I. Tavalised diferentsiaalvõrrandid
1.1. Põhimõisted ja määratlused
Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja x, vajalik funktsioon y ja selle tuletised või diferentsiaalid.
Sümboolselt kirjutatakse diferentsiaalvõrrand järgmiselt:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse tavaliseks, kui vajalik funktsioon sõltub ühest sõltumatust muutujast.
Diferentsiaalvõrrandi lahendamine nimetatakse funktsiooniks, mis muudab selle võrrandi identiteediks.
Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles võrrandis sisalduva kõrgeima tuletise järjekord
Näited.
1. Vaatleme esimest järku diferentsiaalvõrrandit
Selle võrrandi lahenduseks on funktsioon y = 5 ln x. Tõepoolest, asendamine y" võrrandisse, saame identiteedi.
Ja see tähendab, et funktsioon y = 5 ln x– on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.
2. Vaatleme teist järku diferentsiaalvõrrandit y" - 5a" + 6y = 0. Funktsioon on selle võrrandi lahendus.
Tõesti,.
Asendades need avaldised võrrandisse, saame: , – identiteedi.
Ja see tähendab, et funktsioon on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.
Diferentsiaalvõrrandite integreerimine on diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmise protsess.
Diferentsiaalvõrrandi üldlahend nimetatakse vormi funktsiooniks 
, mis sisaldab sama palju sõltumatuid suvalisi konstante kui võrrandi järjekord.
Diferentsiaalvõrrandi osalahend on lahendus, mis saadakse suvaliste konstantide erinevate arvväärtuste üldlahendusest. Suvaliste konstantide väärtused leitakse argumendi ja funktsiooni teatud algväärtuste juures.
Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse graafikut nimetatakse integraalkõver.
Näited
1. Leidke konkreetne lahendus esimest järku diferentsiaalvõrrandile
xdx + ydy = 0, Kui y= 4 kl x = 3.
Lahendus. Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame
Kommenteeri. Integreerimise tulemusena saadud suvalist konstanti C saab esitada mis tahes kujul, mis sobib edasiste teisenduste jaoks. Sel juhul on ringi kanoonilist võrrandit arvesse võttes mugav suvalist konstanti C esitada kujul .
- diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.
Võrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele y = 4 kl x = 3 leitakse üldisest, asendades üldlahendiga algtingimused: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Asendades üldlahendisse C=5, saame x 2 + y 2 = 5 2 .
See on eriline lahendus diferentsiaalvõrrandile, mis on saadud üldlahendusest antud algtingimustes.
2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend
Selle võrrandi lahenduseks on mis tahes funktsioon kujul , kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, asendades võrranditesse , saame: , .
Järelikult on sellel diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendusi, kuna konstandi C erinevate väärtuste korral määrab võrdsus võrrandi erinevad lahendid.
Näiteks saate otsese asendamise abil kontrollida, kas funktsioonid toimivad 
on võrrandi lahendid.
Probleem, mille puhul peate leidma võrrandile konkreetse lahenduse y" = f(x,y) esialgset tingimust rahuldama y(x 0) = y 0, nimetatakse Cauchy probleemiks.
Võrrandi lahendamine y" = f(x,y), mis rahuldab esialgset tingimust, y(x 0) = y 0, nimetatakse Cauchy probleemi lahenduseks.
Cauchy probleemi lahendusel on lihtne geomeetriline tähendus. Tõepoolest, nende määratluste kohaselt Cauchy probleemi lahendamiseks y" = f(x,y) arvestades seda y(x 0) = y 0, tähendab võrrandi integraalkõvera leidmist y" = f(x,y) mis läbib antud punkti M 0 (x 0,y 0).
II. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid
2.1. Põhimõisted
Esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand F(x,y,y") = 0.
Esimest järku diferentsiaalvõrrand sisaldab esimest tuletist ja ei sisalda kõrgemat järku tuletisi.
Võrrand y" = f(x,y) nimetatakse esimest järku võrrandiks, mis on lahendatud tuletise suhtes.
Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab ühte suvalist konstanti.
Näide. Mõelge esimest järku diferentsiaalvõrrandile.
Selle võrrandi lahendus on funktsioon.
Tõepoolest, asendades selle võrrandi selle väärtusega, saame
see on 3x = 3x
Seetõttu on funktsioon mis tahes konstandi C võrrandi üldine lahendus.
Leidke sellele võrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y(1)=1 Algtingimuste asendamine x = 1, y = 1 võrrandi üldlahendisse, saame kust C=0.
Seega saame konkreetse lahenduse üldisest, asendades selle võrrandi saadud väärtuse C=0- privaatne lahendus.
2.2. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on järgmise kujuga võrrand: y"=f(x)g(y) või diferentsiaalide kaudu, kus f(x) Ja g(y)– määratud funktsioonid.
Nende jaoks y, mille jaoks võrrand y"=f(x)g(y) on võrdne võrrandiga, 
milles muutuja y on olemas ainult vasakul küljel ja muutuja x on ainult paremal. Nad ütlevad: "Eq. y"=f(x)g(y Eraldame muutujad."
Vormi võrrand nimetatakse eraldatud muutuja võrrandiks.
Võrrandi mõlema poole integreerimine Kõrval x, saame G(y) = F(x) + C on võrrandi üldlahend, kus G(y) Ja F(x)– mõned antiderivaadid vastavalt funktsioonide ja f(x), C suvaline konstant.
