Kolmnurga keskjoon on huvitav iseloomustav segment, kuna sellel on mitmeid omadusi, mis võimaldavad leida lihtsa lahenduse näiliselt keerulisele probleemile. Seetõttu vaatame keskjoone põhiomadusi ja räägime, kuidas leida selle lõigu pikkus kolmnurgas.
Kolmnurk ja seda iseloomustavad lõigud
Kolmnurk on kujund, mis koosneb kolmest küljest ja kolmest nurgast. Sõltuvalt nurkadest jagatakse kolmnurgad järgmisteks osadeks:
- Teravnurkne
- nüri
- Ristkülikukujuline
Riis. 1. Kolmnurkade tüübid
Kolmnurga peamised iseloomulikud segmendid on:
- Mediaan– segment, mis ühendab tippu vastaskülje keskkohaga.
- Poolitaja- segment, mis jagab nurga pooleks
- Kõrgus- kolmnurga tipust vastasküljele langenud risti.
Riis. 2. Kolmnurga kõrgus, mediaan ja poolitaja
Iga iseloomustava lõigu jaoks on oma lõikepunkt. Kolme mediaanide, poolitajate ja kõrguste lõikepunkti ühendamisel saadakse kolmnurga kuldsuhe.
Siiski on mitmeid täiendavaid iseloomulikke segmente:
- Risti poolitaja- kõrgus taastatud kõrguse keskelt. Reeglina jätkub risti poolitaja, kuni see lõikub teise küljega.
- keskmine joon- külgnevate külgede keskpunkte ühendav segment.
- Sisse kirjutatud ringi raadius. Sissekirjutatud ring on ring, mis puudutab kolmnurga mõlemat külge.
- Piiratud ringi raadius.Ümberringjoon on ring, mis sisaldab kolmnurga kõiki külgi.
Kolmnurkade külgnevad küljed on küljed, millel on ühine tipp. Geomeetrias on vastandkülgede mõiste, s.t. küljed, mis asuvad üksteise vastas ja millel pole ühiseid tippe. Kuid see mõiste ei kehti kolmnurkade kohta - kolmnurga mis tahes külgede paar on külgnev.
Keskjoone vara
Keskjoone omadusi pole palju, kuid ülesannete lahendamisel on need kõik olulised. Fakt on see, et keskjoone pikkuse leidmiseks on vähe probleeme ja seetõttu suudavad mõned neist hoolimata oma lihtsusest õpilast uimastada.
Seetõttu tutvustame ja arutame kõiki kolmnurga keskjoone omadusi:
- Keskjoon on võrdne poole alusega. Üldiselt on õigem öelda mitte pool alust, vaid pool vastaskülge. Kuna kolmnurgal on 3 külge, aga alus ainult üks. Kuid üldiselt võib kolmnurga mis tahes külge pidada aluseks, seega peetakse sellist sõnastust vastuvõetavaks. Lisaks on seda lihtsam õppida. Üldiselt kasutatakse seda omadust kolmnurga keskjoone pikkuse määramiseks.
- Keskjoon on paralleelne alusega. Sihtasutuse mõistega on olukord sama, mis eelmise kinnistu puhul.
- Keskmine joon lõikab kolmnurgast ära väikese sarnase kolmnurga, mille sarnasustegur on 0,5
- Kolm keskmist joont jagavad kolmnurga 4 võrdseks kolmnurgaks, mis on sarnased suure kolmnurgaga, mille sarnasuskoefitsient on 0,5
Riis. 3. Kolmnurga keskjooned
Tegelikult tuleneb keskjoone pikkuse valem teisest omadusest:
$m=1\over(2)*a$- kus m on keskjoon, a on keskjoone vastaskülg.
Mida me õppisime?
Rääkisime sekundaarsetest iseloomustavatest segmentidest, tuues esile keskjoone. Andsime keskjoonte omadused ja rääkisime nende omaduste formuleerimise iseärasustest. Nad selgitasid, kuidas tuletatakse kolmnurga keskjoone pikkuse valem ja kuidas keskjoon kolmnurka jagab. Kõiki neid omadusi kasutatakse kolmnurkade lahendamisel.
Test teemal
Artikli hinnang
Keskmine hinne: 4.3. Kokku saadud hinnanguid: 174.
Trapetsi keskjoont ja eriti selle omadusi kasutatakse geomeetrias väga sageli ülesannete lahendamiseks ja teatud teoreemide tõestamiseks.
on nelinurk, millel on ainult 2 üksteisega paralleelset külge. Paralleelseid külgi nimetatakse alusteks (joonisel 1 - AD Ja B.C.), ülejäänud kaks on külgmised (joonisel AB Ja CD).
Trapetsi keskjoon on segment, mis ühendab selle külgede keskpunkte (joonisel 1 - KL).
