Põhivalemid täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks. Interneti-kalkulaator

Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on kirjutatud siin:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake kõige rohkem tähelepanu meie navigaatorile kasulik ressurss Sest

Mõiste "ruutvõrrand" on võtmesõnaks "ruutvõrrand". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama muutujat (sama x) ruudus ja kolmandal (või suuremal) astmel ei tohiks olla x-e.

Paljude võrrandite lahendamine taandub ruutvõrrandite lahendamisele.

Õpime kindlaks tegema, et see on ruutvõrrand, mitte mõni muu võrrand.

Näide 1.

Vabaneme nimetajast ja korrutame võrrandi iga liikme võrrandiga

Liigume kõik edasi vasak pool ja järjesta terminid x astmete kahanevas järjekorras

Nüüd võime seda kindlalt väita antud võrrand on kandiline!

Näide 2.

Korrutage vasak ja parem külg arvuga:

See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruutkeskne!

Näide 3.

Korrutame kõik arvuga:

Hirmutav? Neljas ja teine ​​aste... Kui aga teeme asenduse, näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:

Näide 4.

Tundub, et see on olemas, kuid vaatame lähemalt. Liigutame kõik vasakule:

Vaata, see on vähendatud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!

Proovige nüüd ise kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:

Näited:

Vastused:

1. ruut;
2. ruut;
3. mitte ruudukujuline;
4. mitte ruudukujuline;
5. mitte ruudukujuline;
6. ruut;
7. mitte ruudukujuline;
8. ruut.

Matemaatikud jagavad tavapäraselt kõik ruutvõrrandid järgmisteks tüüpideks:

• Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, nagu ka vaba liige c, ei ole võrdsed nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud- need on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)

• Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

  Need on puudulikud, kuna neil on mõni element puudu. Kuid võrrand peab alati sisaldama x ruudus!!! Vastasel juhul pole see enam ruutvõrrand, vaid mõni muu võrrand.

Miks nad sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. See jaotus määratakse lahendusmeetoditega. Vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Kõigepealt keskendume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisele – need on palju lihtsamad!

On olemas mittetäielikke ruutvõrrandeid:

1. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
2. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
3. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

1. i. Sest me teame, kuidas ekstraheerida Ruutjuur, siis väljendame sellest võrrandist

Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Arv ruudus ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemus alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.

Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et sa pead teadma ja alati meeles pidama, et vähem ei saa olla.

Proovime lahendada mõned näited.

Näide 5:

Lahenda võrrand

Nüüd jääb üle ainult juur vasakult ja paremalt küljelt välja tõmmata. Lõppude lõpuks mäletate, kuidas juuri ekstraheerida?

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!!!

Näide 6:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 7:

Lahenda võrrand

Oh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri!

Selliste võrrandite jaoks, millel pole juuri, leidsid matemaatikud spetsiaalse ikooni - ( tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:

Vastus:

Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:

Lahenda võrrand

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Seega

Sellel võrrandil on kaks juurt.

Vastus:

Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Loobume siin näidetest.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine

Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus

Täielike ruutvõrrandite lahendamine on nendest pisut keerulisem (lihtsalt natukene).

Pea meeles, Mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Teised meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, siis kõigepealt omandage lahendus diskriminandi abil.

1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.

Ruutvõrrandite lahendamine selle meetodi abil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.

Kui, siis võrrandil on juur. Erilist tähelepanu astu samm. Diskriminant () näitab meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil ainult juur.
• Kui, siis me ei saa etapis diskrimineerija juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Läheme tagasi oma võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.

Näide 9:

Lahenda võrrand

Samm 1 jätame vahele.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

See tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

3. samm.

Vastus:

Näide 10:

Lahenda võrrand

Võrrand on esitatud standardsel kujul, nii et Samm 1 jätame vahele.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

See tähendab, et võrrandil on üks juur.

