Jätkame logaritmide uurimist. Selles artiklis räägime sellest logaritmide arvutamine, seda protsessi nimetatakse logaritm. Kõigepealt mõistame logaritmide arvutamist definitsiooni järgi. Järgmisena vaatame, kuidas leitakse logaritmide väärtused nende omaduste abil. Pärast seda keskendume logaritmide arvutamisele teiste logaritmide algselt määratud väärtuste kaudu. Lõpuks õpime kasutama logaritmitabeleid. Kogu teooria on varustatud näidetega koos üksikasjalike lahendustega.
Leheküljel navigeerimine.
Logaritmide arvutamine definitsiooni järgi
Lihtsamal juhul on võimalik teostada üsna kiiresti ja lihtsalt logaritmi leidmine definitsiooni järgi. Vaatame lähemalt, kuidas see protsess toimub.
Selle olemus on esitada arvu b kujul a c, millest logaritmi definitsiooni järgi on arv c logaritmi väärtus. See tähendab, et definitsiooni järgi vastab logaritmi leidmisele järgmine võrduste ahel: log a b=log a a c =c.
Seega taandub logaritmi arvutamine definitsiooni järgi sellise arvu c leidmisele, et a c = b ja arv c ise on logaritmi soovitud väärtus.
Võttes arvesse eelmistes lõikudes toodud teavet, kui logaritmimärgi all olev arv on antud logaritmi aluse teatud astmega, saate kohe näidata, millega logaritm võrdub - see on võrdne eksponendiga. Näitame näidetele lahendusi.
Näide.
Leidke log 2 2 −3 ja arvutage ka arvu e naturaallogaritm 5,3.
Lahendus.
Logaritmi definitsioon võimaldab kohe öelda, et log 2 2 −3 =−3. Tõepoolest, logaritmi märgi all olev arv võrdub baasiga 2 astmega −3.
Samamoodi leiame teise logaritmi: lne 5.3 =5.3.
Vastus:
log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3.
Kui logaritmi märgi all olev arv b ei ole määratud logaritmi aluse astmena, siis peate hoolikalt uurima, kas on võimalik arvu b esitus esitada kujul a c . Sageli on see esitus üsna ilmne, eriti kui logaritmimärgi all olev arv on võrdne baasiga astmel 1, 2, või 3, ...
Näide.
Arvutage logaritmid log 5 25 ja .
Lahendus.
On lihtne näha, et 25=5 2, see võimaldab arvutada esimese logaritmi: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Liigume edasi teise logaritmi arvutamise juurde. Arvu võib esitada astmena 7: 
(vaata vajadusel). Seega 
.
Kirjutame kolmanda logaritmi järgmisel kujul ümber. Nüüd näete seda 
, millest järeldame, et 
. Seega logaritmi definitsiooni järgi 
.
Lühidalt võiks lahenduse kirjutada järgmiselt: .
Vastus:
log 5 25=2, 
Ja .
Kui logaritmimärgi all on piisavalt suur naturaalarv, ei tee paha seda algteguritesse arvestada. Sageli aitab sellist arvu esitada logaritmi aluse mõne astmena ja seetõttu arvutada see logaritm definitsiooni järgi.
Näide.
Leidke logaritmi väärtus.
Lahendus.
Mõned logaritmide omadused võimaldavad kohe määrata logaritmide väärtuse. Nende omaduste hulka kuuluvad ühe logaritmi omadus ja baasiga võrdse arvu logaritmi omadus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1. See tähendab, et kui logaritmi märgi all on arv 1 või arv a, mis on võrdne logaritmi alusega, siis nendel juhtudel on logaritmid võrdsed vastavalt 0 ja 1-ga.
Näide.
Millega võrdub logaritm ja log10?
Lahendus.
Kuna , siis logaritmi definitsioonist järeldub 
.
Teises näites langeb logaritmimärgi all olev arv 10 kokku selle alusega, seega kümnendlogaritm kümnend on võrdne ühega, st lg10=lg10 1 =1.
Vastus:
JA lg10=1 .
Pange tähele, et logaritmide arvutamine definitsiooni järgi (mida arutasime eelmises lõigus) eeldab võrdsuse log a a p =p kasutamist, mis on üks logaritmide omadusi.
Praktikas, kui logaritmi märgi all olev arv ja logaritmi alus on hõlpsasti esitatavad teatud arvu astmena, on väga mugav kasutada valemit 
, mis vastab logaritmide ühele omadusele. Vaatame selle valemi kasutamist illustreeriva logaritmi leidmise näidet.
Näide.
Arvutage logaritm.
Lahendus.
Vastus:
.
Arvutustes kasutatakse ka ülalmainimata logaritmide omadusi, kuid sellest räägime järgmistes lõikudes.
Logaritmide leidmine teiste teadaolevate logaritmide kaudu
Selle lõigu teave jätkab logaritmide omaduste kasutamise teemat nende arvutamisel. Siin on aga põhiline erinevus selles, et logaritmide omadusi kasutatakse algse logaritmi väljendamiseks teise logaritmi kaudu, mille väärtus on teada. Toome selgituseks näite. Oletame, et teame, et log 2 3≈1.584963, siis leiame näiteks log 2 6, tehes logaritmi atribuute kasutades väikese teisenduse: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Ülaltoodud näites piisas, kui kasutasime korrutise logaritmi omadust. Palju sagedamini on aga vaja kasutada laiemat logaritmide omaduste arsenali, et arvutada algne logaritm läbi etteantud.
Näide.
Arvutage logaritm 27-st aluseni 60, kui teate, et log 60 2=a ja log 60 5=b.
Lahendus.
Seega peame leidma logi 60 27 . On lihtne näha, et 27 = 3 3 ja algse logaritmi saab astme logaritmi omaduse tõttu ümber kirjutada kujule 3·log 60 3 .
Nüüd vaatame, kuidas väljendada log 60 3 tuntud logaritmide kaudu. Alusega võrdse arvu logaritmi omadus võimaldab kirjutada võrduslogi 60 60=1. Teisest küljest log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Seega 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Seega log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.
Lõpuks arvutame algse logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Vastus:
log 60 27=3·(1–2·a-b)=3–6·a-3·b.
Eraldi tasub mainida valemi tähendust üleminekuks vormi uuele logaritmi alusele 
. See võimaldab liikuda mis tahes alusega logaritmidelt kindla baasiga logaritmidele, mille väärtused on teada või neid on võimalik leida. Tavaliselt liiguvad nad algsest logaritmist üleminekuvalemi abil logaritmidesse ühes alustest 2, e või 10, kuna nende aluste jaoks on olemas logaritmitabelid, mis võimaldavad nende väärtusi teatud määral arvutada. täpsust. Järgmises lõigus näitame, kuidas seda tehakse.
