Kui te ei usu, et see tõsi on, vaadake Vikipeediat. No kes ei teaks seda?! Siit saate teada: "Võnkesüsteem on füüsiline süsteem, milles võivad esineda vabad võnked." Hmm, midagi on valesti. Käed, jalad, mida saame enam-vähem vabalt kiikuda...? Ei, see pole see. Vaatame: konservatiivne, dissipatiivne...

Kummaline! Lõppude lõpuks on mitmesuguste entsüklopeediate eesmärk anda mingisugune esmane ettekujutus kõigest maailmas. Aga kui entsüklopeediast saadud esialgne idee oma teadusliku olemusega ei tõrju, siis ehk pöördud põhjalikuma ettekande poole.

Kahjuks märkasin, et enamasti seletatakse midagi mitte selleks, et keegi millestki aru saaks, vaid selleks, et neid enda erudeeritusega üllatada. Nii et inimesed ütlevad: "Oh, kui tark ta on! Ta teab nii palju! On väga oluline, et saaksite teemast nii tähtsalt ja muljetavaldavalt rääkida, kui teil pole selle kohta absoluutselt midagi öelda ja te ei saa seda tunnistada. Väga muljetavaldav on antiikfilosoofide arsenalist pärit terminoloogiakasutus, matemaatiliste väidete mainimine... Eriti kui ollakse veendunud, et kuulajad peale korrutustabeli midagi muud ei tea.

Niisiis andis üks minu õpetajatest kolleegidest õpilastele nii võimsa matemaatilise toega materjali, et nad ei saanud millestki aru. Aga eksamite ajal petta neil ei keelatud ning probleeme ega kaebusi neil polnud. Küll aga märkasid nad, et see õpetaja ei suuda ilma oma märkmeteta kahte sõna (matemaatilist teksti) ühendada ja... varastasid temalt noodid... See oli õlimaal.

Noh, proovime kirjeldada võnkesüsteeme, et kõik oleks tõesti kõigile selge.

Üks võnkesüsteemi esindajatest on kiik. Kui te neid lükkate, hakkavad nad siis ise oma sagedusega õõtsuma. Huvitav, kuidas määrata nende liikumise perioodi? Kaua nad kõiguvad? Kuid tuleb välja, et neile küsimustele pole enam nii lihtne vastata. Sest kiik on üsna keeruline, mitmest elemendist koosnev seade. Noh, lihtsustatult öeldes võib kaaluda pendli, mis on ühtne võnkesüsteem, tööpõhimõtet ja siis saab hoos enam-vähem selgeks.

Teadmiste põhiprintsiip on liikuda lihtsast keeruliseks. Ja nii alustame kõige lihtsamast - elektrilise võnkesüsteemiga, koos L-C võnkeahel.

Elekter hakkas meie ellu sisenema üsna hiljuti - umbes 200 aastat tagasi. Nagu kõigega maailmas juhtub, kulges selle aine (elektrivedeliku, nagu nad siis ütlesid) uurimine väga väikeste sammudena. Nüüd tekkis galvaaniline element ja elektri tootmiseks polnud enam vaja merevaigupulka karusnahatükiga hõõruda. Nii et Leydeni purk leiutati... Ma räägin seda teile nii primitiivselt meelega, sest nüüdseks on Internetti pääsemine muutunud igapäevaseks ja ilma minuta saate kõik üksikasjalikumalt teada. Minu ülesanne on rääkida teile võnkesüsteemist, mille kohta te Internetist nii lihtsal tasemel midagi ei leia.

Seega osutus väga lihtsaks Leydeni purgi (tänapäeva keeles - kondensaatori) laadimine või, nagu toona öeldi, elektrivedelikuga täita. Aga mis see elektrivedelik on? Väga paljud inimesed lõbutsesid, avaldades seda oma sõprade ja tuttavate kaudu või tahtsid lihtsalt seda erakordset sensatsiooni ise proovida. Kuid 1847. aastal ilmus Ameerika füüsikaajakirjas juba kuulsa teadlase Joseph Henry artikkel, kes otsustas mõõta laetud kondensaatori tühjendusvoolu, kui see oli lühises. Selleks kasutas ta ampermeetri prototüübina tavalist magnetkompassi nõela.

