Käesolevas artiklis käsitletakse meetodit lineaarvõrrandisüsteemide (SLAE) lahendamise meetodina. Meetod on analüütiline, see tähendab, et see võimaldab teil kirjutada lahendusalgoritmi üldisel kujul ja seejärel asendada väärtusi konkreetsetest näidetest. Erinevalt maatriksmeetodist või Crameri valemitest saab Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel töötada ka nendega, millel on lõpmatu arv lahendeid. Või pole neil seda üldse.
Mida tähendab lahendada Gaussi meetodil?
Esiteks peame kirjutama oma võrrandisüsteemi väljale See näeb välja selline. Võtke süsteem:
Koefitsiendid on kirjutatud tabeli kujul ja vabad terminid kirjutatakse paremal asuvasse eraldi veergu. Vaba terminitega veerg on mugavuse huvides eraldatud Maatriksit, mis sisaldab seda veergu, nimetatakse laiendatud.
Järgmisena tuleb koefitsientidega põhimaatriks taandada ülemisele kolmnurksele kujule. See on Gaussi meetodi abil süsteemi lahendamise põhipunkt. Lihtsamalt öeldes peaks maatriks pärast teatud manipuleerimisi välja nägema nii, et selle vasakpoolses alumises osas on ainult nullid:
Seejärel, kui kirjutate uue maatriksi uuesti võrrandisüsteemina, märkate, et viimane rida sisaldab juba ühe juure väärtust, mis seejärel asendatakse ülaltoodud võrrandiga, leitakse teine juur jne.
See on lahenduse kirjeldus Gaussi meetodil kõige üldisemalt. Mis juhtub, kui süsteemil pole äkki lahendust? Või on neid lõpmatult palju? Nendele ja paljudele teistele küsimustele vastamiseks on vaja eraldi käsitleda kõiki Gaussi meetodi lahendamisel kasutatud elemente.
Maatriksid, nende omadused
Maatriksis pole varjatud tähendust. See on lihtsalt mugav viis andmete salvestamiseks järgnevateks toiminguteks. Isegi koolilapsed ei pea neid kartma.
Maatriks on alati ristkülikukujuline, kuna see on mugavam. Isegi Gaussi meetodi puhul, kus kõik taandub kolmnurkse maatriksi konstrueerimisele, ilmub kirjesse ristkülik, ainult nullidega kohas, kus numbreid pole. Nulle ei pruugita kirjutada, kuid need on vihjatud.
Maatriksil on suurus. Selle "laius" on ridade arv (m), "pikkus" on veergude arv (n). Siis märgitakse maatriksi A suurus (nende tähistamiseks kasutatakse tavaliselt suuri ladina tähti) kui A m×n. Kui m = n, on see maatriks ruut ja m = n on selle järjekord. Vastavalt sellele võib maatriksi A mis tahes elementi tähistada selle rea- ja veerunumbritega: a xy ; x - rea number, muudatused, y - veeru number, muudatused.
B ei ole otsuse põhipunkt. Põhimõtteliselt saab kõiki tehteid sooritada otse võrrandite endi abil, kuid märkimine on palju tülikam ja selles on palju lihtsam segadusse sattuda.
Determinant
Maatriksil on ka determinant. See on väga oluline omadus. Nüüd pole vaja selle tähendust välja selgitada, võite lihtsalt näidata, kuidas see arvutatakse, ja seejärel öelda, millised maatriksi omadused see määrab. Lihtsaim viis determinandi leidmiseks on diagonaalide kaudu. Maatriksisse joonistatakse kujuteldavad diagonaalid; korrutatakse igal neist asuvad elemendid ja seejärel lisatakse saadud korrutised: diagonaalid kaldega paremale - plussmärgiga, kaldega vasakule - miinusmärgiga.
Äärmiselt oluline on märkida, et determinanti saab arvutada ainult ruutmaatriksi jaoks. Ristkülikukujulise maatriksi puhul saab teha järgmist: valida ridade ja veergude hulgast väikseim (olgu see k) ning seejärel märkida maatriksisse juhuslikult k veergu ja k rida. Valitud veergude ja ridade ristumiskohas olevad elemendid moodustavad uue ruutmaatriksi. Kui sellise maatriksi determinandiks on nullist erinev arv, nimetatakse seda algse ristkülikukujulise maatriksi alusminooriks.
Enne kui hakkate Gaussi meetodil võrrandisüsteemi lahendama, ei tee determinandi arvutamine haiget. Kui see osutub nulliks, siis võime kohe öelda, et maatriksil on kas lõpmatu arv lahendeid või pole neid üldse. Sellisel kurval juhul peate minema kaugemale ja uurima maatriksi auastet.
Süsteemi klassifikatsioon
On olemas selline asi nagu maatriksi auaste. See on selle nullist erineva determinandi maksimaalne järjekord (kui meenub alus-minoori kohta, võib öelda, et maatriksi auaste on põhimolli järjekord).