Logaritmitabelid ja nende kasutamine
Ligikaudseks arvutamiseks võib kasutada logaritmi väärtusi logaritmi tabelid. Kõige sagedamini kasutatav 2 aluse logaritmi tabel, naturaallogaritmi tabel ja kümnendlogaritmi tabel. Kümnendarvusüsteemis töötades on mugav kasutada kümne baasil põhinevat logaritmide tabelit. Tema abiga õpime leidma logaritmide väärtusi.
Esitatud tabel võimaldab leida kümnendkoha täpsusega arvude kümnendlogaritmide väärtused vahemikus 1000 kuni 9999 (kolme kümnendkohaga). Analüüsime logaritmi väärtuse leidmise põhimõtet kümnendlogaritmide tabeli abil konkreetse näite abil - nii on see selgem. Leiame log1.256.
Kümnendlogaritmide tabeli vasakpoolsest veerust leiame arvu 1,256 kaks esimest numbrit, st leiame 1,2 (selguse huvides on see arv sinisega ümbritsetud). Arvu kolmas number 1.256 (number 5) asub topeltreast vasakul esimesel või viimasel real (see number on punasega ümbritsetud). Algarvu 1.256 neljas number (number 6) asub topeltreast paremal esimesel või viimasel real (sellele numbrile on ümbritsetud roheline joon). Nüüd leiame numbrid logaritmitabeli lahtritest märgitud rea ja märgitud veergude ristumiskohalt (need numbrid on esile tõstetud oranžiga). Märgitud arvude summa annab kümnendlogaritmi soovitud väärtuse neljanda kümnendkoha täpsusega, st log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Kas ülaltoodud tabeli abil on võimalik leida nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mille pärast koma on rohkem kui kolm kohta, samuti nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mis ületavad vahemikku 1 kuni 9,999? Jah, sa saad. Näitame näitega, kuidas seda tehakse.
Arvutame lg102,76332. Kõigepealt peate üles kirjutama number standardkujul: 102,76332=1,0276332·10 2. Pärast seda tuleks mantiss ümardada kolmanda kümnendkohani 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, samas kui algne kümnendlogaritm on ligikaudu võrdne saadud arvu logaritmiga, st võtame log102.76332≈lg1.028·10 2. Nüüd rakendame logaritmi omadusi: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lõpuks leiame kümnendlogaritmide tabelist logaritmi lg1.028 väärtuse lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Selle tulemusena näeb kogu logaritmi arvutamise protsess välja järgmine: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Kokkuvõtteks väärib märkimist, et kümnendlogaritmide tabeli abil saate arvutada mis tahes logaritmi ligikaudse väärtuse. Selleks piisab üleminekuvalemi kasutamisest, et minna kümnendlogaritmidele, leida nende väärtused tabelist ja teha ülejäänud arvutused.
Näiteks arvutame log 2 3 . Vastavalt valemile üleminekuks uuele logaritmi alusele on meil . Kümnendlogaritmide tabelist leiame log3≈0,4771 ja log2≈0,3010. Seega 
.
Bibliograafia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).
Täna räägime sellest logaritmilised valemid ja anname soovitusliku lahendusnäited.
Nad ise eeldavad lahendusmustreid vastavalt logaritmide põhiomadustele. Enne lahendamiseks logaritmivalemite rakendamist tuletame teile meelde kõiki omadusi:
Nüüd näitame nende valemite (omaduste) põhjal näiteid logaritmide lahendamisest.
Valemite alusel logaritmide lahendamise näited.
Logaritm aluse a positiivne arv b (tähistatakse log a b-ga) on eksponent, milleni a tuleb b saamiseks tõsta, kusjuures b > 0, a > 0 ja 1.
Definitsiooni järgi log a b = x, mis on ekvivalentne a x = b-ga, seega log a a x = x.
Logaritmid, näited:
log 2 8 = 3, sest 2 3 = 8
log 7 49 = 2, sest 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, sest 5-1 = 1/5
Kümnendlogaritm- see on tavaline logaritm, mille baas on 10. Seda tähistatakse kui lg.
log 10 100 = 2, sest 10 2 = 100
Naturaalne logaritm- ka tavaline logaritm, logaritm, kuid alusega e (e = 2,71828... - irratsionaalne arv). Tähistatakse kui ln.
Soovitav on pähe õppida logaritmide valemid või omadused, sest neid läheb meil hiljem vaja logaritmide, logaritmivõrrandite ja võrratuste lahendamisel. Töötame iga valemi uuesti näidetega läbi.
- Põhiline logaritmiline identiteet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Korrutise logaritm võrdub logaritmide summaga
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Jagatise logaritm on võrdne logaritmide erinevusega
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritmilise arvu astme ja logaritmi aluse omadused
Logaritmilise arvu eksponent log a b m = mlog a b
Logaritmi aluse eksponent log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
kui m = n, saame log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Üleminek uuele vundamendile
log a b = log c b/log c a,kui c = b, saame log b b = 1
siis log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Nagu näete, pole logaritmide valemid nii keerulised, kui tundub. Nüüd, olles vaadanud logaritmide lahendamise näiteid, saame liikuda edasi logaritmiliste võrrandite juurde. Logaritmvõrrandite lahendamise näiteid vaatame üksikasjalikumalt artiklis: "". Ära igatse!
Kui teil on lahenduse kohta endiselt küsimusi, kirjutage need artikli kommentaaridesse.
Märkus: otsustasime võimalusena omandada teistsuguse hariduse ja õppida välismaal.
Üks primitiivse taseme algebra elemente on logaritm. Nimi pärineb kreeka keelest sõnast "arv" või "jõud" ja tähendab võimsust, milleni tuleb lõpliku arvu leidmiseks tõsta baasis olev arv.
Logaritmide tüübid
- log a b – arvu b logaritm alusele a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – kümnendlogaritm (logaritm 10-ni, a = 10);
- ln b – naturaallogaritm (logaritm alusele e, a = e).
Kuidas lahendada logaritme?
B aluse a logaritm on eksponent, mis nõuab b tõstmist aluseni a. Saadud tulemust hääldatakse järgmiselt: "b logaritm alusele a." Logaritmiülesannete lahendus on see, et peate määratud arvude põhjal määrama arvudes antud astme. Logaritmi määramiseks või lahendamiseks, samuti tähistuse enda teisendamiseks on mõned põhireeglid. Nende abil lahendatakse logaritmilisi võrrandeid, leitakse tuletisi, lahendatakse integraale ja tehakse palju muid tehteid. Põhimõtteliselt on logaritmi enda lahendus selle lihtsustatud tähistus. Allpool on toodud põhivalemid ja omadused:
Iga a ; a > 0; a ≠ 1 ja mis tahes x korral; y > 0.
