Teooria:
Ebavõrdsuse lahendamisel kasutatakse järgmisi reegleid:
1. Ühest osast võib üle kanda mis tahes ebavõrdsuse liikme
ebavõrdsus teiseks vastupidise märgiga, kuid ebavõrdsuse märk ei muutu.
2. Ebavõrdsuse mõlemad pooled saab korrutada või jagada ühega
ja ka positiivne arv muutmata ebavõrdsuse märki.
3. Ebavõrdsuse mõlemad pooled saab korrutada või jagada ühega
ja ka negatiivne arv, muutes ebavõrdsuse märgiks
vastupidine.
Lahendage ebavõrdsus – 8 x + 11<
−
3
x
−
4
Lahendus.
1. Liigutame peenist – 3x V vasak pool ebavõrdsused ja termin 11
- ebavõrdsuse paremale poolele, muutes samal ajal märke vastupidisteks – 3x ja kell 11
.
Siis saame
− 8 x + 3 x< − 4 − 11
– 5x< − 15
2. Jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled – 5x<
−
15
negatiivsele arvule −
5
, ja ebavõrdsuse märk <
, muutub järgmiseks >
, st. liigume edasi vastupidise tähendusega ebavõrdsuse juurde.
Saame:
– 5x< − 15 | : (− 5 )
x > – 15 : (– 5 )
x > 3
x > 3— antud ebavõrdsuse lahendus.
Pane tähele!
Lahenduse kirjutamiseks on kaks võimalust: x > 3 või numbrivahemikuna.
Märgime arvureale võrratuse lahendite hulk ja kirjutame vastuse numbrilise intervalli kujul.
x ∈ (3 ; + ∞ )
Vastus: x > 3 või x ∈ (3 ; + ∞ )
Algebralised võrratused.
Ruutvõrratused. Ratsionaalne ebavõrdsus kõrgemad kraadid.
Võrratuste lahendamise meetodid sõltuvad peamiselt sellest, millisesse klassi kuuluvad võrratuse moodustavad funktsioonid.
- I. Ruutvõrratused, see tähendab vormi ebavõrdsust
ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
Ebavõrdsuse lahendamiseks saate:
- Tegutsege ruudu kolmik, see tähendab, kirjutage ebavõrdsus vormi
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- Joonistage polünoomi juured arvujoonele. Juured murravad paljusid reaalarvud intervallidesse, millest igaühes on vastav ruutfunktsioon on pideva märgiga.
- Määrake igas intervallis a (x - x 1) (x - x 2) märk ja kirjutage vastus üles.
Kui ruutkolminoomil pole juuri, siis D jaoks<0 и a>0 ruutkolminom on positiivne mis tahes x-i korral.
- Lahendage ebavõrdsus. x 2 + x - 6 > 0.
Korrutage ruutkolminoomi (x + 3) (x - 2) > 0
Vastus: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
See ebavõrdsus kehtib iga x kohta, välja arvatud x = 6.
Vastus: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
Siin D< 0, a = 1 >0. Ruuttrinoom on positiivne kõigi x-ide korral.
Vastus: x Î Ø.
Lahenda ebavõrdsused:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Vastus:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Vastus:
- 2x² - 12x + 18 > 0. Vastus:
- Milliste a väärtuste puhul tekib ebavõrdsus
x² – ax > kehtib mis tahes x kohta? Vastus:
- II. kõrgema astme ratsionaalne ebavõrdsus, ehk vormi ebavõrdsused
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
Polünoom kõrgeim aste tuleks faktoriseerida, st ebavõrdsus tuleks kirjutada kujule
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
Märkige arvujoonele punktid, kus polünoom kaob.
Määrake polünoomi märgid igal intervallil.
1) Lahendage võrratus x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1) (x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Seega x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
Vastus: (0; 1) (2; 3).
2) Lahendage võrratus (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
Märgime arvuteljel need punktid, kus polünoom kaob. Need on x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.
Punktis x = - ½ märgimuutust ei toimu, kuna binoom (2x + 1) tõstetakse paarisastmeni, st avaldis (2x + 1) 4 ei muuda märki punkti x = läbimisel. - ½.
Vastus: (-∞; -2) (½; 1).