Auastme olukorra põhjal võib SLAE jagada järgmisteks osadeks:
- Ühine. UÜhissüsteemides ühtib põhimaatriksi (koosneb ainult koefitsientidest) auaste laiendatud maatriksi (vabade terminite veeruga) auastmega. Sellistel süsteemidel on lahendus, kuid mitte tingimata üks, seetõttu jagunevad ühendussüsteemid lisaks:
- - teatud- ühe lahenduse olemasolu. Teatud süsteemides on maatriksi auaste ja tundmatute arv (või veergude arv, mis on sama asi) võrdsed;
- - määramata - lõpmatu hulga lahendustega. Maatriksite järjestus sellistes süsteemides on väiksem kui tundmatute arv.
- Sobimatu. U Sellistes süsteemides ei lange põhi- ja laiendatud maatriksi auastmed kokku. Ühildumatutel süsteemidel pole lahendust.
Gaussi meetod on hea, kuna võimaldab lahenduse käigus saada kas ühemõttelise tõestuse süsteemi ebakõla kohta (ilma suurte maatriksite determinante arvutamata) või üldkujul lahenduse lõpmatu arvu lahendustega süsteemile.
Elementaarsed teisendused
Enne otse süsteemi lahendamise juurde asumist saate muuta selle vähem tülikaks ja arvutuste jaoks mugavamaks. See saavutatakse elementaarsete teisenduste abil – nii, et nende rakendamine ei muuda lõplikku vastust kuidagi. Tuleb märkida, et mõned antud elementaarteisendused kehtivad ainult maatriksite jaoks, mille allikaks oli SLAE. Siin on nende teisenduste loend:
- Liinide ümberkorraldamine. Ilmselgelt, kui muudate võrrandite järjekorda süsteemikirjes, ei mõjuta see lahendust kuidagi. Järelikult saab selle süsteemi maatriksi ridu ka vahetada, unustamata muidugi vabade terminite veergu.
- Stringi kõigi elementide korrutamine teatud koefitsiendiga. Väga abivalmis! Seda saab kasutada maatriksi suurte arvude vähendamiseks või nullide eemaldamiseks. Paljud otsused, nagu tavaliselt, ei muutu, kuid edasised toimingud muutuvad mugavamaks. Peaasi, et koefitsient ei oleks võrdne nulliga.
- Proportsionaalsete teguritega ridade eemaldamine. See tuleneb osaliselt eelmisest lõigust. Kui maatriksi kahel või enamal real on proportsionaalsed koefitsiendid, siis ühe rida korrutamisel/jagamisel proportsionaalsuse koefitsiendiga saadakse kaks (või jällegi rohkem) absoluutselt identset rida ja üleliigsed saab eemaldada, jättes alles ainult üks.
- Nullrea eemaldamine. Kui teisenduse käigus saadakse kuskil rida, milles kõik elemendid, sealhulgas vaba liige, on nullid, siis võib sellist rida nimetada nulliks ja maatriksist välja visata.
- Lisades ühe rea elementidele teise rea elemendid (vastavates veergudes), korrutatuna teatud koefitsiendiga. Kõige ilmsem ja kõige olulisem transformatsioon üldse. Sellel tasub põhjalikumalt peatuda.
Koefitsiendiga korrutatud stringi lisamine
Arusaadavuse hõlbustamiseks tasub see protsess samm-sammult lahti võtta. Maatriksist võetakse kaks rida:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Oletame, et peate liitma esimese teisega, korrutatuna koefitsiendiga "-2".
a" 21 = a 21 + -2 × a 11
a" 22 = a 22 + -2 × a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Seejärel asendatakse maatriksi teine rida uuega ja esimene jääb muutumatuks.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Tuleb märkida, et korrutuskoefitsienti saab valida nii, et kahe rea liitmise tulemusena on üks uue rea elementidest võrdne nulliga. Järelikult on võimalik saada võrrand süsteemis, kus on üks tundmatu vähem. Ja kui saate kaks sellist võrrandit, saab toimingu uuesti teha ja saada võrrandi, mis sisaldab kaks tundmatut vähem. Ja kui iga kord, kui muudate ühe koefitsiendi kõigist ridadest, mis jäävad alla algse, nulli, saate sarnaselt treppidega laskuda maatriksi põhja ja saada võrrandi ühe tundmatuga. Seda nimetatakse süsteemi lahendamiseks Gaussi meetodil.
Üldiselt
Las olla süsteem. Sellel on m võrrandit ja n tundmatut juurt. Saate selle kirjutada järgmiselt:
Põhimaatriks koostatakse süsteemi koefitsientidest. Laiendatud maatriksile lisatakse vabade terminite veerg ja mugavuse huvides eraldatakse need joonega.
