Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Kas arvate, et ühtse riigieksamini on veel aega ja jõuate ettevalmistuseks? Võib-olla on see nii. Kuid igal juhul, mida varem õpilane ettevalmistust alustab, seda edukamalt ta eksamid sooritab. Täna otsustasime pühendada artikli logaritmilistele ebavõrdsustele. See on üks ülesannetest, mis tähendab võimalust saada lisakrediiti.
Kas sa juba tead, mis on logaritm? Loodame väga. Kuid isegi kui teil pole sellele küsimusele vastust, pole see probleem. Mõista, mis on logaritm, on väga lihtne.
Miks 4? Peate tõstma arvu 3 selle astmeni, et saada 81. Kui olete põhimõttest aru saanud, võite jätkata keerukamate arvutustega.
Elasite paar aastat tagasi läbi ebavõrdsuse. Ja sellest ajast saadik olete nendega matemaatikas pidevalt kokku puutunud. Kui teil on probleeme ebavõrdsuse lahendamisega, vaadake vastavat jaotist.
Nüüd, kui oleme mõistetega individuaalselt tuttavaks saanud, jätkame nende üldistamist.
Lihtsaim logaritmiline võrratus.
Lihtsamad logaritmilised võrratused ei piirdu selle näitega, on veel kolm, ainult erinevate märkidega. Miks see vajalik on? Et paremini aru saada, kuidas lahendada ebavõrdsust logaritmidega. Toome nüüd sobivama näite, mis on siiski üsna lihtne, jätame keerulised logaritmilised võrratused hilisemaks.
Kuidas seda lahendada? Kõik algab ODZ-st. Tasub sellest rohkem teada saada, kui tahad ebavõrdsust alati lihtsalt lahendada.
Mis on ODZ? ODZ logaritmiliste võrratuste jaoks
Lühend tähistab ala vastuvõetavad väärtused. See sõnastus tuleb sageli ette ühtse riigieksami ülesannetes. ODZ on teile kasulik mitte ainult juhul logaritmilised võrratused.
Vaadake uuesti ülaltoodud näidet. Vaatleme selle põhjal ODZ-d, et saaksite põhimõttest aru ja logaritmiliste ebavõrdsuste lahendamine ei tekita küsimusi. Logaritmi definitsioonist järeldub, et 2x+4 peab olema suurem kui null. Meie puhul tähendab see järgmist.
See arv peab definitsiooni järgi olema positiivne. Lahendage ülaltoodud ebavõrdsus. Seda saab teha isegi suuliselt, siin on selge, et X ei saa olla väiksem kui 2. Ebavõrdsuse lahendus on vastuvõetavate väärtuste vahemiku määratlus.
Liigume nüüd lihtsaima logaritmilise võrratuse lahendamise juurde.
Jätame kõrvale logaritmid ise mõlemalt poolt ebavõrdsuselt. Mis meile sellest tulenevalt üle jääb? Lihtne ebavõrdsus.
Seda pole raske lahendada. X peab olema suurem kui -0,5. Nüüd ühendame kaks saadud väärtust süsteemi. Seega
See on vaadeldava logaritmilise ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemik.
Miks meil ODZ-d üldse vaja on? See on võimalus ebaõiged ja võimatud vastused välja rookida. Kui vastus ei jää vastuvõetavate väärtuste vahemikku, siis pole vastusel lihtsalt mõtet. Seda tasub pikka aega meeles pidada, kuna ühtsel riigieksamil on sageli vaja otsida ODZ-d ja see ei puuduta ainult logaritmilist ebavõrdsust.
Algoritm logaritmilise võrratuse lahendamiseks
Lahendus koosneb mitmest etapist. Esiteks peate leidma vastuvõetavate väärtuste vahemiku. ODZ-l on kaks tähendust, me arutasime seda eespool. Järgmiseks peate lahendama ebavõrdsuse. Lahendusmeetodid on järgmised:
- kordaja asendamise meetod;
- lagunemine;
- ratsionaliseerimise meetod.
Olenevalt olukorrast tasub kasutada ühte ülaltoodud meetoditest. Liigume otse lahenduse juurde. Toome välja kõige populaarsema meetodi, mis sobib ühtse riigieksami ülesannete lahendamiseks peaaegu kõigil juhtudel. Järgmisena vaatleme lagunemismeetodit. See võib aidata, kui puutute kokku eriti keerulise ebavõrdsusega. Niisiis, algoritm logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks.
