Moodulit sisaldavate võrratuste lahendamiseks on mitu võimalust. Vaatame mõnda neist.
1) Võrratuse lahendamine mooduli geomeetrilise omaduse abil.
Tuletan meelde, mis on mooduli geomeetriline omadus: arvu x moodul on kaugus lähtepunktist punktini koordinaadiga x.
Selle meetodi abil ebavõrdsuse lahendamisel võib tekkida kaks juhtumit:
1. |x| ≤ b, 
Ja ebavõrdsus mooduliga taandub ilmselgelt kahe võrratuse süsteemiks. Siin võib märk olla range, sel juhul "torgatakse" pildil olevad täpid.
2. |x| ≥ b, siis näeb lahenduspilt välja selline:
Ja ebavõrdsus mooduliga taandub ilmselgelt kahe ebavõrdsuse kombinatsiooniks. Siin võib märk olla range, sel juhul "torgatakse" pildil olevad täpid.
Näide 1.
Lahendage võrratus |4 – |x|| ≥ 3.
Lahendus.
See ebavõrdsus on võrdne järgmise hulgaga:
U [-1;1] U
Näide 2.
Lahendage võrratus ||x+2| – 3| ≤ 2.
Lahendus.
See ebavõrdsus on samaväärne järgmise süsteemiga.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Lahendame eraldi süsteemi esimese ebavõrdsuse. See on samaväärne järgmise komplektiga:
U[-1; 3].
2) Võrratuste lahendamine mooduli definitsiooni abil.
Lubage mul kõigepealt teile meelde tuletada mooduli määratlus.
|a| = a kui a ≥ 0 ja |a| = -a kui a< 0.
Näiteks |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Näide 1.
Lahendage võrratus 3|x – 1| ≤ x+3.
Lahendus.
Mooduli definitsiooni kasutades saame kaks süsteemi:
(x – 1 ≥ 0
(3 (x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3 (x – 1) ≤ x + 3.
Lahendades esimese ja teise süsteemi eraldi, saame:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(x< 1
(x ≥ 0.
Algse ebavõrdsuse lahenduseks on kõik esimese süsteemi lahendused ja kõik teise süsteemi lahendused.
Vastus: x € .
3) Võrratuste lahendamine ruudustamisel.
Näide 1.
Lahendage võrratus |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Lahendus.
Tõstame ebavõrdsuse mõlemad pooled ruutu. Lubage mul märkida, et ebavõrdsuse mõlemad pooled on nelinurksed ainult siis, kui need on mõlemad positiivsed. Sel juhul on meil moodulid nii vasakul kui ka paremal, nii et saame seda teha.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Nüüd kasutame mooduli järgmist omadust: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1) (x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2) (2 x 2 – x)< 0,
x(x – 2) (2x – 1)< 0.
Lahendame intervallmeetodil.
Vastus: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Võrratuste lahendamine muutujate muutmise teel.
Näide.
Lahendage võrratus (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Lahendus.
Pange tähele, et (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Siis saame ebavõrdsuse
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Teeme muudatuse y = |2x + 3|.
Kirjutame oma ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse asendust.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Faktoriseerime vasakpoolse ruuttrinoomi.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1–11) / 2,
(y – 6) (y + 5) ≤ 0.
Lahendame intervallmeetodi abil ja saame:
Läheme tagasi asendamise juurde:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
See kahekordne ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Lahendame iga ebavõrdsuse eraldi.
Esimene on samaväärne süsteemiga
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Lahendame selle ära.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
Teine võrratus kehtib ilmselgelt kõigi x kohta, kuna moodul on definitsiooni järgi positiivne arv. Kuna süsteemi lahenduseks on kõik x, mis rahuldavad samaaegselt nii süsteemi esimest kui teist ebavõrdsust, siis on algse süsteemi lahendus selle esimese topeltvõrratuse lahendus (teine kehtib ju kõigi x kohta) .
Vastus: x € [-4,5; 1.5].
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
See veebipõhine matemaatikakalkulaator aitab teid lahendage võrrand või võrratus moodulitega. Programm jaoks võrrandite ja võrratuste lahendamine moodulitega mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid viib üksikasjalik lahendus koos selgitustega, st. kuvab tulemuse saamise protsessi.
See programm võib olla kasulik üldhariduskoolide gümnaasiumiõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit ning vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimisel. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.
