Õpilastele kõrgem matemaatika peab teadma, et summa teatud jõuseeria, mis kuulub meile antud jada konvergentsivahemikku, osutub pidevaks ja piiramatuks arvuks diferentseeritud funktsioon. Tekib küsimus: kas võib öelda, et antud suvaline funktsioon f(x) on mõne astmerea summa? See tähendab, millistel tingimustel saab funktsiooni f(x) kujutada? jõuseeria? Selle küsimuse tähtsus seisneb selles, et funktsiooni f(x) on võimalik ligikaudu asendada astmerea paari esimese liikme summaga, see tähendab polünoomiga. See funktsiooni asendamine on üsna lihtne väljend- polünoom - on mugav ka teatud ülesannete lahendamisel, nimelt: integraalide lahendamisel, arvutamisel jne.
On tõestatud, et teatud funktsiooni f(x) korral, milles on võimalik arvutada tuletisi kuni (n+1) järguni, kaasa arvatud viimane, (α - R; x 0 + R) ) mingi punkt x = α, on tõsi, et valem:
See valem on oma nime saanud kuulsa teadlase Brooke Taylori järgi. Eelmisest saadud seeriat nimetatakse Maclaurini seeriaks:
Reegel, mis võimaldab Maclaurini seerias laiendada:
- Määrake esimese, teise, kolmanda... järgu tuletised.
- Arvutage välja, millega on x=0 tuletised võrdsed.
- Kirjutage selle funktsiooni jaoks üles Maclaurini seeria ja seejärel määrake selle lähenemise intervall.
- Määrake intervall (-R;R), kus on Maclaurini valemi ülejäänud osa
R n (x) -> 0 n juures -> lõpmatus. Kui selline on olemas, peab selles sisalduv funktsioon f(x) ühtima Maclaurini rea summaga.
Vaatleme nüüd Maclaurini seeriat üksikute funktsioonide jaoks.
1. Seega esimene on f(x) = e x. Loomulikult on sellisel funktsioonil oma omaduste järgi väga erineva järgu tuletised ja f (k) (x) = e x , kus k on võrdne kõigiga. Saame f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Eelneva põhjal näeb seeria e x välja selline:
2. Maclaurini jada funktsiooni f(x) = sin x jaoks. Teeme kohe selgeks, et kõigi tundmatute funktsioonil on tuletised, lisaks f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kus k on mis tahes naturaalarv. See tähendab, et pärast lihtsate arvutuste tegemist võime jõuda järeldusele, et f(x) = sin x jada on järgmisel kujul:
3. Nüüd proovime vaadelda funktsiooni f(x) = cos x. Kõigi tundmatute jaoks on sellel tuletised suvalises järjekorras ja |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Niisiis, oleme loetletud kõige olulisemad funktsioonid, mida saab Maclaurini seerias laiendada, kuid mõne funktsiooni jaoks on neid täiendatud Taylori seeriaga. Nüüd loetleme need. Samuti väärib märkimist, et Taylori ja Maclaurini seeriad on oluliseks osaks praktilises töös kõrgema matemaatika seeriate lahendamisel. Niisiis, Taylori sari.
1. Esimene on funktsiooni f(x) = ln(1+x) jada. Nagu eelmistes näidetes, saame antud f(x) = ln(1+x) korral lisada seeriad, kasutades Maclaurini seeria üldkuju. selle funktsiooni jaoks saab aga Maclaurini seeriat saada palju lihtsamalt. Pärast teatud geomeetrilise jada integreerimist saame sellise valimi jaoks rea f(x) = ln(1+x):
2. Ja teine, mis on meie artiklis lõplik, on seeria f(x) = arctan x. Intervalli [-1;1] kuuluva x puhul kehtib laiendus:
See on kõik. Selles artiklis vaadeldi enim kasutatud Taylori ja Maclaurini seeriaid kõrgemas matemaatikas, eriti majandus- ja tehnikaülikoolides.