- a log a b = b – logaritmiline põhiidentiteet
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, kui k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – uude baasi liikumise valem
- log a x = 1/log x a
Kuidas lahendada logaritme - samm-sammult juhised lahendamiseks
- Kõigepealt kirjutage üles vajalik võrrand.
Pange tähele: kui baaslogaritm on 10, siis kirjet lühendatakse, mille tulemuseks on kümnendlogaritm. Kui on naturaalarv e, siis kirjutame selle üles, taandades selle naturaallogaritmiks. See tähendab, et kõigi logaritmide tulemuseks on aste, milleni tõstetakse baasarv, et saada arv b.
Otseselt seisneb lahendus selle kraadi arvutamises. Enne avaldise lahendamist logaritmiga tuleb seda reegli järgi lihtsustada ehk siis valemeid kasutades. Peamised identiteedid leiate artiklis veidi tagasi minnes.
Kahe erineva arvuga, kuid sama alusega logaritmide liitmisel ja lahutamisel asendage ühe logaritmiga vastavalt arvude b ja c korrutis või jagamine. Sel juhul saate rakendada teise baasi kolimise valemit (vt ülalt).
Kui kasutate avaldisi logaritmi lihtsustamiseks, tuleb arvestada mõningate piirangutega. Ja see on: logaritmi a alus on ainult positiivne arv, kuid mitte võrdne ühega. Arv b, nagu a, peab olema suurem kui null.
On juhtumeid, kus avaldist lihtsustades ei saa te logaritmi arvuliselt arvutada. Juhtub, et sellisel väljendil pole mõtet, sest paljud astmed on irratsionaalsed arvud. Selle tingimuse korral jätke arvu aste logaritmiks.
Juhised
Kirjutage etteantud logaritmiline avaldis. Kui avaldis kasutab logaritmi 10, siis selle tähistus lühendatakse ja näeb välja järgmine: lg b on kümnendlogaritm. Kui logaritmi aluseks on arv e, siis kirjuta avaldis: ln b – naturaallogaritm. On arusaadav, et mis tahes tulemuseks on aste, milleni tuleb baasarvu tõsta, et saada arv b.
Kahe funktsiooni summa leidmisel tuleb need lihtsalt ükshaaval eristada ja tulemused liita: (u+v)" = u"+v";
Kahe funktsiooni korrutise tuletise leidmisel on vaja korrutada esimese funktsiooni tuletis teisega ja liita teise funktsiooni tuletis, mis on korrutatud esimese funktsiooniga: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Kahe funktsiooni jagatise tuletise leidmiseks on vaja lahutada dividendi tuletise korrutisest jagaja funktsiooniga korrutis jagaja tuletise korrutis dividendi funktsiooniga ja jagada seda kõike jagaja funktsiooni ruudus. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Kui on antud kompleksfunktsioon, siis on vaja korrutada sisefunktsiooni tuletis ja välisfunktsiooni tuletis. Olgu y=u(v(x)), siis y"(x)=y"(u)*v"(x).
Eespool saadud tulemusi kasutades saate eristada peaaegu kõiki funktsioone. Vaatame siis mõnda näidet:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Samuti on probleeme tuletise arvutamisega punktis. Olgu funktsioon y=e^(x^2+6x+5) antud, tuleb leida funktsiooni väärtus punktist x=1.
1) Leia funktsiooni tuletis: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Arvutage funktsiooni väärtus antud punktis y"(1)=8*e^0=8
Video teemal
Abistavad nõuanded
Õppige elementaartuletiste tabelit. See säästab oluliselt aega.
Allikad:
- konstandi tuletis
Niisiis, mis vahe on irratsionaalsel võrrandil ja ratsionaalsel võrrandil? Kui tundmatu muutuja on ruutjuure märgi all, peetakse võrrandit irratsionaalseks.
Juhised
Peamine meetod selliste võrrandite lahendamiseks on mõlema poole konstrueerimise meetod võrrandid ruudu sisse. Kuid. see on loomulik, esimese asjana tuleb märgist lahti saada. See meetod ei ole tehniliselt keeruline, kuid mõnikord võib see põhjustada probleeme. Näiteks võrrand on v(2x-5)=v(4x-7). Mõlema külje ruudustamisel saad 2x-5=4x-7. Sellise võrrandi lahendamine pole keeruline; x=1. Aga numbrit 1 ei anta võrrandid. Miks? Asendage võrrandis x väärtuse asemel üks. Paremal ja vasakul pool on avaldised, millel pole mõtet, see tähendab. See väärtus ruutjuure jaoks ei kehti. Seetõttu on 1 kõrvaline juur ja seetõttu pole sellel võrrandil juuri.
Seega lahendatakse irratsionaalne võrrand selle mõlema külje ruudustamiseks. Ja pärast võrrandi lahendamist on vaja kõrvalised juured ära lõigata. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga.
Mõelge veel ühele.
2х+vх-3=0
Loomulikult saab seda võrrandit lahendada sama võrrandi abil, mis eelmine. Liiguta ühendeid võrrandid, millel pole ruutjuurt, paremale küljele ja seejärel kasutage ruutude meetodit. lahendage saadud ratsionaalne võrrand ja juured. Aga ka teist, elegantsemat. Sisestage uus muutuja; vх=y. Sellest lähtuvalt saate võrrandi kujul 2y2+y-3=0. See tähendab, tavaline ruutvõrrand. Leidke selle juured; y1=1 ja y2=-3/2. Järgmisena lahendage kaks võrrandid vх=1; vх=-3/2. Teisel võrrandil pole juuri; esimesest leiame, et x=1. Ärge unustage juuri kontrollida.
Identiteetide lahendamine on üsna lihtne. Selleks on vaja läbi viia identsed teisendused kuni seatud eesmärgi saavutamiseni. Seega lahendatakse püstitatud ülesanne lihtsate aritmeetiliste tehete abil.
Sa vajad
- - paber;
- - pliiats.
Juhised
Lihtsaimad sellistest teisendustest on algebralised lühendatud korrutised (näiteks summa ruut (vahe), ruutude erinevus, summa (vahe), summa kuup (vahe)). Lisaks on palju trigonomeetrilisi valemeid, mis on sisuliselt samad identiteedid.
