Täna õpime lahendama lihtsamaid logaritmilisi võrrandeid, kus ei ole vaja eelteisendusi ega juurte valikut. Aga kui õpid selliseid võrrandeid lahendama, on see palju lihtsam.
Lihtsaim logaritmiline võrrand on võrrand kujul log a f (x) = b, kus a, b on arvud (a > 0, a ≠ 1), f (x) on kindel funktsioon.
Kõigi logaritmiliste võrrandite eripäraks on muutuja x olemasolu logaritmimärgi all. Kui see on ülesandes algselt antud võrrand, nimetatakse seda lihtsaimaks. Kõik muud logaritmilised võrrandid taandatakse spetsiaalsete teisenduste abil kõige lihtsamaks (vt “Logaritmide põhiomadused”). Siiski tuleb arvestada paljude nüanssidega: võivad tekkida lisajuured, nii et keerulisi logaritmilisi võrrandeid käsitletakse eraldi.
Kuidas selliseid võrrandeid lahendada? Piisab, kui asendada võrdusmärgist paremal olev arv logaritmiga samas aluses, mis vasakul. Siis saad logaritmi märgist lahti. Saame:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Saime tavalise võrrandi. Selle juured on algse võrrandi juured.
Kraadide väljavõtmine
Sageli lahendatakse logaritmvõrrandid, mis väliselt tunduvad keerulised ja ähvardavad, sõna otseses mõttes paari reaga, ilma et oleks vaja keerulised valemid. Täna vaatleme just selliseid probleeme, kus teilt ei nõuta muud, kui valem hoolikalt taandada kanooniliseks vormiks ja mitte sattuda segadusse logaritmide määratluspiirkonna otsimisel.
Täna, nagu pealkirjast arvatavasti arvasite, lahendame kanoonilisele vormile ülemineku valemite abil logaritmilisi võrrandeid. Selle videotunni peamine “trikk” on kraadidega töötamine või õigemini kraadide tuletamine alusest ja argumendist. Vaatame reeglit:
Samamoodi saate kraadi tuletada baasist:
Nagu näeme, kui logaritmi argumendist astme eemaldamisel on meil ees lihtsalt lisategur, siis astme eemaldamisel baasist saame mitte ainult teguri, vaid pöördteguri. Seda tuleb meeles pidada.
Lõpuks, kõige huvitavam. Neid valemeid saab kombineerida, siis saame:
Loomulikult on nende üleminekute tegemisel teatud lõksud, mis on seotud definitsiooni ulatuse võimaliku laiendamisega või vastupidi, definitsiooni ulatuse kitsendamisega. Otsustage ise:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Kui esimesel juhul võiks x olla mis tahes muu arv kui 0, st nõue x ≠ 0, siis teisel juhul rahuldatakse ainult x, mis mitte ainult ei ole võrdsed, vaid rangelt suuremad kui 0, sest domeen logaritmi definitsioon on, et argument on rangelt suurem kui 0. Seetõttu tuletan teile meelde imeline valem 8.-9.klassi algebra kursusest:
See tähendab, et peame oma valemi kirjutama järgmiselt:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Siis ei toimu definitsiooni ulatuse kitsendamist.
Tänases videoõpetuses ruute siiski ei ole. Kui vaatate meie ülesandeid, näete ainult juuri. Seetõttu me seda reeglit ei rakenda, kuid siiski on vaja seda meeles pidada, et õige hetk kui sa näed ruutfunktsioon argumendis või logaritmi aluses jätate selle reegli meelde ja sooritate kõik teisendused õigesti.
Seega on esimene võrrand:
Selle probleemi lahendamiseks teen ettepaneku hoolikalt uurida kõiki valemis sisalduvaid termineid.
Kirjutame esimese liikme ümber võimsuseks koos ratsionaalne näitaja:
Vaatame teist liiget: log 3 (1 − x). Siin pole vaja midagi teha, siin on kõik juba ümber kujundatud.
Lõpetuseks 0, 5. Nagu eelmistes tundides ütlesin, soovitan vägagi logaritmivõrrandite ja valemite lahendamisel kümnendmurdudelt tavalistele murdudele üle minna. Teeme ära:
0,5 = 5/10 = 1/2
Kirjutame oma algse valemi ümber, võttes arvesse saadud tingimusi:
log 3 (1 − x ) = 1
Liigume nüüd kanoonilise vormi juurde:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Vabaneme logaritmi märgist, võrdsustades argumendid:
1–x = 3
−x = 2
x = −2
See on kõik, me oleme võrrandi lahendanud. Mängime siiski ohutult ja leidkem määratluspiirkond. Selleks pöördume tagasi algse valemi juurde ja vaatame:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Meie juur x = −2 vastab sellele nõudele, seega on x = −2 algse võrrandi lahendus. Nüüd saime range ja selge põhjenduse. See on kõik, probleem lahendatud.
Liigume edasi teise ülesande juurde:
Vaatame iga terminit eraldi.
Kirjutame välja esimese:
Oleme esimese ametiaja muutnud. Töötame teise terminiga:
Lõpuks viimane liige, mis asub võrdusmärgist paremal:
Asendame saadud avaldised saadud valemis terminite asemel:
log 3 x = 1
Liigume edasi kanoonilise vormi juurde:
log 3 x = log 3 3
Vabaneme logaritmi märgist, võrdsustades argumendid, ja saame:
x = 3
Jällegi, ohutuse huvides, läheme tagasi algse võrrandi juurde ja vaatame. Algses valemis esineb muutuja x ainult argumendis, seega
x > 0
Teises logaritmis on x juure all, kuid argumendis jällegi, seega peab juur olema suurem kui 0, st radikaalavaldis peab olema suurem kui 0. Vaatame juure x = 3. Ilmselgelt on see vastab sellele nõudele. Seetõttu on x = 3 algse logaritmilise võrrandi lahendus. See on kõik, probleem lahendatud.
Tänases videoõpetuses on kaks põhipunkti:
1) ärge kartke logaritme teisendada ja eriti ärge kartke logaritmi märgist võimsusi välja võtta, pidades samal ajal meeles meie põhivalemit: argumendist astme eemaldamisel võetakse see lihtsalt ilma muudatusteta välja kordajana ja võimsuse baasist eemaldamisel pööratakse see võimsus ümber.
2) teine punkt on seotud kanoonilise vormi endaga. Ülemineku kanoonilisele vormile tegime logaritmilise võrrandi valemi teisenduse päris lõpus. Lubage mul teile meelde tuletada järgmist valemit:
a = log b b a
Mõistagi pean väljendi “ükskõik milline arv b” all silmas neid arve, mis vastavad logaritmi alusele seatud nõuetele, s.o.
1 ≠ b > 0
Sellise b puhul ja kuna me juba teame alust, siis see nõue täidetakse automaatselt. Kuid sellise b jaoks - mis tahes, mis seda nõuet rahuldab - saab selle ülemineku läbi viia ja saame kanoonilise vormi, milles saame logaritmi märgist lahti saada.
Definitsiooni ja lisajuurte domeeni laiendamine
Logaritmiliste võrrandite teisendamise protsessis võib toimuda määratlusvaldkonna kaudne laienemine. Sageli ei pane õpilased seda tähelegi, mis toob kaasa vigu ja valesid vastuseid.
Alustame kõige lihtsamate kujundustega. Lihtsaim logaritmiline võrrand on järgmine:
log a f (x) = b
Pange tähele, et x esineb ainult ühes logaritmi argumendis. Kuidas me selliseid võrrandeid lahendame? Kasutame kanoonilist vormi. Selleks kujutlege arvu b = log a a b ja meie võrrand kirjutatakse ümber järgmiselt:
log a f (x) = log a a b
Seda kirjet nimetatakse kanooniliseks vormiks. Just sellele peaksite vähendama kõiki logaritmilisi võrrandeid, millega kohtate mitte ainult tänases õppetükis, vaid ka mis tahes iseseisvas ja kontrolltöös.
Kuidas kanoonilise vormini jõuda ja milliseid võtteid kasutada, on harjutamise küsimus. Peamine asi, mida mõista, on see, et niipea, kui saate sellise kirje, võite lugeda probleemi lahendatuks. Sest järgmine samm tuleb sissekanne:
f (x) = a b
Teisisõnu, me vabaneme logaritmi märgist ja lihtsalt võrdsustame argumendid.
Milleks kõik see jutt? Fakt on see, et kanooniline vorm on rakendatav mitte ainult kõige lihtsamate probleemide, vaid ka kõigi teiste probleemide jaoks. Eelkõige need, mille üle me täna otsustame. Vaatame.
