Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks tõstma kaks. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.
Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:
X-i logaritmi baas a on aste, milleni x-i saamiseks tuleb a tõsta.
Tähistus: log a x = b, kus a on alus, x on argument, b on see, millega logaritm tegelikult võrdub.
Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama eduga logi 2 64 = 6, kuna 2 6 = 64.
Arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsiooni nimetatakse logaritmiseerimiseks. Niisiis, lisame oma tabelisse uue rea:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Kahjuks ei arvutata kõiki logaritme nii lihtsalt. Näiteks proovige leida logi 2 5 . Arv 5 pole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil segmendis. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем rohkem kraadi kaks, seda suurem arv.
Selliseid arve nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid arve saab kirjutada lõpmatuseni ja neid ei korrata kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Vältima tüütuid arusaamatusi, vaadake lihtsalt pilti:
Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on võimsus, millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki.
Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. vabaneda märgist "log". Alustuseks märgime, et määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:
- Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb kraadi määratlusest ratsionaalne näitaja, millele taandub logaritmi definitsioon.
- Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!
Selliseid piiranguid nimetatakse vastuvõetavate väärtuste vahemik(ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Pange tähele, et arvule b (logaritmi väärtus) pole piiranguid. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1.
Nüüd aga alles kaalume numbrilised avaldised, kus pole vaja teada logaritmi CVD-d. Kõiki piiranguid on probleemide autorid juba arvesse võtnud. Aga kui nad lähevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsus, muutuvad DHSi nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata.
Nüüd kaalume üldine skeem logaritmide arvutamine. See koosneb kolmest etapist:
- Väljendage alust a ja argumenti x astmena, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada;
- Lahenda muutuja b võrrand: x = a b ;
- Saadud arv b on vastuseks.
See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et alus oleks rohkem kui üks, on väga asjakohane: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama ka kümnendkohad: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem.
Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 5 25
- Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Saime vastuse: 2.
Loome ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Ülesanne. Arvutage logaritm:
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 4 64
- Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
- Loome ja lahendame võrrandi:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Saime vastuse: 3.
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 16 1
- Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Loome ja lahendame võrrandi:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Saime vastuseks: 0.
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 7 14
- Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ;
- Alates eelmine lõik sellest järeldub, et logaritm ei loe;
- Vastus ei muutu: logi 7 14.
Väike märkus viimane näide. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt jagage see osadeks peamised tegurid. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.
Ülesanne. Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;
Märkigem ka seda, et me ise algarvud on alati iseenda täpsed kraadid.
Kümnendlogaritm
Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol.
X kümnendlogaritm on logaritm aluse 10-ni, st. Aste, milleni tuleb arvu x saamiseks tõsta arv 10. Nimetus: lg x.
Näiteks log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.
Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke, et see pole kirjaviga. See kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x
Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul.
Naturaalne logaritm
On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnendkoht. See on umbes naturaallogaritmi kohta.
X-i naturaallogaritm on logaritm aluse e-ni, st. aste, milleni tuleb arvu e tõsta, et saada arv x. Nimetus: ln x .
Paljud küsivad: mis on number e? See irratsionaalne arv, tema täpne väärtus võimatu leida ja salvestada. Toon ainult esimesed arvud:
e = 2,718281828459...
Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage meeles, et e on naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x
Seega ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üleüldse, naturaallogaritmükskõik milline ratsionaalarv irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0.
Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.
Arvu b logaritm alusele a on astendaja, milleni tuleb arvu b saamiseks tõsta arv a.
Kui siis.
Logaritm – äärmuslik oluline matemaatiline suurus , kuna logaritmiline arvutus võimaldab mitte ainult lahendada eksponentsiaalvõrrandeid, vaid ka opereerida eksponenditega, eristada eksponentsiaal- ja logaritmilised funktsioonid, integreerige need ja viige need arvutamiseks vastuvõetavamale kujule.