16.1. Elementaarfunktsioonide laiendamine Taylori seeriasse ja
Maclaurin
Näitame, et kui hulgal on defineeritud suvaline funktsioon 
, punkti läheduses 
sellel on palju tuletisi ja see on astmerea summa:
siis leiate selle seeria koefitsiendid.
Asendame võimsusreas 
. Siis 
.
Leiame funktsiooni esimese tuletise 
:
Kell 
:
.
Teise tuletise jaoks saame:
Kell 
:
.
Selle protseduuri jätkamine n kui saame: 
.
Nii saime astmerea kujul:
,
mida nimetatakse Taylori kõrval funktsiooni jaoks 
punkti läheduses 
.
Taylori seeria erijuhtum on Maclaurin seeria juures 
:
Ülejäänud osa Taylori (Maclaurin) seeriast saadakse põhiseeria äraviskamisel n esimesed liikmed ja seda tähistatakse kui 
. Siis funktsioon 
saab kirjutada summana n sarja esimesed liikmed 
ja ülejäänud 
:,
.
Ülejäänud on tavaliselt 
väljendatakse erinevates valemites.
Üks neist on Lagrange'i kujul:
, Kus 
.
.
Pange tähele, et praktikas kasutatakse Maclaurini seeriat sagedamini. Seega funktsiooni kirjutamiseks 
astmerea summa kujul on vajalik:
1) leida Maclaurini (Taylori) seeria koefitsiendid;
2) leida saadud astmeridade konvergentsipiirkond;
3) tõestada, et see jada koondub funktsioonile 
.
Teoreem1
(vajalik ja piisav tingimus Maclaurini seeria konvergentsi jaoks). Olgu seeria lähenemisraadius 
. Selleks, et see seeria intervallis koonduks 
funktsioneerima 
, tingimuse täitmiseks on vajalik ja piisav: 
määratud intervalliga.
2. teoreem. Kui funktsiooni mis tahes järgu tuletised 
mingil intervallil 
absoluutväärtuses piiratud sama arvuga M, see on 
, siis selles intervallis funktsioon 
saab laiendada Maclaurini sarjaks.
Näide1
.
Laiendage Taylori seerias punkti ümber 
funktsiooni.
Lahendus.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Lähenemispiirkond 
.
Näide2
.
Laiendage funktsiooni 
Taylori seerias punkti ümber 
.
Lahendus:
Leia funktsiooni ja selle tuletiste väärtus kohas 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Paneme need väärtused ritta. Saame:
või 
.
Leiame selle seeria konvergentsipiirkonna. D'Alemberti testi järgi koondub jada, kui
.
Seetõttu mis tahes 
see piir on väiksem kui 1 ja seetõttu on seeria konvergentsi vahemik: 
.
Vaatleme mitmeid näiteid põhiliste elementaarfunktsioonide laiendamisest Maclaurini seerias. Tuletame meelde, et Maclaurini seeria:
.
koondub intervallile 
funktsioneerima 
.
Pange tähele, et funktsiooni laiendamiseks seeriasse on vaja:
a) leidke selle funktsiooni jaoks Maclaurini rea koefitsiendid;
b) arvutab saadud jada konvergentsiraadiuse;
c) tõestada, et saadud seeria koondub funktsioonile 
.
Näide 3. Mõelge funktsioonile 
.
Lahendus.
Arvutame funktsiooni ja selle tuletiste väärtuse at 
.
Siis on seeria arvulised koefitsiendid kujul:
kellelegi n. Asendame leitud koefitsiendid Maclaurini seeriaga ja saame: 
Leiame saadud seeria lähenemisraadiuse, nimelt:
.
Seetõttu koondub seeria intervallile 
.
See seeria läheneb funktsioonile 
mis tahes väärtuste jaoks 
, sest igal intervallil 
funktsiooni 
ja selle absoluutväärtuse tuletisinstrumentide arv on piiratud 
.
Näide4
.
Mõelge funktsioonile 
.
Lahendus.
:
Lihtne on näha, et tuletised on ühtlase järjekorraga 
, ja tuletised on paaritu järjestusega. Asendame leitud koefitsiendid Maclaurini seeriaga ja saame laienduse:
Leiame selle jada konvergentsi intervalli. D'Alemberti märgi järgi:
kellelegi 
. Seetõttu koondub seeria intervallile 
.
