Algarvud on üks huvitavamaid matemaatilisi nähtusi, mis on teadlaste ja tavakodanike tähelepanu köitnud rohkem kui kaks aastatuhandet. Vaatamata sellele, et elame praegu arvutite ja kõige moodsamate infoprogrammide ajastul, pole paljud algarvude mõistatused veel lahendatud, on isegi selliseid, millele teadlased läheneda ei oska.

Algarvud on, nagu elementaararitmeetika käigust teada, need, mis jaguvad ilma jäägita ainult ühega ja iseendaga. Muide, kui naturaalarv jagub lisaks ülalnimetatutele ka mõne muu arvuga, nimetatakse seda liitarvuks. Üks kuulsamaid teoreeme väidab, et mis tahes liitarvu saab esitada algarvude kordumatu võimaliku korrutisena.

Mõned huvitavad faktid. Esiteks on ühik ainulaadne selles mõttes, et tegelikult ei kuulu see ei alg- ega liitarvude hulka. Samal ajal on teadusringkondades endiselt tavaks liigitada see konkreetselt esimesse rühma kuuluvaks, kuna formaalselt vastab see täielikult selle nõuetele.

Teiseks on algarvude rühma surutud ainuke paarisarv loomulikult kaks. Ükski teine ​​paarisarv siia lihtsalt ei pääse, kuna definitsiooni järgi jagub see lisaks iseendale ja ühele ka kahega.

Algarvud, mille loend, nagu eespool öeldud, võib alata ühega, esindavad lõpmatut jada, sama lõpmatut kui naturaalarvude jada. Aritmeetika põhiteoreemile tuginedes võime jõuda järeldusele, et algarvud ei katke kunagi ega lõpe, sest vastasel juhul katkeks naturaalarvude jada paratamatult.

Algarvud ei esine loomulikes jadades juhuslikult, nagu need esmapilgul tunduda võivad. Olles neid hoolikalt analüüsinud, võite kohe märgata mitmeid funktsioone, millest kõige huvitavamad on seotud nn kaksiknumbritega. Neid kutsutakse nii, sest nad sattusid mingil arusaamatul kombel kõrvuti, eraldatuna vaid paariseraldajaga (viis ja seitse, seitseteist ja üheksateist).

Kui vaatate neid tähelepanelikult, märkate, et nende arvude summa on alati kolmekordne. Veelgi enam, vasaku jagamisel kolmega jääb jääk alati kaheks ja parem jääb alati üheks. Lisaks saab ennustada nende arvude jaotust loomulikes jadades, kui kujutame kogu seda seeriat ette võnkuvate sinusoidide kujul, mille põhipunktid moodustuvad arvude kolme ja kahega jagamisel.

Algarvud pole mitte ainult matemaatikute tähelepanelik kaalutlusobjekt kogu maailmas, vaid neid on pikka aega edukalt kasutatud erinevate arvuridade koostamisel, mis on muu hulgas aluseks krüptograafiale. Tuleb tunnistada, et suur hulk nende imeliste elementidega seotud mõistatusi ootab endiselt lahendamist; paljudel küsimustel pole mitte ainult filosoofiline, vaid ka praktiline tähendus.

Arvud on erinevad: loomulikud, ratsionaalsed, ratsionaalsed, täis- ja murdarvud, positiivsed ja negatiivsed, keerukad ja algarvud, paaritu ja paaris, tegelik jne. Sellest artiklist saate teada, mis on algarvud.

Milliseid numbreid nimetatakse inglise keeles lihtsateks?

Väga sageli ei tea koolilapsed esmapilgul vastata ühele kõige lihtsamale küsimusele matemaatikas, mis on algarv. Sageli ajavad nad algarvud segi naturaalarvudega (st arvud, mida inimesed kasutavad objektide loendamisel, samas kui mõnes allikas algavad need nulliga ja teistes ühega). Kuid need on täiesti kaks erinevat mõistet. Algarvud on naturaalarvud, st täisarvud ja positiivsed arvud, mis on suuremad kui üks ja millel on ainult 2 loomulikku jagajat. Veelgi enam, üks neist jagajatest on antud arv ja teine ​​on üks. Näiteks kolm on algarv, kuna seda ei saa ilma jäägita jagada ühegi teise arvuga peale iseenda ja ühe.

