Diferentsiaalarvutuse töötuba. Tuletise geomeetriline tähendus

2. Funktsioonid. Funktsioonide lihtsamad omadused 21 2.11. Tõesta, et kui f (x) on perioodiline funktsioon perioodiga T, siis funktsioon f (ax) on samuti perioodiline perioodiga T /a. Lahendus. Tõepoolest, f = f (ax + T) = f (ax), st. T /a on funktsiooni f (ax) üks perioodidest. 2.12. Leia funktsiooni f (x) = cos2 x periood. 1 + cos 2x Lahendus. Võime kirjutada: cos2 x = . Näeme seda perioodi 2 cos funktsioonid 2 x on sama mis cos 2x funktsiooni periood. Kuna funktsiooni cos x periood võrdub 2π, siis vastavalt ülesandele 2.11 võrdub funktsiooni cos 2x periood π-ga. 2.13. Leidke funktsioonide periood: a) f (x) = sin 2πx; b) f (x) = | cos x|. Vastus: a) T = 1; b) T = π. Ülesanded jaoks sõltumatu otsus 2.14. Olgu f (x) = x2 ja ϕ(x) = 2x. Leidke: a) f [ϕ(x)], b) ϕ. 2.15. Leidke f (x + 1), kui f (x - 1) = x2. 1 2.16. Funktsioon f (x) = on antud. 1−x Leia ϕ(x) = f (f ). 2.17. Antud funktsioon f (x) = 3x2 − 4x − 2. Tõesta, et funktsiooni f (2x + 1) saab esitada kujul f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C. Leidke konstantide väärtused A, B, C 2,18. Antud kaks lineaarsed funktsioonid f1 (x) = 5x + 4 ja f2 (x) = 3x − 1. Tõesta, et funktsioon f (x) = f2 on samuti lineaarne, st selle kuju on f (x) = Ax + B. Leidke konstantide A ja B väärtused. 3x + 7 5x + 4 2.19. Antud kaks funktsiooni f1 (x) = ja f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 nimetatakse murdosa lineaarseks. Tõesta, et funktsioon f (x) = f1 on samuti murdlineaarne, st on kujul Ax + B f (x) = . Andke konstantide A, B, C, D väärtused. Cx + D 22 Sissejuhatus matemaatiline analüüs 2.20. Mõne funktsiooni f: X ⊂ R → Y ⊂ R puhul on teada, et f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Tõesta, et funktsiooni f (x) saab esitada kujul f (x) = Ax2 + Bx + C. Leidke konstantide A, B, C väärtused. 2.21. Leidke määratluspiirkond järgmisi funktsioone: √ 2+x a) f (x) = x + 1; b) f (x) = lg ; √ 2−x c) f (x) = 2 + x − x2 ; d) f (x) = arcsin(log2 x); 1 + x2 d) f (x) = cos(sin x) + arcsin. 2x 2,22. Leidke järgmiste funktsioonide definitsioonipiirkond: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; b) f (x) = 2; x + 26x + 168 x+2 c) f (x) = log[(1 + x)(12 − ×)]; d) f (x) = arcsin; x-6 d) f (x) = (x + 9) (x + 8) (x - 14); 15 f) f (x) = arcsiin; x − 11 −x f) f (x) = x2 + 13x + 42 + arcsin . 13 2.23. Koostage järgmiste funktsioonide definitsioonipiirkond: a) f (x, y) = log2 (x + y); √ b) f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ; x2 + y 2 c) f (x, y) = arcsin; 4 √ g) f (x, y) = xy. 2.24. Leidke järgmiste funktsioonide definitsioonipiirkond:    1 − log x 3 − 2x    arcsin a) f (x) =  1 ; b) f (x) =  √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. Funktsioonid. Funktsioonide lihtsamad omadused 23 2.25. Leidke ja konstrueerige järgmiste funktsioonide definitsioonipiirkond: 4x − y 2 a) f (x, y) = ; log(1 − x2 − y 2) x2 + 2x + y 2 b) f (x, y) = . x2 − 2x + y 2 2.26. Tõesta, et funktsioonid 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| ühtlane; 2x − 2−x 3x + 1 b) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x, 2 3 −1 1+x ϕ3 (x) = lg paaritu; 1−x 2 c) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 üldkuju. 2.27. Funktsioonid on antud: 1 a) y = sin2 x; b) y = sin x2 ; c) y = 1 + tan x; d) y = patt. x Millised neist on perioodilised? 2x 2,28. Tõesta, et funktsioonil y = on pöördväärtus 1 + 2x ja leia see. 2.29. Tõesta, et funktsioonil y = x2 − 2x on kaks pöördväärtust: y1 = 1 + x + 1 ja y2 = 1 − x + 1. 2.30. Tõesta, et järgmised funktsioonid on altpoolt piiratud: a) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2 ; b) f2 (x) = x4 − 8x3+ 22x2. 2.31. Tõesta, et järgmised funktsioonid on ülalt piiratud: 1 5 a) f1 (x) = √ ; b) f1 (x) = √ . 