3) Lahendage võrratus: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
See ebavõrdsus on samaväärne järgmise hulgaga
(1) lahendus on x (-∞; -2) (3; +∞). (2) lahend on x = 0, x = -2, x = 3. Saadud lahendused kombineerides saame x О (-∞; -2] (0) (0)
Kus saab $b$ selles rollis olla? tavaline number, ja võib-olla midagi karmimat. Näited? Jah palun:
\[\begin(joona) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ nelik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\lõpp(joonda)\]
Ma arvan, et tähendus on selge: on eksponentsiaalne funktsioon $((a)^(x))$, seda võrreldakse millegagi ja seejärel palutakse leida $x$. Eriti kliinilistel juhtudel võivad nad muutuja $x$ asemel panna mingi funktsiooni $f\left(x \right)$ ja sellega ebavõrdsust veidi keerulisemaks muuta.
Muidugi võib mõnel juhul ebavõrdsus tunduda tõsisem. Näiteks:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Või isegi see:
Üldiselt võib selliste ebavõrdsuste keerukus olla väga erinev, kuid lõpuks taanduvad need siiski lihtsale konstruktsioonile $((a)^(x)) \gt b$. Ja me saame sellise konstruktsiooni kuidagi välja mõelda (eriti kliinilistel juhtudel, kui midagi pähe ei tule, aitavad meid logaritmid). Seetõttu õpetame nüüd teile, kuidas selliseid lihtsaid konstruktsioone lahendada.
Lihtsate eksponentsiaalvõrratuste lahendamine
Vaatleme midagi väga lihtsat. Näiteks see:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Ilmselgelt saab parempoolse arvu ümber kirjutada kahe astmena: $4=((2)^(2))$. Seega saab algse ebavõrdsuse väga mugaval kujul ümber kirjutada:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Ja nüüd sügelevad käed võimsuste kahekesi “kriipsutada”, et saada vastus $x \gt 2$. Kuid enne millegi maha kriipsutamist, meenutagem kahe võimeid:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Nagu näeme, kui suurem arv on eksponendis, seda suurem on väljundarv. "Aitäh, Cap!" - hüüatab üks õpilastest. Kas see on kuidagi erinev? Kahjuks juhtub. Näiteks:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ parem))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Ka siin on kõik loogiline: mida rohkem kraadi, seda rohkem korda korrutatakse arv 0,5 iseendaga (st jagatakse pooleks). Seega tulemuseks olev numbrijada väheneb ning erinevus esimese ja teise jada vahel on ainult baasis:
- Kui astme $a \gt 1$ baas, siis eksponent $n$ kasvades suureneb ka arv $((a)^(n))$;
- Ja vastupidi, kui $0 \lt a \lt 1$, siis eksponendi $n$ kasvades arv $((a)^(n))$ väheneb.
Neid fakte kokku võttes saame kõige olulisema väite, millel kogu otsus põhineb eksponentsiaalne ebavõrdsus:
Kui $a \gt 1$, siis on võrratus $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ võrdne võrratusega $x \gt n$. Kui $0 \lt a \lt 1$, siis on võrratus $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ võrdne võrratusega $x \lt n$.
Teisisõnu, kui alus rohkem kui üks, võite selle lihtsalt eemaldada – ebavõrdsuse märk ei muutu. Ja kui alus on väiksem kui üks, saab selle ka eemaldada, kuid samal ajal peate muutma ebavõrdsuse märki.
Pange tähele, et me ei ole kaalunud valikuid $a=1$ ja $a\le 0$. Sest sellistel juhtudel tekib ebakindlus. Ütleme, kuidas lahendada ebavõrdsus kujul $((1)^(x)) \gt 3$? Üks igale võimule annab jälle ühe – me ei saa kunagi kolme või enamat. Need. lahendusi pole.
KOOS negatiivsed põhjused ikka huvitavam. Näiteks kaaluge seda ebavõrdsust:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
Esmapilgul on kõik lihtne:
eks? Kuid mitte! Piisab, kui asendada $x$ asemel paar ühtlast ja paar paaritud arvud veendumaks, et lahendus on vale. Vaata:
\[\begin(joona) & x=4\Paremnool ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Paremnool ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Paremnool ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Paremnool ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(joonda)\]
Nagu näete, on märgid vahelduvad. Kuid on rohkemgi murdarvud ja muud tina. Kuidas saaksite näiteks arvutada $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (miinus kaks astmega seitse)? Pole võimalik!
