Tund ja ettekanne teemal: "Arvjadad. Aritmeetiline progressioon"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid veebipoes "Integral" 9. klassi õpikutele
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.
Mis on aritmeetiline progressioon?
Arvjada, milles iga liige, alates teisest, võrdub eelmise ja mõne fikseeritud arvu summaga, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Aritmeetiline progressioon on korduvalt määratletud arvuline progressioon.
Kirjutame üles korduva vormi: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, arv d – progresseerumise vahe. a ja d on teatud arvud.
Näide. 1,4,7,10,13,16... Aritmeetiline progressioon $a=1, d=3$.
Näide. 3,0,-3,-6,-9... Aritmeetiline progressioon $a=3, d=-3$.
Näide. 5,5,5,5,5... Aritmeetiline progressioon $a=5, d=0$.
Aritmeetilisel progressioonil on monotoonsuse omadused: kui progressiooni erinevus on suurem kui null, siis jada kasvab, kui progressiooni erinevus on väiksem kui null, siis jada väheneb.
Kui aritmeetilisel progressioonil on lõplik arv elemente, siis nimetatakse progressiooni lõplikuks aritmeetiliseks progressiooniks.
Kui on antud jada $a_(n)$ ja see on aritmeetiline progressioon, siis on tavaks tähistada: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem
Aritmeetilise progressiooni saab määrata ka analüütilisel kujul. Vaatame, kuidas seda teha:$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Märkame kergesti mustrit: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Meie valemit nimetatakse aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemiks.
Läheme tagasi oma näidete juurde ja kirjutame iga näite jaoks üles oma valem.
Näide. 1,4,7,10,13,16... Aritmeetiline progressioon, milles a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.
Näide. 3,0,-3,-6,-9... Aritmeetiline progressioon, mille puhul a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.
Näide. Antud aritmeetiline progressioon: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) On teada, et $a_(1)=5$, $d=3$. Leidke $a_(23)$.
b) On teada, et $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Leia n.
c) On teada, et $d=-1$, $a_(22)=15$. Leidke $a_(1)$.
d) On teada, et $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Leia d.
Lahendus.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.
Näide. Aritmeetilise progressiooni üheksanda liikme jagamisel teise liikmega jääb jagatiseks 7 ja üheksanda liikme jagamisel viiendaga on jagatis 2 ja jääk 5. Leidke progressiooni kolmekümnes liige.
Lahendus.
Kirjutame järjestikku oma progressiooni valemid 2,5 ja 9.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Tingimusest teame ka:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Või:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Loome võrrandisüsteemi:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Pärast süsteemi lahendamist saame: $d=6, a_(1)=1$.
Leiame $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.
Lõpliku aritmeetilise progressiooni summa
Olgu meil lõplik aritmeetiline progressioon. Tekib küsimus: kas on võimalik arvutada kõigi selle liikmete summa?Proovime seda probleemi mõista.
Olgu antud lõplik aritmeetiline progressioon: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Tutvustame selle liikmete summa tähistust: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Vaatame konkreetset näidet, millega summa võrdub.
Olgu meile antud aritmeetiline progressioon 1,2,3,4,5...100.
Esitagem siis selle liikmete summa järgmiselt:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Kuid sarnane valem on rakendatav mis tahes aritmeetilise progressiooni jaoks:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Kirjutame oma valemi üldjuhul: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, kus $k<1$.
Tuletame aritmeetilise progressiooni liikmete summa arvutamise valem, kirjutame valem kaks korda erinevas järjekorras:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Liidame need valemid kokku:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Meie võrdsuse paremal küljel on n liiget ja me teame, et igaüks neist on võrdne $a_(1)+a_(n)$.
Seejärel:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Meie valemit saab ka ümber kirjutada kujul: kuna $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
siis $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Enamasti on seda konkreetset valemit mugavam kasutada, nii et see on hea meeles pidada!
Näide. Antakse lõplik aritmeetiline progressioon.
Leia:
a) $s_(22),kui a_(1)=7, d=2$.
b) d, kui $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Lahendus.
a) Kasutame teist summa valemit $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 dollarit.
b) Selles näites kasutame esimest valemit: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8) = 27 $.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.
Näide. Leidke kõigi paaritute kahekohaliste arvude summa.
Lahendus.
Meie progresseerumise tingimused on: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Leiame progressiooni viimase liikme numbri:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n = 45 $.
Nüüd leiame summa: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.
Näide. Poisid läksid matkama. Teadaolevalt kõndisid nad esimesel tunnil 500 m, pärast mida hakkasid kõndima 25 meetrit vähem kui esimesel tunnil. Mitu tundi kulub neil 2975 meetri läbimiseks?
Lahendus.
Igas tunnis läbitud tee võib esitada aritmeetilise progressioonina:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Aritmeetilise progressiooni erinevus on $d=-25$.