4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55 24 Sissejuhatus kalkulatsiooni 2.32. Leia väikseim ja kõrgeim väärtus järgmised funktsioonid: a) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 sin x + 12 cos x. 2.33. Kirjeldage järgmiste funktsioonide graafiku kuju: a) z = 1 − x2 − y 2 ; b) z = x2 + y2; c) z = x2 + y2; d) z = x2 − y 2 . 2.34. Joonistage nende funktsioonide jaoks tasemejooned, andes z väärtused vahemikus –3 kuni +3 kuni 1: a) z = xy; b) z = y(x2 + 1). 2.35. Joonistage funktsiooni y = 2 −3(x + 1) − 0,5 s √ graafik, teisendades funktsiooni y = x graafikut. 2.36. Joonistage funktsiooni y = 3 sin(2x − 4) graafik, teisendades funktsiooni y = sin x graafikut. 2.37. Kasutades põhifunktsioonide uurimist (tuletisi kasutamata), koostage järgmiste funktsioonide graafikud: 1 x a) y = 2 ; b) y = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 − 2x2 + 5; d) y = 2; x + 4x + 5 2x - 5 d) y = ; e) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2,38. Joonistage järgmiste funktsioonide graafikud:   x, kui − ∞< x < 1;    1 1 а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;  2  2   4, если 3 < x < +∞; б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|; г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x); t+5 t+1 е) f (t) = ; ж) f (t) = . t−7 t2 + 2t + 2 3. Предел функции 25 3. Предел функции Рекомендуется по õpikõppe alajaotised 1.4 ja 1.5. Tuleks maksta Erilist tähelepanu alajaotusele 1.4 ja tunnen kõiki linnaosade tüüpe, nende tähistusi ja ebavõrdsuse vormis kirjutamise vorme. Väide lim f (x) = A tähendab: elemendi A mis tahes naabruskonna x→x0 (eriti suvaliselt väikese) elemendi A jaoks on elemendi x0 läbimurtud naabruskond V (x0), nii et tingimusest x ∈ V˙ (x0) ∩ X järgneb, f (x) ∈ U (A), kus X on funktsiooni f (x) definitsioonipiirkond ja x0 on hulga X piirpunkt. Sageli selle asemel suvalise naabruskonna U (A) puhul vaadeldakse sümmeetrilist naabrust Uε (A). Sel juhul võib naabrus ˙ V (x0) osutuda kas sümmeetriliseks või asümmeetriliseks, kuid igast asümmeetrilisest naabruskonnast on võimalik valida sümmeetriline naabrus Vδ (x0). Kuna naabruskond V (x0) on torgatud, st. ei sisalda punkti x0, siis x = x0 ja punktis x0 ei pruugi funktsioon f (x) olla defineeritud. Tõestamaks, et lim f (x) = A, piisab, kui leida x→x0 nende x väärtuste hulk (x), mille puhul kehtib kaasamine f (x) ⊂ U (A) mis tahes naabruskonna U ( A). Kui leitud hulk (x) on x0 naabrus, siis väide lim f (x) = A on tõene muidu see x→x0 on väär. Täpsemalt, kui funktsioon f (x) punktis x0 on defineeritud ja lim f (x) = f (x0), siis sisaldab hulk (x) ka x→x0 punkti x0. Antud piirangu määratlus on rakendatav iga funktsiooniklassi jaoks. Selles jaotises käsitleme peamiselt numbrilised funktsioonidüks arvuline argument. 3.1. Lähtudes piirmäära definitsioonist, tõesta: 1 1 a) lim x = x0 ; b) lim = ; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Sissejuhatus matemaatilisesse analüüsi 1 1 d) lim = +∞; e) lim = −∞; x→0+0 x x→0–0 x 1 f) lim = 2; g) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Lahendus: a) piirmäära definitsioonist tuleneb väide lim x = x0 otse x→x0. Kui naabruskond Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε; 1 1 б) докажем, что lim = . По определению предела x→2 x 2 мы должны доказать, что для любой заданной окрестности 1 ˙ Uε , ε >0 on naabrus V (2), nii et kui 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), siis −< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле- x 2 x 2 дующим двум неравенствам: 1 1 −ε < − < +ε или x 2 1 1 1 − ε < < + ε. 2 x 2 Так как при достаточ- но малом ε все части этого неравенства по- ложительны, то 2 2 2, 1 + 2ε 1 − 2ε seega korrutage- Joon. 3.1 2 2 omadus, 1 + 2ε 1 − 2ε on punkti x0 = 2 naabrus (asümmeetriline). Vajaliku naabruskonna V (2) olemasolu on tõestatud (joonis 3.1). 3. Funktsiooni 27 piirmäär Selguse huvides võime selle ümbruse kirjutada kujul 4ε 4ε 2− ,2 + ja arvestada 1 + 2ε 1 − 2ε ˙ ˙ 4ε 4ε V (2) = Vδ1 ,δ2 (2), kus δ1 = , δ2 = . 