Vastus:

Näide 11:

Lahenda võrrand

Võrrand on esitatud standardsel kujul, nii et Samm 1 jätame vahele.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

See tähendab, et me ei saa eraldada diskrimineerija juurt. Võrrandi juured puuduvad.

Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.

Vastus: pole juuri

2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.

Kui mäletate, on olemas teatud tüüpi võrrand, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):

Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:

Juurte summa antud ruutvõrrand on võrdne ja juurte korrutis on võrdne.

Näide 12:

Lahenda võrrand

Seda võrrandit saab lahendada Vieta teoreemi abil, sest .

Võrrandi juurte summa on võrdne, s.o. saame esimese võrrandi:

Ja toode on võrdne:

Koostame ja lahendame süsteemi:

• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Vastus: ; .

Näide 13:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 14:

Lahenda võrrand

Võrrand on antud, mis tähendab:

Vastus:

RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE

Mis on ruutvõrrand?

Teisisõnu, ruutvõrrand on võrrand kujul, kus - tundmatu, - mõned arvud ja.

Numbrit nimetatakse suurimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine ​​koefitsient, A - vaba liige.

Miks? Sest kui võrrand muutub kohe lineaarseks, sest kaob.

Sel juhul ja võib olla võrdne nulliga. Selles tooli võrrandis nimetatakse mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.

Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

Kõigepealt vaatame mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid – need on lihtsamad.

Saame eristada järgmist tüüpi võrrandeid:

I., selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

II. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.

III. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.

Vaatame nüüd igale sellisele alatüübile lahendust.

Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kui korrutada kaks negatiivset või kaks positiivset arvu, on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:

kui, siis võrrandil pole lahendeid;

kui meil on kaks juurt

Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!

Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri.

Lühidalt kirja panemiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.

Vastus:

Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.

Vastus:

Me võtame selle välja ühine kordaja väljaspool sulgusid:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:

Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.

Näide:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Korrigeerime võrrandi vasakut külge ja leiame juured:

Vastus:

Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

1. Diskriminant

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peaasi, et meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Kas märkasite juurte valemis diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu 2. sammule. Diskriminant ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis on võrrandil juured:
• Kui siis võrrandil on identsed juured, kuid sisuliselt üks juur:

  Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.

• Kui, siis ei eraldata diskriminandi juurt. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Miks on see võimalik erinevad kogused juured? Pöördume poole geomeetriline tunne ruutvõrrand. Funktsiooni graafik on parabool:

Erijuhul, mis on ruutvõrrand, . See tähendab, et ruutvõrrandi juurteks on lõikepunktid abstsissteljega (teljega). Parabool ei pruugi teljega üldse ristuda või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.

Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud üles ja kui, siis alla.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Vastus:.

Vastus:

See tähendab, et lahendusi pole.

Vastus:.

2. Vieta teoreem

Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: tuleb lihtsalt valida numbripaar, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga.

Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult selles redutseeritud ruutvõrrandid ().

Vaatame mõnda näidet:

Näide nr 1:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Seda võrrandit saab lahendada Vieta teoreemi abil, sest . Muud koefitsiendid: ; .

Võrrandi juurte summa on:

Ja toode on võrdne:

Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne;
• Ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Seega ja on meie võrrandi juured.

Vastus: ; .

Näide nr 2:

Lahendus:

Valime välja korrutises olevad arvupaarid ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja: nad annavad kokku.

ja: nad annavad kokku. Selle saamiseks piisab, kui muudate lihtsalt oletatavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka toodet.

Vastus:

Näide nr 3:

Lahendus:

Võrrandi vaba liige on negatiivne ja seetõttu on juurte korrutis negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine ​​positiivne. Seetõttu on juurte summa võrdne nende moodulite erinevused.

Valime välja arvupaarid, mis annavad korrutis ja mille erinevus on võrdne:

ja: nende erinevus on võrdne - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - sobiv. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, peab väiksema mooduliga juur olema negatiivne: . Kontrollime:

Vastus:

Näide nr 4:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on antud, mis tähendab:

Vaba termin on negatiivne ja seetõttu on juurte korrutis negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine ​​positiivne.

Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:

Ilmselt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:

Vastus:

Näide nr 5:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on antud, mis tähendab:

Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Kuid kuna nende toode on positiivne, tähendab see, et mõlemal juurel on miinusmärk.

Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne:

Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.

Vastus:

Nõus, väga mugav on juured suuliselt välja mõelda, selle vastiku diskrimineerija lugemise asemel. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.

Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selleks, et saaksite selle kasutamisest kasu, peate toimingud automaatseks muutma. Ja selleks lahendage veel viis näidet. Kuid ärge petke: te ei saa kasutada diskriminant! Ainult Vieta teoreem:

Iseseisva töö ülesannete lahendused:

Ülesanne 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vastavalt Vieta teoreemile:

Nagu ikka, alustame valikut tükiga:

Ei sobi, sest kogus;

: summa on just see, mida vajate.

Vastus: ; .

2. ülesanne.

Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peab olema võrdne ja korrutis peab olema võrdne.

Aga kuna see peab olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (kokku).

Vastus: ; .

3. ülesanne.

Hmm... Kus see on?

Peate kõik tingimused ühte ossa teisaldama:

Juurte summa võrdub korrutisega.

Olgu, lõpeta! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult antud võrrandites. Nii et kõigepealt peate esitama võrrandi. Kui te ei saa juhtida, loobuge sellest ideest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskrimineerija kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi andmine tähendab juhtiva koefitsiendi võrdseks muutmist:

Suurepärane. Siis võrdub juurte summa ja korrutis.

Siin on valida sama lihtne kui pirnide koorimine: lõppude lõpuks on see algarv (vabandan tautoloogia pärast).

Vastus: ; .

4. ülesanne.

Tasuta liige on negatiivne. Mis on selles erilist? Ja tõsiasi on see, et juurtel on erinevad märgid. Ja nüüd, valiku käigus, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, vaid toode.

Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.

Vastus: ; .

5. ülesanne.

Mida peaksite kõigepealt tegema? See on õige, esitage võrrand:

Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:

Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Milline? Nende summa peaks olema võrdne, mis tähendab, et miinusel on suurem juur.

Vastus: ; .

Lubage mul teha kokkuvõte:

1. Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
2. Vieta teoreemi kasutades leiad juured valiku teel, suuliselt.
3. Kui võrrandit ei anta või ei leita sobivat vaba liikme tegurite paari, siis terveid juuri pole ja see tuleb lahendada muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu).

3. Terve ruudu valimise meetod

Kui kõik tundmatut sisaldavad terminid on esitatud lühendatud korrutusvalemite terminitena - summa või erinevuse ruut -, siis pärast muutujate asendamist saab võrrandi esitada mittetäieliku ruutvõrrandina.

Näiteks:

Näide 1:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Näide 2:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

IN üldine vaade teisendus näeb välja selline:

See tähendab:.

Ei tuleta sulle midagi meelde? See on diskrimineeriv asi! Täpselt nii saime diskrimineeriva valemi.

RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST

Ruutvõrrand- see on vormi võrrand, kus - tundmatu, - ruutvõrrandi kordajad, - vaba liige.

Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on: .

Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

• kui koefitsient, näeb võrrand välja selline: ,
• kui on olemas vaba termin, on võrrandil vorm: ,
• kui ja, näeb võrrand välja selline: .

1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks

1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Väljendame tundmatut: ,

2) Kontrollige väljendi märki:

• kui, siis võrrandil pole lahendeid,
• kui, siis on võrrandil kaks juurt.

1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Võtame sulgudest välja ühisteguri: ,

2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:

1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

Sellel võrrandil on alati ainult üks juur: .

2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus

2.1. Lahendus diskriminandi abil

1) Tahandame võrrandi väärtuseks standardvaade: ,

2) Arvutame diskriminandi valemiga: , mis näitab võrrandi juurte arvu:

3) Leidke võrrandi juured:

• kui, siis on võrrandil juured, mis leitakse valemiga:
• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis võrrandil pole juuri.

