Kolmnurk on üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid, millega saame tuttavaks põhikoolis. Iga õpilane seisab silmitsi küsimusega, kuidas leida geomeetriatundides kolmnurga pindala. Niisiis, milliseid tunnuseid antud figuuri pindala leidmisel saab tuvastada? Selles artiklis vaatleme sellise ülesande täitmiseks vajalikke põhivalemeid ja analüüsime ka kolmnurkade tüüpe.
Kolmnurkade tüübid
Kolmnurga pindala leiate täiesti erineval viisil, kuna geomeetrias on rohkem kui ühte tüüpi kolme nurka sisaldavaid kujundeid. Need tüübid hõlmavad järgmist:
- nüri.
- Võrdkülgne (õige).
- Täisnurkne kolmnurk.
- Võrdhaarsed.
Vaatame lähemalt iga olemasolevat kolmnurga tüüpi.
Seda geomeetrilist kujundit peetakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel kõige tavalisemaks. Kui tekib vajadus suvalise kolmnurga joonistamiseks, tuleb see valik appi.
Nagu nimigi ütleb, on terava kolmnurga kõik nurgad teravad ja kokku moodustavad 180°.
Seda tüüpi kolmnurgad on samuti väga levinud, kuid on mõnevõrra vähem levinud kui terav kolmnurk. Näiteks kolmnurkade lahendamisel (st selle mitmed küljed ja nurgad on teada ning ülejäänud elemendid on vaja leida) tuleb mõnikord kindlaks teha, kas nurk on nüri või mitte. Koosinus on negatiivne arv.
B, ühe nurga väärtus ületab 90°, seega võivad ülejäänud kaks nurka olla väikesed (näiteks 15° või isegi 3°).
Seda tüüpi kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma mõningaid nüansse, millest räägime hiljem.
Korrapärased ja võrdhaarsed kolmnurgad
Tavaline hulknurk on kujund, mis sisaldab n nurka ja mille küljed ja nurgad on kõik võrdsed. Selline on tavaline kolmnurk. Kuna kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°, siis on kõik kolm nurka 60°.
Korrapärast kolmnurka nimetatakse selle omaduse tõttu ka võrdkülgseks kujundiks.
Samuti väärib märkimist, et korrapärasesse kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringi ja selle ümber saab kirjeldada ainult ühte ringi ning nende keskpunktid asuvad samas punktis.
Lisaks võrdkülgsele tüübile võib eristada ka sellest veidi erinevat võrdhaarset kolmnurka. Sellises kolmnurgas on kaks külge ja kaks nurka üksteisega võrdsed ning kolmas külg (millega külgnevad võrdsed nurgad) on alus.
Joonisel on kujutatud võrdhaarne kolmnurk DEF, mille nurgad D ja F on võrdsed ning DF on alus.
Täisnurkne kolmnurk
Täisnurkset kolmnurka nimetatakse selliseks, kuna selle üks nurk on täisnurkne, see tähendab 90°. Ülejäänud kaks nurka annavad kokku 90°.
Sellise kolmnurga suurim külg, mis asub 90° nurga vastas, on hüpotenuus, ülejäänud kaks külge on jalad. Seda tüüpi kolmnurga puhul kehtib Pythagorase teoreem:
Jalgade pikkuste ruutude summa võrdub hüpotenuusi pikkuse ruuduga.
Joonisel on kujutatud täisnurkne kolmnurk BAC hüpotenuusiga AC ning jalgadega AB ja BC.
Täisnurgaga kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle jalgade arvväärtusi.
Liigume edasi antud joonise pindala leidmise valemite juurde.
Põhivalemid ala leidmiseks
Geomeetrias on kaks valemit, mis sobivad enamiku kolmnurkade pindala leidmiseks, nimelt teravate, nürikujuliste, korrapäraste ja võrdhaarsete kolmnurkade jaoks. Vaatame igaüht neist.
Külje ja kõrguse järgi
See valem on universaalne vaadeldava joonise ala leidmiseks. Selleks piisab, kui on teada külje pikkus ja sellele tõmmatud kõrguse pikkus. Valem ise (pool aluse ja kõrguse korrutisest) on järgmine:
kus A on antud kolmnurga külg ja H on kolmnurga kõrgus.
Näiteks terava kolmnurga ACB pindala leidmiseks peate korrutama selle külje AB kõrgusega CD ja jagama saadud väärtuse kahega.