Liitarvud

Algarvude vastand on liitarvud. Nad on ka loomulikud, samuti suuremad kui üks, kuid neil pole kaks, vaid suurem arv jagajaid. Nii on näiteks arvud 4, 6, 8, 9 jne loomulikud, liitarvud, kuid mitte algarvud. Nagu näete, on need enamasti paarisarvud, kuid mitte kõik. Kuid "kaks" on paarisarv ja "esimene arv" algarvude reas.

Järjekord

Algarvude jada konstrueerimiseks on vaja valida kõigi naturaalarvude hulgast, võttes arvesse nende määratlust, see tähendab, et peate tegutsema vastuoluliselt. Iga positiivset naturaalarvu tuleb uurida, et näha, kas sellel on rohkem kui kaks jagajat. Proovime ehitada jada (jada), mis koosneb algarvudest. Loend algab kahega, millele järgneb kolm, kuna see jagub ainult iseenda ja ühega. Mõelge numbrile neli. Kas sellel on muid jagajaid peale nelja ja ühe? Jah, see arv on 2. Seega neli ei ole algarv. Viis on samuti algarvuga (see ei jagu ühegi teise arvuga, välja arvatud 1 ja 5), ​​kuid kuus on jagatav. Ja üldiselt, kui järgite kõiki paarisarumbreid, märkate, et peale “kahe” pole ükski neist algarvudest. Sellest järeldame, et paarisarvud, välja arvatud kaks, ei ole algarvud. Veel üks avastus: kõik kolmega jaguvad arvud, välja arvatud kolm ise, olgu paaris või paaritud, ei ole samuti algarvud (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 jne). Sama kehtib viie ja seitsmega jaguvate arvude kohta. Ka kogu nende hulk pole lihtne. Teeme kokkuvõtte. Seega sisaldavad lihtsad ühekohalised numbrid kõiki paarituid numbreid, välja arvatud üks ja üheksa, ning isegi "kaks" on paarisarvud. Kümned ise (10, 20,... 40 jne) pole lihtsad. Kahekohaliste, kolmekohaliste jne algarvude määramisel saab lähtuda ülaltoodud põhimõtetest: kui neil pole peale enda ja ühe jagajaid.

Teooriad algarvude omaduste kohta

On olemas teadus, mis uurib täisarvude, sealhulgas algarvude omadusi. See on matemaatika haru, mida nimetatakse kõrgemaks. Lisaks täisarvude omadustele tegeleb ta ka algebraliste ja transtsendentaalsete arvudega ning nende arvude aritmeetikaga seotud erineva päritoluga funktsioonidega. Nendes uuringutes kasutatakse lisaks elementaar- ja algebralistele meetoditele ka analüütilisi ja geomeetrilisi meetodeid. Täpsemalt käsitleb "Arvuteooria" algarvude uurimist.

Algarvud on naturaalarvude "ehituskivid".

Aritmeetikas on teoreem, mida nimetatakse põhiteoreemiks. Selle järgi saab iga naturaalarvu peale ühe esitada korrutisena, mille tegurid on algarvud ja tegurite järjekord on kordumatu, mis tähendab, et unikaalne on ka esitusviis. Seda nimetatakse naturaalarvu faktoriseerimiseks algteguriteks. Sellel protsessil on ka teine ​​nimi - arvude faktoriseerimine. Sellest lähtuvalt võib algarve nimetada “ehitusmaterjaliks”, “plokkideks” naturaalarvude konstrueerimiseks.

Otsige algarve. Lihtsuse testid

Paljud eri aegade teadlased püüdsid leida mõningaid põhimõtteid (süsteeme) algarvude loendi leidmiseks. Teadus teab süsteeme, mida nimetatakse Atkini sõelaks, Sundarthami sõelaks ja Eratosthenese sõelaks. Kuid need ei anna olulisi tulemusi ja algarvude leidmiseks kasutatakse lihtsat testi. Matemaatikud lõid ka algoritme. Neid nimetatakse tavaliselt primaalsustestideks. Näiteks on olemas Rabini ja Milleri välja töötatud test. Seda kasutavad krüptograafid. Samuti on olemas Kayal-Agrawal-Sasquena test. Kuid hoolimata piisavast täpsusest on seda väga raske arvutada, mis vähendab selle praktilist tähtsust.