Seetõttu eeldame täpsuse huvides, et kõigis eksponentsiaalsetes võrratustes (ja muide ka võrrandites) $1\ne a \gt 0$. Ja siis lahendatakse kõik väga lihtsalt:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^ (n))\Paremnool \vasak[ \begin(joona) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(joonda) \paremale.\]
Üldiselt pidage veel kord meeles peamist reeglit: kui eksponentsiaalvõrrandi alus on suurem kui üks, saate selle lihtsalt eemaldada; ja kui alus on väiksem kui üks, saab selle ka eemaldada, kuid ebavõrdsuse märk muutub.
Näited lahendustest
Niisiis, vaatame mõnda lihtsat eksponentsiaalset ebavõrdsust:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\lõpp(joonda)\]
Esmane ülesanne on kõigil juhtudel sama: taandada võrratused lihtsaimale kujule $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Täpselt seda teeme nüüd iga võrratusega ja samal ajal kordame astmete ja eksponentsiaalfunktsioonide omadusi. Nii et lähme!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Mida sa siin teha saad? Noh, vasakul on see meil juba olemas eksponentsiaalne avaldis- pole vaja midagi muuta. Kuid paremal on mingi jama: murd ja isegi juur nimetajas!
Pidagem siiski meeles murdude ja astmetega töötamise reegleid:
\[\begin(joona) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\lõpp(joonda)\]
Mida see tähendab? Esiteks saame murdosast kergesti lahti, muutes selle võimsuseks koos negatiivne näitaja. Ja teiseks, kuna nimetajal on juur, siis oleks tore muuta see astmeks – seekord murdeksponentiga.
Rakendame neid toiminguid järjestikku ebavõrdsuse paremale poolele ja vaatame, mis juhtub:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \parem))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Ärge unustage, et kraadi tõstmisel astmeni liidetakse nende kraadide eksponendid. Ja üldiselt, kui töötate eksponentsiaalvõrrandid ja ebavõrdsused on hädavajalik teada vähemalt lihtsamaid reegleid võimudega töötamiseks:
\[\begin(joona) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\lõpp(joonda)\]
tegelikult viimane reegel me lihtsalt rakendasime seda. Seetõttu kirjutatakse meie algne ebavõrdsus ümber järgmiselt:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Paremnool ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Nüüd vabaneme kahest baasis. Kuna 2 > 1, jääb ebavõrdsuse märk samaks:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Paremnool x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(joonda)\]
See on lahendus! Peamine raskus ei seisne sugugi eksponentsiaalses funktsioonis, vaid algse avaldise pädevas teisendamises: peate selle hoolikalt ja kiiresti viima lihtsaimale kujule.
Mõelge teisele ebavõrdsusele:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Nii nii. Siin ootavad meid kümnendmurrud. Nagu ma olen korduvalt öelnud, tuleks kõigis võimsustega väljendites kümnendkohtadest lahti saada – see on sageli ainus viis kiire ja lihtsa lahenduse leidmiseks. Siin saame lahti:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Paremnool ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]
Siin on meil jällegi kõige lihtsam ebavõrdsus ja seda isegi baasiga 1/10, s.o. vähem kui üks. Noh, eemaldame alused, muutes samaaegselt märgi "vähem" asemel "rohkem" ja saame:
\[\begin(joonda) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\lõpp(joonda)\]
Saime lõpliku vastuse: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pange tähele: vastus on täpselt hulk ja mitte mingil juhul konstruktsioon kujul $x \lt -1$. Sest formaalselt pole selline konstruktsioon üldse hulk, vaid ebavõrdsus muutuja $x$ suhtes. Jah, see on väga lihtne, kuid see pole vastus!