Esimene ülesanne:
Mis on selle võrrandi probleem? Fakt on see, et funktsioon on korraga kahes logaritmis. Ülesande saab taandada lihtsaimaks, lahutades lihtsalt ühe logaritmi teisest. Kuid definitsioonipiirkonnaga tekivad probleemid: võivad ilmneda lisajuured. Nii et liigutagem lihtsalt ühte logaritmidest paremale:
See kirje on palju sarnasem kanoonilise vormiga. Kuid on veel üks nüanss: kanoonilisel kujul peavad argumendid olema samad. Ja vasakul on meil logaritm aluses 3 ja paremal baasis 1/3. Ta teab, et need alused tuleb viia ühele numbrile. Näiteks meenutagem, mis on negatiivsed jõud:
Ja siis kasutame kordajana väljaspool logi eksponenti –1:
Pange tähele: põhjas olnud kraad pööratakse ümber ja muutub murdosaks. Erinevatest alustest vabanedes saime peaaegu kanoonilise tähise, kuid vastutasuks saime paremale teguri “−1”. Kaasame selle teguri argumenti, muutes selle võimsuseks:
Muidugi, olles saanud kanoonilise vormi, kriipsutame julgelt läbi logaritmi märgi ja võrdsustame argumendid. Samas lubage mul teile meelde tuletada, et astmeni “−1” tõstes pööratakse murdosa lihtsalt ümber – saadakse proportsioon.
Kasutame proportsiooni põhiomadust ja korrutame selle risti:
(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)
2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20
2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20
x 2 – 10x + 16 = 0
See, mis meil ees on, on ruutvõrrand, seega lahendame selle Vieta valemite abil:
(x - 8) (x - 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
See on kõik. Kas teie arvates on võrrand lahendatud? Ei! Sellise lahenduse eest saame 0 punkti, kuna algses võrrandis on kaks logaritmi muutujaga x. Seetõttu on vaja arvesse võtta määratlusvaldkonda.
Ja siit algab lõbu. Enamik õpilasi on segaduses: mis on logaritmi määratluspiirkond? Muidugi peavad kõik argumendid (meil on kaks) olema suuremad kui null:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Kõik need ebavõrdsused tuleb lahendada, märgistada sirgele, ristuda ja alles siis vaadata, millised juured ristumiskohas asuvad.
Ma ütlen ausalt: sellel tehnikal on õigus eksisteerida, see on usaldusväärne ja te saate õige vastuse, kuid selles on liiga palju. ebavajalikud tegevused. Nii et vaatame oma lahenduse uuesti läbi ja vaatame: kus täpselt me peame kohaldama ulatust? Teisisõnu peate selgelt aru saama, millal täpselt lisajuured ilmuvad.
- Algselt oli meil kaks logaritmi. Seejärel nihutasime ühe neist paremale, kuid see ei mõjutanud määratlusala.
- Seejärel eemaldame baasilt võimsuse, kuid logaritme on siiski kaks ja igaühes neist on muutuja x.
- Lõpuks kriipsutame maha palgimärgid ja saame klassika murdosaline ratsionaalne võrrand.
Just viimases etapis laiendatakse määratluse ulatust! Niipea, kui läksime üle murd-ratsionaalvõrrandile, vabanesime logimärkidest, muutusid muutuja x nõuded dramaatiliselt!
Järelikult saab definitsioonivaldkonda käsitleda mitte päris lahenduse alguses, vaid alles mainitud etapis – enne argumentide otsest võrdsustamist.
Siin peitub optimeerimisvõimalus. Ühest küljest nõutakse, et mõlemad argumendid oleksid suuremad kui null. Teisest küljest võrdsustame neid argumente veelgi. Seega, kui vähemalt üks neist on positiivne, siis on ka teine positiivne!
Seega selgub, et kahe ebavõrdsuse korraga täitmise nõudmine on liigne. Piisab, kui arvestada ainult ühte neist murdudest. Milline? See, mis on lihtsam. Näiteks vaatame parempoolset murdu:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
See on tüüpiline murdosaline ratsionaalne ebavõrdsus, lahendame selle intervallmeetodi abil:
Kuidas panna silte? Võtame arvu, mis on ilmselgelt suurem kui kõik meie juured. Näiteks 1 miljard. Ja me asendame selle murdosa. Saame positiivne arv, st. juurest x = 5 paremal on plussmärk.
Siis märgid vahelduvad, sest isegi paljususe juuri pole kuskil. Meid huvitavad intervallid, kus funktsioon on positiivne. Seetõttu x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Meenutagem nüüd vastuseid: x = 8 ja x = 2. Rangelt võttes pole need veel vastused, vaid ainult vastuse kandidaadid. Milline neist kuulub määratud komplekti? Muidugi, x = 8. Kuid x = 2 ei sobi meile oma definitsioonipiirkonna poolest.
Kokku on esimese logaritmilise võrrandi vastus x = 8. Nüüd on õige, teadlik otsus võttes arvesse määratlusvaldkonda.
Liigume edasi teise võrrandi juurde:
log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3
Tuletan teile meelde, et kui võrrandis on kümnendmurd, peaksite sellest vabanema. Ehk siis kirjutame vormis 0,5 ümber harilik murd. Märkame kohe, et seda alust sisaldav logaritm on kergesti arvutatav:
See on väga oluline hetk! Kui meil on kraadid nii baasis kui ka argumendis, saame nende kraadide näitajad tuletada järgmise valemi abil:
Lähme tagasi oma algse logaritmilise võrrandi juurde ja kirjutame selle ümber:
log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)
Saime kanoonilisele vormile üsna lähedase kujunduse. Küll aga ajavad meid segadusse terminid ja võrdusmärgist paremal olev miinusmärk. Esitame ühe aluse 5 logaritmina:
log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)
Lahutage paremal olevad logaritmid (sel juhul on nende argumendid jagatud):
log 5 (x - 9) = log 5 5/(x - 5)
Imeline. Nii saime kanoonilise vormi! Kriipsutame logimärgid läbi ja võrdsustame argumendid:
(x – 9)/1 = 5/(x – 5)
See on proportsioon, mida saab hõlpsasti lahendada risti korrutades:
(x - 9) (x - 5) = 5 1
x 2 - 9x - 5x + 45 = 5
x 2 – 14x + 40 = 0
Ilmselgelt on meil taandatud ruutvõrrand. Seda saab hõlpsasti lahendada Vieta valemite abil:
(x - 10) (x - 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Meil on kaks juurt. Kuid need pole lõplikud vastused, vaid ainult kandidaadid, sest logaritmiline võrrand nõuab ka definitsioonipiirkonna kontrollimist.
Tuletan meelde: pole vaja otsida, millal iga argumentidest on suurem kui null. Piisab, kui nõuda, et üks argument – kas x − 9 või 5/(x − 5) oleks suurem kui null. Mõelge esimesele argumendile:
x − 9 > 0
x > 9
Ilmselt vastab sellele nõudele ainult x = 10. See on lõplik vastus. Kogu probleem on lahendatud.
Veelkord tänase õppetunni põhimõtted:
- Niipea, kui muutuja x esineb mitmes logaritmis, lakkab võrrand olemast elementaarne ja selle jaoks tuleb arvutada definitsioonipiirkond. Muidu saab vastusesse lihtsalt lisajuuri kirjutada.
- Domeeni endaga töötamist saab oluliselt lihtsustada, kui kirjutame ebavõrdsuse välja mitte kohe, vaid täpselt sel hetkel, kui logimärkidest lahti saame. Lõppude lõpuks, kui argumendid on üksteisega võrdsustatud, piisab, kui nõuda, et ainult üks neist oleks suurem kui null.
Loomulikult valime ise, millist argumenti kasutada ebavõrdsuse moodustamiseks, seega on loogiline valida kõige lihtsam. Näiteks valisime teises võrrandis argumendi (x − 9) - lineaarne funktsioon, vastandina murdosalisele ratsionaalsele teisele argumendile. Nõus, võrratuse x − 9 > 0 lahendamine on palju lihtsam kui 5/(x − 5) > 0. Kuigi tulemus on sama.
See märkus lihtsustab oluliselt ODZ otsimist, kuid olge ettevaatlik: kahe võrratuse asemel võite kasutada ühte ebavõrdsust ainult siis, kui argumendid on täpselt on üksteisega võrdsed!
