Joonlaua kasutamine. Eelistatav on, et see oleks valmistatud võimalikult õhukesest lehtmaterjalist. Kui pind, millele see laotatakse, pole tasane, aitab rätsepamõõtja. Ja kui teil pole õhukest joonlauda ja kui te ei viitsi kaarti läbistada, on mugav mõõtmiseks kasutada kompassi, eelistatavalt kahe nõelaga. Seejärel saate selle üle kanda millimeetripaberile ja mõõta segmendi pikkust mööda seda.
Kahe punkti vahelised teed on harva sirged. Joone pikkust aitab mõõta mugav seade - kurvimeeter. Selle kasutamiseks pöörake esmalt rulli, et nool nulliga joondada. Kui kurvimeeter on elektrooniline, ei ole vaja seda käsitsi nulli seada – piisab, kui vajutada lähtestamisnuppu. Rulli hoides vajutage seda segmendi alguspunktini, nii et kehal olev märk (asub rulli kohal) osutaks otse sellele punktile. Seejärel liigutage rullikut mööda joont, kuni märk on lõpp-punktiga joondatud. Lugege tunnistust. Pange tähele, et mõnel kurvimeetril on kaks skaalat, millest üks on gradueeritud sentimeetrites ja teine tollides.
Leidke kaardilt mastaabinäidik – see asub tavaliselt paremas alanurgas. Mõnikord on see indikaator kalibreeritud pikkusega tükk, mille kõrval on näidatud, millisele kaugusele see vastab. Mõõtke selle segmendi pikkus joonlauaga. Kui selgub näiteks, et selle pikkus on 4 sentimeetrit ja selle kõrval on märgitud, et see vastab 200 meetrile, jagage teine number esimesega ja saate teada, et kõik kaardil olevad vastavad. kuni 50 meetrit maapinnal. Mõnel on segmendi asemel valmis fraas, mis võib välja näha näiteks järgmine: "Ühes sentimeetris on 150 meetrit." Mõõtkava saab määrata ka suhtena järgmisel kujul: 1:100000. Sel juhul saame arvutada, et sentimeeter kaardil vastab 1000 meetrile maapinnal, kuna 100 000/100 (sentimeetrit meetris) = 1000 m.
Korrutage joonlaua või kurvimeetriga mõõdetud kaugus sentimeetrites kaardil näidatud või ühes sentimeetris arvutatud meetrite arvuga. Tulemuseks on tegelik vahemaa, mida väljendatakse vastavalt kilomeetrites.
Iga kaart on mingi territooriumi miniatuurne pilt. Koefitsienti, mis näitab, kui palju kujutist reaalse objekti suhtes vähendatakse, nimetatakse mõõtkavaks. Seda teades saate kindlaks teha vahemaa Kõrval . Tõeliste paberkaartide puhul on mõõtkava fikseeritud väärtus. Virtuaalsete elektrooniliste kaartide puhul muutub see väärtus koos kaardipildi suurenduse muutumisega monitori ekraanil.
Juhised
Kaugus poolt kaart saab mõõta tööriista "Ruler" abil geoinfopakettides Google Earth ja Yandex Maps, mis on satelliitsatelliidid sisaldavate kaartide aluseks. Lülitage see tööriist lihtsalt sisse ja klõpsake punktil, mis tähistab teie marsruudi algust ja seda, kus kavatsete selle lõpetada. Kauguse väärtuse võib leida mis tahes etteantud mõõtühikutes.
Tasapinna iga punkti A iseloomustavad selle koordinaadid (x, y). Need langevad kokku punktist 0 väljuva vektori 0A koordinaatidega - koordinaatide alguspunktist.
Olgu A ja B tasandi suvalised punktid koordinaatidega (x 1 y 1) ja (x 2, y 2).
Siis on vektoril AB ilmselgelt koordinaadid (x 2 - x 1, y 2 - y 1). On teada, et vektori pikkuse ruut on võrdne selle koordinaatide ruutude summaga. Seetõttu määratakse tingimusest punktide A ja B vaheline kaugus d või, mis on sama, vektori AB pikkus.
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$
Saadud valem võimaldab teil leida kauguse tasapinna mis tahes kahe punkti vahel, kui on teada ainult nende punktide koordinaadid
Iga kord, kui räägime tasapinna konkreetse punkti koordinaatidest, peame silmas täpselt määratletud koordinaatide süsteemi x0y. Üldiselt saab tasapinna koordinaatsüsteemi valida erineval viisil. Seega võib koordinaadisüsteemi x0y asemel arvestada koordinaatide süsteemi xִy, mis saadakse vanade koordinaattelgede pööramisel ümber alguspunkti 0 vastupäeva nooled nurgal α .
Kui koordinaatsüsteemis x0y tasandi teatud punktil olid koordinaadid (x, y), siis uues koordinaatsüsteemis xִy on sellel erinevad koordinaadid (x, y).
Vaatleme näiteks punkti M, mis asub 0x teljel ja on punktist 0 eraldatud 1 kaugusel.
Ilmselgelt on x0y koordinaatsüsteemis sellel punktil koordinaadid (cos α , patt α ) ja xִy koordinaatide süsteemis on koordinaadid (1,0).
