Murdudega võrrandid ise ei ole keerulised ja on väga huvitavad. Vaatame murdvõrrandite tüüpe ja kuidas neid lahendada.
Kuidas lahendada võrrandeid murdarvudega - x lugejas
Kui on antud murdvõrrand, kus lugejas on tundmatu, ei nõua lahendus lisatingimusi ja lahendatakse ilma asjatute probleemideta. Sellise võrrandi üldkuju on x/a + b = c, kus x on tundmatu, a, b ja c on tavaarvud.
Leidke x: x/5 + 10 = 70.
Võrrandi lahendamiseks tuleb murdudest lahti saada. Korrutage võrrandi iga liige 5-ga: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ja 5 tühistatakse, 10 ja 70 korrutatakse 5-ga ja saame: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Leidke x: x/5 + x/10 = 90.
See näide on veidi keerulisem versioon esimesest. Siin on kaks võimalikku lahendust.
- Variant 1: vabaneme murdudest, korrutades kõik võrrandi liikmed suurema nimetajaga, st 10-ga: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- 2. valik: lisage võrrandi vasak pool. x/5 + x/10 = 90. Ühine nimetaja on 10. Jagage 10 5-ga, korrutage x-ga, saame 2x. Jagage 10 10-ga, korrutage x-ga, saame x: 2x+x/10 = 90. Seega 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Tihti kohtame murdvõrrandeid, milles x-id asuvad võrdusmärgi vastaskülgedel. Sellistes olukordades on vaja nihutada kõik X-ga murrud ühele ja arvud teisele poole.
- Leidke x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Liikuge 2x/5 paremale vastupidise märgiga: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Vähendame 5x/5 ja saame: x = 130.
Kuidas lahendada võrrandit murdudega - x nimetajas
Seda tüüpi murdvõrrandid nõuavad lisatingimuste kirjutamist. Nende tingimuste täpsustamine on õige otsuse kohustuslik ja lahutamatu osa. Neid lisamata jättes riskite, kuna vastust (isegi kui see on õige) ei pruugita lihtsalt arvesse võtta.
Murdvõrrandite üldvorm, kus x on nimetajas, on: a/x + b = c, kus x on tundmatu, a, b, c on tavaarvud. Pange tähele, et x ei pruugi olla suvaline arv. Näiteks x ei saa võrduda nulliga, kuna seda ei saa jagada 0-ga. See on just see lisatingimus, mille peame täpsustama. Seda nimetatakse lubatud väärtuste vahemikuks, lühendatult VA.
Leidke x: 15/x + 18 = 21.
Kirjutame kohe x jaoks ODZ: x ≠ 0. Nüüd, kui ODZ on näidatud, lahendame võrrandi standardskeemi järgi, vabanedes murdosadest. Korrutage kõik võrrandi liikmed x-ga. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Sageli esineb võrrandeid, kus nimetaja sisaldab mitte ainult x-i, vaid sellega ka mõnda muud tehtet, näiteks liitmist või lahutamist.
Leidke x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Me juba teame, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, mis tähendab, et x-3 ≠ 0. Liigume -3 paremale poole, muutes märgi “-” märgiks “+” ja saame, et x ≠ 3. ODZ on näidatud.
Lahendame võrrandi, korrutame kõik x-3-ga: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Liigutage X-id paremale, numbrid vasakule: 24 = 3x => x = 8.
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Juhised
Võib-olla on siin muidugi kõige ilmsem punkt. Arvmurrud ei kujuta endast ohtu (murdvõrrandid, kus kõik nimetajad sisaldavad ainult numbreid, on üldjuhul lineaarsed), aga kui nimetajas on muutuja, siis tuleb sellega arvestada ja kirja panna. Esiteks on see, et x, mis muudab nimetaja 0-ks, ei saa olla ja üldiselt on vaja eraldi välja tuua asjaolu, et x ei saa olla võrdne selle arvuga. Isegi kui teil õnnestub, et lugejasse asendamisel koondub kõik ideaalselt ja vastab tingimustele. Teiseks ei saa me võrrandi kumbagi poolt korrutada arvuga , mis on võrdne nulliga.