1 + 2ε 1 − 2ε 1 c) tõestame, et lim = 0. x→+∞ x Definitsiooni järgi peame tõestama, et punkti y = 0 iga naabruskonna Uε (0) jaoks on olemas naabrus V (+∞) element +∞ nii, et kui x ∈ V (+∞), 1, siis − 0< ε, или x 1 < ε. Так как x x → +∞, то можно считать, что x >0, joon. 3.2 seetõttu võib mooduli märgi ära jätta 1 1 ja kirjutada< ε или x >= M. Hulk x > M on x ε VM (+∞) vastavalt elemendi +∞ ümbruse definitsioonile. Tõestatud on vastavatele tingimustele vastava naabruskonna V (+∞) olemasolu. See tõestab, et 1 lim = 0 (joonis 3.2). x→+∞ x 1 1 Võrduste lim = 0 ja lim = 0 tõestuse jätame lugeja hooleks. 28 Sissejuhatus matemaatilisesse analüüsi 1 Rõhutame, et võrdus lim = 0 on ekvivalentne kahe x→∞ x 1 1 võrdsusega: lim = 0 ja lim = 0; x→−∞ x x→+∞ x d) tõestame võrdsuse 1 lim = +∞. x→0+0 x UM (+∞) On vaja tõestada, et iga naabruskonna UM (+∞) jaoks on olemas parempoolne naabrus Vδ+ (0) (0< x < δ) ← такая, что если + V1/M (0) x ∈ Vδ+ (0), то 1 ∈ UM (+∞). x Рис. 3.3 Viimane tähendab, 1 1 mida > M . Kuna x > 0, M > 0, siis 0< x < . Если поло- x M 1 жить δ = , то требуемая окрестность Vδ+ (0) найдена и ра- M 1 венство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x→0+0 x 1 Аналогично можно доказать, что lim = −∞ (предлага- x→0−0 x ем проделать это самостоятельно); 1 е) докажем, что lim = 2. Предположим противное, т.е. x→1 x 1 что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрест- x→1 x ˙ ности Uε (2) существует окрестность V (1) такая, что если ˙ 1 1 1 x ∈ V (1), то ∈ Uε (2), т.е. − 2 < ε, или 2 − ε < < ε + 2. x x x 3. Предел функции 29 Так как все части неравенства можно считать положительны- 1 1 ми, то 0, x > 0 korral suureneb funktsioon √ √ y = x2 monotoonselt, seega 4 − ε< |x| < 4 + ε. Поскольку x >0, √ mooduli märgi võib ära jätta ja kirjutada √ siis 4 − ε< x < 4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу √ √ (4 − ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ- ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при- ˙ ˙ нимаем в качестве V (2). Существование V (2) доказано, а этим доказано, что lim x 2 = 4. x→2 3.2. Докажите самостоятельно, что 1 1 lim = +∞, lim = −∞. x→x0 +0 x − x0 x→x0 −0 x − x0 Указание: сделать замену x − x0 = t и применить задачу 3.1. 3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim xn = xn ; 0 x→x0 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an) = x→x0 x→x0 = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ; 0 0 30 Введение в математический анализ Pn (x) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an в) lim = lim = x→x0 Qm (x) x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an 0 0 = , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm 0 0 где n и m täisarvud, ai ja bi on konstandid, b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm = 0, x0 0 0 loomulikult. Lahendus: a) saame kirjutada: lim xn = lim (x · x · · · · · x). x→x0 x→x0 Kuna lim x = x0, siis korrutise x→x0 piiri teoreemi järgi lim xn = lim x · lim x · · · · · lim x = xn ; 0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 b) funktsioon Pn (x) on (1 + n) liikmete summa, millest igaühel on lõplik piir, näiteks lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . Seetõttu tuleneb b) summa piiri teoreemist; c) tuleneb jagatise, summa ja korrutise piiri teoreemist. Funktsiooni Pn (x) ülesandes 3.3 nimetatakse polünoomiks või polünoomiks järku n (kui a0 = 0). 3.4. Arvutage järgmised piirid: x2 + 2x − 3 a) lim (x2 + 3x + 4); b) piir 2. x→2 x→3 2x + 4x − 5 Lahendus. Ülesandes 3.3, punktis b) tõestatu põhjal saame kirjutada: lim (x2 + 3x + 4) = 22 + 3 2 + 4 = 14; x→2 x2 + 2x − 3 32 + 2 3 − 3 12 lim 2 + 4x − 5 = 2+4 3−5 = . x→3 2x 2 3 25 5x2 − 20x + 15 3.5. Leia A = lim. x→1 3x2 − 15x + 12 Lahendus. IN sel juhul Jagatise piiri teoreemi rakendamine on võimatu, kuna nimetaja muutub nulliks, kui x0 = 1. Pange tähele, et lugeja x0 = 1 muutub samuti nulliks. Saame määratlemata avaldise nagu 0/0. Oleme juba rõhutanud, et piiri määratlemisel x → x0