See seeria läheneb funktsioonile 
, sest kõik selle tuletised piirduvad ühtsusega.
Näide5
.
.
Lahendus.
Leiame funktsiooni ja selle tuletiste väärtuse at 
:
Seega on selle seeria koefitsiendid: 
Ja 
, seega:
Sarnaselt eelmisele reale, lähenemisala 
. Seeria koondub funktsioonile 
, sest kõik selle tuletised piirduvad ühtsusega.
Pange tähele, et funktsioon 
paaritu ja seeria laiendamine paaritutel astmetel, funktsioon 
– ühtlane ja laienemine sarjaks ühtlastes võimsustes.
Näide6
.
Binoomne seeria: 
.
Lahendus.
Leiame funktsiooni ja selle tuletiste väärtuse at 
:
Sellest on näha, et:
Asendame need koefitsientide väärtused Maclaurini seeriaga ja saame selle funktsiooni laiendamise astmereaks:
Leiame selle seeria lähenemisraadiuse:
Seetõttu koondub seeria intervallile 
. Piirpunktides kl 
Ja 
jada võib olenevalt eksponendist läheneda või mitte 
.
Uuritud seeria koondub intervallile 
funktsioneerima 
, see tähendab seeriate summat 
juures 
.
Näide7
.
Laiendame funktsiooni Maclaurini seerias 
.
Lahendus.
Selle funktsiooni jadaks laiendamiseks kasutame binoomjada at 
. Saame: 
Tuginedes astmeridade omadusele (võib integreerida astmerida selle konvergentsi piirkonda), leiame selle jada vasaku ja parema külje integraali:
Leiame selle seeria lähenemisala: 
,
see tähendab, et selle seeria lähenemisala on intervall 
. Määrame jada konvergentsi intervalli otstes. Kell 
. See sari on harmooniline sari, see tähendab, et see lahkneb. Kell 
saame ühise terminiga arvuseeria 
.
Seeria koondub Leibnizi testi järgi. Seega on selle seeria lähenemispiirkond intervall 
.
16.2. Võimsusridade rakendamine ligikaudsetes arvutustes
Ligikaudsetes arvutustes on võimsusridadel äärmiselt oluline roll. Nende abiga on koostatud trigonomeetriliste funktsioonide tabelid, logaritmitabelid, muude funktsioonide väärtuste tabelid, mida kasutatakse erinevates teadmiste valdkondades, näiteks tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas. Lisaks on funktsioonide laiendamine astmereaks kasulik nende teoreetiliseks uurimiseks. Peamine probleem astmeridade kasutamisel ligikaudsetes arvutustes on vea hindamine, kui asendada seeria summa selle esimese summaga. n liikmed.
Vaatleme kahte juhtumit:
funktsioon on laiendatud märgi-vahelduvaks seeriaks;
funktsioon on laiendatud konstantse märgi seeriaks.
Arvutamine vahelduvate seeriate abil
Laske funktsioonil 
laiendati vahelduvvõimsuse seeriaks. Siis selle funktsiooni arvutamisel konkreetse väärtuse jaoks 
saame arvuseeria, millele saame rakendada Leibnizi kriteeriumi. Selle kriteeriumi kohaselt, kui rea summa asendatakse selle esimese summaga n termineid, siis absoluutviga ei ületa selle seeria ülejäänud osa esimest liiget, see tähendab: 
.
Näide8
.
Arvutama 
täpsusega 0,0001.
Lahendus.
Kasutame Maclaurini seeriat 
, asendades nurga väärtuse radiaanides:
Kui võrrelda antud rea esimest ja teist liiget etteantud täpsusega, siis: .
Kolmas laienemise tähtaeg:
väiksem kui määratud arvutustäpsus. Seetõttu arvutada 
piisab, kui jätta seeria kaks terminit, st
.
Seega 
.
Näide9
.
Arvutama 
täpsusega 0,001.
Lahendus.
