Tekstiülesanne. Protsendid, sulamid, lahendused, ülesanded ringil liikumisel ja keskmise kiiruse leidmisel

Töö tüüp: 11
Teema: Protsentidega seotud ülesanded

Seisund

Jelena tegi panka sissemakse summas 5500 rubla. Hoiuse intressi arvestatakse kord aastas ja lisatakse jooksvale hoiuse summale. Aasta hiljem deponeeris Natalja sama summa samasse panka ja samadel tingimustel. Aasta hiljem sulgesid Jelena ja Natalja samaaegselt oma hoiused ja võtsid raha. Selle tulemusel sai Jelena 739,2 rubla rohkem kui Natalja. Leidke, mitu protsenti aastas pank hoiustelt kogus?

Näita lahendust

Lahendus

Olgu aastaprotsent x, siis aasta pärast oli Elena panus:

5500 + 0,01x\cpunkt 5500 = 5500 (1 + 0,01x) rubla ja aasta hiljem - 5500(1 + 0,01x)^2 rubla. Natalja hoius on pangas olnud vaid aasta, seega on see 5500 (1 + 0,01x) rubla. Ja Elena ja Natalja saadud hoiuste vahe oli 739,2 rubla.

Loome ja lahendame võrrandi:

5500(1+0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\entühik x_2=12.

Pank nõudis 12% aastas.

Vastus

Töö tüüp: 11
Teema: Protsentidega seotud ülesanded

Seisund

Ettevõtja Petrov sai 2005. aastal kasumit 12 000 rubla. Igal järgneval aastal kasvas tema kasum eelmise aastaga võrreldes 110\%. Mitu rubla teenis Petrov 2008. aastal?

Näita lahendust

Lahendus

2005. aastal oli kasum 12\ 000 rubla, igal järgneval aastal kasvas see 110% ehk eelmise aastaga võrreldes 210\% = 2,1. Kolme aasta pärast on see võrdne 12\,000\cdot 2,1^3 = 111\,132 rubla

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 11
Teema: Protsentidega seotud ülesanded

Seisund

Seal on kaks sulamit. Esimene sulam sisaldab 12% rauda, teine - 28% rauda. Teise sulami mass on 2 kg suurem kui esimese sulami mass. Nendest kahest sulamist valmistati kolmas sulam, mille rauasisaldus oli 21%. Leidke kolmanda sulami mass. Esitage vastus kilogrammides.

Näita lahendust

Lahendus

Tähistame esimese sulami massi x kg. Siis on teise sulami mass (x + 2) kg. Esimeses sulamis on rauasisaldus 0,12x kg, teises sulamis 0,28(x + 2) kg. Kolmanda sulami mass on x + x + 2 = 2x + 2 (kg) ja selle rauasisaldus on võrdne 2 (x + 1) \cdot 0,21 = 0,42 (x + 1) kg.

Loome ja lahendame võrrandi:

0,12x+ 0,28 (x + 2) = 0,42 (x+1),

6x + 14 (x + 2) = 21 (x + 1),

X = 7.

Kolmanda sulami mass on 2\cdot 7 + 2 = 16 (kg).

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 11
Teema: Protsentidega seotud ülesanded

Seisund

Teleri hinda poes alandatakse kord kvartalis (kolm kuud kvartalis) eelmisest hinnast sama palju protsente. Teatavasti müüdi 50 000 rubla väärt teler kaks kvartalit hiljem maha 41 405 rubla eest. Leidke protsent, mille võrra teleri maksumus kvartalis vähenes.

Näita lahendust

Lahendus

Teleri hind oli esialgu 50 000 rubla. Plokk hiljem sai temast 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000 (1-0,01x) rubla, kus x on protsentide arv, mille võrra teleri hinda kvartalis vähendatakse. Kahe kvartali pärast muutus selle hind

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Loome ja lahendame võrrandi:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2 = 0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Seega langes teleri hind kvartaliga 9 protsenti.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 11
Teema: Protsentidega seotud ülesanded

Seisund

2005. aastal elas külas 55 000 inimest. 2006. aastal kasvas elanike arv uute majade ehitamise tulemusena 6% ja 2007. aastal - 10% võrreldes 2006. aastaga. Leia küla elanike arv 2007. aastal.

Näita lahendust

Lahendus

2006. aastal kasvas küla elanike arv 6%, s.o. sai 106%, mis võrdub 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (elanikku). 2007. aastal kasvas küla elanike arv võrreldes 2006. aastaga 10% (sai 110%), s.o. sai küla elanike arv 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 inimest.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 11
Teema: Protsentidega seotud ülesanded

Seisund

Näita lahendust

Lahendus

3 liitrit 14% vesilahust sisaldab 3\cdot0,14=0,42 liitrit. mingi aine. Lisati 4 liitrit vett, lahust oli 7 liitrit. Need 7 liitrit uut lahust sisaldavad 0,42 liitrit mingit ainet. Leiame uue lahuse kontsentratsiooni: 0,42:7\cdot100=6%.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 11
Teema: Protsentidega seotud ülesanded

Seisund

Ehitusfirmad asutasid ettevõtte, mille põhikapital oli 150 miljonit rubla. Esimene ettevõte panustas 20% põhikapitalist, teine ettevõte - 22,5 miljonit rubla, kolmas - 0,3 põhikapitalist, neljas ettevõte andis ülejäänud osa.

Vaata ka videot "Matemaatika ühtse riigieksami tekstiülesanded".
Sõnaülesanne ei ole ainult liikumis- ja tööülesanne. Samuti on ülesanded protsentide, lahuste, sulamite ja segude, ringis liikumise ja keskmise kiiruse leidmise kohta. Me räägime teile neist.

Alustame protsente puudutavate probleemidega. Oleme seda teemat juba ülesandes 1 kohanud. Eelkõige sõnastasid nad olulise reegli: me võtame väärtuseks, millega võrdleme.

Oleme tuletanud ka kasulikud valemid:

kui suurendame väärtust protsentides, saame .
kui väärtust vähendatakse protsentides, saame .
kui väärtust suurendatakse protsentide võrra ja seejärel vähendatakse võrra, saame .

kui suurendame väärtust kaks korda protsentides, saame
kui väärtust vähendatakse kaks korda protsentides, saame

Kasutagem neid probleemide lahendamiseks.

Linnakvartalis elas aastas inimesi. Aastal suurenes elanike arv uute majade ehituse tulemusena aastaga võrreldes ja aastal - võrra. Kui palju inimesi hakkas kvartalis aastas elama?

Tingimuse järgi kasvas aastaga elanike arv võrra ehk võrdsus inimestega.

Ja aastal kasvas elanike arv , nüüd võrreldes aastaga. Saame, et aastaga elas kvartalis rohkem elanikke.

Selle aasta detsembris toimunud matemaatika ühtsel riigieksamil pakuti välja järgmine probleem. See on lihtne, kuid vähesed on seda valdanud.

Esmaspäeval kallinesid ettevõtte aktsiad teatud protsendi võrra ja teisipäeval langesid sama palju protsenti. Seetõttu muutusid need odavamaks kui esmaspäeval kauplemise avamisel. Mitu protsenti ettevõtte aktsia esmaspäeval kallines?

