Avaldiste identsed teisendused on kooli matemaatikakursuse üks sisuliine. Identseid teisendusi kasutatakse laialdaselt võrrandite, võrratuste, võrrandisüsteemide ja võrratuste lahendamisel. Lisaks aitavad väljendite identsed teisendused kaasa intelligentsuse, mõtlemise paindlikkuse ja ratsionaalsuse arengule.
Kavandatavad materjalid on mõeldud 8. klassi õpilastele ja sisaldavad ratsionaalsete ja irratsionaalsete avaldiste identsete teisenduste teoreetilisi aluseid, ülesannete tüüpe selliste väljendite teisendamiseks ja testi teksti.
1. Identiteedi transformatsioonide teoreetilised alused
Algebra avaldised on kirjed, mis koosnevad tegevusmärkidega ühendatud numbritest ja tähtedest.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – algebralised avaldised.
Sõltuvalt tehtetest eristatakse ratsionaalseid ja irratsionaalseid väljendeid.
Algebralisi avaldisi nimetatakse ratsionaalseteks, kui need on seotud selles sisalduvate tähtedega A, b, Koos, ... muid tehteid peale liitmise, korrutamise, lahutamise, jagamise ja astenduse ei tehta.
Algebralisi avaldisi, mis sisaldavad toiminguid muutuja juure eraldamiseks või muutuja tõstmiseks ratsionaalse astmeni, mis ei ole täisarv, nimetatakse selle muutuja suhtes irratsionaalseteks.
Antud avaldise identiteedi teisendus on ühe avaldise asendamine teisega, mis on sellega identselt võrdne teatud hulgal.
Ratsionaalsete ja irratsionaalsete väljendite identsete teisenduste aluseks on järgmised teoreetilised faktid.
1. Täisarvulise astendajaga kraadide omadused:
, n PEAL; A 1=A;
, n PEAL, A¹0; A 0=1, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0, b¹0;
, A¹0, b¹0.
2. Lühendatud korrutamisvalemid:
Kus A, b, Koos– mis tahes reaalarvud;
Kus A¹0, X 1 ja X 2 – võrrandi juured 
.
3. Murdude peamine omadus ja tegevused murdudega:
, Kus b¹0, Koos¹0;
; 
;
4. Aritmeetilise juure määratlus ja selle omadused:
; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
Kus A, b- mittenegatiivsed arvud, n PEAL, n³2, m PEAL, m³2.
1. Avaldise teisendamise harjutuste tüübid
Avaldiste identiteedi teisendamiseks on erinevat tüüpi harjutusi. Esimene tüüp: teostatav teisendus on selgelt määratletud.
Näiteks.
1. Esitage see polünoomina.
Selle teisenduse teostamisel kasutasime polünoomide korrutamise ja lahutamise reegleid, lühendatud korrutamise valemit ja sarnaste liikmete taandamiseks.
2. Arvestage: 
.
Teisenduse sooritamisel kasutasime ühisteguri sulgudest välja paigutamise reeglit ja 2 lühendatud korrutusvalemit.
3. Vähendage murdosa:
.
Teisenduse teostamisel kasutasime ühisteguri eemaldamist sulgudest, kommutatiivseid ja kontraktiilseid seadusi, 2 lühendatud korrutusvalemit ja tehteid astmetega.
4. Eemalda juuremärgi alt tegur if A³0, b³0, Koos³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Kasutasime juurtega seotud toimingute reegleid ja arvu mooduli määratlust.
5. Likvideerige irratsionaalsus murdosa nimetajas. 
.
Teine tüüp harjutused on harjutused, milles on selgelt näidatud peamine ümberkujundamine, mis tuleb läbi viia. Sellistes harjutustes sõnastatakse nõue tavaliselt ühel järgmistest vormidest: avaldise lihtsustamine, arvutamine. Selliste harjutuste sooritamisel tuleb ennekõike välja selgitada, milliseid ja millises järjekorras teisendusi on vaja sooritada, et avaldis saaks etteantust kompaktsema kuju või saadakse numbriline tulemus.
Näiteks
6. Lihtsustage väljendit:
Lahendus:
.
Kasutatud algebraliste murdude ja lühendatud korrutusvalemite käitamise reegleid.
7. Lihtsustage väljendit:
.
Kui A³0, b³0, A¹ b.
Kasutasime lühendatud korrutamisvalemeid, murdude liitmise ja irratsionaalsete avaldiste korrutamise reegleid, identiteeti https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Kasutasime täieliku ruudu, identiteedi https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21"> valimise toimingut, kui .