Kui on ette nähtud reegel, mille kohaselt tasandi iga punktiga M (või tasandi mõne osaga) seostatakse teatud arv u, siis öeldakse, et tasapinnal (või tasandi osal on punktifunktsioon on antud”; funktsiooni määratlust väljendab sümboolselt võrdsus kujul u – Punktiga M seotud arvu u nimetatakse selle funktsiooni väärtuseks punktis M. Näiteks kui A on fikseeritud punkt lennuk, M on suvaline punkt, siis on kaugus punktist A punkti M punkti M funktsioon. Sel juhul f(M) = AM.

Olgu antud mingi funktsioon u = f(M) ja samas tutvustatakse koordinaatsüsteemi. Seejärel määratakse suvaline punkt M koordinaatidega x, y. Vastavalt sellele määrab selle funktsiooni väärtuse punktis M koordinaadid x, y või, nagu öeldakse, u = f(M) on kahe muutuja x ja y funktsioon. Kahe muutuja x, y funktsiooni tähistatakse sümboliga f(x, y); kui f(M) = f(x, y), siis valemit u = f(x, y) nimetatakse selle funktsiooni väljenduseks valitud koordinaatsüsteemis. Niisiis, eelmises näites f(M)=AM; kui tutvustate Cartesiani ristkülikukujuline süsteem koordinaadid lähtepunktiga punktis A, saame selle funktsiooni avaldise:

u = √(x 2 + y 2)

146. Antud kaks punkti P ja Q on nende vaheline kaugus a ja funktsioon f(M) = d 2 1 - d 2 2, kus d 1 - MP ja d 2 - MQ. Määrake selle funktsiooni avaldis, kui koordinaatide alguspunktiks on võetud punkt P ja Ox-telg on suunatud piki lõiku PQ.

