Komplekssed tuletised. Logaritmiline tuletis.
Võimsuse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis
Jätkame oma eristamistehnika täiustamist. Selles õppetükis koondame käsitletud materjali, vaatame keerukamaid tuletisi ning tutvume ka uute võtete ja nippidega tuletise leidmiseks, eelkõige logaritmilise tuletise puhul.
Neile lugejatele, kellel on madal tase ettevalmistamisel peaksite lugema artiklit Kuidas tuletist leida? Näited lahendustest, mis võimaldab teil oma oskusi peaaegu nullist tõsta. Järgmisena peate lehte hoolikalt uurima Kompleksfunktsiooni tuletis, mõista ja lahenda Kõik minu toodud näited. See õppetund on loogiliselt järjekorras kolmas ja pärast selle omandamist eristate enesekindlalt üsna keerulisi funktsioone. Ei ole soovitav võtta seisukoht “Kus veel? Jah, sellest piisab! ”, kuna kõik näited ja lahendused on võetud päriselt testid ja neid kohtab praktikas sageli.
Alustame kordamisega. Õppetunnis Kompleksfunktsiooni tuletis Vaatasime mitmeid näiteid koos üksikasjalike kommentaaridega. Diferentsiaalarvutuse ja muude lõikude uurimisel matemaatiline analüüs– peate väga sageli eristama ja näidete üksikasjalik kirjeldamine pole alati mugav (ja mitte alati vajalik). Seetõttu harjutame tuletisinstrumentide leidmist suuliselt. Kõige sobivamad "kandidaadid" on kõige lihtsamate keerukate funktsioonide tuletised, näiteks:
Vastavalt keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglile 
:
Tulevikus muude matan teemade õppimisel sellist üksikasjalikku kirjet enamasti ei nõuta, eeldatakse, et õpilane oskab selliseid tuletisi autopiloodil leida. Kujutagem ette, et kell 3 hommikul oli a telefonikõne, Ja meeldiv hääl küsis: "Mis on kahe X-i puutuja tuletis?" Sellele peaks järgnema peaaegu kohene ja viisakas vastus: 
.
Esimene näide on kohe mõeldud sõltumatu otsus.
Näide 1
Leia suuliselt, ühes toimingus, näiteks järgmised tuletised: . Ülesande täitmiseks peate kasutama ainult elementaarfunktsioonide tuletiste tabel(kui te pole seda veel mäletanud). Kui teil on raskusi, soovitan õppetund uuesti läbi lugeda Kompleksfunktsiooni tuletis.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Vastused tunni lõpus
Komplekssed tuletised
Pärast esialgset suurtükiväe ettevalmistust on 3-4-5 funktsioonide pesastusega näited vähem hirmutavad. Võib-olla tunduvad järgmised kaks näidet mõne jaoks keerulised, kuid kui te neist aru saate (keegi kannatab), siis peaaegu kõik muu diferentsiaalarvutus See tundub lapse naljana.
Näide 2
Leia funktsiooni tuletis 
Nagu juba märgitud, on kompleksfunktsiooni tuletise leidmisel kõigepealt vajalik Õige SAage aru oma investeeringutest. Kahtluste korral tuletan teile meelde kasulik nipp: võtame näiteks "x" eksperimentaalse väärtuse ja proovime (vaimselt või mustandis) asendada antud väärtus"kohutavaks väljendiks".
1) Esmalt peame arvutama avaldise, mis tähendab, et summa on sügavaim manustamine.
2) Seejärel peate arvutama logaritmi:
4) Seejärel lõigake koosinus kuubikuks:
5) Viiendas etapis erinevus:
6) Ja lõpuks, välimine funktsioon on ruutjuur: 
Valem keeruka funktsiooni eristamiseks 
kasutatakse aastal vastupidises järjekorras, välimisest funktsioonist kõige sisemisse. Otsustame:
Tundub, et vigu pole...
(1) Võtke ruutjuure tuletis.
(2) Võtame erinevuse tuletise reegli abil 
(3) Kolmiku tuletis on null. Teise liikmena võtame astme (kuubi) tuletise.
(4) Võtke koosinuse tuletis.