Ta mässis selle noole ümber suure hulga juhtmete keerdu ja lühistas laetud kondensaatori läbi selle juhtme. Selle seadme tundlikkuse suurendamiseks oli vaja palju traadi pöördeid. Nool tegelikult tõmbles tühjenemise ajal, aga.... Mitte üks kord, nagu Henry lootis, vaid korduvalt ja eri suundades. Ta näis värisevat.

See tähendab, et selgus, et kondensaatori tühjenemisel muutus voolu suund mitu korda. Keegi ei pööranud tähelepanu asjaolule, et katses osales tegelikult induktiivne mähis, ja 30 aastat hiljem kirjutati kõigis elektriõpikutes, et "kui laetud Leydeni purk lühistatakse, ei voola elektrivedelik mitte ainult sellest välja. purki, aga kallab ka tagasi.” Seda seletati häiretega. See, nagu ma märkasin, on täiesti asendamatu sõna. Kui mõju on arusaamatu ja seda on täiesti võimatu ilma selgituseta teha, kasutavad nad seda väga teaduslikku sõna.

Kui ma sellest oma õpilastele rääkisin, siis juhtisin nende tähelepanu sellele, et nad ei peaks kartma katseid teha, sest eksperimendi tulemusena võib avastada põhimõtteliselt uue füüsikalise efekti. See tähendab, et teha avastus. No see on lihtsalt minu kogemusest...

Niisiis, see oli võnkeahela avastamise esimene etapp. Ja teise etapi tegi Lord Kelvin (William Thomson). Kui Joseph Henryt huvitas kondensaatori tühjenemisvoolu suurus, siis Thomsonit huvitas tühjendusprotsessi vorm. Kaks korda mõtlemata leiutas ta selleks otstarbeks ostsilloskoobi, et rahuldada oma uudishimu. Ja selle ostsilloskoobi abil nägi ta, et seadus, mille järgi kondensaator tühjeneb (ta ei kahtlustanud ka veel induktiivsuse olemasolu ja rolli), kui see on lühises, on summutatud sinusoidi iseloomuga.

Ja kohe, just sel hetkel, teatas ta väga emotsionaalselt, et toimub uus, seni tundmatu võnkesüsteem. See on minu loo keskne punkt.

Olles näinud, et reaktsioon impulsi (šoki) mõjule teatud objektile on summutatud sinusoidi kujul, teatas lord Kelvin, et see objekt on võnkesüsteem. Nii et siin on küsimus. Kuidas ta seda teadis? Kuidas ta teadis, et summutatud sinusoidi olemasolu tähendab võnkesüsteemi olemasolu? Nüüd teavad sellest ainult need, kellel on raadioinseneri haridus. Ja isegi siis, kui neile räägitaks võnkeahela avastamise lugu...

Mis puutub induktiivsuse rolli, siis see avastati alles 20 aastat hiljem.

Lord Kelvin kirjutas vooluringi võrrandi, millest järeldub, et selle võnkesüsteemi loomulik sagedus f 0 on määratletud järgmiselt:

L- induktiivsuse suurus ja C- kondensaatori mahtuvuse väärtus.

Ahela kõige olulisem omadus on kvaliteeditegur K. See määratakse soojuskadude järgi. Need kaod tulenevad asjaolust, et induktiivpoolil on lisaks induktiivsusele ka aktiivne takistus R, ja lisaks sellele, et vooluahel kiirgab kosmosesse elektromagnetvälja.

Kahjude puudumisel K =∞ ja sinusoid ei sure välja. Minimaalne väärtus K =1. Selle kvaliteediteguri väärtuse juures loomulikke võnkumisi ei esine.

Kuna iga ajas muutuvat protsessi võib pidada ajaliseks O m aspekti ja spektritasandil, siis on signaalid näidatud mõlemal pildil.

Riis. 1

Joonisel 1(a) – ajas O m aspekt. See tähendab, kuidas me näeksime seda signaali ostsilloskoobis. Joonisel 1(b) on näidatud sama signaal, kuid spektraalpildis. Kõik, kes tunnevad matemaatika haru, mida nimetatakse spektrotemporaalseks s mi teisendusi, ütleksin, et mõlemad pildid on sünonüümid. Praktikas täiendavad need kaks pilti üksteist.