Läbitud vahemaa 2975 meetrit on aritmeetilise progressiooni liikmete summa.
$S_(n)=2975$, kus n on reisile kulunud tunnid.
Seejärel:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n = $5950.
Jagage mõlemad pooled 25-ga.
40 n-(n-1) n = 238 dollarit.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Ilmselgelt on loogilisem valida $n=7$.
Vastus. Poisid olid teel 7 tundi.
Aritmeetilise progressiooni iseloomulik omadus
Poisid, võttes arvesse aritmeetilise progressiooni, vaatleme suvaliselt kolme järjestikust progressiooni liiget: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.Me teame seda:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Paneme oma väljendid kokku:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Kui progresseerumine on piiratud, kehtib see võrdsus kõigi liikmete kohta, välja arvatud esimene ja viimane.
Kui ei ole ette teada, mis kujul jada on, kuid on teada, et: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Siis võime julgelt öelda, et see on aritmeetiline progressioon.
Arvjada on aritmeetiline progressioon, kui selle progressiooni iga liige on võrdne meie progressiooni kahe naaberliikme aritmeetilise keskmisega (ärge unustage, et lõpliku progressiooni korral ei ole see tingimus progressiooni esimese ja viimase liikme puhul täidetud) .
Näide. Leia x selline, et $3x+2$; $x-1 $; $4x+3$ – aritmeetilise progressiooni kolm järjestikust liiget.
Lahendus. Kasutame oma valemit:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Kontrollime, meie avaldised on kujul: -2,2; -2,4; -2.6.
Ilmselgelt on need aritmeetilise progressiooni liikmed ja $d=-0,2$.
Iseseisvalt lahendatavad probleemid
1. Leidke aritmeetilise progressiooni kahekümne esimene liige 38;30;22…2. Leidke aritmeetilise progressiooni 10,21,32 viieteistkümnes liige...
3. On teada, et $a_(1)=7$, $d=8$. Leidke $a_(31)$.
4. On teada, et $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Leia n.
5. Leidke aritmeetilise progressiooni 3;12;21… esimese seitsmeteistkümne liikme summa.
6. Leia x selline, et $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – aritmeetilise progressiooni kolm järjestikust liiget.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")
Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga arv on sama palju suurem (või väiksem) kui eelmine.
See teema tundub sageli keeruline ja arusaamatu. Tähtede indeksid, progressiooni n-s liige, progressiooni erinevus - see kõik on kuidagi segane, jah... Teeme aritmeetilise progressiooni tähenduse selgeks ja kõik läheb kohe paremaks.)
Aritmeetilise progressiooni mõiste.
Aritmeetiline progressioon on väga lihtne ja selge mõiste. Kas teil on kahtlusi? Asjata.) Vaadake ise.
Kirjutan lõpetamata numbrite jada:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Kas saate seda sarja pikendada? Millised numbrid tulevad pärast viit? Kõik... uh..., ühesõnaga, kõik saavad aru, et järgmisena tulevad numbrid 6, 7, 8, 9 jne.
Teeme ülesande keerulisemaks. Annan teile lõpetamata numbrite jada:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Saate mustri püüda, seeriat pikendada ja nime anda seitsmes rea number?
Kui saite aru, et see arv on 20, siis palju õnne! Sa mitte ainult ei tundnud aritmeetilise progressiooni põhipunktid, kuid kasutas neid edukalt ka äris! Kui te pole sellest aru saanud, lugege edasi.
Tõlkime nüüd aistingute põhipunktid matemaatikasse.)
Esimene võtmepunkt.
Aritmeetiline progressioon käsitleb arvujadasid. See tekitab alguses segadust. Oleme harjunud võrrandeid lahendama, graafikuid joonistama ja kõike muud... Aga siin me pikendame seeriat, leiame seeria numbri...
See on korras. Lihtsalt progressioonid on esimene tutvus uue matemaatikaharuga. Jaotis kannab nime "Seeria" ja töötab spetsiaalselt numbrite ja avaldiste seeriatega. Harju sellega.)
Teine põhipunkt.
Aritmeetilises progressioonis erineb mis tahes arv eelmisest sama palju.
Esimeses näites on see erinevus üks. Ükskõik, millise numbri te võtate, on see ühe võrra suurem kui eelmine. Teises - kolm. Iga number on eelmisest kolme võrra suurem. Tegelikult annab see hetk meile võimaluse mustrist aru saada ja järgnevaid numbreid arvutada.
Kolmas põhipunkt.
See hetk ei raba, jah... Aga see on väga-väga oluline. Siin ta on: Iga edenemisnumber on omal kohal. On esimene number, on seitsmes, on neljakümne viies jne. Kui segate need juhuslikult, muster kaob. Kaob ka aritmeetiline progressioon. Järele on jäänud vaid numbrite jada.