(5) Võtke logaritmi tuletis.
(6) Ja lõpuks võtame kõige sügavama manustamise tuletise.
See võib tunduda liiga raske, kuid see pole just kõige jõhkram näide. Võtke näiteks Kuznetsovi kollektsioon ja hindate analüüsitud tuletise kogu ilu ja lihtsust. Märkasin, et neile meeldib eksamil anda sarnast asja, et kontrollida, kas õpilane saab aru, kuidas keerulise funktsiooni tuletist leida või ei saa aru.
Järgmine näide on teie jaoks iseseisvaks lahendamiseks.
Näide 3
Leia funktsiooni tuletis
Vihje: Esmalt rakendame lineaarsuse reegleid ja toodete eristamise reeglit
Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
On aeg liikuda edasi millegi väiksema ja toredama poole.
Pole harvad juhud, kui näites näidatakse korrutist mitte kahest, vaid kolm funktsiooni. Kuidas leida tuletist tooted kolmest kordajad?
Näide 4
Leia funktsiooni tuletis 
Kõigepealt vaatame, kas kolme funktsiooni korrutist on võimalik muuta kahe funktsiooni korrutiseks? Näiteks kui meil oleks tootes kaks polünoomi, siis saaksime sulud avada. Kuid vaadeldavas näites on kõik funktsioonid erinevad: aste, eksponent ja logaritm.
Sellistel juhtudel on see vajalik järjestikku kohaldada toodete eristamise reeglit 
kaks korda
Nipp seisneb selles, et y-ga tähistame kahe funktsiooni korrutist: , ja ve-ga logaritmi: . Miks saab seda teha? Kas see on võimalik 
– see ei ole kahe teguri tulemus ja reegel ei tööta?! Midagi keerulist pole:
Nüüd jääb üle reeglit teist korda rakendada 
sulgudesse:
Sa võid ikka olla perversne ja midagi sulgudest välja võtta, aga sisse sel juhul Parem on jätta vastus sellele vormile - seda on lihtsam kontrollida.
Vaadeldava näite saab lahendada teisel viisil: 
Mõlemad lahendused on absoluutselt samaväärsed.
Näide 5
Leia funktsiooni tuletis
See on näide iseseisva lahenduse jaoks, proovis on see lahendatud esimese meetodi abil.
Vaatame sarnaseid näiteid murdudega.
Näide 6
Leia funktsiooni tuletis 
Siin on mitu võimalust:
Või niimoodi:
Lahendus kirjutatakse aga kompaktsemalt, kui kasutame esmalt jagatise diferentseerimise reeglit 
, võttes kogu lugeja jaoks:
Põhimõtteliselt on näide lahendatud ja kui see jätta nii, pole see viga. Kuid kui teil on aega, on alati soovitatav vaadata mustandit, et näha, kas vastust saab lihtsustada? Vähendame lugeja avaldise väärtuseks ühine nimetaja Ja vabaneme kolmekorruselisest murrust:
Täiendavate lihtsustuste puuduseks on oht eksida mitte tuletise leidmisel, vaid banaalsete kooliteisenduste käigus. Teisest küljest lükkavad õpetajad ülesande sageli tagasi ja paluvad tuletise „meelde tuua”.
Lihtsam näide iseseisvaks lahendamiseks:
Näide 7
Leia funktsiooni tuletis
Jätkame tuletise leidmise meetodite valdamist ja nüüd käsitleme tüüpilist juhtumit, kui eristamiseks pakutakse välja “kohutav” logaritm
Näide 8
Leia funktsiooni tuletis
Siin saate minna kaugele, kasutades keeruka funktsiooni eristamise reeglit:
Kuid juba esimene samm sukeldab teid kohe meeleheitesse - peate võtma ebameeldiva tuletise murdosa võimsus, ja seejärel ka murdosast.
Sellepärast enne kuidas võtta "keeruka" logaritmi tuletist, lihtsustatakse seda kõigepealt tuntud kooliomaduste abil:
! Kui teil on käepärast praktikamärkmik, kopeerige need valemid otse sinna. Kui teil pole märkmikku, kopeerige need paberile, kuna ülejäänud õppetunni näited keerlevad nende valemite ümber.
