Tund teemal: "Samade ja erinevate astendajatega võimude korrutamise ja jagamise reeglid. Näited"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 7. klassile
Käsiraamat õpiku Yu.N. Makarycheva käsiraamat õpiku jaoks, autor A.G. Mordkovitš
Tunni eesmärk: õppida sooritama tehteid arvude astmetega.
Kõigepealt meenutagem mõistet "arvu võimsus". Avaldist kujul $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ saab esitada kui $a^n$.
Tõsi on ka vastupidine: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Seda võrdsust nimetatakse "kraadi registreerimiseks tootena". See aitab meil otsustada, kuidas võimeid korrutada ja jagada.
Pidage meeles:
a – kraadi alus.
n – eksponent.
Kui n = 1, mis tähendab numbrit A võttis üks kord ja vastavalt: $a^n= 1$.
Kui n = 0, siis $a^0= 1$.
Miks see nii juhtub, saame teada, kui tutvume võimude korrutamise ja jagamise reeglitega.
Korrutamise reeglid
a) Kui korrutada sama baasiga astmed.$a^n * a^m$ saamiseks kirjutame astmed korrutisena: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Joonisel on näha, et number A on võtnud n+m korda, siis $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Näide.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Seda omadust on mugav kasutada töö lihtsustamiseks, kui tõstate arvu suuremale astmele.
Näide.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Kui korrutatakse erinevate alustega, kuid sama astendajaga kraadid.
$a^n * b^n$ saamiseks kirjutame astmed korrutisena: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Kui vahetame tegurid ja loendame saadud paarid, saame: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Seega $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Näide.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Jagamise reeglid
a) Kraadi alus on sama, näitajad erinevad.Kaaluge astme jagamist suurema astendajaga, jagades astme väiksema astendajaga.
Niisiis, me vajame $\frac(a^n)(a^m)$, Kus n>m.
Kirjutame kraadid murdarvuna:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Mugavuse huvides kirjutame jaotuse lihtmurruna.Nüüd vähendame murdosa.
Selgub: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Tähendab, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
See omadus aitab selgitada olukorda numbri tõstmisel nullastmeni. Oletame, et n=m, siis $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Näited.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Kraadi alused on erinevad, näitajad samad.
Oletame, et $\frac(a^n)(b^n)$ on vajalik. Kirjutame arvude astmed murdudena:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Mugavuse huvides kujutame ette.
Kasutades murdude omadust, lagundame suur fraktsioon väikeste toodetele, saame.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Vastavalt: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Näide.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Viimases videotunnis saime teada, et teatud baasi aste on avaldis, mis esindab aluse korrutist iseenesest, võttes astendajaga võrdses koguses. Uurime nüüd mõningaid jõudude kõige olulisemaid omadusi ja toiminguid.
Näiteks korrutame kaks erinevad kraadid sama alusega:
Tutvustame seda tööd tervikuna:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Olles arvutanud selle avaldise väärtuse, saame arvu 32. Teisest küljest, nagu samast näitest näha, võib 32 esitada sama aluse (kahe) korrutisena, võttes 5 korda. Ja tõepoolest, kui seda lugeda, siis:
Seega võime kindlalt järeldada, et:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
See reegel töötab edukalt mis tahes näitajate ja põhjuste korral. See astme korrutamise omadus tuleneb reeglist, et avaldiste tähendus korrutises teisenduste käigus säilib. Iga aluse a korral on kahe avaldise (a)x ja (a)y korrutis võrdne a(x + y). Teisisõnu, kui luuakse mis tahes sama alusega avaldisi, on saadud monomial koguaste, mis moodustatakse esimese ja teise avaldise astmete liitmisel.
Esitatud reegel töötab suurepäraselt ka mitme avaldise korrutamisel. Peamine tingimus on, et kõigil on samad alused. Näiteks:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Te ei saa kraade lisada ega isegi võimsusuuringuid üldse läbi viia. koostöö avaldise kahe elemendiga, kui nende alused on erinevad.
Nagu meie video näitab, on korrutamise ja jagamise protsesside sarnasuse tõttu korrutises võimsuste lisamise reeglid suurepäraselt üle kantud jagamisprotseduurile. Mõelge sellele näitele:
Teostame avaldise terminikaupa teisenduse: täisvaade ja vähendage samu elemente dividendis ja jagajas:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Selle näite lõpptulemus pole nii huvitav, sest juba selle lahendamise käigus on selge, et avaldise väärtus võrdub kahe ruuduga. Ja see on kaks, mis saadakse, lahutades teise avaldise astme esimese astmest.
Jagatise astme määramiseks on vaja dividendi astmest lahutada jagaja aste. Reegel töötab kõigi oma väärtuste ja kõigi looduslike jõudude jaoks sama alusega. Abstraktsiooni vormis on meil:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Ühesuguste aluste kraadidega jagamise reeglist tuleneb nullkraadi määratlus. Ilmselt näeb järgmine väljend välja selline:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
Teisest küljest, kui jagame rohkem kui visuaalsel viisil, siis saame:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Murru kõigi nähtavate elementide vähendamisel saadakse alati avaldis 1/1, st üks. Seetõttu on üldiselt aktsepteeritud, et iga nullvõimsuseni tõstetud baas võrdub ühega:
Sõltumata a väärtusest.
Samas oleks absurdne, kui 0 (mis tahes korrutistega, mis annab ikkagi 0) oleks kuidagi võrdne ühega Seetõttu pole avaldisel kujul (0) 0 (null astmeni null) lihtsalt mõtet ja valemile (a) lisatakse tingimus 0 = 1: "kui a ei ole 0-ga."