Muidugi küsib keegi nüüd: mis juhtub teisiti? Jah, mõnikord. Näiteks sammus endas, kui korrutame kaks muutujat sisaldavat argumenti, on oht lisajuured.
Otsustage ise: kõigepealt nõutakse, et iga argument oleks suurem kui null, kuid pärast korrutamist piisab, kui nende korrutis on suurem kui null. Selle tulemusena jäetakse vahele juhtum, kus kõik need murrud on negatiivsed.
Seetõttu, kui alles hakkate mõistma keerulisi logaritmilisi võrrandeid, ärge mingil juhul korrutage muutujat x sisaldavaid logaritme - see põhjustab liiga sageli tarbetute juurte ilmumist. Parem on teha üks lisasamm, nihutada üks termin teisele poole ja luua kanooniline vorm.
Noh, mida teha, kui te ei saa ilma selliste logaritmide korrutamata hakkama, arutame järgmises videotunnis. :)
Veel kord võrrandi võimsuste kohta
Täna võtame vaatluse alla üsna libeda teema, mis puudutab logaritmivõrrandeid ehk täpsemalt astmete eemaldamist logaritmide argumentidest ja alustest.
ma isegi ütleks me räägime paarisastmete eemaldamise kohta, sest just paarisastmetega tekib suurem osa raskusi reaallogaritmiliste võrrandite lahendamisel.
Alustame kanoonilisest vormist. Oletame, et meil on võrrand kujul log a f (x) = b. Sel juhul kirjutame arvu b ümber valemiga b = log a a b . Selgub järgmine:
log a f (x) = log a a b
Seejärel võrdsustame argumendid:
f (x) = a b
Eelviimast valemit nimetatakse kanooniliseks vormiks. Just sellele püüavad nad taandada mis tahes logaritmilist võrrandit, ükskõik kui keeruline ja hirmutav see esmapilgul ka ei tunduks.
Nii et proovime seda. Alustame esimese ülesandega:
Eelmärkus: nagu ma ütlesin, kõik kümnendkohad logaritmilises võrrandis on parem teisendada see tavalisteks võrranditeks:
0,5 = 5/10 = 1/2
Kirjutame oma võrrandi ümber, võttes seda asjaolu arvesse. Pange tähele, et nii 1/1000 kui ka 100 on kümne astmed, ja siis võtame välja astmed, kus iganes need asuvad: argumentidest ja isegi logaritmi baasist:
Ja siin tekib paljudel õpilastel küsimus: "Kust tuli parempoolne moodul?" Tõepoolest, miks mitte lihtsalt kirjutada (x − 1)? Loomulikult kirjutame nüüd (x − 1), kuid definitsioonipiirkonna arvestamine annab meile õiguse sellisele tähistusele. Lõppude lõpuks sisaldab teine logaritm juba (x − 1) ja see avaldis peab olema suurem kui null.
Kuid kui me eemaldame ruudu logaritmi aluselt, peame jätma täpselt mooduli alusele. Lubage mul selgitada, miks.
Fakt on see, et matemaatilisest vaatenurgast on kraadi omandamine samaväärne juure omandamisega. Täpsemalt, kui paneme avaldise (x − 1) 2 ruutu, võtame sisuliselt teise juure. Kuid ruutjuur pole midagi muud kui moodul. Täpselt nii moodul, sest isegi kui avaldis x − 1 on negatiivne, põleb “miinus” ruudustamisel ikkagi läbi. Juure edasine ekstraheerimine annab meile positiivse arvu - ilma miinusteta.
Üldiselt, et vältida solvavate vigade tegemist, pidage üks kord ja kõik meeles:
Mis tahes samale astmele tõstetud funktsiooni paarisastme juur on võrdne mitte funktsiooni enda, vaid selle mooduliga:
Pöördume tagasi meie logaritmilise võrrandi juurde. Moodulist rääkides väitsin, et saame selle valutult eemaldada. See on tõsi. Nüüd selgitan, miks. Rangelt võttes pidime kaaluma kahte võimalust:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x-1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Kõik need võimalused tuleks käsitleda. Kuid on üks konks: algvalem sisaldab juba funktsiooni (x − 1) ilma moodulita. Ja järgides logaritmide definitsiooni valdkonda, on meil õigus kohe kirjutada, et x − 1 > 0.
See nõue peab olema täidetud sõltumata moodulitest ja muudest muudatustest, mida me lahendusprotsessis teostame. Seetõttu pole mõtet teist võimalust kaaluda – seda ei teki kunagi. Isegi kui saame selle ebavõrdsuse haru lahendamisel mõned arvud, ei lähe need ikkagi lõppvastusse.
Nüüd oleme sõna otseses mõttes ühe sammu kaugusel logaritmilise võrrandi kanoonilisest vormist. Esitame ühikut järgmiselt:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Lisaks tutvustame argumenti teguri −4, mis asub paremal:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm. Vabaneme logaritmi märgist:
10-4 = x-1
Kuid kuna alus oli funktsioon (ja mitte algarv), nõuame lisaks, et see funktsioon oleks suurem kui null ja mitte võrdne ühega. Saadud süsteem on järgmine:
Kuna nõue x − 1 > 0 on täidetud automaatselt (x − 1 = 10 −4), saab ühe võrratuse meie süsteemist kustutada. Teise tingimuse võib ka läbi kriipsutada, sest x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
See on ainus juur, mis rahuldab automaatselt kõik logaritmi määratlusvaldkonna nõuded (samas kõik nõuded jäeti meie ülesande tingimustes ilmselgelt täidetuks).
Seega teine võrrand:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Mille poolest see võrrand eelmisest põhimõtteliselt erineb? Kui ainult sellega, et logaritmide alused - 3x ja 9x - ei ole looduslikud kraadidüksteist. Seetõttu ei ole üleminek, mida kasutasime eelmises lahenduses, võimalik.
Vabaneme vähemalt kraadidest. Meie puhul on ainus aste teises argumendis:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Moodulimärgi saab aga eemaldada, sest ka muutuja x on aluses, st. x > 0 ⇒ |x| = x. Kirjutame oma logaritmilise võrrandi ümber:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Oleme saanud logaritmid, milles argumendid on samad, kuid erinevad põhjused. Mida edasi teha? Siin on palju võimalusi, kuid me käsitleme neist ainult kahte, mis on kõige loogilisemad, ja mis kõige tähtsam, need on enamiku õpilaste jaoks kiired ja arusaadavad võtted.
Esimest võimalust oleme juba kaalunud: igas ebaselges olukorras teisenda muutuva alusega logaritmid mingiks konstantseks baasiks. Näiteks kahekesi. Ülemineku valem on lihtne:
Muidugi peaks muutuja c roll olema tavaline number: 1 ≠ c > 0. Olgu meie puhul c = 2. Nüüd on meie ees tavaline murdratsionaalvõrrand. Kogume kõik vasakul olevad elemendid:
Ilmselgelt on parem eemaldada log 2 x tegur, kuna see esineb nii esimeses kui ka teises fraktsioonis.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Jagame iga logi kaheks terminiks:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Kirjutame ümber võrdsuse mõlemad pooled, võttes arvesse järgmisi fakte:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x)
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Nüüd jääb üle vaid sisestada logaritmi märgi alla kaks (see muutub astmeks: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Meie ees on klassikaline kanooniline vorm, vabaneme logaritmi märgist ja saame:
Ootuspäraselt osutus see juur suuremaks kui null. Jääb üle kontrollida määratluspiirkonda. Vaatame põhjuseid:
Kuid juur x = 9 vastab neile nõuetele. Seetõttu on see lõplik otsus.
Järeldus alates see otsus lihtne: ärge laske pikkadest paigutustest hirmutada! Lihtsalt alguses valisime juhuslikult uue baasi - ja see muutis protsessi oluliselt keerulisemaks.
Siis aga tekib küsimus: mis alus on optimaalne? Ma räägin sellest teises meetodis.
Läheme tagasi oma algse võrrandi juurde:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Mõelgem nüüd veidi: milline arv või funktsioon oleks optimaalne alus? See on ilmne parim variant seal on c = x - see, mis on juba argumentides. Sel juhul on valem log a b = log c b /log c a kujul:
Teisisõnu, väljend on lihtsalt vastupidine. Sel juhul vahetavad argument ja alus kohta.