Nii saate ise läbi viia koolitusi ja/või nooremate vendade või õdede koolitust, samal ajal tõuseb haridustase probleemide lahendamise alal.
|x| või abs(x) – moodul xSisestage võrrand või võrratus moodulitega
Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse kuvamiseks peate lubama JavaScripti.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...
Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Moodulitega võrrandid ja võrratused
Põhikooli algebra kursusel võib kohata lihtsamaid võrrandeid ja võrratusi moodulitega. Nende lahendamiseks võite kasutada geomeetrilist meetodit, mis põhineb asjaolul, et \(|x-a| \) on punktide x ja a vaheline kaugus arvjoonel: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Näiteks võrrandi \(|x-3|=2\) lahendamiseks tuleb leida arvujoonelt punktid, mis asuvad punktist 3 kaugemal 2. Selliseid punkte on kaks: \(x_1=1 \) ja \(x_2=5\) .
Võrratuse lahendamine \(|2x+7| 
Kuid peamine viis võrrandite ja võrratuste lahendamiseks moodulitega on seotud niinimetatud "mooduli definitsiooni järgi ilmutamisega":
kui \(a \geq 0 \), siis \(|a|=a \);
if \(a Reeglina taandatakse moodulitega võrrand (võrrand) võrrandite (võrratuste) hulgaks, mis ei sisalda moodulimärki.
Lisaks ülaltoodud määratlusele kasutatakse järgmisi väiteid:
1) Kui \(c > 0\), siis võrrand \(|f(x)|=c \) on samaväärne võrrandite hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(massiivi)\right. \)
2) Kui \(c > 0 \), siis võrratus \(|f(x)| 3) Kui \(c \geq 0 \), siis on võrratus \(|f(x)| > c \) samaväärne ebavõrdsuste hulgaga: \(\left[\begin(massiivi)(l) f(x) c \end(massiivi)\right. \)
4) Kui võrratuse \(f(x) mõlemad pooled NÄIDE 1. Lahendage võrrand \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Kui \(x-1 \geq 0\), siis \(|x-1| = x-1\) ja antud võrrand saab kuju
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Paremnool x^2 +2x -8 = 0 \).
Kui \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \paremnool x^2 -2x -4 = 0 \).
Seega tuleks antud võrrandit vaadelda mõlemal näidatud juhul eraldi.
1) Olgu \(x-1 \geq 0 \), st. \(x\geq 1\). Võrrandist \(x^2 +2x -8 = 0\) leiame \(x_1=2, \; x_2=-4\). Tingimust \(x \geq 1 \) täidab ainult väärtus \(x_1=2\).
2) Olgu \(x-1 Vastus: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
NÄIDE 2. Lahendage võrrand \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Esimene viis(mooduli laiendus definitsiooni järgi).
Põhjendades nagu näites 1, jõuame järeldusele, et antud võrrandit tuleb eraldi käsitleda, kui on täidetud kaks tingimust: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) või \(x^2-6x+7
1) Kui \(x^2-6x+7 \geq 0 \), siis \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ja antud võrrand on kujul \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Paremnool 3x^2-23x+30=0 \). Olles lahendanud selle ruutvõrrandi, saame: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Uurime, kas väärtus \(x_1=6\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0\). Selleks asendage näidatud väärtus ruutvõrratusega. Saame: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), st. \(7 \geq 0 \) on tõeline ebavõrdsus. See tähendab, et \(x_1=6\) on antud võrrandi juur.
Uurime, kas väärtus \(x_2=\frac(5)(3)\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 \geq 0\). Selleks asendage näidatud väärtus ruutvõrratusega. Saame: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), st. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) on vale võrratus. See tähendab, et \(x_2=\frac(5)(3)\) ei ole antud võrrandi juur.
2) Kui \(x^2-6x+7 väärtus \(x_3=3\) vastab tingimusele \(x^2-6x+7 väärtus \(x_4=\frac(4)(3) \) ei vasta tingimus \ (x^2-6x+7 Seega, antud võrrandil on kaks juurt: \(x=6, \; x=3 \).
Teine viis. Kui on antud võrrand \(|f(x)| = h(x) \), siis \(h(x) \(\left[\begin(massiivi)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(massiivi)\right. \)
Mõlemad võrrandid lahendati eespool (kasutades antud võrrandi esimest lahendusmeetodit), nende juured on järgmised: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Nende nelja väärtuse tingimust \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) täidab ainult kaks: 6 ja 3. See tähendab, et antud võrrandil on kaks juurt: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Kolmas viis(graafika).