Tõepoolest, kahe liikme summa ruut on võrdne esimese ruuduga pluss kahekordne esimese korrutis teisega ja pluss teise ruut, see tähendab (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Lihtsustage mõlemat
Lahenduse üldpõhimõtted
Korrake matemaatilise analüüsi või kõrgema matemaatika õpikust, mis on kindel integraal. Teatavasti on kindla integraali lahendus funktsioon, mille tuletis annab integrandi. Seda funktsiooni nimetatakse antiderivatiivseks. Selle põhimõtte alusel konstrueeritakse peamised integraalid.Määra integrandi tüübi järgi, milline tabeliintegraalidest on antud juhul sobiv. Seda ei ole alati võimalik kohe kindlaks teha. Sageli muutub tabelivorm märgatavaks alles pärast mitut teisendust integrandi lihtsustamiseks.
Muutuja asendamise meetod
Kui integrand on trigonomeetriline funktsioon, mille argument on polünoom, proovige kasutada muutujate muutmise meetodit. Selleks asenda integrandi argumendis olev polünoom mõne uue muutujaga. Uute ja vanade muutujate vahelise seose põhjal määrake lõimimise uued piirid. Seda avaldist eristades leidke uus diferentsiaal . Nii saate eelmise integraali uue vormi, mis on lähedane või isegi vastab mõnele tabelivormile.Teist tüüpi integraalide lahendamine
Kui integraal on teist tüüpi integraal, integrandi vektorvorm, siis peate kasutama nendelt integraalidelt skalaarsetele üleminekureegleid. Üks selline reegel on Ostrogradski-Gaussi suhe. See seadus võimaldab liikuda teatud vektorfunktsiooni rootori voo juurest kolmikintegraalile antud vektorivälja lahknemise kohal.Integratsioonipiirangute asendamine
Pärast antiderivaadi leidmist on vaja integratsiooni piirid asendada. Esmalt asendage ülempiiri väärtus antiderivaadi avaldisega. Sa saad mingi numbri. Järgmisena lahutage saadud arvust antiderivaati teine alampiirist saadud arv. Kui integreerimise üheks piiriks on lõpmatus, siis selle asendamisel antiderivatiivfunktsiooni tuleb minna piirini ja leida, mille poole avaldis kipub.Kui integraal on kahe- või kolmemõõtmeline, siis tuleb integraali hindamise mõistmiseks esitada integreerimise piire geomeetriliselt. Tõepoolest, näiteks kolmemõõtmelise integraali puhul võivad integreerimise piirid olla terved tasapinnad, mis piiravad integreeritavat mahtu.
Selle videoga alustan pikka õppetundide seeriat logaritmvõrrandite kohta. Nüüd on teie ees kolm näidet, mille põhjal õpime lahendama lihtsamaid probleeme, mida nimetatakse - algloomad.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Lubage mul teile meelde tuletada, et lihtsaim logaritmiline võrrand on järgmine:
log a f (x) = b
Sel juhul on oluline, et muutuja x esineks ainult argumendi sees, st ainult funktsioonis f (x). Ja arvud a ja b on lihtsalt arvud ja mitte mingil juhul ei ole funktsioonid, mis sisaldavad muutujat x.
Põhilised lahendusmeetodid
Selliste struktuuride lahendamiseks on palju võimalusi. Näiteks enamik õpetajaid koolis pakub sellist meetodit: Väljendage kohe funktsioon f (x) valemi abil f ( x ) = a b . See tähendab, et kõige lihtsama konstruktsiooniga kokku puutudes saate kohe lahenduse juurde liikuda ilma lisatoimingute ja konstruktsioonideta.
Jah, loomulikult on otsus õige. Selle valemi probleem seisneb aga selles, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see tuleb ja miks me tõstame tähe a täheks b.
Seetõttu näen sageli väga tüütuid vigu, kui näiteks neid tähti vahetatakse. Sellest valemist tuleb kas aru saada või see on täis ja teine meetod viib vigu kõige ebasobivamatel ja otsustavamatel hetkedel: eksamite, testide jms ajal.
Sellepärast soovitan kõigil oma õpilastel loobuda kooli tavavalemist ja kasutada logaritmvõrrandite lahendamiseks teist lähenemist, mida, nagu nimest arvatavasti arvasite, nimetatakse kanooniline vorm.
Kanoonilise vormi idee on lihtne. Vaatame uuesti oma probleemi: vasakul on log a ja tähe a all peame silmas arvu, mitte mingil juhul muutujat x sisaldavat funktsiooni. Järelikult kehtivad sellele kirjale kõik logaritmi alusele kehtestatud piirangud. nimelt:
1 ≠ a > 0
Teisest küljest näeme samast võrrandist, et logaritm peab olema võrdne arvuga b ja sellele tähele ei sea piiranguid, sest see võib võtta mis tahes väärtuse - nii positiivse kui ka negatiivse. Kõik sõltub sellest, milliseid väärtusi funktsioon f(x) võtab.
Ja siin meenub meie imeline reegel, et iga arvu b saab esitada logaritmina aluse a ja a astmeni b:
b = log a a b
Kuidas seda valemit meeles pidada? Jah, väga lihtne. Kirjutame järgmise konstruktsiooni:
b = b 1 = b log a a
Loomulikult tekivad sel juhul kõik piirangud, mis alguses kirja panime. Nüüd kasutame logaritmi põhiomadust ja tutvustame kordaja b a astmena. Saame:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Selle tulemusena kirjutatakse algne võrrand ümber järgmiselt:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
See on kõik. Uus funktsioon ei sisalda enam logaritmi ja seda saab lahendada standardsete algebraliste tehnikate abil.
Muidugi vaidleb keegi nüüd vastu: miks oli üldse vaja välja mõelda mingi kanooniline valem, milleks teha veel kaks mittevajalikku sammu, kui oli võimalik kohe algse kujunduse juurest lõpliku valemi juurde liikuda? Jah, kasvõi sellepärast, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see valem pärineb, ja seetõttu teevad selle rakendamisel regulaarselt vigu.
Kuid see kolmest sammust koosnev toimingute jada võimaldab teil lahendada algse logaritmilise võrrandi, isegi kui te ei saa aru, kust lõplik valem pärineb. Muide, seda kirjet nimetatakse kanooniliseks valemiks:
log a f (x) = log a a b
Kanoonilise vormi mugavus seisneb ka selles, et sellega saab lahendada väga laia klassi logaritmilisi võrrandeid, mitte ainult kõige lihtsamaid, mida me täna kaalume.