Tasapinna A ja B mis tahes kahe punkti koordinaadid sõltuvad sellest, kuidas koordinaatide süsteem sellel tasapinnal on määratud. Ja siin nende punktide vaheline kaugus ei sõltu koordinaatsüsteemi määramise meetodist .
Muud materjalidTasapinna kahe punkti vaheline kaugus.
Koordinaatide süsteemid
Tasapinna iga punkti A iseloomustavad selle koordinaadid (x, y). Need langevad kokku punktist 0 väljuva vektori 0A koordinaatidega - koordinaatide alguspunktist.
Olgu A ja B tasandi suvalised punktid koordinaatidega (x 1 y 1) ja (x 2, y 2).
Siis on vektoril AB ilmselgelt koordinaadid (x 2 - x 1, y 2 - y 1). On teada, et vektori pikkuse ruut on võrdne selle koordinaatide ruutude summaga. Seetõttu määratakse tingimusest punktide A ja B vaheline kaugus d või, mis on sama, vektori AB pikkus.
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
Saadud valem võimaldab teil leida kauguse tasapinna mis tahes kahe punkti vahel, kui on teada ainult nende punktide koordinaadid
Iga kord, kui räägime tasapinna konkreetse punkti koordinaatidest, peame silmas täpselt määratletud koordinaatide süsteemi x0y. Üldiselt saab tasapinna koordinaatsüsteemi valida erineval viisil. Seega võib x0y koordinaatsüsteemi asemel kaaluda x"0y" koordinaatsüsteemi, mis saadakse vanade koordinaatide telgede pööramisel ümber lähtepunkti 0 vastupäeva nooled nurgal α .
Kui koordinaatsüsteemis x0y tasandi teatud punktil olid koordinaadid (x, y), siis uues koordinaatsüsteemis x"0y" on sellel erinevad koordinaadid (x, y").
Vaatleme näiteks punkti M, mis asub 0x-teljel ja on punktist 0 eraldatud 1 kaugusel.
Ilmselgelt on x0y koordinaatsüsteemis sellel punktil koordinaadid (cos α , patt α ) ja x"0y" koordinaatide süsteemis on koordinaadid (1,0).
Tasapinna A ja B mis tahes kahe punkti koordinaadid sõltuvad sellest, kuidas koordinaatide süsteem sellel tasapinnal on määratud. Kuid nende punktide vaheline kaugus ei sõltu koordinaatsüsteemi määramise meetodist. Kasutame seda olulist asjaolu järgmises lõigus märkimisväärselt ära.
Harjutused
I. Leidke koordinaatidega tasapinna punktide vahelised kaugused:
1) (3.5) ja (3.4); 3) (0,5) ja (5, 0); 5) (-3,4) ja (9, -17);
2) (2, 1) ja (- 5, 1); 4) (0, 7) ja (3,3); 6) (8, 21) ja (1, -3).
II. Leidke kolmnurga ümbermõõt, mille küljed on antud võrranditega:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ja y = 1.
III. Koordinaadisüsteemis x0y on punktidel M ja N vastavalt koordinaadid (1, 0) ja (0,1). Leidke nende punktide koordinaadid uues koordinaatsüsteemis, mis saadakse vanade telgede pööramisel ümber alguspunkti 30° vastupäeva.
IV. Koordinaadisüsteemis x0y on punktidel M ja N koordinaadid (2, 0) ja (\ / vastavalt 3/2, - 1/2). Leidke nende punktide koordinaadid uues koordinaatsüsteemis, mis saadakse vanade telgede pööramisel ümber alguspunkti 30° päripäeva.
§ 1 Täis- ja murdratsionaalvõrrandid
Selles õppetükis käsitleme selliseid mõisteid nagu ratsionaalne võrrand, ratsionaalne avaldis, tervikväljend, murdosa avaldis. Vaatleme ratsionaalsete võrrandite lahendamist.
Ratsionaalne võrrand on võrrand, mille vasak ja parem pool on ratsionaalsed avaldised.
Ratsionaalsed väljendid on järgmised:
Murdosaline.
Täisarvuline avaldis koosneb arvudest, muutujatest ja täisarvu astmetest, kasutades liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise toiminguid.
Näiteks:
Murdlaused hõlmavad jagamist muutujaga või avaldist muutujaga. Näiteks:
Murdlausel pole kõigi selles sisalduvate muutujate väärtuste puhul mõtet. Näiteks väljend
x = -9 korral pole sellel mõtet, kuna x = -9 korral läheb nimetaja nulli.
See tähendab, et ratsionaalne võrrand võib olla täis- või murdosa.
Terve ratsionaalne võrrand on ratsionaalne võrrand, mille vasak ja parem pool on terved avaldised.
Näiteks:
Murdratsionaalvõrrand on ratsionaalne võrrand, mille vasak või parem pool on murdosa avaldised.
Näiteks:
§ 2 Terve ratsionaalvõrrandi lahendamine
Vaatleme terve ratsionaalvõrrandi lahendust.