See on kogu asja mõte.
Loomulikult ilmuvad uude teemasse uued terminid ja tähistused. Sa pead neid teadma. Vastasel juhul ei saa te ülesandest aru. Näiteks peate otsustama midagi sellist:
Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.
Inspireeriv?) Tähed, mõned indeksid... Ja ülesanne, muide, ei saaks olla lihtsam. Peate lihtsalt mõistma terminite ja nimetuste tähendust. Nüüd saame selle asja selgeks ja naaseme ülesande juurde.
Tingimused ja nimetused.
Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga number erineb eelmisest sama palju.
Seda kogust nimetatakse . Vaatame seda kontseptsiooni üksikasjalikumalt.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni erinevus on summa, mille võrra mis tahes edenemisarv rohkem eelmine.
Üks oluline punkt. Palun pöörake sõnale tähelepanu "rohkem". Matemaatiliselt tähendab see, et iga progressiooniarv on lisades aritmeetilise progressiooni erinevus eelmisest numbrist.
Arvutamiseks ütleme teiseks seeria numbrid, peate esiteks number lisama just see aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvutamiseks viies- vahe on vajalik lisama To neljas, noh jne.
Aritmeetilise progressiooni erinevus Võib olla positiivne, siis osutub seeria iga number tõeliseks rohkem kui eelmine. Seda progresseerumist nimetatakse suureneb. Näiteks:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Siin saadakse iga number lisades positiivne arv, +5 eelmisele.
Erinevus võib olla negatiivne, siis on seeria iga number vähem kui eelmine. Seda edenemist nimetatakse (te ei usu seda!) väheneb.
Näiteks:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Siin saadakse ka iga number lisades eelmisele, kuid juba negatiivne arv, -5.
Muide, progresseerumisega töötades on väga kasulik kohe kindlaks teha selle olemus - kas see suureneb või väheneb. See aitab palju otsuses navigeerida, oma vigu märgata ja need parandada enne, kui on liiga hilja.
Aritmeetilise progressiooni erinevus tähistatakse tavaliselt tähega d.
Kuidas leida d? Väga lihtne. See tuleb lahutada mis tahes arvust seerias eelmine number. Lahutage. Muide, lahutamise tulemust nimetatakse "erinevuseks".)
Määratleme näiteks d aritmeetilise progressiooni suurendamiseks:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Võtame reas mis tahes arvu, mida tahame, näiteks 11. Lahutame sellest eelmine number need. 8:
See on õige vastus. Selle aritmeetilise progressiooni puhul on erinevus kolm.
Võite selle võtta mis tahes edenemisnumber, sest konkreetse progresseerumise jaoks d-alati sama. Vähemalt kuskil rea alguses, vähemalt keskel, vähemalt igal pool. Te ei saa võtta ainult esimest numbrit. Lihtsalt sellepärast, et kõige esimene number eelmist pole.)
Muide, seda teades d=3, on selle progressi seitsmenda numbri leidmine väga lihtne. Liidame viiendale arvule 3 – saame kuuenda, sellest saab 17. Kuuendale arvule liidame kolm, saame seitsmenda numbri – kakskümmend.
Defineerime d kahaneva aritmeetilise progressiooni jaoks:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Tuletan teile meelde, et olenemata märkidest, määrata d vaja mis tahes numbrist võta eelmine ära. Valige mis tahes edenemisnumber, näiteks -7. Tema eelmine number on -2. Seejärel:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla mis tahes arv: täisarv, murdosa, irratsionaalne, suvaline arv.
Muud terminid ja nimetused.
Iga seeria numbrit nimetatakse aritmeetilise progressiooni liige.
Iga progressi liige on oma number. Numbrid on rangelt korras, ilma igasuguste nippideta. Esimene, teine, kolmas, neljas jne. Näiteks progressioonis 2, 5, 8, 11, 14, ... kaks on esimene liige, viis on teine, üksteist on neljas, noh, saate aru...) Palun saage selgelt aru - numbrid ise võib olla absoluutselt ükskõik, tervik, murdosa, negatiivne, mis iganes, aga numbrite nummerdamine- rangelt korras!
Kuidas kirjutada progressi üldkujul? Pole probleemi! Iga seeria number on kirjutatud tähena. Aritmeetilise progressiooni tähistamiseks kasutatakse tavaliselt tähte a. Liikmenumbrit tähistab indeks all paremal. Kirjutame terminid eraldatuna komadega (või semikooloniga) järgmiselt:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- see on esimene number, a 3- kolmas jne. Ei midagi uhket. Selle seeria võib lühidalt kirjutada järgmiselt: (a n).
Progresseerumine toimub lõplik ja lõpmatu.
Ülim progressioonil on piiratud arv liikmeid. Viis, kolmkümmend kaheksa, mida iganes. Kuid see on lõplik arv.