Kas algarvude hulgal on piir?

Vana-Kreeka teadlane Euclid kirjutas oma raamatus “Elements”, et algarvude hulk on lõpmatus. Ta ütles nii: „Kujutagem korraks ette, et algarvudel on piir. Seejärel korrutame need omavahel ja lisame tootele ühe. Nende lihtsate toimingute tulemusel saadud arvu ei saa jagada ühegi algarvude jadaga, sest jääk jääb alati üheks. See tähendab, et on mõni muu arv, mis ei ole veel algarvude loendis. Seetõttu ei vasta meie oletus tõele ja sellel hulgal ei saa olla piiri. Lisaks Eukleidese tõestusele on olemas ka kaasaegsem valem, mille andis XVIII sajandi Šveitsi matemaatik Leonhard Euler. Selle järgi kasvab esimese n arvu summa pöördsumma arvu n kasvades piiramatult. Ja siin on teoreemi valem algarvude jaotuse kohta: (n) kasvab n/ln (n).

Mis on suurim algarv?

Seesama Leonard Euler suutis leida oma aja suurima algarvu. See on 2 31 - 1 = 2147483647. Aastaks 2013 arvutati aga algarvude loendis veel üks kõige täpsem suurim - 2 57885161 - 1. Seda nimetatakse Mersenne'i arvuks. See sisaldab umbes 17 miljonit kümnendkohta. Nagu näete, on kaheksateistkümnenda sajandi teadlase leitud arv sellest mitu korda väiksem. See oli nii, nagu pidi, sest Euler tegi selle arvutuse käsitsi, samal ajal kui meie kaasaegset aitas tõenäoliselt arvuti. Pealegi saadi see number matemaatikateaduskonnas ühes Ameerika osakonnas. Selle teadlase järgi nimetatud numbrid läbivad Luc-Lemaire'i ürgsuse testi. Teadus ei taha aga sellega peatuda. Electronic Frontier Foundation, mis asutati 1990. aastal Ameerika Ühendriikides (EFF), on pakkunud suurte algarvude leidmise eest rahalist tasu. Ja kui 2013. aastani anti auhind neile teadlastele, kes leidsid need 1 ja 10 miljoni kümnendarvu hulgast, siis tänaseks on see arv jõudnud 100 miljonilt 1 miljardini. Auhinnad jäävad vahemikku 150–250 tuhat USA dollarit.

Spetsiaalsete algarvude nimed

Neid numbreid, mis leiti tänu teatud teadlaste loodud algoritmidele ja läbisid lihtsuse testi, nimetatakse erilisteks. Siin on mõned neist:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Nende ülalnimetatud teadlaste järgi nime saanud numbrite lihtsus tehakse kindlaks järgmiste testide abil:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riisel.

4. Billhart – Lemaire – Selfridge ja teised.

Kaasaegne teadus sellega ei piirdu ja tõenäoliselt saab maailm lähitulevikus teada nende nimed, kes suutsid suurima algarvu leidmisega saada 250 000 dollari suuruse auhinna.

Alates iidsetest kreeklastest on algarvud olnud matemaatikute jaoks väga atraktiivsed. Pidevalt otsitakse erinevaid võimalusi nende leidmiseks, kuid kõige tõhusamaks viisiks algarvude “püüdmiseks” peetakse Aleksandria astronoomi ja matemaatiku Eratosthenese leitud meetodit. See meetod on juba umbes 2000 aastat vana.

Millised arvud on algarvud

Kuidas määrata algarvu? Paljud arvud jaguvad teiste arvudega jääki jätmata. Arvu, millega täisarv jagatakse, nimetatakse jagajaks.

Sel juhul räägime jagamisest ilma jäägita. Näiteks arvu 36 saab jagada 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ja iseendaga, see tähendab 36-ga. See tähendab, et arvul 36 on 9 jagajat. Arv 23 jagub ainult iseenda ja 1-ga, see tähendab, et sellel arvul on 2 jagajat - see arv on algarv.

Arve, millel on ainult kaks jagajat, nimetatakse algarvudeks. See tähendab, et arvu, mis jagub ilma jäägita ainult iseendaga ja üks, nimetatakse algarvuks.