Tõestus:
Kuna , siis ja või või või , st.
Kasutasime kuubikute summa tingimust ja valemit.
Tuleb meeles pidada, et muutujaid ühendavaid tingimusi saab määrata ka kahte esimest tüüpi harjutustes.
Näiteks.
10. Leia, kas .
See õppetund hõlmab põhiteavet ratsionaalsete avaldiste ja nende teisenduste kohta, samuti näiteid ratsionaalsete avaldiste teisendustest. See teema võtab kokku seni uuritud teemad. Ratsionaalväljendite teisendused hõlmavad liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist, algebraliste murdude eksponentsimist, vähendamist, faktoriseerimist jne. Tunni raames vaatleme, mis on ratsionaalne avaldis, ning analüüsime ka nende teisendamise näiteid.
Teema:Algebralised murrud. Aritmeetilised tehted algebraliste murdudega
Õppetund:Põhiteave ratsionaalsete avaldiste ja nende teisenduste kohta
Definitsioon
Ratsionaalne väljendus on avaldis, mis koosneb arvudest, muutujatest, aritmeetilistest tehtetest ja astendamise operatsioonist.
Vaatame ratsionaalse avaldise näidet:
Ratsionaalsete väljendite erijuhud:
1. aste: 
;
2. monomiaalne: ;
3. murdosa: .
Ratsionaalse avaldise teisendamine on ratsionaalse väljendi lihtsustamine. Toimingute järjekord ratsionaalsete avaldiste teisendamisel: kõigepealt on sulgudes tehted, seejärel korrutamise (jagamise) ja seejärel liitmise (lahutamise) toimingud.
Vaatame mitmeid näiteid ratsionaalsete avaldiste teisendamisest.
Näide 1
Lahendus:
Lahendame selle näite samm-sammult. Sulgudes olev toiming täidetakse esimesena.
Vastus:
Näide 2
Lahendus:
Vastus:
Näide 3
Lahendus:
Vastus: .
Märge: Võib-olla tekkis seda näidet nähes idee: enne ühise nimetaja taandamist vähendage murdosa. Tõepoolest, see on täiesti õige: kõigepealt on soovitatav avaldist nii palju kui võimalik lihtsustada ja seejärel muuta. Proovime seda sama näidet teisel viisil lahendada.
Nagu näete, osutus vastus absoluutselt sarnaseks, kuid lahendus osutus mõnevõrra lihtsamaks.
Selles õppetükis vaatasime ratsionaalsed väljendid ja nende teisendused, samuti mitmeid konkreetseid näiteid nende teisenduste kohta.
Bibliograafia
1. Bashmakov M.I. Algebra 8. klass. - M.: Haridus, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. ja teised Algebra 8. - 5. väljaanne. - M.: Haridus, 2010.
Ratsionaalväljendid ja murded on kogu algebra kursuse nurgakivi. Need, kes õpivad selliste avaldistega töötama, neid lihtsustama ja faktoreerima, suudavad sisuliselt lahendada mis tahes probleemi, kuna avaldiste teisendamine on iga tõsise võrrandi, ebavõrdsuse või isegi tekstülesannete lahutamatu osa.
Selles videoõpetuses vaatleme, kuidas ratsionaalsete avaldiste ja murdude lihtsustamiseks õigesti kasutada lühendatud korrutusvalemeid. Õpime nägema neid valemeid, kus esmapilgul pole midagi. Samal ajal kordame sellist lihtsat tehnikat nagu ruuttrinoomi faktoriseerimine diskriminandi kaudu.
Nagu te ilmselt juba arvasite minu selja taga olevate valemite põhjal, uurime täna lühendatud korrutusvalemeid või täpsemalt mitte valemeid endid, vaid nende kasutamist keeruliste ratsionaalsete avaldiste lihtsustamiseks ja vähendamiseks. Kuid enne näidete lahendamise juurde asumist vaatame neid valemeid lähemalt või jätame need meelde:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — ruutude erinevus;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ on summa ruut;
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — ruudu vahe;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\vasak(a+b \parem)\vasak(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ on kuubikute summa;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\vasak(a-b \parem)\vasak(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ on kuubikute vahe.
Samuti märgin ära, et meie kooliharidussüsteem on üles ehitatud nii, et just selle teema uurimisega, s.t. ratsionaalsed väljendid, samuti juured, moodulid, kõigil õpilastel on sama probleem, mida ma nüüd selgitan.
