ARVUJÄRJANDUSED VI
§ l48. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa
Seni oleme summadest rääkides alati eeldanud, et nendes summades olevate liikmete arv on lõplik (näiteks 2, 15, 1000 jne). Kuid mõne probleemi lahendamisel (eriti kõrgem matemaatika) tuleb tegeleda summadega lõpmatu arv tingimustele
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Mis need summad on? A-prioor lõpmatu arvu terminite summa a 1 , a 2 , ..., a n , ... nimetatakse summa S piiriks n esiteks P numbrid millal P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Limiit (2) võib loomulikult eksisteerida, aga ei pruugi olla. Sellest lähtuvalt ütlevad nad, et summa (1) on olemas või ei eksisteeri.
Kuidas saame teada, kas summa (1) on igal konkreetsel juhul olemas? Ühine otsus See probleem läheb meie programmi ulatusest palju kaugemale. Siiski on üks oluline erijuhtum, mida peame nüüd kaaluma. Räägime lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summeerimisest.
Lase a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. See tähendab, et | q |< 1. Сумма первых P selle progresseerumise tingimused on võrdsed
Põhiteoreemidest piiride kohta muutujad(vt § 136) saame:
Kuid 1 = 1, a qn = 0. Seega
Seega on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa võrdne selle progressiooni esimese liikmega jagatud ühega miinus selle progressiooni nimetaja.
1) Geomeetrilise progressiooni 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... summa on võrdne
ja geomeetrilise progressiooni summa on 12; -6; 3; - 3/2, ... võrdne
2) Lihtne perioodiline murd 0,454545 ... teisendada tavaliseks.
Selle probleemi lahendamiseks kujutame ette antud murdosa lõpmatu summana:
Selle võrrandi parem pool on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, mille esimene liige on võrdne 45/100 ja nimetaja on 1/100. Sellepärast
Kirjeldatud meetodit kasutades saab seda ka saada üldreegel perioodiliste lihtmurdude teisendamine tavalisteks (vt II peatükk, § 38):
Lihtsa perioodilise murru teisendamiseks tavaliseks murruks peate tegema järgmisel viisil: pane lugejasse kümnendmurru periood ja nimetajasse - üheksast koosnev arv, mis võetakse nii mitu korda, kui kümnendmurru perioodis on numbreid.
3) Teisenda segatud perioodiline murd 0,58333 .... harilikuks murruks.
Kujutame seda murdosa lõpmatu summana:
Selle võrrandi paremal küljel moodustavad kõik liikmed alates 3/1000-st lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, mille esimene liige on võrdne 3/1000 ja nimetaja on 1/10. Sellepärast
Kirjeldatud meetodit kasutades saab üldreegli segatud perioodiliste murdude muutmiseks harilikeks murdudeks (vt II peatükk, § 38). Me ei esita seda siin meelega. Seda tülikat reeglit pole vaja meeles pidada. Palju kasulikum on teada, et iga segatud perioodilist murdu saab esitada lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni ja teatud arvu summana. Ja valem
lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa jaoks peate muidugi meeles pidama.
Harjutusena soovitame lisaks allpool toodud probleemidele nr 995-1000 veel kord pöörduda ülesande nr 301 § 38 poole.
Harjutused
995. Mida nimetatakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaks?
996. Leidke lõpmatult kahanevate geomeetriliste progressioonide summad:
997. Millistel väärtustel X progresseerumist
kas see väheneb lõpmatult? Leidke sellise progressi summa.
998.V Võrdkülgne kolmnurk küljega A sisse kirjutatud, ühendades selle külgede keskpunktid uus kolmnurk; sellesse kolmnurka kirjutatakse samamoodi uus kolmnurk ja nii edasi lõpmatuseni.
a) kõigi nende kolmnurkade ümbermõõtude summa;
b) nende pindalade summa.
999. Ruut küljega A sisse kirjutatud, ühendades selle külgede keskpunktid uus väljak; ruut kantakse sellesse ruutu samamoodi ja nii edasi lõpmatuseni. Leidke kõigi nende ruutude ümbermõõtude summa ja nende pindalade summa.
1000. Koostage lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nii, et selle summa on võrdne 25/4 ja liikmete ruutude summa on võrdne 625/24.
Geomeetriline progressioon- See numbrijada, mille esimene liige erineb nullist ja iga järgnev liige on võrdne eelmise liikmega, mis on korrutatud sama mitte võrdne nulliga number.
Geomeetrilise progressiooni mõiste
Geomeetriline progressioon on tähistatud b1,b2,b3, …, bn, ….
Geomeetrilise vea mis tahes liikme suhe selle eelmise liikmega on võrdne sama arvuga, st b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. See tuleneb otseselt määratlusest aritmeetiline progressioon. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks. Tavaliselt tähistatakse geomeetrilise progressiooni nimetajat tähega q.
Lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa |q| jaoks<1
Üks geomeetrilise progressiooni määramise viise on määrata selle esimene liige b1 ja geomeetrilise vea q nimetaja. Näiteks b1=4, q=-2. Need kaks tingimust määravad geomeetrilise progressiooni 4, -8, 16, -32, ….
Kui q>0 (q ei võrdu 1-ga), siis progresseerumine on monotoonne jada. Näiteks jada 2, 4,8,16,32, ... on monotoonselt kasvav jada (b1=2, q=2).
Kui geomeetrilise vea nimetaja on q=1, siis on kõik geomeetrilise progressiooni liikmed omavahel võrdsed. Sellistel juhtudel öeldakse, et progresseerumine on konstantne jada.
Selleks, et arvujada (bn) oleks geomeetriline progressioon, on vajalik, et iga selle liige, alates teisest, oleks naaberliikmete geomeetriline keskmine. See tähendab, et on vaja täita järgmine võrrand
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), iga n>0 korral, kus n kuulub naturaalarvude hulka N.