Matemaatikute jaoks on arvude seeriatest mustrite avastamine, mida saab seejärel kasutada hüpoteeside sõnastamiseks, väga tänuväärne kogemus. Kuid algarvud keelduvad allumast ühelegi mustrile. Kuid on olemas viis algarvude määramiseks. Selle meetodi avastas Eratosthenes, seda nimetatakse "Eratosthenese sõelaks". Vaatame sellise “sõela” versiooni, mis on esitatud numbrite tabelina kuni 48, ja mõistame, kuidas see koostatakse.

Selles tabelis on märgitud kõik algarvud, mis on väiksemad kui 48 oranž. Need leiti nii:

• 1 – on ühe jagajaga ja seetõttu ei ole see algarv;
• 2 on väikseim algarv ja ainus paarisarv, kuna kõik teised paarisarvud jaguvad 2-ga, st neil on vähemalt 3 jagajat, taandatakse need arvud lilla tulp;
• 3 on algarv, sellel on kaks jagajat, kõik muud arvud, mis jaguvad 3-ga, on välja jäetud – need arvud on kokku võetud kollases veerus. Nii lilla kui kollase värviga tähistatud veerg sisaldab numbreid, mis jaguvad nii 2 kui ka 3-ga;
• 5 on algarv, kõik arvud, mis jaguvad 5-ga, on välistatud - need arvud on ümbritsetud rohelise ovaaliga;
• 7 on algarv, kõik arvud, mis jaguvad 7-ga, on ümbritsetud punase ovaaliga – need ei ole algarvud;

Kõik numbrid, mis ei ole algarvud, on tähistatud sinisega. Seejärel saate selle tabeli ise pildi ja sarnasuse järgi koostada.

• Tõlge

Algarvude omadusi uurisid esmakordselt Vana-Kreeka matemaatikud. Pythagorase koolkonna matemaatikuid (500 - 300 eKr) huvitasid eelkõige algarvude müstilised ja numeroloogilised omadused. Nad olid esimesed, kes pakkusid ideid täiuslike ja sõbralike numbrite kohta.

Täiuslikul arvul on tema enda jagajate summa, mis on võrdne iseendaga. Näiteks arvu 6 õiged jagajad on 1, 2 ja 3. 1 + 2 + 3 = 6. Arvu 28 jagajad on 1, 2, 4, 7 ja 14. Veelgi enam, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Arvu nimetatakse sõbralikeks, kui ühe arvu õigete jagajate summa on võrdne teisega ja vastupidi - näiteks 220 ja 284. Võib öelda, et täiuslik arv on sõbralik iseenda vastu.

Eukleidese elementide ilmumise ajaks aastal 300 eKr. Mitmed olulised faktid algarvude kohta on juba tõestatud. IX elementide raamatus tõestas Euclid, et algarve on lõpmatu arv. See, muide, on üks esimesi näiteid vastuolulise tõestuse kasutamisest. Ta tõestab ka aritmeetika põhiteoreemi – iga täisarvu saab üheselt esitada algarvude korrutisena.

Ta näitas ka, et kui arv 2n-1 on algarvuga, siis on arv 2n-1 * (2n-1) täiuslik. Teine matemaatik Euler suutis 1747. aastal näidata, et kõik isegi täiuslikud arvud on sel kujul kirjutatavad. Tänaseni pole teada, kas paarituid täiuslikke numbreid on olemas.

Aastal 200 eKr. Kreeklane Eratosthenes tuli algarvude leidmiseks välja algoritmi, mida nimetatakse Eratosthenese sõelaks.

Ja siis toimus keskajaga seotud algarvude uurimise ajaloos suur paus.

Järgmised avastused tegi juba 17. sajandi alguses matemaatik Fermat. Ta tõestas Albert Girardi oletust, et iga algarvu kujul 4n+1 saab kirjutada üheselt kahe ruudu summana, ning sõnastas ka teoreemi, et iga arvu saab kirjutada nelja ruudu summana.

Ta töötas välja uue meetodi suurte arvude faktoriseerimiseks ja demonstreeris seda arvul 2027651281 = 44021 × 46061. Ta tõestas ka Fermat' väikese teoreemi: kui p on algarv, siis iga täisarvu a puhul on tõsi, et a p = moodul lk.

