Üks primitiivse taseme algebra elemente on logaritm. Nimi pärineb kreeka keelest sõnast "arv" või "jõud" ja tähendab võimsust, milleni tuleb lõpliku arvu leidmiseks tõsta baasis olev arv.
Logaritmide tüübid
- log a b – arvu b logaritm alusele a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – kümnendlogaritm (logaritm 10-ni, a = 10);
- ln b – naturaallogaritm (logaritm alusele e, a = e).
Kuidas logaritme lahendada?
B aluse a logaritm on eksponent, mis nõuab b tõstmist aluseni a. Saadud tulemust hääldatakse järgmiselt: "b logaritm alusele a." Logaritmiülesannete lahendus on see, et peate määratud arvude põhjal määrama arvudes antud astme. Logaritmi määramiseks või lahendamiseks, samuti tähistuse enda teisendamiseks on mõned põhireeglid. Nende abil lahendatakse logaritmilisi võrrandeid, leitakse tuletisi, lahendatakse integraale ja tehakse palju muid tehteid. Põhimõtteliselt on logaritmi enda lahendus selle lihtsustatud tähistus. Allpool on toodud põhivalemid ja omadused:
Iga a ; a > 0; a ≠ 1 ja mis tahes x korral; y > 0.
- a log a b = b – logaritmiline põhiidentiteet
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, kui k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – uude baasi liikumise valem
- log a x = 1/log x a
Kuidas lahendada logaritme - samm-sammult juhised lahendamiseks
- Kõigepealt kirjutage üles vajalik võrrand.
Pange tähele: kui baaslogaritm on 10, siis kirjet lühendatakse, mille tulemuseks on kümnendlogaritm. Kui on naturaalarv e, siis kirjutame selle üles, taandades selle naturaallogaritmiks. See tähendab, et kõigi logaritmide tulemuseks on aste, milleni tõstetakse baasarv, et saada arv b.
Otseselt seisneb lahendus selle kraadi arvutamises. Enne avaldise lahendamist logaritmiga tuleb seda reegli järgi lihtsustada ehk siis valemeid kasutades. Peamised identiteedid leiate artiklis veidi tagasi minnes.
Kahe erineva arvuga, kuid sama alusega logaritmide liitmisel ja lahutamisel asendage ühe logaritmiga vastavalt arvude b ja c korrutis või jagamine. Sel juhul saate rakendada teise baasi kolimise valemit (vt ülalt).
Kui kasutate avaldisi logaritmi lihtsustamiseks, tuleb arvestada mõningate piirangutega. Ja see on: logaritmi a alus on ainult positiivne arv, kuid mitte võrdne ühega. Arv b, nagu a, peab olema suurem kui null.
On juhtumeid, kus avaldist lihtsustades ei saa te logaritmi arvuliselt arvutada. Juhtub, et sellisel väljendil pole mõtet, sest paljud astmed on irratsionaalsed arvud. Selle tingimuse korral jätke arvu aste logaritmiks.
Tuleneb selle määratlusest. Ja nii ka arvu logaritm b põhineb A on defineeritud kui astendaja, milleni arv tuleb tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).
Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x=log a b, on võrdne võrrandi lahendamisega a x =b. Näiteks, log 2 8 = 3 sest 8 = 2 3 . Logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhineb a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmide teema on tihedalt seotud arvu astmete teemaga.
Logaritmidega, nagu kõigi arvudega, saate hakkama liitmise, lahutamise tehted ja muuta igal võimalikul viisil. Kuid kuna logaritmid ei ole täiesti tavalised arvud, kehtivad siin oma erireeglid, mida nimetatakse peamised omadused.
Logaritmide liitmine ja lahutamine.
Võtame kaks samade alustega logaritmi: logi x Ja logi a y. Seejärel on võimalik teha liitmise ja lahutamise toiminguid:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi x 1 + logi x 2 + logi x 3 + ... + logi a x k.
Alates logaritmi jagatise teoreem Võib saada veel ühe logaritmi omaduse. On üldteada, et logi a 1 = 0, seega
logi a 1 /b=logi a 1 - palk a b= -log a b.
See tähendab, et on olemas võrdsus:
log a 1 / b = - log a b.
Kahe pöördarvu logaritmid samal põhjusel erinevad üksteisest ainult märgi poolest. Niisiis:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Ülesanne B7 annab mingi avaldise, mida tuleb lihtsustada. Tulemuseks peaks olema tavaline arv, mille saab oma vastuste lehele kirjutada. Kõik väljendid jagunevad tinglikult kolme tüüpi:
- Logaritmiline,
- soovituslik,
- Kombineeritud.
