Murdarvulise negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni graafik. Võimsusfunktsioonid, nende omadused ja graafikud

Astmefunktsiooni y = x p määratluspiirkonnas kehtivad järgmised valemid:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Positiivsete funktsioonide omadused ja nende graafikud

Positiivne funktsioon, mille eksponent on võrdne nulliga, p = 0

Kui astmefunktsiooni astendaja y = x p on võrdne nulliga, p = 0, siis on astmefunktsioon defineeritud kõigi x ≠ 0 jaoks ja see on konstant, mis on võrdne ühega:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Naturaalse paaritu astendajaga võimsusfunktsioon, p = n = 1, 3, 5, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n, mille naturaalne paaritu astendaja n = 1, 3, 5, ... . Selle näitaja võib kirjutada ka kujul: n = 2k + 1, kus k = 0, 1, 2, 3, ... on mittenegatiivne täisarv. Allpool on selliste funktsioonide omadused ja graafikud.

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu tähendust: -∞ < y < ∞
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: monotoonselt suureneb
Äärmused: Ei
Kumer:
at -∞< x < 0 выпукла вверх
kell 0< x < ∞ выпукла вниз
Pöördepunktid: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
kui n = 1, on funktsioon selle pöördväärtus: x = y
kui n ≠ 1, on pöördfunktsioon n astme juur:

Naturaalse paarisastendajaga võimsusfunktsioon, p = n = 2, 4, 6, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n naturaalse paarisastendajaga n = 2, 4, 6, ... . Selle indikaatori võib kirjutada ka kujul: n = 2k, kus k = 1, 2, 3, ... - loomulik. Selliste funktsioonide omadused ja graafikud on toodud allpool.

Astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = 2, 4, 6, ... erinevate väärtuste loomuliku paariseksponentiga.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu tähendust: 0 ≤ a< ∞
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x ≤ 0 korral väheneb monotoonselt
x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
Äärmused: miinimum, x = 0, y = 0
Kumer: allapoole kumer
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
kui n = 2, ruutjuur:
n ≠ 2 korral n astme juur:

Negatiivse täisarvu eksponendiga võimsusfunktsioon, p = n = -1, -2, -3, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n, mille täisarvuline negatiivne astendaja n = -1, -2, -3, ... . Kui paneme n = -k, kus k = 1, 2, 3, ... on naturaalarv, siis saab seda esitada järgmiselt:

Negatiivse täisarvu astendajaga astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = -1, -2, -3, ... erinevate väärtuste jaoks.

Paaritu astendaja, n = -1, -3, -5, ...

Allpool on funktsiooni y = x n omadused paaritu negatiivse eksponendiga n = -1, -3, -5, ....

Domeen: x ≠ 0
Mitu tähendust: y ≠ 0
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: monotoonselt väheneb
Äärmused: Ei
Kumer:
x juures< 0 : выпукла вверх
x > 0 puhul: kumer allapoole
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: Ei
Märk:
x juures< 0, y < 0
kui x > 0, y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
kui n = -1,
kell n< -2 ,

Paarisaste, n = -2, -4, -6, ...

Allpool on toodud funktsiooni y = x n omadused paaris negatiivse eksponendiga n = -2, -4, -6, ....

Domeen: x ≠ 0
Mitu tähendust: y > 0
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 : монотонно возрастает
x > 0 puhul: väheneb monotoonselt
Äärmused: Ei
Kumer: allapoole kumer
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: Ei
Märk: y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
juures n = -2,
kell n< -2 ,

Ratsionaalse (murdarvulise) astendajaga võimsusfunktsioon

Vaatleme ratsionaalse (murdarvulise) astendajaga astmefunktsiooni y = x p, kus n on täisarv, m > 1 on naturaalarv. Veelgi enam, n, m ei oma ühiseid jagajaid.