Esmapilgul tundub, et seisukorras on viga ja aktsia hind ei tohiks üldse muutuda. Need on ju sama protsendi võrra kallinenud ja langenud! Kuid ärgem kiirustagem. Oletame, et esmaspäeval kauplemise avamisel olid aktsiad väärt rubla. Esmaspäeva õhtuks olid need kallinenud ja hakkasid maksma. Nüüd on see väärtus võetud ja teisipäeva õhtuks aktsiad selle väärtuse võrra odavnenud. Kogume andmed tabelisse:

	esmaspäeva hommikul	esmaspäeva õhtul	teisipäeva õhtul
Aktsia hind

Tingimuse kohaselt langesid aktsiad lõpuks aasta võrra.

Me saame sellest aru

Jagame võrrandi mõlemad pooled (see ei võrdu ju nulliga) ja rakendame vasakul küljel lühendatud korrutamisvalemit.

Vastavalt probleemi tähendusele on väärtus positiivne.
Me saame sellest aru.

Külmiku hind poes langeb igal aastal sama protsendi võrra varasemast hinnast. Tehke kindlaks, mitu protsenti külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kaks aastat hiljem müüdi see rubla eest.

See probleem lahendatakse ka ühe artikli alguses toodud valemi abil. Külmkapp maksis rublasid. Selle hind on kaks korda langenud ja nüüd on see võrdne

Neli särki on odavam kui jope poolt. Mitu protsenti on viis särki jakist kallimad?

Olgu särgi maksumus võrdne jope maksumusega. Nagu ikka, võtame sada protsenti väärtust, millega võrdleme, ehk jope hinda. Siis on nelja särgi maksumus võrdne jope hinnaga, st
.

Ühe särgi maksumus on mitu korda väiksem:
,
ja viie särgi maksumus:

Saime viis särki, mis olid jakist kallimad.

Vastus:.

Perekonda kuuluvad mees, naine ja nende õppurist tütar. Kui mehe palk kahekordistuks, suureneks pere kogusissetulek aasta võrra. Kui tütre stipendium väheneks poole võrra, väheneks pere kogusissetulek aasta võrra. Mitu protsenti kogu pere sissetulekust moodustab naise palk?

Joonistame tabeli. Nimetame probleemis viidatud olukordi (“kui mehe palk tõusis, kui tütre stipendium vähenes...”) “olukorraks” ja “olukorraks”.

	abikaasa	naine	tütar	Kogutulu
Päriselt
Olukord
Olukord

Jääb üle kirjutada võrrandisüsteem.

Aga mida me näeme? Kaks võrrandit ja kolm tundmatut! Me ei leia neid eraldi. Tõsi, me ei vaja seda. Parem on võtta esimene võrrand ja lahutada summa selle mõlemast küljest. Saame:

See tähendab, et abikaasa palk on osa pere kogusissetulekust.

Teises võrrandis lahutame ka avaldise mõlemalt küljelt, lihtsustame ja saame selle

See tähendab, et tütre stipendium põhineb pere kogu sissetulekul. Siis moodustab naise palk kogu sissetuleku.

Vastus:.

Järgmised probleemid on lahenduste, segude ja sulamitega seotud probleemid. Neid ei leidu mitte ainult matemaatikas, vaid ka keemias. Me räägime teile nende lahendamise lihtsaimast viisist.

Anumasse, mis sisaldas liitreid teatud aine protsendilist vesilahust, lisati liitrid vett. Mitu protsenti on saadud lahuse kontsentratsioon?

Pilt aitab selliseid probleeme lahendada. Kujutagem lahusega anumat skemaatiliselt – justkui poleks selles olev aine ja vesi omavahel segunenud, vaid üksteisest eraldatud, nagu kokteilis. Ja paneme kirja, mitu liitrit anumad sisaldavad ja mitu protsenti ainet need sisaldavad. Tähistame saadud lahuse kontsentratsiooni.

Esimeses anumas oli aine liitreid. Teine anum sisaldas ainult vett. See tähendab, et kolmas anum sisaldab sama palju liitreid ainet kui esimene:

Segasime teatud koguse teatud aine -protsendilist lahust sama koguse selle aine -protsendilise lahusega. Mitu protsenti on saadud lahuse kontsentratsioon?

Olgu esimese lahuse mass võrdne . Teise mass on sama. Selle tulemusena saime lahuse massiga . Joonistame pildi.

Saame:

Vastus:.

Viinamarjad sisaldavad niiskust ja rosinad niiskust. Mitu kilogrammi viinamarju on vaja kilogrammi rosinate tootmiseks?

Tähelepanu! Kui puutute kokku tooteprobleemiga, st sellisega, kus rosinad on valmistatud viinamarjadest, aprikoosid aprikoosidest, kreekerid leivast või kodujuust piimast - teadke, et see on tegelikult lahenduste probleem. Lahendusena võime umbkaudu kujutada ka viinamarju. See sisaldab vett ja "kuivainet". “Kuivainel” on keeruline keemiline koostis ning selle maitse, värvi ja lõhna järgi saime aru, et tegemist on viinamarjadega, mitte kartuliga. Rosinad tekivad siis, kui vesi aurustub viinamarjadest. Samal ajal jääb “kuivaine” hulk muutumatuks. Viinamarjad sisaldasid vett, mis tähendab, et seal oli kuivainet. Rosinad sisaldavad vett ja "kuivainet". Laske kg viinamarjadest saada kg rosinaid. Siis

Alates

Teeme võrrandi:

ja me leiame selle.

Vastus:.

Seal on kaks sulamit. Esimene sulam sisaldab niklit, teine - niklit. Nendest kahest sulamist saadi kolmas niklit sisaldav sulam massiga kg. Mitu kilogrammi on esimese sulami mass väiksem kui teise sulami mass?

Olgu esimese sulami mass x ja teise sulami mass y. Tulemuseks oli sulam massiga .

Kirjutame lihtsa võrrandisüsteemi:

Esimene võrrand on saadud sulami mass, teine on nikli mass.

Lahendades saame selle.

Vastus:.

Segades happe -protsentuaalse ja -protsendilise lahuse ning lisades kg puhast vett, saime -protsendilise happelahuse. Kui kg vee asemel lisada sama happe kg -protsenti lahust, saaksime happe -protsendilise lahuse. Mitu kilogrammi -protsendilist lahust kasutati segu saamiseks?

Olgu esimese lahuse mass , teise lahuse mass on võrdne . Saadud lahuse mass on võrdne . Kirjutame happe koguse kohta kaks võrrandit.

Lahendame saadud süsteemi. Korrutame kohe võrrandite mõlemad pooled arvuga , kuna täisarvukoefitsientidega on mugavam töötada kui murdosaga. Avame sulgud.

Vastus:.

Ka ringliikumise probleemid osutusid paljudele õpilastele keeruliseks. Neid lahendatakse peaaegu samamoodi nagu tavalisi liikumisprobleeme. Nad kasutavad ka valemit. Kuid on üks nipp, millest me teile räägime.

Üks jalgrattur lahkus punktist ringrajal ja minutite pärast järgnes talle mootorrattur. Minutid pärast lahkumist jõudis ta jalgratturile esimest korda järele ja minutid pärast seda teist korda. Leia mootorratturi kiirus, kui teekonna pikkus on km. Esitage oma vastus km/h.

Esmalt teisendame minutid tundideks, kuna kiirus tuleb leida km/h. Osalejate kiirusi tähistame kui ja . Esimest korda möödus mootorrattur jalgratturist minuteid hiljem ehk tund aega pärast starti. Kuni selle hetkeni oli jalgrattur teel olnud minuteid ehk tund aega.

Kirjutame need andmed tabelisse:


jalgrattur
mootorrattur

Mõlemad läbisid samu vahemaid, st.