Kuid sel viisil pole kolmnurga pindala alati lihtne leida. Näiteks selleks, et kasutada seda valemit nüri kolmnurga jaoks, peate selle ühte külge pikendama ja alles seejärel joonistama sellele kõrguse.
Praktikas kasutatakse seda valemit sagedamini kui teisi.
Mõlemal küljel ja nurgas
See valem, nagu ka eelmine, sobib enamiku kolmnurkade jaoks ja on oma tähenduses kolmnurga pindala ja kõrguse järgi leidmise valemi tagajärg. See tähendab, et kõnealust valemit saab eelmisest hõlpsasti tuletada. Selle koostis näeb välja selline:
S = ½*sinO*A*B,
kus A ja B on kolmnurga küljed ning O on nurk külgede A ja B vahel.
Meenutagem, et nurga siinust saab vaadelda spetsiaalses tabelis, mis on nime saanud väljapaistva nõukogude matemaatiku V. M. Bradise järgi.
Liigume nüüd edasi muude valemite juurde, mis sobivad ainult erakordset tüüpi kolmnurkade jaoks.
Täisnurkse kolmnurga pindala
Lisaks universaalsele valemile, mis hõlmab kolmnurga kõrguse leidmise vajadust, saab selle jalgadelt leida täisnurka sisaldava kolmnurga pindala.
Seega on täisnurka sisaldava kolmnurga pindala pool selle jalgade korrutisest või:
kus a ja b on täisnurkse kolmnurga jalad.
Regulaarne kolmnurk
Seda tüüpi geomeetriline kujund erineb selle poolest, et selle pindala võib leida ainult selle ühe külje näidatud väärtusega (kuna tavalise kolmnurga kõik küljed on võrdsed). Niisiis, kui seisate silmitsi ülesandega "leida kolmnurga pindala, kui küljed on võrdsed", peate kasutama järgmist valemit:
S = A 2 *√3/4,
kus A on võrdkülgse kolmnurga külg.
Heroni valem
Viimane võimalus kolmnurga pindala leidmiseks on Heroni valem. Selle kasutamiseks peate teadma joonise kolme külje pikkust. Heroni valem näeb välja selline:
S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),
kus a, b ja c on antud kolmnurga küljed.
Mõnikord antakse probleem: "tavalise kolmnurga pindala on leida selle külje pikkus." Sel juhul peame tavalise kolmnurga pindala leidmiseks kasutama meile juba tuttavat valemit ja tuletama sellest külje (või selle ruudu) väärtuse:
A 2 = 4S / √3.
Eksamiülesanded
Matemaatikas on GIA ülesannetes palju valemeid. Lisaks on üsna sageli vaja ruudulisel paberil leida kolmnurga pindala.
Sel juhul on kõige mugavam joonistada joonise ühele küljele kõrgus, määrata selle pikkus lahtritest ja kasutada ala leidmiseks universaalset valemit:
Nii et pärast artiklis esitatud valemite uurimist pole teil probleeme mingisuguse kolmnurga pindala leidmisega.
Nagu te oma kooli geomeetria õppekavast mäletate, on kolmnurk kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis on ühendatud kolme punktiga, mis ei asu samal sirgel. Kolmnurk moodustab kolm nurka, sellest ka joonise nimi. Määratlus võib olla erinev. Kolmnurka võib nimetada ka kolme nurgaga hulknurgaks, ka vastus on õige. Kolmnurgad jagatakse vastavalt võrdsete külgede arvule ja nurkade suurusele joonistel. Seega eristatakse kolmnurki vastavalt võrdhaarsete, võrdkülgsete ja skaaladena, samuti ristkülikukujuliste, teravate ja nürikujulistena.
Kolmnurga pindala arvutamiseks on palju valemeid. Valige, kuidas leida kolmnurga pindala, st. Millist valemit kasutada, on teie otsustada. Kuid väärib märkimist ainult mõned tähistused, mida kasutatakse paljudes kolmnurga pindala arvutamise valemites. Niisiis, pidage meeles:
S on kolmnurga pindala,
a, b, c on kolmnurga küljed,
h on kolmnurga kõrgus,
R on piiritletud ringi raadius,
p on poolperimeeter.
