Täisarvud
Loendamisel kasutatavaid numbreid kutsutakse naturaalarvud Number null ei kehti naturaalarvude kohta.
Ühekohalised numbrid numbrid: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Kahekohalised numbrid: 24.56 jne. Kolmekohaline: 348 569 jne. Mitme väärtusega: 23 562 456789 jne.
Kutsutakse numbri jagamist 3-kohalisteks rühmadeks, alustades paremalt klassid: kolm esimest numbrit on ühikute klass, järgmised kolm numbrit tuhandete, seejärel miljonite jne.
Segmendi järgi kutsuda punktist A punkti B tõmmatud joont. Nimetatakse AB või BA A B Lõigu AB pikkust nimetatakse vahemaa punktide A ja B vahel.
Pikkuse ühikud:
1) 10 cm = 1 dm
2) 100 cm = 1 m
3) 1 cm = 10 mm
4) 1 km = 1000 m
Lennuk on servadeta pind, mis ulatub piiramatult igas suunas. Otse pole algust ega lõppu. Kaks sirget, millel on üks ühine punkt - ristuvad. Ray– see on osa reast, millel on algus ja lõpp (OA ja OB). Nimetatakse kiiri, milleks punkt jagab sirge lisaksüksteist.
Koordinaatide kiir:
0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – punktide koordinaadid. Kahest naturaalarvust on väiksem see, mida loendamisel kutsutakse varem, ja suurem on see, mida hiljem loendamisel. Üks on väikseim naturaalarv. Kahe arvu võrdlemise tulemus kirjutatakse ebavõrdsusena: 5< 8, 5670 >368. Arv 8 on väiksem kui 28 ja suurem kui 5, võib kirjutada kahekordse võrratusena: 5< 8 < 28
Naturaalarvude liitmine ja lahutamine
Lisand
Arvu, mis liidavad, nimetatakse liiteteks. Liitmise tulemust nimetatakse summaks.
Lisaomadused:
1. Kommutatiivne omadus: Tingimuste ümberpaigutamisel numbrite summa ei muutu: a + b = b + a(a ja b on suvalised naturaalarvud ja 0) 2. Kombineeritud omadus: Kahe arvu summa lisamiseks arvule saate esmalt lisada esimese liikme ja seejärel lisada saadud summale teise liikme: a + (b + c) = (a + b) +c = a + b + c(a, b ja c on suvalised naturaalarvud ja 0).
3. Lisamine nulliga: Nulli lisamine ei muuda arvu:
a + 0 = 0 + a = a(a on mis tahes naturaalarv).
Hulknurga külgede pikkuste summat nimetatakse selle hulknurga ümbermõõt.
Lahutamine
Kutsutakse tegevust, mis kasutab summat ja ühte terminitest teise termini leidmiseks lahutamise teel.
Arv, millest see lahutatakse, kutsutakse vähendatav, kutsutakse välja arv, mida lahutatakse omavastutus, nimetatakse lahutamise tulemust erinevus. Kahe arvu erinevus näitab, kui palju esiteks number rohkem teine või kui palju teiseks number vähem esiteks.
Lahutamise omadused:
1. Arvest summa lahutamise omadus: arvust summa lahutamiseks võite esmalt lahutada sellest arvust esimese liikme ja seejärel lahutada saadud erinevusest teise liikme:
a – (b + c) = (a – b) –Koos= a – b –Koos(b + c > a või b + c = a).
2. Summast arvu lahutamise omadus: summast arvu lahutamiseks võite selle lahutada ühest liikmest ja lisada saadud erinevusele teise liikme
(a + b) – c = a + (b – c), kui koos< b или с = b
(a + b) – c = (a - c) + b, kui koos< a или с = a.
3. Null lahutamise omadus: kui lahutate arvust nulli, siis see ei muutu:
a – 0 = a(a – suvaline naturaalarv)
4. Arvest sama arvu lahutamise omadus: kui lahutate selle arvu arvust, saate nulli:
a – a = 0(a on mis tahes naturaalarv).
Numbrilised ja tähestikulised avaldised
Toimingukirjeid nimetatakse numbrilisteks avaldisteks. Kõigi nende toimingute sooritamise tulemusena saadud arvu nimetatakse avaldise väärtuseks.