Seejärel möödus mootorrattur jalgratturist teist korda. See juhtus minutid ehk tund pärast esimest möödasõitu.

Joonistame teise tabeli.


jalgrattur
mootorrattur

Milliseid vahemaid nad läbisid? Mootorrattur sõitis jalgratturist mööda. See tähendab, et ta sõitis veel ühe ringi. See on selle ülesande saladus. Üks ring on raja pikkus, see võrdub km-ga. Saame teise võrrandi:

Lahendame saadud süsteemi.

Me saame sellest aru. Vastuseks paneme kirja mootorratturi kiiruse.

Vastus:.

Osutitega kell näitab tunde ja minuteid. Mitme minuti pärast reastub minutiosuti neljandat korda tunniosutiga?

See on ehk ühtse riigieksami valikute kõige keerulisem ülesanne. Muidugi on lihtne lahendus - võtke käekell ja veenduge, et osutid joonduksid juba neljandat korda tunni jooksul, täpselt kell ..
Aga mis siis, kui teil on elektrooniline käekell ja te ei saa probleemi eksperimentaalselt lahendada?

Ühe tunni jooksul teeb minutiosuti ühe ringi ja tunniosuti ühe ringi. Olgu nende kiirused (ringi tunnis) ja (ringi tunnis). Start - kell .. Leiame aja, mille jooksul minutiosuti esimest korda tunniosutile järele jõuab.

Minutiosuti liigub veel ühe ringi, nii et võrrand on järgmine:

Olles selle lahendanud, saame selle tunni. Nii et esimest korda joonduvad käed tunni pärast. Las nad muutuvad mõne aja pärast teist korda võrdseks. Minutiosuti läbib vahemaa ja tunniosuti veel ühe ringi. Kirjutame võrrandi:

Olles selle lahendanud, saame selle tunni. Niisiis, tunni pärast joonduvad käed teist korda, järgmise tunni pärast kolmandat korda ja järgmise tunni pärast neljandat korda.

See tähendab, et kui algus oli ., siis neljandal korral joonduvad nooled läbi
tundi.

Vastus on täiesti kooskõlas "eksperimentaalse" lahendusega! :-)

Matemaatikaeksamil võidakse teil paluda leida ka keskmine kiirus. Pidage meeles, et keskmine kiirus ei ole võrdne kiiruste aritmeetilise keskmisega. See leitakse spetsiaalse valemi abil:

,
kus on keskmine kiirus, on kogu vahemaa, on koguaeg.

Kui teelõiku oleks kaks, siis

Reisija ületas merd jahil keskmise kiirusega km/h. Ta lendas tagasi sportlennukiga kiirusega km/h. Leidke reisija keskmine kiirus kogu reisi jooksul. Esitage oma vastus km/h.

Me ei tea, milline oli reisija läbitud vahemaa. Teame vaid seda, et see distants oli sama ka sinna- ja tagasiteel. Lihtsuse mõttes võtame selle vahemaa (ühe merena). Siis võrdub aeg, mille reisija jahil seilas, ja lennule kulunud aeg võrdub . Koguaeg on.
Keskmine kiirus on km/h.

Vastus:.

Näitame veel üht tõhusat tehnikat, mis aitab ülesande 13 võrrandisüsteemi kiiresti lahendada.

Andrey ja Pasha värvivad tara tunni ajaga. Pasha ja Volodya värvivad sama aia tunniga ning Volodja ja Andrei - tunniga. Mitu tundi kulub poistel aia värvimiseks koos töötades?

Oleme juba lahendanud töö- ja tootlikkuse probleemid. Reeglid on samad. Ainus erinevus on see, et siin töötab kolm inimest ja muutujaid on samuti kolm. Olgu Andrei produktiivsus, Pasha tootlikkus ja Volodja tootlikkus. Me võtame tara, see tähendab töömahu, kuna - lõppude lõpuks ei saa me selle suuruse kohta midagi öelda.

	esitus	Töö
Andrei
Pasha
Volodja
Koos

Andrey ja Pasha värvisid tara tundidega. Mäletame, et kui teeme koostööd, lisandub jõudlus. Kirjutame võrrandi:

Samamoodi

Siis

.

Võite otsida , ja eraldi, kuid parem on lihtsalt lisada kõik kolm võrrandit. Me saame sellest aru

See tähendab, et Andrei, Paša ja Volodja värvivad koos töötades tunni jooksul kaheksandiku aiast. Nad värvivad kogu aia tundidega.

Protsentidega seotud tekstülesannete korrektse ja kiire lahendamise oskus on vajalik mitte ainult õpilastele, kes hakkavad sooritama matemaatika ühtset riigieksamit põhi- või eritasemel, vaid ka kõigile täiskasvanutele, kuna selliseid ülesandeid tuleb igapäevaelus pidevalt kokku. . Hindade tõstmine, pere-eelarve planeerimine, rahaliste vahendite tulus investeerimine ja palju muid probleeme ei saa nende oskusteta lahendada. Sertifitseerimistesti sooritamiseks valmistudes tuleb korrata, kuidas lahendada protsente puudutavaid ülesandeid: matemaatika ühtsel riigieksamil leidub neid nii põhi- kui ka erialatasemel.

Vaja meeles pidada

Protsent on \(\frac(1)(100)\) osa arvust. Tähistab millegi osakaalu terviku suhtes. Kirjalik sümbol on \(\%\) . Teema “Protsent” ühtseks riigieksamiks valmistudes peavad koolilapsed nii Moskvas kui ka mujal Vene Föderatsioonis meeles pidama järgmist valemit:

Kuidas seda rakendada?

Matemaatika ühtsel riigieksamil lihtsa protsentidega ülesande lahendamiseks vajate:

Jagage antud arv arvuga \(100\) .
Korrutage saadud väärtus leitava summaga \(\%\).

Näiteks selleks, et arvutada \(10\%\) arvust \(300\) , peate leidma \(1\) protsendi, jagades \(300:100=3\) . Ja eelmisest toimingust saadud arv on \(3\cdot10=30\) . Vastus: \(30\).

Need on kõige lihtsamad ülesanded. 11. klassi õpilased ühtsel riigieksamil seisavad silmitsi vajadusega lahendada keerulisi protsente puudutavaid ülesandeid. Reeglina viitavad need pangahoiustele või maksetele. Valemite ja nende rakendamise reeglitega saate tutvuda jaotises „Teoreetiline teave”. Siin saate mitte ainult korrata põhimääratlusi, vaid tutvuda ka pangalaenu intressidega seotud keerukate probleemide lahendamise võimalustega, samuti harjutustega algebra muudest osadest, näiteks

Matemaatikaülesannete lahendamine protsendipõhimõistete abil.

Protsentidega seotud ülesandeid õpetatakse lahendama alates 5. klassist.

Seda tüüpi probleemide lahendamine on tihedalt seotud kolme algoritmiga:

arvu protsendi leidmine,
arvu leidmine selle protsendi järgi,
protsendi leidmine.

Õpilastega tundides saavad nad aru, et meetrisajandik on sentimeeter, sajandik rubla on sent ja sajandik sentner on kilogramm. Inimesed on juba ammu märganud, et sajandikkogused on praktikas mugavad. Seetõttu leiutati neile eriline nimi – protsent.

See tähendab, et üks kopikas on üks protsent ühest rublast ja üks sentimeeter on üks protsent ühest meetrist.

Üks protsent on üks sajandik arvust. Matemaatilistes sümbolites kirjutatakse üks protsent järgmiselt: 1%.

