Tuleneb selle määratlusest. Ja nii ka arvu logaritm b põhineb A on defineeritud kui astendaja, milleni arv tuleb tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).
Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x=log a b, on võrdne võrrandi lahendamisega a x =b. Näiteks, log 2 8 = 3 sest 8 = 2 3 . Logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhineb a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmide teema on tihedalt seotud arvu astmete teemaga.
Logaritmidega, nagu kõigi arvudega, saate hakkama liitmise, lahutamise tehted ja muuta igal võimalikul viisil. Kuid kuna logaritmid ei ole täiesti tavalised arvud, kehtivad siin oma erireeglid, mida nimetatakse peamised omadused.
Logaritmide liitmine ja lahutamine.
Võtame kaks logaritmi koos samadel alustel: logi x Ja logi a y. Seejärel on võimalik teha liitmise ja lahutamise toiminguid:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi x 1 + logi x 2 + logi x 3 + ... + logi a x k.
Alates logaritmi jagatise teoreem Võib saada veel ühe logaritmi omaduse. On üldteada, et logi a 1 = 0, seega
logi a 1 /b= log a 1 - palk a b= -log a b.
See tähendab, et on olemas võrdsus:
log a 1 / b = - log a b.
Kahe pöördarvu logaritmid samal põhjusel erinevad üksteisest ainult märgi poolest. Niisiis:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Selle artikli keskmes on logaritm. Siin anname logaritmi määratluse, näitame aktsepteeritud määramine, toome näiteid logaritmidest ning räägime naturaal- ja kümnendlogaritmidest. Pärast seda käsitleme põhilogaritmilist identiteeti.
Leheküljel navigeerimine.
Logaritmi definitsioon
Logaritmi mõiste tekib ülesande lahendamisel aastal teatud mõttes pöördvõrdeline, kui peate leidma eksponendi teadaolev väärtus aste ja teadaolev alus.
Kuid piisavalt eessõna, on aeg vastata küsimusele "mis on logaritm"? Anname vastava määratluse.
Definitsioon.
Logaritm b alusesse a, kus a>0, a≠1 ja b>0 on eksponent, milleni peate arvu a suurendama, et saada b tulemuseks.
Selles etapis märgime, et väljaöeldud sõna "logaritm" peaks kohe tekitama kaks järelküsimust: "milline arv" ja "mille alusel". Teisisõnu, logaritmi lihtsalt pole, vaid on ainult arvu logaritm mingi aluse suhtes.
Lähme kohe sisse logaritmi tähistus: arvu b logaritmi alusele a tähistatakse tavaliselt kui log a b. Arvu b logaritmil aluse e ja 10 logaritmil on vastavalt oma eritähised lnb ja logb, see tähendab, et nad ei kirjuta mitte log e b, vaid lnb ja mitte log 10 b, vaid lgb.
Nüüd saame anda: .
Ja rekordid 
ei ole mõtet, kuna esimeses neist on negatiivne arv logaritmi märgi all, teises on negatiivne arv aluses ja kolmandas on negatiivne arv logaritmi märgi all ja ühik baas.
Nüüd räägime sellest logaritmide lugemise reeglid. Log a b loetakse "logaritmiks b aluse a kohta". Näiteks logaritm 2 3 on logaritm kolmest aluse 2 suhtes ja kahe punkti kahe kolmandiku logaritm aluse 2 suhtes Ruutjuur viiest. Nimetatakse logaritm aluse e juurde naturaallogaritm, ja märge lnb on "b loomulik logaritm". Näiteks ln7 on seitsme naturaalne logaritm ja me loeme seda pi naturaallogaritmiks. 10 baaslogaritmil on ka spetsiaalne nimi - kümnendlogaritm, ja lgb loetakse "b kümnendlogaritmiks". Näiteks lg1 on ühe kümnendlogaritm ja lg2.75 on kahe koma seitsme viie sajandiku kümnendlogaritm.
Eraldi tasub peatuda tingimustel a>0, a≠1 ja b>0, mille puhul on antud logaritmi definitsioon. Selgitame, kust need piirangud tulevad. Seda aitab meil teha võrdsus nimega , mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.
Alustame a≠1-ga. Kuna üks iga astme suhtes on võrdne ühega, saab võrdus olla tõene ainult siis, kui b=1, kuid log 1 1 võib olla mis tahes tegelik arv. Selle ebaselguse vältimiseks eeldatakse, et a≠1.