Lõpmatu progressioon – sellel on lõpmatu arv liikmeid, nagu võite arvata.)
Lõpliku edenemise saate kirjutada sellise seeria kaudu, kõik terminid ja punkt lõpus:
1, 2, 3, 4, 5.
Või nii, kui liikmeid on palju:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Lühikirjes peate lisaks märkima liikmete arvu. Näiteks (kahekümnele liikmele) nii:
(a n), n = 20
Lõpmatu edenemise tunneb ära rea lõpus oleva ellipsi järgi, nagu selle õppetüki näidetes.
Nüüd saate ülesandeid lahendada. Ülesanded on lihtsad, ainult aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.
Aritmeetilise progressiooni ülesannete näited.
Vaatame üksikasjalikult ülaltoodud ülesannet:
1. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.
Tõlgime ülesande arusaadavasse keelde. Antakse lõpmatu aritmeetiline progressioon. Selle edenemise teine number on teada: a 2 = 5. Progressi erinevus on teada: d = -2,5. Peame leidma selle edenemise esimese, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme.
Selguse huvides kirjutan üles seeria vastavalt ülesande tingimustele. Esimesed kuus terminit, kus teine termin on viis:
1, 5, 3, 4, 5, 6,...
a 3 = a 2 + d
Asendage väljendiga a 2 = 5 Ja d = -2,5. Ärge unustage miinust!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Kolmas ametiaeg osutus teisest väiksemaks. Kõik on loogiline. Kui arv on suurem kui eelmine negatiivne väärtus, mis tähendab, et arv ise on eelmisest väiksem. Progresseerumine väheneb. Olgu, võtame seda arvesse.) Me arvestame oma sarja neljandat perioodi:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Seega arvutati terminid kolmandast kuuendani. Tulemuseks on järgmine seeria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Jääb üle leida esimene termin a 1 teada-tuntud teise järgi. See on samm teises suunas, vasakule.) Niisiis, aritmeetilise progressiooni erinevus d ei tohiks lisada a 2, A ära viima:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
See on kõik. Ülesande vastus:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Möödaminnes tahan märkida, et me lahendasime selle ülesande korduv tee. See kohutav sõna tähendab ainult progressi liikme otsimist eelmise (kõrvaloleva) numbri järgi. Allpool vaatleme muid võimalusi progresseerumisega töötamiseks.
Sellest lihtsast ülesandest saab teha ühe olulise järelduse.
Pidage meeles:
Kui teame vähemalt ühte liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võime leida selle progressiooni mis tahes liikme.
Kas sa mäletad? See lihtne järeldus võimaldab teil lahendada enamiku selle teema koolikursuse probleeme. Kõik ülesanded on seotud kolme põhiparameetriga: aritmeetilise progressiooni liige, progressiooni erinevus, progressiooni liikme arv. Kõik.
Loomulikult ei tühistata kogu eelnevat algebrat.) Progressiooniga on seotud ebavõrdsused, võrrandid ja muu. Aga vastavalt arengule endale- kõik keerleb kolme parameetri ümber.
Näitena vaatame mõnda populaarset selleteemalist ülesannet.
2. Kirjutage lõplik aritmeetiline progressioon seeriana, kui n=5, d = 0,4 ja a 1 = 3,6.
Siin on kõik lihtne. Kõik on juba antud. Peate meeles pidama, kuidas aritmeetilise progressiooni liikmeid loendatakse, loendama ja üles kirjutama. Ülesande tingimustes on soovitatav mitte jätta märkamata sõnu: "lõplik" ja " n = 5". Et mitte arvestada enne, kui olete näost täiesti siniseks muutunud.) Selles protsessis on ainult 5 (viis) liiget:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Jääb üle vastus kirja panna:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Teine ülesanne:
3. Tehke kindlaks, kas arv 7 on aritmeetilise progressiooni (a n) liige, kui a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kes teab? Kuidas midagi kindlaks teha?
Kuidas-kuidas... Pane edenemine seeria kujul kirja ja vaata, kas seal tuleb seitse või mitte! Me arvestame:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Nüüd on selgelt näha, et meid on alles seitse lipsas läbi vahemikus 6,5 kuni 7,7! Seitse ei kuulunud meie arvude jadasse ja seetõttu ei kuulu seitse antud progressi.
Vastus: ei.
Ja siin on probleem, mis põhineb GIA tegelikul versioonil:
4. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:
...; 15; X; 9; 6; ...
Siin on sari, mis on kirjutatud ilma lõpu ja alguseta. Pole liikmenumbreid, pole vahet d. See on korras. Ülesande lahendamiseks piisab aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmisest. Vaatame ja vaatame, mis on võimalik teadma sellest sarjast? Mis on kolm peamist parameetrit?
Liikmete numbrid? Siin pole ühtegi numbrit.
Aga seal on kolm numbrit ja – tähelepanu! - sõna "järjekindel" seisukorras. See tähendab, et numbrid on rangelt korras, ilma lünkadeta. Kas selles reas on kaks? naaber teadaolevad numbrid? Jah mul on! Need on 9 ja 6. Seega saame arvutada aritmeetilise progressiooni erinevuse! Kuuest lahutada eelmine number, st. üheksa:
Jäänud on vaid pisiasjad. Mis number on X jaoks eelmine? Viisteist. See tähendab, et X on lihtsa liitmise teel kergesti leitav. Lisage aritmeetilise progressiooni erinevus 15-le:
See on kõik. Vastus: x=12
Järgmised probleemid lahendame ise. Märkus: need probleemid ei põhine valemitel. Puhtalt selleks, et mõista aritmeetilise progressiooni tähendust.) Kirjutame lihtsalt numbrite ja tähtede jada, vaatame ja mõtleme välja.
5. Leidke aritmeetilise progressiooni esimene positiivne liige, kui a 5 = -3; d = 1,1.
6. On teada, et arv 5,5 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 = 1,6; d = 1,3. Määrake selle liikme arv n.
7. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 4; a 5 = 15,1. Leia 3.
8. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Leidke tähega x tähistatud progressiooni liige.
9. Rong hakkas jaamast liikuma, suurendades ühtlaselt kiirust 30 meetrit minutis. Kui suur on rongi kiirus viie minuti pärast? Esitage oma vastus km/h.
10. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 5; a 6 = -5. Leia 1.
Vastused (segaselt): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Kõik õnnestus? Hämmastav! Järgmistes tundides saate õppida aritmeetilist progressiooni kõrgemal tasemel.
Kas kõik ei õnnestunud? Pole probleemi. Erijaotises 555 on kõik need probleemid tükkhaaval välja sorteeritud.) Ja loomulikult kirjeldatakse lihtsat praktilist tehnikat, mis toob selliste ülesannete lahenduse kohe selgelt, selgelt, ühe pilguga esile!
Muide, rongimõistatuses on kaks probleemi, mille otsa inimesed sageli komistavad. Üks on puhtalt edenemise mõttes ja teine on üldine matemaatika ja ka füüsika probleemide jaoks. See on mõõtmete tõlge ühelt teisele. See näitab, kuidas need probleemid tuleks lahendada.
Selles õppetükis vaatlesime aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja selle peamisi parameetreid. Sellest piisab peaaegu kõigi selle teemaga seotud probleemide lahendamiseks. Lisama d numbrite juurde, kirjuta seeria, kõik laheneb.
Sõrmelahendus sobib hästi väga lühikeste reatükkide jaoks, nagu selle õppetüki näidetes. Kui seeria on pikem, muutuvad arvutused keerulisemaks. Näiteks kui küsimuse ülesandes 9 asendame "viis minutit" peal "kolmkümmend viis minutit" probleem muutub oluliselt hullemaks.)
Ja on ka ülesandeid, mis on sisuliselt lihtsad, kuid arvutuslikult absurdsed, näiteks:
Antakse aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.
Mis siis, kas me lisame 1/6 mitu-mitu korda?! Kas sa saad ennast tappa!?
Saate.) Kui te ei tea lihtsat valemit, mille abil saate selliseid ülesandeid minutiga lahendada. See valem on järgmises õppetükis. Ja see probleem on seal lahendatud. Minuti pärast.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Näiteks jada \(2\); \(5\); \(8\); \(üksteist\); \(14\)... on aritmeetiline progressioon, kuna iga järgnev element erineb eelmisest kolme võrra (saab eelmisest kolme liites):
Selles progressioonis on erinevus \(d\) positiivne (võrdne \(3\)) ja seetõttu on iga järgmine liige suurem kui eelmine. Selliseid progressioone nimetatakse suureneb.
Siiski võib \(d\) olla ka negatiivne arv. Näiteks, aritmeetilises progressioonis \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresseerumise erinevus \(d\) võrdub miinus kuuega.
Ja sel juhul on iga järgmine element väiksem kui eelmine. Neid progressioone nimetatakse väheneb.
Aritmeetiline progressiooni tähistus
Edenemist tähistab väike ladina täht.
Arve, mis moodustavad progressiooni, nimetatakse liikmed(või elemendid).
Neid tähistatakse aritmeetilise progressioonina sama tähega, kuid numbrilise indeksiga, mis on võrdne elemendi numbriga järjekorras.
Näiteks aritmeetiline progressioon \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koosneb elementidest \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja nii edasi.
Teisisõnu, progressi jaoks \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine
Põhimõtteliselt on ülaltoodud teave juba piisav peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniprobleemide lahendamiseks (kaasa arvatud OGE-s pakutavad).
