Naturaallogaritmi miinus. Naturaallogaritmi mõistmine

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või Vene Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel – avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Exceli funktsioon LN on loodud arvu naturaallogaritmi arvutamiseks ja tagastab vastava numbriline väärtus. Naturaalne logaritm on logaritm, mille alus on e (Euleri arv ligikaudu 2,718).

Arvu logaritmi arvutamiseks kasutatakse Exceli funktsiooni LOG ja logaritmi aluse saab selgelt määrata funktsiooni teise argumendina.

Exceli funktsioon LOG10 on loodud arvu logaritmi arvutamiseks aluse 10 alusel ( kümnendlogaritm).

Näited funktsioonide LN, LOG ja LOG10 kasutamisest Excelis

Arheoloogid on leidnud iidse looma jäänused. Nende vanuse määramiseks otsustati kasutada radiosüsiniku dateerimise meetodit. Mõõtmiste tulemusena selgus, et sisu radioaktiivne isotoop C 14 moodustas 17% elusorganismides tavaliselt leiduvast kogusest. Arvutage jäänuste vanus, kui süsiniku isotoobi 14 poolestusaeg on 5760 aastat.

Allika tabeli vaade:

Lahendamiseks kasutame järgmine valem:

See valem saadi valemi x=t*(lgB-lgq)/lgp alusel, kus:

• q – süsiniku isotoobi kogus algushetk(looma surma ajal), väljendatuna ühena (või 100%);
• B – isotoobi kogus jäänuste analüüsimise ajal;
• t on isotoobi poolestusaeg;
• p – arvväärtus, mis näitab, mitu korda muutub aine (süsiniku isotoobi) kogus aja jooksul t.

Arvutuste tulemusena saame:

Leitud säilmed on ligi 15 tuhat aastat vanad.



Liitintressiga hoiusekalkulaator Excelis

Panga klient tegi sissemakse summas 50 000 rubla intressimääraga 14,5% (liitintress). Määrake, kui kaua kulub investeeritud summa kahekordistamine?

Huvitav fakt! Sest kiire lahendus Selle probleemi lahendamiseks saate empiirilise meetodi abil ligikaudselt hinnata liitintressimääraga tehtud investeeringute kahekordistamiseks kuluvat aega (aastates). Niinimetatud reegel 72 (või 70 või reegel 69). Selleks peate kasutama lihtsat valemit - jagage arv 72 intressimääraga: 72/14,5 = 4,9655 aastat. Peamine puudus"Maagilise" numbri 72 reegel on viga. Mida kõrgem on intressimäär, seda suurem on viga reeglis 72. Näiteks intressimääraga 100% aastas ulatub viga aastate lõikes kuni 0,72-ni (ja protsentides on see lausa 28%!).

Investeeringute kahekordistamise aja täpseks arvutamiseks kasutame funktsiooni LOG. Esiteks kontrollime reegli 72 vea väärtust intressimääraga 14,5% aastas.

Allika tabeli vaade:

Teadaoleva intressimääraga investeeringu tulevase väärtuse arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit: S=A(100%+n%) t, kus:

• S – eeldatav summa tähtaja möödumisel;
• A – hoiuse summa;
• n – intressimäär;
• t – hoiusevahendite pangas hoidmise periood.

Selle näite puhul saab selle valemi kirjutada kujul 100000=50000*(100%+14,5%) t või 2=(100%+14,5%) t. Seejärel saate t leidmiseks võrrandi ümber kirjutada kujul t=log (114,5%) 2 või t=log 1,1452.

T väärtuse leidmiseks kirjutame Excelisse hoiuse liitintressi arvutamiseks järgmise valemi:

LOG (B4/B2; 1+B3)

Argumentide kirjeldus:

• B4/B2 – eeldatava ja algsumma suhe, mis on logaritmi näitaja;
• 1+B3 – protsentuaalne tõus (logaritmibaas).