Nüüd paneme (Xn) - geomeetriline progressioon. Geomeetrilise progressiooni q nimetaja ja |q|∞).
Kui nüüd tähistada S-ga lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa, siis rakendub järgmine valem:
S=x1/(1-q).
Vaatame lihtsat näidet:
Leidke lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
S leidmiseks kasutame lõpmatu aritmeetilise progressiooni summa valemit. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Vaatleme teatud seeriat.
7 28 112 448 1792...
On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. See tähendab, et see seeria on edasiminek.
Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada. peamine omadus mis tähendab, et järgmine arv saadakse eelmisest, korrutades mingi kindla arvuga. Seda väljendatakse järgmise valemiga.
a z +1 =a z ·q, kus z on valitud elemendi number.
Vastavalt sellele z ∈ N.
Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:
0.25 0.125 0.0625...
Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:
Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.
Järelikult peate seeria järgmise arvu väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.
Selle progressiooni määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.
Sordid
Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:
- Kui nii 1 kui ka q rohkem kui üks, siis selline jada suureneb igaga järgmine element geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.
Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.
Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:
3 6 12 24 48 ...
- Kui |q| on väiksem kui üks, st sellega korrutamine on samaväärne jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.
Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.
Seejärel saab numbrijada kirjutada järgmiselt:
6 2 2/3 ... - mis tahes element rohkem elementi, järgides seda 3 korda.
- Vahelduv märk. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Näide: a 1 = -3, q = -2 – mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.
Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:
3, 6, -12, 24,...
Valemid
Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:
- Z-termini valem. Võimaldab arvutada elemendi kindla numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.
Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja lugeda progressiooni neljas element.
Lahendus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Esimeste elementide summa, mille kogus on võrdne z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.
Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega ei ole q võrdne 1-ga.
Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduvate arvude jada.
Geomeetrilise progressiooni summa, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S5.
Lahendus:S 5 = 22 - arvutamine valemi abil.
- Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.
Lahendus:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Mõned omadused:
- Iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus töötab iga jaoksz, siis antud numbriseeria- geomeetriline progressioon:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Samuti leitakse mis tahes arvu ruut geomeetrilises progressioonis, lisades antud jada mis tahes kahe teise arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kust- nende numbrite vaheline kaugus.
- Elemendiderinevad q-süks kord.
- Ka progressiooni elementide logaritmid moodustavad progressiooni, kuid aritmeetilise, see tähendab, et igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.
Mõnede klassikaliste probleemide näited
Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, võivad abiks olla näited 9. klassi lahendustega.
- Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.
Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teistega, kasutades nimetajat.
Seegaa 3 = q 2 · a 1
Asendamiselq= 4
- Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6.
Lahendus:Selleks leidke lihtsalt esimene element q ja asendage see valemiga.
a 3 = q· a 2 , seega,q= 2
a 2 = q · a 1,Sellepärast a 1 = 3
S6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.
Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Rakenduse näide:
- Pangaklient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille alusel lisatakse kliendil igal aastal sellest 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?
Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. See tähendab, et aasta pärast investeeringut on kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06
Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000
See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahaliste vahendite hulga leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element 10 tuhandega ja nimetaja 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Näited summade arvutamise probleemidest:
Geomeetrilist progressiooni kasutatakse mitmesugustes ülesannetes. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:
a 1 = 4, q= 2, arvutaS 5.
Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.
Lahendus:
Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, st summa arvutamiseks on vaja elementi teadaa 1 ja nimetajaq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Samamoodi peate leidmaa 1 , teadesa 2 Jaq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Geomeetriline progressioon koos aritmeetilise progressiooniga on oluline arvurida, mida õpitakse kooli algebra kursusel 9. klassis. Selles artiklis vaatleme geomeetrilise progressiooni nimetajat ja seda, kuidas selle väärtus mõjutab selle omadusi.
Geomeetrilise progressiooni definitsioon
Esiteks anname selle numbrirea definitsiooni. Sellist seeriat nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks ratsionaalsed arvud, mis saadakse selle esimese elemendi järjestikuse korrutamisel konstantse arvuga, mida nimetatakse nimetajaks.
Näiteks arvud reas 3, 6, 12, 24, ... on geomeetriline progressioon, sest kui korrutada 3 (esimene element) 2-ga, saad 6. Kui korrutate 6 2-ga, saate 12 ja nii edasi.
Vaadeldava jada liikmeid tähistatakse tavaliselt sümboliga ai, kus i on täisarv, mis näitab elemendi arvu reas.
Ülaltoodud progressiooni definitsiooni saab matemaatilises keeles kirjutada järgmiselt: an = bn-1 * a1, kus b on nimetaja. Seda valemit on lihtne kontrollida: kui n = 1, siis b1-1 = 1 ja saame a1 = a1. Kui n = 2, siis an = b * a1 ja jõuame taas kõnealuse arvujada definitsioonini. Sarnast arutlust saab jätkata ka suurte n väärtuste puhul.
Geomeetrilise progressiooni nimetaja
Arv b määrab täielikult, mis tähemärki kogu numbriseeria saab. Nimetaja b võib olla positiivne, negatiivne või suurem või väiksem kui üks. Kõik ülaltoodud valikud viivad erinevate jadadeni:
- b > 1. Ratsionaalarvude jada kasvab. Näiteks 1, 2, 4, 8, ... Kui element a1 on negatiivne, siis kogu jada suureneb ainult absoluutväärtuses, kuid väheneb sõltuvalt numbrite märgist.
- b = 1. Sageli ei nimetata seda juhtumit progressiooniks, kuna on olemas tavaline identsete ratsionaalarvude jada. Näiteks -4, -4, -4.
