Arvu absoluutväärtus a on kaugus lähtepunktist punktini A(a).
Selle määratluse mõistmiseks asendame muutujaga a suvaline number, näiteks 3, ja proovige seda uuesti lugeda:
Arvu absoluutväärtus 3 on kaugus lähtepunktist punktini A(3 ).
Selgeks saab, et moodul pole midagi muud kui tavaline vahemaa. Proovime näha kaugust lähtepunktist punktini A( 3 )
Kaugus lähtepunktist punktini A( 3 ) võrdub 3 (kolm ühikut või kolm sammu).
Arvu moodulit tähistavad kaks vertikaalset joont, näiteks:
Arvu 3 moodulit tähistatakse järgmiselt: |3|
Arvu 4 moodulit tähistatakse järgmiselt: |4|
Arvu 5 moodulit tähistatakse järgmiselt: |5|
Otsisime arvu 3 moodulit ja saime teada, et see on võrdne 3-ga. Kirjutame selle üles:
Loeb nagu: "Numbri kolme moodul on kolm"
Nüüd proovime leida arvu -3 moodulit. Jällegi pöördume tagasi definitsiooni juurde ja asendame sellega arvu -3. Ainult täpi asemel A kasutage uut punkti B. Täispeatus A kasutasime juba esimeses näites.
Arvu moodul - 3 on kaugus lähtepunktist punktini B(—3 ).
Kaugus ühest punktist teise ei saa olla negatiivne. Seetõttu ei ole ka ühegi negatiivse arvu moodul, mis on kaugus, negatiivne. Arvu -3 mooduliks on arv 3. Kaugus lähtepunktist punktini B(-3) võrdub samuti kolme ühikuga:
Loeb nagu: "Moodul miinus kolm on kolm."
Arvu 0 moodul on võrdne 0-ga, kuna punkt koordinaadiga 0 ühtib alguspunktiga, st. kaugus lähtepunktist punktini O(0) võrdub nulliga:
"Nullmoodul on null"
Teeme järeldused:
- Arvu moodul ei saa olla negatiivne;
- Positiivse arvu ja nulli korral on moodul võrdne arvu endaga ja negatiivse arvu puhul vastupidine arv;
- Vastandarvudel on võrdsed moodulid.
Vastandlikud numbrid
Nimetatakse numbreid, mis erinevad ainult märkide poolest vastupidine. Näiteks arvud −2 ja 2 on vastandid. Need erinevad ainult märkide poolest. Numbril −2 on miinusmärk ja numbril 2 on plussmärk, kuid me ei näe seda, sest plussi, nagu varem ütlesime, traditsiooniliselt ei kirjutata.
Veel näiteid vastupidiste arvude kohta:
Vastandarvudel on võrdsed moodulid. Näiteks leiame moodulid −2 ja 2 jaoks
Joonis näitab, et kaugus lähtepunktist punktideni A(−2) Ja B(2) võrdne kahe sammuga.
Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue VKontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta märguandeid saama
Moodul on üks neist asjadest, millest kõik on justkui kuulnud, aga tegelikult ei saa keegi sellest õieti aru. Seetõttu toimub täna suur õppetund, mis on pühendatud võrrandite lahendamisele moodulitega.
Ma ütlen kohe: õppetund ei ole raske. Ja üldiselt on moodulid suhteliselt lihtne teema. "Jah, muidugi, see pole keeruline! See lööb mu pähe!” - ütlevad paljud õpilased, kuid kõik need ajumurrud tekivad seetõttu, et enamikul pole mitte teadmised peas, vaid mingi jama. Ja selle tunni eesmärk on muuta jama teadmisteks. :)
Natuke teooriat
Nii et lähme. Alustame kõige olulisemast: mis on moodul? Tuletan meelde, et arvu moodul on lihtsalt sama arv, kuid võetud ilma miinusmärgita. See on näiteks $\left| -5 \parem|=5 $. Või $\left| -129,5 \parem|=129,5 $.
Kas see on nii lihtne? Jah, lihtne. Mis on siis positiivse arvu absoluutväärtus? Siin on veelgi lihtsam: positiivse arvu moodul on võrdne selle arvu endaga: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 $ jne.
Selgub kurioosne asi: erinevatel numbritel võib olla sama moodul. Näiteks: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5\paremal|=129,5 $. On lihtne näha, mis tüüpi numbritega on tegemist, mille moodulid on samad: need arvud on vastandlikud. Seega märgime ise, et vastandarvude moodulid on võrdsed:
\[\left| -a \right|=\left| a\right|\]
Veel üks oluline fakt: moodul ei ole kunagi negatiivne. Ükskõik millise arvu me võtame – olgu see siis positiivne või negatiivne –, selle moodul osutub alati positiivseks (või äärmisel juhul nulliks). Seetõttu nimetatakse moodulit sageli arvu absoluutväärtuseks.
Lisaks, kui kombineerime positiivse ja negatiivse arvu mooduli definitsiooni, saame kõigi arvude mooduli globaalse definitsiooni. Nimelt: arvu moodul on võrdne arvu endaga, kui arv on positiivne (või null), või võrdne vastupidise arvuga, kui arv on negatiivne. Selle saate kirjutada valemina:
Samuti on olemas nullmoodul, kuid see on alati võrdne nulliga. Lisaks on null ainus arv, millel pole vastandit.