Kokkupuutel
Kõik logaritmide omadused on otseselt seotud eksponentsiaalfunktsioonide omadustega. Näiteks see, et 
tähendab, et:
Tuleb märkida, et lahendamisel konkreetsed ülesanded, võivad logaritmide omadused olla olulisemad ja kasulikumad kui astmetega töötamise reeglid.
Toome välja mõned identiteedid:
Siin on peamised algebralised avaldised:
;
.
Tähelepanu! saab eksisteerida ainult x>0, x≠1, y>0 korral.
Proovime mõista küsimust, mis on naturaallogaritmid. Eriline huvi matemaatika vastu esindavad kahte tüüpi- esimese aluseks on number 10 ja seda nimetatakse kümnendlogaritmiks. Teist nimetatakse loomulikuks. Naturaallogaritmi alus on arv “e”. Sellest räägime selles artiklis üksikasjalikult.
Nimetused:
- lg x - kümnend;
- ln x - loomulik.
Identiteeti kasutades näeme, et ln e = 1, samuti seda, et lg 10=1.
Naturaallogaritmi graafik
Koostame naturaallogaritmi graafiku standardsel klassikalisel meetodil punkt-punktilt. Soovi korral saate funktsiooni uurides kontrollida, kas konstrueerime funktsiooni õigesti. Siiski on mõistlik õppida seda "käsitsi" koostama, et teada saada, kuidas logaritmi õigesti arvutada.
Funktsioon: y = ln x. Kirjutame üles punktide tabeli, mida graafik läbib:
Selgitame, miks me valisime argumendi x need konkreetsed väärtused. Kõik on seotud identiteediga: . Loodusliku logaritmi puhul näeb see identiteet välja järgmine:
Mugavuse huvides võime võtta viis võrdluspunkti:
;
;
.
;
.
Seega on naturaallogaritmide arvutamine üsna lihtne ülesanne, lisaks lihtsustab see võimsustega tehtete arvutamist, muutes need tavaline korrutis.
Joonistades graafiku punktide kaupa, saame ligikaudse graafiku:
Naturaallogaritmi määratluspiirkond (st kõik kehtivad väärtused argument X) - kõik arvud on suuremad kui null.
Tähelepanu! Naturaallogaritmi määratluspiirkond hõlmab ainult positiivsed numbrid! Definitsiooni ulatus ei hõlma x=0. See on logaritmi olemasolu tingimuste alusel võimatu.
Väärtuste vahemik (st funktsiooni y = ln x kõik kehtivad väärtused) on kõik intervalli numbrid.
Loomuliku logi piirang
Graafikut uurides tekib küsimus - kuidas käitub funktsioon y juures<0.
Ilmselt kaldub funktsiooni graafik ületama y-telge, kuid ei saa seda teha, kuna x naturaallogaritm<0 не существует.
Looduse piir logi saab kirjutada nii:
Valem logaritmi aluse asendamiseks
Naturaallogaritmiga tegelemine on palju lihtsam kui suvalise baasiga logaritmiga tegelemine. Sellepärast proovime õppida, kuidas taandada mis tahes logaritm loomulikuks või väljendada seda naturaallogaritmide kaudu suvalise baasini.
Alustame logaritmilisest identiteedist:
Seejärel saab mis tahes arvu või muutuja y esitada järgmiselt:
kus x on suvaline arv (positiivne vastavalt logaritmi omadustele).
Seda avaldist saab võtta logaritmiliselt mõlemalt poolt. Teeme seda suvalise baasi z abil:
Kasutame atribuuti (ainult "c" asemel on meil avaldis):
Siit saame universaalse valemi:
.
Täpsemalt, kui z=e, siis:
.
Saime esitada logaritmi suvalise baasi kahe naturaallogaritmi suhte kaudu.
Me lahendame probleeme
Naturaallogaritmide paremaks mõistmiseks vaatame mitme probleemi näiteid.
Probleem 1. On vaja lahendada võrrand ln x = 3.