Naturaalarvude korrutamine ja jagamine
Naturaalarvude korrutamine ja selle omadused
Arvu m korrutamine naturaalarvuga n tähendab n liikme summa leidmist, millest igaüks on võrdne m-ga.
Avaldist m · n ja selle avaldise väärtust nimetatakse arvude m ja n korrutiseks. Arvu m ja n nimetatakse teguriteks.
Korrutamise omadused:
1. Korrutamise kommutatiivne omadus: Kahe arvu korrutis ei muutu tegurite ümberpaigutamisel:
a b = b a
2. Korrutamise kombineeritud omadus: arvu korrutamiseks kahe arvu korrutisega saate selle esmalt korrutada esimese teguriga ja seejärel korrutada saadud korrutise teise teguriga:
a · (b · c) = (a · b) · c.
3. Ühega korrutamise omadus: n liikme summa, millest igaüks on võrdne 1-ga, on võrdne n-ga:
1 n = n
4. Nulliga korrutamise omadus: n liikme summa, millest igaüks on võrdne nulliga, on võrdne nulliga:
0 n = 0
Korrutamismärgi võib ära jätta: 8 x = 8x,
või a b = ab,
või a · (b + c) = a(b + c)
Jaoskond
Toimingut, mille abil korrutist ja ühte tegurit kasutatakse teise teguri leidmiseks, nimetatakse jagamiseks.
Jagatavat numbrit kutsutakse jagatav; nimetatakse numbrit, millega jagatakse jagaja, nimetatakse jagamise tulemust privaatne.
Jagatis näitab, mitu korda on dividend suurem kui jagaja.
Nulliga jagada ei saa!
Jaotuse omadused:
1. Mis tahes arvu jagamisel 1-ga saadakse sama arv:
a: 1 = a.
2. Kui jagate arvu sama arvuga, on tulemuseks üks:
a: a = 1.
3. Kui null jagatakse arvuga, on tulemus null:
0: a = 0.
Tundmatu teguri leidmiseks peate toote jagama teise teguriga. 5x = 45x = 45: 5x = 9
Tundmatu dividendi leidmiseks tuleb jagatis korrutada jagajaga. x: 15 = 3 x = 3 x 15 x = 45
Tundmatu jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12
Jagage jäägiga
Ülejäänud osa on alati väiksem kui jagaja.
Kui jääk on null, siis öeldakse, et dividend jagub jagajaga ilma jäägita ehk teisisõnu täisarvuga. Dividendi a leidmiseks jäägiga jagamisel tuleb osajagatis c korrutada jagajaga b ja lisada saadud korrutisele jääk d.
a = c b + d
Väljendite lihtsustamine
Korrutamise omadused:
1. Korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes: summa korrutamiseks arvuga saate iga liikme selle arvuga korrutada ja liita saadud korrutised:
(a + b)c = ac + bc.
2. Korrutamise jaotusomadus lahutamise suhtes: erinevuse arvuga korrutamiseks võite korrutada minuendi ja lahutatud arvuga ning lahutada esimesest korrutisest teise:
(a - b)c = ac - bc.
3a + 7a = (3 + 7)a = 10a
Menetlus
Arvude liitmist ja lahutamist nimetatakse esimese astme toiminguteks ning arvude korrutamist ja jagamist teise astme toiminguteks.
Toimingute järjekorra reeglid:
1. Kui avaldises ei ole sulgusid ja see sisaldab ainult ühe etapi toiminguid, siis sooritatakse neid järjekorras vasakult paremale.
2. Kui avaldis sisaldab esimese ja teise astme toiminguid ja selles ei ole sulgusid, siis sooritatakse esmalt teise etapi toimingud, seejärel esimese astme toimingud.
3. Kui avaldises on sulgud, siis esmalt sooritage sulgudes olevad toimingud (arvestades 1. ja 2. reegleid)
Iga avaldis määrab selle arvutamiseks programmi. See koosneb meeskondadest.
Kraad. Ruut- ja kuubinumbrid
Korrutis, milles kõik tegurid on üksteisega võrdsed, kirjutatakse lühemalt: a · a · a · a · a · a = a6 Loe: a kuuenda astmeni. Arvu a nimetatakse astme baasiks, arvu 6 on astendaja ja avaldist a6 nimetatakse astmeks.
