Lahendus. A= . Leiame r(A). Sest maatriks Ja siis on tellimus 3x4 kõrgeim järjekord alaealised on võrdne 3-ga. Pealegi on kõik kolmandat järku alaealised võrdsed nulliga (kontrollige ise). Tähendab, r(A)< 3. Возьмем главный põhimoll = -5-4 = -9 ≠ 0. Seetõttu r(A) =2.

Mõelgem maatriks KOOS = .

Väike kolmas tellida ≠ 0. Seega r(C) = 3.

Kuna r(A) ≠ r(C) , siis on süsteem ebajärjekindel.

Näide 2. Määrake võrrandisüsteemi ühilduvus

Lahendage see süsteem, kui see osutub järjepidevaks.

Lahendus.

A = , C = . On ilmne, et r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Kuna detC = 0, siis r(C)< 4. Mõelgem alaealine kolmandaks tellida, mis asub vasakul ülemine nurk maatriksid A ja C: = -23 ≠ 0. Seega r(A) = r(C) = 3.

Number teadmata süsteemis n=3. See tähendab, et süsteemil on ainus otsus. Sel juhul esindab neljas võrrand esimese kolme summat ja seda võib ignoreerida.

Crameri valemite järgi saame x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Maatriksmeetod. Gaussi meetod

süsteem n lineaarvõrrandid Koos n tundmatuid saab lahendada maatriks meetod vastavalt valemile X = A -1 B (at Δ ≠ 0), mis saadakse punktist (2), korrutades mõlemad osad A -1-ga.

Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem

maatriksmeetod (punktis 2.2 lahendati see süsteem Crameri valemite abil)

Lahendus. Δ = 10 ≠ 0 A = - mittedegenereerunud maatriks.

= (kontrollige seda ise, tehes vajalikud arvutused).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Vastus: .

Praktilisest vaatenurgast maatriksmeetod ja valemid Kramer on seotud suure arvutusmahuga, seega eelistatakse Gaussi meetod, mis seisneb tundmatute järjestikuses kõrvaldamises. Selleks taandatakse võrrandisüsteem samaväärseks kolmnurkse laiendatud maatriksiga süsteemiks (kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga). Neid toiminguid nimetatakse edasiliikumiseks. Saadud kolmnurksüsteemist leitakse muutujad järjestikuste asenduste abil (tagurpidi).

Näide 2. Lahendage süsteem Gaussi meetodil

(Ülalpool lahendati see süsteem Crameri valemi ja maatriksmeetodi abil).

Lahendus.

Otsene liikumine. Kirjutame laiendatud maatriksi ja kasutamise elementaarsed teisendused toome selle kohale kolmnurkne vaade:

~ ~ ~ ~ .

Saame süsteem

Pöördkäik. Viimasest võrrandist leiame X 3 = -6 ja asendage see väärtus teise võrrandiga:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Vastus: .

2.5. Lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus

Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem = b i(i=). Olgu r(A) = r(C) = r, s.t. süsteem on koostööpõhine. Iga r-järgu molli, mis ei ole null, on põhimoll.Üldisust kaotamata eeldame, et põhimoll asub maatriksi A esimestes r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ridades ja veergudes. viimane m-r süsteemi võrrandid, kirjutame lühendatud süsteemi:

mis on samaväärne originaaliga. Nimetagem tundmatuid x 1,….x r põhiline ja x r +1 ,…, x r vabaks ja nihutage vabu tundmatuid sisaldavad liikmed kärbitud süsteemi võrranditest paremale. Saame põhiliste tundmatute suhtes süsteemi:

mis iga vabade tundmatute väärtuste komplekti jaoks x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r on ainult üks lahendus x 1 (C1,…, Cn-r),…, xr (C1,…, Cn-r), leitud Crameri reegli järgi.

Vastav lahendus lühendatud ja seetõttu on algsel süsteemil järgmine vorm:

X(C1,…, Cn-r) = - süsteemi üldine lahendus.

Kui üldlahenduses anname mõned vabad tundmatud arvväärtusi, siis leiame lahenduse lineaarne süsteem, mida nimetatakse privaatseks.

Näide. Looge ühilduvus ja leidke süsteemi üldine lahendus

Lahendus. A = , C = .

Niisiis Kuidas r(A)= r(C) = 2 (vaata seda ise), siis on algne süsteem järjekindel ja sellel on lõpmatu arv lahendeid (kuna r< 4).

Jätkame lineaarvõrrandisüsteemide käsitlemist. Siiani oleme kaalunud süsteeme, millel on unikaalne lahendus. Selliseid süsteeme saab lahendada mis tahes viisil: asendusmeetodil("kool"), vastavalt Crameri valemitele, maatriksmeetodil, Gaussi meetod. Praktikas on aga laialt levinud veel kaks juhtumit:

1) süsteem on ebaühtlane (pole lahendusi);

2) süsteemil on lõpmatult palju lahendusi.

Nende süsteemide jaoks kasutatakse kõigist lahendusmeetoditest kõige universaalsemat - Gaussi meetod. Tegelikult annab vastuse ka “kooli” meetod, kuid kõrgemas matemaatikas on tavaks kasutada Gaussi meetodit järjestikune kõrvaldamine teadmata. Need, kes pole Gaussi meetodi algoritmiga tuttavad, tutvuge kõigepealt õppetunniga Gaussi meetod

Elementaarmaatriksiteisendused ise on täpselt samad, on erinevus lahenduse lõpus. Kõigepealt vaatame paari näidet, kui süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlad).

Näide 1

Mis sulle selle süsteemi juures kohe silma jääb? Võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. On olemas teoreem, mis ütleb: “Kui võrrandite arv süsteemis väiksem kogus muutujad, siis on süsteem kas ebajärjekindel või sellel on lõpmatult palju lahendusi. Ja jääb üle vaid välja selgitada.

Lahenduse algus on täiesti tavaline - kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja elementaarteisenduste abil taandame selle väärtuseks astmeline vaade:

(1). Ülemises vasakpoolses astmes peame saama (+1) või (–1). Esimeses veerus selliseid numbreid pole, nii et ridade ümberpaigutamine ei anna midagi. Üksus peab ise organiseerima ja seda saab teha mitmel viisil. Me tegime seda. Esimesele reale lisame kolmanda rea, korrutatuna (–1).

(2). Nüüd saame esimeses veerus kaks nulli. Teisele reale lisame esimese rea, korrutatuna 3-ga. Kolmandale reale lisame esimese, korrutatuna 5-ga.

(3). Pärast teisenduse lõpetamist on alati soovitatav vaadata, kas saadud stringe on võimalik lihtsustada? Saab. Jagame teise rea 2-ga, saades samal ajal teisel sammul soovitud (–1). Jagage kolmas rida (–3).

(4). Lisage kolmandale reale teine ​​rida. Tõenäoliselt märkasid kõik elementaarsetest teisendustest tulenevat halba joont:

. On selge, et see ei saa nii olla.

Tõepoolest, kirjutagem saadud maatriks ümber

tagasi lineaarvõrrandi süsteemi juurde:

Kui elementaarteisenduste tulemusena saadakse vormi string , Kusλ on nullist erinev arv, siis on süsteem ebajärjekindel (lahendeid pole).