Algoritm eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks
Näide 1
Lahenda võrrand y" = xy
Lahendus. Funktsiooni tuletis y" asendada see
eraldame muutujad
Integreerime võrdsuse mõlemad pooled:
Näide 2
2yy" = 1-3x2, Kui y 0 = 3 juures x 0 = 1
See on eraldatud muutuja võrrand. Kujutagem seda ette diferentsiaalides. Selleks kirjutame selle võrrandi ümber kujul 
Siit 
Integreerides viimase võrdsuse mõlemad pooled, leiame
Algväärtuste asendamine x 0 = 1, y 0 = 3 me leiame KOOS 9=1-1+C, st. C = 9.
Seetõttu on vajalik osaline integraal 
või 
Näide 3
Kirjutage võrrand punkti läbiva kõvera jaoks M(2;-3) ja millel on puutuja nurkkoefitsiendiga
Lahendus. Vastavalt seisundile
See on eraldatavate muutujatega võrrand. Jagades muutujad, saame: 
Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame: 
Kasutades algtingimusi, x = 2 Ja y = -3 me leiame C:
Seetõttu on nõutaval võrrandil vorm 
2.3. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid
Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand y" = f(x)y + g(x)
Kus f(x) Ja g(x)- mõned täpsustatud funktsioonid.
Kui g(x)=0 siis nimetatakse lineaarset diferentsiaalvõrrandit homogeenseks ja selle kuju on: y" = f(x)y
Kui siis võrrand y" = f(x)y + g(x) nimetatakse heterogeenseks.
Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y on antud valemiga: kus KOOS- suvaline konstant.
Eelkõige siis, kui C = 0, siis on lahendus y = 0 Kui lineaarsel homogeensel võrrandil on vorm y" = ky Kus k on mingi konstant, siis on selle üldlahend kujul: .
Lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y + g(x) on antud valemiga 
,
need. on võrdne vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahendi ja selle võrrandi konkreetse lahendi summaga.
Vormi lineaarse mittehomogeense võrrandi jaoks y" = kx + b,
Kus k Ja b- mõned arvud ja konkreetne lahendus on konstantne funktsioon. Seetõttu on üldlahendusel vorm .
Näide. Lahenda võrrand y" + 2a +3 = 0
Lahendus. Esitame võrrandit kujul y" = -2y - 3 Kus k = -2, b = -3Üldine lahendus on antud valemiga.
Seetõttu kus C on suvaline konstant.
2.4. Esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamine Bernoulli meetodil
Üldlahenduse leidmine esimest järku lineaarsele diferentsiaalvõrrandile y" = f(x)y + g(x) taandub kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks asendamise abil y=uv, Kus u Ja v- tundmatud funktsioonid x. Seda lahendusmeetodit nimetatakse Bernoulli meetodiks.
Algoritm esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks
y" = f(x)y + g(x)
1. Sisestage asendus y=uv.
2. Eristage seda võrdsust y" = u"v + uv"
3. Asendus y Ja y" sellesse võrrandisse: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) või u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Rühmitage võrrandi liikmed nii, et u võtke see sulgudest välja:
5. Leia funktsioon sulust, võrdsustades selle nulliga
See on eraldatav võrrand: 
Jagame muutujad ja saame: 
Kus 
.
.
6. Asendage saadud väärtus v võrrandisse (alates 4. sammust):
ja leidke funktsioon See on eraldatavate muutujatega võrrand:
7. Kirjutage üldlahendus kujul: 
, st. .
Näide 1
Leidke võrrandile konkreetne lahendus y" = -2y +3 = 0 Kui y=1 juures x = 0
Lahendus. Lahendame selle asendamise abil y=uv,.y" = u"v + uv"
Asendamine y Ja y" sellesse võrrandisse saame
Rühmitades võrrandi vasakule küljele teise ja kolmanda liikme, võtame välja ühisteguri u sulgudest välja
Võrdsustame sulgudes oleva avaldise nulliga ja pärast saadud võrrandi lahendamist leiame funktsiooni v = v(x)
Saame eraldatud muutujatega võrrandi. Integreerime selle võrrandi mõlemad pooled: Leia funktsioon v:
Asendame saadud väärtuse v võrrandisse saame:
See on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime võrrandi mõlemad pooled: 
Leiame funktsiooni u = u(x,c) 
Leiame üldise lahenduse: 
Leiame võrrandile konkreetse lahenduse, mis vastab algtingimustele y = 1 juures x = 0:
III. Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid
3.1. Põhimõisted ja määratlused
Teist järku diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis sisaldab mitte kõrgemat kui teist järku tuletisi. Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt: F(x,y,y,y") = 0
Teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab kahte suvalist konstanti C 1 Ja C 2.
Teist järku diferentsiaalvõrrandi erilahendus on suvaliste konstantide teatud väärtuste üldlahendusest saadud lahendus C 1 Ja C 2.
3.2. Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos konstantsed koefitsiendid.
Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega nimetatakse vormi võrrandiks y" + py" +qy = 0, Kus lk Ja q- konstantsed väärtused.