Oluline märkus. Seda ebavõrdsust saab lahendada muul viisil – taandades mõlemad pooled võimule, mille baas on suurem kui üks. Vaata:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Paremnool ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Paremnool ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Pärast sellist teisendust saame jälle eksponentsiaalse võrratuse, kuid baasiga 10 > 1. See tähendab, et kümne võib lihtsalt maha kriipsutada – ebavõrdsuse märk ei muutu. Saame:
\[\begin(joonda) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\lõpp(joonda)\]
Nagu näha, oli vastus täpselt sama. Samal ajal päästsime end märgi muutmise vajadusest ja üldiselt meeles pidada kõiki reegleid :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Kuid ärge laske sellel end hirmutada. Ükskõik, mis näitajates on, jääb ebavõrdsuse lahendamise tehnoloogia ise samaks. Seetõttu paneme kõigepealt tähele, et 16 = 2 4. Kirjutame algse ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse seda asjaolu:
\[\begin(joona) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(joonda)\]
Hurraa! Saime tavalise ruutvälist ebavõrdsust! Märk pole kuskil muutunud, kuna alus on kaks - number suurem kui üks.
Funktsiooni nullid arvureal
Korraldame funktsiooni $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ märgid - ilmselgelt on selle graafik parabool harudega ülespoole, seega on plussid ” külgedel. Meid huvitab piirkond, kus funktsioon on väiksem kui null, st. $x\in \left(2;5 \right)$ on vastus algsele probleemile.
Lõpuks kaaluge teist ebavõrdsust:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Jällegi näeme eksponentsiaalfunktsiooni, mille põhjas on kümnendmurd. Teisendame selle murru tavaliseks murruks:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Paremnool \\ & \Paremnool ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\vasak(((5)^(-1)) \parem))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(joonda)\]
IN sel juhul Kasutasime varasemat märkust – taandasime aluse arvule 5 > 1, et oma edasist lahendust lihtsustada. Teeme sama parema küljega:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ parem))^(2))=((5)^(-1\cpunkt 2))=((5)^(-2))\]
Kirjutame esialgse ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse mõlemat teisendust:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Paremnool ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \parem)))\ge ((5)^(-2))\]
Mõlema külje alused on samad ja ületavad ühe. Paremal ja vasakul pole muid termineid, seega tõmbame viiekohad lihtsalt läbi ja saame väga lihtsa väljendi:
\[\begin(joona) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(joonda)\]
See on koht, kus peate olema ettevaatlikum. Paljudele õpilastele meeldib lihtsalt välja tõmmata Ruutjuur võrratuse mõlemast küljest ja kirjutage midagi sellist nagu $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Mitte mingil juhul ei tohi seda teha, kuna täpse ruudu juur on moodul ja mitte mingil juhul algne muutuja:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]
Moodulitega töötamine pole aga just kõige meeldivam kogemus, eks? Nii et me ei tööta. Selle asemel liigutame lihtsalt kõik terminid vasakule ja lahendame tavalise ebavõrdsuse intervallmeetodi abil:
$\begin(joonda) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(joonda)$
Märgime saadud punktid uuesti numbrireale ja vaatame märke:
Pange tähele: täpid on varjutatud Kuna lahendasime mitteranget ebavõrdsust, on kõik graafiku punktid varjutatud. Seetõttu on vastus järgmine: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ei ole intervall, vaid segment.
Üldiselt tahaksin märkida, et eksponentsiaalses ebavõrdsuses pole midagi keerulist. Kõigi täna tehtud teisenduste tähendus taandub lihtsale algoritmile:
- Leidke alus, milleni me kõik kraadid vähendame;
- Tehke teisendused ettevaatlikult, et saada ebavõrdsus kujul $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Muidugi võib muutujate $x$ ja $n$ asemel olla palju rohkem keerukad funktsioonid, kuid tähendus ei muutu;
- Kriipsuta läbi kraadide alused. Sel juhul võib ebavõrdsuse märk muutuda, kui alus $a \lt 1$.
Tegelikult on see universaalne algoritm kõigi selliste ebavõrdsuste lahendamiseks. Ja kõik muu, mida nad teile sel teemal räägivad, on vaid konkreetsed tehnikad ja nipid, mis ümberkujundamist lihtsustavad ja kiirendavad. Räägime nüüd ühest neist tehnikatest :)
Ratsionaliseerimise meetod
Vaatleme teist ebavõrdsuse kogumit:
\[\begin(joona) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \parem))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(joonda)\]
Mis neis siis nii erilist on? Nad on kerged. Kuigi, lõpetage! Kas arv π on tõstetud mõne astmeni? Milline mõttetus?