Seega, kui arvestada funktsiooni $y=\left| x \right|$ ja proovige joonistada selle graafik, saate midagi sellist:
Mooduligraafik ja võrrandi lahendamise näide
Sellelt pildilt on kohe selge, et $\left| -m \right|=\left| m \right|$ ja moodulgraafik ei jää kunagi x-teljest allapoole. Kuid see pole veel kõik: punane joon tähistab sirget $y=a$, mis positiivse $a$ korral annab meile kaks juurt korraga: $((x)_(1))$ ja $((x) _(2)) $, aga sellest räägime hiljem. :)
Lisaks puhtalt algebralisele määratlusele on olemas ka geomeetriline. Oletame, et arvureal on kaks punkti: $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Sel juhul avaldis $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ on lihtsalt määratud punktide vaheline kaugus. Või kui soovite, siis neid punkte ühendava segmendi pikkus:
Moodul on arvujoone punktide vaheline kaugus See määratlus viitab ka sellele, et moodul on alati mittenegatiivne. Aga piisavalt definitsioone ja teooriat – liigume edasi reaalvõrrandite juurde. :)
Põhivalem
Olgu, oleme määratluse välja selgitanud. Kuid see ei teinud asja lihtsamaks. Kuidas lahendada võrrandeid, mis sisaldavad just seda moodulit?
Rahulik, lihtsalt rahulik. Alustame kõige lihtsamatest asjadest. Kaaluge midagi sellist:
\[\left| x\right|=3\]
Seega on $x$ moodul 3. Millega võiks $x$ olla võrdne? Noh, definitsiooni järgi otsustades oleme $x=3$-ga üsna rahul. Tõesti:
\[\left| 3\right|=3\]
Kas on ka muid numbreid? Kork näib vihjavat, et on olemas. Näiteks $x=-3$ on ka $\left| -3 \right|=3$, st. nõutav võrdsus on täidetud.
Ehk siis kui otsime ja mõtleme, leiame veel numbreid? Aga olgem ausad: numbreid enam pole. Võrrand $\left| x \right|=3$ on ainult kaks juurt: $x=3$ ja $x=-3$.
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Laske funktsioon $f\left(x \right)$ rippuda muutuja $x$ asemel moodulmärgi all ja asetage parempoolse kolmiku asemele suvaline arv $a$. Saame võrrandi:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]
Niisiis, kuidas me saame selle lahendada? Tuletan teile meelde: $f\left(x \right)$ on suvaline funktsioon, $a$ on suvaline arv. Need. Midagigi! Näiteks:
\[\left| 2x+1 \right|=5\]
\[\left| 10x-5 \parem|=-65\]
Pöörame tähelepanu teisele võrrandile. Tema kohta võib kohe öelda: tal pole juuri. Miks? Kõik on õige: kuna see nõuab, et moodul oleks võrdne negatiivse arvuga, mida kunagi ei juhtu, kuna me juba teame, et moodul on alati positiivne arv või äärmisel juhul null.
Kuid esimese võrrandiga on kõik lõbusam. On kaks võimalust: kas mooduli märgi all on positiivne avaldis ja seejärel $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ või see avaldis on ikka negatiivne ja siis $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Esimesel juhul kirjutatakse meie võrrand ümber järgmiselt:
\[\left| 2x+1 \right|=5\Paremnool 2x+1=5\]
Ja äkki selgub, et submodulaarne avaldis $2x+1$ on tõesti positiivne – see on võrdne arvuga 5. See on saame selle võrrandi ohutult lahendada - saadud juur on osa vastusest:
Need, kes on eriti umbusklikud, võivad proovida asendada leitud juur algvõrrandiga ja veenduda, et mooduli all on tõesti positiivne arv.
Vaatame nüüd negatiivse submodulaarse avaldise juhtumit:
\[\left\( \begin(joon)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(joonda) \right.\Rightnarrow -2x-1=5 \Paremnool 2x+1=-5\]
Oih! Jällegi on kõik selge: eeldasime, et $2x+1 \lt 0$ ja tulemuseks saime, et $2x+1=-5$ – tõepoolest, see avaldis on väiksem kui null. Lahendame saadud võrrandi, teades juba kindlalt, et leitud juur sobib meile:
Kokku saime taas kaks vastust: $x=2$ ja $x=3$. Jah, arvutuste maht osutus veidi suuremaks kui väga lihtsas võrrandis $\left| x \right|=3$, kuid põhimõtteliselt pole midagi muutunud. Ehk on mingi universaalne algoritm?
Jah, selline algoritm on olemas. Ja nüüd analüüsime seda.
Moodulimärgist vabanemine
Olgu meile antud võrrand $\left| f\left(x \right) \right|=a$ ja $a\ge 0$ (muidu, nagu me juba teame, pole juuri). Seejärel saate mooduli märgist lahti saada, kasutades järgmist reeglit:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightnarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Seega jaguneb meie võrrand mooduliga kaheks, kuid ilma moodulita. See on kõik tehnoloogia! Proovime lahendada paar võrrandit. Alustame sellest
\[\left| 5x+4 \right|=10\Paremnool 5x+4=\pm 10\]
Mõelgem eraldi, kui paremal on kümme pluss, ja eraldi, millal on miinus. Meil on:
\[\begin(joona)& 5x+4=10\Paremnool 5x=6\Paremnool x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Paremnool 5x=-14\Paremnool x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\lõpp(joonda)\]
See on kõik! Saime kaks juurt: $x=1,2$ ja $x=-2,8$. Kogu lahendus võttis sõna otseses mõttes kaks rida.