Algoritm homogeensete konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks
1. Kirjutage diferentsiaalvõrrand kujul: y" + py" +qy = 0.
2. Loo selle karakteristlik võrrand, tähistades y" läbi r 2, y" läbi r, y 1-s: r 2 + pr + q = 0
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Võrrandisüsteeme kasutatakse majandussektoris laialdaselt erinevate protsesside matemaatiliseks modelleerimiseks. Näiteks tootmise juhtimise ja planeerimise, logistikamarsruutide (transpordiprobleem) või seadmete paigutuse probleemide lahendamisel.
Võrrandisüsteeme ei kasutata mitte ainult matemaatikas, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias populatsiooni suuruse leidmise ülesannete lahendamisel.
Lineaarvõrrandisüsteem on kaks või enam mitme muutujaga võrrandit, millele on vaja leida ühine lahendus. Selline arvujada, mille puhul kõik võrrandid muutuvad tõelisteks võrdusteks või tõestavad, et jada ei eksisteeri.
Lineaarvõrrand
Võrrandeid kujul ax+by=c nimetatakse lineaarseteks. Tähised x, y on tundmatud, mille väärtus tuleb leida, b, a on muutujate koefitsiendid, c on võrrandi vaba liige.
Võrrandi lahendamine joonistades näeb välja sirge, mille kõik punktid on polünoomi lahendid.
Lineaarvõrrandisüsteemide tüübid
Lihtsaimateks näideteks peetakse kahe muutujaga X ja Y lineaarvõrrandisüsteeme.
F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, kus F1,2 on funktsioonid ja (x, y) on funktsiooni muutujad.
Lahenda võrrandisüsteem - see tähendab väärtuste (x, y) leidmist, mille juures süsteem muutub tõeliseks võrduseks, või tuvastamist, et x ja y sobivaid väärtusi ei eksisteeri.
Väärtuste paari (x, y), mis on kirjutatud punkti koordinaatidena, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks.
Kui süsteemidel on üks ühine lahendus või lahendus puudub, nimetatakse neid ekvivalentseteks.
Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on süsteemid, mille parempoolne külg on võrdne nulliga. Kui võrdusmärgi järel oleval parempoolsel osal on väärtus või seda väljendatakse funktsiooniga, on selline süsteem heterogeenne.
Muutujate arv võib olla palju suurem kui kaks, siis tuleks rääkida kolme või enama muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi näitest.
Süsteemidega silmitsi seistes eeldavad koolilapsed, et võrrandite arv peab tingimata kattuma tundmatute arvuga, kuid see pole nii. Võrrandite arv süsteemis ei sõltu muutujatest, neid võib olla nii palju kui soovitakse.
Lihtsad ja keerulised meetodid võrrandisüsteemide lahendamiseks
Üldist analüütilist meetodit selliste süsteemide lahendamiseks ei ole, kõik meetodid põhinevad numbrilistel lahendustel. Kooli matemaatikakursus kirjeldab üksikasjalikult selliseid meetodeid nagu permutatsioon, algebraline liitmine, asendamine, samuti graafilised ja maatriksmeetodid, lahendamine Gaussi meetodil.
Lahendusmeetodite õpetamisel on põhiülesanne õpetada süsteemi õigesti analüüsima ja iga näite jaoks optimaalse lahendusalgoritmi leidmiseks. Peaasi ei ole iga meetodi reeglite ja toimingute süsteemi meeldejätmine, vaid konkreetse meetodi kasutamise põhimõtete mõistmine.
Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine 7. klassi üldhariduse õppekavas on üsna lihtne ja väga detailselt lahti seletatud. Igas matemaatikaõpikus pööratakse sellele jaotisele piisavalt tähelepanu. Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamist Gaussi ja Crameri meetodil õpitakse põhjalikumalt kõrghariduse esimestel aastatel.
Süsteemide lahendamine asendusmeetodil
Asendusmeetodi tegevused on suunatud ühe muutuja väärtuse väljendamisele teise järgi. Avaldis asendatakse ülejäänud võrrandiga, seejärel taandatakse see ühe muutujaga vormiks. Toimingut korratakse olenevalt tundmatute arvust süsteemis
Anname 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemi näitele lahenduse asendusmeetodil:
Nagu näitest näha, väljendati muutujat x läbi F(X) = 7 + Y. Saadud avaldis, mis asendati süsteemi 2. võrrandiga X asemel, aitas saada 2. võrrandis ühe muutuja Y . Selle näite lahendamine on lihtne ja võimaldab saada Y väärtuse Viimase sammuna tuleb kontrollida saadud väärtusi.
Lineaarvõrrandisüsteemi näidet ei ole alati võimalik asendamise teel lahendada. Võrrandid võivad olla keerulised ja muutuja väljendamine teise tundmatu kujul on edasiste arvutuste jaoks liiga tülikas. Kui süsteemis on rohkem kui 3 tundmatut, pole ka asendamise teel lahendamine asjakohane.
Lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemi näite lahendus:
Lahendus algebralise liitmise abil
Süsteemidele liitmismeetodil lahendusi otsides liidetakse võrrandid termini haaval ja korrutatakse erinevate arvudega. Matemaatiliste tehete lõppeesmärk on võrrand ühes muutujas.
Selle meetodi rakendamine nõuab harjutamist ja jälgimist. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodiga, kui muutujaid on 3 või enam, ei ole lihtne. Algebralist liitmist on mugav kasutada, kui võrrandid sisaldavad murd- ja kümnendkohti.
