Teoreem kolmnurga sisenurkade summa kohta
Summa kolmnurga nurgad võrdne 180°.
Tõestus:
- Dan kolmnurk ABC.
- Läbi tipu B tõmbame alusega AC paralleelse sirge DK.
- \angle CBK= \nurk C kui sisemine risti asetsemine paralleelselt DK ja AC ning sekant BC.
- \angle DBA = \angle Sisemine risti asetsev DK \paralleel AC ja sekant AB. Nurk DBK on vastupidine ja võrdne
- \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
- Kuna lahtivolditud nurk on võrdne 180 ^\circ ja \angle CBK = \angle C ja \angle DBA = \angle A , saame 180 ^\circ = \nurk A + \nurk B + \nurk C.
Teoreem on tõestatud
Kolmnurga nurkade summa teoreemi järeldused:
- Summa teravad nurgad täisnurkne kolmnurk võrdne 90°.
- Võrdhaarses täisnurkses kolmnurgas on iga teravnurk võrdne 45°.
- Võrdkülgse kolmnurga iga nurk on võrdne 60°.
- Igas kolmnurgas on kõik teravnurgad või kaks teravnurka ja kolmas on nüri või täisnurkne.
- Kolmnurga välisnurk võrdne summaga kaks sisemised nurgad, mitte selle kõrval.
Kolmnurga välisnurga teoreem
Kolmnurga välisnurk on võrdne selle kolmnurga kahe ülejäänud nurga summaga, mis ei külgne selle välisnurgaga
Tõestus:
- Antud kolmnurk ABC, kus on BCD välisnurk.
- \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
- Võrdsustest nurk \angle BCD + \angle BCA = 180^0
- Saame \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.
. (1. slaid)
Tunni tüüp:õppetund uue materjali õppimiseks.
Tunni eesmärgid:
- Hariduslik:
- kaalume teoreemi kolmnurga nurkade summa kohta,
- näidata teoreemi rakendamist ülesannete lahendamisel.
- Hariduslik:
- õpilaste positiivse suhtumise edendamine teadmistesse,
- Sisestage tundide kaudu õpilastes enesekindlust.
- Arendav:
- arengut analüütiline mõtlemine,
- „Õppimisoskuste“ arendamine: kasutage teadmisi, oskusi ja võimeid haridusprotsess,
- arengut loogiline mõtlemine, oskus oma mõtteid selgelt sõnastada.
Varustus: interaktiivne tahvel, esitlus, kaardid.
TUNNIDE AJAL
– Täna tunnis mäletame täisnurkse, võrdhaarse ja võrdkülgse kolmnurga määratlusi. Kordame kolmnurkade nurkade omadusi. Kasutades sisemiste ühekülgsete ja sisemiste ristnurkade omadusi, tõestame teoreemi kolmnurga nurkade summa kohta ja õpime seda rakendama ülesannete lahendamisel.
II. Suuliselt(Slaid 2)
1) Leia piltidelt ristkülikukujulised, võrdhaarsed, võrdkülgsed kolmnurgad.
2) Defineeri need kolmnurgad.
3) Sõnasta võrdkülgsete ja võrdkülgsete nurkade omadused võrdhaarne kolmnurk.
4) Pildil KE II NH. (slaid 3)
– Määrake nendele joontele sekantsid
– Leidke sisemised ühepoolsed nurgad, risti asetsevad sisenurgad, nimetage nende omadused
III. Uue materjali selgitus
Teoreem. Kolmnurga nurkade summa on 180°
Vastavalt teoreemi sõnastusele koostavad poisid joonise, kirjutavad üles tingimuse ja järelduse. Küsimustele vastates tõestavad nad teoreemi iseseisvalt.
 |
Arvestades: Tõesta: |
Tõestus:
1. Läbi kolmnurga tipu B tõmbame sirge BD II AC.
2. Määrake paralleelsete joonte lõiked.
3. Mida saab öelda nurkade CBD ja ACB kohta? (tehke märge)
4. Mida me teame nurkade CAB ja ABD kohta? (tehke märge)
5. Asendage nurk CBD nurgaga ACB
6. Tee järeldus.
IV. Lõpeta lause.(4. slaid)
1. Kolmnurga nurkade summa on...
2. Kolmnurga üks nurkadest on võrdne, teine, kolmas kolmnurga nurk on võrdne...
3. Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on ...
4. Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga nurgad on võrdsed...