Pärast seda taandatakse selline võrrand nii, et liigutatakse kõik selle liikmed vasakule, nii et 0 jääb paremale.
Kõik terminid tuleb viia ühisele nimetajale, korrutades vajadusel lugejad puuduvate avaldistega.
Järgmisena lahendame lugejasse kirjutatud tavalise võrrandi. Saame võtta sulgudest välja ühised tegurid, kasutada lühendatud korrutamist, tuua sarnaseid, arvutada ruutvõrrandi juured läbi diskriminandi jne.
Tulemuseks peaks olema faktorisatsioon sulgude korrutise kujul (x-(i-s juur)). See võib hõlmata ka polünoome, millel pole juuri, näiteks ruuttrinoom, mille diskriminant on väiksem kui null (kui probleem hõlmab loomulikult ainult reaaljuuri, nagu enamasti).
Kindlasti tuleb nimetaja faktoriseerida ja leida lugejas juba sisalduvad sulud. Kui nimetaja sisaldab selliseid avaldisi nagu (x-(arv)), siis on parem mitte korrutada selles olevaid sulgusid ühiseks nimetajaks taandades, vaid jätta need algsete lihtlausete korrutisteks.
Lugeja ja nimetaja identseid sulgusid saab lühendada, kirjutades esmalt üles x-i tingimused.
Vastus kirjutatakse sulgudes, x väärtuste komplektina või lihtsalt loendina: x1=..., x2=... jne.
Allikad:
- Murdratsionaalvõrrandid
Midagi, milleta ei saa füüsikas, matemaatikas ja keemias hakkama. Vähemalt. Õpime nende lahendamise põhitõdesid.
Juhised
Kõige üldisema ja lihtsama klassifikatsiooni saab jagada nendes sisalduvate muutujate arvu ja nende muutujate astme järgi.
Lahendage võrrand kõigi selle juurtega või tõestage, et neid pole.
Ühelgi võrrandil ei ole rohkem kui P juur, kus P on antud võrrandi maksimum.
Kuid mõned neist juurtest võivad kokku langeda. Nii näiteks volditakse võrrand x^2+2*x+1=0, kus ^ on eksponentsimise ikoon, avaldise (x+1) ruuduks, st kahe identse korrutiseks. sulgudes, millest igaüks annab lahenduseks x=- 1.
Kui võrrandis on ainult üks tundmatu, tähendab see, et saate selgesõnaliselt leida selle juured (reaalsed või keerulised).
Selleks vajate suure tõenäosusega erinevaid teisendusi: lühendatud korrutamine, ruutvõrrandi diskriminandi ja juurte arvutamine, terminite ülekandmine ühest osast teise, taandamine ühiseks nimetajaks, võrrandi mõlema osa korrutamine samaga. väljend, ruudu järgi jne.
Teisendused, mis ei mõjuta võrrandi juuri, on identsed. Neid kasutatakse võrrandi lahendamise protsessi lihtsustamiseks.
Traditsioonilise analüütilise meetodi asemel võite kasutada ka graafilist meetodit ja kirjutada see võrrand vormile, seejärel viia see läbi.
Kui võrrandis on rohkem kui üks tundmatu, saate väljendada ainult ühte neist teisega, näidates seeläbi lahenduste komplekti. Need on näiteks võrrandid parameetritega, milles on tundmatu x ja parameeter a. Parameetrilise võrrandi lahendamine tähendab, et kõik a väljendavad x-i a-ga, see tähendab kõigi võimalike juhtumite arvestamist.
Kui võrrand sisaldab tundmatute tuletisi või diferentsiaale (vt pilti), siis palju õnne, see on diferentsiaalvõrrand ja ilma kõrgema matemaatikata ei saa hakkama).