Kasutame binoomrea valemit. Selleks kirjutame 
nagu: 
.
Selles väljendis 
,
Võrdleme seeria kõiki tingimusi määratud täpsusega. Selge see 
. Seetõttu arvutada 
piisab, kui jätta seeria kolm terminit.
või 
.
Arvutamine positiivsete seeriate abil
Näide10
.
Arvutage arv 
täpsusega 0,001.
Lahendus.
Funktsiooni jaoks reas 
asendame 
. Saame:
Hinnakem viga, mis tekib rea summa asendamisel esimese summaga 
liikmed. Paneme kirja ilmse ebavõrdsuse:
see on 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Vastavalt probleemile tuleb leida n nii, et kehtiks järgmine ebavõrdsus: 
või 
.
Seda on lihtne kontrollida, millal n= 6:
.
Seega 
.
Näide11
.
Arvutama 
täpsusega 0,0001.
Lahendus.
Pange tähele, et logaritmide arvutamiseks võib funktsiooni jaoks kasutada seeriat 
, kuid see jada koondub väga aeglaselt ja etteantud täpsuse saavutamiseks oleks vaja võtta 9999 terminit! Seetõttu kasutatakse logaritmide arvutamiseks reeglina funktsiooni seeriat 
, mis läheneb intervallile 
.
Arvutame 
kasutades seda seeriat. Lase 
, Siis 
.
Seega 
,
Selleks, et arvutada 
antud täpsusega võtke esimese nelja liikme summa: 
.
Ülejäänud seeria 
jätame selle kõrvale. Hindame viga. See on ilmne 
või 
.
Seega piisas arvutuses kasutatud seerias funktsiooni 9999 asemel võtta ainult neli esimest liiget. 
.
Enesediagnostika küsimused
1. Mis on Taylori sari?
2. Millises vormis oli Maclaurini sari?
3. Sõnasta teoreem funktsiooni laiendamise kohta Taylori reas.
4. Kirjutage üles põhifunktsioonide Maclaurini seeria laiendus.
5. Märkige vaadeldavate ridade konvergentsi alad.
6. Kuidas hinnata ligikaudsete arvutuste viga võimsusridade abil?
Funktsionaalsete jadate teoorias on kesksel kohal jaotis, mis on pühendatud funktsiooni laiendamisele jadaks.
Seega on ülesanne püstitatud: antud funktsiooni jaoks me peame leidma sellise võimsusjada
mis lähenes teatud intervallile ja selle summa oli võrdne 
,
need.
=
..
Seda ülesannet nimetatakse funktsiooni astmereaks laiendamise probleem.
Vajalik tingimus astmereas oleva funktsiooni lagundatavuse jaoks kas selle diferentseeritavus on lõpmatu arv kordi – see tuleneb koonduvate astmeridade omadustest. See tingimus on reeglina täidetud elementaarfunktsioonide puhul nende määratluspiirkonnas.
Oletame, et funktsioon 
omab mis tahes järjestust tuletisi. Kas seda on võimalik laiendada võimsusseeriaks. Kui jah, siis kuidas seda seeriat leida? Probleemi teist osa on lihtsam lahendada, nii et alustame sellest.
Oletame, et funktsioon 
saab esitada punkti sisaldavas intervallis koonduvate astmeridade summana X 0 :
=
..
(*)
Kus A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – tundmatud (veel) koefitsiendid.
Paneme võrdsusse (*) väärtuse x = x 0 , siis saame
.
Eristagem astmerida (*) termini kaupa
=
..
ja siin uskudes x = x 0 , saame
.
Järgmise diferentseerimisega saame seeria
=
..
uskudes x = x 0 ,
saame 
, kus 
.
Pärast P- saame mitu eristamist
Eeldusel viimases võrdsuses x = x 0 ,
saame 
, kus
Niisiis, koefitsiendid on leitud
,
,
,
…,
,….,
asendades mille seeriasse (*), saame
Saadud seeriat nimetatakse Taylori kõrval
funktsiooni jaoks
.