Kui ei ole ühte võnkesüsteemi, vaid mitu võnkesüsteemi alluvad üheaegselt löögile, siis ajutiselt O Pildil ühineksid kõik summutatud harmoonilised komponendid kokku ja neid ei saa eraldi vaadelda. Ja spektraalses aspektis leviksid kõik harmoonilised summutatud signaalid mööda sagedustelge ja oleks võimalik hõlpsasti määrata igaühe sagedusi ja kvaliteeditegureid.

Nüüd vaatame, mida meile annavad teadmised kvaliteeditegurist.

Fakt on see, et kui meil on võnkesüsteem, siis paratamatult tekib resonantsnähtuse võimalus. Resonants tekib siis, kui võnkesüsteemi loomulik sagedus langeb kokku signaali sagedusega, mille me võnkesüsteemile rakendame. Sel juhul saadud signaal ei nõrgene, vaid suureneb ja selle väärtus kaldub väärtusele K korda suurem kui võnkesüsteemi edastatava signaali amplituud.

Ahela kvaliteediteguri tegelik keskmine väärtus võib olla 100÷200. Oletame, et vooluringi toidetav pinge on 10 V. See on väike pinge ja selle rakendamine vooluringile ei ohusta midagi. Aga juhtus nii, et mingil hetkel O te langete kokku ja sellest tulenev pinge hakkab sujuvalt kasvama, ulatudes väärtuseni 1000 V ÷ 2000 V. Sellel pingel võib tekkida kondensaatori rike ja induktiivpooli tulekahju. Millal praktiline areng toimus? L-C kontuurid (19. sajandi lõpp - 20. sajandi algus) oli selliseid nähtusi palju.

Telg h joonisel 1 on meile veidi hiljem kasu.

Iga avastus on füüsika ja inimkonna jaoks üldiselt väga oluline. Avamine L-C kontuur on üldiselt erijuhtum. Lase oma kujutlusvõimel lennata ja kujuta ette, mis tunne oleks, kui see poleks avatud...

Kuid minu jaoks on see veelgi olulisem, sest tänu teadmistele elektriahela avastamise ajaloost avastasin teist tüüpi võnkesüsteemi...

Juhtus nii, et 1977. aastal viidi mind tööle mäeteaduskonda Leningradi Mäeinstituudi (LGI) reservuaarimaardlate arendamise osakonda (RPM). Mul oli raadioinseneri kvalifikatsioon ja mind võeti seal kohe sellel ametikohal tööle.

Sain ülesandeks valmistada mõõteseadmed, et uurida kivisöekihi katuses lebavate kivimite helijuhtivusomadusi. Nende uuringute idee oli järgmine. Kivid, mis asuvad söekihi tipus, on tegelikult kaevurite peade kohal. Ja kuna varem või hiljem need kivid kokku varisevad, on väga sageli juhtumeid, kus inimesed saavad vigastada ja hukkuvad. Minu ülesandeks oli mõõta katusekivide helijuhtivust, et püüda leida märke nende eelseisvast varingust.

Loogika oli siin järgmine. Eeldati, et katusekivid peavad enne kokkuvarisemist pragunema. Edasi eeldati, et katusekivimite murdumise suurenedes peaks suurenema katusekivimites levivate elastsete vibratsioonide välja nõrgenemine. Ja eriti selle välja kasvava sagedusega. See tähendab, et kui määrata katusekivide helijuhtivus erinevatel sagedustel, siis eelduste paikapidavuse korral võime loota, et suudame tuvastada mingisuguse ohu/ohutuskriteeriumi.

Joonisel 2 on näidatud mõõtmisskeem.

Riis. 2

Helisagedusgeneraatorist toideti piesokeraamilisse emitterisse sujuvalt muutuva sagedusega pinge. Katusekivimites tekkivate elastsete vibratsioonide väli levis kihilises massiivis. Mingil kaugusel emitterist oli katusele surutud täpselt sama piesoelektriline andur, kuid see töötas ainult vastuvõturežiimis ja valimisnäidikuga võimendi salvestas pinge amplituudi U , mis tekib vastuvõtupunkti jõudva elastse vibratsiooni välja tulemusena.