Näited lahendustest :
Pole asjata, et me võtsime täpselt selle ebavõrdsuse! Pöörake tähelepanu alusele. Pidage meeles: kui see rohkem kui üks, märk jääb vastuvõetavate väärtuste vahemiku leidmisel samaks; V muidu peate ebavõrdsuse märki muutma.
Selle tulemusena saame ebavõrdsuse:
Nüüd esitleme vasak pool võrrandi kujule, võrdne nulliga. Märgi "vähem kui" asemel paneme "võrdub" ja lahendame võrrandi. Seega leiame ODZ-i. Loodame, et selle lahendusega lihtne võrrand sul ei teki probleeme. Vastused on -4 ja -2. See pole veel kõik. Peate need punktid graafikul kuvama, asetades "+" ja "-". Mida tuleb selleks teha? Asendage intervallide arvud avaldisesse. Kui väärtused on positiivsed, paneme sinna "+".
Vastus: x ei saa olla suurem kui -4 ja väiksem kui -2.
Oleme leidnud ainult vasaku poole vastuvõetavate väärtuste vahemiku. See on palju lihtsam. Vastus: -2. Lõikame mõlemad saadud alad.
Ja alles nüüd hakkame tegelema ebavõrdsusega.
Lihtsustame seda nii palju kui võimalik, et seda oleks lihtsam lahendada.
Rakenda uuesti intervalli meetod otsuses. Jätame arvutused vahele; eelmisest näitest on kõik juba selge. Vastus.
Kuid see meetod sobib, kui logaritmilise ebavõrdsuse alused on samad.
Lahendus logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused erinevatel põhjustel eeldab esialgset vähendamist ühele alusele. Järgmisena kasutage ülalkirjeldatud meetodit. Kuid on rohkemgi raske juhtum. Vaatleme ühte kõige enam keerulised liigid logaritmilised võrratused.
Logaritmilised võrratused muutuva alusega
Kuidas selliste tunnustega ebavõrdsust lahendada? Jah, ja selliseid inimesi võib leida ühtsest riigieksamist. Ebavõrdsuse lahendamine järgmisel viisil tuleb teile samuti kasuks haridusprotsess. Vaatame probleemi üksikasjalikult. Heidame teooria kõrvale ja läheme otse praktika juurde. Logaritmiliste võrratuste lahendamiseks piisab, kui end näitega korra kurssi viia.
Esitatud vormi logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja taandada parempoolne külg sama alusega logaritmiks. Põhimõte sarnaneb samaväärsete üleminekutega. Selle tulemusena näeb ebavõrdsus välja järgmisel viisil.
Tegelikult jääb üle vaid luua logaritmideta ebavõrdsuste süsteem. Kasutades ratsionaliseerimismeetodit, liigume edasi samaväärne süsteem ebavõrdsused Reeglist endast saate aru, kui asendate sobivad väärtused ja jälgite nende muutusi. Süsteemis on järgmised ebavõrdsused.
Võrratuste lahendamisel ratsionaliseerimismeetodi kasutamisel tuleb meeles pidada järgmist: üks tuleb lahutada alusest, x lahutatakse logaritmi definitsiooni järgi mõlemalt võrratuse poolelt (paremal vasakult), kaks avaldist korrutatakse ja seatud algse märgi alla nulli suhtes.
Edasine lahendus viiakse läbi intervallmeetodil, siin on kõik lihtne. Teil on oluline mõista lahendusmeetodite erinevusi, siis hakkab kõik lihtsalt sujuma.
Logaritmilises ebavõrdsuses on palju nüansse. Lihtsamaid neist on üsna lihtne lahendada. Kuidas saate neid kõiki probleemideta lahendada? Olete juba saanud kõik vastused selles artiklis. Nüüd ootab teid ees pikk praktika. Pidevalt harjutage kõige rohkem lahendamist erinevaid ülesandeid eksami osana ja saate kõrgeim punktisumma. Edu teile raskes ülesandes!
