Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
Murdude liitmist on kahte tüüpi:
- Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
- Erinevate nimetajatega murdude liitmine
Esiteks õpime sarnase nimetajaga murdude liitmist. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta. Näiteks liidame murrud ja . Lisage lugejad ja jätke nimetaja muutmata:
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:
Näide 2. Lisage fraktsioonid ja .
Vastuseks osutus Mitte õige murdosa. Kui ülesande lõpp saabub, on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima kogu selle osa. Meie puhul terve osa paistab kergesti silma - kaks jagatud kahega võrdub ühega:
Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate ühe terve pitsa:
Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .
Jällegi liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja muutmata:
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate pizza:
Näide 4. Leidke avaldise väärtus 
See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:
Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.
Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude liitmises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:
- Sama nimetajaga murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta;
Erinevate nimetajatega murdude liitmine
Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.
Näiteks saab murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.
Kuid murde ei saa kohe lisada, kuna need murrud erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.
Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna vaatleme neist ainult ühte, kuna teised meetodid võivad algajale tunduda keerulised.
Selle meetodi olemus seisneb selles, et esmalt otsitakse mõlema murru nimetajate LCM-i. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga, et saada esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine lisategur.
Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.
Näide 1. Liidame kokku murrud ja
Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6
LCM (2 ja 3) = 6
Nüüd pöördume tagasi murdude ja . Esiteks jagage LCM esimese murru nimetajaga ja hankige esimene lisategur. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.
Saadud arv 2 on esimene lisakordaja. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks tehke murru kohale väike kaldus joon ja kirjutage üles selle kohal leitud lisategur:
Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.
Saadud arv 3 on teine lisakordaja. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame üles selle kohal leitud lisateguri:
Nüüd on meil kõik lisamiseks valmis. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:
Vaadake hoolikalt, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Toome selle näite lõpuni:
See lõpetab näite. Selgub, et lisada.
Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsa, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:
Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Vähendades murde ja ühise nimetaja, saime murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsatükid. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).
Esimene joonis kujutab murdosa (neli tükki kuuest) ja teine joonis kujutab murdosa (kolm tükki kuuest). Lisades need tükid saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu tõstsime esile kogu selle osa. Tulemuseks saime (ühe terve pitsa ja teise kuuenda pitsa).
Pange tähele, et oleme kirjeldanud see näide liiga üksikasjalik. IN õppeasutused Nii üksikasjalikult pole kombeks kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama leitud lisategurid lugejate ja nimetajatega. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:
Kuid on ka tagakülg medalid. Kui te matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tee, hakkavad ilmnema omalaadsed küsimused. “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.
Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.
- Leia murdude nimetajate LCM;
- Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur;
- Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
- Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
- Kui vastus osutub valeks murruks, valige selle kogu osa;
Näide 2. Leidke avaldise väärtus 
.
Kasutame ülaltoodud juhiseid.
Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM
Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4
2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur
Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru kohale:
Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saame teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru kohale:
Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saame kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:
Etapp 3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega
Korrutame lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:
4. samm. Lisage samade nimetajatega murded
Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Jääb vaid need murded lisada. Lisage see:
Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, liigutatakse see järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse on vaja panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.
5. samm. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, siis valige kogu selle osa
Meie vastus osutus valeks murdarvuks. Peame esile tõstma terve osa sellest. Toome esile:
Saime vastuse
Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
Murdude lahutamist on kahte tüüpi:
- Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
- Erinevate nimetajatega murdude lahutamine
Esiteks õpime, kuidas lahutada murde sarnaste nimetajatega. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja, kuid jätma nimetaja samaks.
Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata. Teeme ära:
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:
Näide 2. Leidke avaldise väärtus.
Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:
Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:
Näide 3. Leidke avaldise väärtus 
See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast tuleb lahutada ülejäänud murdude lugejad:
Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:
- Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
- Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.
Erinevate nimetajatega murdude lahutamine
Näiteks võite murdosast lahutada murdosa, kuna murdudel on samad nimetajad. Kuid te ei saa murdosast murda lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.
Ühine nimetaja leitakse samal põhimõttel, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse esimese murru kohale. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine lisategur, mis kirjutatakse teise murru kohale.
Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusena teisendatakse erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.
Näide 1. Leidke väljendi tähendus:
Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need taandama samale (ühise) nimetajale.
Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12
LCM (3 ja 4) = 12
Nüüd pöördume tagasi murdude ja
Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutage esimese murru kohale neli:
Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolm:
Nüüd oleme lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:
Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Toome selle näite lõpuni:
Saime vastuse
Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsa, saad pizza
See üksikasjalik versioon lahendusi. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:
Murdude taandamist ühisele nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Nende murdude taandamisel ühiseks nimetajaks saime murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale):
Esimesel pildil on murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Lõikates kaheksast tükist kolm tükki, saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.
Näide 2. Leidke avaldise väärtus 
Nendel murdudel on erinevad nimetajad, nii et kõigepealt peate need taandama samale (ühisnimetajale).
Leiame nende murdude nimetajate LCM.
Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagage LCM iga murdosa nimetajaga.
Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru kohale:
Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru kohale:
Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:
Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:
Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.
Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):
Vastuseks osutus tavaline murd ja kõik tundub meile sobivat, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda murdosa lühendada.
Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (GCD) arvudest 20 ja 30.
Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 gcd:
Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murru lugeja ja nimetaja leitud gcd-ga, see tähendab 10-ga
Saime vastuse
Murru korrutamine arvuga
Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murdosa lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.
Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.
Korrutage murdosa lugeja arvuga 1
Salvestusest võib aru saada, et võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtad pizza üks kord, saad pizza
Korrutamise seadustest teame, et kui korrutis ja tegur vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:
Seda tähistust võib mõista nii, et see võtab poole ühest. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:
Näide 2. Leidke avaldise väärtus
Korrutage murdosa lugeja 4-ga
Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:
Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtad 4 pitsat, saad kaks tervet pitsat
Ja kui vahetame kordaja ja kordaja, saame avaldise . See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:
Murdude korrutamine
Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.
Näide 1. Leidke avaldise väärtus.
Saime vastuse. Soovitav on vähendada antud murdosa. Murru saab vähendada 2 võrra. Siis lõplik otsus toimub järgmisel kujul:
Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:
Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:
Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:
Teeme pitsat. Pidage meeles, kuidas pitsa kolmeks osaks jagatuna välja näeb:
Üks tükk sellest pitsast ja kahel meie võetud tükil on samad mõõtmed:
Teisisõnu, me räägime umbes sama suur pitsa. Seetõttu on avaldise väärtus
Näide 2. Leidke avaldise väärtus
Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:
Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:
Näide 3. Leidke avaldise väärtus
Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:
Vastuseks osutus tavaline murd, aga hea oleks, kui seda lühendaks. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja suurimaga ühine jagaja(GCD) numbrid 105 ja 450.
Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 gcd:
Nüüd jagame oma vastuse lugeja ja nimetaja nüüd leitud gcd-ga, see tähendab 15-ga
Täisarvu esitamine murruna
Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . See ei muuda viie tähendust, kuna väljend tähendab "arvu viis jagatud ühega" ja see, nagu me teame, võrdub viiega:
Vastastikused numbrid
Nüüd saame tuttavaks väga huvitav teema matemaatikas. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".
Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühe.
Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:
Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühe.
Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et see on võimalik. Kujutagem ette viit murdosana:
Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult tagurpidi:
Mis selle tulemusena saab? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:
See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv , sest kui korrutate 5-ga, saate ühe.
Arvu pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu kohta.
Samuti saate leida mis tahes muu murru pöördarvu. Selleks keerake see lihtsalt ümber.
Murru jagamine arvuga
Oletame, et meil on pool pitsat:
Jagame selle kahe vahel võrdselt. Kui palju pitsat iga inimene saab?
Näha on, et peale poole pitsa jagamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.
Murdude jagamine toimub pöördarvude abil. Vastastikused numbrid võimaldab asendada jagamise korrutamisega.
Murru jagamiseks arvuga tuleb murdosa korrutada jagaja pöördväärtusega.
Seda reeglit kasutades paneme kirja meie poole pitsa jagamise kaheks osaks.
Seega peate murdosa jagama arvuga 2. Siin on dividend murdosa ja jagaja on arv 2.
Murru jagamiseks arvuga 2 peate selle murdosa korrutama jagaja 2 pöördarvuga. Jagaja 2 pöördarvuks on murd. Nii et peate korrutama
1. jagu LOODUSLIKUD NUMBRID JA TOIMINGUD NENDEGA. GEOMEETRILISED ANDMED JA KOGUSED
§ 15. Näited ja ülesanded kõikide naturaalarvudega tehte jaoks
Arvuliste avaldiste väärtuste arvutamisel ei tohiks unustada toimingute järjekorda.
Toimingute järjekord määratakse kindlaks järgmiste reeglitega:
1. Sulgudega avaldistes hinnatakse esmalt sulgudes olevate avaldiste väärtusi.
2. Sulgudeta avaldistes sooritatakse kõigepealt astendamine, seejärel korrutamine ja jagamine järjekorras vasakult paremale ning seejärel liitmine ja lahutamine.
Näide 1. Arvutage: 8 ∙ (27 + 13) - 144: 2.
Lahendused.
1) 27 + 13 = 40;
2) 8 ∙ 40 = 320;
3) 144: 2 = 72;
4) 320 - 72 = 248.
Näide 2. Leidke avaldise (x2 - y: 13) väärtus ∙ 145, kui x = 12, y = 91.
Lahendused. Kui x = 12, y = 91, siis (x2 - y: 13) ∙ 145 = (122 - 91: 13) ∙ 145 = (144 - 7) ∙ 145 = 137 ∙ 145 = 19 865.
Vajadusel saab kasutada tegevusomadusi. Näiteks avaldise 438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 väärtuse saab arvutada järgmiselt:
438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 = (438 - 338) ∙ 39 = 100 ∙ 39 = 3900.
Milliseid reegleid kasutatakse tegevuste järjekorra määramiseks arvavaldiste arvutamisel?
Esimene tase
522. Loendage (suuliselt):
1) 42 + 38 - 7; 2) 24 ∙ 10: 2;
3) 27 - 30: 5; 4) 42: 6 + 35: 7;
5) 8 (23 - 19); 6) (12 + 18) : (12 - 7).
Keskmine tase
523. Arvuta:
1) 426 ∙ 205 - 57 816: 72;
2) (362 195 + 86 309) : 56;
3) 2001: 69 + 58 884: 84;
4) 42 275: (7005 - 6910).
524. Arvuta:
1) 535 ∙ 207 - 32 832: 76;
2) 1088: 68 + 57 442: 77;
3) (158 992 + 38 894) : 39;
4) 249 747: (4905 - 1896).
525. 5 tunniga läbis laev 175 km, rong 315 km 3 tunniga. Mitu korda on rongi kiirus suurem kui laeva kiirus?
526. 5 tunniga läbis kaubarong 280 km, kiirrong 255 km 3 tunniga. Kui palju suurem on kiirrongi kiirus kaubarongist?
527. Leia väljendi tähendus:
1) 78 ∙ x + 3217, kui x = 52;
2) a: 36 + a: 39, kui a = 468;
3) x ∙ 37 – c: 25, kui x = 15, y = 2525.
528. Leia väljendi tähendus:
1) 17 392 + 15 300: ja kui a = 25, 36;
2) m ∙ 155 – t ∙ 113, kui m = 17, t = 22.
529. 5 pliiatsi ja 3 jaoks üldised märkmikud makstud
16 UAH 70 kopikat Kui palju maksab märkmik, kui pliiats maksab 2 UAH? 50 kopikat?
530. Kolm kasti õunu ja kaks kasti banaane kaaluvad kokku 144 kg. Kui palju kaalub kast õunu, kui banaanikast kaalub 24 kg?
531. Vanem vend kogus 12 korvi kirsse ja noorem vend kogus 9 korvi. Kokku kogusid nad 105 kg kirsse. Mitu kilogrammi kirsse korjas iga vend, kui kõigi korvide kaal oli sama?
532. Poodi toimetati 27 pakki ruudulisi vihikuid ja 25 pakki joonelisi vihikuid - kokku 2600 tk. Mitu vihikut toodi puuris ja kui palju reas, kui kõigis pakkides on sama palju vihikuid?
533. Üks arvutiga juhitav masin toodab 12 detaili minutis ja teine veel 3 detaili. Mitme minutiga toodavad mõlemad masinad samaaegsel sisselülitamisel 945 detaili?
Piisav tase
534. Kogutud 830 kg õunu. Nendest a kilogrammi anti lasteaed, ja need, mis alles jäid, jagati võrdselt 30 korvi. Mitu kilogrammi oli igas korvis? Laod sõnasõnaline väljendus ja arvutage selle väärtus, kui a = 110.
535. Arvutage mugavalt:
1) 742 + 39 + 58; 2) 973 + 115 - 273;
3) 832 - 15 - 32; 4) 2 ∙ 115 ∙ 50;
5) 29 ∙ 19 + 71 ∙ 19; 6) 192 ∙ 37 – 92 ∙ 37.
536. Telerite remonditöökoda plaanis 12 päevaga remontida 180 televiisorit, kuid iga päev remonditi plaanitust 3 televiisorit rohkem. Mitme päevaga sai ülesanne täidetud?
538. Leia väljendi tähendus:
1) (21 000 - 308 ∙ 29) : 4 + 14 147: 47;
2) 548 ∙ 307 - 8904: (33 ∙ 507 - 16 647);
3) (562 + 1833: 47) ∙ 56 - 46 ∙ 305;
4) 1789 ∙ (1677: 43 - 888: 24)∙500.
539. Leia väljendi tähendus:
1) (42 + 9095: 85) ∙ (7344: 36 - 154);
2) 637 ∙ 408 - 54 036: (44 ∙ 209 - 9117);
3) (830 - 17 466: 82) ∙ 65 + 57 ∙ 804;
4) 197 ∙ (588: 49 + 728: 56) ∙ 40.
540. Kolme poodi tarniti 1506 kg võid. Pärast seda, kui esimene pood müüs 152 kg, teine - 183 kg ja kolmas - 211 kg, jäi kõikidesse kauplustesse võid alles ühepalju. Mitu kilogrammi võid toodi igasse poodi?
541. Linnadest A ja B , nende vahe on 110 km, kaks jalgratturit sõitsid korraga vastu. Neist ühe kiirus on 15 km/h, teise 3 km/h väiksem. Kas jalgratturid kohtuvad 4 tunni pärast?