2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil

Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , A.

2.3. Lahendus ekstraheerimismeetodil täisruut

Kui vormi ruutvõrrandil on juured, siis saab selle kirjutada kujul: .

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Sest edukas lõpetamineÜhtne riigieksam, eelarvega kolledžisse vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees on palju avatumat rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

", see tähendab esimese astme võrrandeid. Selles õppetükis vaatleme mida nimetatakse ruutvõrrandiks ja kuidas seda lahendada.

Mis on ruutvõrrand?

Tähtis!

Võrrandi aste määratakse tundmatu kõrgeima astme järgi.

Kui maksimaalne aste, milles tundmatu on "2", mis tähendab, et teil on ruutvõrrand.

Ruutvõrrandite näited

• 5x 2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Tähtis! Ruutvõrrandi üldvorm näeb välja selline:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” ja “c” on antud numbritega.

• "a" on esimene või kõrgeim koefitsient;
• "b" on teine ​​koefitsient;
• "c" on vaba termin.

"a", "b" ja "c" leidmiseks peate oma võrrandit võrdlema ruutvõrrandi "ax 2 + bx + c = 0" üldkujuga.

Harjutame ruutvõrrandites kordajate "a", "b" ja "c" määramist.

5x 2 – 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Võrrand	Koefitsiendid
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kuidas lahendada ruutvõrrandeid

Erinevalt lineaarvõrrandid ruutvõrrandite lahendamiseks eriline juurte leidmise valem.

Pea meeles!

Ruutvõrrandi lahendamiseks on vaja:

• viige ruutvõrrand üldkujule “ax 2 + bx + c = 0”. See tähendab, et paremale küljele peaks jääma ainult "0";
• kasutage juurte jaoks valemit:

Vaatame näidet, kuidas kasutada valemit ruutvõrrandi juurte leidmiseks. Lahendame ruutvõrrandi.

X 2 - 3x - 4 = 0

Võrrand “x 2 − 3x − 4 = 0” on juba taandatud üldkujule “ax 2 + bx + c = 0” ega vaja täiendavaid lihtsustusi. Selle lahendamiseks peame lihtsalt taotlema ruutvõrrandi juurte leidmise valem.

Määrame selle võrrandi koefitsiendid “a”, “b” ja “c”.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Seda saab kasutada mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks.

Valemis “x 1;2 = ” asendatakse radikaalavaldis sageli
"b 2 − 4ac" tähistab tähte "D" ja seda nimetatakse diskrimineerivaks. Diskriminandi mõistest on täpsemalt juttu tunnis “Mis on diskriminant”.

Vaatame veel ühte ruutvõrrandi näidet.

x 2 + 9 + x = 7x

Sellisel kujul on koefitsiente “a”, “b” ja “c” üsna keeruline määrata. Esmalt taandame võrrandi üldkujule “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 – 6x + 9 = 0

Nüüd saate kasutada juurte valemit.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Vastus: x = 3

On aegu, mil ruutvõrranditel pole juuri. See olukord tekib siis, kui valem sisaldab juure all negatiivset arvu.

Ruutvõrrand on võrrand kujul a*x^2 +b*x+c=0, kus a,b,c on mingid suvalised reaalarvud ja x on muutuja. Pealegi ei ole arv a võrdne 0-ga.

Arve a,b,c nimetatakse koefitsientideks. Arvu a nimetatakse juhtkoefitsiendiks, arvu b on koefitsient x ja arvu c nimetatakse vabaks liikmeks. Mõnes kirjanduses leidub ka teisi nimetusi. Arvu a nimetatakse esimeseks koefitsiendiks ja arvu b teiseks koefitsiendiks.

Ruutvõrrandite klassifikatsioon

Ruutvõrranditel on oma klassifikatsioon.