Kuidas ülesande lõppu kirja panna? Peate üles kirjutama fraasi:

“Elementaarteisenduste tulemusena saadi vormi string, kus λ ≠ 0 " Vastus: "Süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindel)."

Pange tähele, et antud juhul ei ole Gaussi algoritmi ümberpööramist, lahendusi pole ja lihtsalt pole midagi leida.

Näide 2

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem

See on näide sõltumatu otsus. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Tuletame veelkord meelde, et teie lahendus võib meie lahendusest erineda, Gaussi meetod ei täpsusta üheselt mõistetav algoritm, tuleb tegevuste järjekord ja toimingud ise igal juhul iseseisvalt ära arvata.

Veel üks tehniline omadus lahendused: elementaarteisendusi saab peatada Korraga, niipea kui rida nagu , kus λ ≠ 0 . Mõelgem tingimuslik näide: oletame, et pärast esimest teisendust saadakse maatriks

.

See maatriks ei ole veel taandatud ešelonvormiks, kuid täiendavaid elementaarseid teisendusi pole vaja, kuna on ilmunud vormi rida, kus λ ≠ 0 . Kohe tuleks anda vastus, et süsteem ei ühildu.

Kui lineaarvõrrandisüsteemil pole lahendeid, on see õpilasele peaaegu kingitus, kuna saadakse lühike lahendus, mõnikord sõna otseses mõttes 2-3 sammuga. Kuid kõik siin maailmas on tasakaalus ja probleem, mille jaoks süsteemil on lõpmatult palju lahendusi, on lihtsalt pikem.

Näide 3:

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem

Seal on 4 võrrandit ja 4 tundmatut, nii et süsteemil võib olla üks lahend, lahendeid ei tohi olla või võib olla lõpmatult palju lahendeid. Olgu kuidas on, Gaussi meetod viib meid igal juhul vastuseni. See on selle mitmekülgsus.

Algus on jälle standardne. Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

See on kõik ja sa kartsid.

(1). Pange tähele, et kõik esimeses veerus olevad numbrid jaguvad 2-ga, nii et 2 sobib ülemises vasakus astmes. Teisele reale lisame esimese rea korrutisega (–4). Kolmandale reale lisame esimese rea, mis on korrutatud (–2). Neljandale reale lisame esimese rea, korrutatuna (–1).

Tähelepanu! Paljudele võib tekkida kiusatus neljas reas lahutada esimene rida. Seda saab teha, kuid see pole vajalik, kogemus näitab, et arvutustes suureneb vea tõenäosus mitu korda. Me lihtsalt liidame: neljandale reale lisame esimese rea, korrutatuna (–1) - täpselt!

(2). Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist saab kustutada. Siin peame jälle näitama suurenenud tähelepanu, aga kas jooned on tõesti proportsionaalsed? Ohutuse huvides oleks hea mõte korrutada teine ​​rida (–1) ja jagada neljas rida 2-ga, mille tulemuseks on kolm identset rida. Ja alles pärast seda eemaldage neist kaks. Elementaarsete teisenduste tulemusena taandatakse süsteemi laiendatud maatriks astmelisele kujule:

Ülesannet vihikusse kirjutades on soovitav selguse huvides teha samad märkmed pliiatsiga.

Kirjutame ümber vastava võrrandisüsteemi:

Süsteemi “tavalisest” ühest lahendusest pole siin haisugi. Halb rida kus λ ≠ 0, ka ei. See tähendab, et see on kolmas järelejäänud juhtum – süsteemil on lõpmatult palju lahendusi.

Süsteemi lõpmatu hulk lahendusi on lühidalt kirjas nn süsteemi üldine lahendus.

Süsteemi üldlahenduse leiame Gaussi meetodi pöördväärtusega. Võrrandisüsteemide jaoks koos lõpmatu arv ilmuvad uued mõisted: "põhimuutujad" Ja "vabad muutujad". Kõigepealt määratleme, millised muutujad meil on põhilised ja millised muutujad - tasuta. Mõisteid pole vaja üksikasjalikult selgitada Lineaaralgebra, pidage meeles, et selliseid on olemas põhimuutujad Ja vabad muutujad.

Põhimuutujad "istuvad" alati rangelt maatriksi astmetel. IN selles näites põhimuutujad on x 1 ja x 3 .

Vabad muutujad on kõik allesjäänud muutujad, mis ei saanud sammu. Meie puhul on neid kaks: x 2 ja x 4 – vabad muutujad.

Nüüd vajate Kõikpõhimuutujad väljendada ainult läbivabad muutujad. Gaussi algoritmi tagurpidi toimib traditsiooniliselt alt üles. Süsteemi teisest võrrandist väljendame põhimuutujat x 3:

Nüüd vaadake esimest võrrandit: . Esmalt asendame sellega leitud avaldise:

Jääb üle põhimuutuja väljendada x 1 vabade muutujate kaudu x 2 ja x 4:

Lõpuks saime selle, mida vajasime - Kõik põhimuutujad ( x 1 ja x 3) väljendatud ainult läbi vabad muutujad ( x 2 ja x 4):

Tegelikult on üldine lahendus valmis:

.

Kuidas üldlahendust õigesti kirjutada? Esiteks kirjutatakse vabad muutujad üldlahendusse “iseenesest” ja rangelt oma kohale. IN sel juhul vabad muutujad x 2 ja x 4 tuleks kirjutada teisele ja neljandale positsioonile:

.

Saadud avaldised põhimuutujatele ja ilmselt tuleb kirjutada esimesse ja kolmandasse positsiooni:

Süsteemi üldlahendusest võib leida lõpmata palju privaatsed lahendused. See on väga lihtne. Vabad muutujad x 2 ja x 4 nimetatakse nii, sest neid saab anda mis tahes lõplikud väärtused. Kõige populaarsemad väärtused on nullväärtused, kuna see on kõige lihtsam osaline lahendus.

Asendamine ( x 2 = 0; x 4 = 0) üldlahendisse, saame ühe konkreetsetest lahendustest:

või on konkreetne lahendus, mis vastab vabadele muutujatele väärtustega ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Teine magus paar on need, asendame ( x 2 = 1 ja x 4 = 1) üldlahendusse:

, st (-1; 1; 1; 1) – teine ​​konkreetne lahendus.

On lihtne näha, et võrrandisüsteemil on lõpmatult palju lahendusi kuna saame anda vabad muutujad ükskõik milline tähendusi.

Iga konkreetne lahendus peab rahuldama igale süsteemi võrrand. See on lahenduse õigsuse “kiire” kontrollimise aluseks. Võtke näiteks konkreetne lahendus (-1; 1; 1; 1) ja asendage see vasak pool iga algse süsteemi võrrand:

Kõik peab kokku tulema. Ja mis tahes konkreetse lahenduse puhul, mille saate, peaks kõik ka nõustuma.

Rangelt võttes on konkreetse lahenduse kontrollimine mõnikord petlik, s.t. mõni konkreetne lahendus võib rahuldada süsteemi iga võrrandit, kuid üldlahend ise leitakse tegelikult valesti. Seetõttu on esiteks üldlahenduse kontrollimine põhjalikum ja usaldusväärsem.

Kuidas kontrollida saadud üldlahendust ?

See pole keeruline, kuid nõuab pikki muudatusi. Peame võtma väljendeid põhilised muutujad, antud juhul ja , ning asendage need süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva.