Ok, pole kahtlust, vaatame midagi veidi tõsisemat:
\[\left| 7-5x\right|=13\]
Jällegi avame pluss- ja miinusmooduli:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightnarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Paremnool -5x=-20\Paremnool x=4. \\\lõpp(joonda)\]
Jälle paar rida – ja vastus ongi valmis! Nagu ma ütlesin, pole moodulites midagi keerulist. Peate lihtsalt meeles pidama mõnda reeglit. Seetõttu liigume edasi ja alustame tõeliselt keerukamate ülesannetega.
Parempoolse muutuja juhtum
Nüüd kaaluge seda võrrandit:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\]
See võrrand erineb põhimõtteliselt kõigist eelmistest. Kuidas? Ja see, et võrdusmärgist paremal on avaldis $2x$ - ja me ei saa ju ette teada, kas see on positiivne või negatiivne.
Mida sel juhul teha? Esiteks peame sellest lõplikult aru saama kui võrrandi parem pool osutub negatiivseks, pole võrrandil juuri- me juba teame, et moodul ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.
Ja teiseks, kui parempoolne osa on endiselt positiivne (või võrdne nulliga), siis saab toimida täpselt samamoodi nagu varem: lihtsalt avada moodul eraldi plussmärgiga ja eraldi miinusmärgiga.
Seega formuleerime reegli suvaliste funktsioonide $f\left(x \right)$ ja $g\left(x \right)$ jaoks:
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightnarrow \left\( \begin(joona)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(joonda) \right.\]
Seoses võrrandiga saame:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\Paremnool \left\( \begin(joona)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(joonda) \right.\]
Eks me saame kuidagi hakkama ka nõudega $2x\ge 0$. Lõpuks võime rumalalt asendada esimesest võrrandist saadud juured ja kontrollida, kas ebavõrdsus kehtib või mitte.
Lahendame siis võrrandi enda:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightnarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Paremnool 3x=0\Paremnool x=0. \\\end(joonda)\]
Noh, milline neist kahest juurtest täidab nõuet $2x\ge 0$? Jah mõlemad! Seetõttu on vastuseks kaks numbrit: $x=(4)/(3)\;$ ja $x=0$. See on lahendus. :)
Kahtlustan, et mõnel tudengil hakkab juba igav? Noh, vaatame veelgi keerulisemat võrrandit:
\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \parem|=x-((x)^(3))\]
Kuigi see näeb kurja välja, on see tegelikult ikkagi sama võrrand kujul "moodul võrdub funktsiooniga":
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
Ja see lahendatakse täpselt samal viisil:
\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \paremale|=x-((x)^(3))\Paremnool \vasak\( \begin(joonda)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(joonda) \paremale.\]
Ebavõrdsusega tegeleme hiljem - see on kuidagi liiga kuri (tegelikult on see lihtne, aga me ei lahenda seda). Praegu on parem tegelda saadud võrranditega. Vaatleme esimest juhtumit - see on siis, kui moodulit laiendatakse plussmärgiga:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Noh, pole mõtet, et peate kõik vasakult kokku koguma, tooma sarnased ja vaadake, mis juhtub. Ja see juhtub:
\[\begin(joona)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\lõpp(joonda)\]
Võtame sulgudest välja ühisteguri $((x)^(2))$ ja saame väga lihtsa võrrandi:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Paremnool \vasak[ \begin(joona)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\lõpp(joondamine) \paremale.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Siin kasutasime ära korrutise olulise omaduse, mille nimel faktoreerisime algse polünoomi: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.
Nüüd käsitleme täpselt samamoodi teist võrrandit, mis saadakse mooduli laiendamisel miinusmärgiga:
\[\begin(joona)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\lõpp(joonda)\]
Jälle sama: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Meil on:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(joonda) \right.\]
Noh, saime kolm juurt: $x=0$, $x=1.5$ ja $x=(2)/(3)\;$. Noh, milline sellest komplektist läheb lõplikku vastust? Selleks pidage meeles, et meil on täiendav piirang ebavõrdsuse kujul:
Kuidas seda nõuet arvesse võtta? Asendame lihtsalt leitud juured ja kontrollime, kas ebavõrdsus kehtib nende $x$ kohta või mitte. Meil on:
\[\begin(align)& x=0\Paremnool x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Paremnool x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Paremnool x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\lõpp(joonda)\]
Seega juur $x=1,5$ meile ei sobi. Ja vastuseks on ainult kaks juurt:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2) (3).\]
Nagu näete, polnud ka sel juhul midagi keerulist - moodulitega võrrandid lahendatakse alati algoritmi abil. Peate lihtsalt hästi aru saama polünoomidest ja ebavõrdsustest. Seetõttu liigume edasi keerukamate ülesannete juurde - mooduleid pole juba üks, vaid kaks.