KASUTAMISE LOGARITMILINE EBAVÄRDSUS
Setšin Mihhail Aleksandrovitš
Väike Akadeemia reaalained Kasahstani Vabariigi õpilastele "Iskatel"
MBOU "Sovetskaja 1. Keskkool", 11. klass, linn. Nõukogude Sovetski rajoon
Gunko Ljudmila Dmitrievna, MBOU õpetaja"Nõukogude 1. Keskkool"
Sovetski rajoon
Töö eesmärk: logaritmiliste võrratuste C3 lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, tuvastamine huvitavaid fakte logaritm
Õppeaine:
3) Õppige lahendama spetsiifilisi logaritmilisi võrratusi C3 mittestandardsete meetoditega.
Tulemused:
Sisu
Sissejuhatus……………………………………………………………………………………….4
1. peatükk. Probleemi ajalugu……………………………………………………………5
2. peatükk. Logaritmiliste võrratuste kogum …………………………… 7
2.1. Ekvivalentsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod…………… 7
2.2. Ratsionaliseerimismeetod………………………………………………………………… 15
2.3. Mittestandardne asendus………………................................................ .............. 22
2.4. Ülesanded püünistega…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Järeldus………………………………………………………………………………… 30
Kirjandus……………………………………………………………………. 31
Sissejuhatus
Käin 11. klassis ja plaanin astuda ülikooli, kus erialane teema on matemaatika. Seetõttu töötan ma palju C-osas esitatud probleemidega. Ülesandes C3 pean lahendama mittestandardse võrratuse või ebavõrdsuse süsteemi, mis on tavaliselt seotud logaritmidega. Eksamiks valmistudes seisin silmitsi C3-s pakutavate meetodite ja võtete nappuse probleemiga eksami logaritmilise ebavõrdsuse lahendamiseks. Meetodid, mida uuritakse kooli õppekava sellel teemal ei anna alust C3 ülesannete lahendamiseks. Matemaatikaõpetaja soovitas mul tema juhendamisel iseseisvalt C3 ülesannetega tegeleda. Lisaks huvitas mind küsimus: kas me kohtame oma elus logaritme?
Seda silmas pidades valiti teema:
"Logaritmiline ebavõrdsus ühtsel riigieksamil"
Töö eesmärk: C3 probleemide lahendamise mehhanismi uurimine mittestandardsete meetoditega, tuvastades huvitavaid fakte logaritmi kohta.
Õppeaine:
1) Leia vajalikku teavet O mittestandardsed meetodid Lahendused logaritmilistele ebavõrdsustele.
2) Leia Lisainformatsioon logaritmide kohta.
3) Õppige otsustama konkreetsed ülesanded C3, kasutades mittestandardseid meetodeid.
Tulemused:
Praktiline tähtsus seisneb C3 ülesannete lahendamise aparaadi laiendamises. See materjal saab kasutada mõnes tunnis, klubides ja matemaatika valikainetes.
Projekti toode valmib kogumik “C3 Logathmic Equalities with Solutions”.
Peatükk 1. Taust
Kogu 16. sajandi jooksul kasvas umbkaudsete arvutuste arv kiiresti, eelkõige astronoomias. Instrumentide täiustamine, planeetide liikumise uurimine ja muud tööd nõudsid kolossaalseid, mõnikord mitmeaastaseid arvutusi. Astronoomia oli ohus tõeline oht täitmata arvutustesse uppuma. Raskusi tekkis teistes valdkondades, näiteks kindlustusäris oli vaja tabeleid liitintress Sest erinevaid tähendusi protsenti. Peamine raskus esindatud korrutamine, jagamine mitmekohalised numbrid, eriti trigonomeetrilised suurused.
Logaritmide avastamine põhines progressioonide omadustel, mis olid hästi teada 16. sajandi lõpuks. Liikmetevahelisest sidemest geomeetriline progressioon q, q2, q3, ... ja aritmeetiline progressioon nende näitajad on 1, 2, 3,... Archimedes rääkis oma “Psalmitis”. Teiseks eelduseks oli astme mõiste laiendamine negatiivsele ja murdosa näitajad. Paljud autorid on juhtinud tähelepanu sellele, et korrutamine, jagamine, astendamine ja juure eraldamine geomeetrilises progressioonis vastavad aritmeetikas – samas järjekorras – liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.
Siin oli logaritmi kui eksponendi idee.
Logaritmiõpetuse kujunemisloos on läbitud mitu etappi.