Murdnäitaja nimetaja on paaritu

Olgu murdeksponenti nimetaja paaritu: m = 3, 5, 7, ... . Sel juhul on võimsusfunktsioon x p määratletud nii argumendi x positiivsete kui ka negatiivsete väärtuste jaoks. Vaatleme selliste astmefunktsioonide omadusi, kui astendaja p on teatud piirides.

p-väärtus on negatiivne, p< 0

Olgu ratsionaalne astendaja (paaritu nimetajaga m = 3, 5, 7, ...) väiksem kui null: .

Ratsionaalse negatiivse eksponendiga võimsusfunktsioonide graafikud eksponendi erinevate väärtuste jaoks, kus m = 3, 5, 7, ... - paaritu.

Paaritu lugeja, n = -1, -3, -5, ...

Esitame astmefunktsiooni y = x p omadused ratsionaalse negatiivse eksponendiga, kus n = -1, -3, -5, ... on paaritu negatiivne täisarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu loomulik täisarv.

Domeen: x ≠ 0
Mitu tähendust: y ≠ 0
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: monotoonselt väheneb
Äärmused: Ei
Kumer:
x juures< 0 : выпукла вверх
x > 0 puhul: kumer allapoole
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: Ei
Märk:
x juures< 0, y < 0
kui x > 0, y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:

Paarislugeja, n = -2, -4, -6, ...

Ratsionaalse negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni y = x p omadused, kus n = -2, -4, -6, ... on paaris negatiivne täisarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu loomulik täisarv .

Domeen: x ≠ 0
Mitu tähendust: y > 0
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 : монотонно возрастает
x > 0 puhul: väheneb monotoonselt
Äärmused: Ei
Kumer: allapoole kumer
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: Ei
Märk: y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:

P-väärtus on positiivne, väiksem kui üks, 0< p < 1

Ratsionaalastendajaga astmefunktsiooni graafik (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Paaritu lugeja, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeen: -∞ < x < +∞
Mitu tähendust: -∞ < y < +∞
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: monotoonselt suureneb
Äärmused: Ei
Kumer:
x juures< 0 : выпукла вниз
x > 0 puhul: kumer ülespoole
Pöördepunktid: x = 0, y = 0
Ristumispunktid koordinaattelgedega: x = 0, y = 0
Märk:
x juures< 0, y < 0
kui x > 0, y > 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
x = -1, y(-1) = -1
kui x = 0, y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

Paarislugeja, n = 2, 4, 6, ...

Esitatakse astmefunktsiooni y = x p omadused ratsionaalse astendajaga 0 piires< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeen: -∞ < x < +∞
Mitu tähendust: 0 ≤ a< +∞
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 : монотонно убывает
x > 0 puhul: suureneb monotoonselt
Äärmused: minimaalne, kui x = 0, y = 0
Kumer:ülespoole kumer x ≠ 0 korral
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: x = 0, y = 0
Märk: x ≠ 0 korral y > 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
x = -1, y(-1) = 1
kui x = 0, y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

P-indeks on suurem kui üks, p > 1

Ratsionaalse astendajaga (p > 1) astmefunktsiooni graafik astendaja erinevate väärtuste jaoks, kus m = 3, 5, 7, ... - paaritu.

Paaritu lugeja, n = 5, 7, 9, ...

Ühest suurema ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni y = x p omadused: . Kus n = 5, 7, 9, ... - paaritu loomulik, m = 3, 5, 7 ... - paaritu loomulik.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu tähendust: -∞ < y < ∞
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: monotoonselt suureneb
Äärmused: Ei
Kumer:
at -∞< x < 0 выпукла вверх
kell 0< x < ∞ выпукла вниз
Pöördepunktid: x = 0, y = 0
Ristumispunktid koordinaattelgedega: x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
x = -1, y(-1) = -1
kui x = 0, y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

Paarislugeja, n = 4, 6, 8, ...

