See artikkel räägib kauguse määramisest punktist tasapinnani. Analüüsime seda koordinaatide meetodil, mis võimaldab leida kauguse antud punktist kolmemõõtmelises ruumis. Selle tugevdamiseks vaatame mitmete ülesannete näiteid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kaugus punktist tasapinnani leitakse teadaoleva kauguse kaudu punktist punktini, kus üks neist on antud ja teine on projektsioon antud tasapinnale.
Kui ruumis on määratud punkt M 1 tasapinnaga χ, siis saab punktist läbi tõmmata tasapinnaga risti oleva sirge. H 1 on nende ühine lõikepunkt. Sellest saame, et lõik M 1 H 1 on rist, mis on tõmmatud punktist M 1 tasapinnale χ, kus punkt H 1 on risti alus.
Definitsioon 1
Nimetatakse kaugust etteantud punktist antud punktist antud tasapinnale tõmmatud risti aluseni.
Definitsiooni saab kirjutada erinevates vormides.
2. definitsioon
Kaugus punktist tasapinnani on antud punktist antud tasapinnale tõmmatud risti pikkus.
Kaugus punktist M 1 tasandini χ määratakse järgmiselt: kaugus punktist M 1 tasandini χ on väikseim antud punktist tasandi mis tahes punktini. Kui punkt H 2 asub χ tasapinnal ja ei võrdu punktiga H 2, siis saame täisnurkse kolmnurga kujul M 2 H 1 H 2 , mis on ristkülikukujuline, kus on jalg M 2 H 1, M 2 H 2 - hüpotenuus. See tähendab, et sellest järeldub, et M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 loetakse kalduks, mis tõmmatakse punktist M 1 tasapinnale χ. Meil on, et antud punktist tasapinnale tõmmatud risti on väiksem kui punktist antud tasapinnale tõmmatud kaldnurk. Vaatame seda juhtumit alloleval joonisel.
Kaugus punktist tasapinnani – teooria, näited, lahendused
On mitmeid geomeetrilisi ülesandeid, mille lahendused peavad sisaldama kaugust punktist tasapinnani. Selle tuvastamiseks võib olla erinevaid viise. Lahenduseks kasutage Pythagorase teoreemi või kolmnurkade sarnasust. Kui vastavalt tingimusele on vaja arvutada kaugus punktist tasapinnani, mis on antud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, lahendatakse see koordinaatmeetodil. See lõik käsitleb seda meetodit.
Ülesande tingimuste kohaselt on antud kolmemõõtmelises ruumis koordinaatidega M 1 (x 1, y 1, z 1) punkt tasapinnaga χ, selleks on vaja määrata kaugus M 1-st. tasapind χ. Selle probleemi lahendamiseks kasutatakse mitmeid lahendusviise.
Esimene viis
See meetod põhineb kauguse leidmisel punktist tasapinnani, kasutades punkti H 1 koordinaate, mis on punktist M 1 tasandi χ vahelise risti alus. Järgmisena peate arvutama kauguse M 1 ja H 1 vahel.
Ülesande teisel viisil lahendamiseks kasutage antud tasandi normaalvõrrandit.
Teine viis
Tingimusel on, et H 1 on ristnurga alus, mis langetati punktist M 1 tasapinnale χ. Seejärel määrame punkti H 1 koordinaadid (x 2, y 2, z 2). Nõutav kaugus M 1-st χ-tasandini leitakse valemiga M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, kus M 1 (x 1, y 1, z 1) ja H 1 (x 2, y 2, z 2). Lahendamiseks on vaja teada punkti H 1 koordinaate.
Meil on, et H 1 on χ tasandi lõikepunkt sirgega a, mis läbib χ tasandiga risti asuvat punkti M 1. Sellest järeldub, et etteantud punkti läbiva sirge jaoks on vaja koostada võrrand antud tasapinnaga risti. Siis saame määrata punkti H 1 koordinaadid. On vaja arvutada sirge ja tasandi lõikepunkti koordinaadid.