542. Gümnaasiumiõpilased Ivan ja Vassili töötasid suviti talus. Ivan töötas 16 päeva jooksul 4 tundi päevas ja Vassili töötas 18 päeva jooksul 3 tundi päevas. Koos teenisid poisid 944 UAH. Esitage intelligentseid küsimusi ja vastake neile.
543. Kaks töölist, kellest üks töötas 12 päeva 8 tundi päevas ja teine 8 päeva 7 tundi päevas, valmistasid kokku 1368 detaili. Leidke töötajate tööviljakus, kui neil on sama. Mitu detaili iga töötaja valmistas?
544. Koostage ja lahendage ülesanne, mis hõlmab kõiki nelja tehteid naturaalarvudega.
Kõrge tase
545. Leidke võrrandite juured:
1) x - x = x ∙ x; 2) m: m = m ∙ m.
546. Leidke võrrandite juured:
1) x: 8 = x ∙ 4; 2) y: 9 = in: 11.
547. Millise arvu tuleb korrutada 259 259-ga, et saada korrutis, mis on kirjutatud ainult numbritega 7?
548. Millise arvu tuleb korrutada 37 037-ga, et saada korrutis, mis on kirjutatud ainult numbritega 3?
Harjutused, mida korrata
549. Lahenda võrrandid:
1) 4x - 2x + 7 = 19; 2) 8x + 3x - 5 = 39.
550. Linna jõudmiseks sõitis talupoeg 3 tundi bussiga, mille kiirus on km/h, ja 2 tundi veoautoga, mille kiirus b km/h Tagasitee läbis ta mootorrattaga 4 tunniga. Leidke mootorratta kiirus. Kirjutage kirjasõnaline avaldis ja arvutage selle väärtus, kui a = 40, b = 32.
Ja väljendite väärtuste arvutamisel tehakse toimingud teatud järjekorras, teisisõnu peate jälgima toimingute järjekord.
Selles artiklis selgitame välja, millised toimingud tuleks teha kõigepealt ja millised pärast neid. Alustame kõigest lihtsad juhtumid, kui avaldis sisaldab ainult pluss-, miinus-, korrutus- ja jagamismärkidega ühendatud numbreid või muutujaid. Järgmisena selgitame, millist tegevuste järjekorda tuleks sulgudega avaldistes järgida. Lõpuks vaatame, millises järjekorras toiminguid tehakse avaldistes, mis sisaldavad võimsusi, juuri ja muid funktsioone.
Leheküljel navigeerimine.
Kõigepealt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine
Kool annab järgmist reegel, mis määrab tegevuste sooritamise järjekorra avaldistes ilma sulgudeta:
- toimingud tehakse vasakult paremale,
- Lisaks tehakse kõigepealt korrutamine ja jagamine ning seejärel liitmine ja lahutamine.
Väljatoodud reeglit tajutakse üsna loomulikult. Toimingute sooritamine vasakult paremale on seletatav asjaoluga, et meil on tavaks pidada arvestust vasakult paremale. Ja seda, et korrutamine ja jagamine tehakse enne liitmist ja lahutamist, on seletatav tähendusega, mida need toimingud kannavad.
Vaatame mõnda näidet selle reegli rakendamise kohta. Näidete jaoks võtame kõige lihtsamad numbrilised avaldised, et mitte lasta end arvutustest segada, vaid keskenduda konkreetselt toimingute järjekorrale.
Näide.
Järgige samme 7–3+6.
Lahendus.
Algne avaldis ei sisalda sulgu ega korrutamist ega jagamist. Seetõttu peaksime tegema kõik toimingud järjekorras vasakult paremale, see tähendab, et kõigepealt lahutame 7-st 3, saame 4, mille järel lisame saadud erinevusele 4 6, saame 10.
Lühidalt võib lahenduse kirjutada järgmiselt: 7−3+6=4+6=10.
Vastus:
7−3+6=10 .
Näide.
Märkige toimingute järjekord väljendis 6:2·8:3.
Lahendus.
Probleemi küsimusele vastamiseks pöördume reegli poole, mis näitab toimingute sooritamise järjekorda avaldistes ilma sulgudeta. Algne avaldis sisaldab ainult korrutamise ja jagamise tehteid ning reegli järgi tuleb need sooritada järjekorras vasakult paremale.
Vastus:
Esiteks Jagame 6 2-ga, korrutame selle jagatise 8-ga ja lõpuks jagame tulemuse 3-ga.
Näide.
Arvutage avaldise 17−5·6:3−2+4:2 väärtus.
Lahendus.
Esmalt määrame kindlaks, millises järjekorras tuleks esialgses avaldises olevaid toiminguid sooritada. See sisaldab nii korrutamist ja jagamist kui ka liitmist ja lahutamist. Esiteks, vasakult paremale, peate tegema korrutamise ja jagamise. Seega korrutame 5 6-ga, saame 30, jagame selle arvu 3-ga, saame 10. Nüüd jagame 4 2-ga, saame 2. Asendame leitud väärtuse 10 algsesse avaldisesse 5·6:3 asemel ja 4:2 asemel väärtuse 2, saame 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Saadud avaldis ei sisalda enam korrutamist ja jagamist, seega jääb järelejäänud toimingud sooritada järjekorras vasakult paremale: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Vastus:
17−5·6:3−2+4:2=7.
Selleks, et avaldise väärtuse arvutamisel mitte segada toimingute sooritamise järjekorda, on alguses mugav paigutada tegevusmärkide kohale numbrid, mis vastavad nende sooritamise järjekorrale. Eelmise näite puhul näeks see välja järgmine: .
Kirjasõnaliste avaldistega töötamisel tuleks järgida sama tehte järjekorda – esmalt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine.
Esimese ja teise etapi toimingud
Mõnes matemaatikaõpikus on jaotus aritmeetilised tehted esimese ja teise etapi toimingute jaoks. Mõtleme selle välja.
Definitsioon.
Esimese etapi toimingud nimetatakse liitmist ja lahutamist ning korrutamist ja jagamist teise etapi toimingud.
Nendes tingimustes kehtib reegel alates eelmine lõik, mis määrab toimingute sooritamise järjekorra, kirjutatakse järgmiselt: kui avaldis ei sisalda sulgusid, siis järjekorras vasakult paremale sooritatakse kõigepealt teise etapi toimingud (korrutamine ja jagamine), siis esimese etapi toimingud (liitmine ja lahutamine).
Aritmeetiliste toimingute järjekord sulgudega avaldistes
Avaldised sisaldavad sageli sulgusid, mis näitavad toimingute sooritamise järjekorda. Sel juhul reegel, mis määrab sulgudega avaldistes toimingute sooritamise järjekorra, on sõnastatud järgmiselt: esiteks sooritatakse sulgudes olevad toimingud, samal ajal sooritatakse ka korrutamine ja jagamine järjekorras vasakult paremale, seejärel liitmine ja lahutamine.
Seega käsitletakse sulgudes olevaid väljendeid algse avaldise komponentidena ja need säilitavad meile juba teadaoleva tegevusjärjekorra. Vaatame suurema selguse huvides näidete lahendusi.
Näide.
Järgige neid samme 5+(7–2·3)·(6–4):2.
Lahendus.