Lahenduse enda saab kirjutada umbes nii:
Teisendame funktsiooni:
Tuletise leidmine: 
Funktsiooni enda eelkonverteerimine lihtsustas oluliselt lahendust. Seega, kui eristamiseks pakutakse välja sarnane logaritm, on alati soovitatav see "lahtistada".
Ja nüüd paar lihtsat näidet, mida saate ise lahendada:
Näide 9
Leia funktsiooni tuletis 
Näide 10
Leia funktsiooni tuletis
Kõik teisendused ja vastused on tunni lõpus.
Logaritmiline tuletis
Kui logaritmide tuletis on nii magus muusika, siis tekib küsimus: kas mõnel juhul on võimalik logaritmi kunstlikult korrastada? Saab! Ja isegi vajalik.
Näide 11
Leia funktsiooni tuletis 
Vaatasime hiljuti sarnaseid näiteid. Mida teha? Saate järjestikku rakendada jagatise diferentseerimise reeglit ja seejärel korrutise eristamise reeglit. Selle meetodi puuduseks on see, et saate tohutu kolmekorruselise murdosa, millega te ei taha üldse tegeleda.
Kuid teoorias ja praktikas on selline imeline asi nagu logaritmiline tuletis. Logaritme saab kunstlikult korraldada, "riputades" need mõlemale küljele:
Nüüd peate parema külje logaritmi nii palju kui võimalik "lagutama" (valemid teie silme ees?). Kirjeldan seda protsessi üksikasjalikult:
Alustame diferentseerimisest.
Lõpetame mõlemad osad prime'i all:
Parema külje tuletis on üsna lihtne, ma ei kommenteeri seda, sest kui te seda teksti loete, peaksite sellega enesekindlalt hakkama saama.
Aga vasak pool?
Vasakul pool on meil keeruline funktsioon. Ma näen ette küsimust: "Miks, kas logaritmi all on üks täht "Y"?"
Fakt on see, et see "ühe tähe mäng" - ON ISE FUNKTSIOON(kui see pole väga selge, vaadake artiklit Kaudselt määratud funktsiooni tuletis). Seetõttu on logaritm väline funktsioon ja "y" on sisemine funktsioon. Ja me kasutame reeglit keeruka funktsiooni eristamiseks 
:
Vasakul pool nagu võluväel võlukepp meil on tuletis. Järgmisena kanname vastavalt proportsioonireeglile "y" vasaku külje nimetajast parema külje ülaossa:
Ja nüüd meenutagem, millisest "mängija" funktsioonist me eristamise ajal rääkisime? Vaatame seisukorda: 
Lõplik vastus: 
Näide 12
Leia funktsiooni tuletis
See on näide, mille saate ise lahendada. Disaini näide seda tüüpi tunni lõpus.
Logaritmilise tuletise abil oli võimalik lahendada ükskõik milline näide nr 4-7, teine asi on see, et seal on funktsioonid lihtsamad ja võib-olla ei ole logaritmilise tuletise kasutamine väga õigustatud.
Võimsuse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis
Me pole seda funktsiooni veel kaalunud. Võimsuse eksponentsiaalfunktsioon on funktsioon, mille jaoks nii aste kui ka baas sõltuvad x-st. Klassikaline näide, mis antakse teile ükskõik millises õpikus või loengus:
Kuidas leida astme eksponentsiaalfunktsiooni tuletist?
On vaja kasutada äsja käsitletud tehnikat – logaritmilist tuletist. Me riputame logaritmid mõlemale küljele:
Reeglina võetakse paremal pool logaritmi alt kraad välja:
Selle tulemusena on paremal pool kahe funktsiooni korrutis, mida eristatakse standardvalem 
.
Leiame tuletise; selleks lisame mõlemad osad joonte alla:
Edasised toimingud on lihtsad:
Lõpuks: 
Kui mõni konversioon pole täiesti selge, lugege uuesti hoolikalt näite 11 selgitusi.
IN praktilisi ülesandeid Võimsuse eksponentsiaalne funktsioon on alati keerulisem kui loengus käsitletud näide.
Näide 13
Leia funktsiooni tuletis
Kasutame logaritmilist tuletist. 