1. etapp
Logaritmid leiutas hiljemalt 1594. aastal iseseisvalt Šoti parun Napier (1550-1617) ja kümme aastat hiljem Šveitsi mehaanik Bürgi (1552-1632). Mõlemad tahtsid anda uue mugava vahendi aritmeetilised arvutused, kuigi nad lähenesid sellele ülesandele erinevalt. Napier väljendas kinemaatiliselt logaritmilist funktsiooni ja sisenes sellega uus piirkond funktsiooni teooria. Bürgi jäi diskreetsete edasiminekute arvestamise aluseks. Kummagi logaritmi definitsioon ei sarnane aga tänapäevasele. Mõiste "logaritm" (logaritm) kuulub Napierile. See tekkis kombinatsioonist Kreeka sõnad: logod - "seos" ja ariqmo - "arv", mis tähendas "suhete arvu". Algselt kasutas Napier teistsugust terminit: numeri mākslīged - "kunstlikud numbrid", mitte numeri naturalts - "looduslikud numbrid".
1615. aastal tegi Napier vestluses Londoni Greshi kolledži matemaatikaprofessori Henry Briggsiga (1561–1631) ühe logaritmiks nulli ja kümnendi logaritmiks 100, mis on sama. asi, lihtsalt 1. Nii nad ilmusid kümnendlogaritmid ja trükiti esimesed logaritmitabelid. Hiljem täiendas Briggsi tabeleid Hollandi raamatumüüja ja matemaatikaentusiast Adrian Flaccus (1600-1667). Napier ja Briggs, kuigi nad jõudsid logaritmidele varem kui kõik teised, avaldasid oma tabelid teistest hiljem – 1620. aastal. Märke log ja Log võttis 1624. aastal kasutusele I. Kepler. Mõiste “looduslik logaritm” võttis kasutusele Mengoli 1659. aastal ja järgnes N. Mercator 1668. aastal ning Londoni õpetaja John Speidel avaldas “Uued logaritmid” nime all arvude naturaallogaritmide tabelid 1–1000.
Esimesed logaritmitabelid ilmusid vene keeles 1703. aastal. Kuid kõigis logaritmilistes tabelites esines arvutusvigu. Esimesed vigadeta tabelid avaldati 1857. aastal Berliinis, neid töötles saksa matemaatik K. Bremiker (1804-1877).
2. etapp
Logaritmiteooria edasiarendamine on seotud laiema rakendamisega analüütiline geomeetria ja lõpmatu väikearvutus. Selleks ajaks seose loomine kvadratuuri vahel võrdkülgne hüperbool Ja naturaallogaritm. Selle perioodi logaritmide teooria on seotud mitmete matemaatikute nimedega.
Saksa matemaatik, astronoom ja insener Nikolaus Mercator essees
"Logaritmotehnika" (1668) annab seeria, mis annab ln(x+1) laienemise
x astmed:
See väljend vastab täpselt tema mõttekäigule, kuigi loomulikult ei kasutanud ta märke d, ..., vaid kohmakamat sümboolikat. Logaritmirea avastamisega muutus logaritmide arvutamise tehnika: neid hakati määrama lõpmatute seeriate abil. Tema loengutes" Elementaarne matemaatika Koos kõrgeim punkt nägemus", loeti aastatel 1907-1908, tegi F. Klein ettepaneku kasutada valemit logaritmiteooria koostamise lähtepunktina.
3. etapp
Definitsioon logaritmiline funktsioon pöördfunktsioonina
eksponentsiaalne, logaritm eksponendina sellel alusel
ei sõnastatud kohe. Leonhard Euleri (1707-1783) essee
"Sissejuhatus lõpmatute väikeste suuruste analüüsimisse" (1748) aitas edasi
logaritmiliste funktsioonide teooria arendamine. Seega
Logaritmide esmakordsest kasutuselevõtust on möödunud 134 aastat
(arvestatakse aastast 1614), enne kui matemaatikud jõudsid definitsioonini
logaritmi mõiste, mis on nüüd koolikursuse aluseks.