Seega oleme selle kindlaks teinud kui funktsiooni saab laiendada astmeseeriaks astmetes (x - x 0 ), siis on see laiendus ainulaadne ja sellest tulenev seeria on tingimata Taylori seeria.
Pange tähele, et Taylori seeria võib saada mis tahes funktsiooni jaoks, millel on punktis mis tahes järgu tuletised x = x 0 . Aga see ei tähenda, et funktsiooni ja saadud jada vahele saab panna võrdusmärgi, s.t. et jada summa on võrdne algfunktsiooniga. Esiteks saab selline võrdus olla mõttekas ainult konvergentsi piirkonnas ja funktsiooni jaoks saadud Taylori jada võib lahkneda ja teiseks, kui Taylori jada koondub, siis ei pruugi selle summa kattuda algfunktsiooniga.
3.2. Piisavad tingimused funktsiooni lagunemiseks Taylori seerias
Sõnastagem väide, mille abil ülesanne lahendatakse.
Kui funktsioon
mõnes punkti x naabruses 0 on tuletised kuni (n+
1) järjekorras, siis selles naabruses on meilvalem
Taylor
KusR n (X)-Taylori valemi ülejäänud termin - on kujul (Lagrange'i vorm)
Kus punktξ asub x ja x vahel 0 .
Pange tähele, et Taylori seeria ja Taylori valemi vahel on erinevus: Taylori valem on lõplik summa, st. P - fikseeritud number.
Tuletage meelde, et seeria summa S(x) saab määratleda osasummade funktsionaalse jada piirina S P (x) mingi intervalliga X:
.
Selle järgi tähendab funktsiooni laiendamine Taylori seeriaks sellise seeria leidmist, mis sobib mis tahes XX
Kirjutame Taylori valemi kujul kus
Märka seda 
defineerib saadud vea, asenda funktsioon f(x)
polünoom S n (x).
Kui 
, See 
, need. funktsioon on laiendatud Taylori seeriaks. Vastupidi, kui 
, See 
.
Nii me tõestasime Taylori seeria funktsiooni lagundatavuse kriteerium.
Funktsiooni jaoksf(x) laieneb Taylori seeriaks, on vajalik ja piisav, et sellel intervallil
, KusR n (x) on Taylori seeria ülejäänud termin.
Kasutades sõnastatud kriteeriumi, on võimalik saada piisavfunktsiooni lagundatavuse tingimused Taylori seerias.
Kui sissemingi punkti x naabruskond 0 funktsiooni kõigi tuletiste absoluutväärtused on piiratud sama arvuga M≥ 0, st.
, To selles naabruses laieneb funktsioon Taylori seeriaks.
Eeltoodust järeldub algoritmfunktsiooni laiendamine f(x) Taylori seerias punkti läheduses X 0 :
1. Funktsioonide tuletiste leidmine f(x):
f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…
2. Arvutage funktsiooni väärtus ja selle tuletiste väärtused punktis X 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Kirjutame formaalselt Taylori jada ja leiame saadud astmeridade konvergentsipiirkonna.
4. Kontrollime piisavate tingimuste täitmist, s.o. mille jaoks kehtestame X lähenemispiirkonnast, ülejäänud tähtaeg R n (x)
kipub nulli kell 
või
.
Funktsioonide laiendamist Taylori seeriasse selle algoritmi abil nimetatakse funktsiooni laiendamine Taylori seeriasse definitsiooni järgi või otsene lagunemine.
"Leia funktsiooni f(x) Maclaurini seeria laiendus"- just nii kõlab kõrgmatemaatika ülesanne, millega osad õpilased hakkama saavad, teised aga näidetega hakkama ei saa. Seeria volituste laiendamiseks on mitu võimalust. Siin kirjeldame funktsioonide laiendamist Maclaurini seeriaks. Funktsiooni jadana väljatöötamisel tuleb osata tuletisinstrumente hästi arvutada.
Näide 4.7 Laiendage funktsiooni x astmetes
Arvutused: Funktsiooni laiendamise teostame Maclaurini valemi järgi. Esmalt laiendame funktsiooni nimetaja jadaks 
Lõpuks korrutage laiendus lugejaga.