Paremal küljel on konstant ja kahe teguri korrutis - “x” ja “logaritmi x logaritm” (logaritmi alla on pesastatud teine logaritm). Diferentseerimisel, nagu mäletame, on parem konstant kohe tuletismärgist välja nihutada, et see teele ei jääks; ja loomulikult rakendame tuttavat reeglit 
:
Nagu näete, ei sisalda logaritmilise tuletise kasutamise algoritm mingeid erilisi nippe ega nippe ning võimsuseksponentsiaalse funktsiooni tuletise leidmist ei seostata tavaliselt "piinaga".
Otsustama füüsilised ülesanded või näited matemaatikas on täiesti võimatu ilma tuletise ja selle arvutamise meetodite teadmata. Tuletis on üks kõige olulisemad mõisted matemaatiline analüüs. See põhiteema otsustasime pühendada tänase artikli. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?
Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus
Olgu funktsioon f(x) , määratud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutmine – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletise määratlus:
Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.
Muidu võib selle kirjutada nii:
Mis mõtet on sellist piiri leida? Ja siin on, mis see on:
funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.
Füüsiline tähendus tuletis: tee tuletis aja suhtes on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.
Tõepoolest, kõik teavad kooliajast peale, et kiirus on kindel tee x=f(t) ja aeg t . keskmine kiirus teatud aja jooksul:
Et teada saada liikumiskiirust ajahetkel t0 peate arvutama piirangu:
Esimene reegel: määrake konstant
Konstandi saab tuletismärgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke seda reeglina - Kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage seda .
Näide. Arvutame tuletise:
Teine reegel: funktsioonide summa tuletis
Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.
Me ei tõesta seda teoreemi, vaid kaalume pigem praktilist näidet.
Leia funktsiooni tuletis:
Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis
Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:
Näide: leidke funktsiooni tuletis:
Lahendus: 
Siin on oluline rääkida keerukate funktsioonide tuletiste arvutamisest. Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vahepealse argumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.
Ülaltoodud näites kohtame väljendit:
Sel juhul on vahepealne argument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks arvutame esmalt välisfunktsiooni tuletise vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.
Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis
Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:
Püüdsime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega hoiatage: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.
Kõigi selle ja muude teemade kohta tekkivate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Taga lühiajaline Aitame teil lahendada kõige keerulisemaid teste ja lahendada ülesandeid, isegi kui te pole kunagi varem tuletisarvutusi teinud.
Pärast esialgset suurtükiväe ettevalmistust on 3-4-5 funktsioonide pesastusega näited vähem hirmutavad. Järgmised kaks näidet võivad mõnele tunduda keerulised, aga kui neist aru saada (keegi kannatab), siis peaaegu kõik muu diferentsiaalarvutuses tundub lapse naljana.
Näide 2
Leia funktsiooni tuletis
Nagu juba märgitud, on kompleksfunktsiooni tuletise leidmisel kõigepealt vajalik Õige SAage aru oma investeeringutest. Kahtluste korral tuletan teile meelde kasulikku tehnikat: võtame näiteks "x" eksperimentaalse väärtuse ja proovime (vaimselt või mustandis) asendada selle väärtuse "kohutava väljendiga".
1) Esmalt peame arvutama avaldise, mis tähendab, et summa on sügavaim manustamine.
2) Seejärel peate arvutama logaritmi:
4) Seejärel lõigake koosinus kuubikuks:
5) Viiendas etapis erinevus:
6) Ja lõpuks, välimine funktsioon on ruutjuur: 
Valem keeruka funktsiooni eristamiseks 
rakendatakse vastupidises järjekorras, alates välimisest funktsioonist kuni sisemiseni. Otsustame:
Tundub ilma vigadeta:
1) Võtke ruutjuure tuletis.
2) Võtke erinevuse tuletis reegli abil 
3) Kolmiku tuletis on null. Teise liikmena võtame astme (kuubi) tuletise.
4) Võtke koosinuse tuletis.
6) Ja lõpuks võtame sügavaima manustamise tuletise.