Peatükk 2. Logaritmiliste võrratuste kogu
2.1. Ekvivalentsiirded ja üldistatud intervallide meetod.
Samaväärsed üleminekud
, kui a > 1
, kui 0 <
а <
1
Üldine meetod intervallidega
See meetod kõige universaalsem peaaegu igat tüüpi ebavõrdsuse lahendamisel. Lahendusskeem näeb välja selline:
1. Vii ebavõrdsus vormile, kus asub vasakpoolsel küljel olev funktsioon 
, ja paremal 0.
2. Leidke funktsiooni domeen .
3. Leia funktsiooni nullpunktid , st lahendage võrrand 
(ja võrrandi lahendamine on tavaliselt lihtsam kui ebavõrdsuse lahendamine).
4. Joonistage numbrireale funktsiooni definitsioonipiirkond ja nullid.
5. Määrata funktsiooni märgid saadud intervallidel.
6. Valige intervallid, kus funktsioon võtab vajalikud väärtused, ja kirjutage vastus üles.
Näide 1.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit
kus
Nende väärtuste puhul on kõik logaritmiliste märkide all olevad avaldised positiivsed.
Vastus:
Näide 2.
Lahendus:
1 tee . ADL määratakse ebavõrdsusega x> 3. Selliste jaoks logaritmide võtmine x baasis 10 saame
Viimase ebavõrdsuse saaks lahendada laiendamisreeglite rakendamisega, s.o. tegurite võrdlemine nulliga. Siiski sisse sel juhul funktsiooni konstantse märgi intervalle on lihtne määrata
seetõttu saab rakendada intervallmeetodit.
Funktsioon f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ on pidev kell x> 3 ja kaob punktides x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Seega määrame funktsiooni konstantse märgi intervallid f(x):
Vastus:
2. meetod . Rakendagem intervallmeetodi ideid otse algsele ebavõrdsusele.
Selleks tuletage meelde, et väljendid a b- a c ja ( a - 1)(b- 1) neil on üks märk. Siis meie ebavõrdsus juures x> 3 võrdub ebavõrdsusega
või
Viimane võrratus lahendatakse intervallmeetodil
Vastus:
Näide 3.
Lahendus:
Rakendame intervallmeetodit
Vastus:
Näide 4.
Lahendus:
Alates 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 päriselt x, See
Teise võrratuse lahendamiseks kasutame intervallmeetodit
Esimeses ebavõrdsuses teeme asendus
siis jõuame ebavõrdsuseni 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, mis rahuldavad ebavõrdsust -0,5< y < 1.
Kust, sest
saame ebavõrdsuse
mis viiakse läbi, kui x, mille jaoks 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Nüüd, võttes arvesse süsteemi teise ebavõrdsuse lahendust, saame lõpuks tulemuse
Vastus:
Näide 5.
Lahendus:
Ebavõrdsus on samaväärne süsteemide kogumiga
või
Kasutame intervallmeetodit või
Vastus:
Näide 6.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga
Lase
Siis y > 0,
ja esimene ebavõrdsus
süsteem võtab vormi
või lahtivolditav
ruuttrinoom tegurite järgi,
Intervallmeetodi rakendamine viimasele ebavõrdsusele,
näeme, et selle lahendused vastavad tingimusele y> 0 on kõik y > 4.
Seega on algne ebavõrdsus samaväärne süsteemiga:
Seega on ebavõrdsuse lahendused kõik
2.2. Ratsionaliseerimise meetod.
Varem meetod ebavõrdsuse ratsionaliseerimist ei lahendatud, seda ei teatud. See on "uus kaasaegne" tõhus meetod eksponentsiaalse ja logaritmilise ebavõrdsuse lahendused" (tsitaat S.I. Kolesnikova raamatust)
Ja isegi kui õpetaja teda tundis, tekkis hirm – kas ta tundis teda? Ühtse riigieksami ekspert, miks nad seda koolis ei anna? Oli olukordi, kus õpetaja ütles õpilasele: "Kust sa selle said - 2."
Nüüd propageeritakse seda meetodit kõikjal. Ja ekspertide jaoks on olemas juhised, mis on selle meetodiga seotud, ja „Kõige täielikumates väljaannetes tüüpilised valikud..." Lahendus C3 kasutab seda meetodit.
IMELINE MEETOD!