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega \(b_1=7; d=4\). Otsige üles \(b_5\).
Lahendus:
Vastus: \(b_5=23\)
Näide (OGE).
Aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: \(62; 49; 36…\) Leidke selle progressiooni esimese negatiivse liikme väärtus.
Lahendus:
|
Meile antakse jada esimesed elemendid ja teame, et see on aritmeetiline progressioon. See tähendab, et iga element erineb naabrist sama numbri võrra. Uurime välja, milline, lahutades järgmisest elemendist eelmise: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Nüüd saame taastada oma arengu (esimese negatiivse) elemendini, mida vajame. |
|
|
Valmis. Võite kirjutada vastuse. |
Vastus: \(-3\)
Näide (OGE).
Antud aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust elementi: \(…5; x; 10; 12,5...\) Leia tähega \(x\) tähistatud elemendi väärtus.
Lahendus:
|
|
\(x\) leidmiseks peame teadma, kui palju erineb järgmine element eelmisest ehk teisisõnu progresseerumise erinevus. Leiame selle kahe teadaoleva naaberelemendi järgi: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Ja nüüd leiame lihtsalt selle, mida otsime: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Valmis. Võite kirjutada vastuse. |
Vastus: \(7,5\).
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse järgmiste tingimustega: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Leidke selle progressiooni esimese kuue liikme summa.
Lahendus:
|
Peame leidma progressiooni esimese kuue liikme summa. Kuid me ei tea nende tähendusi, meile antakse ainult esimene element. Seetõttu arvutame esmalt väärtused ükshaaval, kasutades meile antud: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Vajalik summa on leitud. |
Vastus: \(S_6=9\).
Näide (OGE).
Aritmeetilises progressioonis \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Leidke selle edenemise erinevus.
Lahendus:
Vastus: \(d=7\).
Aritmeetilise progressiooni olulised valemid
Nagu näete, saab paljusid aritmeetilise progressiooni ülesandeid lahendada lihtsalt peamise mõistmisega - et aritmeetiline progressioon on arvude ahel ja iga järgnev element selles ahelas saadakse, lisades sama arvu eelmisele ( progresseerumise erinevus).
Kuid mõnikord tuleb ette olukordi, kus "peapealt" otsustamine on väga ebamugav. Näiteks kujutage ette, et kõige esimeses näites peame leidma mitte viienda elemendi \(b_5\), vaid kolmesaja kaheksakümne kuuenda \(b_(386)\). Kas peaksime lisama neli \(385\) korda? Või kujutage ette, et eelviimases näites peate leidma esimese seitsmekümne kolme elemendi summa. Sa oled väsinud loendamisest...
Seetõttu ei lahenda nad sellistel puhkudel asju “peapeale”, vaid kasutavad aritmeetiliseks progressiooniks tuletatud spetsiaalseid valemeid. Ja peamised neist on progressiooni n-nda liikme valem ja \(n\) esimeste liikmete summa valem.
\(n\)-nda liikme valem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kus \(a_1\) on progressiooni esimene liige;
\(n\) – nõutava elemendi number;
\(a_n\) – progressi liige numbriga \(n\).
See valem võimaldab meil kiiresti leida isegi kolmesajanda või miljonilise elemendi, teades ainult esimest ja progressiooni erinevust.
Näide.
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Otsige üles \(b_(246)\).
Lahendus:
Vastus: \(b_(246)=1850\).
Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kus
\(a_n\) – viimane summeeritud liige;
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega \(a_n=3,4n-0,6\). Leidke selle progressiooni esimeste \(25\) liikmete summa.
Lahendus:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Esimese kahekümne viie liikme summa arvutamiseks peame teadma esimese ja kahekümne viienda liikme väärtust. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Nüüd leiame kahekümne viienda liikme, asendades \(n\) asemel kakskümmend viis. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Noh, nüüd saame lihtsalt vajaliku summa arvutada. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Vastus on valmis. |
Vastus: \(S_(25)=1090\).
Esimeste terminite summa \(n\) jaoks saate teise valemi: peate lihtsalt \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) asemel asenda selle valem \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saame:
Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kus
\(S_n\) – \(n\) esimese elemendi nõutav summa;
\(a_1\) – esimene summeeritud liige;
\(d\) – progresseerumise erinevus;
\(n\) – elementide arv kokku.
Näide.
Leidke aritmeetilise progressiooni esimeste \(33\)-ex liikmete summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lahendus:
Vastus: \(S_(33)=-231\).
Keerulisemad aritmeetilised progressiooniülesanded
Nüüd on teil kogu teave, mida vajate peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamiseks. Lõpetagem teema, kaaludes probleeme, mille puhul peate mitte ainult valemeid rakendama, vaid ka veidi mõtlema (matemaatikas võib see olla kasulik ☺)
Näide (OGE).