Lahendame harjutuse. Leiame avaldise väärtuse:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Kuna baas on kõikjal sama ja võrdne 34-ga, on lõppväärtusel sama baas kraadiga (vastavalt ülaltoodud reeglitele):
Teisisõnu:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Vastus: avaldis on võrdne ühega.
Iga aritmeetiline tehe mõnikord muutub üleskirjutamine liiga tülikaks ja nad püüavad seda lihtsustada. Kunagi oli see nii liitmisoperatsiooniga. Inimestel oli vaja teha korduvat sama tüüpi lisamist, näiteks arvutada saja Pärsia vaiba maksumus, mille maksumus on 3 kuldmünti. 3+3+3+…+3 = 300. Selle kohmakuse tõttu otsustati tähistus lühendada 3 * 100 = 300-ni. Tegelikult tähendab tähistus "kolm korda sada" seda, et peate võtma ühe sada kolm ja liita need kokku. Korrutamine tabas ja saavutas üldise populaarsuse. Kuid maailm ei seisa paigal ja keskajal tekkis vajadus sama tüüpi korduva korrutamise järele. Mäletan vana India mõistatust targa kohta, kes küsis tehtud töö eest nisuterasid järgmistes kogustes: malelaua esimese ruudu eest küsis ta ühe tera, teise eest kaks, kolmanda eest neli, viienda jaoks - kaheksa jne. Nii tekkis esimene astmete korrutis, sest terade arv oli võrdne kahega rakuarvu astmega. Näiteks viimases lahtris oleks 2*2*2*...*2 = 2^63 tera, mis võrdub 18 tähemärgi pikkusega, mis tegelikult on mõistatuse tähendus.
Astendamise operatsioon haakus üsna kiiresti ning kiiresti tekkis ka vajadus astmete liitmise, lahutamise, jagamise ja korrutamise järele. Viimast tasub üksikasjalikumalt kaaluda. Võimude lisamise valemid on lihtsad ja kergesti meeldejäävad. Lisaks on väga lihtne aru saada, kust need tulevad, kui võimsusoperatsioon asendada korrutamisega. Kuid kõigepealt peate mõistma mõnda põhiterminoloogiat. Avaldis a^b (loe "a b astmeni") tähendab, et arv a tuleks korrutada iseendaga b korda, kusjuures "a" nimetatakse astme baasiks ja "b" astme astendajaks. Kui astmete alused on samad, siis tuletatakse valemid üsna lihtsalt. Konkreetne näide: avaldise 2^3 * 2^4 väärtuse leidmine. Et teada saada, mis peaks juhtuma, peaksite enne lahenduse alustamist arvutist vastuse välja selgitama. Skoorimine see väljend mis tahes veebikalkulaatoris, otsingumootoris, tippides "korrutades astmed erinevate alustega ja samaga" või matemaatilise paketi, on väljund 128. Nüüd kirjutame välja selle avaldise: 2^3 = 2*2*2 ja 2 ^4 = 2*2* 2*2. Selgub, et 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Selgub, et sama baasiga astmete korrutis on võrdne baasiga, mis on tõstetud astmeni, mis on võrdne kahe eelneva astme summaga.
Võib arvata, et see on õnnetus, aga ei: iga teine näide võib seda reeglit ainult kinnitada. Seega sisse üldine vaade valem näeb välja selline järgmisel viisil: a^n * a^m = a^(n+m) . Kehtib ka reegel, et mis tahes arv nullastmeni on võrdne ühega. Siin tuleks meeles pidada negatiivsete jõudude reeglit: a^(-n) = 1 / a^n. See tähendab, et kui 2^3 = 8, siis 2^(-3) = 1/8. Seda reeglit kasutades saate tõestada võrdsuse a^0 = 1 kehtivust: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) saab taandada ja jääb üks. Siit tuleneb reegel, et astmete jagatis koos samadel alustel on võrdne selle baasiga määral, mis on võrdne dividendi ja jagaja jagatisega: a^n: a^m = a^(n-m) . Näide: avaldise 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) lihtsustamine. Korrutamine on kommutatiivne tehe, seetõttu peate esmalt lisama korrutamise astendajad: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Järgmisena peate tegelema negatiivse võimsusega jagamisega. Dividendi eksponendist on vaja lahutada jagaja astendaja: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Selgub, et astme negatiivsega jagamise tehe on identne sarnase positiivse astendajaga korrutamise operatsiooniga. Seega on lõplik vastus 8.
On näiteid, kus jõudude mittekanooniline korrutamine toimub. Võimude korrutamine erinevate alustega on sageli palju keerulisem ja mõnikord isegi võimatu. Siin on mõned näited erinevatest võimalikud tehnikad. Näide: lihtsustage avaldist 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Ilmselgelt toimub astmete korrutis erinevate alustega. Kuid tuleb märkida, et kõik alused on kolme erineva võimsusega. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Kasutades reeglit (a^n) ^m = a^(n*m) , peaksite avaldise mugavamal kujul ümber kirjutama: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Vastus: 3^11. Juhtudel, kui erinevatel põhjustel, peal võrdsed näitajad Reegel töötab: a^n * b^n = (a*b) ^n. Näiteks 3^3 * 7^3 = 21^3. Vastasel juhul, kui alused ja astendajad on erinevad, ei saa täielikku korrutamist teostada. Mõnikord saate seda osaliselt lihtsustada või kasutada arvutitehnoloogiat.
Astmete liitmine ja lahutamine
On ilmne, et astmetega numbreid saab liita nagu teisigi suurusi , lisades need üksteise järel oma märkidega.
Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2.
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.
Koefitsiendid võrdsed kraadid identsed muutujad saab liita või lahutada.
Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.
Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.
Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb koostada, lisades need koos nende märkidega.
Seega on 2 ja 3 summa 2 + 3 summa.
On ilmne, et ruut a ja kuup a ei võrdu mitte kahekordse a ruuduga, vaid kahekordse a kuubikuga.
A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6.
Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, välja arvatud see, et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.
Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 — 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Võimude korrutamine
Pädevustega numbreid saab korrutada, nagu ka teisi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.
Seega saadakse a 3 korrutamisel b 2-ga a 3 b 2 ehk aaabb.
Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a
Tulemus sisse viimane näide saab tellida identsete muutujate lisamisega.
Väljend on kujul: a 5 b 5 y 3.
Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.
Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Siin on 5 korrutamistulemuse aste, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summaga.
Niisiis, a n .a m = a m+n .
Kui a n , võetakse a tegurina sama mitu korda kui n võimsus;
Ja m võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;
Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada, liites astmete eksponendid.
Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on negatiivne.
1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on
Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus võrdne summaga või nende ruutude erinevus.
Kui korrutate kahe arvu summa ja vahe, mis on tõstetud ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadid.
Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Kraadide jaotus
Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades dividendist või paigutades need murdosa kujul.
Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga võrdne 3-ga.
5 jagatuna 3-ga kirjutamine näeb välja nagu $\frac $. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.
Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid..
Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. See tähendab, $\frac = y$.
Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac = a^n$.
Või:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadide väärtused.
-5 jagamisel -3-ga saadakse -2.
Samuti $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Korrutamist ja võimsuste jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.
Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega
1. Vähenda eksponente $\frac $ võrra. Vastus: $\frac $.
2. Vähendage eksponente $\frac$ võrra. Vastus: $\frac$ või 2x.
3. Vähendage eksponente a 2 /a 3 ja a -3 /a -4 ning viige ühine nimetaja.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .
4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 /5a 7 ja 5a 5 /5a 7 või 2a 3 /5a 2 ja 5/5a 2.
5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.
6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).
7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .
8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.
Kraadi omadused
Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadide omadused Koos mitterahaliselt ja null. Kraadid koos ratsionaalsed näitajad ja nende omadusi arutatakse 8. klassi tundides.
Loodusliku indikaatoriga kraadil on mitu olulised omadused, mis võimaldavad volitustega näidetes arvutusi lihtsustada.
Kinnistu nr 1
Võimude toode
Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ja liidetakse astmete eksponendid.
a m · a n = a m + n, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.
See vara kraadid kehtivad ka toode kolmest ja rohkem kraadi.
- Lihtsustage väljendit.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Esitage see kraadina.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Esitage see kraadina.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Kirjutage jagatis astmena
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Arvutama.
Pange tähele, et sisse määratud vara me rääkisime ainult jõudude korrutamisest samade alustega. See ei kehti nende lisamise kohta.
Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243
Kinnistu nr 2
Osalised kraadid
Jagades astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi astendajast.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame jagatisastmete omadust.
3 8: t = 3 4
Vastus: t = 3 4 = 81
Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.
Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Näide. Leidke avaldise väärtus, kasutades eksponentide omadusi.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Pange tähele, et 2. vara puhul rääkisime ainult volituste jagamisest samadel alustel.
Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4
Kinnistu nr 3
Kraadi tõstmine võimuni
Kraadi tõstmisel astmeni jääb astme alus muutumatuks ja astendajad korrutatakse.
(a n) m = a n · m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.
Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.
Kuidas võimeid korrutada
Kuidas võimeid korrutada? Milliseid jõude saab korrutada ja milliseid mitte? Kuidas korrutada arvu astmega?
Algebras leiate võimsuste korrutise kahel juhul:
1) kui kraadidel on samad alused;
2) kui kraadidel on samad näitajad.
Kui korrutada astmeid samade alustega, tuleb baas jätta samaks ja lisada eksponendid:
Kui korrutada võimsused -ga samad näitajad üldine näitaja saab sulgudest välja võtta:
Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas võimsusi korrutada.
Üksust ei kirjutata eksponendisse, kuid astmete korrutamisel võtavad nad arvesse:
Korrutamisel võib olla suvaline arv astmeid. Tuleb meeles pidada, et tähe ette ei pea kirjutama korrutusmärki:
Avaldistes tehakse kõigepealt astendamine.
Kui teil on vaja arvu korrutada astmega, peaksite esmalt tegema astenduse ja alles seejärel korrutama:
Võimuste korrutamine samade alustega
See videoõpetus on saadaval tellimisel
Kas teil on juba tellimus? Tulla sisse
Selles õppetükis uurime võimsuste korrutamist sarnaste alustega. Kõigepealt tuletagem meelde astme definitsiooni ja sõnastagem teoreem võrdsuse kehtivuse kohta . Seejärel toome näiteid selle rakendamisest konkreetsetel numbritel ja tõestame seda. Lahendamisel rakendame ka teoreemi erinevaid ülesandeid.
Teema: Võimsus koos loomuliku astendajaga ja selle omadused
Õppetund: astmete korrutamine samade alustega (valem)
1. Põhimõisted
Põhimääratlused:
n- eksponent,
— n arvu aste.
2. 1. teoreemi väide
1. teoreem. Iga numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:
Teisisõnu: kui A– suvaline number; n Ja k naturaalarvud, siis:
Seega reegel 1:
3. Selgitavad ülesanded
Järeldus: erijuhud kinnitasid teoreemi nr 1 õigsust. Tõestame seda sisse üldine juhtum, see tähendab mis tahes A ja mis tahes loomulik n Ja k.