Teistes allikates
Kui a >1 ja b >1, siis log a b >0 ja (a -1)(b -1)>0;
Kui a >1 ja 0 kui 0<a<1 и b
>1, siis logi a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
kui 0<a<1 и 00 ja (a -1) (b -1)>0. Läbiviidud arutluskäik on lihtne, kuid lihtsustab oluliselt logaritmiliste võrratuste lahendamist. Näide 4.
log x (x 2–3)<0
Lahendus:
Näide 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x) Lahendus: Näide 6.
Selle ebavõrdsuse lahendamiseks kirjutame nimetaja asemel (x-1-1)(x-1) ja lugeja asemel korrutise (x-1)(x-3-9 + x). Näide 7.
Näide 8.
2.3. Mittestandardne asendus. Näide 1.
Näide 2.
Näide 3.
Näide 4.
Näide 5.
Näide 6.
Näide 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Teeme asenduseks y=3 x -1; siis see ebavõrdsus võtab kuju Log 4 log 0,25 Sest log 0,25 Teeme asenduseks t =log 4 y ja saame võrratuse t 2 -2t +≥0, mille lahendiks on intervallid - Seega, et leida y väärtusi, on meil kahe lihtsa ebavõrdsuse hulk Seetõttu on algne võrratus võrdne kahe eksponentsiaalse ebavõrdsuse hulgaga, Selle hulga esimese võrratuse lahendus on intervall 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Näide 8.
Lahendus:
Ebavõrdsus võrdub süsteemiga ODZ-d määratleva teise ebavõrdsuse lahendus on nende kogum x,
mille jaoks x > 0.
Esimese ebavõrdsuse lahendamiseks teeme asendus Siis saame ebavõrdsuse või Viimase võrratuse lahenduste hulk leitakse meetodiga intervallid: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, saame või Palju neid x, mis rahuldavad viimase ebavõrdsuse kuulub ODZ-le ( x> 0), on seega süsteemi lahendus, ja siit ka algne ebavõrdsus. Vastus: 2.4. Ülesanded lõksudega. Näide 1.
Lahendus. Ebavõrdsuse ODZ on kõik x, mis vastavad tingimusele 0 Näide 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Vastus. (0; 0,5)U.
Vastus :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , siis kirjutame viimase võrratuse ümber 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Selle komplekti lahenduseks on intervallid 0<у≤2 и 8≤у<+.
see tähendab agregaadid 
. Seega on algne võrratus täidetud kõigi x väärtuste korral intervallidest 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Seetõttu on kõik x vahemikus 0
Järeldus
C3-ülesannete lahendamiseks konkreetsete meetodite leidmine erinevatest õppeallikatest ei olnud lihtne. Tehtud töö käigus sain uurida mittestandardseid meetodeid keeruliste logaritmiliste võrratuste lahendamiseks. Need on: ekvivalentsed üleminekud ja üldistatud intervallide meetod, ratsionaliseerimise meetod , mittestandardne asendus , ülesanded lõksudega ODZ-l. Need meetodid ei sisaldu kooli õppekavas.
Erinevaid meetodeid kasutades lahendasin 27 ühtse riigieksami C osas pakutud ebavõrdsust, nimelt C3. Need ebavõrdsused lahendustega meetodite abil moodustasid aluse kogumikule “C3 Logathmic Inequalities with Solutions”, millest sai minu tegevuse projektitoode. Projekti alguses püstitatud hüpotees leidis kinnitust: C3 probleeme saab tõhusalt lahendada, kui tead neid meetodeid.
Lisaks avastasin huvitavaid fakte logaritmide kohta. Minu jaoks oli huvitav seda teha. Minu projektitooted on kasulikud nii õpilastele kui ka õpetajatele.
Järeldused:
Seega on projekti eesmärk täidetud ja probleem lahendatud. Ja ma sain kõige täielikuma ja mitmekesisema kogemuse projektitegevusest kõigis tööetappides. Projekti kallal töötades oli minu peamine arendav mõju vaimsele pädevusele, loogiliste vaimsete operatsioonidega seotud tegevustele, loomingulise pädevuse, isikliku algatuse, vastutustunde, visaduse ja aktiivsuse arendamisele.
Edu tagatis uurimisprojekti loomisel Sain: olulise koolikogemuse, oskuse hankida infot erinevatest allikatest, kontrollida selle usaldusväärsust ja tähtsuse järgi järjestada.