Avaldis sisaldab sulgusid, seega sooritame esmalt toimingud nendesse sulgudesse lisatud avaldistes. Alustame avaldisega 7−2·3. Selles tuleb esmalt sooritada korrutamine ja alles siis lahutamine, meil on 7−2·3=7−6=1. Liigume edasi teise avaldise juurde sulgudes 6−4. Siin on ainult üks toiming - lahutamine, me teostame selle 6−4 = 2.
Asendame saadud väärtused algse avaldisega: 5+(7-2·3)·(6-4):2=5+1·2:2. Saadud avaldises sooritame esmalt vasakult paremale korrutamise ja jagamise, seejärel lahutamise, saame 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Siinkohal on kõik toimingud tehtud, järgisime nende teostamise järjekorda: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Paneme selle kirja lühike lahendus: 5+(7–2·3)·(6–4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Vastus:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
Juhtub, et avaldis sisaldab sulgudes sulgusid. Seda pole vaja karta, tuleb lihtsalt järjekindlalt rakendada sulgudega avaldistes toimingute sooritamise reeglit. Näitame näite lahendust.
Näide.
Soorita toimingud avaldises 4+(3+1+4·(2+3)) .
Lahendus.
See on sulgudega avaldis, mis tähendab, et toimingute sooritamine peab algama sulgudes olevast avaldisest ehk 3+1+4·(2+3) . See avaldis sisaldab ka sulgusid, seega peate esmalt sooritama nendes olevad toimingud. Teeme nii: 2+3=5. Leitud väärtuse asendamisel saame 3+1+4·5. Selles avaldises sooritame esmalt korrutamise, seejärel liitmise, saame 3+1+4·5=3+1+20=24. Algväärtus on pärast selle väärtuse asendamist kujul 4+24 ja jääb üle vaid toimingud lõpule viia: 4+24=28.
Vastus:
4+(3+1+4·(2+3))=28.
Üldiselt, kui avaldis sisaldab sulgudes sulgusid, on sageli mugav sooritada toiminguid, alustades sisemistest sulgudest ja liikudes välimiste sulgudeni.
Näiteks oletame, et peame sooritama toimingud avaldises (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Esmalt sooritame toimingud sisesulgudes, kuna 4−6:2=4−3=1, siis pärast seda saab algne avaldis kuju (4+(4+1)−1)−1. Tegevuse sooritame jällegi sisesulgudes, kuna 4+1=5, jõuame järgmise avaldiseni (4+5−1)−1. Jällegi sooritame sulgudes olevad toimingud: 4+5−1=8 ja saame vahe 8−1, mis võrdub 7-ga.
113. 1) Kahel riiulil on 84 raamatut (joon. 6); Kui eemaldate ühelt riiulilt 12 raamatut, on mõlemal riiulil võrdne arv raamatuid. Mitu raamatut oli igal riiulil?
2) (Suuline.) Krundi pindala on 1800 ruutmeetrit. m jagatud kahe arendaja vahel nii, et üks sai 100 ruutmeetrit. m vähem kui teine. Määrake, kui palju maad iga arendaja sai.
114. 1) Üks arv on teisest 113 võrra suurem ja nende summa on 337. Leia need arvud.
2) Üks arv on teisest 244 võrra väiksem ja nende summa on 566. Leia need arvud.
115. 1) Kahe arvu summa on 987 ja nende vahe on 333. Leia need arvud.
2) Kahe arvu liitmisel saadi tulemuseks 824 ja suuremast väiksema arvu lahutamisel 198. Leia need arvud.
Kasutades ülesande 113 näidet, kujutage graafiliselt ülesannete tingimusi 116 Ja 117 ja lahendage need suuliselt.
116. 1) Ühel riiulil on 80 raamatut ja teisel 100. Mitu raamatut tuleb teisest riiulist esimesse tõsta, et mõlemal riiulil oleks võrdne arv?
2) Ühel tüdrukul on 90 pähklit ja teisel 60. Mitu pähklit peaks esimene tüdruk teisele andma, et neil oleks sama arv pähkleid?
117. 1) Kahel poisil on 300 marka; Kui üks neist annab teisele 30 punkti, siis on mõlemal poisil sama palju hindeid. Mitu marki on igal poisil?
2) Kahe bussiga läks laagrisse 86 pioneeri. Peale pardaleminekut pidime esimesest bussist teise ümber tõstma kaks inimest, et igas bussis oleks võrdne arv reisijaid. Mitu inimest oli algul igas bussis?
118. 1) Mis kell praegu on, kui päevast on möödunud 3 tundi 30 minutit. rohkem kui ülejäänud?
2) Mis kell praegu on, kui päeva viimane osa on kell 6. 20 minutit. vähem kui ülejäänud?
119. 1) Kaks autot lahkusid korraga kahest kohast, mille vahe on 400 km ja kohtusid 4 tunni pärast. Määrake iga auto kiirus, kui üks neist sõitis 12 km tunnis kiiremini kui teine.
2) Kaks sõidukit vedasid 21 tonni kaupa, tehes kumbki 6 reisi. Määrake iga sõiduki kandevõime, kui esimene vedas iga kord 500 kg vähem kui teine.
120. 1) Liikudes süstaga mööda jõevoolu, läbis sportlane ühe tunniga 13 km 200 m ja vastu jõevoolu läbis tunniga vaid 8 km 800 m Leia jõe voolu kiirus ja jõe kiirus süsta seisvas vees. (Joonista graafiliselt.)
2) Kaks suusatajat, kes asusid üksteisest 6 km kaugusel 700 m, väljusid samaaegselt üksteise poole ja 20 minuti pärast. kohtusime. Kui ühes suunas välja läksid, siis 20 minuti pärast. teine suusataja on esimesest 300 m taga. Leia iga suusataja kiirus.
121. 1) Kaks kõrvuti asetsevat maatükki ristkülikukujuline on sama laiusega 72 m ja mõlema sektsiooni pikkuste summa on 240 m. Esimese sektsiooni pindala on 28 ja 80 ruutmeetrit. m rohkem ala teiseks. Kui suur on iga krundi pindala?
2) Kaks kõrvuti asetsevat ristkülikukujulist krunti on sama laiusega 56 m ning nende kruntide pindalade summa on 140 a. Leidke iga krundi pindala, kui ühe neist pikkus on 70 m suurem kui teise pikkus.
122. 1) Leningradis on suvise pööripäeva päeval (22. juunil) päev kell 13:00. 40 min. kauem kui öö. Määrake päikeseloojangu hetk, kui see tõuseb sel päeval kell 2 tundi 37 minutit.
2) Moskvas on talvise pööripäeva päeval (23. detsember) päev kell 10. lühem kui öö. Määrake päikesetõusu hetk, kui see loojub kell 15.00. 58 min.
123. 1) Tööliskülas ehitati kolme aastaga 1648 ruutmeetrit. m elamispinda. Teisel aastal ehitati 136 ruutmeetrit. m rohkem kui esimesel ja kolmandal aastal ehitati sama palju kui kahel esimesel aastal kokku. Kui palju ruutmeetrit aastal ehitati elamispinda?
2) Kolme aastaga kündis sovhoos 4850 hektarit põlist maad. Teisel aastal künti 225 hektarit rohkem kui esimesel ning kolmandal sama palju kui esimesel ja teisel aastal kokku. Mitu hektarit põlist maad aastas künditi?