4. 1. teoreemi tõestus
Antud number A- mis tahes; numbrid n Ja k – loomulik. Tõesta:
Tõestus põhineb kraadi määratlusel.
5. Näidete lahendamine teoreemi 1 abil
Näide 1: Mõelge sellele kui kraadile.
Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 1.
ja) 
6. 1. teoreemi üldistus
Siin on kasutatud üldistust:
7. Näidete lahendamine teoreemi 1 üldistuse abil
8. Erinevate ülesannete lahendamine teoreemi 1 abil
Näide 2: Arvutage (saate kasutada põhivõimsuste tabelit).
A) 
(tabeli järgi)
b) 
Näide 3: Kirjutage see astmena alusega 2.
A) 
Näide 4: Määrake numbri märk:
, A - negatiivne, kuna eksponent -13 juures on paaritu.
Näide 5: Asendage (·) arvu astmega alusega r:
Meil on, see tähendab.
9. Kokkuvõtete tegemine
1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. ja teised Algebra 7. 6. väljaanne. M.: Valgustus. 2010. aasta
1. Kooli abiline (Allikas).
1. Esitage võimsusena:
a B C D E) 
3. Kirjutage astmena 2. alusega:
4. Määrake numbri märk:
A) 
5. Asendage (·) arvu astmega alusega r:
a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6
Võimude korrutamine ja jagamine samade astendajatega
Selles õppetükis uurime astmete korrutamist võrdsete astendajatega. Kõigepealt tuletagem meelde põhimääratlusi ja teoreeme samade alustega astmete korrutamise ja jagamise ning võimsuste astmeteks tõstmise kohta. Seejärel formuleerime ja tõestame teoreemid astmete korrutamise ja jagamise kohta samade astendajatega. Ja siis nende abiga lahendame sarja tüüpilised ülesanded.
Põhimõistete ja teoreemide meeldetuletus
Siin a- kraadi alus,
— n arvu aste.
1. teoreem. Iga numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:
Samade alustega astmete korrutamisel liidetakse eksponendid, alus jääb muutumatuks.
2. teoreem. Iga numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k, selline, et n > k võrdsus on tõsi:
Kraadide jagamisel samade alustega lahutatakse eksponendid, kuid alus jääb muutumatuks.
3. teoreem. Iga numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:
Kõik loetletud teoreemid puudutasid samasuguseid võimsusi põhjustel, selles õppetükis vaatleme kraade samaga näitajad.
Näited astmete korrutamiseks samade astendajatega
Mõelge järgmistele näidetele.
Paneme kirja astme määramise avaldised.
Järeldus: Näidetest on näha, et 
, kuid see vajab veel tõestamist. Sõnastame teoreemi ja tõestame seda üldjuhul, st mis tahes puhul A Ja b ja mis tahes loomulik n.
4. teoreemi formuleerimine ja tõestamine
Mis tahes numbrite jaoks A Ja b ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:
Tõestus 4. teoreem .
Kraadi määratluse järgi:
Seega oleme seda tõestanud .
Astmete korrutamiseks samade astendajatega piisab aluste korrutamisest ja eksponendi muutmata jätmisest.
5. teoreemi formuleerimine ja tõestamine
Sõnastame teoreemi astmete jagamiseks samade astendajatega.
Iga numbri jaoks A Ja b() ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:
Tõestus 5. teoreem .
Kirjutame üles kraadi määratluse:
Teoreemide sõnastus sõnades
Niisiis, me oleme seda tõestanud.
Samade astendajatega astmete üksteiseks jagamiseks piisab, kui jagada üks alus teisega ja jätta eksponent muutmata.
Tüüpiliste ülesannete lahendamine teoreemi 4 abil
Näide 1: Esineb jõudude produktina.
Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 4.
Järgmise näite lahendamiseks tuletage meelde valemid:
4. teoreemi üldistus
4. teoreemi üldistus:
Näidete lahendamine üldistatud teoreemi 4 abil
Jätkame tüüpiliste probleemide lahendamist
Näide 2: Kirjutage see toote võimsusena.
Näide 3: Kirjutage see astmena astendajaga 2.
Arvutamise näited
Näide 4: Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. jt Algebra 7.M.: Valgustus. 2006
2. Kooli abiline (Allikas).
1. Esitage võimsuste korrutisena:
A) ; b) ; V) ; G) ;
2. Kirjutage toote võimsusena:
3. Kirjutage astmena astendajaga 2:
4. Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.
Matemaatikatund teemal “Võimude korrutamine ja jagamine”
Sektsioonid: Matemaatika
Pedagoogiline eesmärk:
Ülesanded:
Õpetamise tegevusüksused: astme määramine loomuliku indikaatoriga; kraadi komponendid; eraelu määratlus; kombinatsiooniseadus korrutamine.
I. Demonstratsiooni korraldamine õpilaste olemasolevate teadmiste valdamise kohta. (samm 1)
a) teadmiste värskendamine:
2) Sõnasta astme definitsioon naturaalastendajaga.
a n =a a a a … a (n korda)
b k =b b b b a… b (k korda) Põhjenda vastust.
II. Õpilase praeguse kogemuse oskuse enesehindamise korraldamine. (samm 2)
Enesetest: ( individuaalne töö kahes versioonis.)
A1) Esitage toode 7 7 7 7 x x x võimsusena:
A2) Esitage võimsust (-3) 3 x 2 tootena
A3) Arvutage: -2 3 2 + 4 5 3
Testis valin ülesannete arvu vastavalt klassitaseme ettevalmistusele.