Lisaks vahetutele ainealastele teadmistele matemaatikas täiendasin oma praktilisi oskusi informaatika vallas, sain uusi teadmisi ja kogemusi psühholoogia vallas, sõlmisin kontakte klassikaaslastega, õppisin koostööd tegema täiskasvanutega. Projekti tegevuste käigus arendati organisatsioonilisi, intellektuaalseid ja kommunikatiivseid üldhariduslikke oskusi.
Kirjandus
1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Ühe muutujaga võrratuste süsteemid (standardülesanded C3).
2. Malkova A. G. Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks.
3. Samarova S. S. Logaritmiliste võrratuste lahendamine.
4. Matemaatika. Koolitustööde kogumik toimetanud A.L. Semenov ja I.V. Jaštšenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Logaritmiliste võrratuste hulgast uuritakse eraldi muutuva alusega võrratusi. Neid lahendatakse spetsiaalse valemi abil, mida koolis mingil põhjusel harva õpetatakse:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Märkeruudu “∨” asemel võite panna mis tahes ebavõrdsuse märgi: rohkem või vähem. Peaasi, et mõlemas ebavõrdsuses on märgid samad.
Nii saame lahti logaritmidest ja taandame ülesande ratsionaalseks ebavõrdsuks. Viimast on palju lihtsam lahendada, kuid logaritmidest loobumisel võivad tekkida lisajuured. Nende ära lõikamiseks piisab, kui leida vastuvõetavate väärtuste vahemik. Kui olete logaritmi ODZ-i unustanud, soovitan tungivalt seda korrata - vaadake "Mis on logaritm".
Kõik vastuvõetavate väärtuste vahemikuga seonduv tuleb eraldi välja kirjutada ja lahendada:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Need neli ebavõrdsust moodustavad süsteemi ja peavad olema täidetud üheaegselt. Kui vastuvõetavate väärtuste vahemik on leitud, jääb üle vaid ristuda ratsionaalse ebavõrdsuse lahendusega - ja vastus on valmis.
Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:
Kõigepealt kirjutame välja logaritmi ODZ:
Esimesed kaks ebavõrdsust rahuldatakse automaatselt, kuid viimane tuleb välja kirjutada. Kuna arvu ruut on null siis ja ainult siis, kui arv ise on null, on meil:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Selgub, et logaritmi ODZ on kõik arvud peale nulli: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nüüd lahendame peamise ebavõrdsuse:
Teeme ülemineku logaritmiliselt ebavõrdsusest ratsionaalsele. Algsel ebavõrdsusel on märk "vähem kui", mis tähendab, et saadud ebavõrdsusel peab olema ka märk "vähem kui". Meil on:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.
Selle avaldise nullid on: x = 3; x = −3; x = 0. Veelgi enam, x = 0 on teise kordsuse juur, mis tähendab, et selle läbimisel funktsiooni märk ei muutu. Meil on:
Saame x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). See komplekt sisaldub täielikult logaritmi ODZ-s, mis tähendab, et see on vastus.
Logaritmiliste võrratuste teisendamine
Sageli erineb algne ebavõrdsus ülaltoodust. Seda saab hõlpsasti parandada, kasutades standardseid logaritmidega töötamise reegleid – vt “Logaritmide põhiomadused”. Nimelt:
- Iga arvu saab esitada logaritmina antud baasiga;
- Samade alustega logaritmide summa ja erinevuse saab asendada ühe logaritmiga.
Eraldi tahaksin teile meelde tuletada vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Kuna algses võrratuses võib olla mitu logaritmi, tuleb leida neist igaühe VA. Seega on logaritmiliste võrratuste lahendamise üldine skeem järgmine:
- Leia iga võrratuse hulka kuuluva logaritmi VA;
- Vähendage ebavõrdsus standardseks, kasutades logaritmide liitmise ja lahutamise valemeid;
- Lahendage saadud võrratus ülaltoodud skeemi abil.
Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:
Leiame esimese logaritmi määratluspiirkonna (DO):
Lahendame intervallmeetodil. Lugeja nullide leidmine:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Siis - nimetaja nullid:
x − 1 = 0;
x = 1.