124. 1) Kooliõpilaste rühm läbis kolme päevaga jalgratastel 228 km. Teisel päeval läbiti sama vahemaa kui esimesel päeval ja kolmandal 12 km rohkem kui teisel päeval. Kui kaugele koolilapsed iga päev sõitsid? Leidke nende liikumiskiirus igal päeval, kui nad olid esimesel päeval teel 9 tundi ja teisel 8 tundi. ja kolmandal - kell 7.
2) Sööklasse toodi kartul, peet ja porgand - kokku 3 tonni 360 kg. Porgandit ja peeti oli võrdsetes kogustes ning kartuleid oli 1 tonn 200 kg rohkem kui porgandit. Mitu kartulit, porgandit ja peeti sa söögituppa tõid? Mitu päeva kulub kartuli, porgandi ja peedi ära kulumiseks, kui päevas tarbitakse 128 kg kartulit, 36 kg peeti ja 24 kg porgandit?
125. 1) Kolm kooli kogusid kokku 37 tonni 690 kg vanarauda. Esimene kool kogus 1 tonni 80 kg rohkem kui teine ja 3 tonni 920 kg rohkem kui kolmas. Kui palju iga kool praagi eest raha saab, kui keskmiseks hinnaks määrati 8 rubla. 1 t eest?
2) Kolm pioneeriüksust kogusid kokku 5 tonni 380 kg vanapaberit. Esimene salk kogus 960 kg vähem kui kolmas ja teine salk 530 kg vähem kui kolmas. Kui palju vanapaberit iga salk kogus, kui 1 tonn seda maksab 20 rubla?
126. 1) Kahes pakis on kokku 270 märkmikku (joonis 7). Mitu märkmikku on igas pakis, kui teate, et ühes neist on 4 korda rohkem kui teises?
Vaadake pilti ja kasutage seda probleemi lahendamiseks.
2) Raamatud on paigutatud kolmele riiulile nii, et teisel riiulil on kaks korda rohkem raamatuid kui esimesel ja kolmandal kolm korda rohkem kui teisel. Tehke kindlaks, mitu raamatut on igal riiulil, kui on teada, et kõigil kolmel riiulil on 171 raamatut. (Joonistage probleemi tingimus graafiliselt, järgides eelmise ülesande näidet.)
127. 1) Maal koos raamiga maksab 19 rubla. 80 kopikat ja maal on raamist 10 korda kallim. Kui palju maksab värvimine ja kui palju raam?
2) Klaas klaasihoidjaga maksab 2 rubla. 52 kopikat ja klaas on 6 korda odavam kui klaasihoidja. Kui palju maksab klaas ja kui palju rannaalus?
128. 1) Üks liikmetest on teisest 7 korda suurem ja nende summa on 144. Leia iga liige.
2) Kahe arvu summa on 729 ja esimene liige on 8 korda väiksem kui teine. Otsige üles iga termin.
129. 1) Minuend on neli korda suurem kui alamjaotus ja erinevus on 12 738. Leidke minuend ja alamjaotus.
2) Alamjaotus on kuus korda väiksem kui minuend ja erinevus on 10 385. Leidke minuend ja alamosa.
130. 1) Mis kell praegu on, kui päeva möödunud osa on 3 korda väiksem kui ülejäänud osa?
2) Mis kell on praegu, kui järelejäänud osa päevast on 2 korda vähem kui möödunud?
131. 1) 100 km matka tehes tegid pioneerid suure peatuse. Peale vaheaega jalutati veel 10 km ja siis tuli minna 3 korda rohkem, kui oli läbitud. Kui kaugel teekonna algusest suur peatus tehti?
2) Tünnis oli 180 liitrit vett. Kõigepealt kastsid tüdrukud tomateid ja seejärel kulutasid kurkide kastmiseks 60 liitrit ja siis jäi ülejäänud köögiviljade jaoks vett 3 korda vähem, kui kulus tomatite ja kurkide kastmiseks. Kui palju vett kulus tomatite kastmiseks?
132. 1) Sportlane viskas oda 5 korda ehk 48 m kaugemale, kui ta kahurikuuli tõukas. Mitu meetrit lendas oda ja mitu meetrit kahurikuul? (Joonistage probleemi tingimus graafiliselt.)
2) Sportlase kaugushüpe oli 450 cm ehk 4 korda suurem kui tema kõrgushüpe. Määrake pikkade ja kõrguste hüpete suurus.
133. 1) Kooli viljaaia poolt hõivatud ristkülikukujulise krundi laius on pikkusest 120 m väiksem. Koolilapsed koristasid aiaga külgneva tühermaa. Pärast seda kasvasid aia pikkus ja laius kumbki 40 m võrra ning pikkus sai kaks korda laiemaks. Kui palju viljapuid oli aias varem ja kui palju istutati uuesti, kui igale puule eraldati 50 ruutmeetrit? m?
2) Sooga külgneva ristkülikukujulise ala pikkus on 70 m suurem kui laius. Pärast kuivendustöid suurendati pikkust ja laiust 20 m võrra ning siis osutus platsi pikkuseks kaks korda laiemaks. Otsige üles krundi eelmine pindala ja uurige, kui palju see on suurenenud.
134. 1) Jaama kõrvalteedel oli kaks ühesuguste vagunite rongi. Ühes rongis oli 12 vagunit rohkem kui teises; kui igast rongist 6 vagunit lahti haakiti, osutus ühe rongi pikkus 4 korda pikemaks kui teise pikkus. Mitu vagunit oli igas rongis? (Joonistage probleemi tingimus graafiliselt.)
2) Üks traadijupp on teisest 54 m pikem. Pärast igast tükist 12 m lõikamist osutus teine tükk esimesest 4 korda lühemaks. Leidke iga traadijupi pikkus.
135. 1) Näitust külastades osteti 78 piletit lastele ja 16 piletit täiskasvanutele ning kõige eest maksti 12 rubla. 60 kopikat Määrake piletite hind, kui lapse pilet on 3 korda odavam kui täiskasvanu pilet.
2) Kaupluse kassas on viie- ja kümnerublased krediitpiletid, kokku 1050 rubla. Mitu mõlema nimiväärtusega rahatähte on kassas, kui kümnerublaseid on kaks korda rohkem kui viierublaseid?
136. 1) Esimene ekskavaator eemaldab 60 kuupmeetrit tunnis. rohkem maad kui teine. Mõlemad ekskavaatorid eemaldasid koos 10 320 kuupmeetrit. m maad ja esimene töötas 20 tundi ja teine 18 tundi. Kui palju kuupmeetrit võtab iga ekskavaatori tunnis välja?
2) 8 kg kooritud pähkleid sisaldab sama palju rasva kui 6 kg võid ja 1 kg võis on 200 g rasva rohkem kui 1 kg pähklites. Kui palju rasva sisaldab 1 kg võid ja 1 kg pähkleid?
137 *. 1) jaoks turismireis 46 kooliõpilase esituses olid ette valmistatud kuue- ja neljakohalised paadid. Kui palju neid ja teisi paate seal oli, kui kõik turistid olid majutatud 10 paati ja vabad istmed pole jäänud? (Joonis 8.)
2) Töötoas valmistati 560 paberilehest 60 kahte tüüpi vihikut, kasutades ühte tüüpi vihikute jaoks 8 lehte ja teist tüüpi vihikute jaoks 12 lehte. Mitu mõlemat tüüpi märkmikku tehti eraldi?