Ühest suurema ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni y = x p omadused: . Kus n = 4, 6, 8, ... - paaris loomulik, m = 3, 5, 7 ... - paaritu loomulik.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu tähendust: 0 ≤ a< ∞
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 монотонно убывает
x > 0 korral suureneb monotoonselt
Äärmused: minimaalne, kui x = 0, y = 0
Kumer: allapoole kumer
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
x = -1, y(-1) = 1
kui x = 0, y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

Murdnäitaja nimetaja on paaris

Olgu murdeksponenti nimetaja paaris: m = 2, 4, 6, ... . Sel juhul ei ole võimsusfunktsioon x p argumendi negatiivsete väärtuste jaoks määratletud. Selle omadused langevad kokku irratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni omadustega (vt järgmist jaotist).

Irratsionaalse eksponendiga võimsusfunktsioon

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p irratsionaalse astendajaga p. Selliste funktsioonide omadused erinevad ülalpool käsitletutest selle poolest, et neid ei määratleta argumendi x negatiivsete väärtuste jaoks. Argumendi positiivsete väärtuste puhul sõltuvad omadused ainult eksponendi p väärtusest ja ei sõltu sellest, kas p on täisarv, ratsionaalne või irratsionaalne.

y = x p eksponendi p erinevate väärtuste jaoks.

Negatiivse eksponendiga võimsusfunktsioon p< 0

Domeen: x > 0
Mitu tähendust: y > 0
Monotoonne: monotoonselt väheneb
Kumer: allapoole kumer
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: Ei
Piirangud: ;
Privaatne tähendus: Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1

Positiivse eksponendiga võimsusfunktsioon p > 0

Näitaja alla ühe 0< p < 1

Domeen: x ≥ 0
Mitu tähendust: y ≥ 0
Monotoonne: monotoonselt suureneb
Kumer: kumer ülespoole
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: x = 0, y = 0
Piirangud:
Privaatsed väärtused: Kui x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1

Näitaja on suurem kui üks p > 1

Domeen: x ≥ 0
Mitu tähendust: y ≥ 0
Monotoonne: monotoonselt suureneb
Kumer: allapoole kumer
Pöördepunktid: Ei
Ristumispunktid koordinaattelgedega: x = 0, y = 0
Piirangud:
Privaatsed väärtused: Kui x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.

Vaata ka:

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Tunni teema: Võimsusfunktsioon ja selle graafik.

Nii nagu algebraistid kirjutavad AA, AAA, ... asemel A 2, A 3, ..., nii kirjutan mina -1, a -2, a -3, ... Newton I asemel.

y = x x y y = x 2 x y y = x 3 x y x y Otsene parabool Kuubikujuline parabool Hüperbool Oleme tuttavad funktsioonidega: Kõik need funktsioonid on võimsusfunktsiooni erijuhud

kus p on antud reaalarv Definitsioon: astmefunktsioon on funktsioon kujul y = x p. Astumusfunktsiooni omadused ja graafik sõltuvad reaalastendajaga astme omadustest ja eelkõige väärtustest x ja p, mille võimsus x p on mõttekas.

Funktsioon y=x 2 n on paaris, sest (– x) 2 n = x 2 n Funktsioon väheneb intervalliga Funktsioon suureneb intervalliga Võimsusfunktsioon: Eksponent p = 2n – paaris naturaalarv y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8 , ... 1 0 x y y = x 2

y x - 1 0 1 2 y = x 2 y = x 6 y = x 4 Astumusfunktsioon: Eksponent p = 2n – paaris naturaalarv y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8, . ..

Funktsioon y=x 2 n -1 on paaritu, sest (– x) 2 n -1 = – x 2 n -1 Funktsioon suureneb intervallil Võimsusfunktsioon: Eksponent p = 2n-1 – paaritu naturaalarv y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9, … 1 0

Võimufunktsioon: y x - 1 0 1 2 y = x 3 y = x 7 y = x 5 Eksponent p = 2n-1 – paaritu naturaalarv y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9,...