Koordinaatide noolele märgime nullid ja märgid:
Saame x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Teisel logaritmil on sama VA. Kui te ei usu, võite seda kontrollida. Nüüd teisendame teise logaritmi nii, et alus on kaks:
Nagu näete, on logaritmi baasis ja ees olevad kolmed vähendatud. Saime kaks logaritmi sama alusega. Liidame need kokku:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Saime standardse logaritmilise ebavõrdsuse. Logaritmidest vabaneme valemi abil. Kuna algne ebavõrdsus sisaldab märki "vähem kui", peab ka sellest tulenev ratsionaalne avaldis olema väiksem kui null. Meil on:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Meil on kaks komplekti:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Vastuskandidaat: x ∈ (−1; 3).
Jääb üle need komplektid ristuda - saame tõelise vastuse:
Oleme huvitatud hulkade ristumiskohast, seega valime intervallid, mis on mõlemal noolel varjutatud. Saame x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - kõik punktid on punkteeritud.
Tihtipeale tekib logaritmiliste võrratuste lahendamisel ülesandeid muutuva logaritmi baasiga. Seega vormi ebavõrdsus
on tavaline kooli ebavõrdsus. Selle lahendamiseks kasutatakse reeglina üleminekut samaväärsele süsteemikomplektile:
Selle meetodi puuduseks on vajadus lahendada seitse ebavõrdsust, arvestamata kahte süsteemi ja ühte üldkogumit. Juba nende ruutfunktsioonide puhul võib populatsiooni lahendamine võtta palju aega.
Selle standardse ebavõrdsuse lahendamiseks on võimalik välja pakkuda alternatiivne, vähem aeganõudev viis. Selleks võtame arvesse järgmist teoreemi.
Teoreem 1. Olgu hulgal X pidev kasvav funktsioon. Siis sellel hulgal langeb funktsiooni juurdekasvu märk kokku argumendi juurdekasvu märgiga, s.t. , Kus 
.
Märkus: kui pidevalt kahanev funktsioon hulgal X, siis .
Tuleme tagasi ebavõrdsuse juurde. Liigume edasi kümnendlogaritmi juurde (saate liikuda suvalisele, mille konstantne alus on suurem kui üks).
Nüüd saate teoreemi kasutada, pannes tähele funktsioonide juurdekasvu lugejas 
ja nimetajas. Nii et see on tõsi
Selle tulemusel väheneb vastuseni viivate arvutuste arv ligikaudu poole võrra, mis säästab mitte ainult aega, vaid võimaldab teil ka potentsiaalselt teha vähem aritmeetilisi ja hooletusvigu.
Näide 1.
Võrreldes (1) leiame 
, 
, .
Liikudes punktiga (2) on meil:
Näide 2.
Võrreldes (1) leiame , , .
Liikudes punktiga (2) on meil:
Näide 3.
Kuna ebavõrdsuse vasak pool on kasvav funktsioon nagu ja 
, siis on vastuseid palju.
Paljusid näiteid, milles 1. teemat saab rakendada, saab hõlpsasti laiendada, võttes arvesse 2. teemat.
Lase võtteplatsile X funktsioonid , , , on defineeritud ning sellel hulgal märgid ja langevad kokku, st. , siis on see aus.
Näide 4.
Näide 5.
Standardkäsitlusega lahendatakse näide järgmise skeemi järgi: korrutis on väiksem kui null, kui tegurid on erineva märgiga. Need. vaadeldakse kahe ebavõrdsuse süsteemi kogumit, milles, nagu alguses märgitud, jaguneb iga ebavõrdsus veel seitsmeks.
Kui võtame arvesse teoreemi 2, saab iga teguri, võttes arvesse (2), asendada mõne teise funktsiooniga, millel on selles näites sama märk O.D.Z.
Funktsiooni juurdekasvu asendamise meetod argumendi juurdekasvuga, võttes arvesse teoreemi 2, osutub standardsete C3 ühtse riigieksami ülesannete lahendamisel väga mugavaks.
Näide 6.
Näide 7.
. Tähistame . Saame
. Pange tähele, et asendamine tähendab: . Tulles tagasi võrrandi juurde, saame
.
Näide 8.
Meie kasutatavates teoreemides funktsioonide klassidele piiranguid ei ole. Käesolevas artiklis rakendati teoreeme näiteks logaritmiliste võrratuste lahendamisel. Järgmised mitmed näited demonstreerivad teist tüüpi ebavõrdsuse lahendamise meetodi lubadust.