Trapetsi keskjoone omadused
Trapetsi keskjoone teoreemi tõestus
Tõesta et trapetsi keskjoon on võrdne poolega tema aluste summast ja on paralleelne nende alustega.
Antud trapets ABCD keskjoonega KL. Vaadeldavate omaduste tõestamiseks on vaja läbi punktide tõmmata sirgjoon B Ja L. Joonisel 2 on see sirgjoon BQ. Ja jätkake ka sihtasutust AD joonega ristumiskohani BQ.
Mõelge saadud kolmnurkadele L.B.C. Ja LQD:
- Keskjoone määratluse järgi KL punkt L on lõigu keskpunkt CD. Sellest järeldub, et segmendid C.L. Ja LD on võrdsed.
- ∠BLC = ∠QLD, kuna need nurgad on vertikaalsed.
- ∠BCL = ∠LDQ, kuna need nurgad asetsevad paralleelsetel joontel risti AD Ja B.C. ja sekant CD.
Nendest 3 võrdsusest järeldub, et eelnevalt käsitletud kolmnurgad L.B.C. Ja LQD võrdne ühel küljel ja kahel külgneval nurgal (vt joonis 3). Seega ∠LBC = ∠ LQD, BC = DQ ja mis kõige tähtsam - BL=LQ => KL, mis on trapetsi keskjoon ABCD, on ka kolmnurga keskjoon ABQ. Kolmnurga keskjoone omaduse järgi ABQ saame.
Kolmnurga keskjoone omadused:
- keskmine joon on paralleelne kolmnurga põhjaga ja võrdne selle poolega;
- kui kõik kolm keskmist joont tõmmata, moodustub 4 võrdset kolmnurka, mis on sarnased (isegi homoteetsed) algsele koefitsiendiga 1/2.
Trapetsi keskjoon
Märkmed
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "kolmnurga keskjoon" teistes sõnaraamatutes:
Planimeetrias on joonis segment, mis ühendab selle kujundi kahe külje keskpunkte. Seda mõistet kasutatakse järgmiste kujundite puhul: kolmnurk, nelinurk, trapets. Sisu 1 Kolmnurga keskjoon 1.1 Omadused ... Wikipedia
KESKMINE- (1) trapetsi segment, mis ühendab trapetsi külgmiste külgede keskpunkte. Trapetsi keskjoon on paralleelne selle alustega ja võrdne nende poolsummaga; (2) kolmnurga, lõigu, mis ühendab selle kolmnurga kahe külje keskpunkte: antud juhul kolmas külg... ... Suur polütehniline entsüklopeedia
Kolmnurk (trapets) on lõik, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (trapetsi külgi)... Suur entsüklopeediline sõnaraamat
Kolmnurk (trapets), lõik, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (trapetsi külgi). * * * KESKSIORD Kolmnurga (trapetsikuju) KESKSIIRGE, lõik, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (trapetsi külgmised küljed) ... entsüklopeediline sõnaraamat
Kolmnurga segment, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. Kolmnurga kolmandat külge nimetatakse kolmnurga alus. S. l. kolmnurga on alusega paralleelne ja võrdne poolega selle pikkusest. Mis tahes kolmnurgas S. l. lõikab ära...... Matemaatiline entsüklopeedia
Kolmnurk (trapets), segment, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (trapetsi külgi) ... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat
1) S. l. kolmnurk, lõik, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (kolmandat külge nimetatakse aluseks). S. l. kolmnurga on paralleelne alusega ja võrdne poolega sellest; kolmnurga nende osade pindala, milleks c selle jagab. l.,...... Suur Nõukogude entsüklopeedia
Standardne tähistus Kolmnurk on lihtsaim hulknurk, millel on 3 tippu (nurka) ja 3 külge; tasapinna osa, mis on piiratud kolme punktiga, mis ei asu samal sirgel, ja kolme segmendiga, mis ühendavad neid punkte paarikaupa. Kolmnurga tipud ... Wikipedia
Siia on koondatud planimeetria mõistete definitsioonid. Viited terminitele selles sõnastikus (sellel lehel) on kaldkirjas. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Vikipeedia
Enne kolmnurga keskjoone leidmist peate meeles pidama kolmnurkade teist sarnasuse märki ja sirgjoonte paralleelsuse omadusi.
Kuidas leida kolmnurga keskjoont – kolmnurkade sarnasuse teine märk
Joonisel 1 on kujutatud kaks kolmnurka. Kolmnurk ABC on sarnane kolmnurgaga A1B1C1. Ja külgnevad küljed on proportsionaalsed, see tähendab, et AB on A1B1-ga, nagu AC on A1C1-ga. Nendest kahest tingimusest tuleneb kolmnurkade sarnasus.