Ühe protsendi määratluse võib kirjutada järgmiselt: 1% = 0,01. A

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 jne.

Kuidas leida 1% arvust?

Kuna 1% on üks sajandik, peate arvu jagama 100-ga. Jagamise 100-ga saab asendada korrutamisega 0,01-ga. Seetõttu peate antud arvust 1% leidmiseks korrutama selle 0,01-ga. Ja kui teil on vaja leida 5% arvust, siis korrutage see arv 0,05-ga jne.

Näide. Leia: 25% 120-st.

25% = 0,25;
120 . 0,25 = 30.

Reegel 1. Arvu teatud protsendi leidmiseks peate kirjutama protsendid kümnendmurruna ja seejärel korrutama arvu selle kümnendmurruga.

Näide. Treiöör keeras tunniga 40 osa. Kasutades tugevamast terasest lõikurit, hakkas ta keerama veel 10 detaili tunnis. Mitme protsendi võrra tõusis treial tööviljakus?

Selle ülesande lahendamiseks peame välja selgitama, mitu protsenti on 10 osa 40-st. Selleks leiame esmalt, milline osa on arv 10 arvust 40. Teame, et peame 10 jagama 40-ga. Tulemuseks on 0,25. Nüüd paneme selle kirja protsendina - 25%.

Vastus: treipingi tööviljakus kasvas 25%.

Reegel 2. Et teada saada, mitu protsenti on üks arv teisest, tuleb esimene arv jagada teisega ja kirjutada saadud murdosa protsentides.

Näide. Planeeritud eesmärgiga 60 autot päevas tootis tehas 66 autot. Mitu protsenti täitis tehas plaani?

66: 60 = 1,1 - selle osa moodustavad valmistatud autod vastavalt plaanile autode arvust. Kirjutame selle protsendina = 110%.

Vastus: 110%.

Näide. Pronks on tina ja vase sulam. Mitu protsenti sulamist on vaske pronksitükis, mis koosneb 6 kg tinast ja 34 kg vasest?

6+ 34 =40 (kg) - kogu sulami mass.
34: 40 = 0,85 = 85 (%) - sulam on vask.

Vastus: 85%.

Näide. Elevandipoeg kaotas kevadel 20%, siis võttis suvega juurde 30%, sügisel taas 20% ja talvega 10%. Kas tema kaal on sel aastal jäänud samaks? Kui see on muutunud, siis mitme protsendi võrra ja mis suunas?

100 - 20 = 80 (%) - pärast kevadet.
80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - pärast suve.
104-104. 0,2 = 83,2 (%) - pärast sügist.
83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - pärast talve.

Vastus: kaotas kaalu 8,48%.

Näide. Säilitamiseks jätsime 20 kg karusmarju, mille marjad sisaldavad 99% vett. Veesisaldus marjades vähenes 98%-ni. Kui palju karusmarju selle tulemusel saate?

100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - kuivaine osakaal karusmarjades esimesena.
20 . 0,01 = 0,2 (kg) - kuivaine.
100 - 98 = 2 (%) = 0,02 - kuivaine osakaal karusmarjades pärast säilitamist.
0,2: 0,02 = 10 (kg) - sai karusmari.

Vastus: 10 kg.

Näide. Mis saab toote hinnast, kui seda esmalt 25% tõsta ja seejärel 25% alandada?

Olgu toote hind x rub., siis peale tõstmist maksab toode 125% eelmisest hinnast, s.o. 1,25x ja peale 25% alandamist on selle maksumus 75% ehk 0,75 kallinenud hinnast, s.o.

0,75 x 1,25 x = 0,9375 x,

siis kauba hind langes 6,25%, sest

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Vastus: Toote esialgne hind langes 6,25%.

Reegel 3. Kahe arvu A ja B protsentuaalse suhte leidmiseks peate nende arvude suhte korrutama 100% -ga, see tähendab arvutama (A: B). 100%.

Näide. Leidke arv, kui 15% sellest on 30.

15% = 0,15;
30: 0,15 = 200.

x - antud arv;
0,15. x = 300;
x = 200.

Vastus: 200.

Näide. Toores puuvill annab 24% kiudaineid. Kui palju toorpuuvilla kulub, et saada 480 kg kiudaineid?

Kirjutame 24% kümnendmurruna 0,24 ja leiame arvu leidmise ülesande selle teadaolevast osast (murrust).
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Vastus: 2 t.

Näide. Mitu kg puravikku tuleb koguda 1 kg kuivatatud seente saamiseks, kui värskete seente töötlemisel jääb nende massist alles 50% ja kuivatamisel 10% töödeldud seente massist?

1 kg kuivatatud seeni on 10% ehk 0,01 osa töödeldud, s.o.
1 kg: 0,1=10 kg töödeldud seeni, mis on 50% ehk 0,5 kogutud seeni, s.o.
10 kg: 0,05=20 kg.

Vastus: 20 kg.

Näide. Värsked seened sisaldasid 90 massiprotsenti vett ja kuivad seened 12%. Kui palju kuivatatud seeni saad 22 kg värsketest seentest?

22. 0,1 = 2,2 (kg) - seened massi järgi värsketes seentes; (0,1 on 10% kuivainet);
2,2: 0,88 = 2,5 (kg) - kuivatatud seened, mis on saadud värsketest (kuivaine hulk ei ole muutunud, kuid selle protsent seentes on muutunud ja nüüd on 2,2 kg 88% ehk 0,88 kuivseent).

Vastus: 2,5 kg.

Reegel 4. Protsentide alusel arvu leidmiseks peate väljendama protsendid murdarvuna ja jagama protsendiväärtuse selle murdosaga.

Pangaarvestusega seotud probleemide puhul tuleb tavaliselt kokku liht- ja liitintressi. Mis vahe on liht- ja liitintressi kasvul? Lihtsa kasvu korral arvutatakse protsent iga kord algväärtuse alusel ja komplekskasvu korral eelmise väärtuse järgi. Lihtsa kasvu korral on 100% esialgne summa ja keerulise kasvu korral on 100% iga kord uus ja võrdne eelmise väärtusega.

Näide. Pank maksab hoiusummalt tulu 4% kuus. Kontole kanti 300 tuhat rubla, tulu koguneb iga kuu. Arvutage tagatisraha suurus 3 kuu pärast.

100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - hoiuse kasvu osakaal võrreldes eelmise kuuga.
300. 1,04 = 312 (tuhat rubla) - tagatisraha summa 1 kuu pärast.
312. 1,04 = 324,48 (tuhat rubla) - tagatisraha summa 2 kuu pärast.
324,48. 1,04 = 337,4592 (tuhat rubla) = 337 459,2 (r) - tagatisraha summa 3 kuu pärast.

Või võite punktid 2-4 asendada ühega, korrates lastega kraadi mõistet: 300,1 043 = 337 4592 (tuhat rubla) = 337 459,2 (r) - sissemakse suurus 3 kuu pärast.

Vastus: 337 459,2 rubla

Näide. Vasja luges ajalehest, et viimase 3 kuu jooksul on toiduainete hinnad tõusnud iga kuu keskmiselt 10%. Mitu protsenti on hinnad 3 kuuga tõusnud?

Näide. Tuntud ettevõtte aktsiatesse investeeritud raha toob aastas 20% tulu. Mitme aasta pärast investeeritud summa kahekordistub?

Vaatame konkreetsete näidete abil sarnast ülesannete plaani.