Lahenduse algoritm:
- Korrutage võrrandi mõlemad pooled teatud arvuga. Aritmeetilise tehte tulemusena peaks muutuja üks koefitsient olema võrdne 1-ga.
- Lisage saadud avaldis termini haaval ja leidke üks tundmatutest.
- Ülejäänud muutuja leidmiseks asendage saadud väärtus süsteemi 2. võrrandiga.
Lahendusmeetod uue muutuja sisseviimisega
Uue muutuja saab kasutusele võtta, kui süsteem nõuab lahenduse leidmist mitte rohkem kui kahele võrrandile, samuti ei tohiks tundmatute arv olla suurem kui kaks.
Meetodit kasutatakse ühe võrrandi lihtsustamiseks uue muutuja sisseviimisega. Uus võrrand lahendatakse sisestatud tundmatu jaoks ja saadud väärtust kasutatakse algse muutuja määramiseks.
Näites on näha, et uue muutuja t sisseviimisega oli võimalik süsteemi 1. võrrand taandada standardseks ruuttrinoomiks. Polünoomi saate lahendada diskriminandi leidmisega.
Diskriminandi väärtus on vaja leida tuntud valemi abil: D = b2 - 4*a*c, kus D on soovitav diskriminant, b, a, c polünoomi tegurid. Antud näites a=1, b=16, c=39, seega D=100. Kui diskriminant on suurem kui null, siis on kaks lahendit: t = -b±√D / 2*a, kui diskriminant on väiksem kui null, siis on üks lahend: x = -b / 2*a.
Saadud süsteemide lahendus leitakse liitmismeetodi abil.
Visuaalne meetod süsteemide lahendamiseks
Sobib 3 võrrandisüsteemi jaoks. Meetod seisneb iga süsteemis sisalduva võrrandi graafikute koostamises koordinaatteljel. Süsteemi üldlahenduseks saab kõverate lõikepunktide koordinaadid.
Graafilisel meetodil on mitmeid nüansse. Vaatame mitmeid näiteid lineaarvõrrandisüsteemide visuaalsest lahendamisest.
Nagu näitest näha, konstrueeriti iga rea jaoks kaks punkti, muutuja x väärtused valiti meelevaldselt: 0 ja 3. x väärtuste põhjal leiti y väärtused: 3 ja 0. Punktid koordinaatidega (0, 3) ja (3, 0) märgiti graafikule ja ühendati joonega.
Teise võrrandi jaoks tuleb samme korrata. Sirgete lõikepunkt on süsteemi lahendus.
Järgmine näide nõuab graafilise lahenduse leidmist lineaarvõrrandisüsteemile: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.
Nagu näitest näha, pole süsteemil lahendust, kuna graafikud on paralleelsed ega ristu kogu pikkuses.
Näidete 2 ja 3 süsteemid on sarnased, kuid konstrueerimisel selgub, et nende lahendused on erinevad. Tuleb meeles pidada, et alati pole võimalik öelda, kas süsteemil on lahendus või mitte, alati on vaja koostada graaf.
Maatriks ja selle sordid
Lineaarvõrrandisüsteemi kokkuvõtlikuks kirjutamiseks kasutatakse maatrikseid. Maatriks on spetsiaalne numbritega täidetud tabel. n*m sisaldab n - rida ja m - veerge.
Maatriks on ruut, kui veergude ja ridade arv on võrdne. Maatriksvektor on ühest veerust koosnev maatriks, millel on lõpmatult võimalik arv ridu. Maatriksit, mille diagonaalis on ühed ja teised nullelemendid, nimetatakse identiteediks.
Pöördmaatriks on maatriks, mille korrutamisel algne maatriks muutub ühikmaatriksiks; selline maatriks eksisteerib ainult algse ruutmaatriksi jaoks.
Reeglid võrrandisüsteemi maatriksiks teisendamiseks
Võrrandisüsteemide puhul kirjutatakse võrrandite koefitsiendid ja vabaliikmed maatriksarvudena, üks võrrand on maatriksi üks rida.
Maatriksirida nimetatakse nullist erinevaks, kui vähemalt üks rea element ei ole null. Seega, kui mõnes võrrandis erineb muutujate arv, siis tuleb puuduva tundmatu asemele sisestada null.
Maatriksi veerud peavad rangelt vastama muutujatele. See tähendab, et muutuja x koefitsiendid saab kirjutada ainult ühte veergu, näiteks esimene, tundmatu y koefitsient - ainult teise.
Maatriksi korrutamisel korrutatakse kõik maatriksi elemendid järjestikku arvuga.
Pöördmaatriksi leidmise võimalused
Pöördmaatriksi leidmise valem on üsna lihtne: K -1 = 1 / |K|, kus K -1 on pöördmaatriks ja |K| on maatriksi determinant. |K| ei tohi olla võrdne nulliga, siis on süsteemil lahendus.
Determinant on kaks korda kaks maatriksi jaoks hõlpsasti arvutatav; peate lihtsalt diagonaalelemendid üksteisega korrutama. Valiku „kolm korda kolm” jaoks on valem |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Võite kasutada valemit või meeles pidada, et igast reast ja veerust tuleb võtta üks element, et veergude ja elementide ridade arv töös ei korduks.
Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine maatriksmeetodil
Lahenduse leidmise maatriksmeetod võimaldab suure hulga muutujate ja võrranditega süsteemide lahendamisel vähendada tülikaid kirjeid.
Näites on a nm võrrandite koefitsiendid, maatriks on vektor, x n on muutujad ja b n on vabad liikmed.
Süsteemide lahendamine Gaussi meetodil
Kõrgemas matemaatikas uuritakse Gaussi meetodit koos Crameri meetodiga ning süsteemidele lahenduste leidmise protsessi nimetatakse Gauss-Crameri lahendusmeetodiks. Neid meetodeid kasutatakse suure hulga lineaarvõrranditega süsteemide muutujate leidmiseks.
Gaussi meetod on väga sarnane asendus- ja algebralise liitmise lahendustele, kuid on süstemaatilisem. Koolikursuses kasutatakse Gaussi meetodil lahendust 3 ja 4 võrrandisüsteemide puhul. Meetodi eesmärk on taandada süsteem ümberpööratud trapetsi kujule. Algebraliste teisenduste ja asenduste abil leitakse süsteemi ühest võrrandist ühe muutuja väärtus. Teine võrrand on avaldis 2 tundmatuga, samas kui 3 ja 4 on vastavalt 3 ja 4 muutujaga.
Pärast süsteemi viimist kirjeldatud kujule taandatakse edasine lahendus teadaolevate muutujate järjestikusele asendamisele süsteemi võrrandites.
7. klassi kooliõpikutes kirjeldatakse Gaussi meetodi lahenduse näidet järgmiselt:
Nagu näitest näha, saadi etapis (3) kaks võrrandit: 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Mis tahes võrrandi lahendamine võimaldab teil välja selgitada ühe muutuja x n.
Tekstis mainitud teoreem 5 väidab, et kui süsteemi üks võrranditest asendada samaväärsega, on tulemuseks olev süsteem samaväärne ka algse võrrandiga.
Gaussi meetodit on keskkooliõpilastel raske mõista, kuid see on üks huvitavamaid viise matemaatika- ja füüsikaklassides edasijõudnute õppeprogrammides osalevate laste leidlikkuse arendamiseks.
Salvestamise hõlbustamiseks tehakse arvutused tavaliselt järgmiselt:
Võrrandite ja vabaliikmete koefitsiendid kirjutatakse maatriksi kujul, kus iga maatriksi rida vastab süsteemi ühele võrrandile. eraldab võrrandi vasaku külje paremast. Rooma numbrid näitavad võrrandite numbreid süsteemis.
Kõigepealt kirjutage üles maatriks, millega töötate, seejärel kõik toimingud, mida ühe reaga tehakse. Saadud maatriks kirjutatakse pärast märki "nool" ja vajalikke algebralisi toiminguid jätkatakse kuni tulemuse saavutamiseni.
Tulemuseks peaks olema maatriks, milles üks diagonaalidest on võrdne 1-ga ja kõik muud koefitsiendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et maatriks taandatakse ühikuvormiks. Me ei tohi unustada arvutuste tegemist võrrandi mõlemal poolel olevate numbritega.
See salvestusmeetod on vähem tülikas ja võimaldab teil mitte lasta end segada paljude tundmatute loetlemisest.
Mis tahes lahendusmeetodi tasuta kasutamine nõuab hoolt ja teatavat kogemust. Kõik meetodid ei ole rakendusliku iseloomuga. Mõned lahenduste leidmise meetodid on konkreetses inimtegevuse valdkonnas eelistatavamad, teised aga hariduslikel eesmärkidel.
Esimese astme võrrandid ja võrrandisüsteemid
Kaks numbrit või mis tahes väljendit, mis on ühendatud märgiga “=”. võrdsus. Kui antud numbrid või avaldised on tähtede mis tahes väärtuste jaoks võrdsed, nimetatakse sellist võrdsust identiteet.
Näiteks kui nad väidavad, et mis tahes A kehtiv:
A + 1 = 1 + A, siin on võrdsus identiteet.
Võrrand nimetatakse võrduseks, mis sisaldab tähtedega tähistatud tundmatuid numbreid. Neid tähti nimetatakse teadmata. Võrrandis võib olla mitu tundmatut.
Näiteks võrrandis 2 X + juures = 7X– 3 kaks tundmatut: X Ja juures.
Vasakpoolne avaldis võrrandis (2 X + juures) nimetatakse võrrandi vasakpoolseks pooleks ja avaldist võrrandi paremal pooleks (7 X– 3), nimetatakse selle paremale küljele.
Nimetatakse tundmatu väärtus, mille juures võrrand muutub identiteediks otsus või juur võrrandid
Näiteks kui võrrandis 3 X+ 7=13 tundmatu asemel X asendada number 2, saame identiteedi . Seetõttu väärtus X= 2 rahuldab antud võrrandit ja arv 2 on antud võrrandi lahend või juur.
Neid kahte võrrandit nimetatakse samaväärne(või samaväärne), kui kõik esimese võrrandi lahendid on teise võrrandi lahendid ja vastupidi, on kõik teise võrrandi lahendid esimese lahendused. Samaväärsed võrrandid hõlmavad ka võrrandeid, millel pole lahendeid.