Annan teile enesekontrolli testi võtme. Kriteerium: läbitud – läbimata.
III. Õppe- ja praktiline ülesanne (3. samm) + 4. etapp (omadused sõnastavad õpilased ise)
Ülesannete 1) ja 2) lahendamisel pakuvad õpilased välja lahenduse ning mina õpetajana korraldan tunni, et leida viis, kuidas samade alustega korrutamisel volitusi lihtsustada.
Õpetaja: leidke viis, kuidas samade alustega korrutamisel volitusi lihtsustada.
Klastris kuvatakse kirje:
Tunni teema on sõnastatud. Võimude korrutamine.
Õpetaja: pakkuge välja reegel võimude jagamiseks samadel alustel.
Põhjendus: millist toimingut kasutatakse jagunemise kontrollimiseks? a 5: a 3 = ? et a 2 a 3 = a 5
Naasen diagrammi juurde - kobar ja lisan kirjele - .. jagamisel lahutame ja liidame tunni teema. ...ja kraadide jagamine.
IV. Õpilastele teadmiste piiridest teavitamine (minimaalselt ja maksimumina).
Õpetaja: tänase tunni miinimumülesanne on õppida rakendama korrutamise ja astmete jagamise omadusi samadel alustel ning maksimaalne ülesanne on rakendada korrutamist ja jagamist koos.
Kirjutame tahvlile : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n
V. Uue materjali õppimise korraldus. (5. samm)
a) Õpiku järgi: nr 403 (a, c, e) erineva sõnastusega ülesanded
Nr 404 (a, d, f) iseseisev töö, siis korraldan vastastikuse kontrolli ja annan võtmed.
b) Millise m väärtuse korral kehtib võrdsus? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Ülesanne: leidke sarnaseid näiteid jagamiseks.
c) nr 417 (a), nr 418 (a) Lõksud õpilastele: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.
VI. Õpitust kokkuvõtete tegemine, diagnostilise töö läbiviimine (mis julgustab õpilasi, mitte õpetajat seda teemat uurima) (6. samm)
Diagnostiline töö.
Test(pane võtmed peale tagakülg test).
Ülesande valikud: esitage jagatis x 15 astmena: x 3; esindama astmena korrutist (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; mille m puhul kehtib võrdus a 16 a m = a 32? leida avaldise väärtus h 0: h 2 at h = 0,2; arvuta avaldise väärtus (5 2 5 0) : 5 2 .
Tunni kokkuvõte. Peegeldus. Jagan klassi kahte rühma.
Leidke I rühma argumendid: astme omaduste tundmise kasuks ja II rühm - argumendid, mis ütlevad, et saate ilma omadusteta hakkama. Kuulame kõik vastused ära ja teeme järeldused. Järgmistes õppetundides saate pakkuda statistilisi andmeid ja nimetada rubriiki "See on uskumatu!
VII. Kodutöö.
Ajalooline viide. Milliseid numbreid nimetatakse Fermat' numbriteks.
P.19. nr 403, nr 408, nr 417
Kasutatud raamatud:
Kraadide omadused, sõnastused, tõestused, näited.
Pärast arvu astme määramist on loogiline sellest rääkida kraadi omadused. Selles artiklis anname arvude astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin esitame kõigi kraadide omaduste tõendid ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel kasutatakse.
Leheküljel navigeerimine.
Kraadide omadused naturaalastendajatega
Naturaalse astendajaga astme definitsiooni järgi on aste a n n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Sellest määratlusest lähtudes ja ka kasutades reaalarvude korrutamise omadused, saame saada ja põhjendada järgmist astme omadused naturaalse astendajaga:
- kui a>0, siis a n>0 mis tahes naturaalarvu n korral;
- kui a=0, siis a n=0;
- kui a 2·m >0 , kui a 2·m−1 n ;
- kui m ja n on sellised naturaalarvud, et m>n, siis 0m n ja a>0 korral on võrratus a m >a n tõene.
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a · b) n =a n · b n;
- (a:b) n =a n:bn;
- (a m) n =a m·n;
- kui n on positiivne täisarv, on a ja b positiivsed arvud ning a n n ja a −n >b −n ;
- kui m ja n on täisarvud ja m>n, siis 0m n ja a>1 korral kehtib võrratus a m >a n.
Märgime kohe, et kõik kirjalikud võrdsused on identsed kindlaksmääratud tingimustel saab vahetada nii nende paremat kui ka vasakut osa. Näiteks murdu a m ·a n =a m+n põhiomadus koos väljendite lihtsustamine kasutatakse sageli kujul a m+n =a m ·a n .
Nüüd vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.
Alustame kahe samade alustega astme korrutise omadusega, mida nimetatakse kraadi peamine omadus: iga reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral on võrdus a m ·a n =a m+n tõene.
Tõestame kraadi peamist omadust. Loodusliku astendajaga astme definitsiooni järgi saab korrutiseks kirjutada astmete korrutise, millel on identsed alused kujul a m ·a n. 
. Tänu korrutamise omadustele saab saadud avaldise kirjutada kujul 
, ja see korrutis on arvu a aste naturaalastendajaga m+n, st a m+n. See lõpetab tõestuse.
Toome näite, mis kinnitab kraadi põhiomadust. Võtame astmed samade alustega 2 ning naturaalastmetega 2 ja 3, kasutades kraadide põhiomadust, saame kirjutada võrrandi 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Kontrollime selle kehtivust, arvutades välja avaldiste 2 2 · 2 3 ja 2 5 väärtused. Astendamist teostades saame 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ja 2 5 =2 2 2 2 2 = 32, kuna saame võrdsed väärtused, siis võrdus 2 2 ·2 3 =2 5 on õige ja see kinnitab astme peamist omadust.