Summa valem
Enne kui vaatame konkreetsed ülesanded kasutades vaadeldava progressitüübi nimetajat, tuleks anda oluline valem selle esimese n elemendi summaks. Valem näeb välja selline: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Selle avaldise saate ise hankida, kui arvestada progressi terminite rekursiivset jada. Pange tähele ka seda, et ülaltoodud valemis piisab summa leidmiseks ainult esimese elemendi ja nimetaja teadmisest suvaline number liikmed.
Lõpmatult kahanev järjestus
Eespool selgitati, mis see on. Nüüd, teades Sn valemit, rakendame seda sellele arvuseeriale. Kuna iga arv, mille moodul ei ületa 1, kui seda tõstetakse suured kraadid kipub nulli, st b∞ => 0, kui -1
Kuna erinevus (1 - b) on alati positiivne, olenemata nimetaja väärtusest, määrab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni S∞ summa märgi üheselt selle esimese elemendi a1 märk.
Vaatame nüüd mitmeid probleeme, kus näitame, kuidas omandatud teadmisi konkreetsete numbrite puhul rakendada.
Ülesanne nr 1. Tundmatute progressioonielementide ja summa arvutamine
Arvestades geomeetrilist progressiooni, on progressiooni nimetaja 2 ja selle esimene element on 3. Millega võrdub selle 7. ja 10. liige ning mis on selle seitsme algelemendi summa?
Probleemi tingimus on üsna lihtne ja eeldab otsene kasutamineülaltoodud valemid. Niisiis, elemendi arvu n arvutamiseks kasutame avaldist an = bn-1 * a1. 7. elemendi jaoks on meil: a7 = b6 * a1, asendades teadaolevad andmed, saame: a7 = 26 * 3 = 192. Teeme sama ka 10. liikmega: a10 = 29 * 3 = 1536.
Kasutame summa jaoks üldtuntud valemit ja määrame selle väärtuse seeria esimese 7 elemendi jaoks. Meil on: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Ülesanne nr 2. Progressi suvaliste elementide summa määramine
Laske -2 võrdne nimetaja geomeetriline progressioon bn-1 * 4, kus n on täisarv. On vaja kindlaks määrata selle seeria 5. kuni 10. elemendi summa, kaasa arvatud.
Tekitatud probleemi ei saa otse kasutades lahendada tuntud valemid. Seda saab lahendada kahel viisil erinevaid meetodeid. Teema esituse terviklikkuse huvides esitame mõlemad.
1. meetod. Idee on lihtne: peate arvutama esimeste liikmete kaks vastavat summat ja seejärel lahutama teise ühest. Arvutame väiksema summa: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nüüd arvutame suur summa: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Pange tähele, et sisse viimane väljend Kokku võeti vaid 4 terminit, kuna 5. on juba ülesande tingimuste kohaselt arvutatava summa sees. Lõpuks võtame erinevuse: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Meetod 2. Enne arvude asendamist ja loendamist saate saada valemi vaadeldava jada m ja n liikme vahelise summa kohta. Teeme täpselt sama, mis meetodis 1, ainult et kõigepealt töötame summa sümboolse esitusega. Meil on: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Saate tulemuseks oleva avaldisega asendada teadaolevad numbrid ja arvutada lõpptulemus: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Ülesanne nr 3. Mis on nimetaja?
Olgu a1 = 2, leidke geomeetrilise progressiooni nimetaja, eeldusel, et see lõpmatu hulk on 3 ja me teame, et see on kahanev arvude jada.
Ülesande tingimuste põhjal pole raske ära arvata, millist valemit selle lahendamiseks kasutada. Muidugi, progresseerumise summa lõpmatult väheneb. Meil on: S∞ = a1 / (1 - b). Kust me väljendame nimetaja: b = 1 - a1 / S∞. Jääb üle vaid asendada teadaolevad väärtused ja saada vajalik arv: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 või -0,333(3). Saame seda tulemust kvalitatiivselt kontrollida, kui meeles pidada, et seda tüüpi jada puhul ei tohiks moodul b ületada 1. Nagu näha, |-1 / 3|
Ülesanne nr 4. Numbrirea taastamine
Olgu antud arvurea 2 elementi, näiteks 5. võrdub 30 ja 10. 60. Nende andmete põhjal on vaja rekonstrueerida kogu seeria, teades, et see rahuldab geomeetrilise progressiooni omadusi.
Ülesande lahendamiseks tuleb esmalt kirjutada igale teadaolevale terminile vastav avaldis. Meil on: a5 = b4 * a1 ja a10 = b9 * a1. Nüüd jagage teine avaldis esimesega, saame: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Siit määrame nimetaja, võttes ülesande püstitusest teadaolevate terminite suhte viienda juure, b = 1,148698. Asendame saadud arvu ühe avaldisega tuntud element, saame: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Seega leidsime progressiooni bn nimetaja ja geomeetrilise progressiooni bn-1 * 17,2304966 = an, kus b = 1,148698.
Kus kasutatakse geomeetrilisi progressioone?
Kui selle arvurea praktilist rakendust ei oleks, taandataks selle uurimine puhtalt teoreetilisele huvile. Kuid selline rakendus on olemas.
Allpool on 3 kõige kuulsamat näidet:
- Zenoni paradoks, milles krapsakas Achilleus ei jõua aeglasele kilpkonnale järele, on lahendatud lõpmatult kahaneva arvujada kontseptsiooni abil.
- Kui asetate malelaua igale ruudule nisuterad nii, et 1. ruutu paned 1 tera, 2. - 2, 3. - 3 ja nii edasi, siis on teil vaja kõigi laua ruutude täitmiseks. 18446744073709551615 tera!
- Mängus "Tower of Hanoi" on ketaste liigutamiseks ühelt vardalt teisele vaja sooritada 2n - 1 toimingut, see tähendab, et nende arv kasvab eksponentsiaalselt koos kasutatavate ketaste arvuga n.
Esimene tase
Geomeetriline progressioon. Põhjalik juhend koos näidetega (2019)
Numbrite jada
Niisiis, istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul on neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, kumb teine ja nii kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:
Numbrite jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.
Näiteks meie jada jaoks:
Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu ka th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada n-ndaks liikmeks.
Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .
Meie puhul:
Levinumad progressioonitüübid on aritmeetiline ja geomeetriline. Selles teemas räägime teisest tüübist - geomeetriline progressioon.
Miks on vaja geomeetrilist progressiooni ja selle ajalugu?
Juba iidsetel aegadel tegeles kaubanduse praktiliste vajadustega Itaalia matemaatik munk Leonardo Pisast (tuntud paremini Fibonacci nime all). Munga ees seisis ülesanne kindlaks teha, mille abil väikseim summa kaalud, kas sa saad kaupa kaaluda? Fibonacci tõestab oma töödes, et selline kaalude süsteem on optimaalne: See on üks esimesi olukordi, kus inimesed pidid tegelema geomeetrilise progressiooniga, millest olete ilmselt juba kuulnud ja vähemalt üldine kontseptsioon. Kui olete teemast täielikult aru saanud, mõelge, miks selline süsteem on optimaalne?
Praegu, sisse elupraktika, geomeetriline progressioon avaldub raha paigutamisel panka, kui eelneva perioodi eest kontole kogunenud summalt koguneb intressisumma. Ehk kui panna raha hoiukassasse tähtajalisele hoiusele, siis aasta pärast suureneb hoius esialgse summa võrra, s.t. uus summa võrdub sissemakse korrutisega. Teisel aastal suureneb see summa võrra, s.o. sel ajal saadud summa korrutatakse uuesti jne. Sarnane olukordülesannetes kirjeldatud nn liitintress- protsent võetakse iga kord kontol olevast summast, võttes arvesse eelnevat intressi. Nendest ülesannetest räägime veidi hiljem.
Neid on palju rohkem lihtsad juhtumid, kus rakendatakse geomeetrilist progressiooni. Näiteks gripi levik: üks inimene nakatas teise inimese, nemad omakorda teise inimese ja seega on teiseks nakatumislaineks inimene ja nemad omakorda nakatas teise... ja nii edasi. .
Muide, finantspüramiid, seesama MMM, on lihtne ja kuiv arvutus, mis põhineb geomeetrilise progressiooni omadustel. Huvitav? Selgitame välja.
Geomeetriline progressioon.
Oletame, et meil on numbrijada:
Vastate kohe, et see on lihtne ja sellise jada nimi on aritmeetiline progressioon koos selle liikmete erinevusega. Kuidas see tundub:
Kui lahutate järgmisest arvust eelmise, näete seda iga kord, kui saate uus erinevus(jne), kuid järjestus on kindlasti olemas ja seda on lihtne märgata – igaüks järgmine number korda rohkem kui eelmine!
Seda tüüpi numbrijada nimetatakse geomeetriline progressioon ja on määratud.
Geomeetriline progressioon () on arvuline jada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.
Piirangud, et esimene liige ( ) ei ole võrdne ega ole juhuslik. Oletame, et neid pole ja esimene liige on ikkagi võrdne ja q on võrdne, hmm.. olgu, siis selgub:
Nõus, et see pole enam edasiminek.
Nagu te mõistate, saame samad tulemused, kui on mõni muu arv kui null, a. Nendel juhtudel progresseerumist lihtsalt ei toimu, kuna kogu numbriseeria on kas kõik nullid või üks arv ja kõik ülejäänud on nullid.
Nüüd räägime üksikasjalikumalt geomeetrilise progressiooni nimetajast, see tähendab o.
Kordame: - see on number mitu korda iga järgnev termin muutub? geomeetriline progressioon.
Mis see teie arvates olla võiks? See on õige, positiivne ja negatiivne, kuid mitte null (me rääkisime sellest veidi kõrgemal).
Oletame, et meie oma on positiivne. Olgu meie puhul a. Mis on teise liikme väärtus ja? Sellele saate hõlpsalt vastata:
See on õige. Seega, kui, siis on kõigil järgnevatel progressiooni tingimustel sama märk- Nad on positiivsed.
Mis siis, kui see on negatiivne? Näiteks a. Mis on teise liikme väärtus ja?
See on täiesti erinev lugu
Proovige selle edenemise tingimusi kokku lugeda. Kui palju sa said? Mul on. Seega, kui, siis geomeetrilise progressiooni liikmete märgid vahelduvad. See tähendab, et kui näete selle liikmete vahelduvate märkidega progressi, on selle nimetaja negatiivne. Need teadmised aitavad teil end proovile panna selleteemaliste probleemide lahendamisel.
Nüüd harjutame veidi: proovige kindlaks teha, millised arvujadad on geomeetriline ja millised aritmeetiline progressioon:
Sain aru? Võrdleme oma vastuseid:
- Geomeetriline progressioon – 3, 6.
- Aritmeetiline progressioon – 2, 4.
- See ei ole aritmeetiline ega geomeetriline progressioon - 1, 5, 7.
Pöördume tagasi oma viimase progressiooni juurde ja proovime leida selle liiget, nagu aritmeetilises. Nagu võite arvata, on selle leidmiseks kaks võimalust.
Korrutame iga liikme järjestikku arvuga.
Niisiis, kirjeldatud geomeetrilise progressiooni liige on võrdne.
Nagu juba arvasite, tuletate nüüd ise valemi, mis aitab teil leida geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme. Või olete selle juba enda jaoks välja töötanud, kirjeldades, kuidas samm-sammult liiget leida? Kui jah, siis kontrollige oma arutluskäigu õigsust.
Illustreerime seda näitega, kuidas leida selle progressiooni th liige:
Teisisõnu:
Leia ise antud geomeetrilise progressiooni liikme väärtus.