Süsteemi esimese võrrandi vasakul küljel:

Saadakse süsteemi algse esimese võrrandi parem pool.

Süsteemi teisest võrrandist vasakule:

Saadakse süsteemi algse teise võrrandi parem pool.

Ja edasi - vasakule osadele kolmanda ja neljas võrrand süsteemid. See kontroll võtab kauem aega, kuid tagab üldlahenduse 100% õigsuse. Lisaks nõuavad mõned ülesanded üldise lahenduse kontrollimist.

Näide 4:

Lahendage süsteem Gaussi meetodil. Leidke üldine lahendus ja kaks konkreetset lahendust. Kontrollige üldist lahendust.

See on näide, mille saate ise lahendada. Siin, muide, on võrrandite arv jällegi väiksem kui tundmatute arv, mis tähendab, et kohe on selge, et süsteem on kas ebaühtlane või sellel on lõpmatu arv lahendusi.

Näide 5:

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem. Kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi, leidke kaks konkreetset lahendust ja kontrollige üldist lahendust

Lahendus: Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

(1). Lisage esimene rida teisele reale. Kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna 2-ga. Neljandale reale lisame esimese rea korrutatuna 3-ga.

(2). Kolmandale reale lisame teise rea, mis on korrutatud (–5). Neljandale reale lisame teise rea, mis on korrutatud (–7).

(3). Kolmas ja neljas rida on samad, kustutame ühe neist. See on selline ilu:

Põhimuutujad istuvad astmetel, seega - põhimuutujad.

On ainult üks vaba muutuja, mis ei saanud siin sammu: .

(4). Tagurpidi liikumine. Väljendame põhimuutujaid vaba muutuja kaudu:

Kolmandast võrrandist:

Vaatleme teist võrrandit ja asendame sellega leitud avaldise:

, , ,

Vaatleme esimest võrrandit ja asendame leitud avaldised sellesse:

Seega üldlahendus ühe vaba muutujaga x 4:

Veel kord, kuidas see välja kukkus? Vaba muutuja x 4 istub üksi oma õiguspärasel neljandal kohal. Saadud avaldised põhimuutujatele , on samuti paigas.

Kontrollime kohe üldist lahendust.

Asendame põhimuutujad , , iga süsteemi võrrandi vasakpoolsesse serva:

Saadakse võrrandite vastavad parempoolsed küljed, seega leitakse õige üldlahend.

Nüüd leitud üldlahendusest saame kaks konkreetset lahendust. Kõik muutujad on siin väljendatud singli kaudu vaba muutuja x 4 . Pole vaja oma ajusid raputada.

Lase x 4 = 0 siis – esimene konkreetne lahendus.

Lase x 4 = 1 siis – veel üks privaatne lahendus.

Vastus:Ühine otsus: . Privaatsed lahendused:

Ja .

Näide 6:

Leidke lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus.

Oleme üldlahendust juba kontrollinud, vastust võib usaldada. Teie lahendus võib meie lahendusest erineda. Peaasi, et üldised otsused langeksid kokku. Tõenäoliselt märkasid paljud lahendustes ebameeldivat momenti: väga sageli tuli Gaussi meetodit tagurdades nokitseda. tavalised murrud. Praktikas on see tõepoolest nii, juhtumeid, kus murde pole, on palju vähem levinud. Olge vaimselt ja, mis kõige tähtsam, tehniliselt valmis.

Peatugem lahenduse tunnustel, mida lahendatud näidetes ei leitud. Süsteemi üldlahendus võib mõnikord sisaldada konstanti (või konstante).

Näiteks üldine lahendus: . Siin on üks põhimuutujatest võrdne konstantne arv: . Selles pole midagi eksootilist, seda juhtub. Ilmselgelt sisaldab iga konkreetne lahendus sel juhul viit esimesel kohal.

Harva, kuid on süsteeme, milles võrrandite arv rohkem kogust muutujad. Gaussi meetod töötab aga kõige karmimates tingimustes. Süsteemi laiendatud maatriksi tuleks rahulikult taandada astmelisele kujule, kasutades standardset algoritmi. Selline süsteem võib olla ebajärjekindel, sellel võib olla lõpmatult palju lahendusi ja kummalisel kombel võib sellel olla üks lahendus.

Kordame üle oma nõuannet – et Gaussi meetodil süsteemi lahendamisel end mugavalt tunda, tuleks osata lahendada vähemalt kümmekond süsteemi.

Lahendused ja vastused:

Näide 2:

Lahendus:Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule.

Tehtud elementaarsed teisendused:

(1) Esimene ja kolmas rida on vahetatud.

(2) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna (–6). Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna (–7).

(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna (–1).

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse vormi string, Kus λ ≠ 0 .See tähendab, et süsteem on ebaühtlane.Vastus: lahendusi pole.

Näide 4:

Lahendus:Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid:

(1). Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.

Teise sammu jaoks pole üksust , ja teisendus (2) on suunatud selle saamisele.

(2). Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna -3-ga.

(3). Teine ja kolmas rida vahetati (viisime saadud –1 teise sammu)

(4). Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna 3-ga.

(5). Kahel esimesel real oli märk muudetud (korrutatud -1-ga), kolmas rida jagati 14-ga.

Tagurpidi:

(1). Siin on põhimuutujad (mis asuvad sammudel) ja – vabad muutujad (kes ei saanud sammugi).

(2). Väljendame põhimuutujaid vabade muutujatena:

Kolmandast võrrandist: .

(3). Mõelge teisele võrrandile:, privaatsed lahendused:

Vastus: Ühine otsus:

Keerulised numbrid

Selles jaotises tutvustame kontseptsiooni kompleksarv, kaaluge algebraline, trigonomeetriline Ja eksponentsiaalne vorm kompleksarv. Samuti õpime tegema tehteid kompleksarvudega: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, astendamine ja juure eraldamine.

Meistrile kompleksarvud pole vaja ühtegi eriteadmised kursuselt kõrgem matemaatika, ja materjal on kättesaadav isegi koolilastele. Piisab, kui on võimalik esineda algebralised tehted"tavaliste" numbritega ja pidage meeles trigonomeetriat.

Kõigepealt meenutagem "tavalisi" numbreid. Matemaatikas nimetatakse neid palju reaalarvud ja on tähistatud tähega R, või R (paksendatud). Kõik reaalarvud asuvad tuttaval numbrireal:

Reaalarvude rühm on väga kirju - siin on täisarvud, murrud ja irratsionaalsed arvud. Sel juhul vastab iga punkt arvuteljel tingimata mõnele reaalarvule.

Nagu selgub Crameri teoreem Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel võib esineda kolm juhtumit:

Esimene juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus

(süsteem on järjekindel ja kindel)

Teine juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on lõpmatu arv lahendeid

(süsteem on järjekindel ja ebakindel)

** ,

need. tundmatute ja vabaliikmete koefitsiendid on võrdelised.

Kolmas juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil pole lahendeid

(süsteem on ebaühtlane)

Seega süsteem m lineaarvõrrandid n nimetatakse muutujateks mitteliigeste, kui tal pole ühest lahendust ja liigend, kui sellel on vähemalt üks lahendus. Nimetatakse samaaegset võrrandisüsteemi, millel on ainult üks lahend teatud ja rohkem kui üks – ebakindel.

Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest Crameri meetodil

Süsteem olgu antud

.

Crameri teoreemi alusel

………….
,

Kus
-

süsteemi määraja. Ülejäänud determinandid saame, asendades veeru vastava muutuja (tundmatu) koefitsientidega vabade terminitega:

Näide 2.

.

Seetõttu on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame determinandid

Crameri valemeid kasutades leiame:

Seega on (1; 0; -1) süsteemi ainus lahendus.

Võrrandisüsteemide 3 X 3 ja 4 X 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, otsustav meetod Kramer.

Kui lineaarvõrrandisüsteemis ei ole ühes või mitmes võrrandis muutujaid, siis determinandis on vastavad elemendid võrdsed nulliga! See on järgmine näide.

Näide 3. Lahendage Crameri meetodil lineaarvõrrandisüsteem:

.

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Vaadake hoolikalt võrrandisüsteemi ja süsteemi determinanti ning korrake vastust küsimusele, millistel juhtudel on determinandi üks või mitu elementi võrdsed nulliga. Seega determinant ei ole võrdne nulliga, seega on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame tundmatute determinandid

Crameri valemeid kasutades leiame:

Seega on süsteemi lahendus (2; -1; 1).

6. Üldine süsteem lineaarne algebralised võrrandid. Gaussi meetod.

Nagu mäletame, ei sobi Crameri reegel ja maatriksmeetod juhtudel, kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi või see on ebaühtlane. Gaussi meetod – võimsaim ja mitmekülgsem tööriist mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks, mis igal juhul viib meid vastuseni! Meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul samamoodi. Kui Crameri ja maatriksmeetodid nõuavad determinantide tundmist, siis Gaussi meetodi rakendamiseks on vaja ainult teadmisi aritmeetilised tehted, mis teeb selle kättesaadavaks isegi koolilastele algklassid.

Esiteks süstematiseerime veidi teadmisi lineaarvõrrandisüsteemide kohta. Lineaarvõrrandisüsteem võib:

1) omage ainulaadset lahendust.
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Sul pole lahendusi (ole mitteliigeste).

Gaussi meetod on kõige võimsam ja universaalsem vahend lahenduse leidmiseks ükskõik milline lineaarvõrrandisüsteemid. Nagu me mäletame, Crameri reegel ja maatriksmeetod ei sobi juhtudel, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane. Ja tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod Igatahes viib meid vastuseni! Selles õppetükis käsitleme taas Gaussi meetodit juhtumi nr 1 jaoks (süsteemi ainus lahendus), artikkel on pühendatud punktide nr 2-3 olukordadele. Märgin, et meetodi enda algoritm töötab kõigil kolmel juhul samamoodi.

Lähme tagasi kõige lihtsam süsteem klassist Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?
ja lahendage see Gaussi meetodil.

Esimene samm on üles kirjutada laiendatud süsteemimaatriks:
. Ma arvan, et igaüks näeb, mis põhimõttel koefitsiendid kirjutatakse. Maatriksi sees olev vertikaalne riba ei kanna ühtegi matemaatiline tähendus– see on lihtsalt läbikriipsutamine disaini hõlbustamiseks.

Viide:Soovitan meeles pidada tingimustele Lineaaralgebra. Süsteemi maatriks on maatriks, mis koosneb ainult tundmatute kordajatest, selles näites on süsteemi maatriks: . Laiendatud süsteemimaatriks– see on sama süsteemi maatriks pluss vabade terminite veerg, antud juhul: . Lühiduse huvides võib mis tahes maatriksit nimetada lihtsalt maatriksiks.

Pärast laiendatud süsteemimaatriksi kirjutamist on vaja sellega teha mõned toimingud, mida nimetatakse ka elementaarsed teisendused.

On olemas järgmised elementaarsed teisendused:

1) Stringid maatriksid saab ümber korraldada mõnes kohas. Näiteks vaadeldavas maatriksis saate esimest ja teist rida valutult ümber korraldada:

2) Kui maatriks on (või on ilmunud) proportsionaalne (nagu erijuhtum– identsed) read, siis järgneb kustutada Kõik need read on maatriksist, välja arvatud üks. Mõelge näiteks maatriksile . Selles maatriksis on kolm viimast rida proportsionaalsed, nii et piisab, kui jätta neist ainult üks: .

3) Kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada. Ma muidugi ei tõmba, nulljoon on joon, milles kõik nullid.

4) Maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes numbrile nullist erinev. Vaatleme näiteks maatriksit . Siin on soovitatav esimene rida jagada –3-ga ja teine ​​rida 2-ga korrutada: . See toiming on väga kasulik, kuna see lihtsustab maatriksi edasisi teisendusi.

5) See transformatsioon tekitab kõige rohkem raskusi, kuid tegelikult pole ka midagi keerulist. Maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist. Mõelge meie maatriksile praktiline näide: . Kõigepealt kirjeldan ümberkujundamist üksikasjalikult. Korrutage esimene rida -2-ga: , Ja teisele reale lisame esimese rea korrutatuna -2-ga: . Nüüd saab esimese rea “tagasi” jagada –2-ga: . Nagu näete, rida, mis on LISATUD LI – pole muutunud. Alati muutub rida, MILLELE LISATAKSE TÜ.

Praktikas nad seda muidugi nii üksikasjalikult ei kirjuta, vaid kirjutavad lühidalt:

Veel kord: teisele reale lisati esimese rea korrutis -2-ga. Rida korrutatakse tavaliselt suuliselt või mustandil, kusjuures peast arvutamise protsess kulgeb umbes järgmiselt:

"Kirjutan maatriksi ümber ja kirjutan esimese rea ümber: »

"Esimene veerg. Allosas pean saama nulli. Seetõttu korrutan ülaosaga –2: , ja lisan esimese teise reale: 2 + (–2) = 0. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

"Nüüd teine ​​veerg. Ülaosas korrutan -1 -2-ga: . Esimese lisan teisele reale: 1 + 2 = 3. Kirjutan tulemuse teisele reale: »

"Ja kolmas veerg. Ülaosas korrutan -5 -2-ga: . Teisele reale lisan esimese: –7 + 10 = 3. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

Mõelge sellele näitele hoolikalt läbi ja saage aru järjestikune algoritm arvutused, kui saate sellest aru, on Gaussi meetod praktiliselt "taskus". Kuid loomulikult me ​​töötame selle ümberkujundamise kallal endiselt.

Elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust ei muuda

! TÄHELEPANU: kaalutletud manipulatsioonid ei saa kasutada, kui teile pakutakse ülesannet, kus maatriksid antakse "iseenesest". Näiteks "klassikaline" tehted maatriksitega Mitte mingil juhul ei tohi maatriksite sees midagi ümber korraldada!

Tuleme tagasi oma süsteemi juurde. See on praktiliselt tükkideks võetud.

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja taandame elementaarteisenduste abil selle väärtuseks astmeline vaade:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Ja veel: miks me korrutame esimese rea –2-ga? Selleks, et saada allosas null, mis tähendab teises reas ühest muutujast vabanemist.

(2) Jagage teine ​​rida 3-ga.