Korrutamise omadustel põhineva astme põhiomaduse saab üldistada kolme ja korrutiseks rohkem kraadid samade aluste ja looduslike näitajatega. Seega on naturaalarvude n 1 , n 2 , …, n k mis tahes arvu k korral tõene võrdus a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Näiteks (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Saame liikuda loomuliku astendajaga astmete järgmise omaduse juurde – samade alustega jagatisastmete omadus: iga nullist erineva reaalarvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral, mis vastavad tingimusele m>n, on võrdus a m:a n =a m−n tõene.
Enne selle omaduse tõestamist arutleme selle tähenduse üle lisatingimused sõnastuses. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0 n =0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Tõepoolest, eksponent m>n puhul on a m−n naturaalarv, in muidu see on kas null (mis juhtub, kui m-n) või negatiivne arv (mis juhtub, kui m m-n ·a n =a (m-n)+n =a m. Saadud võrrandist a m-n ·a n =a m ja seose korrutamisest jagamisega järeldub, et a m−n on astmete a m ja a n jagatis. See tõestab samade alustega astmete jagatiste omadust.
Toome näite. Võtame kaks astet samade alustega π ja naturaalastendajatega 5 ja 2, astme vaadeldavale omadusele vastab võrdus π 5:π 2 =π 5−3 =π 3.
Nüüd kaalume toote võimsuse omadus: loomulik kraad Kahe reaalarvu a ja b korrutis n on võrdne astmete a n ja b n korrutisega, st (a·b) n =a n ·b n .
Tõepoolest, naturaalse astendajaga kraadi määratluse järgi on meil olemas 
. Viimane tükk korrutamise omaduste põhjal saab ümber kirjutada kui 
, mis on võrdne a n · b n .
Siin on näide: 
.
See omadus laieneb kolme ja korrutise võimsusele rohkem kordajad. See tähendab, et k teguri korrutise naturaalastme n omadus on kirjutatud järgmiselt (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Kolme teguri korrutis 7 astmega on meil .
Järgmine omadus on mitterahalise jagatise omadus: reaalarvude a ja b, b≠0 jagatis loomuliku astmega n on võrdne astmete a n ja b n jagatisega, st (a:b) n =a n:b n.
Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Seega (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n ja võrrandist (a:b) n ·b n =a n järeldub, et (a:b) n on jagatis jaotus a n kohta bn.
Kirjutame selle omaduse, kasutades näitena konkreetseid numbreid: 
.
Nüüd ütleme selle välja omadus tõsta võimu võimuks: mis tahes reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral võrdub a m astme astmega n arvu a astmega, mille aste on m·n, st (a m) n =a m·n.
Näiteks (5 2) 3 = 5 2 · 3 =5 6.
Võimsusastmeni omaduse tõestuseks on järgmine võrdsuste ahel: 
.
Vaadeldavat omadust saab astme kaupa laiendada jne. Näiteks naturaalarvude p, q, r ja s korral võrdsus 
. Suurema selguse huvides toome näite konkreetsed numbrid: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Jääb veel peatuda astmete ja naturaalastendajate võrdlemise omadustel.
Alustuseks tõestame nulli ja astme võrdlemise omadust naturaalastendajaga.
Esiteks tõestame, et a n > 0 iga a>0 korral.
Toode kahest positiivsed numbrid on positiivne arv, nagu tuleneb korrutamise definitsioonist. See fakt ja korrutamise omadused viitavad sellele, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. Ja arvu a aste naturaalse astendajaga n on definitsiooni järgi n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Need argumendid võimaldavad meil väita, et iga positiivse baasi a korral on aste a n positiivne arv. Tõestatud omaduse tõttu 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ja 
.
On üsna ilmne, et iga naturaalarvu n puhul, mille a=0, on a n aste null. Tõepoolest, 0 n =0·0·…·0=0. Näiteks 0 3 =0 ja 0 762 =0.
Liigume edasi negatiivsed põhjused kraadid.
Alustame juhtumist, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda 2·m, kus m on naturaalarv. Siis 
. Negatiivsete arvude korrutamise reegli kohaselt on iga vormi a·a korrutis võrdne arvu a ja a absoluutväärtuste korrutisega, mis tähendab, et see on positiivne arv. Seetõttu on toode ka positiivne 
ja aste a 2·m. Toome näiteid: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .
Lõpuks, kui alus a on negatiivne arv ja eksponent on paaritu number 2 m−1, siis 
. Kõik korrutised a·a on positiivsed arvud, nende positiivsete arvude korrutis on samuti positiivne ja selle korrutamine ülejäänud negatiivse arvuga a annab tulemuseks negatiivse arvu. Tänu sellele omadusele (−5) 3 17 n on n tõelise ebavõrdsuse a vasaku ja parema külje korrutis võrratuste omadused, on tõene ka tõestatav võrratus kujul a n n. Näiteks sellest omadusest tulenevalt ebavõrdsused 3 7 7 ja 
.
Jääb üle tõestada viimast loetletud omadused kraadid looduslike näitajatega. Sõnastame selle. Kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed positiivsed alused on väiksemad kui üks, on suurem see, mille astendaja on väiksem; ja kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed alused on suuremad kui üks, on suurem see, mille astendaja on suurem. Jätkame selle omaduse tõestamisega.