See valem on väga kasulik ja seda kasutatakse väga sageli keeruliste logaritmiliste võrrandite lahendamisel. Selle valemi kasutamisel on aga üks väga tõsine lõks. Kui asendame aluse asemel muutuja x, siis seatakse sellele piirangud, mida varem ei järgitud:
Algses võrrandis sellist piirangut ei olnud. Seetõttu peaksime eraldi kontrollima juhtumit, kui x = 1. Asendage see väärtus meie võrrandisse:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Õigeks saamine numbriline võrdsus. Seetõttu on x = 1 juur. Täpselt sama juure leidsime eelmises meetodis lahenduse alguses.
Aga nüüd, kui oleme seda eraldi vaadanud erijuhtum, eeldame kindlalt, et x ≠ 1. Seejärel kirjutatakse meie logaritmiline võrrand ümber järgmisel kujul:
3 palki x 9x = 4 palki x 3x
Laiendame mõlemat logaritmi sama valemiga nagu varem. Pange tähele, et log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 – 4 log x 3 = 4 – 3
2 log x 3 = 1
Nii jõudsime kanoonilise vormini:
log x 9 = log x x 1
x=9
Saime teise juure. See vastab nõudele x ≠ 1. Seetõttu on lõplik vastus x = 9 koos x = 1-ga.
Nagu näete, on arvutuste maht veidi vähenenud. Kuid reaalse logaritmilise võrrandi lahendamisel on sammude arv palju väiksem ka seetõttu, et te ei pea iga sammu nii üksikasjalikult kirjeldama.
Tänase tunni põhireegel on järgmine: kui ülesanne sisaldab paarisastet, millest eraldatakse sama astme juur, siis on väljundiks moodul. Selle mooduli saab aga eemaldada, kui pöörate tähelepanu logaritmide määratluse valdkonnale.
Kuid ole ettevaatlik: pärast seda õppetundi arvab enamik õpilasi, et saavad kõigest aru. Aga kui otsustada tõelisi probleeme nad ei suuda kogu loogilist ahelat reprodutseerida. Selle tulemusena omandab võrrand mittevajalikud juured ja vastus osutub valeks.
Selle videoga alustan pikka õppetundide seeriat logaritmvõrrandite kohta. Nüüd on teie ees kolm näidet, mille põhjal õpime kõige rohkem lahendama lihtsaid ülesandeid, mida nimetatakse nii - algloomad.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Lubage mul teile meelde tuletada, et lihtsaim logaritmiline võrrand on järgmine:
log a f (x) = b
Sel juhul on oluline, et muutuja x esineks ainult argumendi sees, st ainult funktsioonis f (x). Ja arvud a ja b on lihtsalt arvud ja mitte mingil juhul ei ole funktsioonid, mis sisaldavad muutujat x.
Põhilised lahendusmeetodid
Selliste struktuuride lahendamiseks on palju võimalusi. Näiteks enamik õpetajaid koolis pakub sellist meetodit: Väljendage kohe funktsioon f (x) valemi abil f ( x ) = a b . See tähendab, et kõige lihtsama konstruktsiooniga kokku puutudes saate kohe lahenduse juurde liikuda ilma lisatoimingute ja konstruktsioonideta.
Jah, loomulikult on otsus õige. Selle valemi probleem seisneb aga selles, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see tuleb ja miks me tõstame tähe a täheks b.
Seetõttu näen sageli väga tüütuid vigu, kui näiteks neid tähti vahetatakse. See valem peate kas aru saama või toppima ja teine meetod viib vigu kõige ebasobivamatel ja otsustavamatel hetkedel: eksamitel, testidel jne.
Sellepärast soovitan kõigil oma õpilastel loobuda kooli tavavalemist ja kasutada logaritmvõrrandite lahendamiseks teist lähenemist, mida, nagu nimest arvatavasti arvasite, nimetatakse kanooniline vorm.
Kanoonilise vormi idee on lihtne. Vaatame uuesti oma probleemi: vasakul on log a ja tähe a all peame silmas arvu, mitte mingil juhul muutujat x sisaldavat funktsiooni. Järelikult kehtivad sellele kirjale kõik logaritmi alusele kehtestatud piirangud. nimelt:
1 ≠ a > 0
Teisest küljest näeme samast võrrandist, et logaritm peab olema võrdne arvuga b ja sellele kirjale ei seata mingeid piiranguid, kuna see võib võtta mis tahes väärtusi - nii positiivseid kui ka negatiivseid. Kõik sõltub sellest, milliseid väärtusi funktsioon f(x) võtab.
Ja siin meenub meie imeline reegel, et iga arvu b saab esitada logaritmina aluse a ja a astmeni b:
b = log a a b
Kuidas seda valemit meeles pidada? Jah, väga lihtne. Kirjutame järgmise konstruktsiooni:
b = b 1 = b log a a
Loomulikult tekivad sel juhul kõik piirangud, mis alguses kirja panime. Nüüd kasutame logaritmi põhiomadust ja tutvustame kordaja b a astmena. Saame:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Selle tulemusena kirjutatakse algne võrrand ümber järgmiselt:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
See on kõik. Uus funktsioon ei sisalda enam logaritmi ja seda saab lahendada standardsete algebraliste tehnikate abil.
Muidugi vaidleb keegi nüüd vastu: miks oli üldse vaja välja mõelda mingi kanooniline valem, milleks teha veel kaks mittevajalikku sammu, kui oli võimalik kohe algse kujunduse juurest lõpliku valemi juurde liikuda? Jah, kasvõi seepärast, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see valem pärineb, ja seetõttu teevad selle rakendamisel regulaarselt vigu.
Kuid see kolmest sammust koosnev toimingute jada võimaldab teil lahendada algse logaritmilise võrrandi, isegi kui te ei saa aru, kust lõplik valem pärineb. Muideks, kanooniline valem Seda kirjet nimetatakse:
log a f (x) = log a a b
Kanoonilise vormi mugavus seisneb ka selles, et sellega saab lahendada väga laia klassi logaritmilisi võrrandeid, mitte ainult kõige lihtsamaid, mida me täna kaalume.
Näited lahendustest
Nüüd vaatame tõelisi näiteid. Niisiis, otsustame:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Kirjutame selle ümber nii:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Paljud õpilased kiirustavad ja püüavad kohe tõsta arvu 0,5 võimsusele, mis meile algsest probleemist tuli. Tõepoolest, kui olete selliste probleemide lahendamiseks juba hästi koolitatud, saate selle sammu kohe teha.
Kui aga alles hakkate seda teemat uurima, on parem mitte kuhugi kiirustada, et vältida solvavate vigade tegemist. Niisiis, meil on kanooniline vorm. Meil on:
3x − 1 = 0,5 −3
See ei ole enam logaritmiline võrrand, vaid lineaarne muutuja x suhtes. Selle lahendamiseks vaatame esmalt arvu 0,5 astmeni −3. Pange tähele, et 0,5 on 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Teisenda logaritmilise võrrandi lahendamisel kõik kümnendmurrud harilikeks murdudeks.
Kirjutame ümber ja saame:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
See on kõik, saime vastuse. Esimene probleem on lahendatud.
Teine ülesanne
Liigume edasi teise ülesande juurde:
Nagu näeme, pole see võrrand enam kõige lihtsam. Kasvõi sellepärast, et vasakul on erinevus ja mitte ainsatki logaritmi ühele alusele.
Seetõttu peame sellest erinevusest kuidagi lahti saama. IN sel juhul kõik on väga lihtne. Vaatame aluseid lähemalt: vasakul on number juure all:
Üldine soovitus: proovige kõigis logaritmilistes võrrandites vabaneda radikaalidest, st juurtega kirjetest ja liikuda edasi toitefunktsioonid, lihtsalt sellepärast, et nende astmete eksponendid võetakse logaritmi märgist kergesti välja ja lõppkokkuvõttes lihtsustab ja kiirendab selline tähistus arvutusi oluliselt. Paneme selle kirja järgmiselt:
Nüüd me mäletame imeline vara logaritm: võimsusi saab tuletada nii argumendist kui ka alusest. Põhjuste korral juhtub järgmine:
log a k b = 1/k loga b
Teisisõnu tuuakse baasastmes olnud arv ettepoole ja samal ajal pööratakse tagurpidi, st muutub vastastikune number. Meie puhul oli baaskraad 1/2. Seetõttu võime selle välja võtta kui 2/1. Saame:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Pange tähele: mitte mingil juhul ei tohiks te selles etapis logaritmidest lahti saada. Pidage meeles 4.-5. klassi matemaatikat ja tehte järjekorda: kõigepealt tehakse korrutamine ja alles seejärel liitmine ja lahutamine. Sel juhul lahutame 10 elemendist ühe sama elemendi:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Nüüd näeb meie võrrand välja selline, nagu peab. See on kõige lihtsam konstruktsioon ja lahendame selle kanoonilise vormi abil:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
See on kõik. Teine probleem on lahendatud.