5. Nurgad Võrdkülgne kolmnurk võrdne...
6. Kui võrdhaarse kolmnurga külgmiste külgede vaheline nurk on 1000, siis on nurgad aluse juures võrdsed...
V. Natuke ajalugu.(Slaidid 5–7)
| Kolmnurga nurkade summa teoreemi „Sisesumma kolmnurga nurgad, mis on võrdsed kahe täisnurgaga" omistatakse Pythagorasele (580-500 eKr) |
|
| Vana-Kreeka teadlane Proclus (410-485 pKr), |
Selle teoreemi sõnastas õpikus ka L.S. , ja Pogorelov A.V. õpikus. . Selle teoreemi tõestused nendes õpikutes ei erine oluliselt ja seetõttu esitame selle tõestuse näiteks A. V. Pogorelovi õpikust.
Teoreem: Kolmnurga nurkade summa on 180°
Tõestus. Las ABC - antud kolmnurk. Tõmbame läbi tipu B sirge AC paralleelselt. Märgime sellele punkti D nii, et punktid A ja D asetseksid mööda erinevad küljed otsejoonest BC (joon. 6).
Nurgad DBC ja ACB on võrdsed sisemiste ristuvate nurkadega, mille moodustab sekant BC paralleelsete sirgjoontega AC ja BD. Seetõttu on kolmnurga tippude B ja C nurkade summa võrdne nurgaga ABD. Ja kolmnurga kõigi kolme nurga summa on võrdne nurkade ABD ja BAC summaga. Kuna need on ühepoolsed sisenurgad paralleelsete AC ja BD ning sekant AB jaoks, on nende summa 180°. Teoreem on tõestatud.
Selle tõestuse mõte on läbi viia paralleelne joon ja soovitud nurkade võrdsuse tähistus. Rekonstrueerime sellise lisakonstruktsiooni idee, tõestades seda teoreemi mõtteeksperimendi kontseptsiooni abil. Teoreemi tõestamine mõtteeksperimendi abil. Niisiis, meie mõtteeksperimendi teemaks on kolmnurga nurgad. Asetagem ta vaimselt tingimustesse, kus tema olemus võib eriti kindlalt ilmneda (1. etapp).
Sellised tingimused on selline kolmnurga nurkade paigutus, milles kõik kolm tippu ühendatakse ühes punktis. Selline kombinatsioon on võimalik, kui lubame kolmnurga külgi nihutades nurkade “nihutamise” võimaluse ilma kaldenurka muutmata (joon. 1). Sellised liigutused on sisuliselt järgnevad vaimsed transformatsioonid (2. etapp).
Märgistades kolmnurga nurki ja külgi (joonis 2), “liikumisel” saadud nurki, moodustame sellega mentaalselt keskkonna, seoste süsteemi, kuhu oma mõtteaine asetame (3. etapp).
Sirge AB, mis “liigub” mööda joont BC ja muutmata selle suhtes kaldenurka, kannab nurga 1 üle nurgale 5 ja “liigub” mööda joont AC nurga 2 nurgale 4. Kuna sellise “liikumise” korral sirge AB ei muuda sirgete AC ja BC kaldenurka, siis on järeldus ilmne: kiired a ja a1 on paralleelsed AB-ga ja teisenevad üksteiseks ning kiired b ja b1 on vastavalt külgede BC ja AC jätk. Kuna nurk 3 ning kiirte b ja b1 vaheline nurk on vertikaalsed, on need võrdsed. Nende nurkade summa võrdub pöördenurgaga aa1 – mis tähendab 180°.
KOKKUVÕTE
IN diplomitöö viinud läbi mõne kooli “konstrueeritud” tõestusi geomeetrilised teoreemid, kasutades mõtteeksperimendi struktuuri, mis kinnitas sõnastatud hüpoteesi.
Esitatud tõendid põhinesid sellistel visuaalsetel ja sensoorsetel idealisatsioonidel: "kokkusurumine", "venitamine", "libisemine", mis võimaldas originaali muuta. geomeetriline objekt ja tõsta esile selle mõtteeksperimendile omased põhiomadused. Kus mõtteeksperiment toimib teatud "loomingulise tööriistana", mis aitab kaasa geomeetriliste teadmiste tekkimisele (näiteks umbes keskjoon trapetsikujuline või kolmnurga nurkade ümber). Sellised idealiseerimised võimaldavad haarata kogu tõestuse ideed, ideed viia läbi "lisakonstrueerimine", mis võimaldab rääkida võimalusest, et koolilapsed mõistavad teadlikumalt formaalse deduktiivse tõendamise protsessi. geomeetrilised teoreemid.