Võttes arvesse välja eeldatavat sagedussõltuvust, on selle sõltuvuse graafik vastuvõtupunktis geomeetriliselt sarnane graafikuga 1 Joonis 3. Kui korrata mõõtmisi mõnes teises allmaakaevanduses, vastab sõltuvus graafikule 2 , kui teisel töötamisel on kivimid rohkem murdunud.

Riis. 3

See oli selle eksperimendi vaimne mudel ja seadmed kavandati sellise teabe saamiseks.

Minu üllatus oli suur, kui mõõtmistulemuste töötlemise tulemusena selgus, et välja taseme ja sageduse graafik on graafikule sarnase kujuga 3 .

Selle graafiku kuju osutus võtmepunktiks. Fakt on see, et see kujund on geomeetriliselt sarnane joonisel 1 kujutatud graafiku kujuga ( b), see graafik on harmoonilise summutatud signaali spektraalne kujutis. See tähendab, et helilise objekti lairibaefekti korral vabaneb ainult harmooniline signaal. Ja mul ei jäänud muud üle, kui leppida tõsiasjaga, et sel viisil kõlanud objektil oli võnkesüsteemi omadus.

Seda tüüpi võnkesüsteemi nimetatakse elastseks, kuna me räägime elastsete vibratsioonide väljast. Selle esimese katse konkreetsel juhul rakendati võnkesüsteemi tasapinnalise paralleelse kivimi objektiga, mille paksus oli h 1, vastavalt joonisele 2. Seejärel avastati, et loomulik sagedus f 0 sellise resonaatori saab määrata järgmise seose põhjal:

f 0 = k/h(2), kus

k- esialgu täiesti arusaamatu koefitsient tolleaegse kiiruse mõõtmega. Kõigi kivimite puhul osutus see koefitsient 2500m/s±10%.

Seos (2) soovitas kasutada elastseid võnkesüsteeme, et määrata objektide suurusi, mida ei saa muul viisil mõõta. Näiteks katuses lebavate kivimikihtide paksus. Fakt on see, et vastavalt joonisele 2 on väärtus h 1 seotud katusekivide stabiilsusega. Niisiis, kui h 1 on üsna suur (noh, oletame, et üle 5 m), siis on sellises kaevanduses ohutu olla. Aga kui näiteks 0,5 m, siis on see väga ohtlik ja katus tuleks kas tugevdada või spetsiaalselt kokku kukkuda, et varing äkiliseks ei osutuks.

Abstsissteljed joonisel 1 f Ja h nende pöördvõrdelisuse tõttu suunatud vastassuundadesse.

Täielikult kooskõlas teaduslike teadmiste arendamise metoodika seadustega tekib uue füüsikalise efekti avastamise tulemusena alati ja tingimata uus uurimisaparaat. Uut tüüpi võnkesüsteemi avastamise tulemusena loodi seadmed, mille abil oli võimalik otse kaevanduses määrata vahetult kaevurite peade kohal paikneva kivimikihi paksus. Seda seadet nimetati "resonantsiks". Seda kasutati kuni 1993. aastani katuse stabiilsuse hindamiseks ja prognoosimiseks.

Nagu selgus, ei ole kõigist materjalidest valmistatud objektidel võnkesüsteemide (teisisõnu resonaatorite) omadusi. Kihtide poolest on need resonaatorkihid ja mitteresonaatorkihid. Resonaatorid on objektid, mis on valmistatud klaasist, metallidest ja sulamitest, keraamikast, kividest, jääst... Mitteresonaatorid on valmistatud pleksiklaasist, osast plastist, vedelikest ja gaasidest.

Maa paksusega kihiline massiiv ei koosne aga mitte ühest resonaatorikihist, vaid paljudest kivimikihtidest ja loomulikult tekkis mõte määrata mitte ainult ühe resonaatorikihi, vaid kõigi mingil sügavusel lamavate kihtide paksus. Siin aga tekkis kahtlus selle võimalikkuses, sest isegi pärast info saamist kõikide kihtide paksuste kohta polnud selge, kuidas nende esinemise järjekorda välja selgitada.