N ja n korrutist nimetatakse n-i ruuduks ja seda tähistatakse n2-ga (en ruudus):
n2 = n n
Korrutist n · n · n nimetatakse arvu n kuubiks ja seda tähistatakse numbriga n3 (n kuubik): n3 = n n n
Arvu esimene aste on võrdne arvu endaga. Kui arvavaldis sisaldab arvude astmeid, arvutatakse nende väärtused enne muude toimingute tegemist.
Pindalad ja mahud
Reegli kirjutamist tähtede abil nimetatakse valemiks. Tee valem:
s = vt, kus s on tee, v on kiirus, t on aeg.
v=s:t
t = s:v
Ruut. Ristküliku pindala valem.
Ristküliku pindala leidmiseks peate korrutama selle pikkuse laiusega. S = ab, kus S on pindala, a on pikkus, b on laius
Kahte arvu nimetatakse võrdseks, kui ühe neist saab asetada teise peale nii, et need arvud langevad kokku. Võrdsete arvude alad on võrdsed. Võrdsete kujundite perimeetrid on võrdsed.
Kogu joonise pindala on võrdne selle osade pindalade summaga. Iga kolmnurga pindala on võrdne poolega kogu ristküliku pindalast
Ruut on võrdsete külgedega ristkülik.
Ruudu pindala on võrdne selle külje ruuduga:
Pindalaühikud
Ruutmillimeeter – mm2
Ruutsentimeeter - cm2
Ruutdetsimeeter – dm2
Ruutmeeter – m2
Ruutkilomeeter – km2
Põldude pindala on mõõdetud hektarites (ha). Hektar on ruudu pindala, mille külg on 100 m.
Väikeste maatükkide pindala mõõdetakse aarides (a).
Ar (sada ruutmeetrit) on ruudu pindala, mille külg on 10 m.
1 ha = 10 000 m2
1 dm2 = 100 cm2
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2
Kui ristküliku pikkust ja laiust mõõdetakse erinevates ühikutes, siis pindala arvutamiseks tuleb need väljendada samades ühikutes.
Ristkülikukujuline rööptahukas
Ristkülikukujulise rööptahuka pind koosneb 6 ristkülikust, millest igaüht nimetatakse näoks.
Ristkülikukujulise rööptahuka vastasküljed on võrdsed.
Nägude külgi nimetatakse rööptahuka servad, ja tahkude tipud on rööptahuka tipud.
Ristkülikukujulisel rööptahukal on 12 serva ja 8 tippu.
Ristkülikukujulisel rööptahukal on kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus
Kuubik on ristkülikukujuline rööptahukas, mille kõik mõõtmed on ühesugused. Kuubiku pind koosneb 6 võrdsest ruudust.
Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala: ristkülikukujulise rööptahuka ruumala leidmiseks peate korrutama selle pikkuse laiuse ja kõrgusega.
V = abc, V – maht, a pikkus, b – laius, c – kõrgus
Kuubi maht:
Mahuühikud:
Kuupmillimeeter – mm3
Kuupsentimeeter - cm3
kuupdetsimeeter – dm3
Kuupmeeter – mm3
Kuupkilomeeter – km3
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l
1 l = 1 dm3 = 1000 cm3
1 cm3 = 1000 mm3 1 km3 = 1 000 000 000 m3
Ring ja ring
Kinnist sirget, mis asub antud punktist samal kaugusel, nimetatakse ringiks.
Tasapinna seda osa, mis asub ringi sees, nimetatakse ringiks.
Seda punkti nimetatakse nii ringi kui ka ringi keskpunktiks.
Nimetatakse lõiku, mis ühendab ringi keskpunkti mis tahes ringil asuva punktiga ringi raadius.
Nimetatakse lõiku, mis ühendab kahte ringi punkti ja läbib selle keskpunkti ringi läbimõõt.
Läbimõõt on võrdne kahe raadiusega.
Oleme määratlenud täisarvude liitmise, korrutamise, lahutamise ja jagamise. Nendel toimingutel (toimingutel) on mitmeid iseloomulikke tulemusi, mida nimetatakse omadusteks. Selles artiklis vaatleme täisarvude liitmise ja korrutamise põhiomadusi, millest tulenevad kõik muud nende toimingute omadused, samuti täisarvude lahutamise ja jagamise omadusi.