Mõtteeksperiment on üks põhimeetodid geomeetriliste teoreemide saamine ja avastamine. Vajalik on välja töötada metoodika meetodi õpilasele ülekandmiseks. Jäänused avatud küsimus umbes õpilase vanus, mis on meetodi „aktsepteerimiseks” vastuvõetav, umbes „ kõrvalmõjud» sel viisil esitatud tõendid.
Need küsimused nõuavad täiendav uuring. Üks on aga igal juhul kindel: koolilastes kujuneb välja mõtteeksperiment teoreetiline mõtlemine, on selle aluseks ja seetõttu tuleb arendada vaimse katsetamise võimet.
Esialgne info
Kõigepealt vaatame otse kolmnurga mõistet.
Definitsioon 1
Me nimetame seda kolmnurgaks geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest segmentidega ühendatud punktist (joonis 1).
2. definitsioon
Definitsiooni 1 raames nimetame punkte kolmnurga tippudeks.
3. määratlus
Definitsiooni 1 raames nimetame segmente kolmnurga külgedeks.
Ilmselgelt on igal kolmnurgal kolm tippu ja kolm külge.
Teoreem kolmnurga nurkade summa kohta
Tutvustame ja tõestame üht peamist kolmnurgaga seotud teoreemi, nimelt kolmnurga nurkade summa teoreemi.
1. teoreem
Iga suvalise kolmnurga nurkade summa on $180^\circ$.
Tõestus.
Vaatleme kolmnurka $EGF$. Tõestame, et selle kolmnurga nurkade summa on võrdne $180^\circ$. Teeme lisakonstruktsiooni: tõmmake sirge $XY||EG$ (joonis 2)
Kuna jooned $XY$ ja $EG$ on paralleelsed, siis $∠E=∠XFE$ asetsevad ristuvalt sekandis $FE$ ja $∠G=∠YFG$ ristumiskohas $FG$.
Nurk $XFY$ pööratakse ümber ja on seega võrdne $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Seega
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Teoreem on tõestatud.
Kolmnurga välisnurga teoreem
Teist teoreemi kolmnurga nurkade summa kohta võib pidada välisnurga teoreemiks. Esiteks tutvustame seda kontseptsiooni.
4. määratlus
Kolmnurga välisnurgaks nimetame nurka, mis külgneb kolmnurga mis tahes nurgaga (joonis 3).
Vaatleme nüüd teoreemi otse.
2. teoreem
Kolmnurga välisnurk on võrdne selle kolmnurga kahe nurga summaga, mis ei külgne kolmnurgaga.
Tõestus.
Mõelgem suvaline kolmnurk$EFG$. Olgu sellel kolmnurga $FGQ$ välisnurk (joonis 3).
Teoreemi 1 järgi saame $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, seega,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Kuna nurk $FGQ$ on väline, siis külgneb see nurgaga $∠G$
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Teoreem on tõestatud.
Näidisülesanded
Näide 1
Leidke kolmnurga kõik nurgad, kui see on võrdkülgne.
Kuna võrdkülgse kolmnurga kõik küljed on võrdsed, siis kõik selles olevad nurgad on samuti üksteisega võrdsed. Tähistagem neid kraadimõõtmised$α$ kaudu.
Seejärel saame teoreemi 1 abil
$α+α+α=180^\circ$
Vastus: kõik nurgad on võrdsed $60^\circ$.
Näide 2
Leidke võrdhaarse kolmnurga kõik nurgad, kui üks selle nurkadest on võrdne $100^\circ$.
Tutvustame võrdhaarse kolmnurga nurkade jaoks järgmist:
Kuna meile pole tingimuses antud, milline täpne nurk on võrdne $100^\circ$, siis on võimalikud kaks juhtumit:
Nurk, mis võrdub $100^\circ$, on kolmnurga aluse nurk.
Kasutades teoreemi nurkade kohta võrdhaarse kolmnurga põhjas, saame
$∠2=∠3=100^\circ$
Kuid ainult siis on nende summa suurem kui $180^\circ$, mis on vastuolus teoreemi 1 tingimustega. See tähendab, et seda juhtumit ei esine.
Nurk, mis võrdub $100^\circ$, on nurk nende vahel võrdsed küljed, see on