Eksponentsiaalseid ja logaritmilisi avaldisi puhtal kujul praktiliselt ei leita. Kuid teadmine, kuidas neid arvutatakse, on hädavajalik.
Üldjuhul lahendatakse probleem B7 üsna lihtsalt ja on keskmise lõpetaja võimete piires. Selgete algoritmide puudumist kompenseerib selle standardiseerimine ja monotoonsus. Selliseid probleeme saab õppida lahendama lihtsalt läbi suure koolituse.
Logaritmilised avaldised
Valdav enamus B7 ülesandeid hõlmavad logaritme ühel või teisel kujul. Seda teemat peetakse traditsiooniliselt keeruliseks, kuna selle õppimine toimub tavaliselt 11. klassis - lõpueksamiteks valmistumise ajastul. Seetõttu on paljudel lõpetajatel väga hägune arusaam logaritmidest.
Kuid selle ülesande täitmisel ei nõua keegi sügavaid teoreetilisi teadmisi. Me kohtame ainult kõige lihtsamaid väljendeid, mis nõuavad lihtsat arutluskäiku ja mida saab hõlpsasti iseseisvalt omandada. Allpool on toodud põhivalemid, mida peate logaritmidega toimetulemiseks teadma:
Lisaks peab suutma asendada juured ja murrud astmetega ratsionaalse astendajaga, muidu pole mõnes avaldises logaritmimärgi alt lihtsalt midagi välja võtta. Asendusvalemid:
Ülesanne. Leidke väljendite tähendus:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2
Esimesed kaks avaldist teisendatakse logaritmide erinevusena:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.
Kolmanda avaldise arvutamiseks peate isoleerima võimsused - nii aluses kui ka argumendis. Esiteks leiame sisemise logaritmi:
Siis - väline:
Vormi log a log b x konstruktsioonid tunduvad paljudele keerulised ja valesti mõistetud. Vahepeal on see vaid logaritmi logaritm, st. log a (log b x ). Esiteks arvutatakse sisemine logaritm (pane log b x = c) ja seejärel väline: log a c.
Demonstratiivsed väljendid
Eksponentsiaalseks avaldiseks nimetame mis tahes kuju a k konstruktsiooni, kus arvud a ja k on suvalised konstandid ja a > 0. Selliste avaldistega töötamise meetodid on üsna lihtsad ja neid käsitletakse 8. klassi algebra tundides.
Allpool on põhivalemid, mida peate kindlasti teadma. Nende valemite praktikas rakendamine reeglina probleeme ei tekita.
- a n · a m = a n + m ;
- a n / a m = a n − m ;
- (a n ) m = a n · m;
- (a · b ) n = a n · b n ;
- (a : b ) n = a n : b n .
Kui puutute kokku keeruka võimsusega väljendiga ja pole selge, kuidas sellele läheneda, kasutage universaalset tehnikat - lagunemist lihtsateks teguriteks. Selle tulemusena asenduvad suured arvud volituste alustes lihtsate ja arusaadavate elementidega. Siis jääb üle ainult ülaltoodud valemeid rakendada – ja probleem laheneb.
Ülesanne. Leidke avaldiste väärtused: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Lahendus. Jaotame kõik võimsuste alused lihtsateks teguriteks:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Kombineeritud ülesanded
Kui teate valemeid, saab kõiki eksponentsiaalseid ja logaritmilisi avaldisi lahendada sõna-sõnalt ühel real. Kuid ülesandes B7 saab astmeid ja logaritme kombineerida, et moodustada üsna tugevaid kombinatsioone.
Antakse funktsiooni ln x naturaallogaritmi, graafiku, määratluspiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmeridade laienduse ja kompleksarvude abil esituse põhiomadused.
Definitsioon
Naturaalne logaritm on funktsioon y = ln x, eksponentsiaali pöördväärtus x = e y ja on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.
Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.
Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Funktsiooni y = graafik ln x.
Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse eksponentsiaalgraafikult peegelpeegelduse teel sirgjoone y = x suhtes.
Naturaalne logaritm on määratletud muutuja x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.
Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus (-∞).
Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus (+ ∞). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga võimsusfunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.
Naturaallogaritmi omadused
Määratluspiirkond, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, vähenemine
Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.
ln x väärtused
ln 1 = 0
Naturaallogaritmide põhivalemid
Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:
Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed
Aluse asendamise valem
Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasasendusvalemit:
Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".
Pöördfunktsioon
Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.
Kui siis
Kui siis.