Leheküljel navigeerimine.
Täisarvude liitmisel on veel mitmeid väga olulisi omadusi.
Üks neist on seotud nulli olemasoluga. See täisarvude liitmise omadus väidab, et nulli lisamine ükskõik millisele täisarvule seda arvu ei muuda. Kirjutame selle liitmise omaduse tähtede abil: a+0=a ja 0+a=a (see võrdus on tõene liitmise kommutatiivse omaduse tõttu), a on suvaline täisarv. Võite kuulda, et täisarvu nulli nimetatakse lisaks neutraalseks elemendiks. Toome paar näidet. Täisarvu −78 ja nulli summa on −78; Kui lisate positiivse täisarvu 999 nullile, on tulemuseks 999.
Nüüd esitame veel ühe täisarvude liitmise omaduse sõnastuse, mis on seotud mis tahes täisarvu vastandarvu olemasoluga. Iga täisarvu summa, millel on vastandnumber, on null. Anname selle omaduse kirjaliku vormi: a+(−a)=0, kus a ja −a on vastandlikud täisarvud. Näiteks summa 901+(−901) on null; samamoodi on vastandlike täisarvude −97 ja 97 summa null.
Täisarvude korrutamise põhiomadused
Täisarvude korrutamisel on kõik naturaalarvude korrutamise omadused. Loetleme nendest omadustest peamised.
Nii nagu null on liitmise suhtes neutraalne täisarv, on üks neutraalne täisarv täisarvu korrutamise suhtes. See on, mis tahes täisarvu korrutamine ühega ei muuda korrutatavat arvu. Seega 1·a=a, kus a on suvaline täisarv. Viimase võrrandi saab ümber kirjutada kujul a·1=a, mis võimaldab teha korrutamise kommutatiivse omaduse. Toome kaks näidet. Täisarvu 556 korrutis 1 on 556; ühe ja negatiivse täisarvu −78 korrutis on võrdne −78.
Järgmine täisarvude korrutamise omadus on seotud nulliga korrutamisega. Mis tahes täisarvu a nulliga korrutamise tulemus on null, see tähendab, a·0=0 . Võrdsus 0·a=0 on tõene ka täisarvude korrutamise kommutatiivse omaduse tõttu. Erijuhul, kui a=0, on nulli ja nulli korrutis võrdne nulliga.
Täisarvude korrutamisel kehtib ka eelmise pöördomadus. See väidab, et kahe täisarvu korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Literaalses vormis saab selle omaduse kirjutada järgmiselt: a·b=0, kui kas a=0 või b=0 või mõlemad a ja b on samaaegselt võrdsed nulliga.
Täisarvude korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes
Täisarvude ühine liitmine ja korrutamine võimaldab meil arvestada korrutamise jaotusomadusi liitmise suhtes, mis ühendab kahte näidatud toimingut. Liitmise ja korrutamise koos kasutamine avab lisavõimalusi, mis jääksid kasutamata, kui arvestaksime liitmist korrutamisest eraldi.
Niisiis, korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes väidab, et täisarvu a ja kahe täisarvu a ja b summa korrutis on võrdne korrutiste a b ja a c summaga, see tähendab, a·(b+c)=a·b+a·c. Sama omaduse saab kirjutada ka muul kujul: (a+b)c=ac+bc .
Täisarvude korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes koos liitmise kombineerimisomadusega võimaldab meil määrata täisarvu korrutamise kolme või enama täisarvu summaga ja seejärel täisarvude summa korrutamise summaga.
Samuti pange tähele, et kõik muud täisarvude liitmise ja korrutamise omadused on saadud meie näidatud omadustest, see tähendab, et need on ülaltoodud omaduste tagajärjed.
Täisarvude lahutamise omadused
Saadud võrdsusest, aga ka täisarvude liitmise ja korrutamise omadustest tulenevad järgmised täisarvude lahutamise omadused (a, b ja c on suvalised täisarvud):
- Täisarvude lahutamisel EI ole üldiselt kommutatiivset omadust: a−b≠b−a.