Elementaarteisenduste eesmärk – vähendage maatriksi astmelisele kujule: . Ülesande kujundamisel märgivad nad lihtsalt lihtsa pliiatsiga välja “trepid” ja ringlevad ka “astmetel” asuvad numbrid. Mõiste "astmeline vaade" ise ei ole täiesti teoreetiline, teaduslikus ja õppekirjandus seda sageli nimetatakse trapetsikujuline vaade või kolmnurkne vaade.

Elementaarsete teisenduste tulemusena saime samaväärne algne võrrandisüsteem:

Nüüd tuleb süsteem "lahti keerata". vastupidine suund– alt üles, seda protsessi nimetatakse Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Alumises võrrandis on meil juba olemas valmis tulemus: .

Vaatleme süsteemi esimest võrrandit ja asendame sellega juba teadaolev väärtus"Y":

Vaatleme kõige levinumat olukorda, kui Gaussi meetod nõuab lahendamist süsteem kolmest lineaarvõrrandid kolme tundmatuga.

Näide 1

Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodi abil:

Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi:

Nüüd joonistan kohe tulemuse, milleni lahenduse käigus jõuame:

Ja ma kordan, meie eesmärk on viia maatriks astmelisele kujule, kasutades elementaarseid teisendusi. Kust alustada?

Esiteks vaadake ülemist vasakpoolset numbrit:

Peaks peaaegu alati siin olema üksus. Üldiselt sobib –1 (ja vahel ka teised numbrid), aga millegipärast on traditsiooniliselt juhtunud, et sinna pannakse tavaliselt üks. Kuidas üksust organiseerida? Vaatame esimest veergu - meil on valmis üksus! Esimene teisendus: vahetage esimene ja kolmas rida:

Nüüd jääb esimene rida muutumatuks kuni lahenduse lõpuni. Nüüd hästi.

Vasakpoolses ülanurgas asuv üksus on organiseeritud. Nüüd peate nendes kohtades saama nullid:

Nullid saame "keerulise" teisenduse abil. Kõigepealt tegeleme teise reaga (2, –1, 3, 13). Mida tuleb teha, et esikohale null saada? Vaja teisele reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -2-ga. Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -2-ga: (-2, -4, 2, -18). Ja me teostame järjekindlalt (taas vaimselt või mustandi alusel) lisamist, teisele reale lisame esimese rea, mis on juba korrutatud -2-ga:

Kirjutame tulemuse teisele reale:

Kolmanda reaga tegeleme samamoodi (3, 2, –5, –1). Esimeses positsioonis nulli saamiseks peate kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -3-ga: (-3, -6, 3, -27). JA kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna -3-ga:

Kirjutame tulemuse kolmandale reale:

Praktikas tehakse need toimingud tavaliselt suuliselt ja pannakse kirja ühes etapis:

Pole vaja kõike korraga ja samal ajal lugeda. Arvutuste järjekord ja tulemuste “sissekirjutamine”. järjekindel ja tavaliselt on see nii: kõigepealt kirjutame esimese rea ümber ja pahvime aeglaselt enda peale - Järjepidevalt ja TÄHELEPANU:


Ja arvutuste enda vaimset protsessi olen juba eespool käsitlenud.

Selles näites on seda lihtne teha, jagame teise rea –5-ga (kuna kõik seal olevad arvud jaguvad 5-ga ilma jäägita). Samal ajal jagame kolmanda rea ​​–2-ga, sest mis vähem numbrit, seda lihtsam on lahendus:

Peal viimane etapp elementaarsete teisenduste jaoks peate siin saama teise nulli:

Selle jaoks kolmandale reale lisame teise rea korrutatuna -2-ga:


Proovige see toiming ise välja mõelda - korrutage teine ​​rida mõtteliselt –2-ga ja tehke liitmine.

Viimane toiming on tulemuse soeng, jagage kolmas rida 3-ga.

Elementaarteisenduste tulemusena saadi ekvivalentne lineaarvõrrandisüsteem:

Lahe.

Nüüd tuleb mängu Gaussi meetodi vastupidine variant. Võrrandid "kerivad lahti" alt üles.

Kolmandas võrrandis on meil juba valmis tulemus:

Vaatame teist võrrandit: . Sõna "zet" tähendus on juba teada, seega:

Ja lõpuks esimene võrrand: . "Igrek" ja "zet" on teada, see on lihtsalt pisiasjade küsimus:

Vastus:

Nagu juba korduvalt märgitud, on iga võrrandisüsteemi puhul võimalik ja vajalik leitud lahendust kontrollida, õnneks on see lihtne ja kiire.

Näide 2

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, lõpliku kavandi näidis ja vastus õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et teie otsuse edenemist ei pruugi kattuda minu otsustusprotsessiga, ja see on Gaussi meetodi tunnusjoon. Aga vastused peavad olema samad!

Näide 3

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Ma tegin seda:
(1) Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, võivad sooritada lisaliigutuse: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).

(2) Teisele reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 5-ga. Kolmandale reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 3-ga.

(3) Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Muudeti ka kolmanda rea ​​märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.

(4) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 2-ga.

(5) Kolmas rida jagati 3-ga.

Halb märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame midagi sellist nagu , allpool ja vastavalt , siis võime suure tõenäosusega väita, et elementaarteisenduste käigus tehti viga.

Maksame vastupidi, näidete kujundamisel ei kirjuta nad sageli süsteemi ennast ümber, vaid võrrandid on "võetud otse antud maatriksist". Tuletan teile meelde, et vastupidine löök töötab alt üles. Jah, siin on kingitus:

Vastus: .

Näide 4

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

See on näide, mida saate ise lahendada, see on mõnevõrra keerulisem. Pole hullu, kui keegi segadusse läheb. Täislahendus ja näidiskujundus tunni lõpus. Teie lahendus võib minu lahendusest erineda.

Viimases osas vaatleme mõningaid Gaussi algoritmi omadusi.
Esimene omadus on see, et mõnikord puuduvad süsteemivõrranditest mõned muutujad, näiteks:

Kuidas laiendatud süsteemimaatriksit õigesti kirjutada? Ma rääkisin sellest punktist juba tunnis. Crameri reegel. Maatriksmeetod. Süsteemi laiendatud maatriksis paneme puuduvate muutujate asemele nullid:

Muide, see on ilus lihtne näide, kuna esimeses veerus on juba üks null ja elementaarseid teisendusi tuleb teha vähem.

Teine omadus on see. Kõigis vaadeldavates näidetes panime “astmetele” kas –1 või +1. Kas seal võib olla muid numbreid? Mõnel juhul saavad nad. Mõelge süsteemile: .

Siin üleval vasakus "sammul" on meil kaks. Kuid märkame tõsiasja, et kõik esimeses veerus olevad arvud jaguvad 2-ga ilma jäägita - ja teine ​​​​on kaks ja kuus. Ja need kaks üleval vasakul sobivad meile! Esimese sammuna tuleb sooritada järgmised teisendused: lisada teisele reale esimene rida korrutatuna –1-ga; kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Nii saame esimesse veergu vajalikud nullid.

Või mõni muu tavapärane näide: . Siin sobivad meile ka kolm teisel “astmel”, kuna 12 (koht, kus peame saama nulli) jagub 3-ga ilma jäägita. On vaja läbi viia järgmine teisendus: lisage teine ​​rida kolmandale reale, korrutatuna -4-ga, mille tulemusena saadakse vajalik null.