Tõestame, et m>n ja 0m n korral. Selleks kirjutame üles erinevuse a m − a n ja võrdleme seda nulliga. Salvestatud erinevus saab pärast n väljavõtmist sulgudest kujul a n ·(a m−n−1) . Saadud korrutis on negatiivne positiivse arvu a n ja korrutisena negatiivne arv a m−n −1 (a n on positiivne positiivse arvu loomuliku võimsusena ja erinevus a m−n −1 on negatiivne, kuna m−n>0 tulenevalt algtingimusest m>n, mis tähendab, et 0m− juures n on väiksem kui üks). Seetõttu a m −a n m n , mida oli vaja tõestada. Näiteks anname tõeline ebavõrdsus.
Tõendada jääb vara teine osa. Tõestame, et m>n ja a>1 korral on a m >a n tõene. Erinevus a m −a n pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . See korrutis on positiivne, kuna a>1 korral on aste a n positiivne arv ja erinevus a m−n −1 on positiivne arv, kuna m−n>0 esialgne seisund, ja a>1 kraadi puhul a m−n rohkem kui üks. Järelikult a m −a n >0 ja a m >a n , mida oli vaja tõestada. Seda omadust illustreerib ebavõrdsus 3 7 > 3 2.
Täisarvuliste astendajatega astmete omadused
Kuna positiivsed täisarvud on naturaalarvud, siis kõik täisarvudega astmete omadused positiivsed näitajad langevad täpselt kokku loetletud ja tõestatud looduslike eksponentide astmete omadustega eelmine lõik.
Kraad täisarvuga negatiivne näitaja, aga ka nullastendajaga astme, defineerisime nii, et kõik naturaalastendajatega astmete omadused, väljendatuna võrdustega, jäid kehtima. Seetõttu kehtivad kõik need omadused nii nullastendajate kui ka negatiivsete eksponentide puhul, samas kui loomulikult on astmete alused nullist erinevad.
Seega kehtivad mis tahes reaal- ja nullist erineva arvu a ja b, aga ka täisarvude m ja n puhul järgmised: Täisarvuliste astendajatega astmete omadused:
Kui a=0, on astmetel a m ja a n mõtet ainult siis, kui nii m kui ka n on positiivsed täisarvud, st naturaalarvud. Seega kehtivad just kirjutatud omadused ka juhtudel, kui a=0 ning arvud m ja n on positiivsed täisarvud.
Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline; selleks piisab, kui kasutada astme määratlusi naturaalse ja täisarvulise astendajaga, samuti toimingute omadusi reaalarvud. Näitena tõestame, et võimsus-võimsuse omadus kehtib nii positiivsete täisarvude kui ka mittepositiivsete täisarvude puhul. Selleks peame näitama, et kui p on null või naturaalarv ja q on null või naturaalarv, siis võrrandid (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p)·q, (a p) −q =a p·(−q) ja ( a −p) −q =a (−p)·(−q) . Teeme seda.
Positiivsete p ja q korral tõestati võrdus (a p) q =a p·q eelmises lõigus. Kui p=0, siis on meil (a 0) q =1 q =1 ja a 0·q =a 0 =1, kust (a 0) q =a 0·q. Samamoodi, kui q=0, siis (a p) 0 =1 ja a p·0 =a 0 =1, kust (a p) 0 =a p·0. Kui nii p=0 kui q=0, siis (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0·0 =a 0 =1, kust (a 0) 0 =a 0,0.
Nüüd tõestame, et (a −p) q =a (−p)·q . Negatiivse täisarvu astendajaga astme definitsiooni järgi siis 
. Meil olevate astmete jagandite omaduse järgi 
. Kuna 1 p =1·1·…·1=1 ja , siis . Viimane väljend definitsiooni järgi on aste kujul a −(p·q) , mille saab korrutamisreeglite tõttu kirjutada kujul (−p)·q .
Samamoodi 
.
JA 
.
Samal põhimõttel saate tõestada kõik muud astme omadused täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul.
Salvestatud omaduste eelviimases tasub peatuda ebavõrdsuse a −n >b −n tõestusel, mis kehtib iga negatiivse täisarvu −n ja iga positiivse a ja b korral, mille puhul tingimus a on täidetud. . Kirjutame üles ja teisendame selle ebavõrdsuse vasaku ja parema külje erinevuse: 
. Kuna tingimusel a n n seega b n −a n >0 . Korrutis a n · b n on positiivne ka positiivsete arvude a n ja b n korrutis. Siis on saadud murru positiivne positiivsete arvude b n −a n ja a n ·b n jagatis. Seega, kust a −n >b −n , mida oli vaja tõestada.
Täisarvuliste astendajatega astmete viimane omadus on tõestatud samamoodi nagu loomulike astendajatega astmete sarnane omadus.
Ratsionaalsete astendajatega astmete omadused
Defineerisime astme murdosalise astendajaga, laiendades astme omadusi sellele täisarvulise astendajaga. Teisisõnu, murdeksponentidega astmetel on samad omadused kui täisarvuliste astendajatega astmetel. Nimelt:
- samade alustega astmete korrutise omadus
kui a>0 ja kui ja, siis kui a≥0; - samade alustega jagatisastmete omadus
a>0 jaoks; - toote omadus murdosa võimsus
a>0 ja b>0 korral ning kui ja, siis a≥0 ja (või) b≥0 korral; - jagatise omadus murdarvule
a>0 ja b>0 korral ning kui , siis a≥0 ja b>0 korral; - astmest kraadini omadus
kui a>0 ja kui ja, siis kui a≥0; - astmete võrdlemise omadus võrdsete ratsionaalsete astendajatega: mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 võrratus a p p on tõene ja p p >b p korral;
- astmete võrdlemise omadus ratsionaalsete astendajatega ja võrdselt: ratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ning a>0 korral – võrratus a p >a q.