Fakt on see, et lühendatud korrutusvalemite ja vastavalt murdude vähendamise tegevuste õppimise alguses (see on kuskil 8. klassis) ütlevad õpetajad umbes järgmist: "Kui midagi pole teile selge, siis t muretse, me aitame sind.” Selle teema juurde tuleme veel rohkem kui korra tagasi, keskkoolis kindlasti. Uurime seda hiljem." Noh, siis 9-10 klassi vahetusel seletavad samad õpetajad samadele õpilastele, kes ikka veel ei tea, kuidas ratsionaalseid murde lahendada, umbes nii: „Kus sa olid eelmisel kahel aastal? Seda õpiti algebras 8. klassis! Mis võib siin ebaselget olla? See on nii ilmne!"
Sellised seletused aga tavaõpilaste asja lihtsamaks ei tee: neil oli ikka segadus peas, seega vaatame praegu kahte lihtsat näidet, mille põhjal näeme, kuidas neid väljendeid reaalsetes ülesannetes isoleerida. , mis juhatab meid lühendatud korrutamisvalemite juurde ja kuidas seda seejärel rakendada keerukate ratsionaalsete avaldiste teisendamiseks.
Lihtratsionaalsete murdude taandamine
Ülesanne nr 1
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
Esimene asi, mida peame õppima, on tuvastada algsetes avaldistes täpsed ruudud ja kõrgemad võimsused, mille põhjal saame seejärel valemeid rakendada. Vaatame:
Kirjutame oma väljendi ümber, võttes arvesse järgmisi fakte:
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3(y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \parem))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3(y)^(2))-4x \parem)\vasak(3 ((y)^(2))+4x \parem))=\frac(1)(3(y)^(2))-4x)\]
Vastus: $\frac(1)(3(y)^(2))-4x)$.
Probleem nr 2
Liigume edasi teise ülesande juurde:
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]
Siin pole midagi lihtsustada, kuna lugeja sisaldab konstanti, kuid ma pakkusin selle ülesande välja just selleks, et saaksite teada, kuidas kahte muutujat sisaldavaid polünoome faktoristada. Kui meil oleks selle asemel allolev polünoom, kuidas me seda laiendaksime?
\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]
Lahendame võrrandi ja leiame $x$, mille saame punktide asemele panna:
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
Saame trinoomi ümber kirjutada järgmiselt:
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]
Õppisime ruuttrinoomiga töötamist – seepärast oli meil vaja see videotund salvestada. Aga mis siis, kui lisaks $x$ ja konstandile on olemas ka $y$? Vaatleme neid koefitsientide teise elemendina, s.t. Kirjutame oma väljendi ümber järgmiselt:
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
Kirjutame oma väljaku konstruktsiooni laienduse:
\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]
Seega, kui pöördume tagasi algse avaldise juurde ja kirjutame selle muudatusi arvesse võttes ümber, saame järgmise:
\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]
Mida selline rekord meile annab? Mitte midagi, sest seda ei saa vähendada, seda ei korruta ega jagata millegagi. Kuid niipea, kui see murd osutub keerukama avaldise lahutamatuks osaks, tuleb selline laiendus kasuks. Seega, niipea kui näete ruuttrinoomi (pole vahet, kas see on koormatud lisaparameetritega või mitte), proovige seda alati arvesse võtta.
Lahenduse nüansid
Pidage meeles ratsionaalsete avaldiste teisendamise põhireegleid:
- Kõik nimetajad ja lugejad tuleb arvesse võtta kas lühendatud korrutusvalemite või diskriminandi abil.
- Peate töötama järgmise algoritmi järgi: kui me vaatame ja proovime lühendatud korrutamise valemit eraldada, siis kõigepealt proovime teisendada kõik võimalikult kõrgele tasemele. Pärast seda võtame üldise kraadi sulgudest välja.
- Väga sageli kohtate parameetriga avaldisi: muud muutujad ilmuvad koefitsientidena. Leiame need ruutlaienduse valemi abil.
Seega, kui näete ratsionaalseid murde, tuleb esimese asjana arvutada nii lugeja kui ka nimetaja lineaarsetesse avaldistesse, kasutades lühendatud korrutamis- või diskrimineerivaid valemeid.
Vaatame paari neid ratsionaalseid väljendeid ja proovime neid arvesse võtta.
Keerulisemate näidete lahendamine
Ülesanne nr 1
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9(y)^(2))- 4((x)^(2)))(8(x)^(3))+27((y)^(3)))\]
Kirjutame iga termini ümber ja proovime lagundada:
Kirjutame kogu oma ratsionaalse avaldise ümber, võttes arvesse järgmisi fakte:
\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]
\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \parem))=-1\]
Vastus: $-1 $.