Näited lahendustest
Vaatame nüüd tõelisi näiteid. Niisiis, otsustame:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Kirjutame selle ümber nii:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Paljud õpilased kiirustavad ja püüavad kohe tõsta arvu 0,5 võimsusele, mis meile algsest probleemist tuli. Tõepoolest, kui olete selliste probleemide lahendamiseks juba hästi koolitatud, saate selle sammu kohe teha.
Kui aga alles hakkate seda teemat uurima, on parem mitte kuhugi kiirustada, et vältida solvavate vigade tegemist. Niisiis, meil on kanooniline vorm. Meil on:
3x − 1 = 0,5 −3
See ei ole enam logaritmiline võrrand, vaid lineaarne muutuja x suhtes. Selle lahendamiseks vaatame esmalt arvu 0,5 astmeni −3. Pange tähele, et 0,5 on 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Teisenda logaritmilise võrrandi lahendamisel kõik kümnendmurrud harilikeks murdudeks.
Kirjutame ümber ja saame:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
See on kõik, saime vastuse. Esimene probleem on lahendatud.
Teine ülesanne
Liigume edasi teise ülesande juurde:
Nagu näeme, pole see võrrand enam kõige lihtsam. Kasvõi sellepärast, et vasakul on erinevus ja mitte ainsatki logaritmi ühele alusele.
Seetõttu peame sellest erinevusest kuidagi lahti saama. Sel juhul on kõik väga lihtne. Vaatame aluseid lähemalt: vasakul on number juure all:
Üldine soovitus: püüdke kõigis logaritmivõrrandites vabaneda radikaalidest, st juurtega kirjetest ja liikuda edasi astmefunktsioonide juurde, lihtsalt seetõttu, et nende astmete eksponendid on kergesti logaritmi märgist välja jäetud ja lõpuks sellised. sisestus lihtsustab ja kiirendab oluliselt arvutusi. Paneme selle kirja järgmiselt:
Tuletagem nüüd meelde logaritmi tähelepanuväärset omadust: võimsusi saab tuletada nii argumendist kui ka alusest. Põhjuste korral juhtub järgmine:
log a k b = 1/k loga b
Teisisõnu, baasastmes olnud arv tuuakse ette ja samal ajal pööratakse ümber, see tähendab, et see muutub pöördarvuks. Meie puhul oli baaskraad 1/2. Seetõttu võime selle välja võtta kui 2/1. Saame:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Pange tähele: mitte mingil juhul ei tohiks te selles etapis logaritmidest lahti saada. Pidage meeles 4.-5. klassi matemaatikat ja tehte järjekorda: kõigepealt tehakse korrutamine ja alles seejärel liitmine ja lahutamine. Sel juhul lahutame 10 elemendist ühe sama elemendi:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Nüüd näeb meie võrrand välja selline, nagu peab. See on kõige lihtsam konstruktsioon ja lahendame selle kanoonilise vormi abil:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
See on kõik. Teine probleem on lahendatud.
Kolmas näide
Liigume edasi kolmanda ülesande juurde:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Lubage mul teile meelde tuletada järgmist valemit:
log b = log 10 b
Kui tähistuslogi b sind mingil põhjusel segadusse ajab, siis kõigi arvutuste tegemisel võid lihtsalt kirjutada logi 10 b. Kümnendlogaritmidega saate töötada samamoodi nagu teistega: võtke astmed, lisage ja esitage mis tahes arvud kujul lg 10.
Just neid omadusi kasutame nüüd probleemi lahendamiseks, kuna see pole kõige lihtsam, mille me tunni alguses üles kirjutasime.
Esiteks pange tähele, et lg 5 ees oleva teguri 2 saab lisada ja sellest saab aluse 5 astme. Lisaks saab vaba liiget 3 esitada ka logaritmina – seda on meie tähistusest väga lihtne jälgida.
Otsustage ise: mis tahes arvu saab esitada logina kuni 10. aluseni:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Kirjutame algse probleemi ümber, võttes arvesse saadud muudatusi:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000
Meie ees on taas kanooniline vorm ja saime selle ilma teisendusetappi läbimata, st kõige lihtsamat logaritmilist võrrandit ei paistnud kuskilt.
See on täpselt see, millest ma tunni alguses rääkisin. Kanooniline vorm võimaldab lahendada laiemat klassi ülesandeid kui tavaline koolivalem, mille enamik kooliõpetajaid annab.
Noh, see on kõik, me vabaneme kümnendlogaritmi märgist ja saame lihtsa lineaarse konstruktsiooni:
x + 3 = 25 000
x = 24 997
Kõik! Probleem on lahendatud.
Märkus ulatuse kohta
Siinkohal tahaksin teha olulise märkuse määratluse ulatuse kohta. Kindlasti on nüüd õpilasi ja õpetajaid, kes ütlevad: "Logaritmiga avaldisi lahendades peame meeles pidama, et argument f (x) peab olema suurem kui null!" Sellega seoses tekib loogiline küsimus: miks me ei nõudnud selle ebavõrdsuse rahuldamist üheski vaadeldavas probleemis?
Ära muretse. Sellistel juhtudel ei ilmu täiendavaid juuri. Ja see on veel üks suurepärane nipp, mis võimaldab teil lahendust kiirendada. Lihtsalt teadke, et kui ülesandes esineb muutuja x ainult ühes kohas (või õigemini ühe logaritmi ühes argumendis) ja mitte kusagil mujal meie puhul muutujat x ei esine, siis kirjutage definitsioonipiirkond üles pole tarvis, sest see käivitatakse automaatselt.
Otsustage ise: esimeses võrrandis saime, et 3x − 1, st argument peaks olema võrdne 8-ga. See tähendab automaatselt, et 3x − 1 on suurem kui null.
Sama edukalt võime kirjutada, et teisel juhul peaks x olema võrdne 5 2-ga, st see on kindlasti suurem kui null. Ja kolmandal juhul, kus x + 3 = 25 000, st jällegi ilmselgelt suurem kui null. Teisisõnu, ulatus rahuldatakse automaatselt, kuid ainult siis, kui x esineb ainult ühe logaritmi argumendis.
See on kõik, mida peate teadma kõige lihtsamate probleemide lahendamiseks. Ainuüksi see reegel koos teisendusreeglitega võimaldab teil lahendada väga laia klassi probleeme.
Kuid olgem ausad: selle tehnika lõpuks mõistmiseks ja logaritmilise võrrandi kanoonilise vormi rakendamise õppimiseks ei piisa ainult ühe videotunni vaatamisest. Seetõttu laadige kohe alla selle videotunni juurde lisatud iseseisvate lahenduste valikud ja alustage vähemalt ühe nende kahe iseseisva töö lahendamist.