Arvutuste tulemusena saame:

Tagatisraha kahekordistub veidi enam kui 5 aastaga. Sest täpne määratlus aastat ja kuud kasutame valemit:

Funktsioon DROP loobub murdosast, mis on pärast koma, sarnaselt funktsiooniga INTEGER. Funktsioonide TRAN ja INTEGER erinevus on ainult negatiivsete arvutustes murdarvud. Lisaks on OTBR-il teine ​​argument, kus saate määrata lahkutavate kümnendkohtade arvu. Seetõttu sisse sel juhul Saate kasutaja valikul kasutada mõnda neist kahest funktsioonist.

Selgus, et 5 aastat ja 1 kuu ja 12 päeva. Nüüd võrdleme täpseid tulemusi reegliga 72 ja määrame vea suuruse. Selle näite puhul on valem järgmine:

Lahtri B3 väärtus tuleb korrutada 100-ga, kuna selle praegune väärtus on 0,145, mis kuvatakse protsendivormingus. Tulemusena:

Seejärel kopeerige valem lahtrist B6 lahtrisse B8 ja lahtrisse B9:

Arvutame veaperioodid:

Seejärel kopeerige valem lahtrist B6 uuesti lahtrisse B10. Selle tulemusena saame erinevuse:

Ja lõpuks, arvutame erinevuse protsentides, et kontrollida, kuidas hälbe suurus muutub ja kui oluliselt mõjutab intressimäära tõus reegli 72 ja fakti lahknevuse taset:

Nüüd selguse huvides proportsionaalne sõltuvus Vea kasvades ja intressitaseme tõustes tõstame intressimäära 100%-ni aastas:

Esmapilgul pole vigade erinevus märkimisväärne võrreldes 14,5% aastas - ainult umbes 2 kuud ja 100% aastas - 3 kuu jooksul. Kuid vea osatähtsus tasuvusajal on üle ¼ ehk täpsemalt 28%.

Teeme visuaalseks analüüsiks lihtsa graafiku, kuidas intressimäära muutuste ja reegli 72 veaprotsendi sõltuvus korreleerub faktiga:

Mida kõrgem on intressimäär, seda halvemini reegel 72 töötab järgmine väljund: kuni 32,2% aastas võite julgelt kasutada reeglit 72. Siis on viga alla 10 protsendi. See on hea, kui te ei vaja täpseid, kuid keerukad arvutused 2 korda suurem investeeringutasuvus.

Liitintressi investeeringute kalkulaator kapitalisatsiooniga Excelis

Pangakliendile pakuti sissemakse tegemist kogusumma pideva suurenemisega (liitintressiga kapitaliseerimine). Intressimäär on 13% aastas. Määrake, kui kaua kulub esialgse summa (250 000 rubla) kolmekordistamiseks. Kui palju oleks vaja intressimäära tõsta, et ooteaeg poole võrra väheneks?

Märkus: kuna oleme sisse selles näites kolmekordne investeeringu summa, siis reegel 72 enam ei kehti.

Algse andmetabeli vaade:

Pidevat kasvu saab kirjeldada valemiga ln(N)=p*t, kus:

• N – suhe lõplik summa panus esialgsesse;
• p – intressimäär;
• t – hoiuse tegemisest möödunud aastate arv.

Siis t=ln(N)/p. Selle võrdsuse põhjal kirjutame Excelisse valemi:

Argumentide kirjeldus:

• B3/B2 – lõpp- ja alghoiuse summade suhe;
• B4 – intressimäär.

Algse sissemakse summa kolmekordistamiseks kulub ligi 8,5 aastat. Ooteaega poole võrra vähendava määra arvutamiseks kasutame valemit:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Tulemus:

See tähendab, et peate esialgse intressimäära kahekordistama.

Funktsioonide LN, LOG ja LOG10 kasutamise omadused Excelis

Funktsioonil LN on järgmine süntaks:

LN(arv)

• arv on üks kohustuslik argument, mis aktsepteerib vahemikust reaalarve positiivsed väärtused.

Märkused:

1. LN funktsioon on pöördfunktsioon EXP. Viimane tagastab väärtuse, mis on saadud arvu e tõstmisel määratud astmeni. Funktsioon LN määrab, millise astmeni e (alus) tuleb logaritmi astendaja (arvu argumendi) saamiseks tõsta.
2. Kui arvu argument on vahemikust pärit arv negatiivsed väärtused või null, on LN-funktsiooni täitmise tulemuseks veakood #NUM!.