Selle idee katsetamisel ilmnes veel üks resonaatorikihtide omadus, milleks on see, et resonaatorikihis tekkivad loomulikud võnked levivad seda mööda, sellest kaugemale minemata. See tähendab, et idee vaadata kihilist massiivi sügavuti on teostatav. Selliste uuringute tähendust selgitav diagramm on näidatud joonisel 4.

Riis. 4

Siin I - löögipunkt kihilise massiivi pinnal;

S - seismiline vastuvõtja.

Kui kihilise massi pinda lüüakse, tekivad kõigis kihtides oma elastsed vibratsioonid, kuid kuna need levivad igas kihis ega välju selle piire, ei tunne seismiline vastuvõtja resonaatorikihtide loomulikku vibratsiooni, mis. see ei puuduta. Ja seega saame joonisel 4 näidatud diagrammi jaoks teavet kivimikihtide h1, h1+h2 paksuste kohta, h 1+2+3 jne. Kuid me ei saa teavet üksikute kihtide kohta, mida geofon ei puuduta. Kõik spektraalsed seismilised uuringud on üles ehitatud sellele põhimõttele.

Sellega seoses olen aga juba palju aastaid kuulnud arusaamatusi. Fakt on see, et maakera paksuse ergastamiseks kasutame väga nõrka energeetiliselt löökpilli. Nagu näiteks haamer, mis kaalub 1-2 kg. Samal ajal saame teavet sügavuste kohta kuni kilomeetrini. Inimesed, kes on kasvanud traditsiooniliste kiirte seismilise uurimise põhimõtete järgi, ei suuda mõista, kuidas nii nõrk signaal nii kaugele jõuab, peegeldub ja salvestatakse.

Kuid tõsiasi on see, et pole "viisi". Ühe löögiga ergastad mitu võnkesüsteemi ning geofoni ja spektraalteisendusega saad infot iga võnkeprotsessi, iga spektrikomponendi kohta.

Siin on asjakohane veel üks analoogia. Klaveri klahve näppudega lüües ergastad korraga mitu võnkesüsteemi ning spektrianalüsaatori abil saad määrata, milliseid keeli tabad. Löögi hetkel võnkesüsteemile kaob esmane impulss ise. See muundatakse nii paljudeks harmoonilisteks protsessideks, kui palju on teie poolt ergastatud võnkesüsteeme. Ja spektraalne seismiline jaam on spektrianalüsaator.

Väga oluline aspekt elastsete võnkesüsteemide kaalumisel on resonantsnähtuste võimalikkus. Kuna maa akustilised omadused on võnkesüsteemide kogum, tuleb maapinnale dünaamilise (vibreeriva) mõjuga seadmete kasutamisel olla väga ettevaatlik, kuna resonantsprotsessi tekkimise tõenäosus on väga suur. Kõik teavad, et kui mis tahes turbiin teatud pöörlemiskiirustel kiirendab, tekib vibratsioon. Nii avaldub resonantsprotsess.

Resonantskahjustuste olemasolu seab ohtu struktuurid, millel on toele dünaamiline mõju. Need on elektrijaamad, pumbajaamad, raudteetammid... Ehk siis seadmed, mis määravad meie tsivilisatsiooni taseme.

Jah, elastsed võnkesüsteemid on nende tuvastamise ja olemasolu tõendamise poolest väga lihtsad. Kuid neil osutus nii palju omadusi, et nii mulle kui ka minu jälgijatele piisaks paljudeks aastateks õppimiseks.

Võnkesüsteem on süsteem, milles tasakaaluseisundi rikkumise tagajärjel võivad tekkida võnked.

Süsteemis tekkivate võnkumiste tüüp sõltub erinevatest süsteemi iseloomustavatest füüsikalistest suurustest - süsteemi parameetritest, aga ka välismõjude tüübist, mis süsteemi tasakaaluasendist välja viivad (näiteks: matemaatiline pendel väljal gravitatsioonist).

Võnkusüsteemid võivad olla lineaarsed ja mittelineaarsed. Füüsikalisi süsteeme, mis sooritavad võnkumisi, mille olulised tunnused on piisava lähendusega edasi antud lineaarsete diferentsiaalvõrranditega, nimetatakse lineaarseteks võnkesüsteemideks, ülejäänud mittelineaarseteks.