Probleem nr 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Vaatame kõiki murde.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cpunkt 2x+((2)^( 2))=((\left(x-2 \right))^(2))\]
Kirjutame kogu struktuuri ümber, võttes arvesse muudatusi:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \parem))(\vasak(2x-1 \parem)\vasak(2x+1 \parem))=\]
\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]
Vastus: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.
Lahenduse nüansid
Mida me just õppisime:
- Mitte iga ruuttrinoomi ei saa faktoriseerida, eriti puudutab see summa või erinevuse mittetäielikku ruutu, mida sageli leidub summa või erinevuse kuubikute osadena.
- Konstandid, s.o. Tavalised numbrid, millel ei ole muutujaid, võivad toimida ka aktiivsete elementidena laienemisprotsessis. Esiteks saab need sulgudest välja võtta ja teiseks saab konstandid ise esitada võimsuste kujul.
- Väga sageli tekivad pärast kõigi elementide arvestamist vastupidised konstruktsioonid. Neid murde tuleb vähendada äärmiselt ettevaatlikult, sest nende üle- või allakriipsutamisel tekib lisategur $-1$ – see on just selle tagajärg, et need on vastandid.
Keeruliste probleemide lahendamine
\[\frac(27(a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Vaatleme iga terminit eraldi.
Esimene murdosa:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \parem))^(2))+3a\cpunkt 4b+((\vasak(4b \parem))^(2)) \parem)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\vasak(b-2 \parem)\vasak(b+2 \parem)\]
Saame kogu teise murru lugeja ümber kirjutada järgmiselt:
\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]
Vaatame nüüd nimetajat:
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cpunkt 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]
Kirjutame kogu ratsionaalse avaldise ümber, võttes arvesse ülaltoodud fakte:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \parem))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Vastus: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
Lahenduse nüansid
Nagu taaskord nägime, ei pea siiski kartma summa mittetäielikud ruudud või erinevuse mittetäielikud ruudud, mida sageli leidub reaalsetes ratsionaalsetes avaldistes, sest pärast iga elemendi teisendamist need peaaegu alati tühistatakse. Lisaks ei tohiks te mingil juhul karta lõppvastuses suuri konstruktsioone - on täiesti võimalik, et see pole teie viga (eriti kui kõik on faktoriseeritud), kuid autor kavatses sellise vastuse.
Kokkuvõtteks tahaksin vaadelda veel ühte keerulist näidet, mis ei puuduta enam otseselt ratsionaalseid murde, kuid sisaldab kõike, mis teid reaalsetel testidel ja eksamitel ees ootab, nimelt: faktoriseerimine, taandamine ühisnimetajale, sarnaste terminite taandamine. Täpselt seda me nüüd teemegi.
Ratsionaalsete avaldiste lihtsustamise ja teisendamise keerulise probleemi lahendamine
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
Kõigepealt vaatame ja avame esimest sulg: selles näeme kolme erinevat murdu, millel on erinevad nimetajad, nii et esimese asjana peame viima kõik kolm murru ühise nimetaja juurde ja selleks peaks igaüks neist olema faktoriga:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \parem)\]
Kirjutame kogu oma konstruktsiooni järgmiselt:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \parem))(\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))=\]
\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \parem))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
See on esimesest sulust tehtud arvutuste tulemus.
Tegeleme teise suluga:
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\vasak(x-2 \parem)\vasak(x+2 \ õige)\]
Kirjutame teise sulg ümber, võttes arvesse muudatusi:
\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\vasak(x-2 \parem)\vasak(x+2 \parem))\]
Nüüd paneme kirja kogu algse konstruktsiooni:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Vastus: $\frac(1)(x+2)$.
Lahenduse nüansid
Nagu näha, osutus vastus üsna mõistlikuks. Kuid pange tähele: väga sageli selliste suuremahuliste arvutuste ajal, kui ainus muutuja esineb ainult nimetajas, unustavad õpilased, et see on nimetaja ja see peaks olema murdosa allosas ning kirjutama selle avaldise lugejasse - see on ränk viga.
Lisaks tahaksin juhtida teie erilist tähelepanu selliste ülesannete vormistamisele. Mis tahes keeruliste arvutuste puhul tehakse kõik sammud ükshaaval: kõigepealt loeme esimese sulg eraldi, seejärel teise eraldi ja alles lõpus ühendame kõik osad ja arvutame tulemuse. Nii kindlustame end rumalate vigade vastu, paneme kõik arvutused hoolikalt kirja ja samas ei raiska lisaaega, nagu esmapilgul võib tunduda.