Gaussi meetod on universaalne, kuid sellel on üks eripära. Võite julgelt õppida lahendama süsteeme, kasutades muid meetodeid (Crameri meetod, maatriksmeetod) sõna otseses mõttes esimest korda - neil on väga range algoritm. Kuid selleks, et tunda end Gaussi meetodis enesekindlalt, peate selle hästi tundma ja lahendama vähemalt 5-10 süsteemi. Seetõttu võib alguses esineda segadust ja arvutusvigu ning selles pole midagi ebatavalist ega traagilist.

Vihmane sügisilm akna taga.... Seega kõigile, kes tahavad rohkem keeruline näide sõltumatu lahenduse jaoks:

Näide 5

Lahendage Gaussi meetodil süsteem neljast lineaarvõrrandid nelja tundmatuga.

Selline ülesanne pole praktikas nii haruldane. Arvan, et isegi teekann, kes on seda lehte põhjalikult uurinud, saab sellise süsteemi intuitiivse lahendamise algoritmist aru. Põhimõtteliselt on kõik sama – toiminguid on lihtsalt rohkem.

Õppetunnis käsitletakse juhtumeid, kui süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlad) või on lõpmatult palju lahendusi Ühildumatud süsteemid ja süsteemid koos üldine otsus . Seal saate parandada Gaussi meetodi vaadeldud algoritmi.

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus: Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule.


Tehtud elementaarsed teisendused:
(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. Tähelepanu! Siin võib tekkida kiusatus lahutada esimene kolmandast reast; soovitan tungivalt seda mitte lahutada - vea oht suureneb oluliselt. Lihtsalt voldi see kokku!
(2) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Teine ja kolmas rida on vahetatud. Märge, et “sammudel” oleme rahul mitte ainult ühega, vaid ka –1-ga, mis on veelgi mugavam.
(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 5-ga.
(4) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Kolmas rida jagati 14-ga.

Tagurpidi:

Vastus: .

Näide 4: Lahendus: Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid:
(1) Esimesele reale lisati teine ​​rida. Seega on soovitud üksus korraldatud vasakpoolses ülanurgas.
(2) Teisele reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 7-ga. Kolmandale reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 6-ga.

Teise "sammuga" läheb kõik hullemaks, on selle “kandidaadid” numbrid 17 ja 23 ning vajame kas ühte või –1. Teisendused (3) ja (4) on suunatud soovitud ühiku saamiseks

(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.
(4) Teisele reale liideti kolmas rida, korrutatuna -3-ga.
Teises etapis nõutav kaup on kätte saadud. .
(5) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 6-ga.

Osana õppetundidest Gaussi meetod Ja Ühise lahendusega ühildumatud süsteemid/süsteemid kaalusime heterogeensed süsteemid lineaarvõrrandid, Kus vaba liige(mis on tavaliselt paremal) vähemalt üks võrranditest erines nullist.
Ja nüüd, pärast head soojendust maatriksi auaste, jätkame tehnika lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne süsteem lineaarvõrrandid.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid selline mulje on petlik. Lisaks edasiarendus tehnikaid tuleb palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta selle artikli näiteid.

LINEAARVÕRRANDITE SÜSTEEMID

I. Probleemi avaldus.

II. Homogeensete ja heterogeensete süsteemide ühilduvus.

III. Süsteem T võrrandid T teadmata. Crameri reegel.

IV. Maatriksmeetod võrrandisüsteemide lahendamiseks.

V. Gaussi meetod.

I. Probleemi avaldus.

Vormi võrrandisüsteem

nimetatakse süsteemiks m lineaarvõrrandid n teadmata
. Selle süsteemi võrrandite koefitsiendid on kirjutatud maatriksi kujul

mida nimetatakse süsteemi maatriks (1).

Võrrandite paremal küljel olevad numbrid moodustavad tasuta liikmete veerg {B}:

.

Kui veerg ( B}={0 ), siis nimetatakse võrrandisüsteemi homogeenne. IN muidu, Millal ( B}≠{0 ) – süsteem heterogeenne.

Lineaarvõrrandisüsteemi (1) saab kirjutada maatrikskujul

[A]{x}={B}. (2)

Siin - tundmatute veerg.

Võrrandisüsteemi (1) lahendamine tähendab hulga leidmist n numbrid
nii, et asendades süsteemi (1) tundmatute asemel
Iga süsteemi võrrand muutub identiteediks. Numbrid
nimetatakse võrrandisüsteemi lahendusteks.

Lineaarvõrrandisüsteemil võib olla üks lahendus

,

võib olla lugematuid lahendusi

või pole üldse lahendusi

.

Nimetatakse võrrandisüsteeme, millel pole lahendeid Sobimatu. Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend. Võrrandisüsteemi nimetatakse teatud, kui sellel on unikaalne lahendus ja ebakindel, kui sellel on lõpmatult palju lahendusi.

II. Homogeensete ja heterogeensete süsteemide ühilduvus.

Lineaarvõrrandisüsteemi (1) ühilduvustingimus on sõnastatud aastal Kroneckeri-Capelli teoreem: lineaarvõrrandisüsteemil on vähemalt üks lahendus siis ja ainult siis, kui süsteemimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi astmega:
.

Laiendatud süsteemimaatriks on maatriks, mis saadakse süsteemimaatriksist, lisades sellele paremale vabade terminite veeru:

.

Kui Rg AA* , siis on võrrandisüsteem ebajärjekindel.

Kroneckeri-Capelli teoreemi kohaselt on homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid alati järjepidevad. Vaatleme homogeense süsteemi juhtumit, kus võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga, st t=p. Kui sellise süsteemi maatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, s.o.
, on homogeensel süsteemil unikaalne lahendus, mis on triviaalne (null). Homogeensetel süsteemidel on lõpmatu arv lahendeid, kui süsteemi võrrandite hulgas on lineaarselt sõltuvaid, s.t.
.

Näide. Vaatleme kolme tundmatuga kolme lineaarse võrrandi homogeenset süsteemi:

ja uurida selle lahenduste arvu küsimust. Kõiki võrrandeid võib pidada koordinaatide alguspunkti läbiva tasandi võrrandiks ( D=0 ). Võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus, kui kõik kolm tasandit ristuvad ühes punktis. Veelgi enam, nende normaalvektorid on mittetasapinnalised ja seetõttu on tingimus täidetud

.

Süsteemi lahendus antud juhul x=0, y=0, z=0 .

Kui kolmest tasapinnast vähemalt kaks, näiteks esimene ja teine, on paralleelsed, s.t. , siis on süsteemi maatriksi determinant võrdne nulliga ja süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Pealegi on lahendusteks koordinaadid x, y, z kõik punktid, mis asuvad joonel

Kui kõik kolm tasandit langevad kokku, taandatakse võrrandisüsteem üheks võrrandiks

,

ja lahenduseks on kõigi sellel tasapinnal asuvate punktide koordinaadid.

Inhomogeensete lineaarvõrrandisüsteemide uurimisel lahendatakse ühilduvuse küsimus Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui sellises süsteemis on võrrandite arv võrdne tundmatute arvuga, siis on süsteemil unikaalne lahend, kui selle determinant ei ole võrdne nulliga. Vastasel juhul on süsteem kas ebaühtlane või sellel on lõpmatu arv lahendusi.