See väide tõestab poolt "Hiina oletusena" nimetatust ja pärineb 2000 aastat tagasi: täisarv n on algarv siis ja ainult siis, kui 2 n -2 jagub n-ga. Hüpoteesi teine ​​osa osutus valeks - näiteks 2341 - 2 jagub 341-ga, kuigi arv 341 on liit: 341 = 31 × 11.

Fermat' väike teoreem oli aluseks paljudele teistele arvuteooria tulemustele ja arvude algarvude testimise meetoditele – paljusid neist kasutatakse ka tänapäeval.

Fermat pidas palju kirjavahetust oma kaasaegsetega, eriti mungaga, kelle nimi oli Maren Mersenne. Ühes oma kirjas püstitas ta hüpoteesi, et numbrid kujul 2 n +1 on alati algarvud, kui n on kahe aste. Ta testis seda n = 1, 2, 4, 8 ja 16 puhul ning oli kindel, et juhul, kui n ei ole kahe aste, ei pruugi arv olla algarv. Neid arve nimetatakse Fermat' numbriteks ja alles 100 aastat hiljem näitas Euler, et järgmine arv, 2 32 + 1 = 4294967297, jagub 641-ga ega ole seetõttu algarv.

Uuritud on ka arvud kujul 2 n - 1, kuna on lihtne näidata, et kui n on liit, siis on ka arv ise liit. Neid numbreid nimetatakse Mersenne'i numbriteks, kuna ta uuris neid põhjalikult.

Kuid mitte kõik arvud kujul 2 n - 1, kus n on algarv, ei ole algarvud. Näiteks 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. See avastati esmakordselt 1536. aastal.

Paljude aastate jooksul andsid sedalaadi numbrid matemaatikutele suurimad teadaolevad algarvud. Et M 19 tõestas Cataldi aastal 1588 ja see oli 200 aastat suurim teadaolev algarv, kuni Euler tõestas, et ka M 31 on algarv. See rekord püsis veel sada aastat ja siis näitas Lucas, et M 127 on prime (ja see on juba 39-kohaline arv), ja pärast seda jätkus uurimine arvutite tulekuga.

1952. aastal tõestati numbrite M 521, M 607, M 1279, M 2203 ja M 2281 esmasus.

2005. aastaks oli leitud 42 Mersenne'i algarvu. Suurim neist, M 25964951, koosneb 7816230 numbrist.

Euleri töö avaldas tohutut mõju arvuteooriale, sealhulgas algarvudele. Ta laiendas Fermat' väikest teoreemi ja tutvustas φ-funktsiooni. Faktoreeris 5. Fermat' numbri 2 32 +1, leidis 60 paari sõbralikke arve ja sõnastas (kuid ei suutnud tõestada) ruutkeskmise vastastikkuse seaduse.

Ta oli esimene, kes võttis kasutusele matemaatilise analüüsi meetodid ja töötas välja analüütilise arvuteooria. Ta tõestas, et mitte ainult harmooniliste rida ∑ (1/n), vaid ka vormi seeria

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Lahkneb ka algarvude pöördarvude summaga saadud tulemus. Harmoonilise jada n liikme summa kasvab ligikaudu kui log(n) ja teine ​​jada lahkneb aeglasemalt kui log[ log(n) ]. See tähendab, et näiteks kõigi seni leitud algarvude pöördarvude summa annab ainult 4, kuigi seeriad siiski lahknevad.

Esmapilgul tundub, et algarvud jagunevad täisarvude vahel üsna juhuslikult. Näiteks 100 arvu hulgas vahetult enne 10 000 000 on 9 algarvu ja 100 arvu hulgas, mis on vahetult pärast seda väärtust, ainult 2. Kuid suurte segmentide peale on algarvud jaotunud üsna ühtlaselt. Legendre ja Gauss tegelesid nende levitamise küsimustega. Gauss ütles kord sõbrale, et iga vaba 15 minuti jooksul loeb ta alati järgmise 1000 arvu algarvude arvu. Oma elu lõpuks oli ta lugenud kõik algarvud kuni 3 miljonini. Legendre ja Gauss arvutasid võrdselt, et suure n korral on algtihedus 1/log(n). Legendre hindas algarvude arvu vahemikus 1 kuni n as

π(n) = n/(log(n) – 1,08366)

Ja Gauss on nagu logaritmiline integraal

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Integreerimisintervalliga 2 kuni n.