Kahe mooduliga võrrandid
Siiani oleme uurinud ainult kõige lihtsamaid võrrandeid - oli üks moodul ja midagi muud. Saatsime selle “midagi muud” ebavõrdsuse teise ossa, moodulist eemale, et lõpuks taandataks kõik võrrandiks kujul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ või veelgi lihtsam $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Aga lasteaed on läbi – aeg on mõelda millegi tõsisema üle. Alustame selliste võrranditega:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]
See on võrrand kujul "moodul võrdub mooduliga". Põhimõtteliselt oluline punkt on muude terminite ja tegurite puudumine: ainult üks moodul vasakul, veel üks moodul paremal - ja ei midagi muud.
Keegi arvab nüüd, et selliseid võrrandeid on keerulisem lahendada kui seni uurituid. Aga ei: neid võrrandeid on veelgi lihtsam lahendada. Siin on valem:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Kõik! Me lihtsalt võrdsustame submodulaarsed avaldised, pannes ühe neist ette pluss- või miinusmärgi. Ja siis lahendame saadud kaks võrrandit - ja juured on valmis! Ei mingeid lisapiiranguid, ebavõrdsust jne. Kõik on väga lihtne.
Proovime seda probleemi lahendada:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]
Elementaarne Watson! Moodulite laiendamine:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Paremnool 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Vaatleme iga juhtumit eraldi:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Paremnool 2x+3=-2x+7. \\\lõpp(joonda)\]
Esimesel võrrandil pole juuri. Sest millal on $3=-7$? Mis väärtustel $x$? "Mis kuradit on $x$? Kas sa oled kividega loobitud? Seal pole $x$ üldse," ütlete te. Ja sul on õigus. Oleme saanud võrdsuse, mis ei sõltu muutujast $x$ ja samas on võrdsus ise vale. Sellepärast pole juuri. :)
Teise võrrandiga on kõik veidi huvitavam, aga ka väga-väga lihtne:
Nagu näete, lahendati kõik sõna otseses mõttes paari reaga - me ei oodanud lineaarvõrrandist midagi muud. :)
Selle tulemusena on lõplik vastus: $x=1$.
Niisiis, kuidas? Raske? Muidugi mitte. Proovime midagi muud:
\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \parem|\]
Meil on jällegi võrrand kujul $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Seetõttu kirjutame selle kohe ümber, paljastades mooduli märgi:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Võib-olla küsib keegi nüüd: "Kuule, mis jama? Miks ilmub "pluss-miinus" parempoolsele väljendile ja mitte vasakule? Rahune maha, ma selgitan nüüd kõike. Tõepoolest, heas mõttes oleksime pidanud oma võrrandi ümber kirjutama järgmiselt:
Seejärel peate avama sulud, viima kõik terminid võrdusmärgi ühele küljele (kuna võrrand on loomulikult mõlemal juhul ruut) ja seejärel leidma juured. Kuid peate tunnistama: kui "pluss-miinus" esineb enne kolme terminit (eriti kui üks neist terminitest on ruutväljend), tundub see kuidagi keerulisem kui olukord, kus "pluss-miinus" esineb ainult kahe termini ees.
Kuid miski ei takista meil algset võrrandit järgmiselt ümber kirjutamast:
\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Paremnool \vasak| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]
Mis juhtus? Ei midagi erilist: nad lihtsalt vahetasid vasaku ja parema külje. Väike asi, mis teeb meie elu lõpuks pisut lihtsamaks. :)
Üldiselt lahendame selle võrrandi, võttes arvesse pluss- ja miinusvõimalusi:
\[\begin(joona)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Paremnool ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Paremnool ((x)^(2))-2x+1=0. \\\lõpp(joonda)\]
Esimesel võrrandil on juured $x=3$ ja $x=1$. Teine on üldiselt täpne ruut:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Seetõttu on sellel ainult üks juur: $x=1$. Kuid me oleme selle juure juba varem hankinud. Seega läheb lõplikku vastust ainult kaks numbrit:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Ülesanne täidetud! Võid piruka riiulilt võtta ja ära süüa. Neid on 2, sinu oma on keskmine. :)
Oluline märkus. Mooduli erinevate laiendamisvariantide identsete juurte olemasolu tähendab, et algsed polünoomid on faktoriseeritud ja nende tegurite hulgas on kindlasti ühine. Tõesti:
\[\begin(joona)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \parem|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\lõpp(joonda)\]
Üks mooduli atribuutidest: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (st korrutise moodul on võrdne mooduli korrutisega), seega saab algse võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]
Nagu näete, on meil tõesti ühine tegur. Nüüd, kui kogute kõik moodulid ühele küljele, saate selle teguri sulust välja võtta:
\[\begin(joona)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \parem|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\lõpp(joonda)\]
Noh, nüüd pidage meeles, et korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(joonda) \paremale.\]
Seega on algne kahe mooduliga võrrand taandatud kahele kõige lihtsamale võrrandile, millest me juba tunni alguses rääkisime. Selliseid võrrandeid saab lahendada sõna otseses mõttes paari reaga. :)
See märkus võib tunduda tarbetult keeruline ja praktikas kohaldamatu. Kuid tegelikkuses võite kokku puutuda palju keerulisemate probleemidega kui need, mida me täna vaatleme. Nendes saab mooduleid kombineerida polünoomide, aritmeetiliste juurtega, logaritmidega jne. Ja sellistes olukordades võib võrrandi üldist astet alandada, võttes sulgudest midagi välja. :)
Nüüd tahaksin analüüsida teist võrrandit, mis esmapilgul võib tunduda hullumeelne. Paljud õpilased jäävad sellega jänni, isegi need, kes arvavad, et saavad moodulitest hästi aru.