Funktsiooni LOG süntaks on järgmine:

LOG(arv ;[alus])

Argumentide kirjeldus:

• number – logaritmi astendaja arvväärtust iseloomustav nõutav argument, st arv, mis saadakse logaritmi aluse tõstmisel teatud astmeni, mille arvutab funktsioon LOG;
• [base] – valikuline argument, mis iseloomustab logaritmi aluse arvväärtust. Kui argumenti pole selgesõnaliselt täpsustatud, eeldatakse, et logaritm on kümnendkoht (st alus on 10).

Märkused:

1. Kuigi funktsiooni LOG tulemus võib olla negatiivne arv (näiteks =LOG(2;0,25) tagastab -0,5), tuleb funktsiooni argumendid võtta positiivsete väärtuste vahemikust. Kui vähemalt üks argumentidest on negatiivne arv, LOG funktsioon tagastab veakoodi #NUM!.
2. Kui väärtus 1 anti edasi argumendina [radix], tagastab funktsioon LOG veakoodi #DIV/0!, kuna 1-i mis tahes astmeni tõstmise tulemus on alati sama ja võrdne 1-ga.

Funktsioonil LOG10 on järgmine süntaks:

LOG10(number)

• number on üksik ja kohustuslik argument, mille tähendus on identne funktsioonide LN ja LOG samanimelise argumendiga.

Märkus: kui argumendina anti arv negatiivne arv või 0, tagastab funktsioon LOG10 veakoodi #NUM!.

Logaritm antud number nimetatakse eksponendiks, milleni tuleb tõsta teine ​​arv, kutsutakse alus logaritm selle arvu saamiseks. Näiteks 100 baasi 10 logaritm on 2. Teisisõnu, 10 tuleb 100 (10 2 = 100) saamiseks ruudus teha. Kui n- antud number, b– alus ja l– siis logaritm b l = n. Number n nimetatakse ka baasantilogaritmiks b numbrid l. Näiteks antilogaritm 2 kuni 10 alus on võrdne 100-ga. Seda saab kirjutada suhete logi kujul b n = l ja antilog b l = n.

Logaritmide põhiomadused:

Ükskõik milline positiivne arv, välja arvatud ühtsus, võib olla logaritmide aluseks, kuid kahjuks selgub, et kui b Ja n on ratsionaalarvud, siis sisse harvadel juhtudel on selline ratsionaalne arv l, Mida b l = n. Siiski on võimalik kindlaks teha irratsionaalne arv l näiteks nii, et 10 l= 2; see on irratsionaalne arv l ratsionaalarvude abil on võimalik lähendada mis tahes vajaliku täpsusega. Selgub, et antud näites l on ligikaudu võrdne 0,3010-ga ja selle 10 baaslogaritmi lähenduse 2 võib leida kümnendlogaritmide neljakohalistest tabelitest. 10 baaslogaritmi (või 10 baaslogaritmi) kasutatakse arvutustes nii sageli, et neid nimetatakse tavaline logaritmid ja kirjutatud kujul log2 = 0,3010 või log2 = 0,3010, jättes välja logaritmi aluse selgesõnalise tähise. Logaritmid baasi e, transtsendentaalne arv, mis on ligikaudu võrdne 2,71828-ga, kutsutakse loomulik logaritmid. Neid leidub peamiselt teostes matemaatiline analüüs ja selle rakendused erinevaid teadusi. Naturaallogaritmid kirjutatakse ka ilma baasi selgesõnaliselt näitamata, vaid kasutades spetsiaalset tähistust ln: näiteks ln2 = 0,6931, sest e 0,6931 = 2.

Tavaliste logaritmide tabelite kasutamine.