Algarvude 1/log(n) tiheduse väidet tuntakse algjaotuse teoreemina. Nad püüdsid seda tõestada kogu 19. sajandi jooksul ning edu saavutasid Tšebõšev ja Riemann. Nad ühendasid selle Riemanni hüpoteesiga, mis on siiani tõestamata hüpotees Riemanni zeta funktsiooni nullide jaotuse kohta. Algarvude tihedust tõestasid samaaegselt Hadamard ja Vallée-Poussin 1896. aastal.

Algarvuteoorias on veel palju lahendamata küsimusi, millest mõned on sadu aastaid vanad:

• Kaksik algarvu hüpotees on lõpmatu arv algarvude paare, mis erinevad üksteisest 2 võrra
• Goldbachi oletus: iga paarisarvu, mis algab 4-ga, saab esitada kahe algarvu summana
• Kas on olemas lõpmatu arv algarve kujul n 2 + 1?
• Kas alati on võimalik leida algarv n 2 ja (n + 1) 2 vahel? (tõsiasi, et n ja 2n vahel on alati algarv, tõestas Tšebõšev)
• Kas Fermat' algarvude arv on lõpmatu? Kas pärast 4 on Fermati algarvusid?
• kas suvalise pikkusega järjestikuste algarvude aritmeetiline progressioon on olemas? näiteks pikkusele 4: 251, 257, 263, 269. Leitud maksimaalne pikkus on 26.
• Kas aritmeetilises progressioonis on lõpmatu arv kolme järjestikuse algarvu hulka?
• n 2 - n + 41 on algarv, kui 0 ≤ n ≤ 40. Kas selliseid algarve on lõpmatu arv? Sama küsimus valemi n 2 kohta – 79 n + 1601. Need arvud on algarvud 0 ≤ n ≤ 79 korral.
• Kas on olemas lõpmatu arv algarve kujul n# + 1? (n# on kõigi n-st väiksemate algarvude korrutamise tulemus)
• Kas on olemas lõpmatu arv algarve kujul n# -1?
• Kas on lõpmatu arv algarve kujul n? + 1?
• Kas on lõpmatu arv algarve kujul n? - 1?
• kui p on algväärtus, kas 2 p -1 ei sisalda alati oma tegurite hulgas algruute?
• kas Fibonacci jada sisaldab lõpmatu arvu algarve?

Suurimad kaksik-algarvud on 2003663613 × 2 195000 ± 1. Need koosnevad 58711 numbrist ja avastati 2007. aastal.

Suurim faktoriaalne algarv (tüüpi n! ± 1) on 147855! - 1. See koosneb 142891 numbrist ja leiti 2002. aastal.

Suurim algarv (arv kujul n# ± 1) on 1098133# + 1.

Definitsioon 1. algarv− on naturaalarv, mis on suurem kui üks jagub ainult iseenda ja 1-ga.

Teisisõnu on arv algarvuks, kui sellel on ainult kaks erinevat loomulikku jagajat.

Definitsioon 2. Kutsutakse iga naturaalarvu, millel on peale enda ja ühe ka teisi jagajaid liitarv.

Teisisõnu nimetatakse naturaalarve, mis ei ole algarvud, liitarvudeks. Definitsioonist 1 järeldub, et liitarvul on rohkem kui kaks naturaaltegurit. Arv 1 ei ole alg- ega liit, sest on ainult üks jagaja 1 ja lisaks ei kehti paljud algarvude teoreemid ühtsuse kohta.

Definitsioonidest 1 ja 2 järeldub, et iga positiivne täisarv, mis on suurem kui 1, on kas algarv või liitarv.

Allpool on programm algarvude kuvamiseks kuni 5000. Täitke lahtrid, klõpsake nuppu "Loo" ja oodake mõni sekund.

Algarvude tabel

avaldus 1. Kui lk- algarv ja a mis tahes täisarv, siis kumbki a jagatuna lk, või lk Ja a koalgarvud.

Tõesti. Kui lk Algarv jagub ainult iseenda ja 1-ga, kui a ei jagatav lk, siis suurim ühisjagaja a Ja lk on võrdne 1-ga. Siis lk Ja a koalgarvud.

avaldus 2. Kui mitme arvu arvu korrutis a 1 , a 2 , a 3, ... jagub algarvuga lk, siis vähemalt üks numbritest a 1 , a 2 , a 3, ...jagatav lk.