Kolmas näide
Liigume edasi kolmanda ülesande juurde:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Lubage mul teile meelde tuletada järgmist valemit:
log b = log 10 b
Kui tähistuslogi b sind mingil põhjusel segadusse ajab, siis kõigi arvutuste tegemisel võid lihtsalt kirjutada logi 10 b. Kümnendlogaritmidega saate töötada samamoodi nagu teistega: võtke astmed, lisage ja esitage mis tahes arvud kujul lg 10.
Just neid omadusi kasutame nüüd probleemi lahendamiseks, kuna see pole kõige lihtsam, mille me tunni alguses üles kirjutasime.
Esiteks pange tähele, et lg 5 ees oleva teguri 2 saab lisada ja sellest saab aluse 5 astme. Lisaks saab vaba liiget 3 esitada ka logaritmina – seda on meie tähistusest väga lihtne jälgida.
Otsustage ise: mis tahes arvu saab esitada logina kuni 10. aluseni:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Kirjutame algse probleemi ümber, võttes arvesse saadud muudatusi:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000
Meie ees on taas kanooniline vorm ja saime selle ilma teisendusetappi läbimata, st kõige lihtsamat logaritmilist võrrandit ei paistnud kuskilt.
See on täpselt see, millest ma tunni alguses rääkisin. Kanooniline vorm võimaldab teil lahendada laiemat klassi ülesandeid kui tavaline kooli valem, mida annab enamik kooliõpetajaid.
Noh, see on kõik, me vabaneme kümnendlogaritmi märgist ja saame lihtsa lineaarse konstruktsiooni:
x + 3 = 25 000
x = 24 997
Kõik! Probleem on lahendatud.
Märkus ulatuse kohta
Siinkohal tahaksin teha olulise märkuse määratluse ulatuse kohta. Kindlasti on nüüd õpilasi ja õpetajaid, kes ütlevad: "Logaritmiga avaldisi lahendades peame meeles pidama, et argument f (x) peab olema suurem kui null!" Sellega seoses tekib loogiline küsimus: miks me ei nõudnud selle ebavõrdsuse rahuldamist üheski vaadeldavas probleemis?
Ära muretse. Sellistel juhtudel ei ilmu täiendavaid juuri. Ja see on veel üks suurepärane nipp, mis võimaldab teil lahendust kiirendada. Lihtsalt teadke, et kui ülesandes esineb muutuja x ainult ühes kohas (või õigemini ühe logaritmi ühes argumendis) ja mitte kusagil mujal meie puhul muutujat x ei esine, siis kirjutage definitsioonipiirkond üles pole tarvis, sest see käivitatakse automaatselt.
Otsustage ise: esimeses võrrandis saime, et 3x − 1, st argument peaks olema võrdne 8-ga. See tähendab automaatselt, et 3x − 1 on suurem kui null.
Sama edukalt võime kirjutada, et teisel juhul peaks x olema võrdne 5 2-ga, st see on kindlasti suurem kui null. Ja kolmandal juhul, kus x + 3 = 25 000, st jällegi ilmselgelt suurem kui null. Teisisõnu, ulatus rahuldatakse automaatselt, kuid ainult siis, kui x esineb ainult ühe logaritmi argumendis.
See on kõik, mida peate teadma kõige lihtsamate probleemide lahendamiseks. Ainuüksi see reegel koos teisendusreeglitega võimaldab teil lahendada väga laia klassi probleeme.
Kuid olgem ausad: selle tehnika lõpuks mõistmiseks ja logaritmilise võrrandi kanoonilise vormi rakendamise õppimiseks ei piisa ainult ühe videotunni vaatamisest. Nii et laadige kohe alla valikud sõltumatu otsus, mis on lisatud käesolevale videotunnile ja hakkavad lahendama vähemalt ühte neist kahest iseseisvast tööst.
See võtab sõna otseses mõttes paar minutit. Kuid sellise koolituse mõju on palju suurem kui siis, kui vaataksite lihtsalt seda videotundi.
Loodan, et see õppetund aitab teil logaritmilisi võrrandeid mõista. Kasutage kanoonilist vormi, lihtsustage avaldisi, kasutades logaritmidega töötamise reegleid - ja te ei karda probleeme. See on kõik, mis mul tänaseks on.
Võttes arvesse määratlusvaldkonda
Räägime nüüd määratlusvaldkonnast logaritmiline funktsioon, samuti kuidas see mõjutab logaritmiliste võrrandite lahendamist. Mõelge vormi konstruktsioonile
log a f (x) = b
Sellist avaldist nimetatakse kõige lihtsamaks - see sisaldab ainult ühte funktsiooni ning arvud a ja b on lihtsalt numbrid ja mitte mingil juhul funktsioon, mis sõltub muutujast x. Seda saab lahendada väga lihtsalt. Peate lihtsalt kasutama valemit:
b = log a a b
See valem on logaritmi üks peamisi omadusi ja algse avaldisega asendamisel saame järgmise:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
See on pärit tuttav valem kooliõpikud. Tõenäoliselt tekib paljudel õpilastel küsimus: kuna algses avaldises on funktsioon f (x) logimärgi all, on sellele kehtestatud järgmised piirangud:
f(x) > 0
See piirang kehtib, kuna logaritm negatiivsed arvud ei eksisteeri. Nii et võib-olla tuleks selle piirangu tõttu kasutusele võtta vastuste kontroll? Võib-olla tuleb need allikasse sisestada?
Ei, kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites pole täiendavat kontrollimist vaja. Ja sellepärast. Vaadake meie lõplikku valemit:
f (x) = a b
Fakt on see, et arv a on igal juhul suurem kui 0 - selle nõude kehtestab ka logaritm. Arv a on alus. Sel juhul arvule b piiranguid ei seata. Kuid see ei oma tähtsust, sest olenemata sellest, millisele võimsusele me positiivse arvu tõstame, saame väljundis ikkagi positiivse arvu. Seega on nõue f (x) > 0 automaatselt täidetud.
Tõesti tasub kontrollida logi märgi all oleva funktsiooni domeeni. Võib esineda üsna keerulisi struktuure ja kindlasti tuleb neil lahendusprotsessi käigus silma peal hoida. Vaatame.
Esimene ülesanne:
Esimene samm: teisendage parempoolne murd. Saame:
Vabaneme logaritmi märgist ja saame tavalise irratsionaalne võrrand:
Saadud juurtest sobib meile ainult esimene, kuna teine juur on väiksem kui null. Ainus vastus on number 9. See on kõik, probleem on lahendatud. Täiendavaid kontrolle pole vaja, et veenduda, et avaldis logaritmimärgi all on suurem kui 0, sest see ei ole lihtsalt suurem kui 0, vaid vastavalt võrrandi tingimusele on see võrdne 2-ga. Seetõttu on nõue „suurem kui null ” rahuldatakse automaatselt.
Liigume edasi teise ülesande juurde:
Siin on kõik endine. Kirjutame konstruktsiooni ümber, asendades kolmiku:
Vabaneme logaritmimärkidest ja saame irratsionaalse võrrandi:
Tõrjume piiranguid arvestades mõlemad pooled ja saame:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Lahendame saadud võrrandi diskriminandi kaudu:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Kuid x = −6 meile ei sobi, sest kui asendame selle arvu oma ebavõrdsusega, saame:
−6 + 4 = −2 < 0
Meie puhul nõutakse, et see oleks suurem kui 0 või äärmuslikel juhtudel võrdne. Kuid meile sobib x = −1:
−1 + 4 = 3 > 0
Ainus vastus meie puhul on x = −1. See on lahendus. Läheme tagasi oma arvutuste algusesse.
Peamine järeldus sellest õppetunnist on see, et te ei pea kontrollima funktsiooni piiranguid lihtsates logaritmilistes võrrandites. Kuna lahendusprotsessi käigus täidetakse kõik piirangud automaatselt.
Kuid see ei tähenda mingil juhul, et võite kontrollimise täielikult unustada. Logaritmilise võrrandi kallal töötades võib see muutuda irratsionaalseks, millel on paremale poolele oma piirangud ja nõuded, mida oleme täna näinud kahes erinevas näites.
Lahendage selliseid probleeme julgelt ja olge eriti ettevaatlik, kui vaidluses on juur.