Näiteks võrrandid 2 X– 5 = 11 ja 7 X+ 6 = 62 on samaväärsed, kuna neil on sama juur X= 8; võrrandid X + 2 = X+ 5 ja 2 X + 7 = 2X on samaväärsed, kuna mõlemal pole lahendust.
Ekvivalentvõrrandite omadused
1. Võrrandi mõlemale poolele saate lisada mis tahes avaldise, mis on mõttekas kõigi tundmatute lubatud väärtuste jaoks; saadud võrrand on võrdne antud võrrandiga.
Näide. 2. võrrand X– 1 = 7 omab juurt X= 4. Lisades mõlemale poolele 5, saame võrrandi 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 või 2 X+ 4 = 12, millel on sama juur X = 4.
2. Kui võrrandi mõlemal poolel on identsed liikmed, siis võib need ära jätta.
Näide. Võrrand 9 x + 5X = 18 + 5X on üks juur X= 2. Mõlemas osas 5 väljajätmine X, saame võrrandi 9 X= 18, millel on sama juur X = 2.
3. Iga võrrandi liiget saab üle kanda võrrandi ühest osast teise, muutes selle märgi vastupidiseks.
Näide. Võrrand 7 X - 11 = 3 on ühe juurega X= 2. Kui nihutada 11 vastupidise märgiga paremale, saame võrrandi 7 X= 3 + 11, millel on sama lahend X = 2.
4. Võrrandi mõlemat poolt saab korrutada mis tahes avaldise (arvuga), mis on mõttekas ja erineb nullist kõigi vastuvõetavate tundmatu väärtuste korral, saadud võrrand on võrdne antud väärtusega.
Näide. 2. võrrand X - 15 = 10 – 3X on juur X= 5. Korrutades mõlemad pooled 3-ga, saame võrrandi 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) või 6 X – 45 =30 – 9X, millel on sama juur X = 5.
5. Võrrandi kõigi liikmete märke saab ümber pöörata (see võrdub mõlema poole korrutamisega (-1)).
Näide. Võrrand – 3 x + 7 = – 8 saab pärast mõlema külje korrutamist (-1) kujul 3 X - 7 = 8. Esimesel ja teisel võrrandil on üks juur X = 5.
6. Võrrandi mõlemad pooled saab jagada sama arvuga, mis erineb nullist (st ei võrdu nulliga).
Näide..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28">, samaväärne sellega, kuna sellel on samad kaks juurt: ja https: //pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> pärast mõlema osa 14-ga korrutamist näeb see välja järgmine:
https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, kus on suvalised arvud, X- kutsutakse tundmatut esimese astme võrrand ühe tundmatuga(või lineaarne võrrand ühe tundmatuga).
Näide. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.
Ühe tundmatuga esimese astme võrrandil on alati üks lahend; lineaarvõrrandil ei pruugi olla lahendeid () või neid võib olla lõpmatu arv (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.
Lahendus. Korrutage kõik võrrandi liikmed nimetajate väikseima ühiskordsega, mis on 12.
https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .
Rühmitame ühte ossa (vasakul) tundmatut sisaldavad terminid ja teise ossa (paremal) - vabad terminid:
https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Jagades mõlemad osad arvuga (-22), saame X = 7.
Kahest esimese astme võrrandist koosnevad süsteemid kahe tundmatuga
Nimetatakse võrrandit kujul https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> esimese astme võrrand kahe tundmatuga x Ja juures. Kui kahele või enamale võrrandile leitakse üldlahendused, siis öeldakse, et need võrrandid moodustavad süsteemi, tavaliselt kirjutatakse need üksteise alla ja kombineeritakse näiteks lokkis suludega.
Iga tundmatute väärtuste paari, mis vastab samaaegselt süsteemi mõlemale võrrandile, nimetatakse süsteemne lahendus. Lahendage süsteem- see tähendab selle süsteemi kõigi lahenduste leidmist või näitamist, et tal neid pole. Neid kahte võrrandisüsteemi nimetatakse samaväärne (samaväärne), kui ühe kõik lahendused on teise lahendused ja vastupidi, on teise kõik lahendused esimese lahendused.
Näiteks on süsteemi lahenduseks numbripaar X= 4 ja juures= 3. Need arvud on ka süsteemi ainus lahendus 
. Seetõttu on need võrrandisüsteemid samaväärsed.
Võrrandisüsteemide lahendamise meetodid
1. Algebralise liitmise meetod. Kui mõne tundmatu koefitsiendid mõlemas võrrandis on absoluutväärtuses võrdsed, siis mõlema võrrandi liitmisel (või üksteisest lahutamisel) saate ühe tundmatuga võrrandi. Selle võrrandi lahendamisel määratakse üks tundmatu ja asendades selle süsteemi ühe võrrandiga, leitakse teine tundmatu.
Näited: Lahenda võrrandisüsteemid: 1) .
Siin on koefitsiendid juures on absoluutväärtuselt võrdsed, kuid märgilt vastupidised. Tundmatuga võrrandi saamiseks liidame süsteemi võrrandid termini kaupa: 
Vastuvõetud väärtus X= 4 asendame mingi süsteemi võrrandiga, näiteks esimesega ja leiame väärtuse juures: 
.
Vastus: X = 4; juures = 3.
2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >
https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.