- maatriksi esimene rida korrutatakse koefitsiendiga k = (-a 21 /a 11);
- liidetakse maatriksi esimene muudetud rida ja teine rida;
- teise rea asemel sisestatakse maatriksisse eelmise lõigu liitmise tulemus;
- nüüd on uue teise rea esimene koefitsient a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Nüüd tehakse sama teisenduste seeria, kaasatud on ainult esimene ja kolmas rida. Vastavalt sellele asendatakse algoritmi igas etapis element a 21 elemendiga 31. Seejärel korratakse kõike 41, ... m1 jaoks. Tulemuseks on maatriks, kus ridade esimene element on null. Nüüd peate unustama rea number üks ja täitma sama algoritmi, alustades teisest reast:
- koefitsient k = (-a 32 /a 22);
- teine muudetud rida lisatakse praegusele reale;
- liitmise tulemus asendatakse kolmandale, neljandale ja nii edasi reale, kusjuures esimene ja teine jäävad muutumatuks;
- maatriksi ridades on kaks esimest elementi juba võrdsed nulliga.
Algoritmi tuleb korrata seni, kuni ilmub koefitsient k = (-a m,m-1 /a mm). See tähendab, et viimati käivitati algoritm ainult madalama võrrandi jaoks. Nüüd näeb maatriks välja nagu kolmnurk või sellel on astmeline kuju. Alumisel real on võrdus a mn × x n = b m. Koefitsient ja vabaliige on teada ning nende kaudu väljendub juur: x n = b m /a mn. Saadud juur asendatakse ülemisele reale, et leida x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Ja nii edasi analoogia põhjal: igal järgmisel real on uus juur ja süsteemi "ülaossa" jõudes võite leida palju lahendusi. See jääb ainukeseks.
Kui lahendusi pole
Kui ühes maatriksireas on kõik elemendid peale vaba liikme võrdsed nulliga, siis sellele reale vastav võrrand näeb välja 0 = b. Sellel pole lahendust. Ja kuna selline võrrand on süsteemi sees, siis on kogu süsteemi lahenduste hulk tühi, see tähendab, et see on degenereerunud.
Kui lahendusi on lõpmatult palju
Võib juhtuda, et antud kolmnurkmaatriksis pole ühtegi võrrandi ühe koefitsiendielemendi ja ühe vaba liikmega ridu. On ainult read, mis ümberkirjutamisel näeksid välja nagu kahe või enama muutujaga võrrand. See tähendab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Sellisel juhul saab vastuse anda üldlahenduse vormis. Kuidas seda teha?
Kõik maatriksi muutujad on jagatud põhilisteks ja vabadeks. Põhilised on need, mis seisavad astmemaatriksi ridade "serval". Ülejäänud on tasuta. Üldlahenduses kirjutatakse põhimuutujad läbi vabade.
Mugavuse huvides kirjutatakse maatriks kõigepealt tagasi võrrandisüsteemiks. Siis viimases, kus täpselt on järel ainult üks põhimuutuja, jääb see ühele poole ja kõik muu kandub teisele. Seda tehakse iga ühe põhimuutuja võrrandi puhul. Seejärel asendatakse ülejäänud võrrandites võimaluse korral põhimuutuja asemel selle jaoks saadud avaldis. Kui tulemuseks on jällegi ainult ühte põhimuutujat sisaldav avaldis, siis väljendatakse seda sealt uuesti ja nii edasi, kuni iga põhimuutuja kirjutatakse vabade muutujatega avaldisena. See on SLAE üldine lahendus.
Võite leida ka süsteemi põhilahenduse - andke vabadele muutujatele mis tahes väärtused ja seejärel arvutage selle konkreetse juhtumi jaoks põhimuutujate väärtused. On võimalik anda lõpmatu arv konkreetseid lahendusi.
Lahendus konkreetsete näidetega
Siin on võrrandisüsteem.
Mugavuse huvides on parem selle maatriks kohe luua
Teatavasti jääb Gaussi meetodil lahendades esimesele reale vastav võrrand teisenduste lõpus muutumatuks. Seetõttu on tulusam, kui maatriksi ülemine vasak element on väikseim - siis muutuvad ülejäänud ridade esimesed elemendid pärast toiminguid nulliks. See tähendab, et koostatud maatriksis on kasulik panna esimene rida teine.
teine rida: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a" 22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7
a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
kolmas rida: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Nüüd, et mitte segadusse sattuda, tuleb üles kirjutada maatriks teisenduste vahetulemustega.
Ilmselgelt saab sellist maatriksit teatud toimingute abil tajumiseks mugavamaks muuta. Näiteks saate eemaldada kõik "miinused" teiselt realt, korrutades iga elemendi "-1"-ga.
Samuti väärib märkimist, et kolmandal real on kõik elemendid kolmekordsed. Seejärel saate stringi selle numbri võrra lühendada, korrutades iga elemendi "-1/3"-ga (miinus - samal ajal negatiivsete väärtuste eemaldamiseks).