Kuidas leida kolmnurga keskjoont – joonte paralleelsuse märk
Joonisel 2 on kujutatud read a ja b, sekant c. See loob 8 nurka. Nurgad 1 ja 5 vastavad, kui sirged on paralleelsed, siis vastavad nurgad on võrdsed ja vastupidi.
Kuidas leida kolmnurga keskjoont
Joonisel 3 on M AB keskpunkt ja N on AC keskpunkt, BC on alus. Lõigu MN nimetatakse kolmnurga keskjooneks. Teoreem ise ütleb: Kolmnurga keskjoon on paralleelne alusega ja võrdne selle poolega.
Tõestamaks, et MN on kolmnurga keskjoon, vajame teist kolmnurkade sarnasuse testi ja sirgete paralleelsuse testi.
Kolmnurk AMN on teise kriteeriumi järgi sarnane kolmnurgaga ABC. Sarnastes kolmnurkades on vastavad nurgad võrdsed, nurk 1 on võrdne nurgaga 2 ja need nurgad on vastavad, kui kaks sirget ristuvad ristiga, seetõttu on sirged paralleelsed, MN on paralleelne BC-ga. Nurk A on tavaline, AM/AB = AN/AC = ½
Nende kolmnurkade sarnasuskoefitsient on ½, sellest järeldub, et ½ = MN/BC, MN = ½ BC 
Nii leidsime kolmnurga keskjoone ja tõestasime teoreemi kolmnurga keskjoone kohta. Kui te ikka ei saa aru, kuidas keskjoont leida, vaadake allolevat videot.
keskmine joon kujundid planimeetrias - segment, mis ühendab antud kujundi kahe külje keskpunkte. Seda mõistet kasutatakse järgmiste kujundite puhul: kolmnurk, nelinurk, trapets.
Entsüklopeediline YouTube
1 / 3
✪ 8. klass, 25. tund, kolmnurga keskjoon
✪ geomeetria KOLMNURK KESKMISJOON Atanasyan 8. klass
✪ Kolmnurga keskjoon | Geomeetria 7-9 klass #62 | Infotund
Subtiitrid
Kolmnurga keskjoon
Omadused
- kolmnurga keskjoon on paralleelne alusega ja võrdne poolega sellest.
- kui kõik kolm keskjoont lõikuvad, moodustub 4 võrdset kolmnurka, mis on sarnased (isegi homoteetsed) algsele koefitsiendiga 1/2.
- keskmine joon lõikab ära selle kolmnurga sarnase kolmnurga ja selle pindala on võrdne ühe neljandikuga algse kolmnurga pindalast.
- Kolmnurga kolm keskmist joont jagavad selle 4 võrdseks (identseks) kolmnurgaks, mis on sarnased algse kolmnurgaga. Kõiki 4 sellist identset kolmnurka nimetatakse mediaalseteks kolmnurkadeks. Neist neljast identsest kolmnurgast keskmist nimetatakse täiendavaks kolmnurgaks.
Märgid
- kui lõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja ühendab kolmnurga ühe külje keskpunkti punktiga, mis asub kolmnurga teisel küljel, siis on see keskjoon.
Nelinurga keskjoon
Nelinurga keskjoon- lõik, mis ühendab nelinurga vastaskülgede keskpunkte.
Omadused
Esimene rida ühendab 2 vastaskülge. Teine ühendab ülejäänud 2 vastaskülge. Kolmas ühendab kahe diagonaali keskpunkte (mitte kõigis nelinurkades pole diagonaalid lõikepunktis pooleks jagatud).
- Kui kumeras nelinurgas moodustab keskjoon nelinurga diagonaalidega võrdsed nurgad, siis on diagonaalid võrdsed.
- Nelinurga keskjoone pikkus on väiksem kui pool ülejäänud kahe külje summast või võrdne sellega, kui need küljed on paralleelsed, ja ainult sel juhul.
- Suvalise nelinurga külgede keskpunktid on rööpküliku tipud. Selle pindala on võrdne poolega nelinurga pindalast ja selle kese asub keskmiste joonte lõikepunktis. Seda rööpkülikut nimetatakse Varignoni rööpkülikuks;
- Viimane punkt tähendab järgmist: Kumeras nelinurgas saab joonistada neli teist tüüpi keskjooned. Teist tüüpi keskjooned- neli segmenti nelinurga sees, mis läbivad selle külgnevate külgede keskpunkte paralleelselt diagonaalidega. Neli teist tüüpi keskjooned kumera nelinurga, lõigake see neljaks kolmnurgaks ja üheks keskseks nelinurgaks. See keskne nelinurk on Varignoni rööpkülik.
- Nelinurga keskjoonte lõikepunkt on nende ühine keskpunkt ja poolitab diagonaalide keskpunkte ühendava lõigu. Pealegi ta on