Vaatleme ainult lihtsamaid võnkesüsteeme - ühe vabadusastmega lineaarseid süsteeme ja selliseid, mille parameetrid ei sõltu selle olekust ja on konstantsed. Selliseid võnkesüsteeme kirjeldavad konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Selliste süsteemide näideteks on sellised süsteemid nagu "elektriline võnkeahel", "torsioonpendel", "vedrule riputatud kuul" jne.

Vaatleme võnkesüsteemides esinevaid nähtusi. Üldjuhul analüüsi tegemata piirdume kahe näitega: elektrilise võnkeahela ja mehaanilise pendliga.

Koosnegu võnkeahel (joonis 1) mahtuvusest C, induktiivsusest L ja oomilisest takistusest R.

Ahela saab tasakaaluasendisse viia, kasutades ahela elementidega järjestikku ühendatud vahelduvpingeallikat E(t). Eeldame, et saame allika EMF-i ajast sõltuvuse tüübi suvaliselt valida (eelkõige saame selle määrata nulliga). Allika emf mängib vooluringi välise sundimise rolli.

Mehaaniline pendel (joonis 2) on vedru K külge kinnitatud kuul massiga m.

Süsteemi saab liikuma panna liikuva voolu Ш abil, mille külge on kinnitatud vedru teine ​​ots a. Koostame diferentsiaalvõrrandid võnkeahela mahtuvuse pinge U C ja kuuli keskpunkti tasakaaluasendist nihke koordinaatide jaoks. Ilmselgelt kehtib võnkeahela suletud ahela puhul võrdsus

E(t) = UL + UR + UC

kus U L, U R ja U C on pingelangused ahela L, R ja C elementidel. Kasutades tuntud võrdusi

UR = JR,

UL = L

U=UC=

C ∫

ja seda arvestades

U′=

U′′=

d2U

1 dJ

dt 2

dt,

taandame võrrandi (1) vormile

LCU" + RCU" + U = E(t)

Tutvustame tähistust

Mehaanilise süsteemi jaoks vastavalt Newtoni teisele seadusele

mx " = fmp + fg

kus fmp = -rx " on hõõrdejõud, fg = -k(x – x 1) on vedru deformatsioonist tulenev jõud, k on vedru jäikuse koefitsient, x 1 = x 1 (t) on nihe vedru enda positsioonist

mx" + rx" + k(x – x1 ) = 0

Tutvustame nimetusi

Võrreldes võrrandeid (2) ja (6), näeme, et need erinevad ainult muutuja (U või x) ja vabaliikme E(t) või x 1 (t) tähistuses. Need. nii pinget elektriahela mahtuvusel kui ka mehaanilise pendli kuuli nihet kirjeldatakse sama võrrandiga ja need sõltuvad ühtemoodi sundtegevuse tüübist. (Järgnevalt kasutame võrrandit (3), pidades meeles, et see kirjeldab võrdselt nii mehaanilisi kui ka elektrisüsteeme).

Saadud tulemust kokku võttes võib öelda, et igat lihtsamat võnkesüsteemi saab iseloomustada ainult kahe suurusega α ja ω 0 ning tema liikumise iseloom sõltub nendest suurustest ja välist kirjeldava funktsiooni tüübist E(t). mõju süsteemile. Koefitsiendid α ja ω 0 on määratud konkreetse võnkesüsteemi parameetritega. Eelkõige kehtivad meie poolt käsitletud süsteemide puhul seosed (2) ja (5). Suurust α nimetatakse sumbumise koefitsient,аω 0 - loomulik sagedus süsteemid.

Võnkesüsteemi mingil viisil ergastades (s.o. teatud tüüpi funktsiooni E(t) seadmisega) ja sellest tulenevaid võnkumisi uurides on võimalik määrata koefitsiendid α ja ω 0 . Koefitsientide määramiseks on enamkasutatavad kaks meetodit - vabavõnkumiste süsteemis ergastamisel põhinev meetod ja sundvõnkumiste süsteemis mitteergastamisel põhinev meetod. Vaatleme neid kahte tüüpi süsteemivõnkumisi.

Vaba vibratsioon.