Näeb palju kenam välja. Nüüd peame jätma esimese rea rahule ja töötama teise ja kolmandaga. Ülesanne on lisada kolmas rida kolmandale reale, korrutatuna sellise koefitsiendiga, et element a 32 oleks võrdne nulliga.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (kui mõne teisenduse käigus ei osutu vastus täisarvuks, on soovitatav jätta arvutuste täpsus alles see "nagu on" tavaliste murdude kujul ja alles siis, kui vastused on saadud, otsustage, kas ümardada ja teisendada teisele salvestusvormile)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
Maatriks kirjutatakse uuesti uute väärtustega.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Nagu näete, on saadud maatriksil juba astmeline vorm. Seetõttu pole süsteemi täiendavaid teisendusi Gaussi meetodil vaja. Siin saate eemaldada kolmandalt realt üldise koefitsiendi "-1/7".
Nüüd on kõik ilus. Jääb üle kirjutada maatriks uuesti võrrandisüsteemi kujul ja arvutada juured
x + 2a + 4z = 12 (1)
7a + 11z = 24 (2)
Algoritmi, mille abil juured nüüd leitakse, nimetatakse Gaussi meetodis vastupidiseks liikumiseks. Võrrand (3) sisaldab z väärtust:
y = (24–11 × (61/9))/7 = –65/9
Ja esimene võrrand võimaldab meil leida x:
x = (12 - 4z - 2 a) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3
Meil on õigus nimetada sellist süsteemi ühenduskohaks ja isegi kindlaks, st ainulaadse lahendusega. Vastus on kirjutatud järgmisel kujul:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Näide ebakindlast süsteemist
Analüüsitud on varianti, kuidas teatud süsteemi lahendada Gaussi meetodil, nüüd tuleb arvestada juhul, kui süsteem on ebakindel, st sellele võib leida lõpmatult palju lahendusi.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Süsteemi välimus on juba murettekitav, sest tundmatute arv on n = 5 ja süsteemi maatriksi auaste on juba täpselt väiksem kui see arv, kuna ridade arv on m = 4, see tähendab, determinandiruudu suurim järjekord on 4. See tähendab, et lahendeid on lõpmatult palju ja tuleb otsida selle üldilmet. Lineaarvõrrandite Gaussi meetod võimaldab seda teha.
Esiteks, nagu tavaliselt, koostatakse laiendatud maatriks.
Teine rida: koefitsient k = (-a 21 /a 11) = -3. Kolmandal real on esimene element enne teisendusi, nii et te ei pea midagi puudutama, peate jätma selle nii, nagu see on. Neljas rida: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Korrutades esimese rea elemendid kordamööda iga koefitsiendiga ja liites need vajalikele ridadele, saame järgmise kujuga maatriksi:
Nagu näete, koosnevad teine, kolmas ja neljas rida üksteisega proportsionaalsetest elementidest. Teine ja neljas on üldiselt identsed, nii et ühe neist saab kohe eemaldada ja ülejäänud saab korrutada koefitsiendiga "-1" ja saada rea number 3. Ja jälle, kahest identsest reast jätke üks.
Tulemuseks on selline maatriks. Kuigi süsteem pole veel üles kirjutatud, on siin vaja kindlaks määrata põhimuutujad - need, mis seisavad koefitsientide a 11 = 1 ja a 22 = 1 juures ning vabad - kõik ülejäänud.
Teises võrrandis on ainult üks põhimuutuja - x 2. See tähendab, et sealt saab seda väljendada, kirjutades selle läbi muutujate x 3 , x 4 , x 5 , mis on vabad.
Asendame saadud avaldise esimese võrrandiga.
Tulemuseks on võrrand, milles ainus põhimuutuja on x 1 . Teeme sellega sama, mis x 2-ga.
Kõik põhimuutujad, mida on kaks, on väljendatud kolme vabana, nüüd saame vastuse kirjutada üldkujul.
Samuti saate määrata ühe süsteemi konkreetsetest lahendustest. Sellistel juhtudel valitakse vabade muutujate väärtusteks tavaliselt nullid. Siis on vastus järgmine:
16, 23, 0, 0, 0.
Näide mittekoostöötavast süsteemist
Ühildumatute võrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodi abil on kiireim. See lõpeb kohe, kui ühes etapis saadakse võrrand, millel pole lahendust. See tähendab, et juurte arvutamise etapp, mis on üsna pikk ja tüütu, jääb ära. Arvesse võetakse järgmist süsteemi:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Nagu tavaliselt, koostatakse maatriks:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Ja see taandatakse astmelisele kujule:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Pärast esimest teisendust sisaldab kolmas rida vormi võrrandit
ilma lahenduseta. Järelikult on süsteem ebajärjekindel ja vastuseks on tühi komplekt.
Meetodi eelised ja puudused
Kui valite, millise meetodi SLAE-de lahendamiseks paberil pliiatsiga lahendada, tundub selles artiklis käsitletud meetod kõige atraktiivsem. Elementaarteisendustes on palju keerulisem segadusse sattuda kui siis, kui peate käsitsi otsima determinanti või mõnda keerulist pöördmaatriksit. Kui aga kasutate seda tüüpi andmetega töötamiseks programme, näiteks tabeleid, siis selgub, et sellised programmid sisaldavad juba algoritme maatriksite põhiparameetrite - determinant, minoorsed, pöördväärtused jne - arvutamiseks. Ja kui olete kindel, et masin arvutab need väärtused ise välja ega tee vigu, on soovitatavam kasutada maatriksmeetodit või Crameri valemeid, kuna nende rakendamine algab ja lõpeb determinantide ja pöördmaatriksite arvutamisega. .