Seda võrrandit on aga veelgi lihtsam lahendada kui seda, mida me varem vaatlesime. Ja kui saate aru, miks, saate veel ühe nipi võrrandite kiireks lahendamiseks moodulitega.
Seega võrrand on järgmine:
\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]
Ei, see pole kirjaviga: moodulite vahel on pluss. Ja me peame leidma, millise $x$ korral on kahe mooduli summa võrdne nulliga. :)
Milles ikkagi probleem? Kuid probleem on selles, et iga moodul on positiivne arv või äärmuslikel juhtudel null. Mis juhtub, kui liita kaks positiivset arvu? Ilmselgelt jälle positiivne arv:
\[\begin(joona)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(joonda)\]
Viimane rida võib anda teile aimu: ainus kord, kui moodulite summa on null, on siis, kui iga moodul on null:
\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Paremnool \vasak\( \begin(joonda)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(joonda) \paremale.\]
Ja millal on moodul võrdne nulliga? Ainult ühel juhul - kui alammooduli avaldis on võrdne nulliga:
\[((x)^(2))+x-2=0\Paremnool \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Paremnool \vasak[ \begin(joonda)& x=-2 \\& x=1 \\\end(joonda) \paremale.\]
Seega on meil kolm punkti, kus esimene moodul nullitakse: 0, 1 ja −1; samuti kaks punkti, kus teine moodul nullitakse: −2 ja 1. Siiski on vaja, et mõlemad moodulid nullitakse korraga, nii et leitud numbrite hulgast peame valima need, mis sisalduvad mõlemad komplektid. Ilmselgelt on ainult üks selline arv: $x=1$ – see on lõplik vastus.
Lõhestamise meetod
Noh, oleme juba hunniku probleeme käsitlenud ja õppinud palju tehnikaid. Kas sa arvad, et see on kõik? Kuid mitte! Nüüd vaatame lõplikku tehnikat - ja samal ajal kõige olulisemat. Räägime võrrandite jagamisest mooduliga. Millest me üldse räägime? Läheme veidi tagasi ja vaatame mõnda lihtsat võrrandit. Näiteks see:
\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]
Põhimõtteliselt me juba teame, kuidas sellist võrrandit lahendada, sest see on standardkonstruktsioon kujul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Kuid proovime seda võrrandit veidi teise nurga alt vaadata. Täpsemalt mõelge moodulmärgi all olevale avaldisele. Lubage mul teile meelde tuletada, et mis tahes arvu moodul võib olla võrdne arvu endaga või vastupidine sellele arvule:
\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(joonda) \right.\]
Tegelikult on see ebaselgus kogu probleem: kuna mooduli all olev arv muutub (see sõltub muutujast), pole meile selge, kas see on positiivne või negatiivne.
Aga mis siis, kui soovite, et see arv oleks positiivne? Näiteks nõuame, et $3x-5 \gt 0$ – sellisel juhul saame garanteeritult moodulimärgi all positiivse arvu ja saame sellest moodulist täielikult lahti:
Seega muutub meie võrrand lineaarseks, mida saab hõlpsasti lahendada:
Tõsi, kõik need mõtted on mõttekad ainult tingimusel $3x-5 \gt 0$ - me ise kehtestasime selle nõude, et moodulit ühemõtteliselt paljastada. Seetõttu asendame leitud $x=\frac(5)(3)$ selle tingimusega ja kontrollime:
Selgub, et määratud väärtuse $x$ puhul ei ole meie nõue täidetud, sest avaldis osutus võrdseks nulliga ja meil on vaja, et see oleks nullist rangelt suurem. Kurb. :(
Aga pole midagi! On ju teine variant $3x-5 \lt 0$. Veelgi enam: on ka juhtum $3x-5=0$ – ka sellega tuleb arvestada, muidu jääb lahendus poolikuks. Niisiis, kaaluge juhtumit $3x-5 \lt 0$:
Ilmselt avaneb moodul miinusmärgiga. Kuid siis tekib kummaline olukord: algses võrrandis jääb nii vasakul kui ka paremal välja sama avaldis:
Huvitav, millisel $x$ on avaldis $5-3x$ võrdne avaldisega $5-3x$? Isegi Captain Obviousness lämbuks sellistest võrranditest sülg, kuid me teame: see võrrand on identiteet, s.t. see kehtib muutuja mis tahes väärtuse kohta!
See tähendab, et meile sobib iga $x$. Meil on aga piirang:
Teisisõnu, vastus ei ole üks arv, vaid terve intervall:
Lõpuks on veel üks juhtum, mida kaaluda: $3x-5=0$. Siin on kõik lihtne: mooduli all on null ja nullmoodul on samuti võrdne nulliga (see tuleneb otseselt definitsioonist):
Aga siis algne võrrand $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kirjutatakse ümber järgmiselt:
Selle juure saime juba eespool, kui kaalusime juhtumit $3x-5 \gt 0$. Pealegi on see juur lahendus võrrandile $3x-5=0$ - see on piirang, mille me ise mooduli lähtestamiseks kasutusele võtsime. :)
Seega oleme lisaks intervallile rahul ka selle intervalli lõpus oleva numbriga:
Juurte ühendamine moodulvõrrandites Lõplik vastus kokku: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Üsna lihtsa (sisuliselt lineaarse) mooduliga võrrandi vastuses pole sellist jama väga sageli näha, noh, harjuge ära: mooduli raskus seisneb selles, et vastused sellistes võrrandites võivad osutuda täiesti ettearvamatuteks.