1) Koostame funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \) graafiku. Esmalt konstrueerime parabooli \(y = x^2-6x+7\). Meil on \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funktsiooni \(y = (x-3)^2-2\) graafiku saab funktsiooni \(y = x^2\) graafikult, nihutades seda 3 skaalaühiku võrra paremale (piki x-telg) ja 2 skaalaühikut allapoole ( piki y-telge). Sirge x=3 on meid huvitava parabooli telg. Täpsema joonistamise kontrollpunktidena on mugav võtta punkt (3; -2) - parabooli tipp, punkt (0; 7) ja punkt (6; 7) sümmeetriliselt parabooli telje suhtes. .
Funktsiooni \(y = |x^2-6x+7| \) graafiku koostamiseks peate muutmata jätma konstrueeritud parabooli need osad, mis ei asu x-teljest allpool, ja peegeldama seda osa parabool, mis asub x-telje suhtes x-telje suhtes allpool.
2) Koostame lineaarfunktsiooni \(y = \frac(5x-9)(3)\ graafiku. Kontrollpunktideks on mugav võtta punkte (0; –3) ja (3; 2).
On oluline, et sirge ja abstsisstelje lõikepunkti punkt x = 1,8 asuks parabooli vasakpoolsest lõikepunktist abstsissteljega paremal - see on punkt \(x=3-\ sqrt(2)\) (alates \(3-\sqrt(2 ) 3) Joonise järgi otsustades ristuvad graafikud kahes punktis - A(3; 2) ja B(6; 7). Asendades nende abstsissid punktid x = 3 ja x = 6 antud võrrandisse, oleme veendunud, et mõlemad Teises väärtuses saadakse õige arvuline võrdus See tähendab, et meie hüpotees sai kinnitust - võrrandil on kaks juurt: x = 3 ja x = 6 Vastus: 3; 6.
Kommenteeri. Graafiline meetod ei ole kogu oma elegantsuse juures kuigi usaldusväärne. Vaadeldavas näites töötas see ainult seetõttu, et võrrandi juurteks on täisarvud.
NÄIDE 3. Lahendage võrrand \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Esimene viis
Avaldis 2x–4 muutub 0-ks punktis x = 2 ja avaldis x + 3 muutub 0-ks punktis x = –3. Need kaks punkti jagavad arvujoone kolmeks intervalliks: \(x
Mõelge esimesele intervallile: \((-\infty; \; -3) \).
Kui x Vaatleme teist intervalli: \([-3; \; 2) \).
Kui \(-3 \leq x Vaatleme kolmandat intervalli: \(
Näide on lahendatud.
Näide 3 . Lahendage ebavõrdsus 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0
Lahendus.
Number X võib olla positiivne, negatiivne või null. Seetõttu peame arvestama kõigi kolme asjaoluga. Nagu teate, võetakse neid arvesse kahes ebavõrdsuses: X≥ 0 ja X < 0. При X≥ 0 kirjutame lihtsalt oma esialgse ebavõrdsuse ümber nii, nagu see on, ainult ilma mooduli märgita:
6x 2 - X - 2 ≤ 0.
Nüüd teisest juhtumist: kui X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.
Sulgude laiendamine:
6X 2 + X - 2 ≤ 0.
Seega saime kaks võrrandisüsteemi:
6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0
6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0
Peame lahendama süsteemide ebavõrdsused – ja see tähendab, et peame leidma kahe ruutvõrrandi juured. Selleks võrdsustame võrratuste vasakpoolsed küljed nulliga.
Alustame esimesest:
6X 2 - X - 2 = 0.
Ruutvõrrandi lahendamine - vt jaotist „Ruudvõrrand”. Nimetame vastuse kohe:
X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
Esimesest võrratuste süsteemist saame, et algse võrratuse lahendus on kogu arvude hulk vahemikus -1/2 kuni 2/3. Lahenduste liidu kirjutame aadressil X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Nüüd lahendame teise ruutvõrrandi:
6X 2 + X - 2 = 0.
Selle juured:
X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.
Järeldus: millal X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Kombineerime kaks vastust ja saame lõpliku vastuse: lahenduseks on kogu arvude komplekt vahemikus -2/3 kuni 2/3, sealhulgas need äärmuslikud arvud.
Vastus: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.