Kuidas tõsta arvu $2\sqrt(3)-3$ astmeni? Või $3-2\sqrt(2)$? Probleemide kirjutajad jõid enne tööle istumist ilmselgelt liiga palju Hawthorni :)
Tegelikult pole nendes ülesannetes midagi hirmutavat. Tuletan meelde: eksponentsiaalfunktsioon on avaldis kujul $((a)^(x))$, kus baas $a$ on mis tahes positiivne arv peale ühe. Arv π on positiivne – me juba teame seda. Arvud $2\sqrt(3)-3$ ja $3-2\sqrt(2)$ on samuti positiivsed – seda on lihtne näha, kui võrrelda neid nulliga.
Selgub, et kõik need "hirmutavad" ebavõrdsused on lahendatud erinevalt ülalpool käsitletud lihtsatest? Ja kas need lahendatakse samamoodi? Jah, see on täiesti õige. Nende näitel tahaksin aga kaaluda ühte tehnikat, mis säästab oluliselt aega iseseisev töö ja eksamid. Räägime ratsionaliseerimise meetodist. Niisiis, tähelepanu:
Igasugune eksponentsiaalne ebavõrdsus kujul $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ on samaväärne ebavõrdsusega $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ paremal) \gt 0 $.
See on kogu meetod :) Kas sa arvasid, et tuleb mingi muu mäng? Mitte midagi sellist! Kuid see lihtne fakt, mis on kirjutatud sõna otseses mõttes ühele reale, lihtsustab meie tööd oluliselt. Vaata:
\[\begin(maatriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(maatriks)\]
Seega pole enam eksponentsiaalseid funktsioone! Ja te ei pea meeles pidama, kas märk muutub või mitte. Aga see tekib uus probleem: mida teha kuradi kordajaga \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Me ei tea, milles asi täpne väärtus numbrid π. Siiski näib kapten vihjavat ilmselgele:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\umbes 3.14... \gt 3\Paremnool \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Üldiselt π täpne väärtus meid tegelikult ei puuduta – meie jaoks on oluline vaid mõista, et igal juhul $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. see on positiivne konstant ja me saame sellega jagada ebavõrdsuse mõlemad pooled:
\[\begin(joona) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]
Nagu näha, pidime teatud hetkel jagama miinus ühega – ja ebavõrdsuse märk muutus. Lõpus laiendasin ruuttrinoomi Vieta teoreemi abil - on ilmne, et juured on võrdsed $((x)_(1))=5$ ja $((x)_(2))=-1$ . Siis on kõik otsustatud klassikaline meetod intervallid:
Ebavõrdsuse lahendamine intervallmeetodil Kõik punktid eemaldatakse, kuna algne ebavõrdsus on range. Meid huvitab negatiivsete väärtustega piirkond, seega on vastus $x\in \left(-1;5 \right)$. See on lahendus :)
Liigume edasi järgmise ülesande juurde:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Kõik siin on üldiselt lihtne, sest paremal on üksus. Ja me mäletame, et üks on mis tahes arv, mis on tõstetud nulli astmeni. Isegi kui see number on irratsionaalne väljendus, seisab aluse juures vasakul:
\[\begin(joona) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \paremal))^(0)); \\\lõpp(joonda)\]
Noh, ratsionaliseerime:
\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\ ]
Jääb vaid märke selgeks teha. Tegur $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ei sisalda muutujat $x$ – see on lihtsalt konstant ja me peame välja selgitama selle märgi. Selleks pange tähele järgmist.