See võib tunduda liiga raske, kuid see pole just kõige jõhkram näide. Võtke näiteks Kuznetsovi kollektsioon ja hindate analüüsitud tuletise kogu ilu ja lihtsust. Märkasin, et neile meeldib eksamil anda sarnast asja, et kontrollida, kas õpilane saab aru, kuidas keerulise funktsiooni tuletist leida või ei saa aru.
Järgmine näide on teie jaoks iseseisvaks lahendamiseks.
Näide 3
Leia funktsiooni tuletis
Vihje: Esmalt rakendame lineaarsuse reegleid ja toodete eristamise reeglit
Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
On aeg liikuda edasi millegi väiksema ja toredama poole.
Pole harvad juhud, kui näide näitab mitte kahe, vaid kolme funktsiooni korrutist. Kuidas leida kolme teguri korrutise tuletist?
Näide 4
Leia funktsiooni tuletis 
Kõigepealt vaatame, kas kolme funktsiooni korrutist on võimalik muuta kahe funktsiooni korrutiseks? Näiteks kui meil oleks tootes kaks polünoomi, siis saaksime sulud avada. Kuid vaadeldavas näites on kõik funktsioonid erinevad: aste, eksponent ja logaritm.
Sellistel juhtudel on see vajalik järjestikku kohaldada toodete eristamise reeglit 
kaks korda
Nipp seisneb selles, et y-ga tähistame kahe funktsiooni korrutist: , ja ve-ga logaritmi: . Miks saab seda teha? Kas see on võimalik 
- see ei ole kahe teguri tulemus ja reegel ei tööta?! Midagi keerulist pole:
Nüüd jääb üle reeglit teist korda rakendada sulgudesse:
Võite ka väänata ja midagi sulgudest välja panna, kuid sel juhul on parem jätta vastus täpselt sellisele kujule - seda on lihtsam kontrollida.
Vaadeldava näite saab lahendada teisel viisil:
Mõlemad lahendused on absoluutselt samaväärsed.
Näide 5
Leia funktsiooni tuletis
See on näide iseseisva lahenduse jaoks, proovis on see lahendatud esimese meetodi abil.
Vaatame sarnaseid näiteid murdudega.
Näide 6
Leia funktsiooni tuletis 
Siin on mitu võimalust:
Või niimoodi:
Lahendus kirjutatakse aga kompaktsemalt, kui kasutame esmalt jagatise diferentseerimise reeglit 
, võttes kogu lugeja jaoks:
Põhimõtteliselt on näide lahendatud ja kui see jätta nii, pole see viga. Kuid kui teil on aega, on alati soovitatav vaadata mustandit, et näha, kas vastust saab lihtsustada?
Vähendame lugeja avaldise ühiseks nimetajaks ja vabaneme murru kolmekorruselisest struktuurist:
Täiendavate lihtsustuste puuduseks on oht eksida mitte tuletise leidmisel, vaid banaalsete kooliteisenduste käigus. Teisest küljest lükkavad õpetajad ülesande sageli tagasi ja paluvad tuletise „meelde tuua”.
Lihtsam näide iseseisvaks lahendamiseks:
Näide 7
Leia funktsiooni tuletis
Jätkame tuletise leidmise meetodite valdamist ja nüüd käsitleme tüüpilist juhtumit, kui eristamiseks pakutakse välja “kohutav” logaritm
Tuuakse näiteid tuletiste arvutamisest, kasutades kompleksfunktsiooni tuletise valemit.
Siin anname näiteid tuletisinstrumentide arvutamise kohta järgmisi funktsioone:
;
;
;
;
.
Kui funktsiooni saab esitada kujul keeruline funktsioon V järgmine vorm:
,
siis selle tuletis määratakse valemiga:
.
Allolevates näidetes kirjutame selle valemi järgmiselt:
.
Kus.
Siin tähistavad tuletismärgi all olevad alaindeksid või muutujaid, mille järgi eristatakse.
Tavaliselt on tuletiste tabelites toodud funktsioonide tuletised muutujast x. Kuid x on formaalne parameeter. Muutuja x saab asendada mis tahes muu muutujaga. Seetõttu muudame funktsiooni muutujast eristades tuletise tabelis lihtsalt muutuja x muutujaks u.