Artikkel räägib ratsionaalsete väljendite teisenemisest. Vaatleme ratsionaalsete avaldiste tüüpe, nende teisendusi, rühmitamist ja ühistegurit sulgudes. Õpime esitama murdarvulisi ratsionaalseid avaldisi ratsionaalsete murdude kujul.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ratsionaalsete väljendite definitsioon ja näited
Definitsioon 1Nimetatakse avaldisi, mis koosnevad arvudest, muutujatest, sulgudest, astmetest liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise tehtetega koos murdjoone olemasoluga. ratsionaalsed väljendid.
Näiteks on meil, et 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
See tähendab, et need on avaldised, mida ei jagata muutujatega avaldisteks. Ratsionaalavaldiste uurimine algab 8. klassist, kus neid nimetatakse murdratsionaalavaldisteks.Eriti tähelepanu pööratakse lugejas olevatele murdudele, mis teisendatakse teisendusreeglite abil.
See võimaldab meil liikuda suvalise kujuga ratsionaalsete murdude teisendamiseni. Sellist avaldist võib käsitleda ratsionaalsete murdude olemasoluga avaldisena ja tegevusmärkidega täisarvuavaldisena.
Ratsionaalväljendite teisenduste põhitüübid
Ratsionaalväljendeid kasutatakse identsete teisenduste, rühmituste tegemiseks, sarnaste toomiseks ja muude arvudega tehtete sooritamiseks. Selliste väljendite eesmärk on lihtsustamine.
Näide 1
Teisendage ratsionaalne avaldis 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Lahendus
On näha, et selline ratsionaalne avaldis on 3 x x y - 1 ja 2 x x y - 1 vahe. Märkame, et nende nimetaja on identne. See tähendab, et sarnaste terminite vähendamine toimub
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Vastus: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Näide 2
Teisendage 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Lahendus
Esialgu sooritame sulgudes olevad toimingud 3 · x − x = 2 · x. Esitame seda avaldist kujul 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Jõuame avaldiseni, mis sisaldab ühe sammuga tehteid, st sellel on liitmine ja lahutamine.
Vabaneme sulgudest, kasutades jagamisomadust. Siis saame, et 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.
Rühmitame arvulised tegurid muutujaga x, mille järel saame sooritada tehteid astmetega. Me saame sellest aru
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Vastus: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Näide 3
Teisendage avaldis kujul x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Lahendus
Esiteks teisendame lugeja ja nimetaja. Siis saame avaldise kujul (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 ja esmalt tehakse sulgudes olevad toimingud. Lugejas tehakse tehteid ja rühmitatakse tegurid. Siis saame avaldise kujul x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Teisendame lugejas ruutude erinevuse valemi ja saame selle
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Vastus: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Ratsionaalne murdosa esitus
Algebralised murded on lahendamisel enamasti lihtsustatud. Iga ratsionaalsus on selleni viidud erineval viisil. Polünoomidega on vaja teha kõik vajalikud toimingud, et ratsionaalne avaldis saaks lõpuks anda ratsionaalse murdosa.
Näide 4
Esitage ratsionaalse murdena a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Lahendus
Seda avaldist saab esitada kui 2–25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Korrutamine toimub eelkõige reeglite järgi.
Peaksime alustama korrutamisest, siis saame selle
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Saadud tulemuse esitleme originaaliga. Me saame sellest aru
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Nüüd teeme lahutamise:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2-9
Pärast seda on ilmne, et algne avaldis on kujul 16 a 2 - 9.
Vastus: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Näide 5
Väljendage x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x ratsionaalse murruna.
Lahendus
Antud avaldis kirjutatakse murruna, mille lugejas on x x + 1 + 1 ja nimetajas 2 x - 1 1 + x. Vaja on teha teisendusi x x + 1 + 1 . Selleks tuleb lisada murd ja arv. Saame, et x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Sellest järeldub, et x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Saadud murdosa saab kirjutada kujul 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
Pärast jagamist jõuame vormi ratsionaalse osani
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Saate seda lahendada erinevalt.
Selle asemel, et jagada 2 x - 1 1 + x-ga, korrutame selle pöördväärtusega 1 + x 2 x - 1. Rakendame jaotusomadust ja leiame selle
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Vastus: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter