Võimsus ratsionaalse astendajaga
Khasyanova T.G.,
matemaatika õpetaja
Esitatud materjal on kasulik matemaatikaõpetajatele teema „Ratsionaalse astendajaga astendaja” uurimisel.
Esitatud materjali eesmärk: paljastada oma kogemused õppetunni läbiviimisel teemal "Ratsionaalse eksponendiga kraad" distsipliini "Matemaatika" tööprogrammis.
Tunni läbiviimise metoodika vastab selle tüübile - õppetund uute teadmiste õppimisel ja esialgsel kinnistamisel. Põhiteadmisi ja -oskusi uuendati varasemate kogemuste põhjal; uue teabe esmane meeldejätmine, koondamine ja rakendamine. Uue materjali konsolideerimine ja rakendamine toimus minu poolt testitud erineva keerukusega ülesannete lahendamise näol, andes positiivse tulemuse teema valdamisel.
Tunni alguses seadsin õpilastele järgmised eesmärgid: hariv, arendav, hariv. Tunnis kasutasin erinevaid tegevusviise: frontaalne, individuaalne, paaris, iseseisev, test. Ülesanded olid diferentseeritud ja võimaldasid igas tunni etapis kindlaks teha teadmiste omandamise taseme. Ülesannete maht ja keerukus vastavad õpilaste vanuselistele iseärasustele. Minu kogemuse põhjal võimaldab kodutöö sarnaselt klassiruumis lahendatavatele probleemidele omandatud teadmisi ja oskusi usaldusväärselt kinnistada. Tunni lõpus viidi läbi refleksioon ja hinnati üksikute õpilaste töid.
Eesmärgid said täidetud. Õpilased uurisid ratsionaalse astendajaga kraadi mõistet ja omadusi ning õppisid neid omadusi kasutama praktiliste ülesannete lahendamisel. Iseseisva töö eest tehakse hinded teatavaks järgmisel õppetunnil.
Usun, et metoodikat, mida ma matemaatika õpetamisel kasutan, saavad kasutada matemaatikaõpetajad.
Tunni teema: Võimsus ratsionaalse astendajaga
Tunni eesmärk:
Teadmiste ja oskuste kompleksi õpilaste meisterlikkuse taseme tuvastamine ja selle põhjal teatud lahenduste rakendamine õppeprotsessi täiustamiseks.
Tunni eesmärgid:
Hariduslik: kujundada õpilaste seas uusi teadmisi ratsionaalse näitajaga kraadide määramise põhimõistetest, reeglitest, seadustest, oskusest teadmisi iseseisvalt rakendada standardtingimustes, muudetud ja mittestandardsetes tingimustes;
arendamine: loogiliselt mõelda ja loovaid võimeid realiseerida;
tõsta: arendada huvi matemaatika vastu, täiendada oma sõnavara uute terminitega ja hankida lisateavet ümbritseva maailma kohta. Kasvatage kannatlikkust, visadust ja võimet raskustest üle saada.
Aja organiseerimine
Viiteteadmiste uuendamine
Kui korrutada astmeid samade alustega, liidetakse eksponendid, kuid alus jääb samaks:
Näiteks, 
2. Kraadide jagamisel samade alustega lahutatakse astmete eksponendid, kuid alus jääb samaks:
Näiteks, 
3. Kraadi tõstmisel astmeni astendajad korrutatakse, kuid alus jääb samaks:
Näiteks,
4. Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega:
Näiteks, 
5. Jagatise aste võrdub dividendi ja jagaja astmete jagatisega:
Näiteks, 
Harjutused lahendustega
Leidke väljendi tähendus: 
Lahendus:
Sel juhul ei saa naturaalse astendajaga astme omadusi otseselt rakendada, kuna kõigil astmetel on erinevad alused. Kirjutame mõned volitused teisel kujul:
(korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega);
(astmete korrutamisel samade alustega liidetakse astendajad, kuid alus jääb samaks; astme tõstmisel astmeni korrutatakse astendajad, kuid alus jääb samaks).
Siis saame:
Selles näites kasutati loomuliku astendajaga kraadi nelja esimest omadust.
Aritmeetiline ruutjuur
on mittenegatiivne arv, mille ruut on võrdnea,
. Kell 
- väljendus pole määratletud, sest ei ole reaalarvu, mille ruut oleks võrdne negatiivse arvugaa.
Matemaatiline diktaat(8-10 min.)
Võimalus
II. Võimalus
1.Leia avaldise väärtus
A) 
b) 
1.Leia avaldise väärtus
A) 
b) 
2.Arvuta
A) 
b) 
IN) 
2.Arvuta
A) 
b) 
V) 
Enesetest(revääritahvlil):
Vastuste maatriks:
№ valik/ülesanne
Probleem 1
Probleem 2
valik 1
a) 2
b) 2
a) 0,5
b) 
V) 
2. variant
a) 1.5
b)
A) 
b) 
kell 4
II Uute teadmiste kujundamine
Mõelgem, mis tähendus sellel väljendil on, kus 
- positiivne arv– murdarv ja m-täisarv, n-naturaalne (n›1)
Definitsioon: a›0 võimsus ratsionaalse astendajagar = , m- terve, n-looduslik ( n›1) numbrile helistatakse.
Niisiis: 
Näiteks: 
Märkused:
1. Iga positiivse a ja mis tahes ratsionaalse r-arvu jaoks 
positiivselt.
2. Millal arvu ratsionaalne võimsusapole kindlaks määratud.
Väljendid nagu 
pole mõtet.
3. Kui 
murdosa positiivne arv on 
.
Kui murdosaline negatiivne arv, siis 
-pole mõtet.
Näiteks: 
- pole mõtet.
Vaatleme ratsionaalse astendajaga astme omadusi.
Olgu a >0, b>0; r, s - mis tahes ratsionaalarvud. Siis on mis tahes ratsionaalse astendajaga kraadil järgmised omadused:
1.
2.
3.
4.
5.
III. Konsolideerimine. Uute oskuste ja võimete kujundamine.
Ülesandekaardid töötavad väikestes rühmades testi vormis.
Selles artiklis selgitame välja, mis see on kraad. Siin anname arvude astme definitsioonid, samas käsitleme üksikasjalikult kõiki võimalikke eksponente, alustades loomulikust astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju näiteid kraadide kohta, mis hõlmavad kõiki esilekerkivaid peensusi.
Leheküljel navigeerimine.
Naturaalastendajaga aste, arvu ruut, arvu kuup
Alustame . Tulevikku vaadates oletame, et arvu a astme definitsioon naturaalse astendajaga n on antud a jaoks, mida me nimetame kraadi alus, ja n, mida me nimetame eksponent. Samuti märgime, et naturaalse astendajaga aste määratakse korrutise kaudu, nii et alloleva materjali mõistmiseks peab teil olema arusaam arvude korrutamisest.
Definitsioon.
Arvu aste naturaalastendajaga n on avaldis kujul a n, mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a-ga, see tähendab .
Eelkõige on arvu a astmeks astendaja 1 arv a ise, see tähendab, et a 1 =a.
Tasub kohe mainida kraadide lugemise reegleid. Universaalne viis tähiste a n lugemiseks on: “a n astmeni”. Mõnel juhul on vastuvõetavad ka järgmised valikud: „a n-nda astmeni” ja „a n-nda astmeni”. Näiteks võtame astme 8 12, see on "kaheksa kaheteistkümne astmeni" või "kaheksa kuni kaheteistkümnendik aste" või "kaheksateistkümnes aste".
Arvu teisel astmel ja ka arvu kolmandal astmel on oma nimed. Arvu teist astet nimetatakse ruudus number Näiteks 7 2 loetakse "seitsme ruuduna" või "arvu seitsme ruuduna". Arvu kolmandat astet nimetatakse kuubikujulised numbrid, näiteks 5 3 võib lugeda kui "viie kuubikut" või öelda "numbri 5 kuup".
On aeg tuua naturaalastendajatega kraadide näited. Alustame astmest 5 7, siin on 5 astme alus ja 7 on astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on eksponent (4.32) 9 .
Pange tähele, et viimases näites on astme 4.32 alus kirjutatud sulgudesse: lahknevuste vältimiseks paneme sulgudesse kõik astme alused, mis erinevad naturaalarvudest. Näitena anname järgmised astmed naturaalastendajatega 
, nende alused ei ole naturaalarvud, seega kirjutatakse need sulgudesse. Noh, täieliku selguse huvides näitame siinkohal erinevust, mis sisalduvad vormide (−2) 3 ja −2 3 kirjetes. Avaldis (−2) 3 on astme −2 aste, mille naturaalne astendaja on 3 ja avaldis −2 3 (selle võib kirjutada kui −(2 3) ) vastab arvule, astme väärtusele 2 3 .
Pange tähele, et on olemas arvu a astme märge, mille astendaja n on kujul a^n. Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega naturaalarv, võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4^9 on teine tähis 4 9 astme kohta. Ja siin on veel mõned näited kraadide kirjutamisest sümboliga “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Edaspidi kasutame eeskätt vormi a n kraaditähistust.
Üks loomuliku astendajaga astmele tõstmise vastupidine probleem on astme aluse leidmine teadaoleva astme väärtuse ja teadaoleva astendaja põhjal. See ülesanne viib .
On teada, et ratsionaalarvude hulk koosneb täisarvudest ja murdudest ning iga murdosa saab esitada positiivse või negatiivse hariliku murdena. Eelmises lõigus defineerisime astme täisarvulise astendajaga, seetõttu peame ratsionaalse astendajaga astme definitsiooni täiendamiseks andma tähenduse arvu a astmele murdosalise astendajaga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.
Vaatleme vormi murdosa astendajaga kraadi. Et võimu-võimu omadus jääks kehtima, peab kehtima võrdsus 
. Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja seda, kuidas me määrasime , siis on loogiline sellega nõustuda eeldusel, et antud m, n ja a puhul on avaldis mõttekas.
Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad (seda tehti ratsionaalse astendajaga astme omaduste osas).
Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui antud m, n ja a avaldis on mõttekas, siis a astmet murdeksponentiga m/n nimetatakse a astme m n-ndaks juureks.
See väide viib meid murdosalise astendajaga astme määratluse lähedale. Jääb üle vaid kirjeldada, milles m, n ja a avaldis on mõttekas. Olenevalt m, n ja a seatud piirangutest on kaks peamist lähenemist.
Lihtsaim viis on kehtestada a-le piirang, võttes positiivse m puhul a≥0 ja negatiivse m puhul a>0 (kuna m≤0 korral ei ole m 0-astet määratletud). Siis saame järgmise murdosaastendajaga astme definitsiooni.
Definitsioon.
Positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n-ndaks juureks astmele m, see tähendab .
Nulli murdosa määratakse ka ainsa hoiatusega, et indikaator peab olema positiivne.
Definitsioon.
Nulli võimsus murdosalise positiivse eksponendiga m/n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, on defineeritud kui 
.
Kui astet ei määrata, see tähendab, et arvu nulli aste koos murdosalise negatiivse eksponendiga ei ole mõttekas.
Tuleb märkida, et selle murdeksponentiga astme määratluse puhul on üks hoiatus: mõne negatiivse a ning mõne m ja n puhul on avaldis mõttekas ning me jätsime need juhud kõrvale, lisades tingimuse a≥0. Näiteks on sissekanded mõttekad 
või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosalise astendajaga 
pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.
Teine lähenemine astme määramiseks murdosa astendajaga m/n on juure paaris- ja paaritu eksponentide eraldi käsitlemine. See lähenemine nõuab lisatingimust: arvu a astmeks, mille eksponendiks on , loetakse arvu a astmeks, mille eksponendiks on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitame allpool ). See tähendab, et kui m/n on taandamatu murd, siis mis tahes naturaalarvu k korral asendatakse aste esmalt arvuga .
Paaris n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas mis tahes mittenegatiivse a korral (negatiivse arvu paarisjuurel pole mõtet); negatiivse m korral peab arv a siiski nullist erinema (muidu toimub jagamine nulliga). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla mis tahes (paaritu astme juur on defineeritud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral peab arv a erinema nullist (et ei oleks jagamist null).
Ülaltoodud arutluskäik juhatab meid selle murdosaastendajaga kraadi määratluse juurde.
Definitsioon.
Olgu m/n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga taandatava murru puhul asendatakse aste väärtusega . Taandamatu murdeksponentiga arvu võimsus m/n on jaoks
Selgitame, miks taandatava murdeksponendiga aste asendatakse esmalt taandamatu astendajaga astmega. Kui me lihtsalt defineeriksime astme kui , ja ei teeks reservatsiooni murru m/n taandatamatuse suhtes, siis seisaksime silmitsi järgmiste olukordadega: kuna 6/10 = 3/5, siis peab võrdus kehtima. 
, Aga 
, A.
Videotund “Astendaja ratsionaalse astendajaga” sisaldab visuaalset õppematerjali selleteemalise tunni läbiviimiseks. Videotund sisaldab teavet ratsionaalse astendajaga kraadi mõiste, selliste kraadide omaduste kohta, aga ka näiteid, mis kirjeldavad õppematerjali kasutamist praktiliste probleemide lahendamisel. Selle videotunni eesmärk on õppematerjali selgelt ja arusaadavalt esitleda, hõlbustada selle arendamist ja päheõppimist õpilastel ning arendada õpitud mõistete abil probleemide lahendamise oskust.
Videotunni peamisteks eelisteks on võime visuaalselt teostada teisendusi ja arvutusi, animatsiooniefektide kasutamise võimalus õppimise efektiivsuse parandamiseks. Häälesaade aitab arendada õiget matemaatilist kõnet ja võimaldab ka asendada õpetaja selgitust, vabastades ta individuaalse töö tegemiseks.
Videotund algab teema tutvustamisega. Uue teema uurimise sidumisel varem uuritud materjaliga on soovitatav meeles pidada, et n √a on muidu tähistatud 1/n loomuliku n ja positiivse a puhul. See n-juure esitus kuvatakse ekraanil. Järgmisena teeme ettepaneku mõelda, mida tähendab avaldis a m/n, milles a on positiivne arv ja m/n on murd. Ratsionaalse astendajaga astme määratlus m/n = n √a m on antud, raamis esile tõstetud. Tuleb märkida, et n võib olla naturaalarv ja m võib olla täisarv.
Pärast astme määratlemist ratsionaalse astendajaga selgub selle tähendus näidete kaudu: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. See näitab ka näidet, kus kümnendarvuga esindatud aste teisendatakse murdarvuks, mis esitatakse juurena: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ja negatiivse võimsusega näide: 3 -1/8 = 8 √3 -1.
Eraldi on märgitud erijuhtumi eripära, kui kraadi alus on null. Märgitakse, et see aste on mõttekas ainult positiivse murdeksponenti korral. Sel juhul on selle väärtus null: 0 m/n =0.
Märgitakse ära veel üks ratsionaalse astendajaga astme tunnus - et murdosaastendajaga kraadi ei saa käsitleda murdosaastendajaga. Näited kraadi ebaõigest märkimisest on toodud: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.
Järgmisena käsitleme videotunnis astme omadusi ratsionaalse astendajaga. Tuleb märkida, et täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad ka ratsionaalse astendajaga astme puhul. Soovitatav on meenutada omaduste loetelu, mis kehtivad ka sel juhul:
- Kui korrutada astmed samade alustega, liidetakse nende eksponendid: a p a q =a p+q.
- Samade alustega kraadide jaotus taandatakse etteantud baasiga kraadiks ja eksponentide erinevuseks: a p:a q =a p-q.
- Kui tõsta aste teatud astmeni, siis saame tulemuseks antud aluse ja eksponentide korrutise astme: (a p) q =a pq.
Kõik need omadused kehtivad ratsionaalsete eksponentide p, q ja positiivse baasiga a>0 astmete puhul. Samuti jäävad tõeseks astmeteisendused sulgude avamisel:
- (ab) p =a p b p - ratsionaalse astendajaga mõne astmeni tõstmisel taandatakse kahe arvu korrutis arvude korrutiseks, millest kumbki tõstetakse antud astmeni.
- (a/b) p =a p /b p - murru tõstmine ratsionaalse astendajaga astmeni taandatakse murdarvuks, mille lugeja ja nimetaja on tõstetud antud astmeni.
Videoõpetuses käsitletakse näidete lahendamist, mis kasutavad astmete vaadeldud omadusi ratsionaalse astendajaga. Esimeses näites palutakse leida avaldise väärtus, mis sisaldab muutujaid x murdarvuna: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Vaatamata avaldise keerukusele saab jõudude omadusi kasutades lahendada üsna lihtsalt. Ülesande lahendamine algab avaldise lihtsustamisest, mis kasutab ratsionaalse astendajaga astme tõstmise reeglit astmeks, aga ka sama alusega astmete korrutamist. Pärast antud väärtuse x=8 asendamist lihtsustatud avaldisega x 1/3 +48 on lihtne saada väärtust - 50.
Teises näites peate vähendama murdosa, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad ratsionaalse astendajaga astmeid. Kasutades astme omadusi, eraldame erinevusest teguri x 1/3, mida seejärel vähendatakse lugejas ja nimetajas ning ruutude erinevuse valemit kasutades arvutatakse lugeja faktoriks, mis annab edasised identsete arvu vähenemised. tegurid lugejas ja nimetajas. Selliste teisenduste tulemuseks on lühike murd x 1/4 +3.
Selle asemel, et õpetaja selgitaks uut tunniteemat, saab kasutada videotundi “Astendaja ratsionaalse astendajaga”. See käsiraamat sisaldab ka piisavalt täielikku teavet, et õpilane saaks iseseisvalt õppida. Materjal võib olla kasulik ka kaugõppes.
Arvu a täisarvuliste eksponentide hulgast viitab üleminek ratsionaalsetele eksponentidele. Allpool defineerime ratsionaalse astendajaga astme ja teeme seda nii, et säiliksid kõik täisarvulise astendajaga astme omadused. See on vajalik, kuna täisarvud on osa ratsionaalarvudest.
On teada, et ratsionaalarvude hulk koosneb täisarvudest ja murdudest ning iga murdosa saab esitada positiivse või negatiivse hariliku murdena. Eelmises lõigus defineerisime astme täisarvulise astendajaga, seetõttu peame astme määratluse täiendamiseks ratsionaalse astendajaga andma arvu astmele tähenduse a murdosa indikaatoriga m/n, Kus m on täisarv ja n- loomulik. Teeme seda.
Vaatleme vormi murdosa astendajaga kraadi. Et võimu-võimu omadus jääks kehtima, peab kehtima võrdsus 
. Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja seda, kuidas me määrasime astme n-nda juure, siis on loogiline aktsepteerida, kui antud antud m, n Ja a väljend on mõttekas.
Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad (seda tehti ratsionaalse astendajaga astme omaduste osas).
Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui andmed on antud m, n Ja a avaldis on mõttekas, siis arvu võimsus a murdosa indikaatoriga m/n nimetatakse juureks n aste a mingil määral m.
See väide viib meid murdosalise astendajaga astme määratluse lähedale. Jääb üle vaid kirjeldada, mille juures m, n Ja a väljend on mõttekas. Olenevalt kehtestatud piirangutest m, n Ja a On kaks peamist lähenemisviisi.
1. Lihtsaim viis on kehtestada piirang a, olles vastu võtnud a≥0 positiivseks m Ja a>0 negatiivse jaoks m(mis ajast m≤0 kraadi 0 m pole määratud). Siis saame järgmise murdosaastendajaga astme definitsiooni.
Definitsioon.
Positiivse arvu võimsus a murdosa indikaatoriga m/n , Kus m- terve ja n– naturaalarv, mida nimetatakse juureks n- numbrist a mingil määral m, see on, .
Nulli murdosa määratakse ka ainsa hoiatusega, et indikaator peab olema positiivne.
Definitsioon.
Nulli võimsus murdosalise positiivse eksponendiga m/n
, Kus m on positiivne täisarv ja n– naturaalarv, defineeritud kui 
.
Kui astet ei määrata, see tähendab, et arvu nulli aste koos murdosalise negatiivse eksponendiga ei ole mõttekas.
Tuleb märkida, et selle murdeksponentiga kraadi määratlusega on üks hoiatus: mõne negatiivse puhul a ja mõned m Ja n väljend on mõistlik, kuid jätsime need juhtumid tingimuse kasutuselevõtuga kõrvale a≥0. Näiteks on sissekanded mõttekad 
või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosalise astendajaga 
pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.
2. Teine lähenemine astme määramiseks murdosaastendajaga m/n seisneb juure paaris ja paaritu astendajate eraldi arvestamises. See lähenemine nõuab lisatingimust: arvu võimsust a, mille eksponendiks on taandatav harilik murd, loetakse arvu astmeks a, mille indikaatoriks on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitatakse allpool). See tähendab, et kui m/n on taandumatu murd, siis mis tahes naturaalarvu puhul k aste on esialgu asendatud .
Ühtlasi n ja positiivne m väljend on mõistlik iga mittenegatiivse jaoks a(negatiivse arvu paarisjuurel pole tähendust), negatiivse jaoks m number a peab ikkagi nullist erinema (muidu toimub nulliga jagamine). Ja imelikuks n ja positiivne m number a võib olla mis tahes (iga reaalarvu jaoks on defineeritud paaritu juur) ja negatiivne m number a peab olema nullist erinev (et ei toimuks nulliga jagamist).
Ülaltoodud arutluskäik juhatab meid selle murdosaastendajaga kraadi määratluse juurde.
Definitsioon.
Lase m/n- taandamatu murd, m- terve ja n- naturaalarv. Iga taandatava murru puhul asendatakse aste väärtusega . Kraad a taandamatu murdeksponentiga m/n- see on mõeldud
o mis tahes reaalarv a, igati positiivne m ja veider loomulik n, Näiteks, 
;
o mis tahes nullist erinev reaalarv a, negatiivne täisarv m ja veider n, Näiteks, ;
o mis tahes mittenegatiivne arv a, igati positiivne m ja isegi n, Näiteks, 
;
o mis tahes positiivne a, negatiivne täisarv m ja isegi n, Näiteks, 
;
o muudel juhtudel murdosa indikaatoriga kraadi ei määrata, kuna näiteks kraadid ei ole määratletud 
.a me ei omista kirjele mingit tähendust, me defineerime arvu nulli astme positiivsete murdeksponentide jaoks m/n Kuidas , negatiivsete murdeksponentide korral ei määrata arvu nulli võimsust.
Selle punkti lõpetuseks juhime tähelepanu asjaolule, et murdosa astendajat saab kirjutada näiteks kümnendmurruna või segaarvuna, 
. Seda tüüpi avaldiste väärtuste arvutamiseks peate kirjutama astendaja tavalise murru kujul ja seejärel kasutama astendaja määratlust murdosa astendajaga. Ülaltoodud näidete jaoks on meil olemas 
Ja 
Esimene tase
Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)
Miks on kraade vaja? Kus te neid vajate? Miks peaksite nende uurimiseks aega võtma?