Esimene liige on funktsiooni väärtus nulliga f (0) = 1/3.
Leiame esimese ja kõrgema järgu funktsiooni tuletised f (x) ja nende tuletiste väärtuse punktis x=0 
Järgmisena kirjutame tuletisinstrumentide väärtuse muutumise mustri põhjal 0 juures n-nda tuletise valemi 
Niisiis, me esindame nimetajat Maclaurini seeria laienduse kujul 
Korrutame lugejaga ja saame funktsiooni soovitud laienduse reas x astmetes 
Nagu näete, pole siin midagi keerulist.
Kõik võtmepunktid põhinevad võimel arvutada tuletisi ja üldistada kõrgema järgu tuletise väärtus kiiresti nulliga. Järgmised näited aitavad teil õppida, kuidas funktsiooni kiiresti järjestada.
Näide 4.10 Leia funktsiooni Maclaurini seeria laiendus
Arvutused: Nagu arvata võis, paneme koosinuse lugejasse järjestikku. Selleks saab kasutada lõpmata väikeste suuruste valemeid või tuletada koosinuse laienemist tuletiste kaudu. Selle tulemusena jõuame järgmise jadani x astmetes 
Nagu näete, on meil minimaalselt arvutusi ja seeria laiendamise kompaktne esitus.
Näide 4.16 Laiendage funktsiooni x astmetes:
7/(12-x-x^2)
Arvutused. Seda tüüpi näidete puhul on vaja murdosa laiendada lihtmurdude summa kaudu.
Me ei näita praegu, kuidas seda teha, kuid määramatute koefitsientide abil jõuame murdude summani.
Järgmisena kirjutame nimetajad eksponentsiaalsel kujul 
Jääb veel termineid Maclaurini valemi abil laiendada. Summeerides terminid "x" samade astmetega, koostame valemi reas oleva funktsiooni laiendamise üldliikme jaoks 
Seeriale ülemineku viimast osa alguses on keeruline rakendada, kuna paaris- ja paaritute indeksite (kraadide) valemeid on keeruline kombineerida, kuid harjutades saate sellega paremini hakkama.
Näide 4.18 Leia funktsiooni Maclaurini seeria laiendus
Arvutused: leiame selle funktsiooni tuletise: 
Laiendame funktsiooni ühe McLareni valemi abil seeriaks: 
Summeerime seeria terminite kaupa, tuginedes asjaolule, et mõlemad on absoluutselt identsed. Olles integreerinud terve jada termini haaval, saame funktsiooni laiendamise jadaks astmetes x 
Laienduse kahe viimase rea vahel toimub üleminek, mis võtab alguses palju aega. Seeria valemi üldistamine pole kõigi jaoks lihtne, seega ärge muretsege, et te ei saa kena ja kompaktset valemit.
Näide 4.28 Leidke funktsiooni Maclaurini seeria laiendus:
Kirjutame logaritmi järgmiselt 
Maclaurini valemit kasutades laiendame logaritmi funktsiooni x astmetes 
Lõplik keerdkäik on esmapilgul keeruline, kuid märkide vaheldumisel saate alati midagi sarnast. Sisestustund teemal ajastamise funktsioonid järjest on läbi. Teisi sama huvitavaid lagunemisskeeme käsitletakse üksikasjalikult järgmistes materjalides.
Kui funktsioonil f(x) on teatud intervalli, mis sisaldab punkti a, kõigi järkude tuletised, saab sellele rakendada Taylori valemit:
,
Kus r n– seeria nn jääk liige või jääk, seda saab hinnata Lagrange'i valemi abil:
, kus arv x on x ja a vahel.
Funktsioonide sisestamise reeglid:
Kui mõne väärtuse eest X r n→0 kl n→∞, siis piirväärtuses muutub Taylori valem selle väärtuse jaoks koonduvaks Taylori sari:
,
Seega saab funktsiooni f(x) vaadeldavas punktis x laiendada Taylori seeriaks, kui:
1) tal on kõikide järjekordade tuletised;
2) konstrueeritud jada selles punktis koondub.