Allikad:
- Identiteedi transformatsioonid
Probleemi lahendamiseks koos murdosades, peate õppima, kuidas nendega aritmeetikat teha. Need võivad olla kümnendkohad, kuid enamasti kasutatakse naturaalseid murde koos lugeja ja nimetajaga. Alles pärast seda saate liikuda murdarvudega matemaatiliste ülesannete lahendamise juurde.
Sa vajad
- - kalkulaator;
- - murdude omaduste tundmine;
- - oskus teha tehteid murdarvudega.
Juhised
Murd on tähis ühe arvu jagamiseks teisega. Sageli ei saa seda täielikult teha, mistõttu see tegevus jääb pooleli. Arvu, mis on jagatav (see esineb murdosa märgi kohal või ees) nimetatakse lugejaks ja teist arvu (murrumärgi all või järel) nimetatakse nimetajaks. Kui lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse murdu ebaõigeks murruks ja sellest saab eraldada terve osa. Kui lugeja on nimetajast väiksem, nimetatakse sellist murdosa õigeks ja selle täisarv on 0.
Ülesanded jagunevad mitmeks tüübiks. Määrake, millisele neist ülesanne kuulub. Lihtsaim variant on leida murdarvuna väljendatud murdosa. Selle probleemi lahendamiseks korrutage see arv lihtsalt murdosaga. Näiteks toodi 8 tonni kartuleid. Esimesel nädalal müüdi 3/4 selle kogumahust. Mitu kartulit on alles? Selle probleemi lahendamiseks korrutage arv 8 3/4-ga. Selgub 8∙3/4=6 t.
Kui teil on vaja leida arv selle osa järgi, korrutage teadaolev arvu osa selle osa pöördmurruga, mis näitab selle osa osakaalu arvus. Näiteks 8 neist moodustavad 1/3 õpilaste koguarvust. Kui palju sisse? Kuna 8 inimest on osa, mis moodustab 1/3 koguarvust, siis leia pöördmurd, mis on 3/1 või lihtsalt 3. Seejärel saadakse õpilaste arv klassis 8∙3=24 õpilast.
Kui peate leidma, milline osa numbrist üks on teisest, jagage seda osa esindav arv tervikuga. Näiteks kui vahemaa on 300 km ja auto on läbinud 200 km, siis kui suur osa sellest moodustab? Jagage osa teest 200 kogu teekonnaga 300, pärast murdosa vähendamist saate tulemuse. 200/300 = 2/3.
Tundmatu arvu tundmatu murdosa leidmiseks võtke täisarv kokkuleppelise ühikuna ja lahutage sellest teadaolev murd. Näiteks kui 4/7 tunnist on juba läbitud, kas siis on veel aega? Võtke kogu õppetund ühikuna ja lahutage sellest 4/7. Saate 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Nimetajas muutujat sisaldavaid võrrandeid saab lahendada kahel viisil:
Murdude taandamine ühisele nimetajale
Proportsiooni põhiomaduse kasutamine
Olenemata valitud meetodist tuleb peale võrrandi juurte leidmist valida leitud kehtivate väärtuste hulgast ehk need, mis ei muuda nimetajat $0$-ks.
1 viis. Murdude taandamine ühisele nimetajale.
Näide 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Lahendus:
1. Teisaldame võrrandi paremalt poolelt murdosa vasakule
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
Selleks, et seda õigesti teha, pidage meeles, et elementide teisaldamisel võrrandi teise ossa muutub märk avaldiste ees vastupidiseks. See tähendab, et kui paremal pool oli murru ees märk “+”, siis vasakul pool on selle ees märk “-”, siis vasakul pool saame murde vahe fraktsioonid.