Arvu regulaarne logaritm on astendaja, milleni tuleb antud arvu saamiseks tõsta 10. Kuna 10 0 = 1, 10 1 = 10 ja 10 2 = 100, saame kohe, et log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 jne. täisarvude astmete suurendamiseks 10. Samamoodi 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 ja seega log0,1 = –1, log0,01 = –2 jne. kõigi täisarvude jaoks negatiivsed jõud 10. Ülejäänud arvude tavalised logaritmid sisalduvad arvu 10 lähimate täisarvude astmete logaritmide vahel; log2 peab olema vahemikus 0 kuni 1, log20 peab olema vahemikus 1 kuni 2 ja log0.2 peab olema vahemikus -1 kuni 0. Seega koosneb logaritm kahest osast, täisarvust ja kümnendarvust, mis jäävad vahemikku 0 kuni 1. täisarv osa nimega iseloomulik logaritm ja selle määrab arv ise, murdosa helistas mantiss ja leiad tabelitest. Samuti log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 logaritm on 0,3010, seega log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Samamoodi log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Pärast lahutamist saame log0,2 = – 0,6990. Siiski on mugavam esitada log0.2 kui 0,3010 – 1 või kui 9,3010 – 10; saab sõnastada ja üldreegel: kõigil arvudel, mis on saadud antud arvust astmega 10 korrutades, on sama mantiss, mis on võrdne mantissiga antud number. Enamikus tabelites on näidatud numbrite mantissid vahemikus 1 kuni 10, kuna kõigi teiste numbrite mantissid saab tabelis toodud arvude põhjal.

Enamik tabeleid annab logaritme nelja-viie kümnendkohaga, kuigi on ka seitsmekohalisi ja veelgi enamate komakohtadega tabeleid. Lihtsaim viis selliste tabelite kasutamise õppimiseks on näidete abil. Log3.59 leidmiseks märgime esmalt, et arv 3.59 on vahemikus 10 0 kuni 10 1, seega on selle tunnuseks 0. Leiame tabelist arvu 35 (vasakul) ja liigume mööda rida veerg, mille ülaosas on number 9 ; selle veeru ja rea ​​35 lõikepunkt on 5551, seega log3,59 = 0,5551. Neljaga arvu mantissi leidmiseks märkimisväärsed arvud, on vaja kasutada interpolatsiooni. Mõnes tabelis hõlbustavad interpoleerimist tabelite iga lehe paremas servas viimases üheksas veerus toodud proportsioonid. Leiame nüüd log736.4; arv 736,4 jääb 10 2 ja 10 3 vahele, seega on selle logaritmi tunnuseks 2. Tabelist leiame rea, millest vasakul on 73 ja veeru 6. Selle rea ja selle veeru ristumiskohas on Arv 8669. Lineaarsete osade hulgast leiame veeru 4. Rea 73 ja veeru 4 ristumiskohas on arv 2. Lisades 8669-le 2, saame mantissi - see on võrdne 8671-ga. Seega log736.4. = 2,8671.

Looduslikud logaritmid.

Tabelid ja omadused naturaallogaritmid on sarnased tavaliste logaritmide tabelite ja omadustega. Peamine erinevus mõlema vahel on see, et naturaallogaritmi täisarvuline osa ei ole asukoha määramisel oluline koma, ja seetõttu ei mängi mantissi ja tunnuse erinevus erilist rolli. Arvude naturaallogaritmid 5,432; 54,32 ja 543,2 on vastavalt 1,6923; 3,9949 ja 6,2975. Nende logaritmide vaheline seos saab selgeks, kui arvestada nendevahelisi erinevusi: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; viimane arv pole midagi muud kui arvu 10 naturaallogaritm (kirjutatud nii: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; viimane number on 2ln10. Aga 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Seega antud arvu naturaallogaritmi järgi a võite leida arvude naturaallogaritme, võrdne toodetega numbrid a mis tahes kraadi jaoks n numbrid 10 if to ln a lisage ln10 korrutatuna n, st. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Näiteks ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Seetõttu sisaldavad naturaallogaritmide tabelid, nagu ka tavaliste logaritmide tabelid, tavaliselt ainult arvude logaritme vahemikus 1 kuni 10. Naturaallogaritmide süsteemis võib rääkida antilogaritmidest, kuid sagedamini räägitakse eksponentsiaalfunktsioonist või eksponendist. Kui x= log y, See y = e x, Ja y nimetatakse eksponendiks x(tüpograafilise mugavuse huvides kirjutavad nad sageli y= eksp x). Eksponent mängib arvu antilogaritmi rolli x.