Lihtsad näited
Näide 1
Leia kompleksfunktsiooni tuletis
.
Lahendus
Paneme selle kirja antud funktsioon samaväärsel kujul:
.
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
;
.
Vastavalt kompleksfunktsiooni tuletise valemile on meil:
.
siin .
Vastus
Näide 2
Leia tuletis
.
Lahendus
Võtame tuletismärgist välja konstandi 5 ja tuletiste tabelist leiame:
.
.
siin .
Vastus
Näide 3
Leia tuletis
.
Lahendus
Me võtame välja konstandi -1
tuletise märgi jaoks ja tuletiste tabelist leiame:
;
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
.
Rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit:
.
siin .
Vastus
Keerulisemad näited
Rohkem keerulised näited rakendame keeruka funktsiooni eristamise reeglit mitu korda. Sel juhul arvutame tuletise lõpust. See tähendab, et jagame funktsiooni selle komponentideks ja leiame selle abil lihtsaimate osade tuletised tuletisinstrumentide tabel. Kasutame ka summade eristamise reeglid, produktid ja fraktsioonid. Seejärel teeme asendused ja rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit.
Näide 4
Leia tuletis
.
Lahendus
Toome välja kõige rohkem lihtne osa valem ja leida selle tuletis. .
.
Siin oleme kasutanud tähistust
.
Leiame saadud tulemuste abil algfunktsiooni järgmise osa tuletise. Summa eristamiseks rakendame reeglit:
.
Taas rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit.
.
siin .
Vastus
Näide 5
Leia funktsiooni tuletis
.
Lahendus
Valime valemi lihtsaima osa ja leiame tuletisi tabelist selle tuletise. .
Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit.
.
Siin
.
Selles artiklis räägime nii olulisest matemaatilisest mõistest nagu kompleksfunktsioon ja õpime leidma kompleksfunktsiooni tuletist.
Enne kompleksfunktsiooni tuletise leidmise õppimist mõistkem kompleksfunktsiooni mõistet, mis see on, "millega seda süüakse" ja "kuidas seda õigesti valmistada".
Mõelgem suvaline funktsioon, näiteks nii:
Pange tähele, et funktsiooni võrrandi paremal ja vasakul küljel olev argument on sama arv või avaldis.
Muutuja asemel võime panna näiteks järgmise avaldise: . Ja siis saame funktsiooni
Nimetagem avaldist vaheargumendiks ja funktsiooni välisfunktsiooniks. See ei ole range matemaatilised mõisted, kuid need aitavad mõista kompleksfunktsiooni mõiste tähendust.
Keerulise funktsiooni kontseptsiooni range määratlus kõlab järgmiselt:
Olgu funktsioon defineeritud hulgal ja selle funktsiooni väärtuste hulk. Olgu hulk (või selle alamhulk) funktsiooni määratluspiirkond. Määrame igaühele neist numbri. Seega defineeritakse funktsioon komplektis. Seda nimetatakse funktsiooni koostiseks või kompleksfunktsiooniks.
Selles definitsioonis, kui kasutame oma terminoloogiat, on väline funktsioon vaheargument.
Kompleksfunktsiooni tuletis leitakse järgmise reegli järgi:
Et see oleks selgem, kirjutan selle reegli järgmiselt:
Selles avaldises tähistab kasutamine vahefunktsiooni.
Niisiis. Keerulise funktsiooni tuletise leidmiseks on vaja
1. Määrata, milline funktsioon on väline ja leida tuletisi tabelist vastav tuletis.
2. Defineeri vaheargument.
Selle protseduuri puhul on suurimaks raskuseks välisfunktsiooni leidmine. Selleks kasutatakse lihtsat algoritmi:
A. Kirjutage üles funktsiooni võrrand.
b. Kujutage ette, et peate arvutama funktsiooni väärtuse mõne x väärtuse jaoks. Selleks asendate selle x väärtuse funktsiooni võrrandiga ja toodate aritmeetilised tehted. Viimane toiming, mida teete, on väline funktsioon.
Näiteks funktsioonis
Viimane toiming on astendamine.
Leiame selle funktsiooni tuletise. Selleks kirjutame vahepealse argumendi