- a p ·a q =a p+q;
- a p:a q =a p−q ;
- (a · b) p =a p · b p ;
- (a:b) p =a p:b p;
- (a p) q =a p·q;
- mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 võrratus a p p on tõene ja p p >b p korral;
- irratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ning a>0 korral – võrratus a p >a q.
Astmete omaduste tõendamine murdeksponentidega põhineb murdosaastendajaga astme määratlusel, omadustel aritmeetiline juur n-nda astme ja täisarvulise astendajaga astme omaduste kohta. Andkem tõendid.
Määratluse järgi võimsus murdosa astendaja ja , siis 
. Aritmeetilise juure omadused võimaldavad meil kirjutada järgmised võrdsused. Edasi, kasutades täisarvulise astendajaga astme omadust, saame , millest murdosalise astendajaga astme definitsiooni järgi saame 
, ja saadud kraadi indikaatorit saab teisendada järgmiselt: . See lõpetab tõestuse.
Teine murdosaastendajatega astmete omadus on tõestatud absoluutselt sarnasel viisil: 
Ülejäänud võrdsused tõestatakse sarnaste põhimõtete abil: 
Liigume edasi järgmise vara tõestamise juurde. Tõestame, et iga positiivse a ja b korral a 0 võrratus a p p on tõene ja p p >b p korral. Kirjutame ratsionaalarvu p kujul m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Tingimused p 0 on sel juhul samaväärsed tingimustega m 0. Kui m>0 ja am m . Sellest ebavõrdsusest juurte omaduse järgi saame ja kuna a ja b on positiivsed arvud, siis murruastendajaga astme definitsiooni põhjal saab saadud võrratuse ümber kirjutada kujule a p p .
Samamoodi m m >b m korral, kust, st a p >b p .
Jääb tõestada viimane loetletud omadustest. Tõestame, et ratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ning a>0 korral on võrratus a p >a q. Leiame alati ühise nimetaja ratsionaalsed arvud p ja q, saame siis harilikud murrud ja kus m 1 ja m 2 on täisarvud ning n on naturaalarv. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m 1 >m 2, mis tuleneb võrdlusreeglist tavalised murrud Koos samad nimetajad. Seejärel 0m 1 m 2 ja a>1 korral kraadide võrdlemise omaduse järgi samade aluste ja naturaaleksponentidega ebavõrdsus a m 1 >a m 2. Need ebavõrdsused juurte omadustes saab vastavalt ümber kirjutada kui 
Ja 
. Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab liikuda edasi ebavõrdsuse juurde ja vastavalt. Siit teeme lõpliku järelduse: p>q ja 0p q korral ning a>0 korral – võrratus a p >a q .
Irratsionaalsete astendajatega astmete omadused
Sellest, kuidas aste c määratakse irratsionaalne näitaja, võime järeldada, et sellel on kõik ratsionaalsete astendajatega astmete omadused. Nii et mis tahes a>0, b>0 ja irratsionaalsed arvud p ja q on järgmised irratsionaalsete astendajatega astmete omadused:
Sellest võime järeldada, et astmetel a>0 reaalastendajatega p ja q on samad omadused.
- Algebra - 10. klass. Trigonomeetrilised võrrandid Tund ja esitlus teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine" Lisamaterjalid Lugupeetud kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, ettepanekuid! Kõik materjalid […]
- Avatud on konkurss ametikohale “MÜÜJA – KONSULTANT”: Tööülesanded: müük Mobiiltelefonid ja mobiilsideteenuste tarvikud Beeline'i, Tele2, MTS-i abonentide jaoks tariifiplaanide ja -teenuste ühendamine Beeline ja Tele2, MTS-i nõustamine […]
- Rööptahuline valem Rööptahukas on polühedron, millel on 6 tahku, millest igaüks on rööpkülik. Risttahukas on rööptahukas, mille iga tahk on ristkülik. Iga rööptahukat iseloomustab 3 […]
- N JA NN ÕIGEKIRJA ERINEVATES KÕNEOSADES S.G. ZELINSKAJA DIDAKTILINE MATERJAL Teoreetiline harjutus 1. Millal nn kirjutatakse omadussõnades? 2. Nimetage nende reeglite erandid. 3. Kuidas eristada verbaalne omadussõna järelliitega -n- osalausest koos […]
- BRjanski PIIRKONNA GOSTEKHNADZORI KONTROLL Riigilõivu tasumise kviitung (allalaadimine-12,2 kb) Eraisikute registreerimistaotlused (Allalaadimine-12 kb) Juriidilise isiku registreerimistaotlused (Allalaadimine-11,4 kb) 1. Uue auto registreerimisel: 1.avaldus 2.pass […]
- Tarbijaõiguste Kaitse Ühing Astana Selleks, et saada ligipääsuks PIN-kood see dokument saatke meie veebisaidil SMS-sõnum tekstiga zan numbrile GSM-operaatorite abonendid (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2), saates SMS-i numbrile […]
- Võtta vastu perekonnavarade seadus Nõus föderaalseadus tasuta kvootide eraldamise kohta igale soovijale Venemaa Föderatsioon või sellel asuva maatüki kodanike perekond Perekonna kinnistu peal järgmisi tingimusi: 1. Krunt on eraldatud […]
- Pivoev V.M. Teaduse filosoofia ja metoodika: õpetus magistrantidele ja magistrantidele Petroskoi: PetrSU kirjastus, 2013. - 320 lk. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Õpik on mõeldud sotsiaal- ja […]