Logaritmvõrrandid erinevate alustega
Jätkame logaritmiliste võrrandite uurimist ja vaatame veel kahte üsna huvitavat tehnikat, millega on moes rohkem lahendada keerukad kujundused. Kuid kõigepealt meenutagem, kuidas lahendatakse kõige lihtsamad probleemid:
log a f (x) = b
Selles kirjes on a ja b arvud ning funktsioonis f (x) peab muutuja x olemas olema ja ainult seal, st x peab olema ainult argumendis. Teisendame sellised logaritmilised võrrandid kanoonilise vormi abil. Selleks pange tähele
b = log a a b
Pealegi on a b täpselt argument. Kirjutame selle avaldise ümber järgmiselt:
log a f (x) = log a a b
See on täpselt see, mida me püüame saavutada, nii et nii vasakul kui ka paremal oleks logaritm a aluseks. Sel juhul võime piltlikult öeldes logimärgid maha kriipsutada ja matemaatilisest vaatenurgast võib öelda, et me lihtsalt võrdsustame argumendid:
f (x) = a b
Selle tulemusena saame uue väljendi, mida on palju lihtsam lahendada. Rakendame seda reeglit oma tänastele probleemidele.
Niisiis, esimene kujundus:
Kõigepealt märgin, et paremal on murd, mille nimetaja on log. Kui näete sellist väljendit, on hea meeles pidada logaritmide imelist omadust:
Vene keelde tõlgituna tähendab see, et mis tahes logaritmi saab esitada kahe logaritmi jagatisena mis tahes alusega c. Muidugi 0< с ≠ 1.
Niisiis: sellel valemil on üks imeline erijuhtum, kui muutuja c on võrdne muutujaga b. Sel juhul saame sellise konstruktsiooni:
Täpselt sellist konstruktsiooni näeme oma võrrandis paremal olevast märgist. Asendame selle konstruktsiooni log a b-ga, saame:
Teisisõnu, võrreldes algse ülesandega, vahetasime argumendi ja logaritmi aluse. Selle asemel pidime murdosa ümber pöörama.
Tuletame meelde, et mis tahes kraadi saab tuletada baasist vastavalt järgmisele reeglile:
Teisisõnu väljendatakse koefitsienti k, mis on aluse võimsus, pööratud murdena. Renderdame selle pöördmurruna:
Murdkoefitsienti ei saa ette jätta, sest sel juhul ei saa me esindada see sissekanne kanoonilise vormina (kanoonilises vormis ei ole ju enne teist logaritmi lisategurit). Seetõttu lisame argumendile astmena murdarvu 1/4:
Nüüd võrdsustame argumendid, mille alused on samad (ja meie alused on tegelikult samad), ja kirjutame:
x + 5 = 1
x = −4
See on kõik. Saime vastuse esimesele logaritmilisele võrrandile. Pange tähele: algses ülesandes esineb muutuja x ainult ühes logis ja see ilmub selle argumendis. Seetõttu pole domeeni vaja kontrollida ja meie arv x = −4 on tõepoolest vastus.
Liigume nüüd teise väljendi juurde:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Siin peame lisaks tavapärastele logaritmidele töötama ka logariga f (x). Kuidas sellist võrrandit lahendada? Ettevalmistumata õpilasele võib tunduda, et see on raske ülesanne, kuid tegelikult saab kõike elementaarselt lahendada.
Vaata lähemalt terminit lg 2 log 2 7. Mida selle kohta öelda? Log ja lg alused ja argumendid on samad ja see peaks andma ideid. Meenutagem veel kord, kuidas logaritmi märgi alt astmeid välja võetakse:
log a b n = nlog a b
Teisisõnu, see, mis argumendis oli b astmeks, muutub logi enda ees teguriks. Rakendame seda valemit avaldisele lg 2 log 2 7. Ärge kartke lg 2 - see on kõige levinum väljend. Saate selle ümber kirjutada järgmiselt:
Selle jaoks kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad mis tahes muu logaritmi kohta. Eelkõige saab argumendi astmele lisada ees oleva teguri. Paneme selle kirja:
Väga sageli õpilased seda tegevust otseselt ei näe, sest ühte palki teise sildi all pole hea sisestada. Tegelikult pole selles midagi kriminaalset. Lisaks saame valemi, mida on lihtne arvutada, kui mäletate olulist reeglit:
Seda valemit võib pidada nii definitsiooniks kui ka selle üheks omaduseks. Igal juhul, kui teisendate logaritmilist võrrandit, peaksite teadma seda valemit täpselt nii, nagu teate mis tahes arvu logaritmilist esitust.
Tuleme tagasi oma ülesande juurde. Kirjutame selle ümber, võttes arvesse asjaolu, et esimene liige võrdusmärgist paremal on lihtsalt võrdne lg 7-ga. Meil on:
lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)
Liigutame lg 7 vasakule, saame:
lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)
Lahutame vasakul olevad avaldised, kuna neil on sama alus:
lg (56/7) = –3 lg (x + 4)
Vaatame nüüd saadud võrrandit lähemalt. See on praktiliselt kanooniline vorm, kuid paremal on tegur −3. Lisame selle õigele lg argumendile:
log 8 = log (x + 4) −3
Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, seega kriipsutame lg-märgid läbi ja võrdsustame argumendid:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
See on kõik! Lahendasime teise logaritmilise võrrandi. Sel juhul pole täiendavaid kontrolle vaja, sest algülesandes esines x ainult ühes argumendis.
Loetlen uuesti võtmepunktid see õppetund.
Peamine valem, mida õpetatakse kõigis selle lehe tundides, mis on pühendatud logaritmiliste võrrandite lahendamisele, on kanooniline vorm. Ja ärge kartke asjaolu, et enamikus kooliõpikutes õpetatakse teid lahendama sarnased ülesanded erinevalt. See tööriist töötab väga tõhusalt ja võimaldab teil lahendada palju laiemat klassi probleeme kui kõige lihtsamad, mida me tunni alguses õppisime.
Lisaks on logaritmiliste võrrandite lahendamisel kasulik teada põhiomadusi. Nimelt:
- Ühele alusele liikumise valem ja erijuhtum, kui logime tagurpidi (see oli meile esimese ülesande puhul väga kasulik);
- Logaritmimärgi astmete liitmise ja lahutamise valem. Siin jäävad paljud õpilased jänni ega näe, et väljavõetud ja tutvustatud kraad võib ise sisaldada log f (x). Selles pole midagi halba. Saame tutvustada ühte palki teise märgi järgi ja samal ajal oluliselt lihtsustada ülesande lahendamist, mida me ka teisel juhul jälgime.
Kokkuvõtteks tahan lisada, et definitsioonipiirkonda ei ole vaja kõigil neil juhtudel kontrollida, sest igal pool on muutuja x ainult ühes logimärgis ja on samal ajal selle argumendis. Selle tulemusena täidetakse kõik ulatuse nõuded automaatselt.
Probleemid muutuva baasiga
Täna vaatleme logaritmilisi võrrandeid, mis tunduvad paljude õpilaste jaoks ebastandardsed, kui mitte täiesti lahendamatud. See on umbes avaldiste kohta, mis põhinevad mitte arvudel, vaid muutujatel ja isegi funktsioonidel. Sellised konstruktsioonid lahendame oma standardtehnikas, nimelt kanoonilise vormi kaudu.
Alustuseks meenutagem, kuidas kõige lihtsamad ülesanded selle põhjal lahendatakse tavalised numbrid. Niisiis, nimetatakse lihtsaimat konstruktsiooni
log a f (x) = b
Selliste probleemide lahendamiseks saame kasutada järgmist valemit:
b = log a a b
Kirjutame oma algse avaldise ümber ja saame:
log a f (x) = log a a b
Seejärel võrdsustame argumendid, st kirjutame:
f (x) = a b
Seega vabaneme logimärgist ja lahendame tavapärase probleemi. Sel juhul on lahendusest saadud juured algse logaritmilise võrrandi juured. Lisaks nimetatakse kanooniliseks vormiks kirjet, kui nii vasak kui ka parem on samas logaritmis sama alusega. Just sellise rekordini püüame vähendada tänaseid kujundusi. Nii et lähme.
Esimene ülesanne:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Asendage 1 log x − 2 (x − 2) 1-ga. Argumendis vaadeldav aste on tegelikult arv b, mis asus võrdusmärgist paremal. Seega kirjutame oma väljendi ümber. Saame:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Mida me näeme? Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, nii et saame argumendid ohutult võrdsustada. Saame:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
Kuid lahendus ei lõpe sellega, sest antud võrrand ei ole samaväärne originaaliga. Saadud konstruktsioon koosneb ju funktsioonidest, mis on defineeritud tervel arvureal ning meie algsed logaritmid pole defineeritud igal pool ja mitte alati.