Näide. (Valik 1 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. ülesanded_toim. Jaštšenko_2016 -80ndad)

Spordipoes toimub kampaania. Igasugune hüppaja maksab 400 rubla. Ostes kaks džemprit, saad teiselt džemprist 75% allahindlust. Mitu rubla peate kampaaniaperioodil maksma kahe džempri ostmiseks?

Vastavalt probleemi tingimustele selgub, et esimene hüppaja ostetakse 100% algsest maksumusest ja teine 100 - 75 = 25 (%), s.o. Kokku tuleb ostjal tasuda 100 + 25 = 125 (%) esialgsest maksumusest. Lahendust saab siis käsitleda kolmel viisil.

1 viis.

100% aktsepteerime 400 rubla. Siis sisaldab 1% 400: 100 = 4 (hõõru) ja 125%
4 . 125 = 500 (rub.)

2. meetod.

Arvu protsent leitakse, korrutades arvu protsendile vastava murdosaga või korrutades arvu antud protsendiga ja jagades 100-ga.
400. 1,25 = 500 või 400. 125/100 = 500.

3 viis.

Proportsiooniomaduse rakendamine:
400 hõõruda. - 100%
x hõõruda. - 125%, saame x = 125. 400 / 100 = 500 (rub.)

Vastus: 500 rubla.

Näide. (Valik 4 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. ülesanded_toim. Jaštšenko_2016 -80ndad)

Goshaga samavanuste poiste keskmine kaal on 57 kg. Gosha kaal on 150% keskmisest kaalust. Mitu kilogrammi Gosha kaalub?

Sarnaselt ülalkirjeldatud näitega saate luua proportsiooni:

57 kg – 100%
x kg - 150%, saame x = 57. 150/100 = 85,5 (kg)

Vastus: 85,5 kg.

Näide. (Valik 7 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. ülesanded_toim. Jaštšenko_2016 – 80ndad)

Pärast teleri mahamärkimist oli selle uus hind 0,52 vanast. Mitme protsendi võrra hind allahindluse tulemusena langes?

1 viis.

Leiame esmalt hinnalanguse murdosa. Kui võtta alghinnaks 1, siis 1 - 0,52 = 0,48 on hinnaalanduse osa. Siis saame 0,48. 100% = 48%. Need. Hind langes allahindluse tulemusena 48%.

2. meetod.

Kui võtta alghinnaks A, siis peale allahindlust võrdub teleri uueks hinnaks 0,52A, s.o. see väheneb A võrra - 0,52A = 0,48A.

Teeme proportsiooni:
A – 100%
0,48A - x%, saame x = 0,48A. 100/A = 48 (%).

Vastus: hind langes allahindluse tulemusena 48%.

Näide. (Valik 9 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. ülesanded_toim. Jaštšenko_2016 – 80ndad)

Müügil olev ese oli allahinnatud 15% ja nüüd maksis see 680 rubla. Mitu rubla maksis toode enne müüki?

Enne hinnaalandust oli toode 100% väärt. Toote hind pärast müüki langes 15%, s.o. sai 100 - 15 = 85 (%), rublades on see väärtus 680 rubla.

1 viis.

680: 85 = 8 (hõõru) – 1%
8 . 100 = 800 (rub.) - toote maksumus enne müüki.

2. meetod.

See protsendimäära järgi arvu leidmise probleem lahendatakse, jagades arvu vastava protsendiga ja teisendades saadud murdosa protsendiks, korrutades 100-ga või jagades protsentidest teisendamisel saadud murdosaga.
680:85. 100 = 800 (rub.) või 680: 0,85 = 800 (rub.)

3 viis.

Proportsiooni kasutamine:
680 hõõruda. - 85%
x hõõruda. - 100%, saame x = 680. 100/85 = 800 (rub.)

Vastus: Kaup maksis enne müüki 800 rubla.

Segude ja sulamite ülesannete lahendamine, kasutades mõisteid "protsent", "kontsentratsioon", "% lahus".

Seda tüüpi lihtsaimad ülesanded on toodud allpool.

Näide. Mitu kg soola on 10 kg soolases vees, kui soola protsent on 15%.

10 . 0,15 = 1,5 (kg) soola.

Vastus: 1,5 kg.

Aine protsenti lahuses (näiteks 15%) nimetatakse mõnikord ka %lahuseks (näiteks 15% soolalahuseks).

Näide. Sulam sisaldab 10 kg tina ja 15 kg tsinki. Kui suur on tina ja tsingi protsent sulamis?

Aine protsent sulamis on osa, mille antud aine mass moodustab kogu sulami massist.

10 + 15 = 25 (kg) - sulam;
10:25. 100% = 40% - tina protsent sulamis;
15:25. 100% = 60% - tsingi protsent sulamis.

Vastus: 40%, 60%.

Seda tüüpi ülesannete puhul on põhikontseptsiooniks "kontsentratsioon". Mis see on?

Mõelge näiteks happe lahusele vees.

Laske anumas olla 10 liitrit lahust, mis koosneb 3 liitrist happest ja 7 liitrist veest. Siis on suhteline (kogu mahu suhtes) happesisaldus lahuses võrdne. See arv määrab happe kontsentratsiooni lahuses. Mõnikord räägitakse happe protsendist lahuses. Toodud näites oleks protsent järgmine: . Nagu näete, on üleminek kontsentratsioonilt protsendile ja vastupidi väga lihtne.

Niisiis, sisaldagu segu massiga M mõnda ainet massiga m.

antud aine kontsentratsiooni segus (sulamis) nimetatakse koguseks;
antud aine protsenti nimetatakse väärtuseks c×100%;

Viimasest valemist järeldub, et aine kontsentratsiooni ja segu (sulami) kogumassi teadaolevate väärtuste korral määratakse selle aine mass valemiga m = c × M.

Segudega (sulamitega) seotud probleemid võib jagada kahte tüüpi:

Näiteks on määratletud kaks segu (sulamit), mille massid on m1 ja m2 ning mille mõne aine kontsentratsioon neis on vastavalt c1 ja c2. Segud (sulamid) kurnatakse (sulatatakse). On vaja kindlaks määrata selle aine mass uues segus (sulamis) ja selle uus kontsentratsioon. On selge, et uues segus (sulamis) on selle aine mass võrdne c1m1 + c2m2 ja kontsentratsiooniga.
Määratakse teatud kogus segu (sulamit) ja sellest mahust hakkavad nad valama (eemaldama) teatud kogust segu (sulamit) ja seejärel lisama (lisama) sama või erineva koguse segu (sulami) antud aine sama kontsentratsiooniga või erineva kontsentratsiooniga. Seda toimingut tehakse mitu korda.

Selliste probleemide lahendamisel on vaja kontrollida selle aine kogust ja selle kontsentratsiooni igal mõõnal, samuti iga segu lisamisel. Sellise juhtimise tulemusena saame lahendusvõrrandi. Vaatame konkreetseid ülesandeid.

Kui aine kontsentratsioon ühendis massi järgi on P%, siis tähendab see, et selle aine mass on P% kogu ühendi massist.

Näide. Hõbeda kontsentratsioon 300 g sulamis on 87%. See tähendab, et sulamis on 261 g puhast hõbedat.

300. 0,87 = 261 (g).

Selles näites väljendatakse aine kontsentratsiooni protsentides.

Puhta komponendi mahu suhet lahuses kogu segu ruumalasse nimetatakse selle komponendi mahuliseks kontsentratsiooniks.

Kõigi segu moodustavate komponentide kontsentratsioonide summa on 1.