Leidke progressiooni kõigi negatiivsete liikmete summa: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lahendus:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ülesanne on väga sarnane eelmisele. Hakkame lahendama sama asja: kõigepealt leiame \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Nüüd tahaksin asendada \(d\) summa valemis... ja siit tuleb välja väike nüanss - me ei tea \(n\). Teisisõnu, me ei tea, kui palju termineid tuleb lisada. Kuidas teada saada? Mõelgem. Lõpetame elementide lisamise, kui jõuame esimese positiivse elemendini. See tähendab, et peate välja selgitama selle elemendi numbri. Kuidas? Kirjutame üles valemi aritmeetilise progressiooni mis tahes elemendi arvutamiseks: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meie juhtumi jaoks. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Peame \(a_n\) olema suuremad kui null. Uurime välja, mis \(n\) see juhtub. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Jagame võrratuse mõlemad pooled arvuga \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Kanname üle miinus ühe, unustamata märke vahetada |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Arvutame... |
|
|
\(n> 65 333…\) |
...ja selgub, et esimese positiivse elemendi arv on \(66\). Vastavalt sellele on viimasel negatiivsel \(n=65\). Igaks juhuks kontrollime seda. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Seega peame lisama esimesed \(65\) elemendid. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Vastus on valmis. |
Vastus: \(S_(65)=-630,5\).
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Leidke summa elemendist \(26\) kuni \(42\) (kaasa arvatud).
Lahendus:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Selles ülesandes peate leidma ka elementide summa, kuid alustades mitte esimesest, vaid \(26\)-ndast. Selliseks juhuks meil valemit ei ole. Kuidas otsustada? |
|
|
Meie progressiooni \(a_1=-33\) ja erinevuse \(d=4\) jaoks (lõppkokkuvõttes lisame järgmise leidmiseks neli eelmisele elemendile). Seda teades leiame esimeste \(42\)-y elementide summa. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Nüüd esimeste \(25\) elementide summa. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ja lõpuks arvutame vastuse. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Vastus: \(S=1683\).
Aritmeetilise progressiooni jaoks on veel mitu valemit, mida me selles artiklis ei käsitlenud nende vähese praktilise kasulikkuse tõttu. Siiski saate neid hõlpsalt leida.
Arvujada mõiste eeldab, et iga naturaalarv vastab mõnele reaalväärtusele. Selline arvude jada võib olla kas suvaline või omada teatud omadusi – progressiooni. Viimasel juhul saab jada iga järgneva elemendi (liikme) arvutada eelmise abil.
Aritmeetiline progressioon on arvväärtuste jada, milles selle naaberliikmed erinevad üksteisest sama numbri võrra (kõikidel seeria elementidel, alates teisest, on sarnane omadus). See arv – eelmise ja järgneva termini erinevus – on konstantne ja seda nimetatakse progresseerumise erinevuseks.
Progressi erinevus: määratlus
Vaatleme jada, mis koosneb j väärtustest A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j kuulub naturaalarvude hulka N. Aritmeetika progressioon on oma definitsiooni järgi jada , milles a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Väärtus d on selle progresseerumise soovitud erinevus.
d = a(j) – a(j-1).
Esiletõstmine:
- Kasvav progressioon, sel juhul d > 0. Näide: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progresseerumine väheneb, seejärel d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Erinevuste progresseerumine ja selle suvalised elemendid
Kui on teada progressiooni 2 suvalist liiget (i-s, k-s), saab antud jada erinevuse määrata seose alusel:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, mis tähendab d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Progressiooni erinevus ja selle esimene tähtaeg
See avaldis aitab määrata tundmatut väärtust ainult juhul, kui jadaelemendi number on teada.
Progressi vahe ja selle summa
Progressiooni summa on selle liikmete summa. Selle esimese j elemendi koguväärtuse arvutamiseks kasutage sobivat valemit:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, kuid kuna a(j) = a(1) + d(j – 1), siis S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.
Enne kui otsustama hakkame aritmeetilise progressiooni ülesanded, mõelgem, mis on arvujada, kuna aritmeetiline progressioon on arvujada erijuht.
Numbrijada on numbrite hulk, mille igal elemendil on oma seerianumber. Selle hulga elemente nimetatakse jada liikmeteks. Jada elemendi seerianumbrit tähistab indeks:
Jada esimene element;
Jada viies element;
- jada “n-s” element, st. element "seisab järjekorras" numbril n.
Jadaelemendi väärtuse ja selle järjenumbri vahel on seos. Seetõttu võime jada pidada funktsiooniks, mille argumendiks on jada elemendi järgarv. Teisisõnu võime seda öelda jada on loomuliku argumendi funktsioon:
Järjestust saab määrata kolmel viisil:
1 . Järjekorda saab määrata tabeli abil. Sel juhul määrame lihtsalt jada iga liikme väärtuse.