Kümnend- ja naturaallogaritmide tabeleid kasutades saate luua logaritmide tabeleid mis tahes alusega peale 10 ja e. Kui logi b a = x, See b x = a ja seega logi c b x=logi c a või x logi c b=logi c a, või x=logi c a/log c b=logi b a. Seetõttu kasutades seda inversiooni valemit baaslogaritmi tabelist c logaritmide tabeleid saab koostada mis tahes muul alusel b. kordaja 1/log c b helistas ülemineku moodul alusest c alusele b. Miski ei takista näiteks inversioonivalemi kasutamist või ühelt logaritmisüsteemilt teisele üleminekut, tavaliste logaritmide tabelist naturaallogaritmide leidmist või pöördsiirde tegemist. Näiteks log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Arv 0,4343, millega hariliku logaritmi saamiseks tuleb korrutada antud arvu naturaallogaritm, on tavalogaritmide süsteemile ülemineku moodul.

Spetsiaalsed lauad.

Logaritmid leiutati algselt nii, et nende omaduste abil logi ab=logi a+ palk b ja logi a/b=logi a- logi b, muuda produktid summadeks ja jagatised erinevusteks. Teisisõnu, kui logi a ja logi b on teada, siis on liitmise ja lahutamise abil lihtne leida korrutise logaritm ja jagatis. Astronoomias aga sageli antud väärtused logi a ja logi b vaja leida logi ( a + b) või logi( a – b). Muidugi võiks kõigepealt leida logaritmitabelitest a Ja b, siis sooritage näidatud liitmine või lahutamine ja jällegi tabelitele viidates leida vajalikud logaritmid, kuid selline protseduur eeldaks tabelitele kolm korda viitamist. Z. Leonelli avaldas 1802. aastal tabelid nn. Gaussi logaritmid– logaritmid summade ja vahede liitmiseks – mis võimaldas piirduda ühe juurdepääsuga tabelitele.

1624. aastal pakkus I. Kepler välja proportsionaalsete logaritmide tabelid, s.o. arvude logaritmid a/x, Kus a- mõned positiivsed konstantne. Neid tabeleid kasutavad peamiselt astronoomid ja navigaatorid.

Proportsionaalsed logaritmid juures a= 1 kutsutakse kollaaritmid ja neid kasutatakse arvutustes, kui on vaja tegeleda toodete ja jagatistega. Arvu kologaritm n võrdne logaritmiga vastastikune number; need. colog n= log1/ n= – log n. Kui log2 = 0,3010, siis colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Kologaritmide kasutamise eeliseks on see, et avaldiste logaritmi väärtuse arvutamisel nagu pq/r positiivsete kümnendkohtade logi kolmekordne summa lk+ palk q+koloog r on lihtsam leida kui segasumma ja vahe logi lk+ palk q- logi r.

Lugu.

Mis tahes logaritmisüsteemi aluseks olev põhimõte on tuntud väga pikka aega ja seda saab jälgida iidses Babüloonia matemaatikas (umbes 2000 eKr). Nendel päevadel interpoleerimine täisarvude tabeliväärtuste vahel positiivsed kraadid arvutamiseks kasutati täisarve liitintress. Palju hiljem kasutas Archimedes (287–212 eKr) 10 8 jõudu, et leida ülempiir liivaterade arv, mis on vajalik tol ajal tuntud universumi täielikuks täitmiseks. Archimedes juhtis tähelepanu eksponentide omadusele, mis on logaritmide efektiivsuse aluseks: astmete korrutis vastab eksponentide summale. Keskaja lõpus ja uusaja alguses hakkasid matemaatikud üha enam pöörduma geomeetrilise ja aritmeetilise progressiooni vaheliste suhete poole. M. Stiefel oma essees Täisarvuline aritmeetika(1544) andis arvu 2 positiivsete ja negatiivsete jõudude tabeli:

Stiefel märkas, et kahe arvu summa esimesel real (astendajate real) on võrdne kahe eksponendiga, mis vastab kahe korrutisele vastavad numbrid alumisel real (kraadijoon). Selle tabeliga seoses sõnastas Stiefel neli reeglit, mis on võrdväärsed neljaga kaasaegsed reeglid eksponentide tehted või neli reeglit logaritmi tehte jaoks: ülemisel real olev summa vastab alumise rea korrutisele; ülemisel real olev lahutamine vastab jagamisele alumisel real; korrutamine ülemisel real vastab astendusele alumisel real; jaotus ülemisel real vastab juurdumisele alumisel real.