138 *. 1) Kahe ja poole hektari suurune kollektiivaed jagati 70 krundiks suurusega 250 ruutmeetrit. m ja 400 ruutmeetrit. m Kui palju neid ja muid krunte oli kollektiivaias?
2) (Vana-Hiina probleem.) Puuris on teadmata arv faasaneid ja küülikuid. Teame vaid seda, et puuris on 35 pead ja 94 jalga. Uuri faasanite arvukust ja jäneste arvukust.
139 *. 1) Piletikassa müüs 400 piletit pehmete ja kõvade vagunite sõiduks samasse punkti hinnaga 10 rubla. 45 kopikat ja 7 hõõruda. 05 kop. Kui palju neid ja teisi pileteid eraldi müüdi, kui kõik 400 piletit maksid 3160 rubla?
2) Kassas on 50 münti, igaüks 20 kopikat. ja igaüks 15 kopikat, kokku 9 rubla. Tehke kindlaks, mitu 20-kopikalist münti kassapidajal oli. ja kui palju 15 kopika eest.
140. 1) Arvutage kindlaks määratud koguste puuduvad väärtused:
2) Jalakäija läbib tunnis 4 km, suusataja 9 km ja jalgrattur 12 km. Kui kaugele suudab igaüks neist 4 tunniga kõndida või sõita? Kui kaua kulub neil 180 km kõndimiseks või sõitmiseks? (Puhkeaega ei võeta arvesse.)
141. 1) Üheksast autost koosnev elektrirong möödus vaatlejast 12 sekundiga. Kui kiiresti rong sõitis, kui iga vagun oli 16 m pikk?
2) Rööbaste ühenduskohtades olev vahe põhjustab rongi liikumisel rataste koputamist. Reisijate arv 80 lööki minutis. Kui suur on rongi kiirus, väljendatuna kilomeetrites tunnis, kui rööpa pikkus on 9 m?
142. 1) 90 m pikkuse liuvälja vastasotstest jooksevad kaks poissi teineteise poole (joonis 9, a) Mitme sekundi pärast nad kohtuvad, kui nad hakkavad jooksma samal ajal ja kui esimene poiss jookseb 9 m sekundis ja teine 6 m?
2) Uurige vastavalt esimese ülesande tingimustele, mitu sekundit kulub esimesel poisil, et jõuda teisest 30 m võrra ette, kui nad jooksevad samaaegselt samast kohast ja samas suunas (joon. 9, b) ).
143. 1) 50 km/h sõitnud reisirongi konduktor märkas, et vastutulev kaubarong, mis sõitis kiirusega 40 km/h, möödus temast 10 sekundiga. Määrake kaubarongi pikkus.
2) Kaks metroo reisijat, kes alustasid üheaegselt – üks laskudes ja teine liikuvast metroo trepist üles liikudes, kohtusid 30 sekundi pärast. Määrake trepi välimise osa pikkus, kui selle kiirus on 1 m sekundis.
144. 1) Kaks lennukit tõusid korraga õhku kahest linnast, mille vahemaa on 2400 km, ja kohtusid 4 tundi hiljem. Määrake teise lennuki kiirus, kui esimese lennuki kiirus oli 350 km tunnis.
2) Kahelt muulilt, mille vaheline kaugus on 660 km, asus korraga teele kaks aurulaeva. Esimene aurulaev sõitis keskmiselt 250 m minutis. Määrake teise auruti kiirus, kui 8 tunni pärast. peale liikumise algust jäi laevade vahele 396 km.
145. 1) Moskvast ja Kalininist väljus sama maanteed mööda Leningradi korraga kaks autot. Moskvast - sõiduautod ja Kalininist - kaubad. Kaubad liikusid keskmine kiirus 40 km tunnis. Määrake sõiduauto kiirus, kui see jõudis veokile 8 tunni pärast järele ja kaugus Moskvast Kalinini on 168 km.
Lahendus kirjutage arvvalemina.
2) Punktidest A ja B, mille vaheline kaugus on 8 km, lahkus samal ajal ja samas suunas jalakäija kiirusega 5 km tunnis ning buss. Määrake bussi kiirus, kui 12 minuti pärast. ta jõudis jalakäijale järele.
146. 1) Kell 8. Hommikul asus rühm pioneere jalgsi linnast sovhoosi, läbides 4 km 800 m tunnis ja kell 11. Nende järel sõitis rühm pioneere jalgratastel välja kiirusega 12 km tunnis. Määrata kaugus linnast sovhoosi, kui mõlemad rühmad saabusid sovhoosi korraga.
2) Kell 9. Reisirong väljus ühest linnast teise kiirusega 40 km tunnis ja kell 11. tema selja taha tuli kiirrong kiirusega 58 km/h. Mis ajal peaks reisirong peatuma, et kiirrongi läbi lasta, kui liiklusohutuse huvides ei tohiks rongide vahekaugus olla alla 8 km?
147. 1) Buss väljus punktist A kiirusega 30 km/h ja 15 minuti pärast. jõudis järele jalakäijale, kes väljus punktist B samal ajal, kui buss väljus punktist A. Jalakäija kõndis kiirusega 6 km/h. Leidke punktide vaheline kaugus.
2) Keskpäeval väljus aurik muuli juurest kiirusega 16 km/h. 3 tunni pärast väljus samalt muulilt samas suunas aurik, mis 12 tundi hiljem. pärast lahkumist jõudsin esimesele aurikule järele. Määrake teise auruti kiirus,
148. 1) (Vana probleem.) Koer ajab 150 jala kaugusel taga jänest. Ta hüppab 9 jalga iga kord, kui jänes hüppab 7 jalga. Mitu hüpet peab koer tegema, et jänest kinni püüda?
2) Koer jälitas temast 120 m kaugusel asuvat rebast Kui kaua võtab koer rebasele järele, kui rebane jookseb 320 m minutis ja koer 350 m?
149. 1) Ratas, mille ümbermõõt on 1 m 2 dm, pöörleb teatud kaugusel 900 korda. Mitu korda pöörleb ratas, mille ümbermõõt on 8 dm, samal kaugusel? rohkem kui esimene?
Lahendus kirjutage arvvalemina.
2) Esiratas 720 m kaugusel on pööranud 40 pööret rohkem kui tagaratas. Leidke esiratta ümbermõõt, kui tagaratta ümbermõõt on 2 m.
150. 1) Kolhoosist jaamani on 6 km, jalakäija läbib tunnis, jalgrattur 30 minutiga. Kui kaugel kolhoosist ja kui kaua pärast liikumise algust nad kohtuvad, kui samal ajal lahkub kolhoosist jalgrattur ja jaamast jalakäija?
2) Kaks rongi väljusid kahest linnast samal ajal üksteise poole ja kohtusid 18 tundi hiljem. Määrake rongide kiirused, teades, et nende kiiruste erinevus on 10 km tunnis ja linnade vaheline kaugus on 1620 km.
151. 1) Kaks rongi väljusid kl erinev aegüksteise poole kahest jaamast, mille vaheline kaugus on 794 km. Esimene rong sõitis 52 km tunnis ja teine 42 km tunnis. Läbinud 416 km, kohtus esimene rong teisega. Mitu tundi väljus üks rong enne teist?