Midagi muud on palju olulisem: analüüsisime just universaalset algoritmi mooduliga võrrandi lahendamiseks! Ja see algoritm koosneb järgmistest sammudest:
- Võrdsusta iga võrrandi moodul nulliga. Saame mitu võrrandit;
- Lahendage kõik need võrrandid ja märkige arvujoonele juured. Selle tulemusena jagatakse sirgjoon mitmeks intervalliks, millest igaühel on kõik moodulid kordumatult nähtavad;
- Lahendage iga intervalli algne võrrand ja ühendage vastused.
See on kõik! Jääb vaid üks küsimus: mida teha 1. sammus saadud juurtega? Oletame, et meil on kaks juurt: $x=1$ ja $x=5$. Nad jagavad numbrirea kolmeks osaks:
Arvrea jagamine intervallideks punktide abil Millised on siis intervallid? On selge, et neid on kolm:
- Vasakpoolseim: $x \lt 1$ — ühik ise ei kuulu intervalli;
- Keskne: $1\le x \lt 5$ - siin sisaldub intervallis üks, aga viit ei arvestata;
- Parempoolne: $x\ge 5$ – viis sisaldub ainult siin!
Ma arvan, et sa juba mõistad mustrit. Iga intervall sisaldab vasakut otsa ja ei sisalda paremat.
Esmapilgul võib selline sissekanne tunduda ebamugav, ebaloogiline ja üldiselt mingi hull. Kuid uskuge mind: pärast väikest harjutamist leiate, et see lähenemine on kõige usaldusväärsem ega sega moodulite ühemõttelist avamist. Parem on kasutada sellist skeemi kui mõelda iga kord: anda praegusele intervallile vasak/parem ots või "viska" see järgmisse.
Mooduliga võrrandite ja võrratuste lahendamine põhjustab sageli raskusi. Kui aga hästi aru saada, millega on tegu arvu absoluutväärtus, Ja kuidas õigesti laiendada moodulmärki sisaldavaid avaldisi, siis esinemine võrrandis avaldis mooduli märgi all, lakkab olemast takistus selle lahendusele.
Natuke teooriat. Igal arvul on kaks tunnust: arvu absoluutväärtus ja selle märk.
Näiteks numbril +5 või lihtsalt 5 on plussmärk ja absoluutväärtus 5.
Arvul -5 on märk "-" ja absoluutväärtus on 5.
Numbrite 5 ja -5 absoluutväärtused on 5.
Arvu x absoluutväärtust nimetatakse arvu mooduliks ja seda tähistatakse |x|.
Nagu näeme, on arvu moodul võrdne arvu endaga, kui see arv on suurem või võrdne nulliga, ja selle arvuga vastupidise märgiga, kui see arv on negatiivne.
Sama kehtib kõigi avaldiste kohta, mis ilmuvad mooduli märgi all.
Mooduli laiendamise reegel näeb välja selline:
|f(x)|= f(x), kui f(x) ≥ 0 ja
|f(x)|= - f(x), kui f(x)< 0
Näiteks |x-3|=x-3, kui x-3≥0 ja |x-3|=-(x-3)=3-x, kui x-3<0.
Moodulimärgi all olevat avaldist sisaldava võrrandi lahendamiseks peate esmalt mooduli laiendamine vastavalt mooduli laiendamise reeglile.
Siis muutub meie võrrand või ebavõrdsus kaheks erinevaks võrrandiks, mis eksisteerivad kahel erineval arvulisel intervallil.
Üks võrrand eksisteerib arvulisel intervallil, millel mooduli märgi all olev avaldis on mittenegatiivne.
Ja teine võrrand eksisteerib intervallil, millel mooduli märgi all olev avaldis on negatiivne.
Vaatame lihtsat näidet.
Lahendame võrrandi:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Avame mooduli.
|x-3|=x-3, kui x-3≥0, s.o. kui x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, kui x-3<0, т.е. если х<3
2. Saime kaks numbrilist intervalli: x≥3 ja x<3.
Vaatleme, millisteks võrranditeks algne võrrand igal intervallil teisendatakse:
A) Kui x≥3 |x-3|=x-3 ja meie haavand on kujul:
Tähelepanu! See võrrand eksisteerib ainult intervallil x≥3!
Avame sulud ja esitame sarnased terminid:
ja lahendage see võrrand.
Sellel võrrandil on juured:
x 1 = 0, x 2 = 3
Tähelepanu! kuna võrrand x-3=-x 2 +4x-3 eksisteerib ainult intervallil x≥3, siis meid huvitavad vaid need juured, mis sellesse intervalli kuuluvad. Seda tingimust täidab ainult x 2 =3.
B) x juures<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Tähelepanu! See võrrand eksisteerib ainult intervallil x<3!
Avame sulud ja esitame sarnased terminid. Saame võrrandi:
x 1 = 2, x 2 = 3
Tähelepanu! kuna võrrand 3-x=-x 2 +4x-3 eksisteerib ainult intervallil x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Niisiis: esimesest intervallist võtame ainult juur x=3, teisest - juur x=2.