\[\begin(maatriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(maatriks)\]
Selgub, et teine tegur pole lihtsalt konstant, vaid negatiivne konstant! Ja sellega jagades muutub algse ebavõrdsuse märk vastupidiseks:
\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(joonda)\]
Nüüd muutub kõik täiesti ilmseks. Juured ruuttrinoom, seistes paremal: $((x)_(1))=0$ ja $((x)_(2))=2$. Märgime need arvureale ja vaatame funktsiooni $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ märke:
Juhtum, kui meid huvitavad külgintervallid Oleme huvitatud plussmärgiga tähistatud intervallidest. Jääb üle vaid vastus kirja panna:
Liigume edasi järgmise näite juurde:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ paremal))^(16-x))\]
Noh, siin on kõik täiesti ilmne: alused sisaldavad sama arvu võimsusi. Seetõttu kirjutan kõik lühidalt:
\[\begin(maatriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(maatriks)\]
\[\begin(joona) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vasak(16-x \parem))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]
Nagu näete, pidime teisendusprotsessi käigus korrutama negatiivse arvuga, mistõttu ebavõrdsuse märk muutus. Päris lõpus rakendasin taas Vieta teoreemi ruuttrinoomi arvutamiseks. Tulemuseks on vastus järgmine: $x\in \left(-8;4 \right)$ – seda saab igaüks kontrollida, joonistades numbrijoone, märkides punktid ja lugedes märke. Vahepeal liigume oma "komplektist" edasi viimase ebavõrdsuse juurde:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Nagu näete, on baasis jälle irratsionaalne arv, ja paremal on jälle üks. Seetõttu kirjutame oma eksponentsiaalse ebavõrdsuse ümber järgmiselt:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ paremal))^(0))\]
Rakendame ratsionaliseerimist:
\[\begin(joona) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(joonda)\ ]
Siiski on üsna ilmne, et $1-\sqrt(2) \lt 0$, kuna $\sqrt(2)\ca 1,4... \gt 1$. Seetõttu on teine tegur jällegi negatiivne konstant, millega saab jagada ebavõrdsuse mõlemad pooled:
\[\begin(maatriks) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(maatriks)\]
\[\begin(joonda) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]
Liikuge teise baasi
Omaette probleem eksponentsiaalvõrratuste lahendamisel on “õige” aluse otsimine. Kahjuks ei ole ülesande juures esmapilgul alati selge, mida võtta aluseks ja mida selle aluse astme järgi teha.
Kuid ärge muretsege: siin pole maagiat ega "salajast" tehnoloogiat. Matemaatikas saab praktikas hõlpsasti arendada mis tahes oskusi, mida ei saa algoritmiseerida. Kuid selleks peate probleemid lahendama erinevad tasemed raskusi. Näiteks nii:
\[\begin(joona) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(joonda)\]
Raske? Hirmutav? See on lihtsam kui kanaga asfaldile löömine! Proovime. Esimene ebavõrdsus:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Noh, ma arvan, et siin on kõik selge:
Kirjutame algse ebavõrdsuse ümber, taandades kõik kahele alusele:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Paremnool \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Jah, jah, sa kuulsid õigesti: ma lihtsalt rakendasin ülalkirjeldatud ratsionaliseerimismeetodit. Nüüd peame hoolikalt töötama: see õnnestus murdosaline ratsionaalne ebavõrdsus(see on midagi, mille nimetajas on muutuja), nii et enne kui võrdsustate midagi nulliga, peate kõik viima ühine nimetaja ja vabaneda pidevast faktorist.
\[\begin(joona) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(joonda)\]
Nüüd kasutame standardmeetod intervallidega. Lugeja nullid: $x=\pm 4$. Nimetaja läheb nulli ainult siis, kui $x=0$. Kokku on kolm punkti, mis tuleb arvjoonele märkida (kõik punktid on nööpnõelaga välja märgitud, kuna ebavõrdsuse märk on range). Saame:
Rohkem raske juhtum: kolm juurt Nagu võite arvata, tähistab varjutus neid intervalle, mille järel vasakpoolne avaldis võtab negatiivsed väärtused. Seetõttu sisaldab lõplik vastus korraga kahte intervalli:
Intervallide lõppu vastuses ei arvestata, kuna algne ebavõrdsus oli range. Seda vastust ei ole vaja täiendavalt kontrollida. Sellega seoses on eksponentsiaalsed ebavõrdsused palju lihtsamad kui logaritmilised: ODZ-d pole, piiranguid pole jne.