2) Rong väljus linnast A, sõites linna B poole keskmise kiirusega 50 km/h. 12 tunni pärast. sama linna lennuväljalt tõusis õhku lennuk, mis lendas samas suunas rongi kiirusest 7 korda suurema kiirusega ja jõudis sellele täpselt poolel teel punktist A punkti B. Määrake kaugus punktist A punkti B .
152. Kaks kiiruisutajat liiguvad mööda sportlikku ringrada, mille pikkus on 720 m. Esimese kiirus on 10 m sekundis ja teise 8 m sekundis. Liikuma hakati samal ajal ja samast kohast spordirajal. Milliste intervallidega edestab esimene uisutaja teist, kui nad liiguvad samas suunas? Milliste ajavahemike järel nad kokku kolivad vastassuunas?
153. 1) Koolis algavad tunnid kell 8. 30 min. hommikul. Iga õppetund kestab 45 minutit. Vahetused teise ja kolmanda ning kolmanda ja neljanda õppetunni vahel on kumbki 20 minutit ja ülejäänud 10 minutit. Määrake iga 6 õppetunni algus- ja lõpuaeg.
2) Lahenda sama ülesanne, kui tunnid algavad kell 14.00.
154. 1) Õppeaasta koolides jaguneb neljaks veerandiks: I veerand - 1. septembrist 6. novembrini kaasa arvatud, II veerand - 9. novembrist 29. detsembrini, III veerand - 11. jaanuarist 24. märtsini, IV veerand - 3. aprillist 30. maini. Määrake iga kvartali kestus.
2) Kui palju täisaastaid, teie sünnist on möödunud kuid ja päevi?
155. 1) Esimene Nõukogude tehissatelliit Maa saadeti orbiidile 4. oktoobril 1957 ja lakkas eksisteerimast 3. jaanuaril 1958. Kui kaua oli esimene Nõukogude tehissatelliit Maa lennus?
2) Teine Nõukogude tehissatelliit Maa saadeti orbiidile 3. novembril 1957 ja lakkas eksisteerimast 14. aprillil 1958. Kui kaua lendas teine Nõukogude tehissatelliit Maa?
156. 1) 7. mail 1895 demonstreeris A. S. Popov maailma esimest raadiovastuvõtjat. 332 aastat 8 päeva varem hakkas Ivan Fedorov Venemaal trükkima esimesi raamatuid. Millal hakkas Ivan Fedorov raamatuid välja andma?
2) Esiteks reis ümber maailma, mille viisid läbi vene meremehed Kruzenštern ja Lisjanski, algas 7. augustil 1803. Meremehed olid reisil 3 aastat ja 14 päeva. Millal nad koju tagasi jõudsid?
157. 1) Suur vene matemaatik N. I. Lobatševski sündis 20. novembril 1792 ja suri 12. veebruaril 1856. Kui kaua N. I. Lobatševski elas?
2) Vene suur matemaatik P. L. Tšebõšev sündis 26. mail 1821 ja suri 8. detsembril 1894. Kui kaua elas II L. Tšebõšev?
158. 1) Rööptahuka kujuline ait täidetakse heinaga. Lauda pikkus on 8 m, laius 6 m, kõrgus 6 m Määrata heina kaal aidas, kui 10 kuupmeetrit. m heina kaal 6 c.
2) Mitu kolmetonnist sõidukit kulub küttepuuhalgi, mille pikkus on 6 m, laius 2 m ja kõrgus 3 m, transportimiseks, kui 2 tihumeetrit. m küttepuid kaaluvad 1 tonn?
159. 1) Pikkus klassiruumi 8 m, laius 6 m ja kõrgus 3 m 50 cm Leia klassiruumi ruumala (kubatuur).
2) Pikkus Jõusaal 25 m, laius 16 m ja kõrgus 5 m 50 cm Leia spordihalli kubatuur.
160. 1) Lae pikkus on 11 m ja laius 5 m pikkusest väiksem. Mitu kuiva krohvilehte on vaja lae katmiseks, kui lehe laius on 1 m 5 dm ja pikkus 2 m?
2) Kahel toal on sama pindala, kuid erinevad pikkused ja laiused. Esimese ruumi pikkus on 12 m ja laius 6 m. Määrake teise ruumi laius, kui selle pikkus on 3 m väiksem kui esimese ruumi pikkus.
161. 1) Ristkülikukujuline maatükk laiusega 18 m ja pindalaga 576 ruutmeetrit. m peab olema traadiga tarastatud 6 rida. Kui palju traati on vaja?
2) Ristkülikukujulisest klaaslehest, mille pikkus on 24 cm ja laius 22 cm, tuleb lõigata ristkülikukujulised plaadid mõõtmetega 8 cm x 6 cm. suurim arv Kas saate mõned plaadid? (Joonista lahendus joonisele, võttes märkmikus üheks lahtriks 1 cm.)
162. 1) Arvutage kõigis kolmes toodud näites määratud koguse puuduv väärtus:
2) Õpilane luges poole raamatust läbi 8 päeva jooksul, lugedes iga päev 12 lehekülge. Pärast seda hakkas ta raamatu õigeaegseks lugemiseks iga päev veel 4 lehekülge lugema. Mitu päeva sai õpilane raamatu?
163. 1) Raamatukogul oli vaja köita 1800 raamatut. Kolm töökoda võtsid igaüks kohustuse täita tellimus iseseisvalt: esimene 20 päevaga, teine 30 päevaga ja kolmas 60 päevaga. Et raamatute köitmine võimalikult kiiresti valmis saada, otsustasime tellimuse korraga üle kanda kõigisse kolme töökotta. Mitme päevaga töökojad üheaegselt töötades oma töö lõpetavad?
2) Vee trümmist välja pumpamiseks paigaldati kaks pumpa: esimene pumpas välja 20 ämbrit minutis ja teine 30 ämbrit minutis. Algul töötas üksi esimene pump ja 30 minuti pärast. Tööle hakkas ka teine pump, misjärel pumpasid mõlemad pumbad 1 tunni 30 minuti pärast kogu vee välja. Kui palju vett trümmis oli ja kui kaua oleks kulunud kogu vee väljapumpamiseks, kui mõlemad pumbad oleksid algusest peale töötanud?
164. 1) Linnaosa plaanis remontida kolm maanteed pikkuses: esimene 80 km, teine 98 km ja kolmas 112 km. Määrake iga tee remondi maksumus, kui 1 km remondi maksumus on sama ja esimese tee remondiks eraldati 2160 rubla. vähem kui teise remondi maksumus.
2) Rühm pioneere istutas puid linna tänavatele. Ühel tänaval oli vaja puudele kaevata 20 ühesugust auku, teisel 15 ja kolmandal 35. Mitu tundi kulus kõigi aukude kaevamiseks, kui esimesel tänaval töötasid pioneerid 1 tund 30 minutit? vähem kui kolmas?
165. 1) Kuue tunniga. töö, esimene õpilane tegi 4 osa rohkem kui teine ja meister tegi 36 osa rohkem kui esimene õpilane ja kolm korda rohkem kui teine. Mitu minutit kulutas meister ja iga õpilane ühe detaili valmistamisele?
2) 4 tunni 30 minuti pärast. esimene õpilane tegi kolm osa vähem kui teine ja meister tegi kolm korda rohkem osi kui esimene õpilane ja 27 osa rohkem kui teine. Mitu minutit kulutas meister ja iga õpilane ühe detaili valmistamisele?