Sellest artiklist leiate kõike, mis puudutab kraadi, milleks neid vaja on ja kuidas oma teadmisi igapäevaelus kasutada.
Ja loomulikult viivad teadmised kraadidest lähemale ühtse riigieksami või ühtse riigieksami edukale sooritamisele ning unistuste ülikooli astumisele.
Lähme... (Lähme!)
Oluline märkus! Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).
ESIMESE TASE
Astendamine on matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.
Nüüd selgitan kõike inimkeeli kasutades väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, aga selgitavad olulisi asju.
Alustame lisamisega.
Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Igaühel on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? Täpselt nii – 16 pudelit.
Nüüd korrutamine.
Sama näite koolaga saab kirjutada erinevalt: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.
Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…
Siin on korrutustabel. Korda.
Ja veel üks ilusam:
Milliseid nutikaid loendamisnippe on laisad matemaatikud veel välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine astmeni.
Arvu tõstmine astmeni
Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on... Ja nad lahendavad sellised probleemid oma peas – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.
Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.
Muide, miks seda nimetatakse teiseks astmeks? ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.
Näide päriselust nr 1
Alustame ruudust või arvu teisest astmest.
Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on üks meeter korda üks meeter. Bassein on teie suvilas. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga... basseinil pole põhja! Basseini põhi tuleb katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhjapinda.
Saate lihtsalt näpuga näidates arvutada, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teil on plaate üks meeter korda üks meeter, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa selliseid plaate näinud oled? Plaat on suure tõenäosusega cm kaupa. Ja siis piinatakse teid "näpuga loendamisega". Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutage ja saate plaadid ().
Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna me korrutame sama arvu, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, siis on nende tõstmine astmeni palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu Ühtse riigieksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine aste on (). Või võime öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.
Näide päriselust nr 2
Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades arvu ruutu... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu arvutamiseks tuleb kaheksa korrutada kaheksaga või... kui märkad, et malelaud on küljega ruut, siis saad kaheksa ruutu. Sa saad rakke. () Nii et?
Näide päriselust nr 3
Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Mahtusi ja vedelikke, muide, mõõdetakse kuupmeetrites. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: põhja on meeter suur ja meeter sügav ning proovige kokku lugeda, mitu kuubikut mõõtudega meeter korda meeter mahub oma basseini.
Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm... Kui palju sa said? Pole kadunud? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke eeskuju matemaatikutelt. Nad on laisad ja märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega... Lihtsam, eks?
Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad ka seda lihtsustaksid. Me taandasime kõik ühele tegevusele. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi ära kasutada. Niisiis, see, mida sa kunagi oma sõrmega lugesid, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubikut on võrdne. See on kirjutatud nii: .
Alles jääb vaid mäleta kraaditabelit. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid jätkata näpuga loendamist.
Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid loobujad ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte teile probleemide tekitamiseks, on siin veel paar näidet elust.
Näide päriselust nr 4
Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga sinu miljon kahekordistub iga aasta alguses. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa praegu istud ja “näpuga loendad”, siis oled väga töökas inimene ja... loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Nii et esimesel aastal - kaks korrutati kahega... teisel aastal - mis juhtus, veel kahega, kolmandal aastal... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes suudab kõige kiiremini lugeda, saab need miljonid ... Tasub meeles pidada arvude jõude, kas te ei arva?
Näide päriselust nr 5
Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni eest kaks rohkem. Suurepärane, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta - korrutage teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest olete juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Seega on see neljanda astme jaoks võrdne miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.
Nüüd teate, et kui tõstate arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.
Terminid ja mõisted... et mitte segadusse sattuda
Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv...
Noh, samal ajal, mida selline kraadi alus? Veelgi lihtsam - see on number, mis asub allpool, aluses.
Siin on hea mõõdupuu joonis.
Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta... Astet alusega “ ” ja astendajaga “ ” loetakse “kraadini” ja kirjutatakse järgmiselt:
Naturaalastendajaga arvu võimsus
Tõenäoliselt juba arvasite: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis see on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need arvud, mida kasutatakse loendamisel objektide loetlemisel: üks, kaks, kolm... Objekte loendades ei ütle me: “miinus viis”, “miinus kuus”, “miinus seitse”. Samuti ei ütle me: "üks kolmandik" või "null koma viis". Need ei ole naturaalarvud. Mis need numbrid teie arvates on?
Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke arve (st miinusmärgiga võetud) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.
Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad naturaalarvud pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud... Huvitav, kas pole?
On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt öeldes on see lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.
Kokkuvõte:
Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).
- Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
- Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
- Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:
Definitsioon. Arvu suurendamine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga:
.