Süsteemi vabad või loomulikud võnkumised tekivad siis, kui süsteem viidi piisavalt terava alglöögiga tasakaalust välja ja jäeti seejärel omapäi. Pannes võrrandisse (3) E(t)=0, saame juhtumi jaoks

rahuldab võrrandi (7). (Diferentsiaalvõrrandite teoorias on tõestatud, et kui ω 0 2 ≠ α 2, on see lahendus ainulaadne).

Valemil (8) on otsene füüsikaline tähendus ainult siis, kui ω с on reaalne suurus, st ω 0 2 > α 2 .

(Kui ω 0 2< α 2 , то это означает, что трение в системе настолько велико, что колебаний не возникает. Этот случай мы рассматривать не будем).

Funktsioon U tähistab summutatud võnkumised. Selle graafik on näidatud joonisel fig. 3.

See funktsioon on mitteperioodiline, kuid sellel on teatud tüüpi "kordus", mis seisneb selles, et funktsiooni maksimumid, selle miinimumid ja nullid esinevad võrdsete ajavahemike järel, mis on võrdsed harmoonilise teguri perioodiga T c cos(ω c t- α ). Seetõttu võime rääkida summutatud võnke "periood".

ja summutatud võnke "sageduse" kohta ω c .

Samamoodi, kuna funktsioon U ei ole harmooniline, siis rangelt võttes ei kehti termin “amplituud” selle kohta.

Tavaliselt räägime aga "amplituudist" summutatud võnkumine tähenduses selle all suurim väärtus, mille funktsioon ühe perioodi jooksul saavutab. Summutatud võnke U 0 e α t “amplituud” väheneb vastavalt eksponentsiaalseadusele. Kahe järjestikuse "amplituudi" suhe

U0 e− α t				αT c
	− α (t+ T

kui väärtus on konstantne. Selle suhte naturaalne logaritm on

λ= α Tс

nimetatakse logaritmiliseks summutamise dekrementiks kõhklust.

(Seda nimetatakse sageli lühendatult: damping decrement või lihtsalt: decrement). Selgitame suuruste α, λ ja ω 0 füüsikalist tähendust.

Tähistame τ-ga ajavahemikku, mille jooksul võnkumiste amplituud väheneb pas. Siis e - ατ = e -1, kust α = τ 1. Koefitsient sumbumise määrα on

ajaperioodi vastastikuneτ , mille jooksul amplituud väheneb e. üks kord. Logaritmilise summutuse vähenemine näitab, kui palju võnke amplituud perioodi jooksul väheneb. Olgu N võnkumiste arv, mille käigus amplituud väheneb neljakordselt. Siis

Logaritmiline summutamise dekrement on võnkumiste arvu pöördväärtus vastavalt

mille järel amplituud väheneb e korda. Kui seame α =0, siis saame (8) asemel U = U 0 cos (ω 0 t - ϕ ). Seega omasagedus on sagedus

harmoonilised võnkumised, mida süsteem hõõrdumise puudumisel teostaks. Suvalised konstandid U 0 ja ϕ funktsioonis U on määratud initsiaaliga

tingimused, s.t. funktsioonide U ja selle tuletise U väärtused algsel ajahetkel. Need väärtused sõltuvad viisist, kuidas süsteem tasakaaluasendist eemaldati.

Sunnitud vibratsioonid.

Vaatleme nüüd protsesse võnkesüsteemides sundharmooniliste võnkumiste režiimis.

Olgu sundiv mõju harmoonilise funktsiooni kujul

E(t) = Е0 cos ω t

Järelikult kirjeldatakse nüüd meie võnkesüsteemi võrrandiga

U" + 2α U" + ω0 2 U = E0 ω0 2 cos ω t
Võrrandi (13) lahendusel on vorm
U = U0 e- α t cos (ωc t +ϕ c ) + U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ]

Summa esimene liige avaldises (14) on süsteemi loomulikud võnkumised, mis tekivad siis, kui süsteem eemaldatakse tasakaaluasendist sundtegevuse sisselülitamise hetkel. Kuna loomulikud võnkumised on summutatud, muutub nende amplituud mõne aja pärast tühiselt väikeseks ja süsteem hakkab võnkuma sagedusega ω, mis on talle pandud välismõjude poolt.

paigal ja algstaadium on nn üleminekuprotsess. Vaatleme ainult püsioleku protsessi. Seega

U = U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ]

need. süsteemi võnkumised on harmoonilised, amplituudiga U(ω) ja faasϕ(ω), olenevalt sagedusest.