Koefitsientide saadavuse põhjal:

1. Täis

2. Mittetäielik

Koefitsiendi väärtuse järgi vanem kraad teadmata(juhtkoefitsiendi väärtus):

1. Antud

2. Esindamata

Ruutvõrrand nimetatakse täielikuks kui selles on kõik kolm koefitsienti ja need erinevad nullist. Täieliku ruutvõrrandi üldvaade: a*x^2 +b*x+c=0;

Ruutvõrrand nimetatakse mittetäielikuks kui võrrandis a*x^2 +b*x+c=0 on üks koefitsientidest b või c võrdne nulliga (b=0 või c=0), on mittetäielik ruutvõrrand võrrand, millel on nii koefitsient b kui ka koefitsient c on samaaegselt võrdsed nulliga (mõlemad b=0 ja c=0).

Väärib märkimist, et juhtkoefitsiendi kohta pole siin midagi öeldud, kuna ruutvõrrandi definitsiooni järgi peab see nullist erinema.

antud kui selle juhtiv koefitsient võrdne ühega(a=1). Ülaltoodud ruutvõrrandi üldvorm on: x^2 +d*x+e=0.

Ruutvõrrandit nimetatakse teadmata, kui võrrandi juhtiv koefitsient erineb nullist. Redutseerimata ruutvõrrandi üldvorm on: a*x^2 +b*x+c=0.

Tuleb märkida, et mis tahes taandamata ruutvõrrandit saab taandada taandatud võrrandiks. Selleks peate ruutvõrrandi koefitsiendid jagama juhtiva koefitsiendiga.

Ruutvõrrandi näited

Vaatame näidet: meil on võrrand 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Teisendame selle antud võrrandiks. Juhtkoefitsient on 2. Jagame sellega oma võrrandi koefitsiendid ja kirjutame vastuse üles.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Nagu märkasite, on ruutvõrrandi paremal küljel teise astme polünoom a*x^2 +b*x+c. Seda nimetatakse ka ruuttrinoomiks.

On teada, et see on võrdsuse ax 2 + bx + c = o konkreetne versioon, kus a, b ja c on tundmatu x tegelikud koefitsiendid ning kus a ≠ o ning b ja c on nullid - samaaegselt või eraldi. Näiteks c = o, b ≠ o või vastupidi. Peaaegu mäletasime ruutvõrrandi määratlust.

Teise astme trinoom on null. Selle esimene koefitsient a ≠ o, b ja c võivad võtta mis tahes väärtused. Muutuja x väärtus on siis, kui asendamine muudab selle õigeks numbriline võrdsus. Keskendume reaaljuurtele, kuigi võrrandid võivad olla ka lahendid, mille puhul ükski koefitsient pole võrdne o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o, on tavaks nimetada.
Lahendame näite. 2x 2 -9x-5 = oh, leiame
D = 81 + 40 = 121,
D on positiivne, mis tähendab, et on olemas juured, x 1 = (9+√121):4 = 5 ja teine ​​x 2 = (9-√121):4 = -o,5. Kontrollimine aitab veenduda, et need on õiged.

Siin on ruutvõrrandi samm-sammuline lahendus

Diskriminandi abil saate lahendada mis tahes võrrandi, mille vasakul küljel on teada ruuttrinoom≠ o jaoks. Meie näites. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Vaatame, mis seal on mittetäielikud võrrandid teine ​​aste

1. ax 2 +in = o. Vaba liige, koefitsient c x 0 juures on siin võrdne nulliga, ühikutes ≠ o.
   Kuidas lahendada seda tüüpi mittetäielikku ruutvõrrandit? Võtame x sulgudest välja. Tuletame meelde, kui kahe teguri korrutis on võrdne nulliga.
   x(ax+b) = o, see võib olla siis, kui x = o või kui ax+b = o.
   Olles lahendanud 2., saame x = -в/а.
   Selle tulemusena on meil juured x 1 = 0, arvutuste kohaselt x 2 = -b/a.
2. Nüüd on x koefitsient võrdne o-ga ja c ei ole võrdne (≠) o-ga.
   x 2 +c = o. Liigume c võrrandist paremale poole, saame x 2 = -с. Sellel võrrandil on reaaljuured ainult siis, kui -c on positiivne arv (c ‹ o),
   x 1 on siis võrdne √(-c), x 2 on -√(-c). IN muidu võrrandil pole üldse juuri.
3. Viimane variant: b = c = o, see tähendab, ax 2 = o. Loomulikult on sellisel lihtsal võrrandil üks juur, x = o.