2. Asendusmeetod. Süsteemi mis tahes võrrandist väljendame ühe tundmatutest teiste kaudu ja seejärel asendame selle tundmatu väärtuse ülejäänud võrranditega. Vaatame seda meetodit konkreetsete näidete abil:
1) Lahendame võrrandisüsteemi. Avaldame näiteks ühe esimese võrrandi tundmatutest X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">
Asendame juures= 1 avaldises for X, saame 
.
Vastus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Sel juhul on mugav väljendada juures teisest võrrandist:
https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Asendage väärtus X= 5 avaldises for juures, saame https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.
3) Lahendame võrrandisüsteemi https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Asendades selle väärtuse teise võrrandisse, saame võrrand ühe tundmatuga juures: 
https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">
Vastus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .
Kirjutame süsteemi ümber järgmisel kujul: 
. Asendame tundmatud, pannes , ja saame lineaarse süsteemi 
..gif" width="11 height=17" height="17"> teise võrrandisse, saame võrrandi ühe tundmatuga:
Väärtuse asendamine v väljendiks t, saame: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> leiame.
Vastus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, kus on tundmatute koefitsiendid, https://pandia.ru/text / 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, siis on süsteemil ainuke asi lahendus.
B) Kui https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, siis on süsteemil lõpmatu hulk otsuseid.
Näide..gif" width="47" height="48 src=">", mis tähendab, et süsteemil on ainulaadne lahendus.
Tõesti, 
.
https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.
Näide..gif" width="91 height=48" height="48"> või pärast vähendamist, seega pole süsteemil lahendusi.
Näide..gif" width="116 height=48" height="48"> või pärast vähendamist 
, mis tähendab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi.
Moodulit sisaldavad võrrandid
Moodulit sisaldavate võrrandite lahendamisel kasutatakse reaalarvu mooduli mõistet. Moodul (absoluutväärtus) reaalarv A seda numbrit ise kutsutakse, kui vastupidine number (– A), kui https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.
Niisiis, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, kuna arv 3 > 0; kuna arv on 5< 0, поэтому ; 
, sest (); , sest.
Mooduli omadused:
1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">
3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">
5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.
Arvestades, et mooduli avaldis võib võtta kahte väärtust https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, siis see võrrand taandub kahe võrrandi lahendamisele: ja või 
Ja 
..gif" width="52" height="20 src=">. Kontrollime, asendades iga väärtuse X tingimusel: kui https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.
Vastus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.
Näide..gif" width="408" height="55">
Vastus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.
Näide..gif" width="137" height="20"> ja . Pange saadud väärtused kõrvale X arvureal, jagades selle intervallideks:
Kui https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, kuna selles intervallis on mõlemad moodulimärgi all olevad avaldised nullist väiksemad ja , eemaldades mooduli, peame muutma avaldise märgi vastupidiseks Lahendage saadud võrrand:
Gif" width="75 height=24" height="24">. Piirväärtuse saab lisada nii esimesse kui ka teise intervalli, nii nagu väärtuse saab lisada nii teise kui ka kolmandasse intervalli. Teises intervallis meie võrrand saab kujul: - sellel avaldisel pole mõtet, st sellel intervallil pole võrrandil mooduli märgi all lahendeid, võrdsustame need nulliga. Leiame kõigi avaldiste juured, kus
Järgmine intervall https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, kus a, b, c- suvalised arvud ( a≠ 0) ja x- muutuja nimega ruut. Sellise võrrandi lahendamiseks peate arvutama diskriminandi D=b 2 – 4ac. Kui D> 0, siis ruutvõrrandil on kaks lahendit (juurt): 
Ja 
.
Kui D= 0, ruutvõrrandil on ilmselgelt kaks identset lahendit (juure kordsed).
Kui D< 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Kui üks koefitsientidest b või c on võrdne nulliga, siis saab ruutvõrrandi lahendada ilma diskriminanti arvutamata:
1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(kirves+ b)=0
2)kirves 2 + c = 0 kirves 2 = – c; kui https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.
Ruutvõrrandi, mida nimetatakse valemiteks või Vieta teoreemiks, koefitsientide ja juurte vahel on sõltuvused: 
Bikvadraatne võrrandid on võrrandid kujul https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, siis algsest võrrandist saame ruutvõrrandi, mille leiame juures, ja siis X, vastavalt valemile.
Näide. Lahenda võrrand 
. Taandagem võrdsuse mõlemal poolel olevad avaldised ühiseks nimetajaks..gif" width="212" height="29 src=">. Lahendage saadud ruutvõrrand: 
, selles võrrandis a= 1, b= –2,c= –15, siis on diskriminant: D=b 2 – 4ac= 64. Võrrandi juured: 
, 
..gif" width="130 height=25" height="25">. Teeme asendus. Seejärel võtab võrrand kuju 
– ruutvõrrand, kus a= 1, b= – 4,c= 3, selle diskriminant on võrdne: D=b 2 –
4ac = 16 – 12 = 4.
Ruutvõrrandi juured on vastavalt võrdsed: 
Ja 
.