147. Määrake ülesande 146 tingimustes funktsiooni f(M) avaldis (otse ja koordinaatide teisenduse abil, kasutades ülesande 146 tulemust), kui:

1) koordinaatide alguspunkt valitakse lõigu PQ keskel, Ox-telg on suunatud piki lõiku PQ.

2) koordinaatide alguspunkt valitakse punktis P ja Ox-telg on suunatud piki lõiku QP.

148. Antud: ruut ABCD küljega a ja funktsiooniga f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, kus d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC ja d 4 = MD. Määrake selle funktsiooni avaldis, kui võtta koordinaattelgedeks ruudu diagonaalid (ja Ox-telg on suunatud piki lõiku AC, Oy telg on suunatud piki lõiku BD).

149. Määrake ülesande 148 tingimustes avaldis f(M)-le (otse ja koordinaatide teisendusega, kasutades ülesande 148 tulemust), kui koordinaatide alguspunkt on valitud punktis A ja koordinaatide teljed on suunatud mööda selle küljed (Ox-telg on piki lõiku AB, Oy telg - piki lõiku AD).

150. Antud funktsioon f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y. Määrake selle funktsiooni avaldis uues koordinaatsüsteemis, kui koordinaatide alguspunkt nihutatakse (ilma telgede suunda muutmata) punkti O"(3; -4).

151. Antud funktsioon f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. Määrata selle funktsiooni avaldis uues koordinaatsüsteemis, kui koordinaatide teljed on pööratud -45° nurga all.

152. Antud funktsioon f(x, y) = x 2 + y 2 . Määrata selle funktsiooni avaldis uues koordinaatsüsteemis, kui koordinaatteljed on pööratud teatud nurga α võrra.

153. Leia punkt, kuhu koordinaatide alguspunkti ülekandmisel ei sisalda funktsiooni f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 avaldis pärast teisendust esimese liikmeid. aste uute muutujate suhtes.

154. Leia punkt, kuhu koordinaatide alguspunkti ülekandmisel funktsiooni f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 avaldis ei sisalda esimese astme liikmeid uute muutujate suhtes.

155. Millise nurga võrra tuleks pöörata koordinaatide telgi, et funktsiooni f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 avaldis pärast teisendust ei sisaldaks liiget uute muutujate korrutisega ?

156. Millise nurga all tuleb pöörata koordinaatide telgi, et funktsiooni f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 avaldis pärast teisendust ei sisaldaks liiget uute muutujate korrutisega?

Olgu G funktsiooni y=f(x) graafik. Vaatleme G-l punkti A(x0,f(x0)) ja punkti B (x0+Δx,f(x0+Δx))

Olgu γ sekandi kaldenurk OX-telje suhtes. Kui on olemas piir limγ = γ0 Δх→0 korral, siis A läbivat sirget, mis moodustab OX-teljega nurga γ0, nimetatakse punktis A puutujaks Г.

Olgu C(f(x0+Δx), f(x0)) punkt, mis täiendab lõiku AB ristkülikuks. kolmnurk ABC. Sest AC//OX, siis tgγ =Δу/Δх. Piirini üle minnes saame: tgγ0=f′(x0)

Need. tuletise geomeetriline tähendus on see, et f′(x0) on graafiku y=f(x) puutuja kaldenurga puutuja punktis (x0,f(x0)).

Tangensi võrrand.