See võtab sõna otseses mõttes paar minutit. Kuid sellise koolituse mõju on palju suurem kui siis, kui vaataksite lihtsalt seda videotundi.
Loodan, et see õppetund aitab teil logaritmilisi võrrandeid mõista. Kasutage kanoonilist vormi, lihtsustage avaldisi, kasutades logaritmidega töötamise reegleid - ja te ei karda probleeme. See on kõik, mis mul tänaseks on.
Võttes arvesse määratlusvaldkonda
Räägime nüüd logaritmilise funktsiooni definitsioonipiirkonnast ja sellest, kuidas see mõjutab logaritmiliste võrrandite lahendamist. Mõelge vormi konstruktsioonile
log a f (x) = b
Sellist avaldist nimetatakse kõige lihtsamaks - see sisaldab ainult ühte funktsiooni ning arvud a ja b on lihtsalt numbrid ja mitte mingil juhul funktsioon, mis sõltub muutujast x. Seda saab lahendada väga lihtsalt. Peate lihtsalt kasutama valemit:
b = log a a b
See valem on logaritmi üks peamisi omadusi ja algse avaldisega asendamisel saame järgmise:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
See on kooliõpikutest tuttav valem. Tõenäoliselt tekib paljudel õpilastel küsimus: kuna algses avaldises on funktsioon f (x) logimärgi all, on sellele kehtestatud järgmised piirangud:
f(x) > 0
See piirang kehtib, kuna negatiivsete arvude logaritmi ei eksisteeri. Nii et võib-olla tuleks selle piirangu tõttu kasutusele võtta vastuste kontroll? Võib-olla tuleb need allikasse sisestada?
Ei, kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites pole täiendavat kontrollimist vaja. Ja sellepärast. Vaadake meie lõplikku valemit:
f (x) = a b
Fakt on see, et arv a on igal juhul suurem kui 0 - selle nõude kehtestab ka logaritm. Arv a on alus. Sel juhul arvule b piiranguid ei seata. Kuid see ei oma tähtsust, sest olenemata sellest, millisele võimsusele me positiivse arvu tõstame, saame väljundis ikkagi positiivse arvu. Seega on nõue f (x) > 0 automaatselt täidetud.
Tõesti tasub kontrollida logi märgi all oleva funktsiooni domeeni. Võib esineda üsna keerulisi struktuure ja kindlasti tuleb neil lahendusprotsessi käigus silma peal hoida. Vaatame.
Esimene ülesanne:
Esimene samm: teisendage parempoolne murd. Saame:
Vabaneme logaritmi märgist ja saame tavalise irratsionaalse võrrandi:
Saadud juurtest sobib meile ainult esimene, kuna teine juur on väiksem kui null. Ainus vastus on number 9. See on kõik, probleem on lahendatud. Täiendavaid kontrolle pole vaja, et veenduda, et avaldis logaritmimärgi all on suurem kui 0, sest see ei ole lihtsalt suurem kui 0, vaid vastavalt võrrandi tingimusele on see võrdne 2-ga. Seetõttu on nõue „suurem kui null ” rahuldatakse automaatselt.
Liigume edasi teise ülesande juurde:
Siin on kõik endine. Kirjutame konstruktsiooni ümber, asendades kolmiku:
Vabaneme logaritmimärkidest ja saame irratsionaalse võrrandi:
Tõrjume piiranguid arvestades mõlemad pooled ja saame:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Lahendame saadud võrrandi diskriminandi kaudu:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Kuid x = −6 meile ei sobi, sest kui asendame selle arvu oma ebavõrdsusega, saame:
−6 + 4 = −2 < 0
Meie puhul nõutakse, et see oleks suurem kui 0 või äärmuslikel juhtudel võrdne. Kuid meile sobib x = −1:
−1 + 4 = 3 > 0
Ainus vastus meie puhul on x = −1. See on lahendus. Läheme tagasi oma arvutuste algusesse.
Peamine järeldus sellest õppetunnist on see, et te ei pea kontrollima funktsiooni piiranguid lihtsates logaritmilistes võrrandites. Kuna lahendusprotsessi käigus täidetakse kõik piirangud automaatselt.
Kuid see ei tähenda mingil juhul, et võite kontrollimise täielikult unustada. Logaritmilise võrrandi kallal töötades võib see muutuda irratsionaalseks, millel on paremale poolele oma piirangud ja nõuded, mida oleme täna näinud kahes erinevas näites.
Lahendage selliseid probleeme julgelt ja olge eriti ettevaatlik, kui vaidluses on juur.
Logaritmvõrrandid erinevate alustega
Jätkame logaritmiliste võrrandite uurimist ja vaatame veel kahte üsna huvitavat tehnikat, millega on moes keerulisemaid konstruktsioone lahendada. Kuid kõigepealt meenutagem, kuidas lahendatakse kõige lihtsamad probleemid:
log a f (x) = b
Selles kirjes on a ja b arvud ning funktsioonis f (x) peab muutuja x olemas olema ja ainult seal, st x peab olema ainult argumendis. Teisendame sellised logaritmilised võrrandid kanoonilise vormi abil. Selleks pange tähele
b = log a a b
Pealegi on a b täpselt argument. Kirjutame selle avaldise ümber järgmiselt:
log a f (x) = log a a b
See on täpselt see, mida me püüame saavutada, nii et nii vasakul kui ka paremal oleks logaritm a aluseks. Sel juhul võime piltlikult öeldes logimärgid maha kriipsutada ja matemaatilisest vaatenurgast võib öelda, et me lihtsalt võrdsustame argumendid:
f (x) = a b
Selle tulemusena saame uue väljendi, mida on palju lihtsam lahendada. Rakendame seda reeglit oma tänastele probleemidele.
Niisiis, esimene kujundus:
Kõigepealt märgin, et paremal on murd, mille nimetaja on log. Kui näete sellist väljendit, on hea meeles pidada logaritmide imelist omadust:
Vene keelde tõlgituna tähendab see, et mis tahes logaritmi saab esitada kahe logaritmi jagatisena mis tahes alusega c. Muidugi 0< с ≠ 1.
Niisiis: sellel valemil on üks imeline erijuhtum, kui muutuja c on võrdne muutujaga b. Sel juhul saame sellise konstruktsiooni:
Täpselt sellist konstruktsiooni näeme oma võrrandis paremal olevast märgist. Asendame selle konstruktsiooni log a b-ga, saame:
Teisisõnu, võrreldes algse ülesandega, vahetasime argumendi ja logaritmi aluse. Selle asemel pidime murdosa ümber pöörama.