Siin on põhilised tähistused, mis võivad teile kasulikud olla, kui olete oma geomeetriakursuse täielikult unustanud. Allpool on kolmnurga tundmatu ja salapärase ala arvutamiseks kõige arusaadavad ja lihtsamad võimalused. See pole keeruline ja on kasulik nii teie majapidamisvajaduste jaoks kui ka teie laste abistamiseks. Pidagem meeles, kuidas kolmnurga pindala võimalikult lihtsalt arvutada:
Meie puhul on kolmnurga pindala: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 ruutcm. Pidage meeles, et pindala mõõdetakse ruutsentimeetrites (ruutmeetrites).
Täisnurkne kolmnurk ja selle pindala.
Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on võrdne 90 kraadiga (seega nimetatakse seda parempoolseks). Täisnurga moodustavad kaks risti asetsevat sirget (kolmnurga puhul kaks risti asetsevat lõiku). Täisnurkses kolmnurgas saab olla ainult üks täisnurk, sest... mis tahes kolmnurga kõigi nurkade summa on 180 kraadi. Selgub, et ülejäänud 90 kraadi peaksid jagama veel 2 nurka, näiteks 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Niisiis, peate peamise meeles pidama, jääb üle vaid välja selgitada, kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala. Kujutagem ette, et meie ees on selline täisnurkne kolmnurk ja me peame leidma selle pindala S.
1. Lihtsaim viis täisnurkse kolmnurga pindala määramiseks arvutatakse järgmise valemi abil:
Meie puhul on täisnurkse kolmnurga pindala: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 ruutsentimeetrit.
Põhimõtteliselt pole enam vaja kolmnurga pindala muul viisil kontrollida, sest Ainult see on kasulik ja aitab igapäevaelus. Kuid on ka võimalusi kolmnurga pindala mõõtmiseks teravnurkade kaudu.
2. Teiste arvutusmeetodite jaoks peab teil olema koosinuste, siinuste ja puutujate tabel. Otsustage ise, siin on mõned võimalused täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, mida saab veel kasutada:
Otsustasime kasutada esimest valemit ja mõningate pisiplekkidega (joonistasime vihikusse ja kasutasime vana joonlauda ja nurgamõõturit), kuid saime õige arvutuse:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Saime järgmised tulemused: 3,6=3,7, kuid lahtrite nihkumist arvesse võttes võime selle nüansi andeks anda.
Võrdhaarne kolmnurk ja selle pindala.
Kui seisate silmitsi võrdhaarse kolmnurga valemi arvutamise ülesandega, on lihtsaim viis kasutada kolmnurga pindala põhivalemit ja seda, mida peetakse klassikaliseks.
Kuid kõigepealt, enne võrdhaarse kolmnurga pindala leidmist, uurime välja, mis kujuga see on. Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on ühepikkused. Neid kahte külge nimetatakse külgmiseks, kolmandaks aluseks. Ärge ajage segi võrdhaarset kolmnurka võrdkülgse kolmnurgaga, s.t. korrapärane kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Sellises kolmnurgas ei ole erilisi kalduvusi nurkadele, õigemini nende suurusele. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on aga võrdsed, kuid erinevad võrdsete külgede vahelisest nurgast. Niisiis, teate juba esimest ja peamist valemit; jääb üle välja selgitada, millised muud valemid võrdhaarse kolmnurga pindala määramiseks on teada:
Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest sirgjoonest, mis ühenduvad punktides, mis ei asu samal sirgel. Joonte ühenduspunktid on kolmnurga tipud, mis on tähistatud ladina tähtedega (näiteks A, B, C). Kolmnurga ühendavaid sirgeid nimetatakse lõikudeks, mida tavaliselt tähistatakse ka ladina tähtedega. Eristatakse järgmist tüüpi kolmnurki:
- Ristkülikukujuline.
- nüri.
- Äge nurgeline.
- Mitmekülgne.
- Võrdkülgne.
- Võrdhaarsed.
Üldvalemid kolmnurga pindala arvutamiseks
Kolmnurga pindala valem, mis põhineb pikkusel ja kõrgusel
S = a*h/2,
kus a on kolmnurga selle külje pikkus, mille pindala tuleb leida, h on aluse kõrguse pikkus.
Heroni valem
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kus √ on ruutjuur, p on kolmnurga poolperimeeter, a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus. Kolmnurga poolperimeetrit saab arvutada valemiga p=(a+b+c)/2.
Kolmnurga pindala valem, mis põhineb lõigu nurgal ja pikkusel
S = (a*b*sin(α))/2,
kus b,c on kolmnurga külgede pikkus, sin(α) on kahe külje vahelise nurga siinus.