Näide. Uurime kahe tundmatuga kahe võrrandi ebahomogeenset süsteemi

.

Süsteemi võrrandeid võib pidada kahe tasapinna võrrandiks. Süsteem on ebaühtlane, kui sirged on paralleelsed, s.t.
,
. Sel juhul on süsteemimaatriksi järjestus 1:

Rg A=1 , sest
,

ja laiendatud maatriksi auaste
on võrdne kahega, kuna selle jaoks saab põhimolliks valida kolmandat veergu sisaldava teist järku minoori.

Vaadeldaval juhul on Rg AA * .

Kui jooned langevad kokku, s.t. , siis on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendusi: sirge punktide koordinaadid
. Sel juhul on Rg A= Rg A * =1.

Süsteemil on unikaalne lahendus, kui jooned ei ole paralleelsed, s.t.
. Selle süsteemi lahenduseks on sirgete lõikepunkti koordinaadid

III. SüsteemT võrrandidT teadmata. Crameri reegel.

Vaatleme lihtsaimat juhust, kui süsteemi võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga, s.t. m= n. Kui süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, saab süsteemi lahenduse leida Crameri reegli abil:

(3)

Siin
- süsteemimaatriksi determinant,

on maatriksi determinant, mis on saadud [ A] asendamine i veerust vabade liikmete veergu:

.

Näide. Lahenda võrrandisüsteem Crameri meetodil.

Lahendus :

1) leida süsteemi determinant

2) leida abideterminandid

3) leidke Crameri reegli abil süsteemile lahendus:

Lahenduse tulemust saab kontrollida võrrandisüsteemi asendades

Õiged identiteedid saadakse.

IV. Maatriksmeetod võrrandisüsteemide lahendamiseks.

Kirjutame lineaarvõrrandisüsteemi maatrikskujul (2)

[A]{x}={B}

ja korruta vasakpoolse seose (2) parem ja vasak pool maatriksiga [ A -1 ], süsteemimaatriksi pöördväärtus:

[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)

Pöördmaatriksi definitsiooni järgi korrutis [ A -1 ][A]=[E] ja vastavalt identiteedimaatriksi omadustele [ E]{x}={x). Seejärel saame seosest (2").

{x}=[A -1 ]{B}. (4)

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise maatriksmeetodi aluseks on seos (4): on vaja leida süsteemi maatriksiga pöördvõrdeline maatriks ja korrutada süsteemi parempoolsete osade veeruvektor sellega vasakul.

Näide. Lahendame eelmises näites vaadeldud võrrandisüsteemi maatriksmeetodil.

Süsteemi maatriks
selle määrav det A==183 .

Parempoolne veerg
.

Maatriksi leidmiseks [ A -1 ], leidke maatriks, mis on lisatud [ A]:

või

Pöördmaatriksi arvutamise valem sisaldab
, Siis

Nüüd leiame süsteemile lahenduse

Siis lõpuks saame .

V. Gaussi meetod.

Suure hulga tundmatute korral hõlmab võrrandisüsteemi lahendamine Crameri meetodi või maatriksmeetodi abil kõrget järku determinantide arvutamist või suurte maatriksite inverteerimist. Need protseduurid on isegi kaasaegsete arvutite jaoks väga töömahukad. Seetõttu kasutatakse suure hulga võrranditega süsteemide lahendamiseks sageli Gaussi meetodit.

Gaussi meetod seisneb tundmatute järjestikuses elimineerimises süsteemi laiendatud maatriksi elementaarsete teisenduste kaudu. Elementaarsete maatriksiteisenduste hulka kuuluvad ridade permutatsioon, ridade liitmine, ridade korrutamine muude numbritega kui null. Teisenduste tulemusena on võimalik süsteemi maatriks taandada ülemiseks kolmnurkseks, mille põhidiagonaalil on ühed, põhidiagonaali all aga nullid. See on Gaussi meetodi otsene lähenemine. Meetodi pöördkülg seisneb tundmatute otseses määramises, alustades viimasest.

Illustreerime Gaussi meetodit võrrandisüsteemi lahendamise näitel

Edasilöögi esimesel sammul on tagatud, et koefitsient
ümberkujundatud süsteem muutus võrdseks 1 ja koefitsiendid
Ja
keeras nulli. Selleks korrutage esimene võrrand arvuga 1/10 , korrutage teine ​​võrrand arvuga 10 ja lisage see esimesele, korrutage kolmas võrrand arvuga -10/2 ja lisage see esimesele. Pärast neid teisendusi saame

Teises etapis tagame, et pärast teisendusi koefitsient
sai võrdseks 1 , ja koefitsient
. Selleks jagage teine ​​võrrand arvuga 42 ja korrutage kolmas võrrand arvuga -42/27 ja lisage see teisega. Saame võrrandisüsteemi

Kolmandas etapis peaksime saama koefitsiendi
. Selleks jagage kolmas võrrand arvuga (37 - 84/27) ; saame

Siin lõpeb Gaussi meetodi otsene progresseerumine, sest süsteemi maatriks taandatakse ülemiseks kolmnurkseks:

Tehes vastupidise liigutuse, leiame tundmatuid

Kui probleemil on vähem kui kolm muutujat, pole see probleem; kui see on üle kaheksa, on see lahendamatu. Enon.

Parameetritega seotud probleeme leidub kõigis ühtse riigieksami versioonides, kuna nende lahendamine näitab kõige selgemalt, kui sügavad ja mitteametlikud on lõpetaja teadmised. Raskusi, millega õpilased selliste ülesannete täitmisel kokku puutuvad, ei põhjusta mitte ainult nende suhteline keerukus, vaid ka asjaolu, et õpikutes ei pöörata neile piisavalt tähelepanu. Matemaatika KIM-ide versioonides on kahte tüüpi parameetritega ülesandeid. Esimene: "lahendage parameetri iga väärtuse jaoks võrrand, ebavõrdsus või süsteem." Teine: "leidke parameetri kõik väärtused, millest igaühe jaoks ebavõrdsuse, võrrandi või süsteemi lahendused vastavad antud tingimustele." Sellest tulenevalt erinevad nende kahe tüüpi probleemide vastused sisuliselt. Esimesel juhul loetletakse vastuses kõik parameetri võimalikud väärtused ja iga väärtuse jaoks kirjutatakse võrrandi lahendid. Teises on loetletud kõik parameetrite väärtused, mille puhul probleemi tingimused on täidetud. Vastuse üleskirjutamine on lahenduse oluline etapp, väga oluline on mitte unustada vastuses kajastada kõiki lahenduse etappe. Õpilased peavad sellele tähelepanu pöörama.
Tunni lisas on lisamaterjali teemal “Parameetritega lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine”, mis aitab õpilasi ette valmistada lõputunnistuseks.

Tunni eesmärgid:

• õpilaste teadmiste süstematiseerimine;
• graafiliste esituste kasutamise oskuse arendamine võrrandisüsteemide lahendamisel;
• parameetreid sisaldavate lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise oskuse arendamine;
• õpilaste tegevuskontrolli ja enesekontrolli rakendamine;
• kooliõpilaste uurimis- ja kognitiivse tegevuse arendamine, oskus saadud tulemusi hinnata.

Tund kestab kaks tundi.

Tundide ajal

1. Aja organiseerimine

Teatage tunni teemat, eesmärke ja eesmärke.