Algoritm koordinaatidega punktist M 1 (x 1, y 1, z 1) χ tasandi kauguse leidmiseks:
3. määratlus
- koostada võrrand sirge a läbib punkti M 1 ja samal ajal
- risti χ tasapinnaga;
- leida ja arvutada punkti H 1 koordinaadid (x 2 , y 2 , z 2), mis on punktid
- sirge a lõikepunkt tasapinnaga χ;
- arvutage kaugus M 1-st χ-ni, kasutades valemit M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.
Kolmas viis
Antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y z on tasapind χ, siis saame tasapinna normaalvõrrandi kujul cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Siit saame, et kaugus M 1 H 1 punktiga M 1 (x 1 , y 1 , z 1) tasapinnani χ, mis arvutatakse valemiga M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . See valem kehtib, kuna see loodi tänu teoreemile.
Teoreem
Kui kolmemõõtmelises ruumis on antud punkt M 1 (x 1, y 1, z 1), mille tasandi χ normaalvõrrand on kujul cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, siis punktist tasandini kauguse arvutamine M 1 H 1 saadakse valemist M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, kuna x = x 1, y = y 1 , z = z 1.
Tõestus
Teoreemi tõestus taandub punkti ja sirge kauguse leidmisele. Sellest saame, et kaugus M 1-st χ-tasandini on raadiusvektori M 1 arvprojektsiooni erinevuse moodul kaugusest lähtepunktist χ-tasandini. Siis saame avaldise M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Tasapinna χ normaalvektor on kujul n → = cos α, cos β, cos γ ja selle pikkus on võrdne ühega, n p n → O M → on vektori O M → = (x 1, y 1) arvprojektsioon , z 1) vektori n → poolt määratud suunas.
Rakendame skalaarvektorite arvutamise valemit. Seejärel saame avaldise vektori kujul n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , kuna n → = cos α , cos β , cos γ · z ja O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Kirjutamise koordinaatvorm saab olema kujul n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, siis M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teoreem on tõestatud.
Siit saame, et kaugus punktist M 1 (x 1, y 1, z 1) tasapinnani χ arvutatakse, asendades cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 tasapinna normaalvõrrandi vasak pool koordinaatide x, y, z asemel x 1, y 1 ja z 1, mis on seotud punktiga M 1, võttes saadud väärtuse absoluutväärtuse.
Vaatame näiteid koordinaatidega punktist antud tasapinnani kauguse leidmiseks.
Näide 1
Arvutage kaugus punktist koordinaatidega M 1 (5, - 3, 10) tasapinnani 2 x - y + 5 z - 3 = 0.
Lahendus
Lahendame probleemi kahel viisil.
Esimene meetod algab sirge a suunavektori arvutamisega. Tingimusel saame, et antud võrrand 2 x - y + 5 z - 3 = 0 on üldtasandi võrrand ja n → = (2, - 1, 5) on antud tasandi normaalvektor. Seda kasutatakse antud tasapinnaga risti asetseva sirge a suunavektorina. M 1 (5, - 3, 10) läbiva ruumi sirge kanooniline võrrand on vaja üles kirjutada suunavektoriga koordinaatidega 2, - 1, 5.
Võrrandist saab x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.
Tuleb määrata ristumiskohad. Selleks ühendage võrrandid õrnalt süsteemiks, et liikuda kanoonilisest võrrandist kahe lõikuva sirge võrrandile. Võtame selle punkti kui H 1. Me saame sellest aru
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Pärast seda peate süsteemi lubama
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Pöördume Gaussi süsteemi lahendusreegli poole:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1
Saame, et H 1 (1, - 1, 0).
Arvutame kauguse antud punktist tasapinnani. Võtame punktid M 1 (5, - 3, 10) ja H 1 (1, - 1, 0) ja saame
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - ( - 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Teine lahendus on kõigepealt viia antud võrrand 2 x - y + 5 z - 3 = 0 normaalkujule. Määrame normaliseeriva teguri ja saame 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Siit tuletame tasandi võrrandi 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Võrrandi vasak pool arvutatakse asendades x = 5, y = - 3, z = 10 ja peate võtma kauguse M 1 (5, - 3, 10) kuni 2 x - y + 5 z - 3 = 0 moodul. Saame väljendi:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Vastus: 230.