Juhtus? Võrdleme oma vastuseid:
Pange tähele, et saite täpselt sama arvu kui eelmises meetodis, kui korrutasime järjestikku geomeetrilise progressiooni iga eelmise liikmega.
Proovime "depersonaliseerida" see valem- Paneme selle üldisesse vormi ja saame:
Tuletatud valem kehtib kõigi väärtuste kohta - nii positiivsete kui ka negatiivsete. Kontrollige seda ise, arvutades geomeetrilise progressiooni tingimused järgmised tingimused:, A.
Kas sa lugesid? Võrdleme tulemusi:
Nõus, et progresseerumise liiget oleks võimalik leida samamoodi kui liiget, kuid on võimalus, et arvutatakse valesti. Ja kui oleme juba leidnud geomeetrilise progressiooni th liikme, siis mis saaks olla lihtsam kui kasutada valemi "kärbitud" osa.
Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon.
Hiljuti rääkisime sellest, mis võib olla nullist suurem või väiksem, kuid siiski on erilised tähendused mille jaoks nimetatakse geomeetrilist progressiooni lõpmatult väheneb.
Miks sa arvad, miks see nimi on antud?
Kõigepealt paneme kirja mõne terminitest koosneva geomeetrilise progressiooni.
Ütleme siis:
Näeme, et iga järgnev liige on teguri võrra väiksem kui eelmine, kuid kas seal on mõni arv? Vastate kohe - "ei". Sellepärast see lõpmatult väheneb – väheneb ja väheneb, kuid ei muutu kunagi nulliks.
Et selgelt mõista, kuidas see visuaalselt välja näeb, proovime joonistada oma edenemise graafikut. Niisiis, meie puhul on valem järgmine:
Graafikutel oleme harjunud joonistama sõltuvust, seega:
Avaldise olemus pole muutunud: esimeses kirjes näitasime geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse sõltuvust selle järgarvust ja teises kirjes võtsime lihtsalt geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse kui , ja tähistas järjekorranumbrit mitte kui, vaid kui. Kõik, mis tuleb teha, on graafiku koostamine.
Vaatame, mis sul on. Siin on graafik, mille ma välja mõtlesin:
Kas sa näed? Funktsioon väheneb, kaldub nulli, kuid ei ületa seda kunagi, seega on see lõpmatult vähenev. Märgime graafikule oma punktid ja samal ajal koordinaadi ja tähenduse:
Proovige skemaatiliselt kujutada geomeetrilise progressiooni graafikut, kui selle esimene liige on samuti võrdne. Analüüsige, mis vahe on meie eelmisest graafikust?
Kas said hakkama? Siin on graafik, mille ma välja mõtlesin:
Nüüd, kui olete geomeetrilise progressiooni teema põhitõdesid täielikult mõistnud: teate, mis see on, teate, kuidas selle liiget leida ja teate ka, mis on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, liigume edasi selle põhiomaduse juurde.
Geomeetrilise progressiooni omadus.
Kas mäletate aritmeetilise progressiooni liikmete omadust? Jah, jah, kuidas väärtust leida teatud arv progresseerumine, kui on olemas selle progresseerumise liikmete eelmised ja järgnevad väärtused. Kas sa mäletad? See:
Nüüd seisame silmitsi täpselt sama küsimusega geomeetrilise progressiooni terminite kohta. Taganeda sarnane valem, hakkame joonistama ja arutlema. Näete, see on väga lihtne ja kui unustate, saate selle ise välja saada.
Võtame veel ühe lihtsa geomeetrilise progressiooni, milles teame ja. Kuidas leida? Aritmeetilise progressiooniga on see lihtne ja lihtne, aga kuidas on siin? Tegelikult pole ka geomeetrias midagi keerulist - tuleb lihtsalt iga meile antud väärtus valemi järgi kirja panna.
Võite küsida, mida me sellega nüüd tegema peaksime? Jah, väga lihtne. Esmalt kujutame neid valemeid pildil ja proovime nendega erinevaid manipulatsioone teha, et väärtuseni jõuda.
Abstraheerigem meile antud arvudest, keskendugem ainult nende väljendamisele läbi valemi. Peame leidma esiletõstetud väärtuse oranž, teades sellega külgnevaid liikmeid. Proovime nendega toota mitmesugused toimingud, mille tulemusena saame.
Lisand.
Proovime lisada kaks väljendit ja saame:
Alates antud väljend, nagu näete, ei saa me seda kuidagi väljendada, seetõttu proovime teist võimalust - lahutamist.
Lahutamine.
Nagu näete, ei saa me ka seda väljendada, seetõttu proovime neid väljendeid üksteisega korrutada.
Korrutamine.
Vaadake nüüd hoolikalt, mis meil on, korrutades meile antud geomeetrilise progressiooni tingimused võrreldes sellega, mida on vaja leida:
Arva ära, millest ma räägin? See on õige, leidmiseks peame võtma Ruutjuur soovitud numbriga külgnevatest geomeetrilistest progressiooninumbritest, korrutatuna üksteisega:
Palun. Te ise tuletasite geomeetrilise progressiooni omaduse. Proovige see valem sisse kirjutada üldine vaade. Juhtus?
Kas unustasite tingimuse? Mõelge, miks see oluline on, näiteks proovige see ise arvutada. Mis sel juhul juhtub? See on õige, täielik jama, sest valem näeb välja selline:
Seetõttu ärge unustage seda piirangut.
Nüüd arvutame, millega see võrdub
Õige vastus -! Kui te ei unustanud arvutamisel teist võimalik tähendus, siis oled tore sell ja võid kohe trenniga edasi minna ning kui ununes, siis loe allolevat läbi ja pane tähele, miks on vaja vastusesse mõlemad juured kirja panna.