Seetõttu peame määramisvaldkonna eraldi kirja panema. Ärgem poolitagem juukseid ja pange kõigepealt kirja kõik nõuded:
Esiteks peab iga logaritmi argument olema suurem kui 0:
2x 2 - 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Teiseks peab alus olema mitte ainult suurem kui 0, vaid ka erinev 1-st:
x − 2 ≠ 1
Selle tulemusena saame süsteemi:
Kuid ärge kartke: logaritmiliste võrrandite töötlemisel saab sellist süsteemi oluliselt lihtsustada.
Otsustage ise: ühelt poolt nõutakse, et ruutfunktsioon oleks suurem kui null, ja teisest küljest võrdsustatakse see ruutfunktsioon teatud lineaarne avaldis, mis peab samuti olema suurem kui null.
Sel juhul, kui nõuame, et x − 2 > 0, siis on automaatselt täidetud nõue 2x 2 − 13x + 18 > 0. Seetõttu võib ruutfunktsiooni sisaldava võrratuse julgelt maha kriipsutada. Seega väheneb meie süsteemis sisalduvate avaldiste arv kolmele.
Muidugi võiks sama hästi maha kriipsutada lineaarne ebavõrdsus, see tähendab, kriipsuta maha x − 2 > 0 ja nõua, et 2x 2 − 13x + 18 > 0. Kuid peate nõustuma, et kõige lihtsama lineaarvõrratuse lahendamine on ruutvõrratusest palju kiirem ja lihtsam, isegi kui kogu ebavõrdsuse lahendamise tulemusena sellest süsteemist saame samad juured.
Üldiselt proovige arvutusi igal võimalusel optimeerida. Ja logaritmiliste võrrandite puhul kriipsutage läbi kõige raskemad võrratused.
Kirjutame oma süsteemi ümber:
Siin on kolmest väljendist koosnev süsteem, millest kahte oleme tegelikult juba käsitlenud. Kirjutame ruutvõrrandi eraldi välja ja lahendame selle:
2x 2 - 14x + 20 = 0
x 2 – 7x + 10 = 0
Antud enne meid ruuttrinoom ja seetõttu saame kasutada Vieta valemeid. Saame:
(x - 5) (x - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Nüüd pöördume tagasi oma süsteemi juurde ja leiame, et x = 2 meile ei sobi, sest meilt nõutakse, et x oleks rangelt suurem kui 2.
Kuid x = 5 sobib meile üsna hästi: arv 5 on suurem kui 2 ja samal ajal 5 ei võrdu 3-ga. ainus lahendus selle süsteemi väärtus on x = 5.
See on kõik, probleem on lahendatud, sealhulgas ODZ-i arvesse võttes. Liigume edasi teise võrrandi juurde. Huvitavad ja informatiivsemad arvutused ootavad meid siin:
Esimene samm: nagu viimane kord, viime kogu selle asja kanoonilisse vormi. Selleks saame kirjutada numbri 9 järgmiselt:
Te ei pea juurega alust puudutama, kuid argumenti on parem teisendada. Liigume ratsionaalse astendajaga juurest astmele. Paneme kirja:
Lubage mul mitte kogu meie suurt logaritmilist võrrandit ümber kirjutada, vaid võrdsustada kohe argumendid:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Meie ees on äsja redutseeritud ruuttrinoom, kasutame Vieta valemeid ja kirjutame:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Niisiis, saime juured, kuid keegi ei garanteerinud meile, et need sobivad algse logaritmilise võrrandiga. Palgimärgid ju kehtestavad täiendavad piirangud(siin oleks pidanud süsteemi üles kirjutama, aga kogu struktuuri kohmakuse tõttu otsustasin definitsioonipiirkonna eraldi välja arvutada).
Kõigepealt pidage meeles, et argumendid peavad olema suuremad kui 0, nimelt:
Need on määratluse ulatusega kehtestatud nõuded.
Märgime kohe ära, et kuna me võrdsustame süsteemi kaks esimest avaldist üksteisega, siis võime neist ühe läbi kriipsutada. Tõmmake esimene läbi, sest see tundub ähvardavam kui teine.
Lisaks pange tähele, et teise ja kolmanda võrratuse lahenduseks on samad hulgad (mõne arvu kuup on suurem kui null, kui see arv ise on suurem kui null; samamoodi kolmanda astme juurega - need võrratused on täiesti analoogsed, nii et võime selle läbi kriipsutada).
Kuid kolmanda ebavõrdsusega see ei tööta. Vabaneme vasakpoolsest radikaalsest märgist, tõstes mõlemad osad kuubikuks. Saame:
Seega saame järgmised nõuded:
− 2 ≠ x > −3
Milline meie juurtest: x 1 = −3 või x 2 = −1 vastab neile nõuetele? Ilmselgelt ainult x = −1, sest x = −3 ei rahulda esimest võrratust (kuna meie ebavõrdsus on range). Niisiis, naastes meie probleemi juurde, saame ühe juure: x = −1. See on kõik, probleem lahendatud.
Veelkord selle ülesande põhipunktid:
- Rakendage ja lahendage kanoonilise vormi abil logaritmilisi võrrandeid. Õpilased, kes kirjutavad nii, selle asemel, et minna otse algsest probleemist konstruktsiooni juurde nagu log a f (x) = b, lubavad palju vähem vigu kui need, kes kuhugi kiirustavad, jättes vahele arvutuste vaheetapid;
- Niipea, kui logaritm ilmub muutuv alus, lakkab ülesanne olemast kõige lihtsam. Seetõttu on selle lahendamisel vaja arvestada määratluspiirkonda: argumendid peavad olema suuremad kui null ja alused ei tohi olla mitte ainult suuremad kui 0, vaid need ei tohi olla võrdsed ka 1-ga.
Lõplikke nõudeid saab lõplikele vastustele rakendada erineval viisil. Näiteks saate lahendada terve süsteemi, mis sisaldab kõiki määratlusvaldkonna nõudeid. Teisest küljest saate kõigepealt probleemi enda lahendada ja seejärel meeles pidada definitsioonivaldkonda, eraldi välja töötada süsteemi kujul ja rakendada seda saadud juurtele.
Milline meetod konkreetse logaritmilise võrrandi lahendamisel valida, on teie otsustada. Igal juhul on vastus sama.
Juhised
Kirjutage etteantud logaritmiline avaldis. Kui avaldis kasutab logaritmi 10, siis selle tähistus lühendatakse ja näeb välja järgmine: lg b on kümnendlogaritm. Kui logaritmi aluseks on arv e, siis kirjuta avaldis: ln b – naturaallogaritm. On arusaadav, et mis tahes tulemuseks on aste, milleni tuleb baasarvu tõsta, et saada arv b.
Kahe funktsiooni summa leidmisel tuleb need lihtsalt ükshaaval eristada ja tulemused liita: (u+v)" = u"+v";
Kahe funktsiooni korrutise tuletise leidmisel on vaja korrutada esimese funktsiooni tuletis teisega ja liita teise funktsiooni tuletis, mis on korrutatud esimese funktsiooniga: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Kahe funktsiooni jagatise tuletise leidmiseks on vaja lahutada dividendi tuletise korrutisest jagaja funktsiooniga korrutis jagaja tuletise korrutis dividendi funktsiooniga ja jagada seda kõike jagaja funktsiooni ruudus. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Kui antakse keeruline funktsioon, siis on vaja tuletist korrutada sisemine funktsioon ja välise tuletis. Olgu y=u(v(x)), siis y"(x)=y"(u)*v"(x).
Eespool saadud tulemusi kasutades saate eristada peaaegu kõiki funktsioone. Vaatame siis mõnda näidet:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Samuti on probleeme tuletise arvutamisega punktis. Olgu funktsioon y=e^(x^2+6x+5) antud, tuleb leida funktsiooni väärtus punktist x=1.
1) Leia funktsiooni tuletis: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Arvutage funktsiooni väärtus in antud punkt y"(1)=8*e^0=8
Video teemal
Õppige elementaartuletiste tabelit. See säästab oluliselt aega.
Allikad:
- konstandi tuletis
Niisiis, mis vahe on irratsionaalsel võrrandil ja ratsionaalsel võrrandil? Kui tundmatu muutuja on märgi all ruutjuur, siis peetakse võrrandit irratsionaalseks.