Kui χ-tasand on määratud ühe tasandi määramise meetodite jaotises oleva meetodi abil, peate esmalt hankima χ-tasandi võrrandi ja arvutama vajaliku kauguse mis tahes meetodi abil.
Näide 2
Kolmemõõtmelises ruumis määratakse punktid koordinaatidega M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Arvutage kaugus M 1 tasandist A B C.
Lahendus
Kõigepealt peate üles kirjutama antud kolme punkti läbiva tasapinna võrrandi koordinaatidega M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Sellest järeldub, et probleemil on eelmisega sarnane lahendus. See tähendab, et kaugus punktist M 1 tasapinnani A B C on 2 30.
Vastus: 230.
Tasapinna antud punktist või tasapinnast, millega nad on paralleelsed, on kauguse leidmine mugavam, kui rakendada valemit M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Sellest saame, et tasapindade normaalvõrrandid saadakse mitmes etapis.
Näide 3
Leidke kaugus antud punktist koordinaatidega M 1 (- 3, 2, - 7) koordinaattasandini O x y z ja võrrandiga 2 y - 5 = 0 antud tasandini.
Lahendus
Koordinaattasand O y z vastab võrrandile kujul x = 0. O y z tasapinna puhul on see normaalne. Seetõttu on vaja avaldise vasakpoolsesse serva asendada väärtused x = - 3 ja võtta kauguse absoluutväärtus punktist koordinaatidega M 1 (- 3, 2, - 7) tasapinnani. Saame väärtuse, mis on võrdne - 3 = 3.
Pärast teisendust saab tasandi 2 y - 5 = 0 normaalvõrrand kuju y - 5 2 = 0. Seejärel saate leida vajaliku kauguse punktist koordinaatidega M 1 (- 3, 2, - 7) tasapinnani 2 y - 5 = 0. Asendades ja arvutades saame 2 - 5 2 = 5 2 - 2.
Vastus: Nõutava kauguse M 1 (- 3, 2, - 7) kuni O y z väärtus on 3 ja 2-ni y - 5 = 0 on väärtus 5 2 - 2.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Töö tüüp: 14
Seisund
Tavalises kolmnurkses püramiidis DABC, mille alus on ABC, on aluse külg 6\sqrt(3), ja püramiidi kõrgus on 8. Servadel AB, AC ja AD on tähistatud punktid M, N ja K vastavalt nii, et AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2) Ja AK=\frac(5)(2).
A) Tõesta, et tasandid MNK ja DBC on paralleelsed.
b) Leidke kaugus punktist K DBC tasapinnani.
Näita lahendustLahendus
A) Tasapinnad MNK ja DBC on paralleelsed, kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe lõikuva sirgega. Tõestame seda. Vaatleme MNK tasandi sirgeid MN ja KM ning DBC tasandi sirgeid BC ja DB.
Kolmnurgas AOD: \angle AOD = 90^\circ ja Pythagorase teoreemi järgi AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).
Leiame AO, kasutades tõsiasja, et \bigtriangleup ABC on õige.
AO=\frac(2)(3)AO_1, kus AO_1 on \suurkolmnurga ABC kõrgus, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), kus a on \suurkolmnurga ABC külg.
AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9, siis AO = 6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.
1. Alates \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4) ja \angle DAB on üldine, siis \bigtriangleup AKM \sim ADB.
Sarnasusest järeldub, et \angle AKM = \angle ADB. Need on sirgete KM ja BD ning sekant AD vastavad nurgad. Seega KM \paralleel BD.
2. Alates \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) ja \angle CAB on siis tavaline \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.
Sarnasusest järeldub, et \angle ANM = \angle ACB. Need nurgad vastavad joontele MN ja BC ning sekantile AC. See tähendab MN \parallel BC.
