite omaduse näidet.

Näide 4

Lubatud on ebavõrdsuse 4 mõlemad pooled< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Nüüd sõnastame järgmised kaks tulemust, mida kasutatakse ebavõrdsuse lahendamisel:

• Järeldus 1. Arvulise ebavõrdsuse osade märkide muutmisel muutub ebavõrdsuse märk ise vastupidiseks, kuna< b , как − a >− b . See järgib reeglit, mille kohaselt korrutatakse mõlemad pooled -1-ga. See on kohaldatav üleminekuks. Näiteks – 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Järeldus 2. Arvulise võrratuse osade asendamisel vastupidiste arvudega muutub ka selle märk ja ebavõrdsus jääb tõeseks. Seega on meil, et a ja b on positiivsed arvud, a< b , 1 a >1 b.

Ebavõrdsuse mõlema poole jagamisel a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 meil on see 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b võib olla vale.

Näide 5

Näiteks – 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 on vale võrrand.

Kõiki punkte ühendab asjaolu, et tegevused ebavõrdsuse osadel annavad väljundis õige ebavõrdsuse. Vaatleme omadusi, kus algselt esineb mitu arvulist võrratust ja selle tulemus saadakse selle osade liitmisel või korrutamisel.

Definitsioon 9

Kui arvud a, b, c, d kehtivad võrratuste a korral< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Tõestus 4

Tõestame, et (a + c) − (b + d) on negatiivne arv, siis saame, et a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Atribuuti kasutatakse kolme, nelja või enama arvulise ebavõrdsuse liitmiseks. Arvud a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n rahuldavad võrratuse a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Näide 6

Näiteks kui on antud kolm sama märgiga arvulist võrratust − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definitsioon 10

Mõlema poole termiline korrutamine annab positiivse arvu. Kui< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Tõendid 5

Selle tõestamiseks vajame ebavõrdsuse a mõlemat poolt< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Seda omadust peetakse kehtivaks arvude arvu puhul, millega tuleb korrutada ebavõrdsuse mõlemad pooled. Siis a 1 , a 2 , … , a n Ja b 1, b 2, …, b n on positiivsed arvud, kus 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Pange tähele, et võrratuste kirjutamisel on mittepositiivsed arvud, siis nende terminite kaupa korrutamine toob kaasa vale ebavõrdsuse.

Näide 7

Näiteks ebavõrdsus 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Tagajärg: Võrratuste tähtaegne korrutamine a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Numbriliste võrratuste omadused

Vaatleme järgmisi arvulise ebavõrdsuse omadusi.

1. a< a , a >a - ebaõiged ebavõrdsused,
   a ≤ a, a ≥ a on tõelised ebavõrdsused.
2. Kui a< b , то b >a - antisümmeetria.
3. Kui a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Kui a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Kui a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Kui a< b и c - отрицательное число, то a · c >eKr.

Järeldus 1: kui a< b , то - a >-b.

Järeldus 2: kui a ja b on positiivsed arvud ja a< b , то 1 a >1 b.

1. Kui 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Kui 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n on positiivsed arvud ja a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Järeldus 1: Kui a< b , a Ja b on positiivsed arvud, siis a n< b n .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Esitatakse peamised ebavõrdsuse tüübid, sealhulgas Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev ebavõrdsused. Vaadeldakse ebavõrdsuse omadusi ja nendega seotud toiminguid. Antakse põhilised ebavõrdsuse lahendamise meetodid.

Põhivõrratuste valemid

Universaalse ebavõrdsuse valemid

Universaalsed ebavõrdsused on täidetud nendes sisalduvate koguste mis tahes väärtuste korral. Allpool on loetletud peamised universaalse ebavõrdsuse tüübid.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Võrdsus ilmneb ainult siis, kui a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsus

Võrdsus kehtib siis ja ainult siis, kui α a k = β b k kõigi k = 1, 2, ..., n ja mõne α, β, |α| + |β| > 0.

5) Minkowski ebavõrdsus, kui p ≥ 1

Rahuldatava ebavõrdsuse valemid

Nendes sisalduvate koguste teatud väärtuste puhul on rahuldatavad ebavõrdsused täidetud.

1) Bernoulli ebavõrdsus:
.
Üldisemalt:
,
kus , numbrid sama märgi ja suurem kui -1 : .
Bernoulli Lemma:
.
Vt "Ebavõrdsuse tõendid ja Bernoulli lemma".

2)
kui a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Tšebõševi ebavõrdsus
juures 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Kell 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Tšebõševi üldistatud ebavõrdsused
juures 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n ja k loomulik
.
Kell 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Ja b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Ebavõrdsuse omadused

Ebavõrdsuse omadused on reeglite kogum, mis nende teisendamisel rahuldatakse. Allpool on toodud ebavõrdsuse omadused. On arusaadav, et esialgsed ebavõrdsused on täidetud x i väärtuste puhul (i = 1, 2, 3, 4), mis kuuluvad mingisse etteantud intervalli.

1) Kui külgede järjekord muutub, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.
Kui x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Kui x 1 ≤ x 2, siis x 2 ≥ x 1.
Kui x 1 ≥ x 2, siis x 2 ≤ x 1.
Kui x 1 > x 2, siis x 2< x 1 .

2) Üks võrdsus võrdub kahe erineva tähise mitterange ebavõrdsusega.
Kui x 1 = x 2, siis x 1 ≤ x 2 ja x 1 ≥ x 2.
Kui x 1 ≤ x 2 ja x 1 ≥ x 2, siis x 1 = x 2.