- Võrdsete täisarvude vahe on null: a−a=0.
- Antud täisarvust kahe täisarvu summa lahutamise omadus: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Täisarvu lahutamise omadus kahe täisarvu summast: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Korrutamise jaotusomadus lahutamise suhtes: a·(b-c)=a·b-a·c ja (a–b)·c=a·c-b·c.
- Ja kõik muud täisarvude lahutamise omadused.
Täisarvude jagamise omadused
Täisarvude jagamise tähenduse üle arutledes saime teada, et täisarvude jagamine on korrutamise pöördtegevus. Andsime järgmise definitsiooni: täisarvude jagamine on tundmatu teguri leidmine teadaolevast korrutisest ja teadaolevast tegurist. See tähendab, et me nimetame täisarvu c jagatiseks täisarvu a jagamisel täisarvuga b, kui korrutis c·b on võrdne a-ga.
See määratlus, nagu ka kõik ülalpool käsitletud täisarvudega tehtavate toimingute omadused, võimaldavad kindlaks teha järgmiste jagavate täisarvude omaduste kehtivuse:
- Ühtegi täisarvu ei saa nulliga jagada.
- Nulli jagamise omadus suvalise täisarvuga, mis ei ole null: 0:a=0.
- Võrdsete täisarvude jagamise omadus: a:a=1, kus a on mis tahes täisarv peale nulli.
- Suvalise täisarvu a ühega jagamise omadus: a:1=a.
- Üldiselt EI OLE täisarvude jagamisel kommutatiivset omadust: a:b≠b:a .
- Kahe täisarvu summa ja erinevuse täisarvuga jagamise omadused: (a+b):c=a:c+b:c ja (a-b):c=a:c-b:c, kus a, b , ja c on täisarvud, nii et a ja b jaguvad c-ga ja c on nullist erinev.
- Kahe täisarvu a ja b korrutise jagamise omadus nullist erineva täisarvuga c: (a·b):c=(a:c)·b, kui a jagub c-ga; (a·b):c=a·(b:c) , kui b jagub c-ga; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) kui nii a kui ka b jaguvad c-ga.
- Täisarvu a jagamise omadus kahe täisarvu b ja c korrutisega (arvud a , b ja c on sellised, et a jagamine b c-ga on võimalik): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
- Kõik muud täisarvude jagamise omadused.
Niisiis, üldiselt ei ole naturaalarvude lahutamisel kommutatiivset omadust. Kirjutame selle avalduse tähti kasutades. Kui a ja b on ebavõrdsed naturaalarvud, siis a−b≠b−a. Näiteks 45−21≠21−45.
Naturaalarvust kahe arvu summa lahutamise omadus.
Järgmine omadus on seotud kahe arvu summa lahutamisega naturaalarvust. Vaatame näidet, mis annab meile sellest varast arusaamise.
Kujutame ette, et meie käes on 7 münti. Esmalt otsustame jätta 2 münti, kuid arvates, et sellest ei piisa, otsustame jätta teise mündi. Naturaalarvude liitmise tähenduse põhjal võib väita, et antud juhul otsustasime salvestada müntide arvu, mis määratakse summaga 2+1. Niisiis, võtame kaks münti, lisame neile veel ühe mündi ja paneme hoiupõrsasse. Sel juhul määrab meie kätte jäävate müntide arvu erinevus 7−(2+1) .
Kujutage nüüd ette, et meil on 7 münti ja paneme hoiupõrsasse 2 münti ja pärast seda veel üks münt. Matemaatiliselt kirjeldab seda protsessi järgmine arvavaldis: (7−2)−1.
Kui loeme kokku mündid, mis meie kätte jäävad, siis nii esimesel kui ka teisel juhul on meil 4 münti. See tähendab, et 7−(2+1)=4 ja (7−2)−1=4, seega 7−(2+1)=(7−2)−1.
Vaadeldav näide võimaldab sõnastada omaduse lahutada antud naturaalarvust kahe arvu summa. Kahe naturaalarvu antud summa lahutamine antud naturaalarvust on sama, mis lahutada antud naturaalarvust antud summa esimene liige ja seejärel lahutada saadud erinevusest teine liige.