Leiame Г f- ja y=f(x) graafiku puutuja ur-e punktis A(x0, f(x0)): kuna t. A kuulub Γ ja ur-ndasse puutujasse, siis f(x0)=kx0+b, kust b= f(x0)-kx0, mis tähendab, et puutuja on antud jälje abil. Ur-m:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(x-x0)

Sest k= f'(x0), siis

y=f(x0)+ f'(x0)(x-x0).

Funktsiooni elastsuse määramine.

funktsiooni y = f(x) punktis x0 nimetatakse järgmiseks piiriks

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Elastsus Ey on suuruste y ja x suhteliste muutuste proportsionaalsustegur.)

Rolle teoreem.

Kui funktsioon on pidev intervallil [ a;b] ja diferentseeruv intervallil ( a;b), võtab selle intervalli lõpus samad väärtused, siis sellel intervallil on vähemalt üks punkt, kus funktsiooni tuletis on võrdne nulliga.

Lagrange'i teoreem.

Laske funktsioonil f(x)

1. pidev intervallil [ a, b];

2. diferentseeruv intervallis ( a, b).

Siis on punkt O-ga ( a, b) selline, et

Valemit (1) nimetatakse Lagrange'i valem, või lõpliku juurdekasvu valem

Cauchy teoreem.

Olgu kaks funktsiooni f(x) ja g(x) antud nii, et:

1. f(x) ja g(x) on defineeritud ja pidevad intervallil ;

2. tuletised ja lõplikud intervallil;

3. tuletised ja ei kao intervallil korraga

(Kui tingimus 4 eemaldatakse, tuleb tingimust 3 tugevdada: g"(x) ei tohi intervallis () kuhugi kaduda a,b).)

L'Hopitali reegel.

Teoreem (L'Hopitali reegel). Olgu A arv, ühepoolse piiri sümbol (A=a±0) või lõpmatuse sümbol (A=±∞). Olgu funktsioonid ƒ(x) ja g(x) kas mõlemad lõpmatult väikesed või mõlemad lõpmatult suured nagu x→A. Siis kui on piir

(lõplik või lõpmatu),

siis on piir

sel juhul on võrdsus täidetud:

Kõrgema järgu tuletis- ja diferentsiaalid.

Kui funktsiooni y=f(x) jaoks on defineeritud järgu (k-1) tuletis y(k-1), siis järgu k tuletis y(k) (olenevalt selle olemasolust) on defineeritud kui tuletis järgu tuletis (k-1), need. y(k) = (y(k-1))′ . Eelkõige on y’’=(y’)’ teist järku tuletis, y’’’=(y’’)’ on kolmandat järku tuletis jne.

Kõrgemad erinevused korraldused f-i y=f(v) määratakse järjestikku järgmiselt:

d2y=d(dy) – 2. järku diferentsiaal

dny=d(d n-1 a) - diferentsiaal n tellida

Taylori valem. Maclaurin valem.

Taylori teoreem.

Olgu funktsioon f(x)omab tuletisi järku n+ punktis x = a ja mõnes selle naabruses 1. Siis punktide a ja x vahel a on selline punkt, mille kohaselt kehtib järgmine valem:

Valemit (10) nimetatakse Taylori valemiks ja avaldis

esindab ülejäänud terminit Lagrange'i kujul. Pange tähele, et kui funktsioon f (n+ 1) (x) on punkti naabruses piiratud a, siis ülejäänud liige on lõpmatult väike at xa rohkem kõrge järjekord, kuidas ( x-a)n. Seega saab ülejäänud termini kirjutada kujul

Rn+ 1 (x)=o((x-a)n)x juuresa.

See vormülejäänud terminit nimetatakse Peano vormiks.

Maclaurini valem on Taylori valem a = 0:

Ülejäänud Peano-vormis terminil Maclaurini valemi jaoks on vorm

Rn+ 1 =o(x n)x juures 0.

Tutvustame mõnede laiendusi elementaarsed funktsioonid Maclaurini valemi järgi

Leia põhjal

definitsioon, funktsiooni f(x) tuletis punktis x 0:

26. f(x) = x 3, x 0 - suvaline arv.

f'(x)= =

f ′(x о)= = = = =3

27. f(x)=sinx, x o - suvaline number