Järeldus: kuna tasandi MNK kaks ristuvat sirget KM ja MN on vastavalt paralleelsed tasandi DBC kahe risuva sirgega BD ja BC, siis on need tasapinnad paralleelsed - MNK \parallel DBC.
b) Leiame kauguse punktist K tasapinnani BDC.
Kuna tasand MNK on paralleelne tasapinnaga DBC, siis kaugus punktist K tasapinnani DBC on võrdne kaugusega punktist O_2 tasapinnani DBC ja see on võrdne lõigu O_2 H pikkusega. Tõestame seda.
BC \perp AO_1 ja BC \perp DO_1 (kolmnurkade ABC ja DBC kõrgustena), mis tähendab, et BC on risti tasapinnaga ADO_1 ja siis BC on risti selle tasandi mis tahes sirgega, näiteks O_2 H. Konstruktsiooni järgi , O_2H\perp DO_1, mis tähendab, et O_2H on risti kaks ristuvat sirget BCD tasapinnaga ja seejärel on segment O_2 H risti BCD tasapinnaga ja võrdne kaugusega O_2 ja BCD tasapinna vahel.
Kolmnurgas O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\nurk HO_(1)O_(2).
O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).
O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).
\sin \nurk DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).
O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).
Vastus
\frac(54)(\sqrt(73))
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 14
Teema: Kaugus punktist tasapinnani
Seisund
ABCDA_1B_1C_1D_1 on tavaline nelinurkne prisma.
a) Tõesta, et tasapind BB_1D_1 \perp AD_1C .
b) Teades AB = 5 ja AA_1 = 6, leidke kaugus punktist B_1 tasandini AD_1C.
Näita lahendustLahendus
a) Kuna see prisma on korrapärane, siis BB_1 \perp ABCD, seega BB_1 \perp AC. Kuna ABCD on ruut, siis AC \perp BD . Seega AC \perp BD ja AC \perp BB_1 . Kuna sirged BD ja BB_1 lõikuvad, siis vastavalt sirge ja tasandi ristimärgile AC \perp BB_1D_1D. Nüüd lähtudes tasandite AD_1C \perp BB_1D_1 perpendikulaarsusest.
b) Tähistame O-ga ruudu ABCD diagonaalide AC ja BD lõikepunkti. Tasapinnad AD_1C ja BB_1D_1 lõikuvad piki sirget OD_1. Olgu B_1H tasapinnal BB_1D_1 sirgjoonega OD_1 tõmmatud risti. Seejärel B_1H \perp AD_1C . Olgu E=OD_1 \cap BB_1 . Sarnaste kolmnurkade D_1B_1E ja OBE jaoks (vastavate nurkade võrdsus tuleneb tingimusest BO \paralleel B_1D_1) on meil \frac (B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.
See tähendab, et B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Kuna B_1D_1=5\sqrt(2) , siis hüpotenuus D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194). Järgmisena kasutame kolmnurga D_1B_1E pindalameetodit, et arvutada hüpotenuusile D_1E langetatud kõrgus B_1H:
S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;
B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).
Vastus
\frac(60\sqrt(97))(97)
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2016. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 14
Teema: Kaugus punktist tasapinnani
Seisund
ABCDA_1B_1C_1D_1 on ristkülikukujuline rööptahukas. Servad AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .
a) Tõesta, et kaugused punktidest B ja D tasapinnani ACD_(1) on samad.
b) Leidke see kaugus.
Näita lahendustLahendus
A) Vaatleme kolmnurkset püramiidi D_1ACD.
Selles püramiidis võrdub kaugus punktist D alustasandini ACD_1-DH püramiidi kõrgusega punktist D alusele ACD_1.
V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, sellest võrdsusest saame
DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).
Vaatleme püramiidi D_1ABC. Kaugus punktist B tasapinnani ACD_1 on võrdne kõrgusega, mis on langetatud punkti B ülaosast ACD_1 alusele. Tähistame seda kaugust BK. Siis V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, sellest saame BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Aga V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , kuna kui arvestada ADC ja ABC püramiidide alustena, siis on kõrgus D_1D summaarne ja S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC kahel jalal). Seega BK=DH.
b) Leidke püramiidi D_1ACD ruumala.