Kolmnurga pindala valem, millel on sisse kirjutatud ringi raadius ja kolm külge
S=p*r,
kus p on selle kolmnurga poolperimeeter, mille pindala tuleb leida, r on sellesse kolmnurka kantud ringi raadius.
Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja selle ümber piiratud ringi raadiusel
S= (a*b*c)/4*R,
kus a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus, R on kolmnurga ümber oleva ringi raadius.
Kolmnurga pindala valem, kasutades punktide Descartes'i koordinaate
Punktide ristkoordinaadid on koordinaadid xOy süsteemis, kus x on abstsiss, y on ordinaat. Descartes'i koordinaatsüsteem xOy tasapinnal on vastastikku risti asetsevad arvteljed Ox ja Oy, millel on ühine alguspunktis O. Kui selle tasapinna punktide koordinaadid on antud kujul A(x1, y1), B(x2, y2 ) ja C(x3, y3 ), siis saate kolmnurga pindala arvutada järgmise valemi abil, mis saadakse kahe vektori vektorkorrutisest.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kus || tähistab moodulit.
Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala
Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgal võib olla ainult üks selline nurk.
Valem täisnurkse kolmnurga kahe külje pindala jaoks
S = a*b/2,
kus a,b on jalgade pikkus. Jalad on täisnurgaga külgnevad küljed.
Täisnurkse kolmnurga pindala valem, mis põhineb hüpotenuusil ja teravnurgal
S = a*b*sin(α)/2,
kus a, b on kolmnurga jalad ja sin(α) on nurga siinus, mille all sirged a, b ristuvad.
Täisnurkse kolmnurga pindala valem külje ja vastasnurga põhjal
S = a*b/2*tg(β),
kus a, b on kolmnurga jalad, tan(β) on nurga puutuja, mille all jalad a, b on ühendatud.
Kuidas arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala
Võrdhaarne kolmnurk on selline, millel on kaks võrdset külge. Neid külgi nimetatakse külgedeks ja teine külg on alus. Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada ühte järgmistest valemitest.
Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamise põhivalem
S=h*c/2,
kus c on kolmnurga alus, h on aluse külge langetatud kolmnurga kõrgus.
Võrdhaarse kolmnurga valem külje ja aluse põhjal
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kus c on kolmnurga alus, a on võrdhaarse kolmnurga ühe külje suurus.
Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala
Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:
S = (√3*a*a)/4,
kus a on võrdkülgse kolmnurga külje pikkus.
Ülaltoodud valemid võimaldavad teil arvutada kolmnurga vajaliku pindala. Oluline on meeles pidada, et kolmnurkade pindala arvutamiseks peate arvestama kolmnurga tüüpi ja olemasolevate andmetega, mida saab arvutamiseks kasutada.
Kolmnurga pindala arvutamiseks leiate Internetist üle 10 valemi, millest paljusid kasutatakse ülesannetes kolmnurga teadaolevate külgede ja nurkadega. Siiski on mitmeid keerulisi näiteid, kus vastavalt määramise tingimustele on teada ainult kolmnurga üks külg ja nurgad või piiritletud või sisse kirjutatud ringi raadius ja veel üks tunnus. Sellistel juhtudel ei saa lihtsat valemit rakendada.
Allpool toodud valemid võimaldavad teil lahendada 95 protsenti probleemidest, mille puhul peate leidma kolmnurga pindala.
Jätkame ühisala valemite kaalumisega.
Kaaluge alloleval joonisel näidatud kolmnurka
Joonisel ja allpool valemites tutvustatakse kõigi selle tunnuste klassikalisi tähistusi.
a,b,c – kolmnurga küljed,
R – piiritletud ringi raadius,
r – sisse kirjutatud ringi raadius,
h[b],h[a],h[c] – külgede a,b,c järgi joonistatud kõrgused.
alfa, beeta, hamma – tippude lähedased nurgad.
Kolmnurga pindala põhivalemid
1. Pindala on võrdne poolega kolmnurga külje ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisest. Valemite keeles saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt
Seega, kui külg ja kõrgus on teada, leiab iga õpilane ala üles.