Tuletagem meelde, et andsime naturaalarvude lahutamisele tähenduse vaid juhul, kui minuend on suurem kui alamosa või sellega võrdne. Seetõttu saame antud summa antud naturaalarvust lahutada ainult siis, kui see summa ei ole suurem kui taandatav naturaalarv. Pange tähele, et kui see tingimus on täidetud, ei ületa ükski liige naturaalarvu, millest summa lahutatakse.
Tähtede abil kirjutatakse võrdsusena omadus lahutada antud naturaalarvust kahe arvu summa a−(b+c)=(a−b)−c, kus a, b ja c on mõned naturaalarvud ning tingimused a>b+c või a=b+c on täidetud.
Vaadeldav omadus, nagu ka naturaalarvude liitmise kombinatoorne omadus, võimaldavad antud naturaalarvust lahutada kolme või enama arvu summa.
Naturaalarvu lahutamise omadus kahe arvu summast.
Liigume edasi järgmise omaduse juurde, mis on seotud antud naturaalarvu lahutamisega kahe naturaalarvu antud summast. Vaatame näiteid, mis aitavad meil "näha" seda omadust lahutada naturaalarv kahe arvu summast.
Olgu meil esimeses taskus 3 kommi ja teises 5 kommi ning 2 kommi tuleb ära anda. Saame seda teha erinevatel viisidel. Vaatame neid ükshaaval.
Esiteks saame kõik kommid ühte taskusse panna, siis sealt 2 kommi välja võtta ja ära anda. Kirjeldame neid toiminguid matemaatiliselt. Pärast kommide ühte taskusse panemist määratakse nende arv summaga 3+5. Nüüd anname kommide koguarvust ära 2 kommi, ülejäänud kommide arvu määrab aga järgmine vahe (3+5)−2.
Teiseks saame esimesest taskust välja võttes ära anda 2 kommi. Sel juhul määrab vahe 3-2 esimeses taskus allesjäänud kommide arvu ja meie taskusse jäävate kommide koguarvu määrab summa (3-2)+5.
Kolmandaks saame teisest taskust ära anda 2 kommi. Siis vastab erinevus 5-2 teises taskus allesjäänud kommide arvule ja ülejäänud kommide koguarv määratakse summaga 3+(5-2) .
Selge on see, et kõigil juhtudel on meil sama palju komme. Järelikult kehtivad võrrandid (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2).
Kui peaksime ära andma mitte 2, vaid 4 kommi, siis saaksime seda teha kahel viisil. Esmalt kingi ära 4 kommi, olles eelnevalt kõik ühte taskusse pannud. Sel juhul määratakse ülejäänud kommide arv avaldisega kujul (3+5)−4. Teiseks saime teisest taskust ära anda 4 kommi. Sel juhul annab kommide koguarv järgmise summa 3+(5−4) . On selge, et nii esimesel kui ka teisel juhul on meil sama arv komme, seega on võrdus (3+5)−4=3+(5−4) tõene.
Olles analüüsinud eelmiste näidete lahendamisel saadud tulemusi, saame sõnastada omaduse lahutada antud naturaalarv antud kahe arvu summast. Antud naturaalarvu lahutamine kahe arvu antud summast on sama, mis lahutada antud arv ühest liikmest ning seejärel liita saadud erinevus ja teine liige. Tuleb märkida, et lahutatav arv EI TOHI olla suurem kui liige, millest see arv lahutatakse.
Paneme kirja naturaalarvu lahutamise omaduse summast tähtede abil. Olgu a, b ja c mõned naturaalarvud. Siis, eeldusel, et a on suurem või võrdne c-ga, on võrdsus tõene (a+b)−c=(a−c)+b, ja kui on täidetud tingimus, et b on suurem kui c või sellega võrdne, on võrdsus tõene (a+b)-c=a+(b-c). Kui nii a kui ka b on suuremad või võrdsed c-ga, on mõlemad viimased võrdsused tõesed ja neid saab kirjutada järgmiselt: (a+b)-c=(a-c)+b= a+(b-c) .
Analoogia põhjal saame sõnastada omaduse lahutada naturaalarv kolme või enama arvu summast. Sel juhul saab selle naturaalarvu lahutada mis tahes liikmest (muidugi juhul, kui see on lahutatavast arvust suurem või sellega võrdne) ja ülejäänud liikmed saab saadud erinevusele lisada.