Või: X ∈ [-2/3; 2/3].
ebavõrdsuse lahendus režiimis võrgus lahendus peaaegu iga antud ebavõrdsus võrgus. Matemaatiline ebavõrdsus võrgus matemaatika lahendamiseks. Leia kiiresti ebavõrdsuse lahendus režiimis võrgus. Veebisait www.site võimaldab leida lahendus peaaegu iga antud algebraline, trigonomeetriline või transtsendentaalne ebavõrdsus võrgus. Õppides peaaegu iga matemaatika haru erinevatel etappidel, peate otsustama ebavõrdsus võrgus. Kohe vastuse ja mis kõige tähtsam täpse vastuse saamiseks vajate ressurssi, mis seda võimaldab. Tänu saidile www.site lahendada ebavõrdsus võrgus võtab paar minutit. www.site peamine eelis matemaatika lahendamisel ebavõrdsus võrgus- see on antud vastuse kiirus ja täpsus. Sait suudab lahendada mis tahes algebraline ebavõrdsus võrgus, trigonomeetrilised ebavõrdsused võrgus, transtsendentaalne ebavõrdsus võrgus, ja ebavõrdsused tundmatute parameetritega režiimis võrgus. Ebavõrdsused toimida võimsa matemaatilise aparaadina lahendusi praktilisi probleeme. Abiga matemaatilised ebavõrdsused võimalik on väljendada fakte ja suhteid, mis võivad esmapilgul tunduda segased ja keerulised. Teadmata kogused ebavõrdsused leiate probleemi sõnastades matemaatilised keel kujul ebavõrdsused Ja otsustama vastu võetud ülesanne režiimis võrgus veebisaidil www.sait. Ükskõik milline algebraline ebavõrdsus, trigonomeetriline ebavõrdsus või ebavõrdsused sisaldavad transtsendentaalne funktsioone, mida saate hõlpsalt kasutada otsustama Internetis ja saate täpse vastuse. Loodusteadusi õppides tekib paratamatult vajadus lahendusi ebavõrdsusele. Sellisel juhul peab vastus olema täpne ja režiimis kohe kätte saadav võrgus. Seetõttu jaoks lahendada matemaatilisi ebavõrdsusi võrgus soovitame saiti www.site, millest saab teie jaoks asendamatu kalkulaator algebraliste võrratuste lahendamine võrgus, trigonomeetrilised ebavõrdsused võrgus, ja transtsendentaalne ebavõrdsus võrgus või ebavõrdsused tundmatute parameetritega. Praktilisteks probleemideks erinevatele veebilahenduste leidmisel matemaatilised ebavõrdsused ressurss www.. Lahendus ebavõrdsus võrgus ise, on kasulik saadud vastust kontrollida kasutades ebavõrdsuse võrgulahendus veebisaidil www.sait. Peate ebavõrdsuse õigesti kirjutama ja kohe kätte saama online lahendus, misjärel jääb üle vaid võrrelda vastust oma ebavõrdsuse lahendusega. Vastuse kontrollimine ei kesta rohkem kui minut, sellest piisab lahendada ebavõrdsus võrgus ja võrrelge vastuseid. See aitab teil vältida vigu otsus ja paranda vastus õigel ajal, kui ebavõrdsuse lahendamine võrgus kas algebraline, trigonomeetriline, transtsendentaalne või ebavõrdsus tundmatute parameetritega.
Matemaatika on teaduse tarkuse sümbol,
teadusliku ranguse ja lihtsuse mudel,
teaduse tipptaseme ja ilu standard.
Vene filosoof, professor A.V. Vološinov
Ebavõrdsused mooduliga
Koolimatemaatikas on kõige raskemini lahendatavad ülesanded ebavõrdsused, mis sisaldavad muutujaid mooduli märgi all. Selliste ebavõrdsuste edukaks lahendamiseks peavad olema head teadmised mooduli omadustest ja oskused neid kasutada.
Põhimõisted ja omadused
Reaalarvu moodul (absoluutväärtus). tähistatud ja on määratletud järgmiselt:
Mooduli lihtsad omadused hõlmavad järgmisi seoseid:
JA .
Märge, et kaks viimast omadust kehtivad iga paarisastme korral.
Veelgi enam, kui, kus, siis ja
Keerulisemad mooduli omadused, mida saab tõhusalt kasutada moodulitega võrrandite ja võrratuste lahendamisel, formuleeritakse järgmiste teoreemide abil:
1. teoreem.Mis tahes analüütiliste funktsioonide jaoks Ja ebavõrdsus on tõsi.