Ilmselt panid Stiefeli reeglitega sarnased reeglid J. Naperi oma töös ametlikult kasutusele võtma esimese logaritmisüsteemi Hämmastava logaritmitabeli kirjeldus, avaldati 1614. aastal. Kuid Napieri mõtted olid hõivatud toodete summadeks konverteerimise probleemiga sellest ajast peale, kui Napier sai rohkem kui kümme aastat enne oma töö avaldamist Taanist uudise, et Tycho Brahe observatooriumis on tema assistentidel meetod, mis tooteid on võimalik summadeks teisendada. Napieri saadud sõnumis mainitud meetod põhines kasutamisel trigonomeetrilised valemid tüüp

seetõttu koosnesid Naperi tabelid peamiselt logaritmidest trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi Napieri pakutud definitsioonis baasi mõistet otseselt ei sisaldunud, mängis tema süsteemis logaritmide süsteemi baasiga võrdväärset rolli arv (1 – 10 –7)ґ10 7, mis on ligikaudu võrdne 1/ e.

Sõltumata Naperist ja peaaegu samaaegselt temaga leiutas J. Bürgi Prahas ja avaldas selle 1620. aastal üsna sarnase tüübi logaritmisüsteemi. Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonitabelid. Need olid antilogaritmide tabelid aluse suhtes (1 + 10 –4) ґ10 4, mis on arvule üsna hea ligikaudne e.

Naperi süsteemis võeti arvu 10 7 logaritmiks null ja arvude vähenedes logaritmid suurenesid. Kui G. Briggs (1561–1631) Napieri külastas, nõustusid mõlemad, et mugavam on aluseks võtta arv 10 ja võtta ühe logaritm. võrdne nulliga. Siis, kui numbrid suurenevad, suurenevad nende logaritmid. Nii et saime kaasaegne süsteem kümnendlogaritmid, mille tabeli Briggs oma töös avaldas Logaritmiline aritmeetika(1620). Logaritmid baasi e, kuigi mitte just neid, mida Naper tutvustas, nimetatakse sageli Naperiks. Terminid "iseloomulik" ja "mantissa" pakkus välja Briggs.

Kehtivad esimesed logaritmid ajaloolised põhjused kasutas arvude lähendusi 1/ e Ja e. Veidi hiljem hakati looduslike logaritmide ideed seostama hüperbooli all olevate alade uurimisega xy= 1 (joonis 1). 17. sajandil näidati, et selle kõveraga piiratud ala, telg x ja ordinaadid x= 1 ja x = a(joonisel 1 on see ala kaetud paksemate ja hõredate täppidega) suureneb aritmeetiline progressioon, Millal a suureneb sisse geomeetriline progressioon. Just see sõltuvus tekib eksponentide ja logaritmidega tehte reeglites. See andis aluse nimetada Naperi logaritme "hüperboolseteks logaritmideks".

Logaritmiline funktsioon.

Oli aeg, mil logaritme peeti ainult arvutusvahendiks, kuid 18. sajandil kujunes see kontseptsioon peamiselt tänu Euleri töödele. logaritmiline funktsioon. Sellise funktsiooni graafik y= log x, mille ordinaadid suurenevad aritmeetilises progressioonis, samas kui abstsissid suurenevad geomeetrilises progressioonis, on esitatud joonisel fig. 2, A. Pöörd- või eksponentsiaalfunktsiooni graafik y = e x, mille ordinaadid suurenevad geomeetrilises progressioonis ja mille abstsissid suurenevad aritmeetilises progressioonis, on esitatud vastavalt joonisel fig. 2, b. (Kõlvid y=logi x Ja y = 10x sarnane kujuga kõveratele y= log x Ja y = e x.) Samuti soovitati alternatiivsed määratlused logaritmiline funktsioon, näiteks

kpi ; ja samamoodi on arvu -1 naturaallogaritmid kompleksarvud tüübid (2 k + 1)pi, Kus k– täisarv. Sarnased väited kehtivad üldiste logaritmide või muude logaritmisüsteemide kohta. Lisaks saab logaritmide määratlust üldistada, kasutades kaasamiseks Euleri identiteete komplekssed logaritmid kompleksarvud.