Liigume edasi järgmise ülesande juurde:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Ka siin pole probleeme, kuna me juba teame, et $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, seega saab kogu ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joona) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Paremnool ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(joonda)\]
Pange tähele: kolmandas reas otsustasin mitte raisata aega pisiasjadele ja jagada kõik kohe (−2-ga). Minul läks esimesse sulgu (nüüd on plussid igal pool) ja kaks vähendati konstantse koefitsiendiga. See on täpselt see, mida peaksite tegema tõeliste kuvade ettevalmistamisel sõltumatutel ja testid— iga tegevust ja transformatsiooni pole vaja kirjeldada.
Järgmisena tuleb mängu tuttav intervallide meetod. Lugeja nullid: aga neid pole. Sest diskriminant on negatiivne. Nimetaja lähtestatakse omakorda nullile ainult siis, kui $x=0$ – nagu sissegi viimane kord. Noh, on selge, et $x=0$ paremal pool võtab murdosa positiivsed väärtused, ja vasakul on negatiivsed. Kuna meid huvitavad negatiivsed väärtused, on lõplik vastus: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
Mida peaksite tegema eksponentsiaalvõrratuste kümnendmurdudega? See on õige: vabanege neist, muutes need tavalisteks. Siin tõlgime:
\[\begin(joona) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Paremnool ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ vasak(\frac(4)(25) \parem))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Paremnool ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\paremal))^(x)). \\\lõpp(joonda)\]
Mida me siis eksponentsiaalfunktsioonide alustes saime? Ja me saime kaks vastastikku pöördarvu:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Paremnool ((\left(\frac(25)(4) \) parem))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \parem))^(x))=((\ vasak(\frac(4)(25) \parem))^(-x))\]
Seega saab esialgse ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joona) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \paremal))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\lõpp(joonda)\]
Muidugi, kui korrutada võimudega samal alusel nende näitajad liidetakse, mis juhtus teisel real. Lisaks esindasime parempoolset üksust, ka võimuna baasis 4/25. Jääb üle vaid ratsionaliseerida:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Paremnool \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Pange tähele, et $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, st. teine tegur on negatiivne konstant ja sellega jagades muutub ebavõrdsuse märk:
\[\begin(joona) & x+1-0\le 0\Paremnool x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(joonda)\]
Lõpuks viimane ebavõrdsus praegusest "komplektist":
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Põhimõtteliselt on ka siinse lahenduse idee selge: kõik eksponentsiaalsed funktsioonid, mis sisaldub ebavõrdsuses, tuleb taandada alusele “3”. Kuid selleks peate juurte ja jõududega veidi nuputama:
\[\begin(joona) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\lõpp(joonda)\]
Neid fakte arvesse võttes saab esialgse ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joona) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\parem))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\lõpp(joonda)\]
Pöörake tähelepanu arvutuste 2. ja 3. reale: enne kui midagi ebavõrdsusega ette võtate, viige see kindlasti vormile, millest me õppetunni algusest peale rääkisime: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Niikaua kui teil on vasakul või paremal mõned vasakukäelised tegurid, lisakonstandid jne, põhjuseid ei saa ratsionaliseerida ega läbi kriipsutada! Arusaamatuse tõttu on lugematu arv ülesandeid valesti täidetud lihtne fakt. Ma ise jälgin seda probleemi oma õpilastega pidevalt, kui me alles hakkame eksponentsiaalset ja logaritmilist ebavõrdsust analüüsima.
Kuid pöördume tagasi oma ülesande juurde. Proovime seekord ilma ratsionaliseerimiseta hakkama. Pidagem meeles: astme alus on suurem kui üks, seega võib kolmikud lihtsalt maha kriipsutada – ebavõrdsuse märk ei muutu. Saame:
\[\begin(joonda) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(joonda)\]
See on kõik. Lõplik vastus: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Stabiilse avaldise eraldamine ja muutuja asendamine
Kokkuvõtteks teen ettepaneku lahendada veel neli eksponentsiaalset ebavõrdsust, mis on ettevalmistamata õpilaste jaoks juba üsna keerulised. Nendega toimetulemiseks peate meeles pidama kraadidega töötamise reegleid. Eelkõige väljaandmine ühised tegurid sulgudest välja.