2. Nüüd pane tähele, et murdudel on erinevad nimetajad, mis tähendab, et erinevuse tasaarvestamiseks on vaja murded viia ühise nimetajani. Ühisnimetaja on algsete murdude nimetajates olevate polünoomide korrutis: $(2x-1)(x+3)$
Identse avaldise saamiseks tuleb esimese murru lugeja ja nimetaja korrutada polünoomiga $(x+3)$ ning teise murdosa polünoomiga $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Teostame teisenduse esimese murru lugejas – korrutame polünoomid. Pidage meeles, et selleks peate korrutama esimese liikme esimese liikmega polünoom korrutage teise polünoomi iga liikmega, seejärel korrutage esimese polünoomi teine liige teise polünoomi iga liikmega ja lisage tulemused
\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Esitame sarnased terminid saadud avaldises
\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Teeme sarnase teisenduse teise murru lugejas - polünoomide korrutamine
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$
Siis saab võrrand järgmise kuju:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Nüüd on murdudel sama nimetaja, mis tähendab, et saate lahutada. Tuletage meelde, et kui lahutate esimese murru lugejast sama nimetajaga murde, peate lahutama teise murru lugeja, jättes nimetaja samaks
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Teisendame avaldise lugejaks. Sulgude avamiseks, millele eelneb märk “-”, tuleb sulgudes olevate terminite ees kõik märgid vastupidiseks muuta
\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Tutvustame sarnaseid termineid
$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Seejärel võtab murdosa kuju
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. Murd on võrdne $0$, kui selle lugeja on 0. Seetõttu võrdsustame murru lugeja väärtusega $0$.
\[(\rm 20х+4=0)\]
Lahendame lineaarvõrrandi:
4. Võtame juurtest proovi. See tähendab, et tuleb kontrollida, kas algmurdude nimetajad muutuvad juurte leidmisel $0$-ks.
Seadkem tingimus, et nimetajad ei võrdu $0$-ga
x$\ne 0,5$ x$\ne -3$
See tähendab, et kõik muutujate väärtused on vastuvõetavad, välja arvatud $-3 $ ja $ 0,5 $.
Meie leitud juur on vastuvõetav väärtus, mis tähendab, et seda võib ohutult pidada võrrandi juureks. Kui leitud juur ei oleks kehtiv väärtus, siis selline juur oleks kõrvaline ja loomulikult ei sisalduks vastuses.
Vastus:$-0,2.$
Nüüd saame luua algoritmi võrrandi lahendamiseks, mille nimetajas on muutuja
Algoritm võrrandi lahendamiseks, mille nimetajas on muutuja
Liigutage kõik elemendid võrrandi paremalt küljelt vasakule. Identse võrrandi saamiseks on vaja muuta kõik märgid paremal pool avaldiste ees vastupidiseks
Kui vasakul pool saame avaldise erinevate nimetajatega, siis taandame need murdosa põhiomadust kasutades ühiseks. Tehke teisendusi identiteedi teisenduste abil ja hankige lõplik murd, mis on võrdne $ 0 $.
Võrdsusta lugeja väärtusega $0$ ja leia saadud võrrandi juured.
Proovime juurtest, st. leidke kehtivad muutujate väärtused, mis ei moodusta nimetajat $0$.
2. meetod. Kasutame proportsiooni põhiomadust
Proportsiooni peamine omadus on see, et proportsiooni äärmiste liikmete korrutis on võrdne keskmiste liikmete korrutisega.
Näide 2
Selle ülesande lahendamiseks kasutame seda omadust
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Leiame ja võrdsustame proportsiooni äärmus- ja keskliikme korrutise.
$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
Olles lahendanud saadud võrrandi, leiame originaali juured
2. Leiame muutuja vastuvõetavad väärtused.
Eelmisest lahendusest (1. meetod) oleme juba leidnud, et kõik väärtused on vastuvõetavad, välja arvatud $-3 $ ja $ 0,5 $.
Seejärel, olles kindlaks teinud, et leitud juur on kehtiv väärtus, saime teada, et juureks saab $-0.2$.