Põhjendagem tingimuse a>0 otstarbekust. Kui a=0, siis logaritmi definitsiooni järgi oleks meil võrdsus, mis on võimalik ainult siis, kui b=0. Kuid siis võib log 0 0 olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erineva astmeni on null. Tingimus a≠0 võimaldab meil seda ebaselgust vältida. Ja kui a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирratsionaalne näitaja määratletud ainult mittenegatiivsete aluste jaoks. Seetõttu aktsepteeritakse tingimust a>0.
Lõpuks tuleneb ebavõrdsusest a>0 tingimus b>0, kuna , ja positiivse alusega a astme väärtus on alati positiivne.
Selle punkti lõpetuseks oletame, et esitatud logaritmi definitsioon võimaldab teil kohe näidata logaritmi väärtust, kui logaritmi märgi all olev arv on aluse teatud võimsus. Tõepoolest, logaritmi definitsioon võimaldab väita, et kui b=a p, siis arvu b logaritm aluse a suhtes on võrdne p-ga. See tähendab, et võrduslogi a a p =p on tõene. Näiteks teame, et 2 3 = 8, siis log 2 8 = 3. Sellest räägime artiklis lähemalt.
Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Nad olid need, kes teenisid edasine avamine logaritmid. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.
Definitsioon matemaatikas
Logaritm on avaldis järgmisel kujul: log a b=c, st mis tahes logaritm mittenegatiivne arv(st mis tahes positiivset) "b" selle baasi "a" järgi loetakse "c" astmeks, milleni tuleb baas "a" tõsta, et lõpuks saada väärtus "b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.
Logaritmide tüübid
Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Seal on kolm üksikud liigid logaritmilised avaldised:
- Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
- Kümnend a, kus alus on 10.
- Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.
Igaüks neist on otsustatud standardsel viisil, mis sisaldab logaritmilisi teoreeme kasutades lihtsustamist, redutseerimist ja järgnevat taandada ühele logaritmile. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.
Reeglid ja mõned piirangud
Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu saada paarisjuurt negatiivsed arvud. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:
- Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
- kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.
Kuidas lahendada logaritme?
Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.
Nüüd esitame selle avaldise logaritmilisel kujul. Saame log 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel kõik toimingud praktiliselt koonduvad, et leida aste, millele on vaja logaritmi baasi sisse viia, et saada antud number.
Väärtuse täpseks määramiseks teadmata kraad peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:
Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Kuid selleks suured väärtused vajate kraadide tabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea kompleksist üldse midagi matemaatilised teemad. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid arvuväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!
Võrrandid ja võrratused
Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seega igasugune matemaatiline numbrilised avaldised saab kirjutada logaritmilise võrrandina. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Sest negatiivsed jõud reeglid on samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.
Antud avaldis järgmisel kujul: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline ebavõrdsus, kuna tundmatu väärtus "x" on logaritmi märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.
Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) eeldavad ühte või mitut konkreetset vastust. arvväärtusi, samas kui ebavõrdsused määratletakse piirkonnana vastuvõetavad väärtused ja selle funktsiooni murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude komplekt, nagu võrrandi vastuses, vaid pigem pidev seeria või numbrite komplekt.
Põhiteoreemid logaritmide kohta
Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid hiljem; kõigepealt vaatame iga omadust üksikasjalikumalt.
- Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
- Korrutise logaritmi saab esitada kujul järgmine valem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul eelduseks on: d, s1 ja s2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
- Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Valemi kujul olev teoreem võtab kasutusele järgmine vaade: log a q b n = n/q log a b.
Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.
Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;
aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.
Näited probleemidest ja ebavõrdsusest
Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka lisatud kohustuslik osa matemaatika eksamid. Ülikooli sisseastumiseks või läbimiseks sisseastumiseksamid matemaatikas peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.
Kahjuks ei ole ühest plaani või skeemi lahendamiseks ja määramiseks tundmatu väärtus Sellist asja nagu logaritm pole olemas, kuid saate seda rakendada iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul. teatud reeglid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või viia selleni üldine välimus. Lihtsusta pikki logaritmilised avaldised võimalik, kui kasutate nende omadusi õigesti. Saame nendega kiiresti tuttavaks.
Otsustades logaritmilised võrrandid, peaksime määrama, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.
Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Lahenduste jaoks naturaallogaritmid vaja taotleda logaritmilised identiteedid või nende omadused. Vaatame lahendust näidetega logaritmilised probleemid erinevad tüübid.
Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega
Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.
- Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.
Ühtse riigieksami ülesanded
Logaritme leidub sageli sisseastumiseksamid, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtses riigieksamil ( Riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami lihtsaim testiosa), vaid ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.
Näited ja probleemide lahendused on võetud ametlikult Ühtse riigieksami valikud. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.
Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.
- Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
- Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.
1.1. Täisarvulise astendaja astendaja määramine
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N korda
1.2. Null kraadi.
Definitsiooni järgi on see üldtunnustatud null kraadi mis tahes arv on võrdne 1-ga:1.3. Negatiivne kraad.
X-N = 1/X N1.4. Murdjõud, juur.
X 1/N = X-i N-juur.Näiteks: X 1/2 = √X.
1.5. Võimude lisamise valem.
X (N+M) = X N *X M1.6.Tõppude lahutamise valem.
X (N-M) = X N / X M1.7. Valem võimsuste korrutamiseks.
X N*M = (X N) M1.8. Valem murdosa astmeks tõstmiseks.
(X/Y) N = X N / Y N2. Arv e.
Arvu e väärtus on võrdne järgmise piiriga:E = lim(1+1/N), kui N → ∞.
17-kohalise täpsusega on number e 2,71828182845904512.
3. Euleri võrdsus.
See võrdsus ühendab viis arvu, millel on matemaatikas eriline roll: 0, 1, e, pi, imaginaarne ühik.E (i*pi) + 1 = 0
4. Eksponentfunktsioon exp(x)
exp(x) = e x5. Eksponentfunktsiooni tuletis
Eksponentfunktsioonil on tähelepanuväärne vara: funktsiooni tuletis on võrdne eksponentsiaalfunktsiooni endaga:(exp (x))" = exp (x)
6. Logaritm.
6.1. Logaritmfunktsiooni definitsioon
Kui x = b y, siis on funktsioon logaritmY = Log b(x).
Logaritm näitab, millise astmeni tuleb arvu tõsta – logaritmi alus (b), et saada antud arv (X). Logaritmifunktsioon on defineeritud, kui X on suurem kui null.
Näiteks: Logi 10 (100) = 2.
6.2. Kümnendlogaritm
See on 10. aluse logaritm:Y = log 10 (x) .
Tähistatakse Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Kasutusnäide kümnendlogaritm- detsibell.
6.3. Detsibell
Üksus on esile tõstetud eraldi lehel Detsibel6.4. Binaarne logaritm
See on 2 aluse logaritm:Y = log 2 (x).
Tähistatakse Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Naturaalne logaritm
See on e aluse logaritm:Y = log e (x) .
Tähistatakse Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Naturaallogaritm - pöördfunktsioon eksponentsiaalseks funktsioonid exp(X).
6.6. Iseloomulikud punktid
Loga(1) = 0Logi a (a) = 1
6.7. Toote logaritmi valem
Logi a (x*y) = Logi a (x)+logi a (y)6.8. Jagatise logaritmi valem
Logi a (x/y) = Logi a (x)-log a (y)6.9. Võimuvalemi logaritm
Logi a (x y) = y*Logi a (x)6.10. Valem teise alusega logaritmile teisendamiseks
Logi b (x) = (Logi a (x))/Logi a (b)Näide:
Logi 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Elus kasulikud valemid
Sageli on probleeme mahu teisendamisega pindalaks või pikkuseks ja pöördprobleem-- pindala teisendamine mahuks. Näiteks laudu müüakse kuubikutes (kuupmeetrites) ja me peame arvutama, kui palju seinapinda saab katta plaatides sisalduvate laudadega. teatud maht, vt laudade arvutus, mitu tahvlit kuubis on. Või kui seina mõõtmed on teada, peate arvutama telliste arvu, vaadake telliste arvutust.
Saidi materjale on lubatud kasutada tingimusel, et on installitud aktiivne link allikale.
Seoses sellega
saab seada ülesande leida mis tahes kolmest arvust ülejäänud kahe antud arvu hulgast. Kui on antud a ja seejärel N, leitakse need eksponentsimise teel. Kui N ja seejärel a on antud astme x juure (või astmeni tõstmise) abil. Vaatleme nüüd juhtumit, kus a ja N korral peame leidma x.
Olgu arv N positiivne: arv a positiivne ja mitte võrdne ühega: .