Kraadide omadused
Kust need omadused tulid? Ma näitan teile nüüd.
Vaatame: mis see on Ja ?
A-prioor:
Mitu kordajat on kokku?
See on väga lihtne: lisasime teguritele kordajad ja tulemuseks on kordajad.
Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste astendajaga, see tähendab: , mida oli vaja tõestada.
Näide: avaldise lihtsustamine.
Lahendus:
Näide: Lihtsustage väljendit.
Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused!
Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:
ainult jõudude korrutisele!
Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.
2. ongi kõik arvu aste
Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:
Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, st definitsiooni kohaselt on see arvu th:
Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:
Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?
Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.
Võimsus negatiivse alusega
Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.
Aga mis peaks olema aluseks?
Volitustel loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi.
Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?
Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.
Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui me korrutame sellega, siis see toimib.
Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Kas said hakkama?
Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega baas on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.
Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).
Näide 6) pole enam nii lihtne!
6 näidet harjutamiseks
Lahenduse analüüs 6 näidet
Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus! Saame:
Vaatame hoolega nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Tingimuste järjekord on vale. Kui need ümber pöörata, võiks reegel kehtida.
Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.
Maagiliselt muutsid terminid kohti. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame hõlpsasti muuta.
Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!
Läheme tagasi näite juurde:
Ja jälle valem:
Terve nimetame naturaalarvudeks, nende vastanditeks (see tähendab märgiga " ") ja arvuks.
positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.
Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.
Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega:
Nagu alati, küsigem endalt: miks see nii on?
Mõelgem mingil määral alusega. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:
Niisiis, me korrutasime arvu arvuga ja saime sama, mis see oli - . Millise arvuga tuleks korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.
Sama saame teha suvalise arvuga:
Kordame reeglit:
Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.
Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).
Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga - ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga nullastmega arv, peab see olema võrdne. Niisiis, kui palju sellest on tõsi? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd ei saa me mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta seda nullastmeni.
Liigume edasi. Täisarvud hõlmavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne võimsus, teeme nagu eelmisel korral: korrutage mõni normaalne arv sama arvuga negatiivse astmega:
Siit on lihtne väljendada, mida otsite:
Laiendame nüüd saadud reeglit suvalises ulatuses:
Niisiis, sõnastame reegli:
Negatiivse võimsusega arv on sama positiivse võimsusega arvu pöördväärtus. Aga samas Alus ei saa olla null:(sest te ei saa jagada).
Teeme kokkuvõtte:
I. Avaldis ei ole juhul määratletud. Kui siis.
II. Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega: .
III. Arv, mis ei ole võrdne nulliga negatiivse astme suhtes, on sama arvu pöördväärtus positiivse astme suhtes: .
Iseseisva lahenduse ülesanded:
Noh, nagu tavaliselt, näited sõltumatute lahenduste jaoks:
Probleemide analüüs iseseisvaks lahendamiseks:
Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga ühtsel riigieksamil tuleb kõigeks valmis olla! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendusi, kui te ei suutnud neid lahendada, ja õpite eksamil nendega hõlpsalt toime tulema!
Jätkame eksponendiks “sobivate” arvude vahemiku laiendamist.
Nüüd kaalume ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?
Vastus: kõik, mida saab esitada murdena, kus ja on täisarvud ja.
Et mõista, mis see on "murdjärguline aste", kaaluge murdosa:
Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:
Tuletame nüüd meelde reeglit "kraadist kraadini":
Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?
See sõnastus on astme juure määratlus.
Tuletan teile meelde: arvu () astme juur on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.
See tähendab, et th astme juur on astmeks tõstmise pöördtehing: .
Selgub, et. Ilmselgelt saab seda erijuhtumit laiendada: .
Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastust on lihtne saada võimsuse võimsuse reegli abil:
Aga kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.
Mitte ühtegi!
Meenutagem reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada isegi juuri!
See tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, st avaldisel pole mõtet.
Aga väljend?
Siin aga tekib probleem.
Arvu võib esitada muude, taandatavate murdude kujul, näiteks või.
Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri, aga need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.
Või teine näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kui aga indikaatorit erinevalt kirja panna, jääme jälle hätta: (ehk saime hoopis teistsuguse tulemuse!).
Selliste paradokside vältimiseks kaalume ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.
Nii et kui:
- - naturaalarv;
- - täisarv;
Näited:
Ratsionaalastendajad on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:
5 näidet harjutamiseks
5 näite analüüs koolituseks
Noh, nüüd tuleb kõige raskem osa. Nüüd mõtleme selle välja aste irratsionaalse astendajaga.
Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadi puhul, erandiga
Lõppude lõpuks on definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murruna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).
Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega.
Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;
...arv nulli astmeni- see on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole isegi veel ilmunud - seetõttu on tulemuseks ainult teatud "tühi arv" , nimelt number;
...negatiivse täisarvu aste- justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.
Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.
Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.
KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))
Näiteks:
Otsustage ise:
Lahenduste analüüs:
1. Alustame tavalisest reeglist astme astmeks tõstmiseks:
Nüüd vaadake indikaatorit. Kas ta ei tuleta sulle midagi meelde? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:
Sel juhul,
Selgub, et:
Vastus: .
2. Taandame eksponentide murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:
Vastus: 16
3. Ei midagi erilist, kasutame kraadide tavalisi omadusi:
EDASIJÕUDNUTE TASE
Kraadi määramine
Kraad on vormi: , kus:
- — kraadi alus;
- - eksponent.
Kraad loomuliku indikaatoriga (n = 1, 2, 3,...)
Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:
Kraad täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)
Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:
Ehitus null kraadini:
Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see igal astmel ja teiselt poolt mis tahes arv kuni astmeni see.
Kui eksponendiks on negatiivne täisarv number:
(sest te ei saa jagada).
Veelkord nullidest: avaldis ei ole käändes defineeritud. Kui siis.
Näited:
Võimsus ratsionaalse astendajaga
- - naturaalarv;
- - täisarv;
Näited:
Kraadide omadused
Probleemide lahendamise hõlbustamiseks proovime mõista: kust need omadused pärinevad? Tõestame neid.
Vaatame: mis on ja?
A-prioor:
Niisiis, selle väljendi paremal küljel saame järgmise toote:
Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:
Q.E.D.
Näide : avaldise lihtsustamine.
Lahendus : .
Näide : avaldise lihtsustamine.
Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused. Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:
Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste korrutis!
Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.
Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:
Rühmitame selle töö ümber järgmiselt:
Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, st definitsiooni kohaselt on see arvu th:
Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku: !
Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.
Võim negatiivse alusega.
Siiani oleme vaid arutanud, milline see peaks olema indeks kraadid. Aga mis peaks olema aluseks? Volitustel loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .
Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?
Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ?
Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.
Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame - .
Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutusega märk muutub. Võib sõnastada järgmised lihtsad reeglid:
- isegi aste, - arv positiivne.
- Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
- Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
- Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.
Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Kas said hakkama? Siin on vastused:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.
Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).
Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on nullist väiksem. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.
Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:
Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteisega, jagame paarideks ja saame:
Enne kui vaatame viimast reeglit, lahendame mõned näited.
Arvutage avaldised:
Lahendused :
Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus!
Saame:
Vaatame hoolega nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Tingimuste järjekord on vale. Kui need oleksid vastupidised, võiks kehtida reegel 3. Aga kuidas? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.
Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Nüüd selgub aga nii:
Maagiliselt muutsid terminid kohti. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame hõlpsasti muuta. Kuid on oluline meeles pidada: Kõik märgid muutuvad samal ajal! Te ei saa seda asendada, muutes ainult ühte puudust, mis meile ei meeldi!
Läheme tagasi näite juurde:
Ja jälle valem:
Nüüd viimane reegel:
Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame seda:
Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte on kokku? korda kordajatega – mida see teile meelde tuletab? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: Seal olid ainult kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:
Näide:
Kraad irratsionaalse astendajaga
Lisaks teabele keskmise taseme kraadide kohta analüüsime kraadi irratsionaalse astendajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalarvud).
Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega. Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; arv nullastmeni on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemus ainult kindel "tühi number", nimelt number; aste täisarvulise negatiivse eksponendiga - justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.
Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). See on pigem puhtmatemaatiline objekt, mille matemaatikud lõid, et laiendada astme mõistet kogu arvude ruumile.
Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.
Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)
Näiteks:
Otsustage ise:
| 1) | 2) | 3) |
Vastused:
- Meenutagem ruutude valemit. Vastus:.
- Murrud taandame samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
- Ei midagi erilist, kasutame kraadide tavalisi omadusi:
OSA JA PÕHIVALEMITE KOKKUVÕTE
Kraad nimetatakse vormi väljendiks: , kus:
Kraad täisarvu astendajaga
aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).
Võimsus ratsionaalse astendajaga
aste, mille eksponendiks on negatiivsed ja murdarvud.
Kraad irratsionaalse astendajaga
aste, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.
Kraadide omadused
Kraadide omadused.
- Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - arv positiivne.
- Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
- Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
- Null on võrdne mis tahes võimsusega.
- Mis tahes arv nullastmega on võrdne.
NÜÜD ON SUL SÕNA...
Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjutage allpool kommentaaridesse, kas teile meeldis või mitte.
Rääkige meile oma kogemustest kraadi atribuutide kasutamisel.
Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.
Kirjutage kommentaaridesse.
Ja edu teile eksamitel!