3) Transitiivsusomadus
Kui x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Kui x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Kui x 1 ≤ x 2 ja x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Kui x 1 ≤ x 2 ja x 2 ≤ x 3, siis x 1 ≤ x 3.

4) Võrratuse mõlemale poolele saab liita (lahutada) sama arvu.
Kui x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Kui x 1 ≤ x 2, siis x 1 + A ≤ x 2 + A.
Kui x 1 ≥ x 2, siis x 1 + A ≥ x 2 + A.
Kui x 1 > x 2, siis x 1 + A > x 2 + A.

5) Kui sama suuna märgiga võrratust on kaks või enam, siis võib nende vasaku ja parema külje liita.
Kui x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kui x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, siis x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Sarnased väljendid kehtivad märkide ≥, > kohta.
Kui algsed ebavõrdsused sisaldavad mitterange ebavõrdsuse märke ja vähemalt ühte ranget ebavõrdsust (kuid kõik märgid on sama suunaga), siis liitmise tulemuseks on range ebavõrdsus.

6) Võrratuse mõlemad pooled saab korrutada (jagada) positiivse arvuga.
Kui x 1< x 2 и A >0, siis A x 1< A · x 2 .
Kui x 1 ≤ x 2 ja A > 0, siis A x 1 ≤ A x 2.
Kui x 1 ≥ x 2 ja A > 0, siis A x 1 ≥ A x 2.
Kui x 1 > x 2 ja A > 0, siis A · x 1 > A · x 2.

7) Võrratuse mõlemad pooled saab korrutada (jagada) negatiivse arvuga. Sel juhul muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.
Kui x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Kui x 1 ≤ x 2 ja A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Kui x 1 ≥ x 2 ja A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Kui x 1 > x 2 ja A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Kui positiivsete liikmetega, sama suuna märgiga võrratust on kaks või enam, siis saab nende vasaku ja parema külje omavahel korrutada.
Kui x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ja siis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kui x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ja siis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ja siis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, siis x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Sarnased väljendid kehtivad märkide ≥, > kohta.
Kui algsed ebavõrdsused sisaldavad mitterange ebavõrdsuse märke ja vähemalt ühte ranget ebavõrdsust (kuid kõik märgid on sama suunaga), siis korrutamise tulemuseks on range ebavõrdsus.

9) Olgu f(x) monotoonselt kasvav funktsioon. See tähendab, et iga x 1 > x 2 korral on f(x 1) > f(x 2). Siis saab seda funktsiooni rakendada mõlemale võrratuse poolele, mis ei muuda ebavõrdsuse märki.
Kui x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Kui x 1 ≤ x 2, siis f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kui x 1 ≥ x 2, siis f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kui x 1 > x 2, siis f(x 1) > f(x 2).

10) Olgu f(x) monotoonselt kahanev funktsioon, st mis tahes x 1 > x 2 korral f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Kui x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Kui x 1 ≤ x 2, siis f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kui x 1 ≥ x 2, siis f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kui x 1 > x 2, siis f(x 1)< f(x 2) .

Ebavõrdsuse lahendamise meetodid

Võrratuste lahendamine intervallmeetodil

Intervallmeetod on rakendatav, kui ebavõrdsus sisaldab ühte muutujat, mida tähistame kui x, ja see on kujul:
f(x) > 0
kus f(x) on pidev funktsioon, millel on piiratud arv katkestuspunkte. Ebavõrdsuse märk võib olla ükskõik milline: >, ≥,<, ≤ .

Intervalli meetod on järgmine.

1) Leia funktsiooni f(x) definitsioonipiirkond ja märgi see intervallidega arvteljel.

2) Leia funktsiooni f(x) katkestuspunktid. Näiteks kui see on murd, siis leiame punktid, kus nimetaja muutub nulliks. Märgime need punktid arvteljel.

3) Lahenda võrrand
f(x) = 0.
Märgime selle võrrandi juured arvuteljel.

4) Selle tulemusena jagatakse arvutelg punktide kaupa intervallideks (segmentideks). Igas määratluspiirkonnas sisalduvas intervallis valime suvalise punkti ja arvutame selles punktis funktsiooni väärtuse. Kui see väärtus on suurem kui null, asetame segmendi (intervalli) kohale plussmärgi. Kui see väärtus on nullist väiksem, paneme segmendi (intervalli) kohale märgi “-”.

5) Kui ebavõrdsus on kujul: f(x) > 0, siis vali intervallid plussmärgiga. Ebavõrdsuse lahendus on kombineerida need intervallid, mis ei sisalda nende piire.
Kui võrratus on kujul: f(x) ≥ 0, siis lisame lahendusele punktid, kus f(x) = 0. See tähendab, et mõnel intervallil võivad olla suletud piirid (piir kuulub intervalli). teine ​​osa võib olla avatud piiridega (piir ei kuulu intervalli).
Samamoodi, kui ebavõrdsus on kujul: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Kui võrratus on kujul: f(x) ≤ 0, siis lisame lahendusele punktid, kus f(x) = 0.

Võrratuste lahendamine nende omaduste abil

Seda meetodit saab kasutada mis tahes keerukusega ebavõrdsuse korral. See seisneb ülaltoodud omaduste rakendamises, et vähendada ebavõrdsust lihtsamale kujule ja saada lahendus. On täiesti võimalik, et selle tulemuseks pole mitte ainult üks, vaid ebavõrdsuse süsteem. See on universaalne meetod. See kehtib igasuguse ebavõrdsuse kohta.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.