Juhised
Peamine meetod selliste võrrandite lahendamiseks on mõlema poole konstrueerimise meetod võrrandid ruudu sisse. Kuid. see on loomulik, esimese asjana tuleb märgist lahti saada. See meetod ei ole tehniliselt keeruline, kuid mõnikord võib see põhjustada probleeme. Näiteks võrrand on v(2x-5)=v(4x-7). Mõlema külje ruudustamisel saad 2x-5=4x-7. Sellise võrrandi lahendamine pole keeruline; x=1. Aga numbrit 1 ei anta võrrandid. Miks? Asendage võrrandis x väärtuse asemel üks. Paremal ja vasakul pool on avaldised, millel pole mõtet, see tähendab. See väärtus ruutjuure jaoks ei kehti. Seetõttu on 1 kõrvaline juur ja seetõttu pole sellel võrrandil juuri.
Seega lahendatakse irratsionaalne võrrand selle mõlema külje ruudustamiseks. Ja pärast võrrandi lahendamist on vaja kõrvalised juured ära lõigata. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga.
Mõelge veel ühele.
2х+vх-3=0
Loomulikult saab seda võrrandit lahendada sama võrrandi abil, mis eelmine. Liiguta ühendeid võrrandid, millel pole ruutjuurt, paremale küljele ja seejärel kasutage ruutude meetodit. lahendage saadud ratsionaalne võrrand ja juured. Aga ka teist, elegantsemat. Sisestage uus muutuja; vх=y. Sellest lähtuvalt saate võrrandi kujul 2y2+y-3=0. See tähendab, tavaline ruutvõrrand. Leidke selle juured; y1=1 ja y2=-3/2. Järgmisena lahendage kaks võrrandid vх=1; vх=-3/2. Teisel võrrandil pole juuri; esimesest leiame, et x=1. Ärge unustage juuri kontrollida.
Identiteetide lahendamine on üsna lihtne. Selleks peate tegema identiteedi transformatsioonid kuni eesmärk on saavutatud. Seega kõige lihtsamate abiga aritmeetilised tehted käsil olev ülesanne saab lahendatud.
Sa vajad
- - paber;
- - pliiats.
Juhised
Lihtsaimad sellistest teisendustest on algebralised lühendatud korrutised (näiteks summa ruut (vahe), ruutude erinevus, summa (vahe), summa kuup (vahe)). Lisaks on palju ja trigonomeetrilised valemid, mis on sisuliselt samad identiteedid.
Tõepoolest, kahe liikme summa ruut võrdne ruuduga esimene pluss kahekordne esimese korrutis teisega ja pluss teise ruut, see on (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Lihtsustage mõlemat
Lahenduse üldpõhimõtted
Korda õpiku järgi matemaatiline analüüs või kõrgem matemaatika, mis on kindel integraal. Nagu teada, lahendus kindel integraal on funktsioon, mille tuletis annab integrandi. See funktsioon nimetatakse antiderivaadiks. Kõrval see põhimõte ja konstrueerib põhiintegraalid.Määra integrandi tüübi järgi, milline tabeliintegraalidest on antud juhul sobiv. Seda ei ole alati võimalik kohe kindlaks teha. Sageli muutub tabelivorm märgatavaks alles pärast mitut teisendust integrandi lihtsustamiseks.
Muutuja asendamise meetod
Kui integrandi funktsioon on trigonomeetriline funktsioon, mille argument sisaldab mõnda polünoomi, siis proovige kasutada muutuja asendusmeetodit. Selleks asenda integrandi argumendis olev polünoom mõne uue muutujaga. Uute ja vanade muutujate vahelise seose põhjal määrake lõimimise uued piirid. Seda avaldist eristades leidke uus diferentsiaal . Nii et sa saad uut tüüpi eelmisest integraalist, mis on lähedane mis tahes tabeli integraalile või isegi sellele vastav.Teist tüüpi integraalide lahendamine
Kui integraal on teist tüüpi integraal, integrandi vektorvorm, siis peate kasutama nendelt integraalidelt skalaarsetele üleminekureegleid. Üks selline reegel on Ostrogradski-Gaussi suhe. See seadus võimaldab minna mõne vektorfunktsiooni rootori voo juurest kolmikintegraalile antud vektorivälja lahknemise kohal.Integratsioonipiirangute asendamine
Pärast antiderivaadi leidmist on vaja integratsiooni piirid asendada. Esmalt asendage väärtus ülempiir antiderivaadi väljendiks. Sa saad mingi numbri. Järgmisena lahutage saadud arvust antiderivaati teine alampiirist saadud arv. Kui integratsiooni üheks piiriks on lõpmatus, siis selle asendamisel antiderivatiivne funktsioon tuleb minna piirini ja leida, mille poole väljend püüdleb.Kui integraal on kahe- või kolmemõõtmeline, siis tuleb integraali hindamise mõistmiseks esitada integreerimise piire geomeetriliselt. Tõepoolest, näiteks kolmemõõtmelise integraali puhul võivad integreerimise piirid olla terved tasapinnad, mis piiravad integreeritavat mahtu.
Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). See matemaatiline seadus tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Nad olid need, kes teenisid edasine avamine logaritmid. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.
Definitsioon matemaatikas
Logaritm on avaldis järgmisel kujul: log a b=c, st mis tahes logaritm mittenegatiivne arv(st mis tahes positiivset) "b" selle baasi "a" järgi loetakse "c" astmeks, milleni tuleb baas "a" tõsta, et lõpuks saada väärtus "b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.
Logaritmide tüübid
Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Seal on kolm üksikud liigid logaritmilised avaldised:
- Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
- Kümnend a, kus alus on 10.
- Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.
Igaüks neist on otsustatud standardsel viisil, mis sisaldab logaritmilisi teoreeme kasutades lihtsustamist, redutseerimist ja järgnevat taandada ühele logaritmile. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.
Reeglid ja mõned piirangud
Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsete arvude paarisjuurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:
- Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
- kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.
Kuidas lahendada logaritme?
Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.
Nüüd kujutame ette see väljend logaritmilises vormis. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.
Väärtuse täpseks määramiseks teadmata kraad peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:
Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Kuid selleks suured väärtused vajate kraadide tabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea kompleksist üldse midagi matemaatilised teemad. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid arvuväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!
Võrrandid ja võrratused
Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seega igasugune matemaatiline numbrilised avaldised saab kirjutada logaritmilise võrrandina. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Sest negatiivsed jõud reeglid on samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.
Antud avaldis järgmisel kujul: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline ebavõrdsus, kuna tundmatu väärtus "x" on logaritmi märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.
Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) eeldavad ühte või mitut konkreetset vastust. arvväärtusi, samas kui ebavõrdsused määratletakse piirkonnana vastuvõetavad väärtused ja selle funktsiooni murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute numbrite komplekt, nagu võrrandi vastuses, vaid pigem pidev seeria või numbrite komplekt.
Põhiteoreemid logaritmide kohta
Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid hiljem; kõigepealt vaatame iga omadust üksikasjalikumalt.
- Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
- Korrutise logaritmi saab esitada kujul järgmine valem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul eelduseks on: d, s1 ja s2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
- Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Valemi kujul olev teoreem võtab kasutusele järgmine vaade: log a q b n = n/q log a b.
Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.
Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;
aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.
Näited probleemidest ja ebavõrdsusest
Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka lisatud kohustuslik osa matemaatika eksamid. Ülikooli sisseastumiseks või läbimiseks sisseastumiseksamid matemaatikas peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.
Kahjuks ei ole ühest plaani või skeemi lahendamiseks ja määramiseks tundmatu väärtus Sellist asja nagu logaritm pole olemas, kuid saate seda rakendada iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul. teatud reeglid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või viia selleni üldine välimus. Lihtsusta pikki logaritmilised avaldised võimalik, kui kasutate nende omadusi õigesti. Saame nendega kiiresti tuttavaks.
Logaritmivõrrandite lahendamisel tuleb kindlaks teha, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.
Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Lahenduste jaoks naturaallogaritmid vaja taotleda logaritmilised identiteedid või nende omadused. Vaatame lahendust näidetega logaritmilised probleemid erinevad tüübid.
Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega
Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.
- Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.
Ühtse riigieksami ülesanded
Logaritme leidub sageli sisseastumiseksamid, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtses riigieksamil ( Riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami lihtsaim testiosa), vaid ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.
Näited ja probleemide lahendused on võetud ametlikult Ühtse riigieksami valikud. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.
Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.
- Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
- Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.