Näiteks otsustas Keegi võtta isikliku ajajuhtimise ja alustuseks kokku lugeda, kui palju aega ta nädala jooksul VKontakte'is veedab. Aja tabelisse salvestades saab ta seitsmest elemendist koosneva jada:
Tabeli esimene rida näitab nädalapäeva numbrit, teine - kellaaega minutites. Näeme, et see tähendab esmaspäeval, et keegi veetis VKontakte'is 125 minutit, see tähendab neljapäeval - 248 minutit ja see tähendab, et reedel ainult 15.
2 . Jada saab täpsustada n-nda termini valemi abil.
Sel juhul väljendatakse jadaelemendi väärtuse sõltuvust selle arvust otse valemi kujul.
Näiteks kui , siis
Antud arvuga jadaelemendi väärtuse leidmiseks asendame elemendi numbri n-nda liikme valemis.
Teeme sama, kui peame leidma funktsiooni väärtuse, kui argumendi väärtus on teada. Asendame argumendi väärtuse funktsiooni võrrandisse:
Kui näiteks 
, See
Lubage mul veel kord märkida, et jadas saab erinevalt suvalisest arvfunktsioonist argumendiks olla ainult naturaalarv.
3 . Jada saab täpsustada valemi abil, mis väljendab jadaliikme arvu n väärtuse sõltuvust eelmiste liikmete väärtusest. Sel juhul ei piisa, kui teame ainult jadaliikme numbrit, et leida selle väärtus. Peame määrama jada esimese liikme või paar esimest liiget.
Näiteks kaaluge järjestust 
, 
Leiame jadaliikmete väärtused järjest, alustades kolmandast:
See tähendab, et iga kord, et leida jada n-nda liikme väärtus, pöördume tagasi kahe eelmise juurde. Seda jada määramise meetodit nimetatakse korduv, ladinakeelsest sõnast recurro- tule tagasi.
Nüüd saame määratleda aritmeetilise progressiooni. Aritmeetiline progressioon on arvujada lihtne erijuhtum.
Aritmeetiline progressioon on arvjada, mille iga liige alates teisest on võrdne samale arvule liidetud eelmisega.
Numbrile helistatakse aritmeetilise progressiooni erinevus. Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.
If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} suureneb.
Näiteks 2; 5; 8; üksteist;...
Kui , siis on aritmeetilise progressiooni iga liige väiksem kui eelmine ja progressioon on väheneb.
Näiteks 2; -1; -4; -7;...
Kui , siis kõik progressiooni tingimused on võrdsed sama arvuga ja progressioon on paigal.
Näiteks 2;2;2;2;...
Aritmeetilise progressiooni peamine omadus:
Vaatame joonist.
Me näeme seda
, ja samal ajal
Lisades need kaks võrdsust, saame:
.
Jagame võrdsuse mõlemad pooled 2-ga:
Seega on iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdne kahe naaberliikme aritmeetilise keskmisega:
Pealegi, kuna
, ja samal ajal
, See
, ning seetõttu
Aritmeetilise progressiooni iga liige, mis algab tähega title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Termini valem.
Näeme, et aritmeetilise progressiooni tingimused vastavad järgmistele seostele:
ja lõpuks
Saime n-nda liikme valem.
TÄHTIS! Iga aritmeetilise progressiooni liiget saab väljendada läbi ja. Teades esimest liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võite leida selle mis tahes liikme.
Aritmeetilise progressiooni n liikme summa.
Suvalises aritmeetilises progressioonis on äärmuslikest võrdsel kaugusel olevate liikmete summad üksteisega võrdsed:
Vaatleme n liikmega aritmeetilist progressiooni. Olgu selle progresseerumise n-i liikmete summa võrdne .
Järjestame progresseerumise tingimused esmalt arvude kasvavas ja seejärel kahanevas järjekorras:
Lisame paarikaupa:
Igas sulus olev summa on , paaride arv on n.
Saame:
Niisiis, aritmeetilise progressiooni n liikme summa saab leida valemite abil:
Mõelgem aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine.
1 . Jada antakse n-nda liikme valemiga: . Tõesta, et see jada on aritmeetiline progressioon.
Tõestame, et jada kahe kõrvuti asetseva liikme vahe on võrdne sama arvuga.
Leidsime, et jada kahe külgneva liikme erinevus ei sõltu nende arvust ja on konstant. Seetõttu on see jada definitsiooni järgi aritmeetiline progressioon.
2 . Antud aritmeetiline progressioon -31; -27;...
a) Leia progressiooni 31 liiget.
b) Tehke kindlaks, kas arv 41 sisaldub selles progressioonis.
A) Me näeme seda;
Kirjutame üles oma progressiooni n-nda liikme valemi.
Üldiselt 
Meie puhul 
, Sellepärast 