2. teoreem. Võrdsus võrdub ebavõrdsusega.
3. teoreem. Võrdsus võrdub ebavõrdsusega.
Levinumad ebavõrdsused koolimatemaatikas, mis sisaldavad tundmatuid muutujaid mooduli märgi all, on vormi ebavõrdsused ja kus mingi positiivne konstant.
4. teoreem. Ebavõrdsus võrdub kahekordse ebavõrdsusega, ja ebavõrdsuse lahendustaandub ebavõrdsuse hulga lahendamisele Ja .
See teoreem on teoreemide 6 ja 7 erijuhtum.
Keerulisemad ebavõrdsused, moodulit sisaldavad vormi ebavõrdsused, Ja .
Sellise ebavõrdsuse lahendamise meetodeid saab sõnastada järgmise kolme teoreemi abil.
5. teoreem. Ebavõrdsus võrdub kahe ebavõrdsussüsteemi kombinatsiooniga
mina (1)
Tõestus. Sellest ajast
See tähendab (1) kehtivust.
6. teoreem. Ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga
Tõestus. sest , siis ebavõrdsusest järgib seda . Selle tingimuse korral ebavõrdsusja sel juhul osutub teine ebavõrdsuse süsteem (1) ebajärjekindlaks.
Teoreem on tõestatud.
7. teoreem. Ebavõrdsus võrdub ühe võrratuse ja kahe ebavõrdsussüsteemi kombinatsiooniga
mina (3)
Tõestus. Alates , siis ebavõrdsus alati hukatud, Kui.
lase , siis ebavõrdsusvõrdub ebavõrdsusega, millest järeldub kahe ebavõrdsuse hulk Ja .
Teoreem on tõestatud.
Vaatame tüüpilisi näiteid probleemide lahendamisest teemal „Ebavõrdsused, mis sisaldavad muutujaid mooduli märgi all."
Võrratuste lahendamine mooduliga
Lihtsaim meetod mooduliga võrratuste lahendamiseks on meetod, põhineb mooduli laiendamisel. See meetod on universaalne, aga üldiselt võib selle kasutamine viia väga tülikate arvutusteni. Seetõttu peaksid õpilased teadma muid (efektiivsemaid) meetodeid ja võtteid selliste ebavõrdsuste lahendamiseks. Eriti, vaja on teoreemide rakendamise oskusi, antud artiklis.
Näide 1.Lahendage ebavõrdsus
. (4)
Lahendus.Ebavõrdsust (4) lahendame “klassikalise” meetodiga – moodulite paljastamise meetodil. Sel eesmärgil jagame arvutelje punktid ja intervallidele ja kaaluge kolme juhtumit.
1. Kui , siis , , , ja ebavõrdsus (4) võtab kuju või .
Kuna siin käsitletakse juhtumit, on see lahendus ebavõrdsusele (4).
2. Kui siis ebavõrdsusest (4) saame või . Alates intervallide ristumiskohast Ja on tühi, siis vaadeldaval lahendite intervallil ebavõrdsust (4) ei esine.
3. Kui siis ebavõrdsus (4) võtab kuju või . See on ilmne on ka lahendus ebavõrdsusele (4).
Vastus: ,.
Näide 2. Lahendage ebavõrdsus.
Lahendus. Oletame, et. sest , siis saab antud ebavõrdsus kuju või . Sellest ajast ja siit see järeldub või .
Siiski, seetõttu või.
Näide 3. Lahendage ebavõrdsus
. (5)
Lahendus. sest , siis on ebavõrdsus (5) samaväärne ebavõrdsustega või . Siit, vastavalt teoreemile 4, meil on hulk ebavõrdsust Ja .
Vastus: ,.
Näide 4.Lahendage ebavõrdsus
. (6)
Lahendus. Tähistame . Siis ebavõrdsusest (6) saame ebavõrdsuse , , või .
Siit, kasutades intervallmeetodit, saame . sest , siis siin on meil ebavõrdsuse süsteem
Süsteemi (7) esimese ebavõrdsuse lahendus on kahe intervalli liit ja , ja teise ebavõrdsuse lahendus on kahekordne ebavõrdsus. See tähendab, et võrratuste süsteemi (7) lahendus on kahe intervalli liit Ja .