Rakendus
Kuna Gaussi lahendus on algoritm ja maatriks on tegelikult kahemõõtmeline massiiv, saab seda kasutada programmeerimisel. Kuid kuna artikkel positsioneerib end juhendina "mannekeenidele", siis tuleb öelda, et lihtsaim koht meetodi paigutamiseks on arvutustabelid, näiteks Excel. Jällegi käsitleb Excel iga maatriksi kujul tabelisse sisestatud SLAE-d kahemõõtmelise massiivina. Ja nendega tehte jaoks on palju toredaid käske: liitmine (lisada saab ainult ühesuurused maatriksid!), arvuga korrutamine, maatriksite korrutamine (ka teatud piirangutega), pöörd- ja transponeeritud maatriksite leidmine ja mis kõige tähtsam. , determinandi arvutamine. Kui see aeganõudev ülesanne asendada ühe käsuga, on võimalik palju kiiremini määrata maatriksi auaste ja seega tuvastada selle ühilduvus või mitteühilduvus.
Olgu antud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem, mis tuleb lahendada (leia sellised tundmatute xi väärtused, mis muudavad süsteemi iga võrrandi võrduseks).
Teame, et lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem võib:
1) Sul pole lahendusi (olgu mitteliigeste).
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Leidke üks lahendus.
Nagu mäletame, ei sobi Crameri reegel ja maatriksmeetod juhtudel, kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi või see on ebaühtlane. Gaussi meetod – võimsaim ja mitmekülgsem tööriist mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks, mis igal juhul viib meid vastuseni! Meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul samamoodi. Kui Crameri ja maatriksmeetodid nõuavad determinantide tundmist, siis Gaussi meetodi rakendamiseks on vaja teadmisi vaid aritmeetiliste tehtetest, mis teeb selle kättesaadavaks ka algklassiõpilastele.
Laiendatud maatriksiteisendused ( see on süsteemi maatriks - maatriks, mis koosneb ainult tundmatute koefitsientidest, millele lisandub vabade terminite veerg) Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid Gaussi meetodil:
1) Koos troki maatriksid Saab ümber paigutama mõnes kohas.
2) kui maatriksis esinevad (või on olemas) proportsionaalsed (erijuhtumina – identsed) read, siis tuleks kustutada maatriksist kõik need read peale ühe.
3) kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada.
4) maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes arvule peale nulli.
5) maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist.
Gaussi meetodis ei muuda elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust.
Gaussi meetod koosneb kahest etapist:
- "Otsene liikumine" - elementaarsete teisenduste abil viige lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi laiendatud maatriks "kolmnurksele" sammukujule: põhidiagonaali all asuvad laiendatud maatriksi elemendid on võrdsed nulliga (ülevalt alla liikumine). Näiteks sellele tüübile:
Selleks tehke järgmised sammud.
1) Vaatleme lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esimest võrrandit ja koefitsient x 1 jaoks on võrdne K-ga. Teine, kolmas jne. teisendame võrrandid järgmiselt: jagame iga võrrandi (tundmatute koefitsiendid, sealhulgas vabad liikmed) igas võrrandis tundmatu x 1 koefitsiendiga ja korrutame K-ga. Pärast seda lahutame esimese teisest võrrandist ( tundmatute ja vabade terminite koefitsiendid). Teise võrrandi x 1 korral saame koefitsiendi 0. Kolmandast teisendatud võrrandist lahutame esimese võrrandi, kuni kõigi võrrandite, välja arvatud esimese, tundmatu x 1 korral, on koefitsient 0.
2) Liigume edasi järgmise võrrandi juurde. Olgu see teine võrrand ja koefitsient x 2 jaoks, mis on võrdne M-ga. Jätkame kõigi “madalamate” võrranditega, nagu eespool kirjeldatud. Seega on tundmatu x 2 "all" kõigis võrrandites nullid.
3) Liigu järgmise võrrandi juurde ja nii edasi, kuni jääb alles viimane tundmatu ja teisendatud vaba liige.
- Gaussi meetodi "tagurpidi liikumine" seisneb lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse leidmises ("alt-üles" liikumine). Viimasest "madalamast" võrrandist saame ühe esimese lahendi - tundmatu x n. Selleks lahendame elementaarvõrrandi A * x n = B. Ülaltoodud näites x 3 = 4. Asendame leitud väärtuse “ülemise” järgmise võrrandiga ja lahendame selle järgmise tundmatu suhtes. Näiteks x 2 – 4 = 1, s.o. x 2 = 5. Ja nii edasi, kuni leiame kõik tundmatud.
Näide.
Lahendame lineaarsete võrrandite süsteemi Gaussi meetodi abil, nagu mõned autorid soovitavad:
Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:
Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Teeme ära:
1 samm
. Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine rida ei muutunud.
Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, saavad teha lisatoimingu: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).
2. samm . Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.
3. samm . Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Muudeti ka kolmanda rea märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.
4. samm . Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna 2-ga.
5. samm . Kolmas rida jagati 3-ga.
Märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame alla midagi sellist nagu (0 0 11 |23) ja vastavalt 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, siis võime suure tõenäosusega väita, et algõpetuse ajal tehti viga. teisendusi.
Teeme vastupidi, näidete kujundamisel ei kirjutata sageli ümber süsteemi, vaid võrrandid on "võetud otse antud maatriksist". Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Selles näites oli tulemuseks kingitus:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, seega x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Vastus:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Lahendame sama süsteemi pakutud algoritmi kasutades. Saame
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Jagage teine võrrand 5-ga ja kolmas 3-ga.
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Korrutades teise ja kolmanda võrrandi 4-ga, saame:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast võrrandist, saame:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Jagage kolmas võrrand 0,64-ga:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Korrutage kolmas võrrand 0,4-ga
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Lahutades teise kolmandast võrrandist, saame "astmelise" laiendatud maatriksi:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Seega, kuna arvutuste käigus kogunes viga, saame x 3 = 0,96 ehk ligikaudu 1.
x 2 = 3 ja x 1 = –1.
Selliselt lahendades ei lähe te arvutustes kunagi segadusse ja hoolimata arvutusvigadest saate tulemuse.
See lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamise meetod on kergesti programmeeritav ega võta arvesse tundmatute koefitsientide eripärasid, sest praktikas (majanduslikes ja tehnilistes arvutustes) tuleb tegeleda mittetäisarvuliste koefitsientidega.
Soovin teile edu! Kohtumiseni klassis! Juhendaja Dmitri Aystrahhanov.
veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.
See veebikalkulaator leiab Gaussi meetodi abil lahenduse lineaarvõrrandisüsteemile (SLE). Esitatakse üksikasjalik lahendus. Arvutamiseks valige muutujate arv ja võrrandite arv. Seejärel sisestage andmed lahtritesse ja klõpsake nuppu "Arvuta".
|
Numbri esitus:
Täisarvud ja/või harilikud murrudTäisarvud ja/või kümnendkohad
Kohtade arv pärast kümnendkoha eraldajat
×
Hoiatus
Kas kustutada kõik lahtrid?
Sule Kustuta
Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.
Gaussi meetod
Gaussi meetod on meetod üleminekuks algsest lineaarvõrrandisüsteemist (kasutades samaväärseid teisendusi) süsteemile, mida on lihtsam lahendada kui algset süsteemi.
Lineaarvõrrandisüsteemi samaväärsed teisendused on:
- kahe võrrandi vahetamine süsteemis,
- korrutades süsteemi mis tahes võrrandi nullist erineva reaalarvuga,
- ühele võrrandile lisades teise võrrandi, mis on korrutatud suvalise arvuga.
Mõelge lineaarsete võrrandite süsteemile:
| (1) |
Kirjutame süsteemi (1) maatriksi kujul:
| Ax=b | (2) |
  | (3) |
A- nimetatakse süsteemi koefitsientide maatriksiks, b- piirangute parem pool, x− leiduvate muutujate vektor. Laske järjestada ( A)=lk.
Ekvivalentteisendused ei muuda süsteemi koefitsiendimaatriksi ja laiendatud maatriksi auastet. Süsteemi lahenduste hulk ei muutu ka samaväärsete teisenduste korral. Gaussi meetodi olemus on koefitsientide maatriksi vähendamine A diagonaaliks või astmeliseks.
Koostame süsteemi laiendatud maatriksi:
Järgmises etapis lähtestame kõik elemendi all oleva veeru 2 elemendid. Kui see element on null, vahetatakse see rida selle rea all oleva reaga, mille teises veerus on nullist erinev element. Järgmisena lähtestage juhtelemendi all oleva 2. veeru kõik elemendid a 22. Selleks lisage read 3, ... m stringi 2 korrutisega − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22 vastavalt. Protseduuri jätkates saame diagonaalse või astmelise kujuga maatriksi. Olgu saadud laiendatud maatriksil järgmine kuju:
| (7) |
 |
Sest helinA=helin(A|b), siis lahenduste hulk (7) on ( n-p)− sort. Seega n-p tundmatuid saab suvaliselt valida. Ülejäänud tundmatud süsteemist (7) arvutatakse järgmiselt. Viimasest võrrandist, mida me väljendame x p läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse. Järgmisena väljendame eelviimasest võrrandist x p−1 läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse jne. Vaatame Gaussi meetodit konkreetsete näidete abil.
Näited lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil
Näide 1. Leidke Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus:
Tähistagem poolt a ij elemendid i-th rida ja j veerus.
aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -2/3, -1/2:
Maatrikssalvestuse tüüp: Ax=b, Kus
Tähistagem poolt a ij elemendid i-th rida ja j veerus.