Tuletis ln x
Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>
Integraalne
Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,
Kompleksarve kasutavad avaldised
Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ
:
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ole üheselt määratletud. Kui paned
, kus n on täisarv,
see on sama arv erinevate n-de jaoks.
Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina ühe väärtusega funktsioon.
Jõuseeria laiendamine
Kui laienemine toimub:
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
Ülesanded, mille lahendus on logaritmiliste avaldiste teisendamine, on ühtsel riigieksamil üsna levinud.
Et nendega minimaalse ajaga edukalt toime tulla, peate lisaks põhilistele logaritmilistele identiteetidele teadma ja õigesti kasutama veel mõnda valemit.
See on: a log a b = b, kus a, b > 0, a ≠ 1 (See tuleneb otseselt logaritmi definitsioonist).
log a b = log c b / log c a või log a b = 1/log b a
kus a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kus a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
kus a, b, c > 0 ja a, b, c ≠ 1
Neljanda võrrandi kehtivuse näitamiseks võtame vasaku ja parema külje logaritmi alusele a. Saame palk a (a palk b-ga) = log a (b palk a-ga) või palgi b = palk a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); logi b-ga = logi b-ga.
Oleme tõestanud logaritmide võrdsuse, mis tähendab, et ka logaritmide all olevad avaldised on võrdsed. Vormel 4 on tõestatud.
Näide 1.
Arvuta 81 log 27 5 log 5 4 .
Lahendus.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Seetõttu
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Siis 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Järgmise ülesande saate ise täita.
Arvutage (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Vihjeks 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.
Vastus: 5.
Näide 2.
Arvuta (√11) logi √3 9- log 121 81 .
Lahendus.
Muudame avaldisi: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (kasutati valemit 3).
Siis (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Näide 3.
Arvutage log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Lahendus.
Asendame näites sisalduvad logaritmid logaritmidega, mille alus on 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Siis log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).
Pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist saame arvu 3. (Avaldise lihtsustamisel saame log 2 3 tähistada n-ga ja avaldist lihtsustada
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Vastus: 3.
Saate ise täita järgmise ülesande:
Arvuta (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Siin on vaja üle minna 3 baaslogaritmile ja suurte arvude faktoriseerimine algteguriteks.
Vastus: 1/2
Näide 4.
Antud on kolm arvu A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Järjesta need kasvavas järjekorras.
Lahendus.
Teisendame arvud A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Võrdleme neid
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ja log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Või 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Vastus. Seetõttu on arvude paigutamise järjekord: C; A; IN.
Näide 5.
Mitu täisarvu on intervallis (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Lahendus.
Teeme kindlaks, milliste arvu 3 astmete vahel asub arv 1/16. Saame 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Kuna funktsioon y = log 3 x kasvab, siis log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Võrdleme logi 6 (4/3) ja 1/5. Ja selleks võrdleme numbreid 4/3 ja 6 1/5. Tõstame mõlemad arvud 5. astmeni. Saame (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,
log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Seetõttu sisaldab intervall (log 3 1 / 16 ; log 6 48) intervalli [-2; 4] ja sellele asetatakse täisarvud -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Vastus: 7 täisarvu.
Näide 6.
Arvuta 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Lahendus.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Siis 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Vastus: -1.
Näide 7.
On teada, et log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Leia log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Lahendus.
Arvud (√3 + 1) ja (√3 – 1); (√6 – 2) ja (√6 + 2) on konjugeeritud.
Viime läbi järgmise avaldiste teisenduse
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Seejärel log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Vastus: 2 – A.
Näide 8.
Lihtsustage ja leidke avaldise ligikaudne väärtus (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Lahendus.
Vähendame kõik logaritmid ühiseks baasiks 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Lg 2 ligikaudse väärtuse saab leida tabeli, slaidireegli või kalkulaatori abil).
Vastus: 0,3010.
Näide 9.
Arvutage log a 2 b 3 √(a 11 b -3), kui log √ a b 3 = 1. (Selles näites on a 2 b 3 logaritmi alus).
Lahendus.
Kui log √ a b 3 = 1, siis 3/(0,5 log a b = 1. Ja log a b = 1/6.
Seejärel log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Arvestades, et see log a b = 1/ 6 saame (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.
Vastus: 2.1.
Saate ise täita järgmise ülesande:
Arvutage log √3 6 √2,1, kui log 0,7 27 = a.
Vastus: (3 + a) / (3a).
Näide 10.
Arvutage 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Lahendus.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (valem 4))
Saame 9 + 6 = 15.
Vastus: 15.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas pole kindel, kuidas logaritmilise avaldise väärtust leida?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.