Erinevate nimetajatega murdude lahutamise õpetus on kooliaines Algebra kaheksandas klassis ja see tekitab mõnikord lastele arusaamisraskusi. Erinevate nimetajatega murdude lahutamiseks kasutage järgmist valemit:
Murdude lahutamise protseduur sarnaneb liitmisega, kuna see kopeerib täielikult tööpõhimõtte.
Esiteks arvutame väikseima arvu, mis on mõlema nimetaja kordne.
Teiseks korrutame iga murru lugeja ja nimetaja teatud arvuga, mis võimaldab meil taandada nimetaja etteantud minimaalse ühisnimetajani.
Kolmandaks toimub lahutamisprotseduur ise, kui lõpuks nimetaja dubleeritakse ja teise murru lugeja lahutatakse esimesest.
Näide: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 tervet 1/6
Kõigepealt peate need viima samasse nimetajasse ja seejärel lahutama. Näiteks 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Või, mis on keerulisem, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Kas peate selgitama, kuidas murrud taandatakse ühiseks nimetajaks?
Tehteid, nagu erinevate nimetajatega harilike murdude liitmine või lahutamine, kehtib lihtne reegel – nende murdude nimetajad taandatakse üheks arvuks ja tehe ise sooritatakse lugejas olevate numbritega. See tähendab, et murrud saavad ühise nimetaja ja näivad olevat ühendatud üheks. Suvaliste murdude ühise nimetaja leidmine taandub tavaliselt iga murdosa lihtsalt korrutamisele teise murru nimetajaga. Kuid lihtsamatel juhtudel võib kohe leida tegurid, mis viivad murdude nimetajad samale arvule.
Näide murdude lahutamise kohta: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Paljud täiskasvanud on juba unustanud kuidas lahutada erinevate nimetajatega murde, kuid see toiming on seotud elementaarse matemaatikaga.
Erinevate nimetajatega murdude lahutamiseks, peate need viima ühise nimetajani, st leidma nimetajate väikseim ühiskordne, seejärel korrutama lugejad lisateguritega, mis on võrdsed vähima ühiskordse ja nimetaja suhtega.
Säilivad murdosa märgid. Kui murdudel on samad nimetajad, saate murdu lahutada ja seejärel võimaluse korral vähendada.
Elena, kas olete otsustanud oma kooli matemaatikakursust korrata?)))
Erinevate nimetajatega murdude lahutamiseks tuleb need esmalt taandada samale nimetajale ja seejärel lahutada. Lihtsaim variant: korrutage esimese murru lugeja ja nimetaja teise murru nimetajaga ning korrutage teise murru lugeja ja nimetaja esimese murru nimetajaga. Saame kaks samade nimetajatega murdu. Nüüd lahutame esimese murru lugejast teise murru lugeja ja neil on sama nimetaja.
Näiteks kolm viiendikku, lahutades kaks seitsmendikku, võrdub kahekümne ühe kolmekümne viiendikuga, lahutades kümme kolmkümmend viiendikku, ja see on võrdne üheteistkümne kolmekümne viiendikuga.
Kui nimetajateks on suured arvud, siis võib leida nende vähima ühiskordse, s.o. arv, mis jagub ühe ja teise nimetajaga. Ja viige mõlemad murrud ühisnimetajasse (vähim ühiskordaja)
Erinevate nimetajatega murdude lahutamine on väga lihtne ülesanne - viime murrud ühise nimetajani ja seejärel lahutame lugejas.
Paljudel inimestel on raskusi, kui nende murdude kõrval on täisarvud, mistõttu tahtsin järgmise näitega näidata, kuidas seda teha:
täisosade ja erinevate nimetajatega murdude lahutamine
kõigepealt lahutame terved osad 8-5 = 3 (kolm jääb esimese murru lähedale);
viime murrud ühise nimetajani 6 (kui esimese murru lugeja on teisest suurem, teeme lahutamise ja kirjutame selle terve osa kõrvale, meie puhul liigume edasi);
lagundame kogu osa 3 2-ks ja 1-ks;
Kirjutame 1 murruna 6/6;
Ühise nimetaja 6 alla kirjutame 6/6+3/6-4/6 ja teeme lugejas olevad toimingud;
kirjuta leitud tulemus üles 2 5/6.