Helistatava vara visualiseerimiseks võite ette kujutada, et meil on palju taskuid ja neis on kommid. Oletame, et peame ära andma 1 kommi. Selge see, et 1 kommi saame ära anda igast taskust. Samal ajal pole vahet, millisest taskust me selle ära anname, kuna see ei mõjuta meile jäävat kommi kogust.
Toome näite. Olgu a, b, c ja d mõned naturaalarvud. Kui a>d või a=d, siis on vahe (a+b+c)−d võrdne summaga (a−d)+b+c. Kui b>d või b=d, siis (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Kui c>d või c=d, siis on võrdus (a+b+c)−d=a+b+(c−d) tõene.
Tuleb märkida, et kolme või enama arvu summast naturaalarvu lahutamise omadus ei ole uus omadus, kuna see tuleneb naturaalarvude liitmise omadustest ja kahe arvu summast arvu lahutamise omadustest.
Bibliograafia.
- Matemaatika. Üldharidusasutuste 1., 2., 3., 4. klassi mis tahes õpikud.
- Matemaatika. Suvalised õpikud üldharidusasutuste 5. klassile.
Teema, millele see õppetund on pühendatud, on "Liitmise omadused". Selles saate tutvuda liitmise kommutatiivsete ja assotsiatiivsete omadustega, uurides neid konkreetsete näidetega. Uurige, millistel juhtudel saate neid arvutusprotsessi hõlbustamiseks kasutada. Testinäited aitavad kindlaks teha, kui hästi olete uuritud materjali omandanud.
Õppetund: Lisamise omadused
Vaadake tähelepanelikult väljendit:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Peame leidma selle väärtuse. Teeme seda.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Avaldise tulemus on 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Ütle mulle, kas oli mugav arvutada? Seda polnud eriti mugav arvutada. Vaadake uuesti selle avaldise numbreid. Kas neid on võimalik vahetada nii, et arvutused oleksid mugavamad?
Kui paigutame numbrid ümber:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Avaldise lõpptulemus on 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Näeme, et avaldiste tulemused on samad.
Kui see on arvutamiseks mugav, saab tingimusi vahetada ja summa väärtus ei muutu.
Matemaatikas on seadus: Kommutatiivne liitmise seadus. Selles märgitakse, et tingimuste ümberkorraldamine ei muuda summat.
Onu Fjodor ja Šarik vaidlesid. Šarik leidis väljendi tähenduse nii, nagu see oli kirjutatud, ja onu Fjodor ütles, et teab teist, mugavamat arvutusviisi. Kas näete paremat viisi arvutamiseks?
Sharik lahendas väljendi nii, nagu see oli kirjutatud. Ja onu Fjodor ütles, et ta teab seadust, mis lubab termineid vahetada, ja vahetas numbrid 25 ja 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Näeme, et tulemus jääb samaks, kuid arvutamine on muutunud palju lihtsamaks.
Vaadake järgmisi väljendeid ja lugege need läbi.
6 + (24 + 51) = 81 (6-le lisage 24 ja 51 summa)
Kas on mõni mugav viis arvutamiseks?
Näeme, et kui liidame 6 ja 24, saame ümmarguse arvu. Ümmargusele numbrile on alati lihtsam midagi lisada. Paneme sulgudesse arvude 6 ja 24 summa.
(6 + 24) + 51 = …
(lisada numbrite 6 ja 24 summale 51)
Arvutame välja avaldise väärtuse ja vaatame, kas avaldise väärtus on muutunud?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Näeme, et väljendi tähendus jääb samaks.
Harjutame veel ühe näitega.
(27 + 19) + 1 = 47 (arvude 27 ja 19 summale liidetakse 1)
Milliseid numbreid on mugav grupeerida, et moodustada mugav meetod?
Sa arvasid, et need on numbrid 19 ja 1. Paneme sulgudesse arvude 19 ja 1 summa.
27 + (19 + 1) = …
(27-le lisage arvude 19 ja 1 summa)
Leiame selle väljendi tähenduse. Peame meeles, et esmalt sooritatakse sulgudes olev toiming.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Meie väljendi tähendus jääb samaks.