Lahendus: Kasutades logaritmi definitsiooni: kui , siis , saame:
Probleem 2. Lahendage võrrand (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Lahendus: Kasutades logaritmi definitsiooni: kui , siis , saame:
.
Kasutame uuesti logaritmi definitsiooni:
.
Seega:
.
Saate vastuse ligikaudu välja arvutada või jätta selle sellele vormile.
3. ülesanne. Lahenda võrrand.
Lahendus: Teeme asendused: t = ln x. Siis võtab võrrand järgmise kuju:
.
Meil on ruutvõrrand. Leiame selle diskrimineerija:
Võrrandi esimene juur:
.
Võrrandi teine juur:
.
Pidades meeles, et tegime asendusi t = ln x, saame:
Statistikas ja tõenäosusteoorias leidub logaritmilisi suurusi väga sageli. See pole üllatav, sest arv e peegeldab sageli eksponentsiaalsete suuruste kasvukiirust.
Arvutiteaduses, programmeerimises ja arvutiteoorias kohtab logaritme üsna sageli, näiteks selleks, et salvestada mällu N bitti.
Fraktaalide ja mõõtmete teooriates kasutatakse pidevalt logaritme, kuna fraktaalide mõõtmed määratakse ainult nende abiga.
Mehaanikas ja füüsikas Pole ühtegi lõiku, kus logaritme ei kasutatud. Baromeetriline jaotus, kõik statistilise termodünaamika põhimõtted, Tsiolkovski võrrand jne on protsessid, mida saab matemaatiliselt kirjeldada ainult logaritme kasutades.
Keemias kasutatakse logaritme Nernsti võrrandites ja redoksprotsesside kirjeldustes.
Hämmastav on see, et isegi muusikas kasutatakse oktaavi osade arvu väljaselgitamiseks logaritme.
Naturaallogaritm Funktsioon y=ln x selle omadused
Naturaallogaritmi põhiomaduse tõestus
Naturaallogaritmi põhiomadused, graafik, määratluspiirkond, väärtuste kogum, põhivalemid, tuletis, integraal, laiendus jõuseeria ja funktsiooni ln x esitus kompleksarvude abil.
Definitsioon
Naturaalne logaritm on funktsioon y = ln x, eksponentsiaali pöördväärtus x = e y ja on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.
Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.
Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Funktsiooni y = graafik ln x.
Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse eksponentsiaalgraafikult peegelpeegelduse teel sirgjoone y = x suhtes.
Naturaalne logaritm on määratletud muutuja x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.
Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus (-∞).
Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus (+ ∞). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga võimsusfunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.
Naturaallogaritmi omadused
Määratluspiirkond, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, vähenemine
Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.
ln x väärtused
ln 1 = 0
Naturaallogaritmide põhivalemid
Definitsioonist tulenevad valemid pöördfunktsioon:
Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed
Aluse asendamise valem
Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasasendusvalemit:
Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".
Pöördfunktsioon
Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.
Kui siis
Kui siis.
Tuletis ln x
Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>
Integraalne
Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,
Kompleksarve kasutavad avaldised
Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ
:
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ole üheselt määratletud. Kui paned
, kus n on täisarv,
see on sama arv erinevate n-de jaoks.
Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina ühe väärtusega funktsioon.
Jõuseeria laiendamine
Kui laienemine toimub:
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
Mis on logaritm?
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")
Mis on logaritm? Kuidas lahendada logaritme? Need küsimused ajavad paljud koolilõpetajad segadusse. Traditsiooniliselt peetakse logaritmide teemat keeruliseks, arusaamatuks ja hirmutavaks. Eriti logaritmidega võrrandid.
See pole absoluutselt tõsi. Absoluutselt! Ei usu mind? Hästi. Nüüd, vaid 10–20 minuti pärast:
1. Sa saad aru mis on logaritm.
2. Õpi lahendama tervet klassi eksponentsiaalvõrrandid. Isegi kui te pole neist midagi kuulnud.
3. Õppige arvutama lihtsaid logaritme.