Oluline on meeles pidada, et murrud lahutatakse, kui neil on sama nimetaja. Seega, kui meil on erineva nimetajaga murded erinevad, tuleb need lihtsalt viia ühise nimetajani, mida pole raske teha. Peame lihtsalt arvestama iga murru lugeja ja arvutama väikseima ühiskordse, mis ei tohi võrduda nulliga. Ärge unustage korrutada ka lugejaid saadud lisateguritega, kuid siin on mugavuse huvides näide:
Kui soovite lahutada murde, millel on erinevalt nimetajatest, peate esmalt leidma nende kahe murdu ühise nimetaja. Ja seejärel lahutage esimese murru lugejast teine. Saadakse uus murd, millel on uus tähendus.
Minu mäletamist mööda 3. klassi matemaatikakursusest tuleb erinevate nimetajatega murdude lahutamiseks esmalt välja arvutada ühisnimetaja ja see selleks taandada ning siis lihtsalt lugejad üksteisest lahutada ja nimetaja jääb samaks.
Erinevate nimetajatega murdude lahutamiseks peame esmalt leidma nende murdude väikseima ühisnimetaja.
Vaatame näidet:
Jagage suurem arv 25 väiksema 20-ga. See ei ole jagatav. See tähendab, et me korrutame nimetaja 25 sellise arvuga, saadud summa saab jagada 20-ga. See arv on 4. 25x4=100. 100:20=5. Nii leidsime väikseima ühisnimetaja – 100.
Nüüd peame leidma iga murru jaoks lisateguri. Selleks jagage uus nimetaja vanaga.
Korrutage 9 4-ga = 36. Korrutage 7 5-ga = 35.
Omades ühist nimetajat, teostame näites näidatud lahutamise ja saame tulemuse.
Selles õppetükis käsitletakse erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmist ja lahutamist. Teame juba, kuidas liita ja lahutada erinevate nimetajatega harilikke murde. Selleks tuleb murded taandada ühiseks nimetajaks. Selgub, et algebralised murrud järgivad samu reegleid. Samas me juba teame, kuidas algebralisi murde ühiseks nimetajaks taandada. Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine on 8. klassi kursuse üks olulisemaid ja raskemaid teemasid. Veelgi enam, see teema ilmub paljudes teemades algebra kursusel, mida tulevikus õpite. Tunni raames uurime erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegleid ning analüüsime ka mitmeid tüüpilisi näiteid.
Vaatame tavaliste murdude lihtsaimat näidet.
Näide 1. Murdude lisamine: .
Lahendus:
Meenutagem murdude liitmise reeglit. Alustuseks tuleb murded taandada ühise nimetajani. Harilike murdude ühisnimetaja on vähim ühiskordne(LCM) algsetest nimetajatest.
Definitsioon
Väikseim naturaalarv, mis jagub nii arvude kui ka .
LCM-i leidmiseks peate määrama nimetajad algteguriteks ja seejärel valima kõik algtegurid, mis sisalduvad mõlema nimetaja laienduses.
; . Siis peab arvude LCM sisaldama kahte kahte ja kahte kolme: .
Pärast ühise nimetaja leidmist peate leidma igale murdosale lisateguri (tegelikult jagage ühisnimetaja vastava murru nimetajaga).
Seejärel korrutatakse iga murdosa saadud lisateguriga. Saame samade nimetajatega murrud, mida õppisime eelmistes tundides liitma ja lahutama.
Saame: 
.
Vastus:.