Vastus: ,
Näide 5.Lahendage ebavõrdsus
. (8)
Lahendus. Teisendame ebavõrdsuse (8) järgmiselt:
Või .
Intervallmeetodi kasutamine, saame lahenduse ebavõrdsusele (8).
Vastus:.
Märge. Kui paneme ja teoreemi 5 tingimustes, saame .
Näide 6. Lahendage ebavõrdsus
. (9)
Lahendus. Ebavõrdsusest (9) järeldub. Teisendame ebavõrdsuse (9) järgmiselt:
Või
Alates , siis või .
Vastus:.
Näide 7.Lahendage ebavõrdsus
. (10)
Lahendus. Alates ja , siis või .
Sellega seoses ja ebavõrdsus (10) võtab kuju
Või
. (11)
Sellest järeldub, et või . Kuna , siis ebavõrdsus (11) tähendab ka või .
Vastus:.
Märge. Kui rakendame teoreemi 1 võrratuse (10) vasakule poolele, siis saame . Sellest ja ebavõrdsusest (10) järeldub, mida või. sest , siis ebavõrdsus (10) võtab kuju või .
Näide 8. Lahendage ebavõrdsus
. (12)
Lahendus. Sellest ajast ja ebavõrdsusest (12) järeldub või . Siiski seetõttu või. Siit saame või .
Vastus:.
Näide 9. Lahendage ebavõrdsus
. (13)
Lahendus. Lause 7 järgi on võrratuse (13) lahend või .
Las see nüüd olla. Sel juhul ja ebavõrdsus (13) võtab kuju või .
Kui kombineerite intervalle ja , siis saame vormi ebavõrdsuse (13) lahendi.
Näide 10. Lahendage ebavõrdsus
. (14)
Lahendus. Kirjutame võrratuse (14) ümber samaväärsel kujul: . Kui rakendame teoreemi 1 selle võrratuse vasakule poolele, saame ebavõrdsuse .
Siit ja teoreemist 1 järeldub, et ebavõrdsus (14) on täidetud mis tahes väärtuste korral.
Vastus: suvaline number.
Näide 11. Lahendage ebavõrdsus
. (15)
Lahendus. Lause 1 rakendamine võrratuse (15) vasakule poolele, saame . See ja ebavõrdsus (15) annavad võrrandi, millel on vorm.
Vastavalt teoreemile 3, võrrand võrdub ebavõrdsusega. Siit saame.
Näide 12.Lahendage ebavõrdsus
. (16)
Lahendus. Võrratusest (16) saame teoreemi 4 järgi võrratuste süsteemi
Ebavõrdsuse lahendamiselKasutame teoreemi 6 ja saame võrratuste süsteemimillest järeldub.
Mõelge ebavõrdsusele. Vastavalt teoreemile 7, saame ebavõrdsuse hulga Ja . Teine rahvastiku ebavõrdsus kehtib iga reaali kohta.
Seega, ebavõrdsuse (16) lahendus on.
Näide 13.Lahendage ebavõrdsus
. (17)
Lahendus. 1. teoreemi järgi võime kirjutada
(18)
Võttes arvesse ebavõrdsust (17), järeldame, et mõlemad ebavõrdsused (18) muutuvad võrdsusteks, s.o. on olemas võrrandisüsteem
3. teoreemi järgi on see võrrandisüsteem võrdne võrratussüsteemiga
või
Näide 14.Lahendage ebavõrdsus
. (19)
Lahendus. Sellest ajast. Korrutame ebavõrdsuse (19) mõlemad pooled avaldisega , mis võtab mis tahes väärtuste jaoks ainult positiivsed väärtused. Seejärel saame ebavõrdsuse, mis on võrdne vormi ebavõrdsusega (19).
Siit saame või , kust . Alates ja siis ebavõrdsuse (19) lahendus on Ja .
Vastus: ,.
Mooduliga ebavõrdsuse lahendamise meetodite põhjalikumaks uurimiseks soovitame pöörduda õpikute poole, toodud soovitatava kirjanduse loetelus.
1. Matemaatika ülesannete kogu kolledžisse astujatele / Toim. M.I. Scanavi. – M.: Rahu ja haridus, 2013. – 608 lk.
2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: ebavõrdsuse lahendamise ja tõestamise meetodid. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 lk.
3. Suprun V.P. Matemaatika keskkooliõpilastele: mittestandardsed meetodid ülesannete lahendamiseks. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 lk.
Kas teil on endiselt küsimusi?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.