Moodul on avaldise absoluutväärtus. Et moodulit kuidagi tähistada, on tavaks kasutada sirgeid sulgusid. Väärtus, mis on paarissulgudes, on väärtus, mis võetakse modulo. Mis tahes mooduli lahendamise protsess seisneb nende väga sirgete sulgude avamises, mida matemaatilises keeles nimetatakse modulaarseteks sulgudeks. Nende avalikustamine toimub vastavalt teatud arvule reeglitele. Samuti leitakse moodulite lahendamise järjekorras nende avaldiste väärtuste komplektid, mis olid moodulsulgudes. Enamasti laiendatakse moodulit nii, et avaldis, mis oli alammoodul, saab nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, sealhulgas väärtuse null. Kui lähtuda mooduli väljakujunenud omadustest, siis selle käigus koostatakse algsest avaldisest erinevad võrrandid või võrratused, mis siis vajavad lahendamist. Mõelgem välja, kuidas mooduleid lahendada.
Lahendusprotsess
Mooduli lahendamine algab algse võrrandi kirjutamisest mooduliga. Et vastata küsimusele, kuidas mooduliga võrrandeid lahendada, peate selle täielikult avama. Sellise võrrandi lahendamiseks laiendatakse moodulit. Arvestada tuleb kõiki modulaarseid avaldisi. On vaja kindlaks teha, milliste selle koostises sisalduvate tundmatute koguste väärtuste korral muutub sulgudes olev modulaarne avaldis nulliks. Selleks piisab, kui võrdsustada moodulsulgudes avaldis nulliga ja seejärel arvutada saadud võrrandi lahendus. Leitud väärtused tuleb üles märkida. Samamoodi peate määrama ka kõigi selle võrrandi kõigi moodulite tundmatute muutujate väärtused. Järgmiseks tuleb hakata defineerima ja arvesse võtma kõiki muutujate olemasolu juhtumeid avaldistes, kui need erinevad väärtusest null. Selleks tuleb algses võrratuses kirja panna mingi kõikidele moodulitele vastav võrratuste süsteem. Ebavõrdsused tuleb kirjutada nii, et need kataks kõik numbrireal leiduvad muutuja saadaolevad ja võimalikud väärtused. Seejärel tuleb visualiseerimiseks tõmmata see sama arvjoon, millele hiljem kõik saadud väärtused joonistada.
Peaaegu kõike saab nüüd teha Internetis. Moodul ei ole erand reeglist. Saate selle Internetis lahendada, kasutades ühte paljudest kaasaegsetest ressurssidest. Kõik need muutuja väärtused, mis on nullmoodulis, on eriline piirang, mida kasutatakse modulaarse võrrandi lahendamise protsessis. Algses võrrandis peate avama kõik saadaolevad modulaarsed sulud, muutes samal ajal avaldise märki nii, et soovitud muutuja väärtused langeksid kokku nende väärtustega, mis on nähtavad arvureal. Saadud võrrand tuleb lahendada. Võrrandi lahendamisel saadava muutuja väärtust tuleb kontrollida mooduli enda poolt määratud piiranguga. Kui muutuja väärtus vastab täielikult tingimusele, siis on see õige. Kõik juured, mis saadakse võrrandi lahendamise käigus, kuid ei sobi piirangutega, tuleb ära visata.
See veebipõhine matemaatikakalkulaator aitab teid lahendage võrrand või võrratus moodulitega. Programm jaoks võrrandite ja võrratuste lahendamine moodulitega mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid viib üksikasjalik lahendus koos selgitustega, st. kuvab tulemuse saamise protsessi.
See programm võib olla kasulik üldhariduskoolide gümnaasiumiõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit ning vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimisel. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.
Nii saate ise läbi viia koolitusi ja/või nooremate vendade või õdede koolitust, samal ajal tõuseb haridustase probleemide lahendamise alal.
|x| või abs(x) – moodul xSisestage võrrand või võrratus moodulitega
Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse kuvamiseks peate lubama JavaScripti.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...
Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Moodulitega võrrandid ja võrratused
Põhikooli algebra kursusel võib kohata lihtsamaid võrrandeid ja võrratusi moodulitega. Nende lahendamiseks saate kasutada geomeetrilist meetodit, mis põhineb asjaolul, et \(|x-a| \) on punktide x ja a vaheline kaugus arvjoonel: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Näiteks võrrandi \(|x-3|=2\) lahendamiseks tuleb leida arvujoonelt punktid, mis asuvad punktist 3 kaugemal 2. Selliseid punkte on kaks: \(x_1=1 \) ja \(x_2=5\) .
Võrratuse lahendamine \(|2x+7| 
Kuid peamine viis võrrandite ja võrratuste lahendamiseks moodulitega on seotud niinimetatud "mooduli definitsiooni järgi ilmutamisega":
kui \(a \geq 0 \), siis \(|a|=a \);
if \(a Reeglina taandatakse moodulitega võrrand (võrrand) võrrandite (võrratuste) hulgaks, mis ei sisalda moodulimärki.