Vaatleme nüüd erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmist. Kõigepealt vaatame murde, mille nimetajateks on arvud.
Näide 2. Murdude lisamine: .
Lahendus:
Lahendusalgoritm on absoluutselt sarnane eelmisele näitele. Nende murdude ühisnimetajat on lihtne leida ja igaühe jaoks täiendavaid tegureid.
.
Vastus:.
Niisiis, sõnastame erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise algoritm:
1. Leia murdude väikseim ühisnimetaja.
2. Leidke igale murrule lisategurid (jagades ühisnimetaja antud murru nimetajaga).
3. Korrutage lugejad vastavate lisateguritega.
4. Lisage või lahutage murde, kasutades samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reegleid.
Vaatleme nüüd näidet murdudega, mille nimetaja sisaldab tähtväljendeid.
Näide 3. Murdude lisamine: .
Lahendus:
Kuna mõlema nimetaja täheväljendid on samad, peaksite leidma numbritele ühise nimetaja. Lõplik ühisnimetaja näeb välja selline: . Seega näeb selle näite lahendus välja järgmine:.
Vastus:.
Näide 4. Lahutage murrud: .
Lahendus:
Kui te ei saa ühisnimetaja valimisel "petta" (te ei saa seda faktorit arvutada ega kasutada lühendatud korrutusvalemeid), siis peate ühiseks nimetajaks võtma mõlema murru nimetajate korrutise.
Vastus:.
Üldiselt on selliste näidete lahendamisel kõige keerulisem ühisosa leidmine.
Vaatame keerukamat näidet.
Näide 5. Lihtsustama: .
Lahendus:
Ühise nimetaja leidmisel tuleb esmalt proovida arvutada algsete murdude nimetajad (ühise nimetaja lihtsustamiseks).
Sel konkreetsel juhul:
Siis on ühisnimetajat lihtne määrata: 
.
Määrame täiendavad tegurid ja lahendame selle näite:
Vastus:.
Nüüd paneme paika erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reeglid.
Näide 6. Lihtsustama: .
Lahendus:
Vastus:.
Näide 7. Lihtsustama: .
Lahendus:
.
Vastus:.
Vaatleme nüüd näidet, kus liidetakse mitte kaks, vaid kolm murdu (suurema arvu murdude puhul jäävad ju liitmise ja lahutamise reeglid samaks).
Näide 8. Lihtsustama: .
Kas teie laps on koolist kodutöö kaasa võtnud ja te ei tea, kuidas seda lahendada? Siis on see minitund sulle!
Kuidas lisada kümnendkohti
Mugavam on lisada veerus kümnendmurrud. Kümnendkohtade lisamiseks peate järgima ühte lihtsat reeglit:
- Koht peab olema koha all, koma koma all.
Nagu näites näha, paiknevad terved ühikud üksteise all, kümnendiku ja sajandiku numbrid asuvad üksteise all. Nüüd lisame numbrid, ignoreerides koma. Mida teha komaga? Koma liigutatakse kohta, kus see täisarvude kategoorias oli.
Võrdsete nimetajatega murdude liitmine
Ühise nimetajaga liitmiseks peate hoidma nimetaja muutmata, leidma lugejate summa ja saama murdosa, mis on kogusumma.
Erinevate nimetajatega murdude liitmine ühiskordaja meetodil
Esimene asi, millele peate tähelepanu pöörama, on nimetajad. Nimetajad on erinevad, kas üks jagub teisega või on need algarvud. Kõigepealt peame selle ühe ühise nimetaja juurde viima; selleks on mitu võimalust:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, selle näite lahendamiseks peame leidma vähima ühiskordse (LCM), mis jagub 2 nimetajaga. A ja b väikseima kordse tähistamiseks – LCM (a;b). Selles näites LCM (3;4) = 12. Kontrollime: 12:3=4; 12:4=3.
- Korrutame tegurid ja lisame saadud arvud, saame 13/12 - vale murd.