Näiteks:
Korrutame võrrandi mõlemad pooled selles sisalduvate murdude nimetajate väikseima ühisnimetajaga.
Selle jaoks:
1. leidke nimetajate 2, 3, 6 ühine nimetaja. See võrdub 6;
2. leida igale murrule lisategur. Selleks jagage ühisnimetaja 6 iga nimetajaga
murru lisategur
murru lisategur
3. korrutage murdude lugejad neile vastavate lisateguritega. Seega saame võrrandi
mis on võrdne antud võrrandiga
Avame vasakpoolsed sulud, nihutame parempoolset osa vasakule, muutes termini märki, kui teisaldatakse vastupidisele.
Toome polünoomi sarnased liikmed ja saame
Näeme, et võrrand on lineaarne.
Olles selle lahendanud, leiame, et x = 0,5.
§ 3 Murdratsionaalvõrrandi lahendamine
Vaatleme murdosa ratsionaalvõrrandi lahendamist.
Näiteks:
1.Korruta võrrandi mõlemad pooled selles sisalduvate ratsionaalsete murdude nimetajate väikseima ühisnimetajaga.
Leiame nimetajate x + 7 ja x - 1 ühisnimetaja.
See on võrdne nende korrutisega (x + 7) (x - 1).
2. Leiame igale ratsionaalsele murrule lisateguri.
Selleks jagage ühisnimetaja (x + 7)(x - 1) iga nimetajaga. Murdude lisategur
võrdne x - 1,
murru lisategur
võrdub x+7.
3.Korrutage murdude lugejad neile vastavate lisateguritega.
Saame võrrandi (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), mis on samaväärne selle võrrandiga
4. Korrutage binoom vasakul ja paremal oleva binoomiga ning saate järgmise võrrandi
5. Liigume parema külje vasakule, muutes iga termini märki, kui liigume vastupidisele:
6. Esitame polünoomi sarnased liikmed:
7. Mõlemad pooled saab jagada -1-ga. Saame ruutvõrrandi:
8. Olles selle lahendanud, leiame juured
Kuna Eq.
vasak ja parem pool on murdavaldised ning murdosa avaldistes võib muutujate mõne väärtuse puhul nimetaja muutuda nulliks, siis tuleb kontrollida, kas ühisnimetaja ei lähe x1 ja x2 leidmisel nulli. .
Kui x = -27, ühisnimetaja (x + 7)(x - 1) ei kao, x = -1 korral ei ole ühisnimetaja samuti null.
Seetõttu on nii juured -27 kui ka -1 võrrandi juured.
Murdratsionaalvõrrandi lahendamisel on parem kohe näidata vastuvõetavate väärtuste vahemik. Kõrvaldage need väärtused, mille puhul ühine nimetaja läheb nulli.
Vaatleme veel ühte näidet murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamisest.
Näiteks lahendame võrrandi
Arvutame võrrandi paremal küljel oleva murdosa nimetaja
Saame võrrandi
Leiame nimetajate (x - 5), x, x(x - 5) ühisnimetaja.
See on avaldis x(x - 5).
Nüüd leiame võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemiku
Selleks võrdsustame ühisnimetaja väärtusega null x(x - 5) = 0.
Saame võrrandi, mille lahendamisel leiame, et x = 0 või x = 5 korral läheb ühisnimetaja nulli.
See tähendab, et x = 0 või x = 5 ei saa olla meie võrrandi juured.
Nüüd on võimalik leida täiendavaid kordajaid.
Ratsionaalsete murdude lisategur
murru lisategur
on (x - 5),
ja murru lisategur
Korrutame lugejad vastavate lisateguritega.
Saame võrrandi x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Avame sulud vasakul ja paremal, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Liigume tingimused paremalt vasakule, muutes ülekantud tingimuste märki:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Ja pärast sarnaste terminite toomist saame ruutvõrrandi x2 - 3x - 10 = 0. Olles selle lahendanud, leiame juured x1 = -2; x2 = 5.
Kuid oleme juba avastanud, et x = 5 korral läheb ühisnimetaja x(x - 5) nulli. Seega meie võrrandi juur
on x = -2.
§ 4 Õppetunni lühikokkuvõte
Oluline on meeles pidada:
Murdratsionaalvõrrandite lahendamisel toimige järgmiselt:
1. Leia võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja. Veelgi enam, kui murdude nimetajaid saab faktoreerida, siis faktoritage need ja seejärel leidke ühine nimetaja.
2.Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga: leidke lisategurid, korrutage lugejad lisateguritega.
3.Lahendage saadud koguvõrrand.
4. Likvideerige selle juurtest need, mis panevad ühisnimetaja kaduma.
Kasutatud kirjanduse loetelu:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Toimetanud Telyakovsky S.A. Algebra: õpik. 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid. - M.: Haridus, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klass: Kahes osas. 1. osa: Õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid. - M.: Mnemosüüne.
- Rurukin A.N. Algebra tunniarendused: 8. klass.- M.: VAKO, 2010.a.
- Algebra 8. klass: tunniplaanid Yu.N. õpiku põhjal. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Aut.-koost. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: õpetaja, 2005.