Erijuhtumid

Vaatasime, kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit, ja võtame nüüd kõik tüübid.

• Täielikus ruutvõrrandis on x-i teine ​​koefitsient paarisarv.
  Olgu k = o.5b. Meil on valemid diskriminandi ja juurte arvutamiseks.
  D/4 = k 2 - ac, juured arvutatakse x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o jaoks.
  x = -k/a, kui D = o.
  D ‹ o juured puuduvad.
• Seal on antud ruutvõrrandid, kui x ruudu koefitsient on võrdne 1-ga, kirjutatakse need tavaliselt x 2 + рх + q = o. Nende kohta kehtivad kõik ülaltoodud valemid, kuid arvutused on mõnevõrra lihtsamad.
  Näide, x 2 -4x-9 = 0. Arvutage D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Lisaks on seda lihtne rakendada antud kohta. See ütleb, et võrrandi juurte summa on võrdne -p, teine ​​koefitsient miinusega (tähendab). vastupidine märk) ja nende samade juurte korrutis võrdub vaba liikmega q. Vaadake, kui lihtne oleks selle võrrandi juuri verbaalselt määrata. Vähendamata (kõikide koefitsientide jaoks, mitte võrdne nulliga) see teoreem on rakendatav järgmiselt: summa x 1 + x 2 võrdub -b/a, korrutis x 1 ·x 2 on võrdne c/a.

Vabaliikme c ja esimese koefitsiendi a summa on võrdne koefitsiendiga b. Selles olukorras on võrrandil vähemalt üks juur (lihtne tõestada), esimene on tingimata võrdne -1 ja teine ​​-c/a, kui see on olemas. Saate ise kontrollida, kuidas mittetäielikku ruutvõrrandit lahendada. Sama lihtne kui pirukas. Koefitsiendid võivad olla üksteisega teatud suhetes

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Kõigi koefitsientide summa on võrdne o-ga.
  Sellise võrrandi juurteks on 1 ja c/a. Näide, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Erinevate teise astme võrrandite lahendamiseks on veel mitmeid viise. Siin on näiteks meetod täieliku ruudu eraldamiseks antud polünoomist. Graafilised meetodid mõned. Kui te selliste näidetega sageli tegelete, õpite neid nagu seemneid “klõpsama”, sest kõik meetodid tulevad automaatselt meelde.

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

küla Kopevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

1.2 Kuidas Diophantos ruutvõrrandid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Al-Khorezmi ruutvõrrandid

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada alade leidmisega seotud probleeme maatükid ja sõjalise iseloomuga mullatöödega, samuti astronoomia ja matemaatika enda arendamisega. Ruutvõrrandid suudeti lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased.

Kasutades kaasaegset algebraline tähistus, võime öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid pakuvad ainult probleeme retseptidena välja toodud lahendustega, viitamata sellele, kuidas need leiti.

Vaatamata sellele kõrge tase algebra areng Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja üldised meetodid ruutvõrrandite lahendamine.

1.2 Kuidas Diophantos ruutvõrrandid koostas ja lahendas.

Diophantose aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist esitust, küll aga süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite konstrueerimisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Probleem 11."Leidke kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diofanti põhjused järgmisel viisil: ülesande tingimustest järeldub, et nõutavad arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis ei oleks nende korrutis võrdne 96-ga, vaid 100-ga. Seega on üks neist rohkem kui pool nende summad, s.o. 10 + x, teine ​​on vähem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks nõutavatest arvudest on võrdne 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe nõutud arvudest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

On selge, et valides tundmatuks vajalike arvude poolvahe, lihtsustab Diophantus lahendust; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandi ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis “Aryabhattiam”, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreegel ruutvõrrandite lahendused, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, v.a A, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel on sisuliselt sama, mis meie oma.