Kui a = 0 saame rea nimega Maclaurini lähedal:
,
Maclaurini seeria kõige lihtsamate (elementaarsete) funktsioonide laiendamine:
Eksponentfunktsioonid
, R=∞
Trigonomeetrilised funktsioonid 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funktsioon actgx ei laiene x astmetes, sest ctg0=∞
Hüperboolsed funktsioonid
Logaritmilised funktsioonid
, -1
Binoomjada
.
Näide nr 1. Laiendage funktsioon astmeseeriaks f(x)= 2x.
Lahendus. Leiame funktsiooni ja selle tuletiste väärtused aadressil X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2 = ln2;
f""(x) = 2x 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2 = ln n 2.
Asendades saadud tuletiste väärtused Taylori seeria valemiga, saame:
Selle jada lähenemisraadius on võrdne lõpmatusega, seetõttu kehtib see laiendus -∞<x<+∞.
Näide nr 2. Kirjutage Taylori seeria võimsustes ( X+4) funktsiooni jaoks f(x)= e x.
Lahendus. Funktsiooni e tuletiste leidmine x ja nende väärtused hetkel X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Seetõttu on funktsiooni nõutav Taylori seeria vorm:
See laiendus kehtib ka -∞ korral<x<+∞.
Näide nr 3. Laiendage funktsiooni f(x)=ln x volituste seerias ( X- 1),
(st Taylori seerias punkti läheduses X=1).
Lahendus. Leia selle funktsiooni tuletised.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Asendades need väärtused valemisse, saame soovitud Taylori seeria:
D'Alemberti testi abil saate kontrollida, et seeria koondub ½x-1½<1 . Действительно,
Seeria koondub, kui ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 saame vahelduva jada, mis vastab Leibnizi kriteeriumi tingimustele. Kui x=0, ei ole funktsioon defineeritud. Seega on Taylori rea konvergentsi piirkonnaks poolavatud intervall (0;2]).
Näide nr 4. Laiendage funktsioon astmeseeriaks. Näide nr 5. Laiendage funktsiooni Maclaurini seeriaks. Kommenteeri
.
See meetod põhineb teoreemil funktsiooni laiendamise kordumatuse kohta astmereas. Selle teoreemi olemus seisneb selles, et sama punkti läheduses ei ole võimalik saada kahte erinevat astmerida, mis läheneksid samale funktsioonile, olenemata sellest, kuidas seda laiendatakse. Näide nr 5a. Laiendage funktsiooni Maclaurini seerias ja märkige lähenemispiirkond. Murdu 3/(1-3x) võib lugeda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaks nimetajaga 3x, kui |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Näide nr 6. Laiendage funktsioon Taylori seeriaks punkti x = 3 läheduses. Näide nr 7. Kirjutage Taylori seeria funktsiooni ln(x+2) astmetes (x -1). Näide nr 8. Laiendage funktsioon f(x)=sin(πx/4) Taylori jadaks punkti x =2 läheduses. Näide nr 1. Arvutage ln(3) 0,01 täpsusega. Näide nr 2. Arvutage 0,0001 täpsusega. Näide nr 3. Arvutage integraal ∫ 0 1 4 sin (x) x täpsusega 10 -5 . Näide nr 4. Arvutage integraal ∫ 0 1 4 e x 2 täpsusega 0,001.
Lahendus. Laienduses (1) asendame x väärtusega -x 2, saame:
, -∞
Lahendus. Meil on
Kasutades valemit (4), saame kirjutada:
asendades valemis x asemel -x, saame:
Siit leiame: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Sulgusid avades, sarja tingimusi ümber paigutades ja sarnaseid termineid tuues saame
. See jada koondub intervallisse (-1;1), kuna see saadakse kahest seeriast, millest igaüks läheneb selles intervallis.