Tuletame meelde, et mis tahes kraadi saab tuletada baasist vastavalt järgmisele reeglile:
Teisisõnu väljendatakse koefitsienti k, mis on aluse võimsus, pööratud murdena. Renderdame selle pöördmurruna:
Murdtegurit ette jätta ei saa, sest sel juhul ei saa me seda tähistust kanoonilise vormina esitada (kanoonilises vormis pole ju enne teist logaritmi lisategurit). Seetõttu lisame argumendile astmena murdarvu 1/4:
Nüüd võrdsustame argumendid, mille alused on samad (ja meie alused on tegelikult samad), ja kirjutame:
x + 5 = 1
x = −4
See on kõik. Saime vastuse esimesele logaritmilisele võrrandile. Pange tähele: algses ülesandes esineb muutuja x ainult ühes logis ja see ilmub selle argumendis. Seetõttu pole domeeni vaja kontrollida ja meie arv x = −4 on tõepoolest vastus.
Liigume nüüd teise väljendi juurde:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Siin peame lisaks tavapärastele logaritmidele töötama ka logariga f (x). Kuidas sellist võrrandit lahendada? Ettevalmistumata õpilasele võib tunduda, et see on raske ülesanne, kuid tegelikult saab kõike elementaarselt lahendada.
Vaata lähemalt terminit lg 2 log 2 7. Mida selle kohta öelda? Log ja lg alused ja argumendid on samad ja see peaks andma ideid. Meenutagem veel kord, kuidas logaritmi märgi alt astmeid välja võetakse:
log a b n = nlog a b
Teisisõnu, see, mis argumendis oli b astmeks, muutub logi enda ees teguriks. Rakendame seda valemit avaldisele lg 2 log 2 7. Ärge kartke lg 2 - see on kõige levinum väljend. Saate selle ümber kirjutada järgmiselt:
Selle jaoks kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad mis tahes muu logaritmi kohta. Eelkõige saab argumendi astmele lisada ees oleva teguri. Paneme selle kirja:
Väga sageli õpilased seda tegevust otseselt ei näe, sest ühte palki teise sildi all pole hea sisestada. Tegelikult pole selles midagi kriminaalset. Lisaks saame valemi, mida on lihtne arvutada, kui mäletate olulist reeglit:
Seda valemit võib pidada nii definitsiooniks kui ka selle üheks omaduseks. Igal juhul, kui teisendate logaritmilist võrrandit, peaksite teadma seda valemit täpselt nii, nagu teate mis tahes arvu logaritmilist esitust.
Tuleme tagasi oma ülesande juurde. Kirjutame selle ümber, võttes arvesse asjaolu, et esimene liige võrdusmärgist paremal on lihtsalt võrdne lg 7-ga. Meil on:
lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)
Liigutame lg 7 vasakule, saame:
lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)
Lahutame vasakul olevad avaldised, kuna neil on sama alus:
lg (56/7) = –3 lg (x + 4)
Vaatame nüüd saadud võrrandit lähemalt. See on praktiliselt kanooniline vorm, kuid paremal on tegur −3. Lisame selle õigele lg argumendile:
log 8 = log (x + 4) −3
Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, seega kriipsutame lg-märgid läbi ja võrdsustame argumendid:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
See on kõik! Lahendasime teise logaritmilise võrrandi. Sel juhul pole täiendavaid kontrolle vaja, sest algülesandes esines x ainult ühes argumendis.
Lubage mul uuesti loetleda selle õppetunni põhipunktid.
Peamine valem, mida õpetatakse kõigis selle lehe tundides, mis on pühendatud logaritmiliste võrrandite lahendamisele, on kanooniline vorm. Ja ärge kartke asjaolu, et enamik kooliõpikuid õpetab selliseid probleeme erinevalt lahendama. See tööriist töötab väga tõhusalt ja võimaldab teil lahendada palju laiemat klassi probleeme kui kõige lihtsamad, mida me tunni alguses õppisime.
Lisaks on logaritmiliste võrrandite lahendamisel kasulik teada põhiomadusi. Nimelt:
- Ühele alusele liikumise valem ja erijuhtum, kui logime tagurpidi (see oli meile esimese ülesande puhul väga kasulik);
- Logaritmimärgi astmete liitmise ja lahutamise valem. Siin jäävad paljud õpilased jänni ega näe, et väljavõetud ja tutvustatud kraad võib ise sisaldada log f (x). Selles pole midagi halba. Saame tutvustada ühte palki teise märgi järgi ja samal ajal oluliselt lihtsustada ülesande lahendamist, mida me ka teisel juhul jälgime.
Kokkuvõtteks tahan lisada, et definitsioonipiirkonda ei ole vaja kõigil neil juhtudel kontrollida, sest igal pool on muutuja x ainult ühes logimärgis ja on samal ajal selle argumendis. Selle tulemusena täidetakse kõik ulatuse nõuded automaatselt.
Probleemid muutuva baasiga
Täna vaatleme logaritmilisi võrrandeid, mis tunduvad paljude õpilaste jaoks ebastandardsed, kui mitte täiesti lahendamatud. Me räägime avaldistest, mis põhinevad mitte arvudel, vaid muutujatel ja isegi funktsioonidel. Sellised konstruktsioonid lahendame oma standardtehnikas, nimelt kanoonilise vormi kaudu.
Kõigepealt meenutagem, kuidas tavaarvude põhjal lahendatakse lihtsamaid ülesandeid. Niisiis, nimetatakse lihtsaimat konstruktsiooni
log a f (x) = b
Selliste probleemide lahendamiseks saame kasutada järgmist valemit:
b = log a a b
Kirjutame oma algse avaldise ümber ja saame:
log a f (x) = log a a b
Seejärel võrdsustame argumendid, st kirjutame:
f (x) = a b
Seega vabaneme logimärgist ja lahendame tavapärase probleemi. Sel juhul on lahendusest saadud juured algse logaritmilise võrrandi juured. Lisaks nimetatakse kanooniliseks vormiks kirjet, kui nii vasak kui ka parem on samas logaritmis sama alusega. Just sellise rekordini püüame vähendada tänaseid kujundusi. Nii et lähme.
Esimene ülesanne:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Asendage 1 log x − 2 (x − 2) 1-ga. Argumendis vaadeldav aste on tegelikult arv b, mis asus võrdusmärgist paremal. Seega kirjutame oma väljendi ümber. Saame:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Mida me näeme? Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, nii et saame argumendid ohutult võrdsustada. Saame:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
Kuid lahendus ei lõpe sellega, sest see võrrand ei ole samaväärne algse võrrandiga. Saadud konstruktsioon koosneb ju funktsioonidest, mis on defineeritud tervel arvureal ning meie algsed logaritmid pole defineeritud igal pool ja mitte alati.