Kombinatsiooni liitmise seadus: kaks kõrvuti asetsevat liiget saab asendada nende summaga.
Nüüd harjutame mõlema seaduse kasutamist. Peame arvutama avaldise väärtuse:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Esiteks kasutame liitmise kommutatiivset omadust, mis võimaldab meil liite vahetada. Vahetame terminid 14 ja 2 ära.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Nüüd kasutame kombinatsiooni omadust, mis võimaldab asendada kaks külgnevat liiget nende summaga.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Kõigepealt selgitame välja summade 38 ja 2 väärtuse.
Nüüd on summa 14 ja 6.
3. Pedagoogiliste ideede festival “Avatud tund” ().
Tee seda kodus
1. Arvutage terminite summa erinevatel viisidel:
a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16
2. Hinnake avaldiste tulemusi:
a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1
3. Arvutage summa mugaval viisil:
a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13
Lahutamise mõistest saab kõige paremini aru näite abil. Otsustad juua teed magusaga. Vaasis oli 10 maiustust. Sa sõid 3 kommi. Mitu kommi on vaasi jäänud? Kui lahutame 10-st 3, jääb vaasi 7 maiustust. Kirjutame ülesande matemaatiliselt:
Vaatame kirjet üksikasjalikult:
10 on arv, millest lahutame või vähendame, mistõttu seda nimetatakse vähendatav.
3 on arv, mille me lahutame. Sellepärast nad kutsuvad teda omavastutus.
7 on lahutamise tulemus või seda nimetatakse ka erinevus. Erinevus näitab, kui palju on esimene arv (10) suurem kui teine arv (3) või kui palju on teine arv (3) väiksem kui esimene arv (10).
Kui kahtlete, kas leidsite erinevuse õigesti, peate seda tegema Kontrollima. Lisage erinevusele teine arv: 7+3=10
Kui lahutada l, ei saa minuend olla väiksem kui lahutamine.
Teeme öeldu põhjal järelduse. Lahutamine- see on toiming, mille abil leitakse summast ja ühest terminist teine liige.
Sõnasõnalises vormis näeb see väljend välja järgmine:
a-b =c
a - minuend,
b – alamosa,
c – erinevus.
Numbrist summa lahutamise omadused.
13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6
Näidet saab lahendada kahel viisil. Esimene võimalus on leida arvude summa (3+4) ja seejärel lahutada koguarvust (13). Teine võimalus on lahutada koguarvust (13) esimene liige (3) ja seejärel lahutada saadud erinevusest teine liige (4).
Sõnasõnalises vormis näeb arvust summa lahutamise omadus välja järgmine:
a - (b + c) = a - b - c
Summast arvu lahutamise omadus.
(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
Arvu lahutamiseks summast saate selle arvu lahutada ühest liikmest ja seejärel lisada saadud erinevusele teise liikme. Tingimuseks on, et liitsumma on suurem kui lahutatav arv.
Sõnasõnalises vormis näeb summast arvu lahutamise omadus välja järgmine:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a+b) —c=a + (b - c), tingimusel, et b > c
(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c=(a - c) + b, tingimusel, et > c
Lahutamise omadus nulliga.
10 — 0 = 10
a - 0 = a
Kui lahutate arvust nulli siis on see sama number.
10 — 10 = 0
a-a = 0
Kui lahutate arvust sama arvu siis on see null.
Seotud küsimused:
Näites 35 - 22 = 13 nimetage minuend, alamosa ja erinevus.
Vastus: 35 – minuend, 22 – subtrahend, 13 – erinevus.
Kui numbrid on samad, mis on nende erinevus?
Vastus: null.
Kas lahutamise test 24–16 = 8?
Vastus: 16 + 8 = 24
Naturaalarvude 1 kuni 10 lahutamise tabel.
Näited probleemide kohta teemal "Naturaalarvude lahutamine".
Näide nr 1:
Sisestage puuduv arv: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Vastus: a) 0 b) 5
Näide nr 2:
Kas on võimalik lahutada: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Vastus: a) ei b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) ei
Näide nr 3:
Lugege väljendit: 20 - 8
Vastus: "Lahutage kahekümnest kaheksa" või "lahutage kahekümnest kaheksa". Häälda sõnu õigesti