Valemeid (1)-(5) saab kasutada ka vastavate funktsioonide laiendamiseks Taylori seeriaks, s.t. funktsioonide laiendamiseks positiivsete täisarvude astmetes ( Ha). Selleks on vaja antud funktsioonil sooritada sellised identsed teisendused, et saada üks funktsioonidest (1)-(5), milles selle asemel X maksab k( Ha) m , kus k on konstantne arv, m on positiivne täisarv. Sageli on mugav muuta muutujat t=Ha ja laiendage saadud funktsiooni t suhtes Maclaurini seerias.
Lahendus. Kõigepealt leiame 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
algklassidesse:
konvergentsipiirkonnaga |x|< 1/3.
Lahendus. Selle probleemi saab nagu varemgi lahendada Taylori seeria definitsiooni abil, mille jaoks peame leidma funktsiooni tuletised ja nende väärtused X=3. Siiski on lihtsam kasutada olemasolevat laiendust (5):
=
Saadud jada läheneb või –3
Lahendus.
Seeria läheneb väärtusele , või -2< x < 5.
Lahendus. Teeme asenduseks t=x-2:
Kasutades laiendust (3), milles asendame x asemel π / 4 t, saame:
Saadud seeria koondub antud funktsioonile punktis -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Ligikaudsed arvutused võimsusridade abil
Jõuseeriaid kasutatakse laialdaselt ligikaudsetes arvutustes. Nende abiga saate etteantud täpsusega arvutada juurte, trigonomeetriliste funktsioonide, arvude logaritmide ja kindlate integraalide väärtusi. Seeriaid kasutatakse ka diferentsiaalvõrrandite integreerimisel.
Mõelge funktsiooni laiendamisele astmereas:
Funktsiooni ligikaudse väärtuse arvutamiseks antud punktis X, mis kuulub näidatud seeriate konvergentsi piirkonda, jäetakse esimesed selle laiendusse n liikmed ( n– lõplik arv) ja ülejäänud terminid jäetakse kõrvale:
Saadud ligikaudse väärtuse vea hindamiseks on vaja hinnata äravisatud jääki rn (x) . Selleks kasutage järgmisi tehnikaid:
Lahendus. Kasutame laiendust, kus x=1/2 (vt eelmise teema näidet 5):
Kontrollime, kas saame pärast kolme esimest laiendusliikme jääki kõrvale jätta, hindame seda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaga:
Seega võime selle jäägi ära visata ja saada
Lahendus. Kasutame binoomjada. Kuna 5 3 on 130-le lähim täisarvu kuup, on soovitav esitada arvu 130 kujul 130 = 5 3 +5. 
kuna juba Leibnizi kriteeriumile vastava tulemuseks oleva vahelduva seeria neljas liige on nõutavast täpsusest väiksem:
, seega võib selle ja sellele järgnevatest terminitest loobuda.
Paljusid praktiliselt vajalikke kindlaid või ebaõigeid integraale ei saa arvutada Newtoni-Leibnizi valemi abil, sest selle rakendamine on seotud antiderivaadi leidmisega, millel elementaarfunktsioonides sageli avaldist ei ole. Juhtub ka seda, et antiderivaadi leidmine on võimalik, kuid see on tarbetult töömahukas. Kui aga integrandfunktsioon on laiendatud astmereaks ja integreerimise piirid kuuluvad selle jada konvergentsi intervalli, siis on integraali ligikaudne arvutamine etteantud täpsusega võimalik.
Lahendus. Vastavat määramatut integraali ei saa väljendada elementaarfunktsioonides, s.t. tähistab "mittepüsivat integraali". Newtoni-Leibnizi valemit ei saa siin rakendada. Arvutame integraali ligikaudselt.
Patu jada termini kaupa x peal x, saame: 
Integreerides selle seeria terminite kaupa (see on võimalik, kuna integreerimise piirid kuuluvad selle seeria lähenemisvahemikku), saame:
Kuna saadud seeria vastab Leibnizi tingimustele ja soovitud väärtuse saamiseks etteantud täpsusega piisab, kui võtta kahe esimese liikme summa.
Seega leiame 
.
Lahendus.
. Kontrollime, kas saame ülejäänud osa ära visata pärast saadud seeria teist liiget.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.