Seetõttu peame määramisvaldkonna eraldi kirja panema. Ärgem poolitagem juukseid ja pange kõigepealt kirja kõik nõuded:
Esiteks peab iga logaritmi argument olema suurem kui 0:
2x 2 - 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Teiseks peab alus olema mitte ainult suurem kui 0, vaid ka erinev 1-st:
x − 2 ≠ 1
Selle tulemusena saame süsteemi:
Kuid ärge kartke: logaritmiliste võrrandite töötlemisel saab sellist süsteemi oluliselt lihtsustada.
Otsustage ise: ühelt poolt nõutakse meilt, et ruutfunktsioon oleks suurem kui null, ja teisest küljest võrdsustatakse see ruutfunktsioon teatud lineaaravaldisega, mis on samuti nõutav, et see oleks suurem kui null.
Sel juhul, kui nõuame, et x − 2 > 0, siis on automaatselt täidetud nõue 2x 2 − 13x + 18 > 0. Seetõttu võib ruutfunktsiooni sisaldava võrratuse julgelt maha kriipsutada. Seega väheneb meie süsteemis sisalduvate avaldiste arv kolmele.
Muidugi võiks sama eduga läbi kriipsutada ka lineaarse ebavõrdsuse, st kriipsutada maha x − 2 > 0 ja nõuda, et 2x 2 − 13x + 18 > 0. Kuid nõustute, et kõige lihtsama lineaarvõrratuse lahendamine on palju kiirem. ja lihtsam, kui ruutkeskmine, isegi tingimusel, et kogu selle süsteemi lahendamise tulemusena saame samad juured.
Üldiselt proovige arvutusi igal võimalusel optimeerida. Ja logaritmiliste võrrandite puhul kriipsutage läbi kõige raskemad võrratused.
Kirjutame oma süsteemi ümber:
Siin on kolmest väljendist koosnev süsteem, millest kahte oleme tegelikult juba käsitlenud. Kirjutame ruutvõrrandi eraldi välja ja lahendame selle:
2x 2 - 14x + 20 = 0
x 2 – 7x + 10 = 0
Meie ees on taandatud ruuttrinoom ja seetõttu saame kasutada Vieta valemeid. Saame:
(x - 5) (x - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Nüüd pöördume tagasi oma süsteemi juurde ja leiame, et x = 2 meile ei sobi, sest meilt nõutakse, et x oleks rangelt suurem kui 2.
Kuid x = 5 sobib meile suurepäraselt: arv 5 on suurem kui 2 ja samal ajal ei ole 5 võrdne 3-ga. Seetõttu on selle süsteemi ainus lahendus x = 5.
See on kõik, probleem on lahendatud, sealhulgas ODZ-i arvesse võttes. Liigume edasi teise võrrandi juurde. Huvitavad ja informatiivsemad arvutused ootavad meid siin:
Esimene samm: nagu eelmiselgi korral, viime kogu selle asja kanoonilisse vormi. Selleks saame kirjutada numbri 9 järgmiselt:
Te ei pea juurega alust puudutama, kuid argumenti on parem teisendada. Liigume ratsionaalse astendajaga juurest astmele. Paneme kirja:
Lubage mul mitte kogu meie suurt logaritmilist võrrandit ümber kirjutada, vaid võrdsustada kohe argumendid:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Meie ees on äsja redutseeritud ruuttrinoom, kasutame Vieta valemeid ja kirjutame:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Niisiis, saime juured, kuid keegi ei garanteerinud meile, et need sobivad algse logaritmilise võrrandiga. Logimärgid seavad ju lisapiirangud (siin oleks pidanud süsteemi üles kirjutama, aga kogu struktuuri kohmakuse tõttu otsustasin defineerimisvaldkonna eraldi välja arvutada).
Kõigepealt pidage meeles, et argumendid peavad olema suuremad kui 0, nimelt:
Need on määratluse ulatusega kehtestatud nõuded.
Märgime kohe ära, et kuna me võrdsustame süsteemi kaks esimest avaldist üksteisega, siis võime neist ühe läbi kriipsutada. Tõmmake esimene läbi, sest see tundub ähvardavam kui teine.
Lisaks pange tähele, et teise ja kolmanda võrratuse lahenduseks on samad hulgad (mõne arvu kuup on suurem kui null, kui see arv ise on suurem kui null; samamoodi kolmanda astme juurega - need võrratused on täiesti analoogsed, nii et võime selle läbi kriipsutada).
Kuid kolmanda ebavõrdsusega see ei tööta. Vabaneme vasakpoolsest radikaalsest märgist, tõstes mõlemad osad kuubikuks. Saame:
Seega saame järgmised nõuded:
− 2 ≠ x > −3
Milline meie juurtest: x 1 = −3 või x 2 = −1 vastab neile nõuetele? Ilmselgelt ainult x = −1, sest x = −3 ei rahulda esimest võrratust (kuna meie ebavõrdsus on range). Niisiis, naastes meie probleemi juurde, saame ühe juure: x = −1. See on kõik, probleem lahendatud.
Veelkord selle ülesande põhipunktid:
- Rakendage ja lahendage kanoonilise vormi abil logaritmilisi võrrandeid. Õpilased, kes teevad sellise märge, selle asemel, et liikuda otse algülesande juurest sellisele konstruktsioonile nagu log a f (x) = b, teevad palju vähem vigu kui need, kes kiirustavad kuhugi, jättes vahele arvutuste vaheetapid;
- Niipea, kui logaritmis ilmub muutuv alus, lakkab probleem olemast kõige lihtsam. Seetõttu on selle lahendamisel vaja arvestada määratluspiirkonda: argumendid peavad olema suuremad kui null ja alused ei tohi mitte ainult olla suuremad kui 0, vaid need ei tohi olla võrdsed ka 1-ga.
Lõplikke nõudeid saab lõplikele vastustele rakendada erineval viisil. Näiteks saate lahendada terve süsteemi, mis sisaldab kõiki määratlusvaldkonna nõudeid. Teisest küljest saate kõigepealt probleemi enda lahendada ja seejärel meeles pidada definitsioonivaldkonda, eraldi välja töötada süsteemi kujul ja rakendada seda saadud juurtele.
Milline meetod konkreetse logaritmilise võrrandi lahendamisel valida, on teie otsustada. Igal juhul on vastus sama.