Jätame välja elemendi all oleva maatriksi 1. veeru elemendid aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -1/5, -6/5:
Jagame maatriksi iga rea vastava juhtelemendiga (kui juhtiv element on olemas):
Kus x 3 , x
Asendades ülemised avaldised alumistega, saame lahenduse.
Seejärel saab vektorlahendust esitada järgmiselt:
 |
Kus x 3 , x 4 on suvalised reaalarvud.
Täna vaatleme Gaussi meetodit lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks. Mida need süsteemid endast kujutavad, saate lugeda eelmisest artiklist, mis oli pühendatud samade SLAE-de lahendamisele Crameri meetodil. Gaussi meetod ei nõua spetsiifilisi teadmisi, vaja on vaid tähelepanelikkust ja järjepidevust. Hoolimata asjaolust, et matemaatilisest seisukohast piisab selle rakendamiseks koolikoolitusest, on õpilastel selle meetodi valdamine sageli keeruline. Selles artiklis püüame neid nulli viia!
Gaussi meetod
M Gaussi meetod– kõige universaalsem meetod SLAE-de lahendamiseks (erandiks on väga suured süsteemid). Erinevalt varem käsitletust sobib see mitte ainult süsteemidele, millel on üks lahendus, vaid ka süsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi. Siin on kolm võimalikku varianti.
- Süsteemil on unikaalne lahendus (süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga);
- Süsteemil on lõpmatu arv lahendusi;
- Lahendusi pole, süsteem ei ühildu.
Nii et meil on süsteem (olgu sellel üks lahendus) ja me lahendame selle Gaussi meetodil. Kuidas see töötab?
Gaussi meetod koosneb kahest etapist - edasi ja pöördvõrdeline.
Gaussi meetodi otselöök
Kõigepealt kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi. Selleks lisage põhimaatriksisse vabade liikmete veerg.
Gaussi meetodi kogu olemus on viia see maatriks elementaarsete teisenduste kaudu astmelisele (või, nagu öeldakse ka kolmnurksele) vormile. Sellisel kujul peaksid maatriksi põhidiagonaali all (või üle selle) olema ainult nullid.
Mida sa saad teha:
- Saate maatriksi ridu ümber paigutada;
- Kui maatriksis on võrdsed (või proportsionaalsed) read, saate need kõik peale ühe eemaldada;
- Saate stringi korrutada või jagada mis tahes arvuga (v.a null);
- Nullread eemaldatakse;
- Saate stringile lisada stringi, mis on korrutatud mõne muu arvuga kui null.
Vastupidine Gaussi meetod
Pärast süsteemi sellisel viisil muutmist on üks tundmatu Xn saab teada ja te leiate kõik ülejäänud tundmatud vastupidises järjekorras, asendades süsteemi võrrandites juba teadaolevad x-id kuni esimeseni.
Kui Internet on alati käepärast, saate võrrandisüsteemi lahendada Gaussi meetodil võrgus. Peate lihtsalt sisestama koefitsiendid veebikalkulaatorisse. Kuid peate tunnistama, et palju meeldivam on mõista, et näidet ei lahendanud mitte arvutiprogramm, vaid teie enda aju.
Näide võrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil
Ja nüüd - näide, et kõik saaks selgeks ja arusaadavaks. Olgu ette nähtud lineaarvõrrandi süsteem ja see tuleb lahendada Gaussi meetodi abil:
Kõigepealt kirjutame laiendatud maatriksi:
Nüüd teeme teisendusi. Peame meeles, et peame saavutama maatriksi kolmnurkse välimuse. Korrutame 1. rea (3-ga). Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisage 2. rida esimesele ja saate:
Seejärel korrutage 3. rida väärtusega (-1). Liidame 3. rea teisele:
Korrutame 1. rea (6-ga). Korrutame 2. rea (13-ga). Lisame 2. rea esimesele:
Voila - süsteem viiakse sobivasse vormi. Jääb üle leida tundmatud:
Selle näite süsteemil on ainulaadne lahendus. Lõpmatu arvu lahendustega süsteemide lahendamist käsitleme eraldi artiklis. Võib-olla ei tea te alguses, kust maatriksi teisendamist alustada, kuid pärast asjakohast harjutamist saate sellest aru ja murrate Gaussi meetodil SLAE-sid nagu pähkleid. Ja kui satute ootamatult kokku SLA-ga, mis osutub liiga kõvaks pähkliks, võtke ühendust meie autoritega! saate jättes päringu kirjakontorisse. Koos lahendame kõik probleemid!
Olgu antud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem, mis tuleb lahendada (leia sellised tundmatute xi väärtused, mis muudavad süsteemi iga võrrandi võrduseks).
Teame, et lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem võib:
1) Sul pole lahendusi (olgu mitteliigeste).
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Leidke üks lahendus.