Joonistame mõlemad oma geomeetrilised progressioonid – üks väärtusega ja teine väärtusega ning kontrollime, kas mõlemal on õigus eksisteerida:
Et kontrollida, kas selline geomeetriline progressioon on olemas või mitte, tuleb vaadata, kas see on kõigi vahel sama. antud liikmed? Arvutage q esimese ja teise juhtumi jaoks.
Vaadake, miks me peame kirjutama kaks vastust? Sest otsitava termini märk sõltub sellest, kas see on positiivne või negatiivne! Ja kuna me ei tea, mis see on, peame kirjutama mõlemad vastused pluss- ja miinusmärgiga.
Nüüd, kui olete omandanud põhipunktid ja tuletanud geomeetrilise progressiooni omaduse valemi, leidke, teadke ja
Võrrelge oma vastuseid õigete vastustega:
Mis te arvate, mis siis, kui meile ei antaks soovitud arvuga külgneva geomeetrilise progressiooni liikmete väärtused, vaid sellest võrdsel kaugusel. Näiteks peame leidma, ja antud ja. Kas saame antud juhul kasutada tuletatud valemit? Proovige seda võimalust kinnitada või ümber lükata samal viisil, kirjeldades, millest iga väärtus koosneb, nagu tegite valemi algsel tuletamisel at.
Mis sa said?
Vaata nüüd uuesti hoolega.
ja vastavalt:
Sellest võime järeldada, et valem töötab mitte ainult naabritega geomeetrilise progressiooni soovitud liikmetega, aga ka koos võrdsel kaugusel sellest, mida liikmed otsivad.
Seega on meie esialgne valem järgmine:
See tähendab, et kui esimesel juhul me seda ütlesime, siis nüüd ütleme, et see võib olla võrdne ükskõik millisega naturaalarv, mis on väiksem. Peaasi, et see on mõlema antud numbri puhul sama.
Harjuta edasi konkreetsed näited, olge lihtsalt äärmiselt ettevaatlik!
- , . Otsi.
- , . Otsi.
- , . Otsi.
Otsustas? Loodan, et olite äärmiselt tähelepanelik ja märkasite väikest saaki.
Võrdleme tulemusi.
Kahel esimesel juhul rakendame rahulikult ülaltoodud valemit ja saame järgmised väärtused:
Kolmandal juhul lähemal uurimisel seerianumbrid meile antud numbrid, mõistame, et need ei ole otsitavast numbrist võrdsel kaugusel: on eelmine kuupäev, kuid eemaldatakse kohas, mistõttu pole valemit võimalik rakendada.
Kuidas seda lahendada? Tegelikult pole see nii raske, kui tundub! Paneme kirja, millest iga meile antud ja otsitav number koosneb.
Nii et meil on ja. Vaatame, mida saame nendega teha? Soovitan jagada. Saame:
Asendame oma andmed valemiga:
Järgmise sammu me leiame – selleks peame astuma kuupjuur saadud arvust.
Vaatame nüüd uuesti, mis meil on. Meil on see olemas, kuid me peame selle leidma ja see omakorda võrdub:
Leidsime kõik arvutamiseks vajalikud andmed. Asendage valemis:
Meie vastus: .
Proovige mõnda muud sarnast probleemi ise lahendada:
Arvestades: ,
Leia:
Kui palju sa said? Mul on - .
Nagu näete, sisuliselt vajate mäleta ainult ühte valemit- . Ülejäänu saate igal ajal ilma raskusteta ise välja võtta. Selleks kirjutage lihtsalt paberile lihtsaim geomeetriline progressioon ja kirjutage ülalkirjeldatud valemi järgi üles, millega iga selle arv on võrdne.
Geomeetrilise progressiooni liikmete summa.
Vaatame nüüd valemeid, mis võimaldavad meil kiiresti arvutada geomeetrilise progressiooni liikmete summa antud intervallis:
Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemi tuletamiseks korrutage ülaltoodud võrrandi kõik osad arvuga. Saame:
Vaadake hoolikalt: mis on kahel viimasel valemil ühist? See on õige, näiteks tavaliikmed ja nii edasi, välja arvatud esimene ja viimane liige. Proovime 2. võrrandist 1. lahutada. Mis sa said?
Nüüd väljendage geomeetrilise progressiooni terminit valemi kaudu ja asendage saadud avaldis meie viimase valemiga:
Rühmitage väljend. Peaksite saama:
Kõik, mis tuleb teha, on väljendada:
Vastavalt sellele antud juhul.
Mis siis kui? Mis valem siis töötab? Kujutage ette geomeetrilist progressiooni punktis. Milline ta on? Õige rida identsed numbrid, näeb valem välja järgmine:
Nii aritmeetilise kui ka geomeetrilise progressiooni kohta on palju legende. Üks neist on legend Setist, male loojast.
Paljud teavad, et malemäng leiutati Indias. Kui Hindu kuningas teda kohtas, rõõmustas ta naise teravmeelsusest ja tema võimalike ametikohtade mitmekesisusest. Saanud teada, et selle leiutas üks tema alamatest, otsustas kuningas teda isiklikult premeerida. Ta kutsus leiutaja enda juurde ja käskis tal küsida kõike, mida ta tahtis, lubades täita ka kõige osavama soovi.
Seta palus mõtlemisaega ja kui Seta järgmisel päeval kuninga ette ilmus, üllatas ta kuningat oma palve enneolematu tagasihoidlikkusega. Ta palus malelaua esimesele ruudule anda nisutera, teise nisutera, kolmanda, neljanda jne.
Kuningas vihastas ja ajas Seti minema, öeldes, et sulase taotlus ei vääri kuninga suuremeelsust, kuid lubas, et sulane saab oma terad kõigi laua ruutude eest.
Ja nüüd küsimus: arvutage geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutades, mitu tera peaks Seth saama?
Alustame arutluskäiku. Kuna vastavalt tingimusele küsis Seth nisutera malelaua esimesele ruudule, teisele, kolmandale, neljandale jne, siis näeme seda probleemis. me räägime geomeetrilise progressiooni kohta. Millega see antud juhul võrdub?