Lisaks ülaltoodud määratlusele kasutatakse järgmisi väiteid:
1) Kui \(c > 0\), siis võrrand \(|f(x)|=c \) on samaväärne võrrandite hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(massiivi)\right. \)
2) Kui \(c > 0 \), siis võrratus \(|f(x)| 3) Kui \(c \geq 0 \), siis on võrratus \(|f(x)| > c \) samaväärne ebavõrdsuste hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) c \end(massiivi)\right. \)
4) Kui võrratuse \(f(x) mõlemad pooled NÄIDE 1. Lahendage võrrand \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Kui \(x-1 \geq 0\), siis \(|x-1| = x-1\) ja antud võrrand saab kuju
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Paremnool x^2 +2x -8 = 0 \).
Kui \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \paremnool x^2 -2x -4 = 0 \).
Seega tuleks antud võrrandit vaadelda mõlemal näidatud juhul eraldi.
1) Olgu \(x-1 \geq 0 \), st. \(x\geq 1\). Võrrandist \(x^2 +2x -8 = 0\) leiame \(x_1=2, \; x_2=-4\). Tingimust \(x \geq 1 \) täidab ainult väärtus \(x_1=2\).
2) Olgu \(x-1 Vastus: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
NÄIDE 2. Lahendage võrrand \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Esimene viis(mooduli laiendus definitsiooni järgi).
Põhjendades nagu näites 1, jõuame järeldusele, et antud võrrandit tuleb eraldi käsitleda, kui on täidetud kaks tingimust: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) või \(x^2-6x+7
1) Kui \(x^2-6x+7 \geq 0 \), siis \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ja antud võrrand on kujul \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Paremnool 3x^2-23x+30=0 \). Olles lahendanud selle ruutvõrrandi, saame: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Uurime, kas väärtus \(x_1=6\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0\). Selleks asendage näidatud väärtus ruutvõrratusega. Saame: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), st. \(7 \geq 0 \) on tõeline ebavõrdsus. See tähendab, et \(x_1=6\) on antud võrrandi juur.
Uurime, kas väärtus \(x_2=\frac(5)(3)\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0\). Selleks asendage näidatud väärtus ruutvõrratusega. Saame: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), st. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) on vale võrratus. See tähendab, et \(x_2=\frac(5)(3)\) ei ole antud võrrandi juur.
2) Kui \(x^2-6x+7 väärtus \(x_3=3\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 väärtus \(x_4=\frac(4)(3) \) ei vasta tingimus \ (x^2-6x+7 Seega, antud võrrandil on kaks juurt: \(x=6, \; x=3 \).
Teine viis. Kui on antud võrrand \(|f(x)| = h(x) \), siis \(h(x) \(\left[\begin(massiivi)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(massiivi)\right. \)
Mõlemad võrrandid lahendati eespool (kasutades antud võrrandi esimest lahendusmeetodit), nende juured on järgmised: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Nende nelja väärtuse tingimust \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) täidab ainult kaks: 6 ja 3. See tähendab, et antud võrrandil on kaks juurt: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Kolmas viis(graafika).
1) Koostame funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \) graafiku. Esmalt konstrueerime parabooli \(y = x^2-6x+7\). Meil on \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funktsiooni \(y = (x-3)^2-2\) graafiku saab funktsiooni \(y = x^2\) graafikult, nihutades seda 3 skaalaühiku võrra paremale (piki x-telg) ja 2 skaalaühikut allapoole ( piki y-telge). Sirge x=3 on meid huvitava parabooli telg. Täpsema joonistamise kontrollpunktidena on mugav võtta punkt (3; -2) - parabooli tipp, punkt (0; 7) ja punkt (6; 7) sümmeetriliselt parabooli telje suhtes. .
Funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \) graafiku koostamiseks peate muutmata jätma konstrueeritud parabooli need osad, mis ei asu x-teljest allpool, ja peegeldama seda osa parabool, mis asub x-telje suhtes x-telje suhtes allpool.
2) Koostame lineaarfunktsiooni \(y = \frac(5x-9)(3)\ graafiku. Kontrollpunktideks on mugav võtta punkte (0; –3) ja (3; 2).
On oluline, et sirge ja abstsisstelje lõikepunkti punkt x = 1,8 asuks parabooli vasakpoolsest lõikepunktist abstsissteljega paremal - see on punkt \(x=3-\ sqrt(2)\) (alates \(3-\sqrt(2 ) 3) Joonise järgi otsustades ristuvad graafikud kahes punktis - A(3; 2) ja B(6; 7). Asendades nende abstsissid punktid x = 3 ja x = 6 antud võrrandisse, oleme veendunud, et mõlemad Teises väärtuses saadakse õige arvuline võrdus See tähendab, et meie hüpotees sai kinnitust - võrrandil on kaks juurt: x = 3 ja x = 6 Vastus: 3; 6.
Kommenteeri. Graafiline meetod ei ole kogu oma elegantsuse juures kuigi usaldusväärne. Vaadeldavas näites töötas see ainult seetõttu, et võrrandi juurteks on täisarvud.
NÄIDE 3. Lahendage võrrand \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Esimene viis
Avaldis 2x–4 muutub 0-ks punktis x = 2 ja avaldis x + 3 muutub 0-ks punktis x = –3. Need kaks punkti jagavad arvujoone kolmeks intervalliks: \(x
Mõelge esimesele intervallile: \((-\infty; \; -3) \).
Kui x Vaatleme teist intervalli: \([-3; \; 2) \).
Kui \(-3 \leq x Vaatleme kolmandat intervalli: \()