Tõesti. Kui ükski arv ei jaguks lk, siis numbrid a 1 , a 2 , a 3, ... oleksid koalgarvud suhtes lk. Kuid järeldusest 3 () järeldub, et nende toode a 1 , a 2 , a 3, ... on samuti suhteliselt kõrgeim lk, mis on vastuolus väite tingimusega. Seetõttu on vähemalt üks arvudest jagatav lk.

Teoreem 1. Mis tahes liitarvu saab alati ja ainulaadsel viisil esitada lõpliku arvu algarvude korrutisena.

Tõestus. Lase k liitarv ja lase a 1 on üks selle jagajatest, mis erineb 1-st ja iseendast. Kui a 1 on liit, siis on lisaks 1-le ja a 1 ja teine ​​jagaja a 2. Kui a 2 on liitarv, siis on sellel lisaks 1-le ja a 2 ja teine ​​jagaja a 3. Sel moel arutledes ja võttes arvesse, et numbrid a 1 , a 2 , a 3 , ... väheneb ja see rida sisaldab lõplikku arvu liikmeid, jõuame mõne algarvuni lk 1 . Siis k saab esitada kujul

Oletame, et arvul on kaks lagunemist k:

Sest k=p 1 lk 2 lk 3... jagub algarvuga q 1, siis näiteks vähemalt üks teguritest lk 1 jagub arvuga q 1 . Aga lk 1 on algarv ja jagub ainult 1-ga ja iseendaga. Seega lk 1 =q 1 (sest q 1 ≠1)

Siis saame (2)-st välja jätta lk 1 ja q 1:

Seega oleme veendunud, et iga algarv, mis esineb tegurina esimeses laienduses üks või mitu korda, esineb ka teises laienduses vähemalt sama palju kordi ja vastupidi, iga algarv, mis esineb tegurina teises laienduses üks või mitu korda ilmub ka esimeses laienduses vähemalt sama palju kordi. Seetõttu esineb iga algarv mõlemas laienduses tegurina sama arv kordi ja seega on need kaks laiendust samad.

Liitarvu laiendamine k saab kirjutada järgmisel kujul

(3)

Kus lk 1 , lk 2, ... mitmesugused algarvud, α, β, γ ... positiivsed täisarvud.

Laiendust (3) nimetatakse kanooniline laienemine numbrid.

Algarvud esinevad naturaalarvude reas ebaühtlaselt. Mõnes rea osas on neid rohkem, teistes - vähem. Mida kaugemale liigume mööda arvujadasid, seda vähem levinud on algarvud. Tekib küsimus, kas on olemas suurim algarv? Vana-Kreeka matemaatik Euclid tõestas, et algarve on lõpmatult palju. Esitame selle tõendi allpool.

Teoreem 2. Algarvude arv on lõpmatu.

Tõestus. Oletame, et algarve on lõplik arv ja suurim algarv on lk. Vaatame kõiki numbreid suuremateks lk. Lause eeldusel peavad need arvud olema liitarvud ja jaguma vähemalt ühe algarvuga. Valime arvu, mis on kõigi nende algarvude pluss 1 korrutis:

Number z rohkem lk sest 2p juba rohkem lk. lk ei jagu ühegi nendest algarvudest, sest jagades igaühega neist jääb jääk 1. Nii jõuame vastuoluni. Seetõttu on algarve lõpmatu arv.

See teoreem on üldisema teoreemi erijuhtum:

Teoreem 3. Olgu antud aritmeetiline progressioon

Seejärel sisaldub suvaline algarv n, tuleks lisada m, seega sisse n muud peamised tegurid, mida see ei hõlma m ja pealegi need peamised tegurid n on kaasatud mitte rohkem kordi kui sisse m.

Tõsi on ka vastupidine. Kui arvu iga algtegur n sisaldub arvus vähemalt sama mitu korda m, See m jagatuna n.

avaldus 3. Lase a 1 ,a 2 ,a 3,... mitmesugused algarvud m Niisiis

Kus i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Märka seda αi võtab vastu α +1 väärtused, β j võtab vastu β +1 väärtused, γ k aktsepteerib γ +1 väärtused, ... .