- Vale murru teisendamiseks õigeks jagage lugeja nimetajaga, saame täisarvu 1, jääk 1 on lugeja ja 12 on nimetaja.
Murdude liitmine ristkorrutamise meetodil
Erinevate nimetajatega murdude lisamiseks on veel üks meetod, mis kasutab valemit "rist ristiks". See on garanteeritud viis nimetajate võrdsustamiseks, selleks tuleb lugejad korrutada ühe murdosa nimetajaga ja vastupidi. Kui olete murdude õppimise algstaadiumis, on see meetod kõige lihtsam ja täpsem viis erinevate nimetajatega murdude lisamisel õige tulemuse saamiseks.
Leidke lugeja ja nimetaja. Murd sisaldab kahte arvu: arvu, mis asub rea kohal, nimetatakse lugejaks ja arvu, mis asub rea all, nimetatakse nimetajaks. Nimetaja tähistab osade koguarvu, milleks tervik on jagatud, ja lugeja on selliste osade arv.
- Näiteks murdosas ½ on lugeja 1 ja nimetaja 2.
Määrake nimetaja. Kui kahel või enamal murdul on ühine nimetaja, on sellistel murdudel rea all sama arv, see tähendab, et antud juhul jagatakse teatud tervik sama arvu osadeks. Ühise nimetajaga murdude liitmine on väga lihtne, kuna summeeritud murru nimetaja on sama, mis liidetavatel murdudel. Näiteks:
- Murdudel 3/5 ja 2/5 on ühine nimetaja 5.
- Murdudel 3/8, 5/8, 17/8 on ühine nimetaja 8.
Määrake lugejad.Ühise nimetajaga murdude liitmiseks lisage nende lugejad ja kirjutage tulemus liidetavate murdude nimetaja kohale.
- Murdudel 3/5 ja 2/5 on lugejad 3 ja 2.
- Murdudel 3/8, 5/8, 17/8 on lugejad 3, 5, 17.
Liitke lugejad kokku.Ülesandes 3/5 + 2/5 liida lugejad 3 + 2 = 5. Ülesandes 3/8 + 5/8 + 17/8 liida lugejad 3 + 5 + 17 = 25.
Kirjutage kogu murdosa. Pidage meeles, et ühise nimetajaga murdude lisamisel jääb see muutumatuks - liidetakse ainult lugejad.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Vajadusel teisendage murdosa. Mõnikord võib murdosa kirjutada pigem täisarvuna kui murdosa või kümnendkohana. Näiteks murdosa 5/5 saab hõlpsasti teisendada 1-ks, kuna iga murd, mille lugeja on võrdne selle nimetajaga, on 1. Kujutage ette, et pirukas on lõigatud kolmeks osaks. Kui sööd kõik kolm osa ära, oled terve (ühe) piruka ära söönud.
- Iga murdosa saab teisendada kümnendkohaks; Selleks jagage lugeja nimetajaga. Näiteks murdosa 5/8 saab kirjutada järgmiselt: 5 ÷ 8 = 0,625.
Võimalusel lihtsustage murdosa. Lihtsustatud murd on murd, mille lugejal ja nimetajal ei ole ühiseid tegureid.
- Näiteks kaaluge murdosa 3/6. Siin on nii lugejal kui ka nimetajal ühine jagaja, mis on võrdne 3-ga, see tähendab, et lugeja ja nimetaja jagavad täielikult 3-ga. Seetõttu võib murdosa 3/6 kirjutada järgmiselt: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .
Vajadusel teisendage vale murd segamurruks (segaarv). Vale murru lugeja on selle nimetajast suurem, näiteks 25/8 (õige murru lugeja on nimetajast väiksem). Vale murru saab teisendada segamurruks, mis koosneb täisarvust (st täisarvust) ja murdosast (st õigest murrust). Sobimatu murru (nt 25/8) teisendamiseks segaarvuks toimige järgmiselt.