1. Õpilaste algteadmiste värskendamine

Kodutööde kontrollimine. Kodutööna paluti õpilastel lahendada kõik kolm lineaarvõrrandisüsteemi

a) b) V)

graafiliselt ja analüütiliselt; teha järeldus iga juhtumi puhul saadud lahenduste arvu kohta

Kuulatakse ja analüüsitakse õpilaste tehtud järeldusi. Õpetaja juhendamisel tehtud töö tulemused võetakse kokku vihikutesse.

Üldiselt võib kahe tundmatuga lineaarse võrrandi süsteemi esitada järgmiselt: .

Antud võrrandisüsteemi graafiline lahendamine tähendab nende võrrandite graafikute lõikepunktide koordinaatide leidmist või nende puudumise tõestamist. Selle süsteemi iga võrrandi graafik tasapinnal on teatud sirge.

Kahe sirgjoone vastastikusel paigutusel tasapinnal on kolm võimalikku juhtumit:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Iga juhtumi jaoks on kasulik teha joonis.

1. Uue materjali õppimine

Tänases tunnis õpime lahendama parameetreid sisaldavaid lineaarvõrrandisüsteeme. Nimetame parameetrit sõltumatuks muutujaks, mille väärtuseks ülesandes loetakse etteantud fikseeritud või suvaline reaalarv või etteantud hulka kuuluva arv. Võrrandisüsteemi lahendamine parameetriga tähendab vastavuse loomist, mis võimaldab parameetri mis tahes väärtusel leida süsteemile vastav lahenduste komplekt.

Parameetriga seotud probleemi lahendus sõltub selles esitatud küsimusest. Kui peate lihtsalt lahendama võrrandisüsteemi parameetri erinevate väärtuste jaoks või seda uurima, peate andma põhjendatud vastuse parameetri mis tahes väärtusele või parameetri väärtusele, mis kuulub varem määratud komplekti. probleem. Kui on vaja leida parameetrite väärtused, mis vastavad teatud tingimustele, siis täielikku uuringut pole vaja ja süsteemi lahendus piirdub nende konkreetsete parameetriväärtuste leidmisega.

Näide 1. Iga parameetri väärtuse jaoks lahendame võrrandisüsteemi

Lahendus.

1. Süsteemil on ainulaadne lahendus, kui

Sel juhul on meil

1. Kui a = 0, siis süsteem võtab kuju

Süsteem on ebaühtlane, s.t. pole lahendusi.

1. Kui siis süsteem on vormis kirjutatud

Ilmselgelt on sel juhul süsteemil lõpmata palju lahendeid kujul x = t; kus t on mis tahes reaalarv.

Vastus:

Näide 2.

• omab ainulaadset lahendust;
• on palju lahendusi;
• pole lahendusi?

Lahendus.

Vastus:

Näide 3. Leiame parameetrite a ja b summa, mille jaoks süsteem

on lugematu arv lahendusi.

Lahendus. Süsteemil on lõpmata palju lahendusi, kui

See tähendab, et kui a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Vastus: 48.

1. Õpitu kinnistamine probleemide lahendamisel

1. nr 15.24(a). Iga parameetri väärtuse jaoks lahendage võrrandisüsteem

1. Nr 15.25(a) Lahendage iga parameetri väärtuse jaoks võrrandisüsteem

1. Millistel parameetri a väärtustel võrrandisüsteem toimib

a) tal pole lahendusi; b) on lõpmatult palju lahendusi.

Vastus: a = 2 puhul pole lahendeid, a = -2 korral on lõpmatu arv lahendeid

1. Praktiline töö rühmades

Klass on jagatud 4-5-liikmelisteks rühmadeks. Igas rühmas on erineva matemaatilise ettevalmistusega õpilased. Iga rühm saab ülesandekaardi. Saate kutsuda kõik rühmad lahendama ühte võrrandisüsteemi ja vormistada lahenduse. Esimesena ülesande õigesti täitnud rühm esitab oma lahenduse; ülejäänud annavad lahenduse õpetajale üle.

Kaart. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem

parameetri a kõigi väärtuste jaoks.

Vastus: millal süsteemil on ainulaadne lahendus ; kui lahendusi pole; a = -1 korral on lõpmata palju lahendeid kujul (t; 1- t), kus t R

Kui klass on tugev, võib rühmadele pakkuda erinevaid võrrandisüsteeme, mille loetelu on lisas1. Seejärel esitleb iga rühm klassile oma lahendust.

Aruanne rühmast, kes esimesena ülesande õigesti täitis

Osalejad räägivad ja selgitavad oma lahendust ning vastavad teiste rühmade esindajate tõstatatud küsimustele.

1. Iseseisev töö

valik 1

2. variant

1. Tunni kokkuvõte

Parameetritega lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist võib võrrelda uuringuga, mis hõlmab kolme põhitingimust. Õpetaja kutsub õpilasi neid sõnastama.

Otsuse tegemisel pidage meeles:

1. Selleks, et süsteemil oleks unikaalne lahendus, on vaja, et süsteemi võrrandile vastavad sirged lõikuvad, s.t. tingimus peab olema täidetud;
2. selleks, et lahendusi ei oleks, peavad sirged olema paralleelsed, s.t. tingimus oli täidetud
3. ja lõpuks, et süsteemil oleks lõpmatult palju lahendeid, peavad jooned kokku langema, s.t. tingimus oli täidetud.

Õpetaja hindab klassi tööd tervikuna ja paneb üksikutele õpilastele tunni hinded. Pärast iseseisva töö kontrollimist saab iga õpilane tunni hinde.

1. Kodutöö

Millistel parameetri b väärtustel võrrandisüsteem toimib

• on lõpmatult palju lahendusi;
• pole lahendusi?

Funktsioonide y = 4x + b ja y = kx + 6 graafikud on ordinaadi suhtes sümmeetrilised.

• Leia b ja k,
• leida nende graafikute lõikepunkti koordinaadid.

Lahendage võrrandisüsteem kõigi m ja n väärtuste jaoks.

Lahendage lineaarsete võrrandite süsteem parameetri a kõigi väärtuste jaoks (mis tahes teie valitud väärtus).

Kirjandus

1. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus: õpik. 11. klassi jaoks Üldharidus institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: Haridus, 2008.
2. Matemaatika: 9. klass: Riikliku lõputunnistuse ettevalmistamine / M. N. Kortšagina, V. V. Kortšagin - M.: Eksmo, 2008.
3. Valmistume ülikooliks. Matemaatika. Osa 2. Õpik ühtseks riigieksamiks valmistumiseks, tsentraliseeritud testimisel osalemiseks ja sisseastumiskatsete sooritamiseks Kubani Riiklikku Tehnikaülikooli / Kuban. olek tehn. Ülikool; Kaasaegne instituut tehn. ja ökon.; Koostanud: S. N. Gorškova, L. M. Danovitš, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palštšikova. - Krasnodar, 2006.
4. TUSURi ettevalmistuskursuste matemaatikaülesannete kogu: Õpik / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. osariik Juhtimissüsteemide ja raadioelektroonika ülikool, 1998.
5. Matemaatika: intensiivne eksamiks ettevalmistamise kursus / O. Yu. Cherkasov, A. G. Yakushev. – M.: Rolf, Iris-press, 1998.