Algvõrrandi juured 
, 
, 
, 
..gif" width="78" height="51">, kus Pn(x) Ja Pm(x) – astmete polünoomid n Ja m vastavalt. Murd võrdub nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja mitte, kuid selline polünoomvõrrand saadakse tavaliselt alles pärast pikki teisendusi, üleminekuid ühest võrrandist teise. Seetõttu asendatakse lahendamise käigus iga võrrand mõne uuega ja uuel võivad olla uued juured. Nende muutuste jälgimine juurtes, juurte kadumise ärahoidmine ja tarbetute tagasilükkamine on võrrandite õige lahendamise ülesanne.
On selge, et parim viis on iga kord asendada üks võrrand samaväärsega, siis on viimase võrrandi juurteks algse võrrandi juured. Sellist ideaalset teed on aga praktikas raske rakendada. Reeglina asendatakse võrrand selle tagajärjega, mis ei pruugi olla sellega samaväärne, samas kui kõik esimese võrrandi juured on teise juured, st juurte kadu ei toimu, kuid võivad ilmneda kõrvalised (või ei pruugi ilmuda). Juhul, kui vähemalt üks kord teisendusprotsessi käigus võrrand asendati ebavõrdsega, on vajalik saadud juurte kohustuslik kontroll.
Seega, kui otsus tehti ilma kõrvaliste juurte samaväärsust ja allikaid analüüsimata, on kontrollimine otsuse kohustuslik osa. Ilma kontrollimiseta ei loeta lahendust täielikuks, isegi kui kõrvalisi juuri pole ilmunud. Kui need ilmuvad ja neid ei visata, on see otsus lihtsalt vale.
Siin on mõned polünoomi omadused:
Polünoomi juur helista väärtusele x, mille korral polünoom võrdub nulliga. Igal n-astme polünoomil on täpselt n juured. Kui polünoomvõrrand on kirjutatud kujul , siis 
, Kus x 1, x 2,…, xn on võrrandi juured.
Igal paaritu astmega reaalkoefitsientidega polünoomil on vähemalt üks reaaljuur ja üldiselt on sellel alati paaritu arv reaaljuuri. Paarisastmega polünoomil ei pruugi olla tegelikke juuri ja kui neil on, on nende arv paarisarv.
Polünoomi saab igal juhul lahutada negatiivse diskriminandiga lineaarseteks teguriteks ja ruuttrinoomideks. Kui me teame selle juurt x 1, siis Pn(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).
Kui Pn(x) = 0 on paarisastmeline võrrand, siis võib lisaks selle faktoriseerimise meetodile proovida sisse viia muutuja muutust, mille abil võrrandi aste väheneb.
Näide. Lahenda võrrand:
See kolmanda (paaritu) astme võrrand tähendab, et on võimatu sisestada abimuutujat, mis võrrandi astet alandab. See tuleb lahendada vasaku külje faktoriseerimisega, mille jaoks avame esmalt sulud ja seejärel kirjutame selle standardkujul.
Saame: x 3 + 5x – 6 = 0.
See on vähendatud võrrand (kõrgeima astme koefitsient võrdub ühega), seega otsime selle juuri vaba liikme tegurite hulgast - 6. Need on arvud ±1, ±2, ±3, ±6. Asendamine x = 1 võrrandisse, näeme seda x = 1 on selle juur, seega polünoom x 3 + 5x–6 = 0 jagatud ( x – 1) jäljetult. Teeme selle jaotuse:
x 3 + 5x –6 = 0 x – 1
x 3 – x 2 x 2+x+ 6
x 2 + 5x – 6
x 2–x
https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x – 6
https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x – 6
Sellepärast x 3 + 5x –6 = 0; (x – 1)(x 2+x+ 6) = 0 
Esimene võrrand annab juure x = 1, mis on juba valitud, ja teises võrrandis D< 0, sellel pole reaalseid lahendusi. Kuna selle võrrandi ODZ-d pole vaja kontrollida.
Näide..gif" width="52" height="21 src=">. Kui korrutate esimese teguri kolmandaga ja teise neljandaga, on neil toodetel identsed osad, mis sõltuvad x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.
Lase x 2 + 4x = y, siis kirjutame võrrandi kujul ( y – 5)(y – 21) – 297 = 0.
Sellel ruutvõrrandil on lahendused: y 1 = 32, y 2 = -6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.
Kui taandada see võrrand ühiseks nimetajaks, ilmub lugejasse neljanda astme polünoom. Seega on võimalik muuta muutujat, mis vähendab võrrandi astet. Seetõttu ei ole vaja seda võrrandit kohe ühiseks nimetajaks taandada. Siin näete, et vasakul on ruutude summa. Seega saate selle lisada summa või vahe täisruudule. Tegelikult lahutame ja liidame nende ruutude aluste korrutise kaks korda: 
https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, seejärel y 2 + 18y– 40 = 0. Vieta teoreemi järgi y 1 = 2; y 2 = – 20. 
https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> ja teises D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ
Vastus: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> 
.gif" width="132" height="50 src=">.
Saame ruutvõrrandi a(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.
Irratsionaalsed võrrandid
Irratsionaalne nimetatakse võrrandiks, milles muutuja asub radikaali märgi all (juur 
) või murdarvuni tõstmise märgi all ()..gif" width="120" height="32"> ja 
neil on sama tundmatu määratluspiirkond. Esimese ja teise võrrandi ruudustamisel saame sama võrrandi 
. Selle võrrandi lahendused on mõlema irratsionaalse võrrandi lahendused.