IN Vana-India avalikud võistlused lahendamisel olid tavalised raskeid ülesandeid. Üks vana india raamat ütleb selliste võistluste kohta järgmist: „Nii nagu päike varjutab oma säraga tähti, nii õppinud mees varjutab teise hiilguse rahvakogud, algebraliste ülesannete pakkumine ja lahendamine. Probleeme esitati sageli poeetilises vormis.

See on üks kuulsa 12. sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskarid.

Probleem 13.

"Parv vingeid ahve ja kaksteist viinapuude ääres...

Söönud võimudel oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma...

Neid on väljakul, kaheksas osa Mitu ahvi seal oli?

Mul oli lagendikul lõbus. Ütle mulle, selles pakis?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis, et ruutvõrrandite juured on kaheväärtuslikud (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja selle võrrandi vasaku külje lõpetamiseks ruuduks lisab mõlemale poolele 32 2 , siis saad:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al - Khorezmis

Al-Khorezmi algebralises traktaadis on toodud lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsioon. Autor loeb kokku 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) “Ruut on võrdne juurtega”, st. ax 2 + c = b X.

2) “Ruudmed on võrdsed arvudega”, s.o. kirves 2 = c.

3) “Juured on võrdsed arvuga”, st. ah = s.

4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, st. ax 2 + c = b X.

5) “Ruut ja juured on võrdsed arvudega”, s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st. bx + c = ax 2 .

Al-Khorezmi jaoks, kes vältis tarbimist negatiivsed arvud, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutatavad. Sel juhul võrrandid, millel pole positiivseid otsuseid. Autor esitab meetodid nende võrrandite lahendamiseks al-jabri ja al-muqabala tehnikate abil. Tema otsused muidugi meie omadega täielikult kokku ei lähe. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud kuni 17. sajandini, ei võta arvesse null lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetses praktilisi probleeme vahet pole. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel al-Khorezmi osalisel numbrilised näited paneb paika lahenduse reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

Probleem 14.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (see tähendab võrrandi x 2 + 21 = 10x juurt).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, järele jääb 4. Võta juur 4-st, saad 2. Lahuta 5-st 2 , saate 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khorezmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, mis paneb süstemaatiliselt paika ruutvõrrandite klassifikatsiooni ja annab valemid nende lahendamiseks.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII bb

Al-Khwarizmi joonega ruutvõrrandite lahendamise valemid Euroopas esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. See mahukas töö, mis peegeldab matemaatika mõju nii islamimaades kui Vana-Kreeka, eristub nii esituse täielikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised näited probleeme lahendades ja võttis Euroopas esimesena kasutusele negatiivsed arvud. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud Abakuse raamatu probleemid kandusid peaaegu kõigile Euroopa õpikud XVI-XVII sajandil ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = c,

kõigi võimalike koefitsientide märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Ruutvõrrandi üldisel kujul lahendamise valemi tuletus on saadaval Viète'ilt, kuid Viète tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Nad arvestavad lisaks positiivsele ja negatiivsed juured. Alles 17. sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle võtab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta järgi nime saanud ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D, korrutatud A - A 2 , võrdub BD, See A võrdub IN ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks peaksime seda meeles pidama A, nagu iga täishäälik, tähendas tundmatut (meie X), täishäälikud IN, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab ülaltoodud Vieta formuleering: kui on

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Võrrandite juurte ja kordajate vahelise seose väljendamine üldvalemid sümbolite abil kirjutatud, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Vieti sümboolikast on aga asi veel kaugel moodne välimus. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu võttis ta võrrandite lahendamisel arvesse ainult juhtumeid, kus kõik juured olid positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millele toetub majesteetlik hoone algebra. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Kõik me teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.