Kui aine protsent on teada, leitakse selle kontsentratsioon järgmise valemi abil:
K = P/100%,
kus K on aine kontsentratsioon;
P on aine protsent (protsentides).

Näide. (Valik 8 nr 22. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. ülesanded_toim. Jaštšenko_2016 – 80ndad)

Värsked puuviljad sisaldavad 75% vett, kuivatatud puuviljad aga 25%. Kui palju värskeid puuvilju on vaja 45 kg kuivatatud puuvilja valmistamiseks?

Kui värsked puuviljad sisaldavad 75% vett, on kuivained 100 - 75 = 25 (%) ja kuivatatud puuviljad 25%, siis kuivainet 100 - 25 = 75 (%).

Probleemi lahenduse sõnastamisel võite kasutada tabelit:

Värsked puuviljad x 25% = 0,25 0,25. X

Kuivatatud puuviljad 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Sest värskete ja kuivatatud puuviljade kuivaine mass ei muutu, saame võrrandi:

0,25. x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - vaja on värskeid puuvilju.

Vastus: 135 kg.

Näide. (Valik 8 nr 11. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. Toim. Jaštšenko 2016 -56s)

Segades 70% ja 60% happelahuseid ning lisades 2 kg puhast vett, saime 50% happelahuse. Kui 2 kg vee asemel lisaksime 2 kg sama happe 90% lahust, saaksime 70% happelahuse. Mitu kilogrammi 70% lahust kasutati segu saamiseks?

Kogukaal, kg | Kuivaine kontsentratsioon | Kuivkaal
I x 70% = 0,7 0,7. X
II 60% jaoks = 0,6 0,6. juures
vesi 2 - -
I + II + vesi x + y + 2 50% = 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% = 0,7 0,7. (x + y + 2)

Kasutades tabeli viimast veergu, loome 2 võrrandit:

0.7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) ja 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Ühendades need süsteemiks ja lahendades selle, saame, et x = 3 kg.

Vastus: Segu saamiseks kasutati 3 kilogrammi 70% lahust.

Näide. (Valik 2 nr 11. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. Toim. Jaštšenko 2016 -56s)

Kolm kilogrammi kirsse maksab sama palju kui viis kilogrammi kirsse ja kolm kilogrammi kirsse sama palju kui kaks kilogrammi maasikaid. Mitme protsendi võrra on kilogramm maasikaid odavam kui kilogramm kirsse?

Ülesande esimesest lausest saame järgmised võrdsused:

3h = 5v,
3v = 2k.
Millest saame väljendada: h = 5v/3, k = 3v/2.

Nii saate luua proportsiooni:
5v/3 – 100%
3v/2 - x%, saame x = (3.100.v.3)/(2.5.v), x = 90% on maasikate kilogrammi maksumus kirsside kilogrammi maksumusest.

See tähendab, et 100 - 90 = 10 (%) - kilogramm maasikaid on odavam kui kilogramm kirsse.

Vastus: kilogramm maasikaid on 10 protsenti odavam kui kilogramm kirsse.

"Liitintressiga" seotud probleemide lahendamine, kasutades kasvu (vähenemise) teguri mõistet.

Positiivse arvu A suurendamiseks p protsendi võrra peaksite arvu A korrutama kasvuteguriga K = (1 + 0,01p).

Positiivse arvu A vähendamiseks p protsendi võrra peaksite arvu A korrutama vähendusteguriga K = (1 - 0,01p).

Näide. (Valik 29 nr 22. OGE-2015. Matemaatika. Tüüpilised eksamivalikud: 36 valikut / toimetanud Jaštšenko, 2015 - 224s)

Toote hinda alandati kaks korda sama protsendi võrra. Mitme protsendi võrra langes toote hind iga kord, kui selle esialgne maksumus oli 5000 rubla ja lõppmaksumus 4050 rubla?

1 viis.

Sest toote hind langes sama palju %, tähistame % arvu x-ga. Olgu esimesel ja teisel korral toote hind x% alandatud, siis peale esimest alandamist kujunes toote hinnaks (100 - x)%.

Teeme proportsiooni
5000 hõõruda. - 100%
rublades - (100 - x)%, saame y = 5000. (100–x) / 100 = 50. (100 - x) rubla - kauba maksumus pärast esimest vähendamist.

Loome uue proportsiooni uue hinnaga:
50 . (100 - x) hõõruda. - 100%
z hõõruda. - (100 - x)%, saame z = 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rubla - kauba maksumus pärast teist vähendamist.

Saame võrrandi 0,5. (100 - x)2 = 4050. Olles selle lahendanud, leiame, et x = 10%.

2. meetod.

Sest toote hind langes sama arvu % võrra, tähistame arvu % x-ga, x % = 0,01 x.

Reduktsiooniteguri kontseptsiooni kasutades saame kohe võrrandi:
5000. (1–0,01x)2 = 4050.

Vastus: toote hind langes iga kord 10%.

Näide. (Valik 30 nr 22. OGE-2015. Matemaatika. Tüüpilised eksamivalikud: 36 valikut / toimetanud Jaštšenko, 2015 - 224s)

Kauba hinda tõsteti kaks korda sama protsendi võrra. Mitme protsendi võrra tõusis toote hind iga kord, kui selle esialgne maksumus oli 3000 rubla ja lõppmaksumus 3630 rubla?

Sest sama numbri võrra tõusis toote hind, tähistame arvu% x-ga, x% = 0,01 x.

Kasutades suurendusteguri mõistet, saame kohe võrrandi:
3000. (1 + 0,01x)2 = 3630.

Olles selle lahendanud, leiame, et x = 10%.

Vastus: toote hind tõusis iga kord 10%.

Näide. (Valik 4 nr 11. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. Tüüpiline test. Toim. Jaštšenko 2016 -56s)

Neljapäeval kallinesid ettevõtte aktsiad teatud protsendi võrra ja reedel langesid sama palju protsenti. Selle tulemusena hakkasid need maksma 9% odavamalt kui neljapäeval kauplemise avamisel. Mitu protsenti ettevõtte aktsia neljapäeval kallines?

Laske ettevõtte aktsiatel kallineda ja langeda x%, x% = 0,01 x ning aktsiate alghinnaks oli A. Kasutades kõiki ülesande tingimusi, saame võrrandi:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x)A = (1 - 0,09) A,
1 – (0,01 x)2 = 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x = 0,3,
x = 30%.

Vastus: Firma aktsia tõusis neljapäeval 30 protsenti.

Pangandusülesannete lahendamine matemaatika ühtse riigieksami 2016 uues versioonis.

Näide. (Valik 2 nr 17. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. 50 tüüpi. versioon toim. Jaštšenko 2016)

15. jaanuaril on plaanis võtta pangalaen 15 kuuks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

On teada, et kaheksas makse oli 108 tuhat rubla. Kui suur summa tuleb kogu laenuperioodi jooksul pangale tagastada?

2.-14.-ni tasutakse A/15 +0,01A.

Pärast seda on võlasumma 1,01A - A/15 - 0,01A = 14A/15.

2 kuu pärast saame: 1.01. 14A/15.

Teine makse A/15 + 0,01. 14A/15.

Siis on võlg peale teist makset 13A/15.

Samamoodi leiame, et kaheksas makse näeb välja selline:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A/15.

Ja vastavalt tingimusele võrdub see 108 tuhande rublaga. See tähendab, et saame luua ja lahendada võrrandi:

1,08A/15 = 108,

A=1500 (tuhat rubla) - võla esialgne summa.