Definitsioon. Arvu N logaritm alusele a on astendaja, milleni arvu N saamiseks tuleb a tõsta; logaritmi tähistatakse
Seega võrdsuses (26.1) leitakse astendaja N aluse a logaritmina. Postitused
on sama tähendus. Võrdsust (26.1) nimetatakse mõnikord logaritmiteooria põhiidentiteediks; tegelikkuses väljendab see logaritmi mõiste definitsiooni. Kõrval see määratlus Logaritmi a alus on alati positiivne ja erineb ühtsusest; logaritmiline arv N on positiivne. Negatiivsetel arvudel ja nullil pole logaritme. Võib tõestada, et igal arvul antud baasiga on täpselt määratletud logaritm. Seetõttu tähendab võrdsus. Pange tähele, et siin on oluline tingimus muidu järeldus ei oleks õigustatud, kuna võrdsus kehtib kõigi x ja y väärtuste puhul.
Näide 1. Otsi
Lahendus. Numbri saamiseks peate tõstma baasi 2 astmeni Seetõttu.
Selliste näidete lahendamisel saate teha märkmeid järgmisel kujul:
Näide 2. Otsi .
Lahendus. Meil on
Näidetes 1 ja 2 leidsime hõlpsasti soovitud logaritmi, esitades logaritmi arvu aluse astmena ratsionaalse astendajaga. IN üldine juhtum, näiteks jne jaoks, seda ei saa teha, kuna logaritm on irratsionaalne tähendus. Pöörame tähelepanu ühele selle väitega seotud probleemile. Lõikes 12 andsime kontseptsiooni võimalusest määrata antud mis tahes tegelik aste positiivne arv. See oli vajalik logaritmide kasutuselevõtuks, mis üldiselt võivad olla irratsionaalsed arvud.
Vaatame logaritmide mõningaid omadusi.
Omadus 1. Kui arv ja alus on võrdsed, siis logaritm võrdne ühega, ja vastupidi, kui logaritm on võrdne ühega, on arv ja alus võrdsed.
Tõestus. Olgu Logaritmi definitsiooni järgi on meil olemas ja kust
Ja vastupidi, olgu Siis definitsiooni järgi
Omadus 2. Ühe ja mis tahes baasi logaritm on võrdne nulliga.
Tõestus. Logaritmi definitsiooni järgi (mis tahes positiivse aluse nullvõimsus võrdub ühega, vt (10.1)). Siit
Q.E.D.
Tõene on ka vastupidine väide: kui , siis N = 1. Tõepoolest, meil on .
Enne logaritmide järgmise omaduse sõnastamist leppigem kokku väites, et kaks arvu a ja b asuvad kolmanda arvu c samal küljel, kui mõlemad on suuremad kui c või väiksemad kui c. Kui üks neist arvudest on suurem kui c ja teine väiksem kui c, siis me ütleme, et need on koos erinevad küljed külast
Omadus 3. Kui arv ja alus asuvad ühega samal küljel, siis on logaritm positiivne; Kui arv ja alus asuvad ühe vastaskülgedel, on logaritm negatiivne.
Omaduse 3 tõestus põhineb asjaolul, et a võimsus on suurem kui üks, kui alus on suurem kui üks ja astendaja on positiivne või alus on väiksem kui üks ja astendaja on negatiivne. Positsioon on väiksem kui üks, kui alus on suurem kui üks ja astendaja on negatiivne või alus on väiksem kui üks ja astendaja on positiivne.
Kaaluda tuleb nelja juhtumit:
Piirdume neist esimese analüüsiga, ülejäänu kaalub lugeja omaette.
Olgu siis võrdsuses astendaja ei saa olla negatiivne ega võrdne nulliga, seega on see positiivne, st nagu seda on vaja tõestada.
Näide 3. Uurige, millised allolevatest logaritmidest on positiivsed ja millised negatiivsed:
Lahendus, a) kuna arv 15 ja alus 12 asuvad ühe ühel küljel;
b) kuna 1000 ja 2 asuvad seadme ühel küljel; sel juhul ei ole oluline, et alus oleks logaritmilisest arvust suurem;
c) kuna 3,1 ja 0,8 asuvad ühtsuse vastaskülgedel;
G) ; Miks?
d) ; Miks?
Järgmisi omadusi 4-6 nimetatakse sageli logaritmeerimisreegliteks: need võimaldavad mõne arvu logaritme teades leida nende igaühe korrutise, jagatise ja astme logaritme.