- Jagage valemurru lugeja nimetajaga; pane kirja osajagatis (terve vastus). Meie näites: 25 ÷ 8 = 3 pluss mõni jääk. Sel juhul on kogu vastus segaarvu terve osa.
- Leia ülejäänud. Meie näites: 8 x 3 = 24; lahutage saadud tulemus algsest lugejast: 25 - 24 = 1, see tähendab, et jääk on 1. Sel juhul on jääk segaarvu murdosa lugeja.
- Kirjutage segamurd. Nimetaja ei muutu (see tähendab, et see on võrdne valemurru nimetajaga), seega 25/8 = 3 1/8.
Tegevused murdarvudega.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")
Niisiis, mis on murded, murdude tüübid, teisendused - me mäletasime. Läheme põhiküsimuse juurde.
Mida saab murdarvudega teha? Jah, kõik on sama, mis tavanumbrite puhul. Liita, lahutada, korrutada, jagada.
Kõik need toimingud koos kümnend murrudega töötamine ei erine tööst täisarvudega. Tegelikult on see nende puhul hea, kümnendkohad. Ainus asi on see, et peate koma õigesti panema.
Seganumbrid, nagu ma juba ütlesin, on enamiku toimingute jaoks vähe kasu. Need tuleb veel teisendada tavalisteks murdudeks.
Aga toimingud koos tavalised murrud nad on kavalamad. Ja palju tähtsam! Lubage mul teile meelde tuletada: kõik toimingud, mis sisaldavad tähtedega, siinuste, tundmatute jne ja nii edasi murdavaldisi ja nii edasi, ei erine tavaliste murdudega toimingutest! Tehted tavaliste murdudega on kogu algebra aluseks. Just sel põhjusel analüüsime siin kogu seda aritmeetikat väga üksikasjalikult.
Murdude liitmine ja lahutamine.
Igaüks saab liita (lahutada) samade nimetajatega murde (ma väga loodan!). Noh, tuletan täiesti unustajatele meelde: liitmisel (lahutamisel) nimetaja ei muutu. Lugejad liidetakse (lahutatakse), et saada tulemuse lugeja. Tüüp:
Lühidalt, üldiselt:
Mis siis, kui nimetajad on erinevad? Seejärel murru põhiomadust kasutades (siin tuleb jälle kasuks!) muudame nimetajad samaks! Näiteks:
Siin tuli teha murdosast 2/5 murdosa 4/10. Ainsa eesmärgiga muuta nimetajad samaks. Märgin igaks juhuks, et 2/5 ja 4/10 on sama murdosa! Ainult 2/5 on meie jaoks ebamugavad ja 4/10 on tõesti okei.
Muide, see on kõigi matemaatikaülesannete lahendamise olemus. Kui me pärit ebamugav me teeme väljendeid sama asi, aga lahendamiseks mugavam.
Veel üks näide:
Olukord on sarnane. Siin teeme 16-st 48. Lihtsa korrutamise teel 3-ga. Kõik on selge. Kuid me leidsime midagi sellist:
Kuidas olla?! Seitsmest on raske üheksat teha! Aga me oleme targad, teame reegleid! Muutkem iga murdosa nii, et nimetajad oleksid samad. Seda nimetatakse "taandada ühisele nimetajale":
Vau! Kuidas ma 63-st teadsin? Väga lihtne! 63 on arv, mis jagub korraga 7 ja 9-ga. Sellise arvu saab alati nimetajaid korrutades. Kui me korrutame arvu näiteks 7-ga, jagub tulemus kindlasti 7-ga!