Logaritmilise funktsiooni alternatiivne definitsioon annab funktsionaalne analüüs. Kui f(x) – pidev funktsioon tegelik arv x, millel on kolm järgmist omadust: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), See f(x) on defineeritud kui arvu logaritm x põhineb b. Sellel definitsioonil on mitmeid eeliseid võrreldes selle artikli alguses antud määratlusega.

Rakendused.

Algselt kasutati logaritme ainult arvutuste lihtsustamiseks ja see rakendus on siiani nende üks olulisemaid. Korrutiste, jagandite, astmete ja juurte arvutamist ei soodusta mitte ainult avaldatud logaritmitabelite laialdane kättesaadavus, vaid ka nn. slaidireegel - arvutustööriist, mille tööpõhimõte põhineb logaritmide omadustel. Joonlaud on varustatud logaritmiliste skaaladega, s.t. kaugus numbrist 1 mis tahes numbrini x valitud võrduma palgiga x; Ühte skaalat teise suhtes nihutades on võimalik joonistada logaritmide summasid või erinevusi, mis võimaldab lugeda skaalalt otse välja vastavate arvude korrutised või jagatised. Kasutage numbrite esitamise eeliseid logaritmiline vorm lubab jne. logaritmiline paber graafikute joonistamiseks (paber, millele on mõlemale koordinaatteljele trükitud logaritmilised skaalad). Kui funktsioon täidab vormi astmeseadust y = kxn, siis tema logaritmiline graafik näeb välja nagu sirgjoon, sest logi y=logi k + n logi x– lineaarne võrrand logaritmi suhtes y ja logi x. Vastupidi, kui logaritmiline graafik on suvaline funktsionaalne sõltuvus on sirge kujuga, siis on see sõltuvus võimuseadus. Poollogaritmiline paber (mille y-teljel on logaritmiline skaala ja abstsissteljel ühtlane skaala) on mugav juhtudel, kui peate tuvastama eksponentsiaalsed funktsioonid. Vormi võrrandid y = kb rx tekkida siis, kui kogus, näiteks populatsioon, radioaktiivse materjali kogus või pangabilanss, väheneb või suureneb proportsionaalselt saadaolevaga Sel hetkel elanike arv, radioaktiivne aine või raha. Kui selline sõltuvus joonistada poollogaritmilisele paberile, näeb graafik välja nagu sirgjoon.

Logaritmiline funktsioon tekib seoses paljude looduslike vormidega. Lilled päevalilleõisikutes on paigutatud logaritmilistesse spiraalidesse, molluskite kestad on keerdunud Nautilus, mägilammaste sarved ja papagoi nokad. Kõik need looduslikud vormid võib olla näiteks logaritmilise spiraalina tuntud kõver, kuna in polaarsüsteem koordinaadid, on selle võrrandil vorm r = ae bq, või ln r= log a + bq. Sellist kõverat kirjeldab liikuv punkt, mille kaugus poolusest suureneb geomeetrilises progressioonis ja selle raadiusvektoriga kirjeldatud nurk suureneb aritmeetilises progressioonis. Sellise kõvera ja seega ka logaritmilise funktsiooni üldlevisust illustreerib hästi asjaolu, et see esineb nii kaugel ja täielikult erinevaid valdkondi, nagu ekstsentrilise nuki kontuur ja mõnede valguse poole lendavate putukate trajektoor.

Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks tõstma kaks. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.

Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:

X-i logaritmi baas a on aste, milleni x-i saamiseks tuleb a tõsta.