Funktsioon y=x- 2 n on paaris, sest (– x) -2 n = x -2 n Funktsioon suureneb intervalliga Funktsioon väheneb intervalliga Võimsusfunktsioon: Eksponent p = -2n – kus n on naturaalarv y = x -2, y = x -4 , y = x -6 , y = x -8 , … 0 1

1 0 1 2 y = x -4 y = x -2 y = x -6 Astumusfunktsioon: Eksponent p = -2n – kus n on naturaalarv y = x -2, y = x -4, y = x - 6, y = x -8, ... y x

Funktsioon kahaneb intervallil Funktsioon y=x -(2 n -1) on paaritu, sest (– x) –(2 n -1) = – x –(2 n -1) Funktsioon kahaneb intervallil Võimsusfunktsioon: Eksponent p = -(2n-1) – kus n on naturaalarv y = x - 3, y = x -5, y = x -7, y = x -9, ... 1 0

y = x -1 y = x -3 y = x -5 Astumusfunktsioon: Eksponent p = -(2n-1) – kus n on naturaalarv y = x -3, y = x -5, y = x - 7, y = x -9, … y x - 1 0 1 2

Positiivne funktsioon: Eksponent p – positiivne tegelik mittetäisarv y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… 0 1 x y Funktsioon suureneb intervalli jooksul

y = x 0,7 Positiivne funktsioon: Eksponent p – positiivne tegelik mittetäisarv y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 0,5 y = x 0,84

Võimsusfunktsioon: Eksponent p – positiivne reaalne mittetäisarv y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 1, 5 y = x 3,1 y = x 2,5

Positiivne funktsioon: Eksponent p – negatiivne tegelik mittetäisarv y= x -1.3, y= x -0.7, y= x -2.2, y = x -1/3,… 0 1 x y Funktsioon väheneb vahepeal

y = x -0,3 y = x -2,3 y = x -3,8 Positiivne funktsioon: Eksponent p – negatiivne tegelik mittetäisarv y= x -1,3, y= x -0,7, y= x -2,2, y = x -1 /3,… y x - 1 0 1 2 y = x -1,3

Teemal: metoodilised arendused, ettekanded ja märkmed

Integratsiooni kasutamine õppeprotsessis analüüsi- ja loominguliste võimete arendamise viisina...

Annab eksponentsiaalfunktsiooni viiteandmeid – põhiomadused, graafikud ja valemid. Käsitletakse järgmisi teemasid: definitsioonipiirkond, väärtuste hulk, monotoonsus, pöördfunktsioon, tuletis, integraal, astmeridade laiendamine ja esitamine kompleksarvudega.

Sisu

Eksponentfunktsiooni omadused

Eksponentfunktsioonil y = a x on reaalarvude hulgal järgmised omadused:
(1.1) määratletud ja pidev, kõigile ;
(1.2) jaoks ≠ 1 sellel on palju tähendusi;
(1.3) rangelt suureneb , rangelt väheneb juures ,
on konstantne juures ;
(1.4) kell ;
kell ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Muud kasulikud valemid.
.
Valem erineva eksponendibaasiga eksponentsiaalfunktsiooniks teisendamiseks:

Kui b = e, saame eksponentsiaalfunktsiooni avaldise eksponentsiaali kaudu:

Privaatsed väärtused

, , , , .

y = a x aluse a erinevate väärtuste jaoks.

Joonisel on eksponentsiaalfunktsiooni graafikud
y (x) = a x
nelja väärtuse jaoks kraadialused: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ja a = 1/8 . On näha, et > jaoks 1 eksponentsiaalfunktsioon suureneb monotoonselt. Mida suurem on astme a alus, seda tugevam on kasv. Kell 0 < a < 1 eksponentsiaalfunktsioon väheneb monotoonselt. Mida väiksem on eksponent a, seda tugevam on vähenemine.

Tõusev, laskuv

Eksponentfunktsioon on rangelt monotoonne ja seetõttu pole sellel äärmusi. Selle peamised omadused on toodud tabelis.

	y = a x , a > 1	y = kirves, 0 < a < 1
Domeen	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Väärtuste vahemik	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotoonne	monotoonselt suureneb	monotoonselt väheneb
Nullid, y = 0	Ei	Ei
Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Pöördfunktsioon

Alusega a eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus on aluse a logaritm.