Atribuut 4 (toote logaritmi reegel). Mitme positiivse arvu korrutise logaritm võrra sellel alusel võrdne summaga nende arvude logaritmid samale alusele.
Tõestus. Olgu antud arvud positiivsed.
Nende korrutise logaritmi jaoks kirjutame võrdsuse (26.1), mis määrab logaritmi:
Siit leiame
Võrreldes eksponente esimese ja viimased väljendid, saame nõutava võrdsuse:
Pange tähele, et tingimus on hädavajalik; kahe negatiivse arvu korrutise logaritm on mõttekas, kuid sel juhul saame
Üldiselt, kui mitme teguri korrutis on positiivne, on selle logaritm võrdne nende tegurite absoluutväärtuste logaritmide summaga.
Omadus 5 (jagatiste logaritmide võtmise reegel). Positiivsete arvude jagatise logaritm võrdub dividendi ja jagaja logaritmide vahega, võttes samasse baasi. Tõestus. Leiame järjekindlalt
Q.E.D.
Omadus 6 (astme logaritmi reegel). Mõne positiivse arvu astme logaritm võrdne logaritmiga see arv korrutatuna eksponendiga.
Tõestus. Kirjutame uuesti numbri põhiidentiteedi (26.1):
Q.E.D.
Tagajärg. Positiivse arvu juure logaritm võrdub radikaali logaritmiga, mis on jagatud juure eksponendiga:
Selle järelduse paikapidavust saab tõestada, kujutades ette, kuidas ja kuidas omadust 6 kasutada.
Näide 4. Võtke logaritm aluseks a:
a) (eeldatakse, et kõik väärtused b, c, d, e on positiivsed);
b) (eeldatakse, et ).
Lahendus, a) Mugav on minna see väljend murdarvudeks:
Võrdluste (26.5)-(26.7) põhjal saame nüüd kirjutada:
Märkame, et arvude logaritmidega tehakse lihtsamaid tehteid kui arvude endaga: arvude korrutamisel liidetakse nende logaritmid, jagamisel lahutatakse jne.
Seetõttu kasutatakse arvutuspraktikas logaritme (vt punkt 29).
Logaritmi pöördtegevust nimetatakse potentseerimiseks, nimelt: potentseerimine on tegevus, mille abil leitakse arv ise arvu antud logaritmist. Sisuliselt pole potentseerimine mingi eriline tegevus: see taandub baasi tõstmisele võimule ( võrdne logaritmiga numbrid). Mõistet "potentseerimine" võib pidada termini "astendamine" sünonüümiks.
Potentsimisel tuleb kasutada logaritmeerimisreeglitele vastupidiseid reegleid: asendada logaritmide summa korrutise logaritmiga, logaritmide erinevus jagatise logaritmiga jne. Eelkõige juhul, kui ees on tegur logaritmi märgist, siis potentseerimisel tuleb see üle kanda logaritmi märgi all olevatele eksponendikraadidele.
Näide 5. Leidke N, kui on teada, et
Lahendus. Seoses äsja öeldud potentseerimisreegliga kanname selle võrrandi paremal küljel olevate logaritmide märkide ees seisvad tegurid 2/3 ja 1/3 nende logaritmide märkide all olevateks eksponentideks; saame
Nüüd asendame logaritmide erinevuse jagatise logaritmiga:
selle võrduste ahela viimase murru saamiseks vabastasime nimetaja irratsionaalsusest eelmise murru (klausel 25).
Omadus 7. Kui alus on suurem kui üks, siis suurem arv on suurema logaritmiga (ja väiksemal arvul on väiksem), kui alus on väiksem kui üks, siis suuremal arvul on väiksem logaritm (ja väiksemal arvul on suurem).
See omadus on sõnastatud ka reeglina ebavõrdsete logaritmide võtmiseks, mille mõlemad pooled on positiivsed:
Kui võtta võrratuste logaritmid baasi, suurem kui üks, säilib ebavõrdsuse märk ja logaritmi viimisel baasile, mis on väiksem kui üks, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks (vt ka lõik 80).
Tõestus põhineb omadustel 5 ja 3. Vaatleme juhtumit, kui If , siis ja logaritme kasutades saame
(a ja N/M asuvad ühtsuse samal küljel). Siit
Järgneb juhtum a, lugeja mõtleb selle ise välja.