Tähistus: log a x = b, kus a on alus, x on argument, b on see, millega logaritm tegelikult võrdub.

Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama eduga logi 2 64 = 6, kuna 2 6 = 64.

Arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsiooni nimetatakse logaritmiseerimiseks. Niisiis, lisame oma tabelisse uue rea:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Kahjuks ei arvutata kõiki logaritme nii lihtsalt. Näiteks proovige leida logi 2 5 . Arv 5 pole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil segmendis. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем rohkem kraadi kaks, seda suurem arv.

Selliseid arve nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid arve saab kirjutada lõpmatuseni ja neid ei korrata kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Vältima tüütuid arusaamatusi, vaadake lihtsalt pilti:

Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on võimsus, millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki.

Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. vabaneda märgist "log". Alustuseks märgime, et määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:

1. Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb kraadi määratlusest ratsionaalne näitaja, millele taandub logaritmi definitsioon.
2. Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!

Selliseid piiranguid nimetatakse piirkond vastuvõetavad väärtused (ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Pange tähele, et arvule b (logaritmi väärtus) pole piiranguid. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1.

Nüüd aga alles kaalume numbrilised avaldised, kus pole vaja teada logaritmi CVD-d. Kõik piirangud on ülesannete koostajate poolt juba arvesse võetud. Aga kui nad lähevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsus, muutuvad DHSi nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata.

Nüüd kaalume üldine skeem logaritmide arvutamine. See koosneb kolmest etapist:

1. Väljendage alust a ja argumenti x astmena, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada;
2. Lahenda muutuja b võrrand: x = a b ;
3. Saadud arv b on vastuseks.

See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et alus oleks rohkem kui üks, on väga asjakohane: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama ka kümnendkohad: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem.

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 5 25

1. Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Loome ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Saime vastuse: 2.

Ülesanne. Arvutage logaritm:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 4 64

1. Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Loome ja lahendame võrrandi:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Saime vastuse: 3.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 16 1

1. Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Loome ja lahendame võrrandi:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Saime vastuseks: 0.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 7 14

1. Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Alates eelmine lõik sellest järeldub, et logaritm ei loe;
3. Vastus ei muutu: logi 7 14.

Väike märkus viimane näide. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt jagage see osadeks peamised tegurid. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.

Ülesanne. Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;

Märkigem ka seda, et me ise algarvud on alati iseenda täpsed kraadid.

Kümnendlogaritm

Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol.

X kümnendlogaritm on logaritm aluse 10-ni, st. Aste, milleni tuleb arvu x saamiseks tõsta arv 10. Nimetus: lg x.

Näiteks log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.

Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke, et see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x

Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul.

Naturaalne logaritm

On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnendkoht. See on umbes naturaallogaritmi kohta.

X-i naturaallogaritm on logaritm aluse e-ni, st. aste, milleni tuleb arvu e tõsta, et saada arv x. Nimetus: ln x .

Paljud küsivad: mis on number e? See on irratsionaalne arv, selle täpne väärtus võimatu leida ja salvestada. Toon ainult esimesed arvud:
e = 2,718281828459...

Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage meeles, et e on naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x

Seega ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt naturaalne logaritm mis tahes ratsionaalarv irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0.

Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.

Mis on logaritm?

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Mis on logaritm? Kuidas logaritme lahendada? Need küsimused ajavad paljud koolilõpetajad segadusse. Traditsiooniliselt peetakse logaritmide teemat keeruliseks, arusaamatuks ja hirmutavaks. Eriti logaritmidega võrrandid.

See pole absoluutselt tõsi. Absoluutselt! Ei usu mind? Hästi. Nüüd, vaid 10–20 minuti pärast:

1. Sa saad aru mis on logaritm.

2. Õpi lahendama tervet klassi eksponentsiaalvõrrandid. Isegi kui te pole neist midagi kuulnud.

3. Õppige arvutama lihtsaid logaritme.

Veelgi enam, selleks peate teadma ainult korrutustabelit ja seda, kuidas tõsta arvu astmeks...

Ma tunnen, et teil on kahtlusi... Noh, olgu, märkige aeg! Mine!

Esmalt lahendage see võrrand oma peas:

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.