Veelgi enam, selleks peate teadma ainult korrutustabelit ja seda, kuidas tõsta arvu astmeks...
Ma tunnen, et teil on kahtlusi... Noh, olgu, märkige aeg! Mine!
Esmalt lahendage see võrrand oma peas:
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Tund ja ettekanne teemadel: "Naturaallogaritmid. Naturaallogaritmi alus. Naturaalarvu logaritm"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 11. klassile
Interaktiivne käsiraamat 9.–11. klassile "Trigonomeetria"
Interaktiivne käsiraamat 10.–11. klassile "Logaritmid"
Mis on naturaallogaritm
Poisid, viimases tunnis õppisime midagi uut, erinumber– e. Täna jätkame selle numbriga tööd.Oleme uurinud logaritme ja teame, et logaritmi baasiks võib olla palju arve, mis on suuremad kui 0. Täna vaatleme ka logaritmi, mille aluseks on arv e. Sellist logaritmi nimetatakse tavaliselt naturaallogaritmiks. Sellel on oma tähistus: $\ln(n)$ on naturaallogaritm. See kirje on samaväärne kirjega: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponent- ja logaritmfunktsioonid on pöördfunktsioonid, siis naturaallogaritm on funktsiooni pöördfunktsioon: $y=e^x$.
Pöördfunktsioonid on sirge $y=x$ suhtes sümmeetrilised.
Joonistame naturaallogaritmi, joonistades eksponentsiaalfunktsiooni sirge $y=x$ suhtes.
Tasub tähele panna, et funktsiooni $y=e^x$ graafiku puutuja kaldenurk punktis (0;1) on 45°. Siis võrdub naturaallogaritmi graafiku puutuja kaldenurk punktis (1;0) samuti 45°. Mõlemad puutujad on paralleelsed sirgega $y=x$. Joonistame puutujad: 
Funktsiooni $y=\ln(x)$ omadused
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Ei ole paaris ega paaritu.
3. Suureneb kogu määratlusvaldkonna ulatuses.
4. Ülevalt ei piira, alt ei piira.
5. Suurim väärtus ei, madalaim väärtus Ei.
6. Pidev.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Kumer ülespoole.
9. Igal pool eristuv.
Ma tean kõrgem matemaatika see on tõestatud pöördfunktsiooni tuletis on antud funktsiooni tuletise pöördväärtus.
Tõestusse pole vaja süveneda on palju mõtet, kirjutame lihtsalt valemi: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Näide.
Arvutage funktsiooni tuletise väärtus: $y=\ln(2x-7)$ punktis $x=4$.
Lahendus.
IN üldine vaade meie funktsiooni esindab funktsioon $y=f(kx+m)$, saame arvutada selliste funktsioonide tuletisi.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Arvutame tuletise väärtuse vajalikus punktis: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Vastus: 2.
Näide.
Joonistage funktsiooni $y=ln(x)$ graafikule puutuja punktis $х=е$.
Lahendus.
Mäletame hästi funktsiooni graafiku puutuja võrrandit punktis $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Arvutame järjestikku vajalikud väärtused.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Puutuja võrrand punktis $x=e$ on funktsioon $y=\frac(x)(e)$.
Joonistame naturaallogaritmi ja puutuja. 
Näide.
Uurige funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse suhtes: $y=x^6-6*ln(x)$.
Lahendus.
Funktsiooni $D(y)=(0;+∞)$ definitsioonipiirkond.
Leiame antud funktsiooni tuletise:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Tuletis on siis olemas kõigi definitsioonipiirkonna x jaoks kriitilised punktid Ei. Leiame statsionaarsed punktid:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punkt $х=-1$ ei kuulu määratlusvaldkonda. Siis on meil üks statsionaarne punkt$x=1$. Leiame suurenemise ja kahanemise intervallid: 
Punkt $x=1$ on miinimumpunkt, siis $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Vastus: Funktsioon väheneb lõigul (0;1], funktsioon suureneb kiirel $)