2) Kogu laenuperioodi jooksul pangale tagastatava summa leidmiseks peame leidma kõigi laenumaksete summa.

Kõikide laenumaksete summad on järgmised:

(A/15 + 0,01 A) + (A/15 + 0,01, 14A/15) + (A/15 + 0,01, 13 A/15) + … + (A/15 + 0,01 A /15) = A + 0,01 A/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = A + (0,01, 120 A)/15 = 1,08 A.

Seega 1.08. 1500 = 1620 (tuhat rubla) = 1 620 000 rubla tuleb pangale tagastada kogu laenuperioodi jooksul.

Vastus: 1 620 000 rubla.

Näide. (Valik 6 nr 17. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. 50 tüüpi. versioon toim. Jaštšenko 2016)

15. jaanuaril on plaanis võtta pangalaen 24 kuuks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg 1% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
iga kuu 2.-14. kuupäevast on vaja osa võlga tagasi maksta;
Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeval.

On teada, et esimese 12 kuu jooksul peate pangale maksma 177,75 tuhat rubla. Kui palju plaanite laenata?

1) Olgu A laenusumma, 1% = 0,01.

Siis 1.01A võlg peale esimest kuud.

2.-14.-ni tasutakse A/24 +0,01A.

Pärast seda on võlasumma 1,01A - A/24 - 0,01A = A - A/24 = 23A/24.

Selle skeemi puhul muutub võlg sama palju väiksemaks kui võlg eelmise kuu 15. kuupäeval.

2 kuu pärast saame: 1.01. 23A/24.

Teine makse A/24 + 0,01. 23A/24.

Siis on võlg peale teist makset 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A/24 = 23A/24 (1,01–0,01) – A/24 = 23A/24 – A/24 = 22A/24.

Seega saame, et esimese 12 kuu eest peate pangale maksma järgmise summa:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + … + A/24 + 0,01. 13A/24 =12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Ja vastavalt tingimusele võrdub see 177 375 tuhande rublaga. See tähendab, et saame luua ja lahendada võrrandi:
711A/1200 = 177,75,
A = 300 (tuhat rubla) = 300 000 rubla - plaanitakse võtta laenu.

Vastus: 300 000 rubla.

Räägime ühtse riigieksami ülesannetest nr 19

Juba kaks aastat on teisele osale lisatud ülesanne c majanduslik sisu, st probleemid keeruliste pangaintressidega.

Nad ütlevad, et meil on tegemist liitintressiga juhul, kui teatud väärtus muutub järk-järgult. Pealegi on selle muutus iga kord teatud arv protsenti väärtusest, mis sellel väärtusel oli eelmises etapis.

Iga etapi lõpus muutub väärtus sama konstantse protsendi võrra -R%. Siis lõpusn etapis teatud koguse väärtusA , mille algväärtus oli võrdneA 0 , määratakse järgmise valemiga:

Suurenedes ja

Kui väheneb

Teades, et hoiuse aastane intressimäär on 12%, leia

selle samaväärne igakuine intressimäär.

Lahendus:

Kui paned A rubla panka, siis aasta pärast saame:A 1 =A 0 (1 +0,12)

Kui intressi arvutati iga kuu intressimäära järgiX , siis liitintressi valemi järgi aasta (12 kuu) pärastA n =A 0 (1 + 0,01x) 12

Neid väärtusi võrdsutades saame võrrandi, mille lahendus võimaldab määrata igakuise intressimääraA(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12

1,12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1) 100% ≈ 0,9488792934583046%

Vastus: Kuu intressimäär on0.9488792934583046%.

Selle probleemi lahendusest on näha, et igakuine intressimäär ei võrdu aastamäära jagatuna 12-ga.

31. detsembril 2013 võttis Sergei pangast laenuks välja 9 930 000 rubla 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril võtab pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 10%), seejärel kannab Sergei teatud summa iga-aastasest maksest Pank. Kui suur peaks olema Sergei aastamakse, et maksta võlg kolme võrdse aastamaksena?

Lahendus:

Laenusumma olguA , aastane makse on võrdneX rubla, ja aastane summa on k % . Seejärel korrutatakse iga aasta 31. detsembril järelejäänud võlasumma koefitsiendiga m =1+ 0,01 k . Pärast esimest makset on võlasumma: A 1 = olen - X. Peale teist makset võlasumma

saab:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=at 2 -(1+t)x

Tingimuse kohaselt peab Sergei laenu kolme maksega täielikult tagasi maksma, seega

kus

Kella = 9930000 Jak =10 , saameT =1,1 ja

Vastus : 3 993 000 rubla.

Nüüd, kui oleme selle kõigis lahendajates pakutud lahendusega tegelenud, vaatame teist lahendust.

LaseF = 9 930 000 - laenusumma,x – iga-aastase makse nõutav summa.

Esimene aasta:

Töökohustused:1.1F ;

Makse:X ;

Ülejäänud:1.1F-x .

Teine aasta:

Töökohustused:1.1 (1.1F-x) ;

Makse:X ;

Ülejäänud:1.1(1.1F-x)-x .

Kolmas aasta:

Töökohustused:1.1(1.1F-x)-x );

Makse:X ;

Saldo: 0, kuna tingimuse järgi oli ainult kolm makset.

Ainus võrrand

1,1(1,1(1,1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F = 3,31x, x = 3993000

Vastus: 3 993 000 rubla.

Siiski-1 ! Kui eeldada, et intressimäär ei ole ilus 10%, vaid kohutav 13,66613%. Tõenäosus korrutamise käigus kuskil surra või iga aasta võlasumma kordajat täpsustades hulluks minna on järsult kasvanud. Lisagem sellele mitte ainult väikesed 3 aastat, vaid 25. See lahendus ei tööta.

31. detsembril 2014 võttis Andrey pangast laenuks välja teatud summa 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril võtab pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 10%) ja seejärel kannab Andrey panka 3 460 600 rubla. Millise summa Andrei pangast võttis, kui maksis võla ära kolme võrdse maksega (ehk üle 3 aasta)?

Lahendus.

LaseA - vajalik kogus,k% - laenu intressimäär,X – iga-aastane makse. Seejärel korrutatakse iga aasta 31. detsembril järelejäänud võlasumma koefitsiendigam = 1 + 0,01 k . Pärast esimest makset on võlasumma:A 1 = olen – x . Pärast teist makset on võlasumma:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=at 2 -(1+t)x

Pärast kolmandat makset ülejäänud võla summa:

Tingimuste kohaselt maksis Andrey võla ära kolme aastaga,

see onA 3 = 0 , kus.

Kellx = 3 460 600, k% = 10% , saame:m = 1,1 Ja=8 606 000 (rubla).

Vastus: 8 606 000 rubla.

31. detsembril 2013 võttis Igor pangast laenuks välja 100 000 rubla. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril võtab pank ülejäänud võlasummalt intressi (ehk suurendab võlga teatud intressimäära võrra), seejärel kannab Igor järgmise osa. Igor maksis laenu kahes osas tagasi, kandes esimesel korral 51 000 ja teisel korral 66 600 rubla. Kui suure protsendiga pank Igorile laenu väljastas?

Lahendus

Lasek % – nõutav laenuintress;m = (1 + 0,01 k ) – järelejäänud võla kordaja;a = 100 000 – pangast laenatud summa;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – esimese ja viimase kaeviku mõõtmed.

Pärast esimest makset on võlasumma:a 1 = ema – x 1 .