Kõrgus D_1D=4 .
S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.
V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.
Näo ACD_1 pindala on \frac1(2)AC \cdot D_1P.
AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \: AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25
Teades, et täisnurkse kolmnurga haru on keskmine, mis on võrdeline hüpotenuusi ja hüpotenuusi lõiguga, mis on ümbritsetud jala ja täisnurga tipust tõmmatud kõrgusega, on kolmnurgas ADC AD^(2)=AC\cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).
Täisnurkses kolmnurgas AD_1P Pythagorase teoreemi järgi D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\left (\frac(49)(25) \right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).
S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).
DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).
- Ehitame tasapinna läbi punkti Aβ II α .
- Kolmanda lennuki ehitamine, paralleelsete tasanditega risti α Ja β
- Tasapindade lõikejoonel valige punkt B ja langetage punktist B risti.
- Segment BN - tasapindade vaheline kaugus võrdub kaugusega punktist A tasapinnaniα . AH = BN.
2. Antud on kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Kuubi serva pikkus on 1. Leia kaugus punktist A tasapinnani CB 1 D 1.
Lahendus [, 250Kb]. Selle ülesande täitmisel aitab meid järgmine algoritm:
- Punkti A kaudu konstrueerime tasapinnaga risti oleva tasandi α
- Langetame risti tasapindade AH lõikejoonega. AR – vajalik kaugus punktist A tasapinnani α .
Näiteks leidsin ülaltoodud ülesandes kauguse punktist A tasapinnani A 1 BT, väljendades püramiidi ABTA 1 kahekordset ruumala ABT alusel.
Antud on kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 servaga 1. Leia kaugus punktist A tasandini A 1 BT, kus T on lõigu AD keskpunkt.
Lahendus [, 193Kb].
4. Korrapärase nelinurkse prisma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 aluse küljega 12 ja kõrgusega 21 võetakse punkt M serval AA 1 nii, et AM = 8. Punkt K võetakse serval BB 1 nii, et B 1 K=8. Leidke kaugus punktist A 1 tasapinnani D 1 MK.
Lahendus [, 347Kb].
5. Korrapärase kolmnurkse prisma ABCA 1 B 1 C 1 korral on aluse küljed võrdsed 2 ja külgservad 3. Punkt D on serva CC 1 keskpunkt. Leia kaugus tipust C tasapinnani ADB 1.
Lahendus [, 285Kb].
6. Parempoolse prisma ABCA 1 B 1 C 1 alus on võrdhaarne kolmnurk ABC, AB = AC = 5, BC = 6. Prisma kõrgus on 3. Leia kaugus serva B 1 C keskkohast 1 lennukile BCA 1.
Lahendus [, 103Kb].
7. Parempoolse prisma ABCA 1 B 1 C 1 alus on täisnurkne kolmnurk ABC täisnurgaga C. BC = 3. Prisma kõrgus on 4. Leia kaugus punktist B tasapinnani ACB 1.
Lahendus [, 127Kb].
8. Prisma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 alus on romb ABCD, AB = 10, ВD = 12. Prisma kõrgus on 6. Leia kaugus näo keskpunktist A 1 B 1 C 1 D 1 tasapinnale BDC 1.
Lahendus [, 148Kb].
9. Korrapärase kuusnurkse prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 kõik servad on võrdsed 1-ga. Leia kaugus punktist B tasapinnani DEA 1.
Lahendus [, 194Kb].
10. Antud korrapärane tetraeeder ABCD servaga . Leia kaugus tipust A tasapinnani BDC.
Lahendus [, 119Kb].
11. DABC püramiidis on kõik servad võrdsed a-ga. Olgu O püramiidi aluse ABC keskpunkt ja K püramiidi kõrguse DO keskpunkt. Leia kaugus punktist K servani ABD.
Lahendus [