Kui siis
.
Kui siis
.

Eksponentfunktsiooni diferentseerimine

Eksponentfunktsiooni eristamiseks tuleb selle alus taandada arvuni e, rakendada tuletise tabelit ja kompleksfunktsiooni eristamise reeglit.

Selleks tuleb kasutada logaritmide omadust
ja tuletiste tabelist saadud valem:
.

Olgu antud eksponentsiaalne funktsioon:
.
Toome selle baasi e:

Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit. Selleks sisestage muutuja

Siis

Tuletiste tabelist saame (asenda muutuja x z-ga):
.
Kuna on konstant, on z tuletis x suhtes võrdne
.
Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile:
.

Eksponentfunktsiooni tuletis

.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Näide eksponentsiaalfunktsiooni eristamisest

Leia funktsiooni tuletis
y = 35x

Lahendus

Avaldame eksponentsiaalfunktsiooni baasi arvu e kaudu.
3 = e ln 3
Siis
.
Sisestage muutuja
.
Siis

Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
.
Kuna 5ln 3 on konstant, siis z tuletis x suhtes on võrdne:
.
Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile on meil:
.

Vastus

Integraalne

Kompleksarve kasutavad avaldised

Mõelge kompleksarvu funktsioonile z:
f (z) = a z
kus z = x + iy; i 2 = - 1 .
Avaldame komplekskonstanti a mooduli r ja argumendi φ kaudu:
a = r e i φ
Siis

.
Argument φ ei ole üheselt määratletud. Üldiselt
φ = φ 0 + 2 πn,
kus n on täisarv. Seetõttu funktsioon f (z) pole ka selge. Sageli peetakse silmas selle peamist tähtsust
.

Kas olete funktsioonidega tuttav y=x, y=x2, y=x3, y=1/x jne. Kõik need funktsioonid on võimsusfunktsiooni, st funktsiooni erijuhud y=xp, kus p on antud reaalarv.
Astmefunktsiooni omadused ja graafik sõltuvad oluliselt reaalse astendajaga astme omadustest ja eelkõige väärtustest, mille puhul x Ja lk kraadil on mõtet x lk. Jätkame erinevate juhtumite sarnase kaalumisega, sõltuvalt sellest
eksponent lk.

Indeks p=2n-paaris naturaalarv.

y=x2n, Kus n- naturaalarv, millel on järgmine väärtus

omadused:

määratluspiirkond - kõik reaalarvud, st hulk R;
väärtuste komplekt - mittenegatiivsed arvud, st y on suurem kui 0 või sellega võrdne;
funktsiooni y=x2n isegi, sest x 2n=(- x) 2n
funktsioon väheneb intervalliga x<0 ja intervalli suurendamine x>0.

Funktsiooni graafik y=x2n on sama kujuga nagu näiteks funktsiooni graafik y=x 4.

2. Näitaja p=2n-1- paaritu naturaalarv
Sel juhul toitefunktsioon y=x2n-1, kus on naturaalarv, on järgmised omadused:

määratluspiirkond - hulk R;
väärtuste komplekt - komplekt R;
funktsiooni y=x2n-1 veider, sest (- x) 2n-1=x2n-1;
funktsioon kasvab kogu reaalteljel.

Funktsiooni graafik y=x 2n-1 on sama kujuga kui näiteks funktsiooni graafik y=x 3 .

3. Näidik p=-2n, Kus n- naturaalarv.

Sel juhul toitefunktsioon y=x-2n = 1/x 2n sellel on järgmised omadused:

definitsiooni domeen - hulk R, välja arvatud x=0;
väärtuste komplekt - positiivsed arvud y>0;
funktsioon y =1/x2n isegi, sest 1/(-x)2n=1/x 2n;
funktsioon kasvab intervallil x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funktsiooni y graafik =1/x2n on sama kujuga kui näiteks funktsiooni y graafik = 1/x 2.