Õige.
Malelaua ruutude koguarv. Vastavalt,. Meil on kõik andmed olemas, jääb üle vaid need valemiga ühendada ja arvutada.
Kujutada ette vähemalt ligikaudu "skaala" antud number, teisendada, kasutades astme omadusi:
Muidugi, kui tahad, võid võtta kalkulaatori ja arvutada, mis numbrini sa lõpuks saad, ja kui ei, siis pead jääma minu sõnale: avaldise lõppväärtus on.
See on:
kvintiljon kvadriljon triljon miljardit miljonit tuhat.
Phew) Kui soovite ette kujutada selle arvu tohutut suurust, siis hinnake, kui suurt ait oleks vaja kogu viljakoguse mahutamiseks.
Kui ait on m kõrge ja m lai, peaks selle pikkus ulatuma km, s.o. kaks korda kaugemal kui Maast Päikeseni.
Kui kuningas oleks matemaatikas tugev, oleks ta võinud kutsuda teadlase enda teri lugema, sest miljoni tera kokkulugemiseks oleks tal vaja vähemalt päeva väsimatut loendamist ja arvestades, et on vaja lugeda kvintiljone, siis terad. tuleks arvestada kogu tema elu jooksul.
Nüüd lahendame lihtsa ülesande, mis hõlmab geomeetrilise progressiooni liikmete summat.
Vasja 5A klassi õpilane haigestus grippi, kuid jätkab koolis käimist. Iga päev nakatab Vasya kahte inimest, kes omakorda nakatavad veel kahte inimest jne. Klassis on ainult inimesed. Mitme päeva pärast jääb kogu klass grippi haigeks?
Niisiis, geomeetrilise progressiooni esimene liige on Vasja, see tähendab inimene. Geomeetrilise progressiooni kolmas liige on kaks inimest, keda ta nakatas esimesel saabumise päeval. kogu summa progressi liikmete arv on võrdne õpilaste arvuga 5A-s. Sellest lähtuvalt räägime progressist, milles:
Asendame oma andmed geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemis:
Terve klass jääb mõne päevaga haigeks. Ei usu valemeid ja numbreid? Proovige ise kujutada õpilaste "nakatumist". Juhtus? Vaata, kuidas see minu jaoks välja näeb:
Arvutage ise, mitu päeva kuluks õpilastel grippi haigestumiseks, kui igaüks nakatab inimese ja klassis oli ainult üks inimene.
Mis väärtuse sa said? Selgus, et kõik hakkasid päevapealt haigeks jääma.
Nagu sa näed, sarnane ülesanne ja selle joonistus meenutab püramiidi, kuhu iga järgnev "toob" uusi inimesi. Ent varem või hiljem saabub hetk, mil viimane ei suuda kedagi meelitada. Meie puhul, kui kujutame ette, et klass on isoleeritud, sulgeb isik ahelast (). Seega, kui inimene oleks seotud finantspüramiid, milles raha anti, kui kaasas veel kaks osalejat, siis isik (või üldine juhtum) poleks kedagi toonud ja oleks seetõttu kaotanud kõik, mida nad sellesse rahapettusse investeerisid.
Kõik ülal öeldu viitab kahanevale või suurenevale geomeetrilisele progressioonile, kuid nagu mäletate, on meil eriline liik- lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. Kuidas arvutada selle liikmete summa? Ja miks seda tüüpi progresseerumine on teatud funktsioonid? Arutame selle koos välja.
Niisiis, kõigepealt vaatame uuesti seda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni joonist meie näitest:
Vaatame nüüd veidi varem tuletatud geomeetrilise progressiooni summa valemit:
või
Mille poole me püüdleme? See on õige, graafik näitab, et see kipub nulli. See tähendab, et at, on vastavalt peaaegu võrdne, avaldise arvutamisel saame peaaegu. Sellega seoses usume, et lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa arvutamisel võib selle sulg tähelepanuta jätta, kuna see on võrdne.
- valem on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa.
TÄHTIS! Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutame ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma summa lõpmatu liikmete arv.
Kui on määratud konkreetne arv n, siis kasutame n liikme summa valemit, isegi kui või.
Nüüd harjutame.
- Leidke geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa, kasutades ja.
- Leia lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa koos ja.
Loodan, et olite äärmiselt ettevaatlik. Võrdleme oma vastuseid:
Nüüd teate geomeetrilisest progressioonist kõike ja on aeg liikuda teoorialt praktikale. Kõige tavalisemad eksamil esinevad geomeetrilise progressiooni probleemid on liitintressi arvutamise probleemid. Need on need, millest me räägime.
Probleemid liitintressi arvutamisel.
Olete ilmselt kuulnud niinimetatud liitintressi valemist. Kas saate aru, mida see tähendab? Kui ei, siis mõtleme selle välja, sest kui mõistate protsessi ennast, saate kohe aru, mis geomeetrilisel progressioonil sellega pistmist on.
Me kõik läheme panka ja teame, et neid on erinevad tingimused hoiused: see on tähtaeg, ja lisateenus ja intressid kahega erinevatel viisidel selle arvutused - lihtsad ja keerulised.
KOOS lihtne huvi kõik on enam-vähem selge: intressi koguneb üks kord hoiutähtaja lõpus. See tähendab, et kui me ütleme, et deponeerime 100 rubla aastaks, siis need krediteeritakse alles aasta lõpus. Vastavalt sellele saame sissemakse lõpuks rublad kätte.
Liitintress- see on valik, milles see esineb intressi kapitaliseerimine, st. nende lisamine hoiusummale ja hilisem tulu arvestamine mitte esialgselt, vaid kogunenud hoiusesummalt. Suurtähtede kasutamine ei toimu pidevalt, vaid teatud sagedusega. Reeglina on sellised perioodid võrdsed ja kõige sagedamini kasutavad pangad kuud, kvartalit või aastat.