Pärast teist makset on võlasumma:a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 -m x 1 – x 2 . Tingimuste järgi,a 2 = 0 . Võrrand tuleb kõigepealt lahendada suhtesm , võttes muidugi ainult positiivse juure:

100 000 m 2 – 51 000 m – 66 600 = 0; 500 m 2 – 255 m – 333 = 0.

Siit saavad alguse raskused.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Siis.

Vastus: 11%.

31. detsembril 2013 võttis Masha pangast teatud protsendiga aastas teatud summa laenuks. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril võtab pank ülejäänud võlasummalt intressi (see tähendab, et see suurendab võlga teatud intressimäära võrra), seejärel kannab Maša järgmise osa. Kui ta maksab igal aastal 2 788 425 rubla, maksab ta võla ära 4 aastaga. Kui kumbki 4 991 625, siis 2 aasta pärast. Millise protsendiga võttis Maša pangast raha?

Lahendus

Pärast kaheaastast tagasimaksmist arvutatakse võetud laenusumma järgmise valemi abil:

Pärast nelja aastat tagasimaksmist arvutatakse võetud laenusumma järgmise valemi abil:

Kus

Siis.

Vastus: 12,5%.

31. detsembril 2013 võttis Vanya pangast laenuks 9 009 000 rubla 20% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril võtab pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 20%), seejärel kannab Vanya makse panka. Vanya tasus kogu võla 3 võrdse maksega. Mitu rubla annaks ta pangale vähem, kui saaks 2 võrdse maksega võla ära maksta?

Lahendus

Kasutame ülesande 2 tulemust.

Nõutav erinevusX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rubla

Vastus: 1 036 00 rubla.

1. juunil 2013 võttis Vsevolod Jaroslavovitš pangast laenuks välja 900 000 rubla. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise kuu 1. kuupäeval võtab pank ülejäänud võlasummalt 1 protsendi (ehk suurendab võlga 1%), seejärel kannab Vsevolod Jaroslavovitš makse panka. Milliseks minimaalseks kuuks saab Vsevolod Jaroslavovitš laenu võtta, et kuumaksed ei ületaks 300 000 rubla?

Peate mõistma lihtsat tõde – mida suurem on laenumakse, seda vähem võlgu jääb. Mida vähem võlga teil on, seda kiiremini maksate selle ära. Maksimaalne kuumakse, mida laenuandja saab endale lubada, on vastavalt tingimusele 300 000 rubla. Kui Vsevolod Jaroslavovitš maksab maksimummakse, maksab ta võla kõige kiiremini ära. Teisisõnu, ta saab laenu võtta kõige lühemaks perioodiks, mida tingimus nõuab.

Proovime probleemi otsekohe lahendada.

Kuu on möödas. 1. juuli 2013: võlg (1 + 0,01)900 000 – 300 000 = 609 000.

Kuu on möödas. 1. august 2013: võlg (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.

Kuu on möödas. 1. september 2013: võlg (1 +0,01)315 090 – 300 000= 18 240,9. Kuu on möödas. 1. oktoober 2013: võlg (1 0,01) 1240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Vastus: 4 kuud.

Lahendame probleemi standardmeetodi abil.

Kasutan ülesande 3 tulemusi, võttes arvesse järgmist arutluskäiku: võla ülejäänud osa ebavõrdsus on kujula x ≤ 0 .

Lasex - vajalik kogus,a = 900 000 - pangast laenatud summa,k% = 1% - laenuintress,y = 300 000 - kuumakse,m = (1 + 0,01 k) – järelejäänud võla igakuine kordaja. Seejärel saame juba teadaoleva valemi järgi ebavõrdsuse: ≤0 ;

Meil on ebameeldiv ebavõrdsus, kuid tõsi.

Võtame arvust täisarvulise osa, sest maksete arv ei saa olla mittetäisarv. Võtame lähima suurema täisarvu, väiksemat ei saa võtta (sest siis tekib võlg) ja on selge, et saadud logaritm ei ole täisarv. Selgub, 4 makset, 4 kuud.

Talunik sai pangast laenu teatud protsendiga aastas. Aasta hiljem tagastas talunik laenu tagasimaksmiseks pangale kogu summa, mille ta selleks ajaks pangale võlgnes, ja aasta hiljem, et laen täielikult tagasi maksta, kandis ta panka summa, mis oli pangale võlgu. oli 21% suurem kui saadud laenusumma. Mis on selle panga laenu aastaintress?

Lahendus:

Laenusumma olukorda ei mõjuta. Võtame pangast 4 rubla (jagub 4-ga).

Aastaga suureneb võlg panga ees täpseltX korda ja muutub võrdseks4x rubla

Jagame selle 4 osaks ja tagastame3x rubla ja me peame jäämaX rubla

On teada, et järgmise aasta lõpuks peame maksma4 1.21 rubla

Teatavasti pöördus aasta võlasumma numbristX arvuliseltX 2 .

Kuna talunik maksis võla täielikult tagasi kahe aasta pärast, siis

X 2 = 4 1,21 x = 2 1,1 x = 2,2

KoefitsientX tähendab, et 100% muutub aastaga 220%-ks.

See tähendab, et panga aastaprotsent on: 220% - 100%

Vastus: 120%

Summa 3900 tuhat rubla kanti panka 50% aastas. Iga esimese nelja hoiuaasta lõpus tegi hoiustaja pärast intressi arvestamist kontole täiendava sissemakse sama kindla summa ulatuses. Viienda aasta lõpuks selgus pärast intresside arvestamist, et hoiuse suurus oli esialgsega võrreldes suurenenud 725%. Millise summa investor igal aastal hoiusele lisas?

Lahendus:

Olgu hoiustatud summa fikseeritudX rubla

Siis, pärast kõigi toimingute tegemist, pärast esimest aastat muutus hoiuse summa

2 aasta pärast

Pärast3 aasta

Pärast4 aasta

Pärast5 aasta

Kuna viienda aasta lõpuks pärast intresside arvestamist selgus, et hoiuse suurus oli esialgsega võrreldes suurenenud 725%, koostame võrrandi:

3900 ·8,25=3900·1,5 5 +x·(1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5,5=3900·1,5 4 +x(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Vastus: 210 rubla.

Pank võttis teatud summa teatud protsendiga vastu. Aasta hiljem võeti kontolt välja veerand kogunenud summast. Kuid pank tõstis aastaintressi 40%. Järgmise aasta lõpuks oli kogunenud summa 1,44 korda suurem kui esialgne sissemakse. Kui suur on uus APR protsent?

Lahendus:

Sissemakse summast olenevalt olukord ei muutu. Paneme panka 4 rubla (jagatuna 4-ga).

Aastaga suureneb kontol olev summa täpseltlk korda ja muutub võrdseks4p rubla

Jagame selle 4 osaks ja viime kojulk rubla, jätame selle panka3p rubla

Teatavasti oli järgmise aasta lõpuks pangas 4·1,44 = 5,76 rubla.

Nii et number3p muutus numbriks 5.76. Mitu korda see suurenes?

Seega on leitud teine kasvav koefitsientx purk.

Huvitaval kombel on mõlema koefitsiendi korrutis 1,92:

Tingimusest järeldub, et teine koefitsient on 0,4 võrra suurem kui esimene.

lk · x = lk ·( lk +0,4)=1,92

Juba praegu saab valida koefitsiente: 1,2 ja 1,6.

Kuid jätkame võrrandi lahendamist:

10p ·(10p+4)=192 lase 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, st. p = 1,2; ja x = 1,6

Vastus: 60%