166. 1) Ristkülikukujulise maatüki laius on 80 m väiksem selle pikkusest. Määrake krundi pindala, kui seda ümbritsev aia pikkus on 800 m.
2) Ristkülikukujuline maatükk on piiratud aiaga pikkusega 200 m ja selle pikkus on 20 m laiusest suurem. Krunt jagati kaheks osaks, millest üks on 200 ruutmeetrit. m rohkem kui teine. Leidke iga osa pindala.
167. 1) Meeskond ületas maagi kaevandamise vahetuse ülesande 4 korda ja tootis 24 tonni rohkem ülesandeid. Mitu tonni maaki tootis meeskond vahetuses ja milline oli vahetuse ülesanne?
2) Pronks sisaldab 41 osa vaske, 8 osa tina ja 1 osa tsinki. Kui palju hakkab kaaluma pronksitükk, milles on tsinki 1 kg 484 g vähem kui tina?
168. 1) Kaks autot vedasid 2 päevaga laost kauplusesse 96 tonni erinevat kaupa ja esimesel päeval veeti 12 tonni rohkem kui teisel.Määrake iga auto kandevõime, kui on teada, et esimesel päeval päeval tegi esimene auto 9 sõitu ja teine 12; Teisel päeval tegi esimene auto 3 ja teine 12 sõitu.
2) Töökoda sai kaks kangast 1980 rubla väärtuses. Materjali hind esimeses tükis on 39 rubla. meetri kohta ja teises 40 rubla. meetri kohta Mitu meetrit ainet oli igas tükis, kui teine tükk maksis 420 rubla. kallim kui esimene?
169. 1) Mootorrattur pidi läbima kahe punkti vahel 600 km distantsi kiirusega 30 km tunnis, kuid teel pidi ta 4 tundi hilinema. Õigeaegseks sihtkohta jõudmiseks pidi ta pärast peatumist kiirust kahekordistama. Millisel kaugusel liikumise algusest viivitus tekkis?
2) Pioneeril, kes sai nädalaajakirja, jõudis see järgmise numbri kättesaamiseks läbi lugeda. Külas viibimise ajal kogunes tal 6 numbrit ja naastes otsustas ta nädalaga läbi lugeda 3 numbrit. Mitme nädala pärast loetakse kõik saabunud ajakirjad läbi?
170. 1) Isa vanem kui mu poeg 24 aastaks. Kui vana poeg on?3 aasta pärast on ta isast 5 korda noorem?
2) Poeg on praegu 14-aastane ja viis aastat tagasi oli ta oma isast 5 korda noorem. Kui palju sisse antud aega kui vana su isa on?
171. 1) Ekskursantidel kulus kahe päevaga 156 rubla. Teisel päeval kulutasid nad 2 korda rohkem kui esimesel ja veel 6 rubla. Mitu rubla turistid päevas kulutasid?
2) 350 mm pikkusest terasribast lõigati 2 suurt ja 4 väikest tükki, mille järel jäi alles 22 mm tükk. Määrake toorikute mõõtmed, kui suur toorik on 2 korda pikem kui väike.
172. 1) Baasis oli 180 tonni juurvilju, millega ta varustas 20 sööklat. Kolm nädalat hiljem liideti selle aluse külge veel 15 sööklat. Mitu nädalat kulus köögiviljavarude ärakasutamiseks, kui igas sööklas tarbiti keskmiselt 900 kg köögivilju nädalas?
2) Metroo fuajee seinte marmoriga katmisel paigaldas esimene meeskond 14 ruutmeetrit. m ja teine on 12 ruutmeetrit. m plaate vahetuses. Fuajee mõõdud: 24 m x 8 m x 4 m Seintes on neli läbikäiku mõõtmetega 2 m x 3 m. Mitme päevaga saab töö valmis, kui teine meeskond alustas tööd 2 päeva varem kui esimene?
173. 1) Kahest linnast, mille vahemaa on 484 km, lahkusid jalgrattur ja mootorrattur samaaegselt teineteise poole. 4 tunni pärast osutus nende vahemaaks 292 km. Määrake jalgratturi ja mootorratturi kiirus, kui mootorratturi kiirus on 3 korda suurem jalgratturi kiirusest.
2) Kaks linna asuvad üksteisest 900 km kaugusel. Rong väljus ühest linnast ja teisest linnast tõusis rongiga samal ajal ja samas suunas lennuk ning jõudis 3 tunni pärast rongile järele. Määrake rongi ja lennuki kiirused, kui rongi kiirus on 7 korda väiksem lennuki kiirusest.
174. 1) Mitmed õpilased panustasid raamatute ostmiseks 50 kopikat, kuid selgus, et kogutud summa oli 1 rubla väärt. 50 kopikat vähem kui raamatute maksumus. Kui iga õpilane lisas 10 kopikat, ületas kogu kogutud rahasumma raamatute maksumust 70 kopika võrra. Kui palju õpilasi oli ja kui palju raamatud maksid?
2) Reisi eest tasumiseks panustas iga ekskursant 1 rubla. 20 kopikat, aga selgus, et 1 rubla on puudu. Kui iga osaleja panustas veel 10 kopikat, selgus, et 1 rubla jäi lisa. Kui palju inimesi ekskursioonil osales ja kui palju reis maksma läks?
175. 1) Töökojas õmmeldi 8 ühesugust mantlit ja mitu ühesugust ülikonda, kasutades 61 m kangast. Iga mantli jaoks kulus 3 m 25 cm materjali ja iga ülikonna jaoks 25 cm rohkem kui mantli jaoks. Mitu ülikonda töökojas tehti?
2) Muuda probleemi seisukorda: loe leitud ülikondade arv teada, jäta kõik muud numbrid muutmata ja leia, mitu mantlit töökojas õmmeldi. Looge tingimused uue ülesande jaoks.
3) Koosta uus ülesanne, sarnaselt kahele esimesele, kasutades mantli ja ülikonna õmblemiseks kulunud materjali hulka. Muutke ülejäänud numbreid.
176. Tabelis on toodud küülikute suvised ja sügistalvised söödanormid (grammides päevas).
Arvutage välja, mitu erinevat sööta kulub 50 noorloomapea kasvatamiseks: suvel, sügisel ja talvel. Uuri välja sööda hind ja arvuta kulud.
177. 1) Joonista tulpdiagramm, lugedes A-, B-, C- ja mitterahuldavate hinnete arvu, mille õpilased viimasel ajal klassis said. proovitöö aritmeetikas.
Märge. Diagrammi koostamisel võtke iga veeru aluse jaoks kaks laiust lahtrit ja iga õpilaste saadud märgi kohta üks lahter kõrguselt.
2) Mitu õpilast on teie klassis? Kui paljud neist on pioneerid? Joonista diagramm.
178. Laboratoorsed tööd"Maapinnale sirgjoone tõmbamine."
Klass on jagatud 3-liikmelisteks lülideks (esimene on vanim, teine ja kolmas toovad ja seavad verstapostid).
Vajalikud tööriistad: 6-8 verstaposti.
Töö edenemine: 1) märgi verstapostid lõpp-punktid A ja B (joonis 10),
2) paigaldada vahe- verstapostid A ja B vahele nii, et need moodustaksid ühe sirge.