Kuid kõige tähtsam on õppida aru saama, mida täpselt saab sulgudest välja võtta. Sellist avaldist nimetatakse stabiilseks – seda saab tähistada uue muutujaga ja seeläbi vabaneda eksponentsiaalfunktsioonist. Niisiis, vaatame ülesandeid:
\[\begin(joonda) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(joonda)\]
Alustame päris esimesest reast. Kirjutame selle ebavõrdsuse eraldi:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Pange tähele, et $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, seega parem käsi poole saab ümber kirjutada:
Pange tähele, et võrratuses pole muid eksponentsiaalseid funktsioone peale $(5)^(x+1))$. Ja üldiselt ei esine muutujat $x$ kusagil mujal, seega võtame kasutusele uue muutuja: $((5)^(x+1))=t$. Saame järgmise konstruktsiooni:
\[\begin(joona) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(joonda)\]
Naaseme algse muutuja juurde ($t=((5)^(x+1))$) ja samal ajal jätame meelde, et 1=5 0 . Meil on:
\[\begin(joonda) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\lõpp(joonda)\]
See on lahendus! Vastus: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Liigume edasi teise ebavõrdsuse juurde:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Siin on kõik endine. Pange tähele, et $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Seejärel saab vasaku poole ümber kirjutada:
\[\begin(joona) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \parem. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Paremnool ((3)^(x))\ge 9\Paremnool ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Paremnool x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\lõpp(joonda)\]
Umbes nii peate koostama lahenduse reaalseteks katseteks ja iseseisvaks tööks.
Noh, proovime midagi keerulisemat. Näiteks siin on ebavõrdsus:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Milles siin probleem on? Esiteks on vasakpoolsete eksponentsiaalfunktsioonide alused erinevad: 5 ja 25. Samas 25 = 5 2, seega saab esimese liikme teisendada:
\[\begin(joona) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(joonda )\]
Nagu näete, tõime alguses kõik samale alusele ja siis märkasime, et esimest liiget saab hõlpsasti teiseks taandada - peate lihtsalt eksponendit laiendama. Nüüd võid julgelt kasutusele võtta uue muutuja: $((5)^(2x+2))=t$ ja kogu ebavõrdsus kirjutatakse ümber järgmiselt:
\[\begin(joonda) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(joonda)\]
Ja jällegi pole raskusi! Lõplik vastus: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Liigume tänases õppetunnis edasi lõpliku ebavõrdsuse juurde:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Esimene asi, millele peaksite tähelepanu pöörama, on loomulikult kümnend esimese astme põhjas. Sellest on vaja lahti saada ja samal ajal viia kõik eksponentsiaalsed funktsioonid samale alusele - arv “2”:
\[\begin(joona) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Paremnool ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Paremnool ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \parem))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(joonda)\]
Suurepärane, oleme astunud esimese sammu – kõik on viinud samale alusele. Nüüd peate valima stabiilne väljendus. Pange tähele, et $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kui võtta kasutusele uus muutuja $((2)^(4x+6))=t$, siis saab algse võrratuse ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joonda) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\lõpp(joonda)\]
Loomulikult võib tekkida küsimus: kuidas me avastasime, et 256 = 2 8? Kahjuks tuleb siin lihtsalt teada kahe astmeid (ja samal ajal kolme ja viie astmeid). Noh, või jagage 256 2-ga (saate jagada, kuna 256 on paarisarv), kuni saame tulemuse. See näeb välja umbes selline:
\[\begin(joona) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(joonda )\]
Sama lugu on kolmega (numbrid 9, 27, 81 ja 243 on selle kraadid) ja seitsmega (ka numbrid 49 ja 343 oleks tore meeles pidada). Noh, viiel on ka "ilusad" kraadid, mida peate teadma:
\[\begin(joonda) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\lõpp(joonda)\]
Loomulikult saab soovi korral kõik need numbrid oma mõtetes taastada, lihtsalt korrutades need järjestikku üksteisega. Kui aga lahendada tuleb mitu eksponentsiaalset võrratust ja iga järgmine on eelmisest keerulisem, siis viimane asi, millele tahad mõelda, on mõne arvu astmed. Ja selles mõttes on need probleemid keerulisemad kui "klassikalised" ebavõrdsused, mida lahendatakse intervallmeetodiga.