Nagu mäletame, ei sobi Crameri reegel ja maatriksmeetod juhtudel, kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi või see on ebaühtlane. Gaussi meetod – võimsaim ja mitmekülgsem tööriist mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks, mis igal juhul viib meid vastuseni! Meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul samamoodi. Kui Crameri ja maatriksmeetodid nõuavad determinantide tundmist, siis Gaussi meetodi rakendamiseks on vaja teadmisi vaid aritmeetiliste tehtetest, mis teeb selle kättesaadavaks ka algklassiõpilastele.
Laiendatud maatriksiteisendused ( see on süsteemi maatriks - maatriks, mis koosneb ainult tundmatute koefitsientidest, millele lisandub vabade terminite veerg) Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid Gaussi meetodil:
1) Koos troki maatriksid Saab ümber paigutama mõnes kohas.
2) kui maatriksis esinevad (või on olemas) proportsionaalsed (erijuhtumina – identsed) read, siis tuleks kustutada maatriksist kõik need read peale ühe.
3) kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada.
4) maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes arvule peale nulli.
5) maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist.
Gaussi meetodis ei muuda elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust.
Gaussi meetod koosneb kahest etapist:
- "Otsene liikumine" - elementaarsete teisenduste abil viige lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi laiendatud maatriks "kolmnurksele" sammukujule: põhidiagonaali all asuvad laiendatud maatriksi elemendid on võrdsed nulliga (ülevalt alla liikumine). Näiteks sellele tüübile:
Selleks tehke järgmised sammud.
1) Vaatleme lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esimest võrrandit ja koefitsient x 1 jaoks on võrdne K-ga. Teine, kolmas jne. teisendame võrrandid järgmiselt: jagame iga võrrandi (tundmatute koefitsiendid, sealhulgas vabad liikmed) igas võrrandis tundmatu x 1 koefitsiendiga ja korrutame K-ga. Pärast seda lahutame esimese teisest võrrandist ( tundmatute ja vabade terminite koefitsiendid). Teise võrrandi x 1 korral saame koefitsiendi 0. Kolmandast teisendatud võrrandist lahutame esimese võrrandi, kuni kõigi võrrandite, välja arvatud esimese, tundmatu x 1 korral, on koefitsient 0.
2) Liigume edasi järgmise võrrandi juurde. Olgu see teine võrrand ja koefitsient x 2 jaoks, mis on võrdne M-ga. Jätkame kõigi “madalamate” võrranditega, nagu eespool kirjeldatud. Seega on tundmatu x 2 "all" kõigis võrrandites nullid.
3) Liigu järgmise võrrandi juurde ja nii edasi, kuni jääb alles viimane tundmatu ja teisendatud vaba liige.
- Gaussi meetodi "tagurpidi liikumine" seisneb lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse leidmises ("alt-üles" liikumine). Viimasest "madalamast" võrrandist saame ühe esimese lahendi - tundmatu x n. Selleks lahendame elementaarvõrrandi A * x n = B. Ülaltoodud näites x 3 = 4. Asendame leitud väärtuse “ülemise” järgmise võrrandiga ja lahendame selle järgmise tundmatu suhtes. Näiteks x 2 – 4 = 1, s.o. x 2 = 5. Ja nii edasi, kuni leiame kõik tundmatud.
Näide.
Lahendame lineaarsete võrrandite süsteemi Gaussi meetodi abil, nagu mõned autorid soovitavad:
Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:
Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Teeme ära:
1 samm
. Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine rida ei muutunud.
Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, saavad teha lisatoimingu: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).
2. samm . Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.
3. samm . Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Muudeti ka kolmanda rea märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.
4. samm . Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna 2-ga.
5. samm . Kolmas rida jagati 3-ga.
Märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame alla midagi sellist nagu (0 0 11 |23) ja vastavalt 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, siis võime suure tõenäosusega väita, et algõpetuse ajal tehti viga. teisendusi.
Teeme vastupidi, näidete kujundamisel ei kirjutata sageli ümber süsteemi, vaid võrrandid on "võetud otse antud maatriksist". Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Selles näites oli tulemuseks kingitus:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, seega x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Vastus:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Lahendame sama süsteemi pakutud algoritmi kasutades. Saame
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Jagage teine võrrand 5-ga ja kolmas 3-ga.
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Korrutades teise ja kolmanda võrrandi 4-ga, saame:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast võrrandist, saame:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Jagage kolmas võrrand 0,64-ga:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Korrutage kolmas võrrand 0,4-ga
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Lahutades teise kolmandast võrrandist, saame "astmelise" laiendatud maatriksi:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Seega, kuna arvutuste käigus kogunes viga, saame x 3 = 0,96 ehk ligikaudu 1.
x 2 = 3 ja x 1 = –1.
Selliselt lahendades ei lähe te arvutustes kunagi segadusse ja hoolimata arvutusvigadest saate tulemuse.
See lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamise meetod on kergesti programmeeritav ega võta arvesse tundmatute koefitsientide eripärasid, sest praktikas (majanduslikes ja tehnilistes arvutustes) tuleb tegeleda mittetäisarvuliste koefitsientidega.
Soovin teile edu! Kohtumiseni klassis! Juhendaja.
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.