Muide, sellest valemist võib tuletada ühe kasuliku kõrgustevahelise seose
2. Kui võtta arvesse, et kolmnurga kõrgust läbi külgneva külje väljendatakse sõltuvusega
Siis järgnevad esimesele pindalavalemile teised sama tüüpi
Vaadake hoolikalt valemeid - neid on lihtne meeles pidada, kuna töö hõlmab kahte külge ja nende vahelist nurka. Kui tähistame õigesti kolmnurga küljed ja nurgad (nagu ülaltoodud joonisel), saame kaks külge a, b ja nurk on ühendatud kolmandaga Koos (hamma).
3. Kolmnurga nurkade puhul on seos tõene
Sõltuvus võimaldab teil arvutustes kasutada kolmnurga pindala jaoks järgmisi valemeid:
Selle sõltuvuse näited on äärmiselt haruldased, kuid peate meeles pidama, et selline valem on olemas.
4. Kui külg ja kaks külgnevat nurka on teada, siis leitakse pindala valemiga
5. Pindala valem külgnevate nurkade külg- ja kotangensina on järgmine
Indeksite ümberkorraldamisega saate teiste osapoolte jaoks sõltuvusi.
6. Allolevat pindala valemit kasutatakse ülesannetes, kui kolmnurga tipud on tasapinnal määratud koordinaatidega. Sel juhul on pindala võrdne poolega mooduli determinandist.
7. Heroni valem kasutatakse näidetes kolmnurga teadaolevate külgedega.
Kõigepealt leidke kolmnurga poolperimeeter
Ja seejärel määrake ala valemi abil
või
Seda kasutatakse üsna sageli kalkulaatoriprogrammide koodides.
8. Kui kolmnurga kõik kõrgused on teada, siis määratakse pindala valemiga
Kalkulaatoriga on keeruline arvutada, kuid MathCad, Mathematica, Maple paketis on pindala “aeg kaks”.
9. Järgmised valemid kasutavad sissekirjutatud ja piiritletud ringide teadaolevaid raadiusi. 
Eelkõige, kui kolmnurga raadius ja küljed või selle ümbermõõt on teada, arvutatakse pindala valemi järgi
10. Näidetes, kus on antud piiritletud ringi küljed ja raadius või läbimõõt, leitakse pindala valemiga
11. Järgmine valem määrab kolmnurga pindala kolmnurga külje ja nurkade järgi.
Ja lõpuks - erijuhud:
Täisnurkse kolmnurga pindala mille jalad a ja b on võrdsed poolega nende korrutisest
Võrdkülgse (korrapärase) kolmnurga pindala valem=
= üks neljandik külje ruudu ja kolme juure korrutisest.
Piirkonna mõiste
Mis tahes geomeetrilise kujundi, eriti kolmnurga pindala mõiste seostatakse sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletagem meelde geomeetriliste kujundite pindalade mõiste kaht põhiomadust.
Atribuut 1: Kui geomeetrilised kujundid on võrdsed, on ka nende pindalad võrdsed.
Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate arvude pindalade summaga.
Vaatame näidet.
Näide 1
Ilmselgelt on kolmnurga üks külgedest ristküliku diagonaal, mille ühe külje pikkus on $5$ (kuna seal on $5$ lahtrid) ja teine on $6$ (kuna seal on $6$ lahtreid). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on
Siis on kolmnurga pindala võrdne
Vastus: 15 dollarit.
Järgmisena kaalume mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse, Heroni valemi ja võrdkülgse kolmnurga pindala abil.
Kuidas leida kolmnurga pindala selle kõrguse ja aluse abil
1. teoreem
Kolmnurga pindala võib leida poole külje pikkuse ja selle külje kõrguse korrutisest.
Matemaatiliselt näeb see välja selline
$S=\frac(1)(2)αh$
kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.
Tõestus.
Vaatleme kolmnurka $ABC$, milles $AC=α$. Sellele küljele tõmmatakse kõrgus $BH$, mis võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.
Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Seetõttu on kolmnurga nõutav pindala omaduse 2 järgi võrdne
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teoreem on tõestatud.
Näide 2
Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega
Selle kolmnurga alus on võrdne $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ ruudud). Kõrgus on ka 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 järgi
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5 $
Vastus: 40,5 dollarit.
Heroni valem
2. teoreem
Kui meile on antud kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, siis selle pindala leitakse järgmiselt
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.
Tõestus.
Mõelge järgmisele joonisele:
Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$
Kolmnurgast $CBH$ on Pythagorase teoreemi järgi meil
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Nendest kahest seosest saame võrdsuse
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, mis tähendab
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Teoreemi 1 järgi saame
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$