Oletame, et deponeerime iga-aastaselt samu rublasid, kuid igakuise sissemakse kapitaliseerimisega. Mida me teeme?
Kas sa saad siin kõigest aru? Kui ei, siis mõtleme selle samm-sammult välja.
Tõime rublad panka. Kuu lõpuks peaks meie kontol olema summa, mis koosneb meie rubladest ja intressidest, mis on:
Nõus?
Saame selle sulgudest välja võtta ja siis saame:
Nõus, see valem on juba sarnasem sellele, mida me alguses kirjutasime. Jääb üle vaid protsendid välja mõelda
Probleemiavalduses räägitakse meile aastamääradest. Nagu teate, me ei korruta sellega, vaid teisendame protsendid teiseks kümnendkohad, see on:
eks? Nüüd võite küsida, kust see number pärit on? Väga lihtne!
Kordan: probleemipüstitus ütleb umbes AASTAARUANNE kogunevad intressid IGAKUINE. Nagu teate, võtab pank aasta kuu pärast meilt osa iga-aastasest intressist kuus:
Sai aru? Proovige nüüd kirjutada, kuidas see valemi osa välja näeks, kui ma ütleksin, et intressi arvestatakse iga päev.
Kas said hakkama? Võrdleme tulemusi:
Hästi tehtud! Tuleme tagasi oma ülesande juurde: kirjutage, kui palju laekub meie kontole teisel kuul, arvestades, et kogunenud hoiuse summalt koguneb intress.
Siin on see, mida ma sain:
Või teisisõnu:
Ma arvan, et olete juba märganud mustrit ja näinud selles kõiges geomeetrilist progressiooni. Kirjutage, millega selle liige võrdub ehk teisisõnu, millise rahasumma me kuu lõpus saame.
Kas? Kontrollime!
Nagu näha, kui paned aastaks lihtintressiga raha panka, siis saad rublasid ja kui liitintressiga, siis rublasid. Kasu on väike, kuid see juhtub ainult aasta jooksul, kuid rohkem pikk periood kapitaliseerimine on palju tulusam:
Vaatleme teist tüüpi probleeme: liitintress. Pärast seda, mida olete välja mõelnud, on see teie jaoks elementaarne. Niisiis, ülesanne:
Ettevõte Zvezda alustas tööstusesse investeerimist 2000. aastal, kapitali dollarites. Alates 2001. aastast on see igal aastal saanud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. Kui palju kasumit saab ettevõte Zvezda 2003. aasta lõpus, kui kasumit ringlusest ei eemaldata?
Firma Zvezda kapital 2000. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2001. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2002. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2003. aastal.
Või kirjutame lühidalt:
Meie juhtumi jaoks:
2000, 2001, 2002 ja 2003.
Vastavalt:
rubla
Pange tähele, et selles ülesandes ei ole meil jaotust ei poolt ega poolt, kuna protsent antakse AASTA ja seda arvutatakse AASTA. See tähendab, et liitintressi probleemi lugemisel pöörake tähelepanu sellele, milline protsent on antud ja millisel perioodil see arvutatakse, ning alles siis jätkake arvutustega.
Nüüd teate kõike geomeetrilisest progressioonist.
Koolitus.
- Leidke geomeetrilise progressiooni liige, kui on teada, et ja
- Leidke geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa, kui on teada, et ja
- MDM Capitali ettevõte alustas investeerimist sellesse tööstusesse 2003. aastal, kapitali dollarites. Alates 2004. aastast on see igal aastal saanud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. MSK ettevõte Sularahavood"hakkas 2005. aastal tööstusesse investeerima 10 000 dollari ulatuses, hakates 2006. aastal teenima kasumit summas. Kui mitme dollari võrra on ühe ettevõtte kapital 2007. aasta lõpus suurem kui teise ettevõtte kapital, kui kasumit ringlusest ei kõrvaldata?
Vastused:
- Kuna probleemipüstitus ei ütle, et progresseerumine on lõpmatu ja peate leidma summa konkreetne number selle liikmed, siis arvutatakse valemi järgi:
MDM kapitaliettevõte:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- suureneb 100%, see tähendab 2 korda.
Vastavalt:
rubla
MSK rahavoogude ettevõte:2005, 2006, 2007.
- suureneb kordades.
Vastavalt:
rubla
rubla
Teeme kokkuvõtte.
1) Geomeetriline progressioon ( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.
2) Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand on .
3) võib võtta mis tahes väärtusi, välja arvatud ja.
- kui, siis kõik järgnevad progressiooni liikmed on sama märgiga - nemad on positiivsed;
- kui, siis kõik järgnevad progressiooni liikmed alternatiivsed märgid;
- mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.
4) , - geomeetrilise progressiooni omadus (külgnevad terminid)
või
, juures (võrdse kaugusega terminid)
Kui leiate selle, ärge unustage seda peaks olema kaks vastust.
Näiteks,
5) Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või
Kui progresseerumine väheneb lõpmatult, siis:
või
TÄHTIS! Me kasutame lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma lõpmatu arvu liikmete summa.
6) Liitintressiga seotud ülesanded arvutatakse samuti geomeetrilise progressiooni nn liikme valemiga, eeldusel, et sularaha ringlusest ei kõrvaldatud:
GEOMEETRILINE EDENEMINE. LÜHIDALT PEAMISEST
Geomeetriline progressioon( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda numbrit kutsutakse geomeetrilise progressiooni nimetaja.
Geomeetrilise progressiooni nimetaja võib võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud ja.
- Kui, siis on kõigil järgnevatel edenemise terminitel sama märk - need on positiivsed;
- kui, siis kõik järgnevad edenemise liikmed vahelduvad märkidega;
- mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.
Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand - .
Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või