Kui on vaja liita (lahutada) mitu murru, pole seda vaja teha paarikaupa, samm-sammult. Peate lihtsalt leidma kõikidele murdudele ühise nimetaja ja vähendama iga murdosa samale nimetajale. Näiteks:
Ja mis saab ühiseks nimetajaks? Muidugi võite korrutada 2, 4, 8 ja 16. Saame 1024. Õudusunenägu. Lihtsam on hinnata, et arv 16 jagub ideaalselt 2, 4 ja 8-ga. Seetõttu on nende arvude põhjal lihtne saada 16. See arv on ühine nimetaja. Muudame 1/2 8/16-ks, 3/4 12/16-ks ja nii edasi.
Muide, kui võtta ühiseks nimetajaks 1024, saab kõik korda, lõpuks kõik väheneb. Kuid kõik ei jõua selleni, sest arvutused...
Täitke näide ise. Mitte mingi logaritm... Peaks olema 29/16.
Niisiis, murdude liitmine (lahutamine) on selge, ma loodan? Muidugi on lihtsam töötada lühendatud versioonis, lisakordajatega. Aga see rõõm on kättesaadav neile, kes töötasid ausalt madalamates klassides... Ja ei unustanud midagi.
Ja nüüd teeme samu toiminguid, kuid mitte murdudega, vaid koos murdosa avaldised. Siin avastatakse uus reha, jah...
Seega peame lisama kaks murdosa avaldist:
Peame muutma nimetajad samaks. Ja ainult abiga korrutamine! Seda määrab murdosa peamine omadus. Seetõttu ei saa ma nimetaja esimeses murrus X-le ühte lisada. (see oleks tore!). Aga kui nimetajad korrutada, siis näed, kõik kasvab kokku! Nii kirjutame üles murdosa rea, jätame ülaossa tühja ruumi, lisame selle ja kirjutame alla nimetajate korrutise, et mitte unustada:
Ja loomulikult ei korruta me paremal pool midagi, me ei ava sulgusid! Ja nüüd, vaadates parempoolset ühisnimetajat, saame aru: selleks, et saada nimetaja x(x+1) esimeses murrus, tuleb selle murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (x+1) . Ja teises murrus - kuni x. See on see, mida saate:
Märge! Siin on sulud! See on reha, mille otsa astuvad paljud. Muidugi mitte sulud, vaid nende puudumine. Sulud ilmuvad, sest me korrutame kõik lugeja ja kõik nimetaja! Ja mitte nende üksikud tükid...
Parema poole lugejasse kirjutame lugejate summa, kõik on nagu numbrimurdudes, seejärel avame parema külje lugejas sulud, st. Korrutame kõik ja anname sarnased. Pole vaja nimetajates sulgu avada ega midagi korrutada! Üldiselt on nimetajates (mis tahes) toode alati meeldivam! Saame:
Nii et saime vastuse. Protsess tundub pikk ja keeruline, kuid see sõltub praktikast. Kui olete näited lahendanud, harjuge, muutub kõik lihtsaks. Need, kes on murdude õigeks ajaks omandanud, teevad kõik need toimingud ühe vasaku käega automaatselt!
Ja veel üks märkus. Paljud tegelevad murdudega nutikalt, kuid takerduvad näidete juurde terve numbrid. Meeldib: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kuhu kaheosaline kinnitada? Seda pole vaja kuhugi kinnitada, vaid kahest tuleb teha murdosa. See pole lihtne, kuid väga lihtne! 2 = 2/1. Nagu nii. Suvalise täisarvu saab kirjutada murruna. Lugeja on arv ise, nimetaja on üks. 7 on 7/1, 3 on 3/1 ja nii edasi. Sama on tähtedega. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 jne. Ja siis töötame nende murdudega kõigi reeglite järgi.
Noh, teadmised murdude liitmisest ja lahutamisest said värskendust. Korrati murdude teisendamist ühest tüübist teise. Saate ka kontrollida. Kas lahendame selle natuke?)
Arvutama:
Vastused (segaduses):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Murdude korrutamine/jagamine – järgmises õppetükis. Samuti on ülesanded kõikide murdosadega tehte jaoks.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.