Põnevat mõju (12) ja selle amplituudi nimetame edaspidi sisendvõnkumiseks (löögiks) ja sisendi amplituudiks ning võnkumist (15), mis kirjeldab süsteemi reaktsiooni ja selle võnke amplituudi, väljundi võnkumine ja väljundamplituud.

Asendades (15) võrrandiga (13), leiame

U (ω ) = 2		4α 2		ω) 2

		2 αω
ϕ (ω ) = − arctan
	1− (

Saadud avaldistest on selge, et väljundamplituudi sagedusest sõltuvuse kuju ja väljundvõnkumise faas sõltuvad ainult kahest parameetrist - loomulikust

sagedus ω 0 ja suhe2 α.

Tutvustame võnkesüsteemi Q kvaliteediteguri mõistet

Q = ω 2 α 0

(Kvaliteediteguri füüsikalise tähenduse saame teada hiljem). Asendamine

(18)/ punktides (16) ja (17) saame

U (ω ) = 2+			ω) 2

ϕ (ω ) = − arctanω 0

Vaatleme väljundvõnkumise amplituudi ja faasi sõltuvuse olemust sagedusest.

U(ω) kõverate perekond Q erinevate väärtuste jaoks on näidatud joonisel 4.

Kui sisendvõnkesagedus on väike ω<<ω 0 , тоU(ω) Е 0 , т.е. амплитуда вынужденных колебаний оказывается равной величине статического смешения, которое вызвало бы постоянное внешнее воздействиеЕ 0 . Когда частотаω приближаемся к частоте

kui ω → ∞. U(ω) suurenemine maksimumi lähedal toimub seda järsemalt, mida rohkem

kvaliteeditegur ja seetõttu seda madalam on süsteemi sumbumiskoefitsient α. Väljundvõnkumise amplituudi järsk tõus ω 0 lähedal madala sumbumisega süsteemide puhul nimetatakse resonantsi nähtuseks. Sel juhul nimetatakse amplituudi ja sageduse kõveraid amplituudi resonantskõverad, ja mis vastab maksimaalsele amplituudile – resonantssagedus.

Defineerime ω р. Tuletise võtmine								ja võrdsustades selle nulliga, saame
				1−		= ω 2		−2 α 2
					2 kv 2

Selgitame välja kvaliteediteguri füüsikalise tähenduse. Vaatleme madala sumbumisega süsteemi. Sellisel süsteemil on väljendunud resonantsomadused. Temale

tingimused on täidetud

α2<<ω0 2 ,

Q2 >>1

Siis saame kaaluda

ωр ≈ ω0

Resonantsefekti kvantitatiivseks tunnuseks võib olla maksimaalse väljundi amplituudi suhe sundvõnkumiste amplituudiga, mis on resonantsist kaugel, nii madalate sageduste piirkonnas, et amplituudi võib pidada sagedusest sõltumatuks. Alates (19), võttes arvesse tingimusi (22) ja (23), saame

U U (max 0)≈ Q

need. see suhe on võrdne süsteemi kvaliteediteguriga. Kuna U(0) = E 0, näitab kvaliteeditegur ka seda, mitu korda ületab amplituud süsteemi väljundis resonantsil sisendi amplituudi. Mida kõrgem on süsteemi kvaliteeditegur, seda kitsam on resonantsmaksimum. Resonantskõvera laius teatud kord ja igavesti valitud kõrgusel võib olla ka resonantsefekti kvantitatiivne tunnus. Resonantslaius

on võrdeline amplituudi ruuduga, see vastab võnkeenergia vähenemisele poole võrra võrreldes maksimumiga).

Seega nimetatakse mõõdetud laiust 2∆ ω resonantskõvera laius poole võimsuse juures. Leiame laiuse 2∆ ω. Tingimusel ruudus amplituudi vähendamine poole võrra maksimumi suhtes on selline

		Q2 E2
	}