Polaarkoordinaatide süsteem (polaarkoordinaadid)

Polaarkoordinaatide süsteem tasapinnal on kombinatsioon punktist O, mida nimetatakse pooluseks, ja pooljoonest OX, mida nimetatakse polaarteljeks. Lisaks on täpsustatud skaala segment kauguste mõõtmiseks tasapinna punktidest pooluseni. Reeglina valitakse polaarteljel vektor \vec(i), mis kantakse punktile O, mille pikkus võetakse skaala lõigu väärtuseks ja vektori suund määrab positiivse suuna polaarjoonel. telg (joonis 2.28a).

Punkti M asukoht sisse polaarsüsteem koordinaadid määratakse kaugusega r ( polaarraadius) punktist M pooluseni (st. r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) ja nurk \varphi (polaarnurk) polaartelje ja vektori vahel \overrightarrow(OM). Polaarraadius ja polaarnurk on polaarkoordinaadid punktid M, mis on kirjutatud kujul M(r,\varphi) . Polaarnurka mõõdetakse radiaanides ja mõõdetakse polaarteljest:

Positiivses suunas (vastupäeva), kui nurga väärtus on positiivne;

Negatiivses suunas (päripäeva), kui nurga väärtus on negatiivne.

Polaarraadius määratakse tasandi mis tahes punkti jaoks ja see võtab mittenegatiivsed väärtused r\geqslant0 . Polaarnurk \varphi määratakse tasandi mis tahes punkti jaoks, välja arvatud poolus O, ja võtab väärtused -\pi<\varphi\leqslant\pi , kutsus polaarnurga peamised väärtused. Mõnel juhul on soovitatav eeldada, et polaarnurk on defineeritud kuni terminiteni 2\pi n , kus n\in\mathbb(Z) . Sel juhul vastavad kõigi n\in\mathbb(Z) polaarnurga väärtused \varphi+2\pi n raadiusvektori samale suunale.

Polaarkoordinaadisüsteemi Or\varphi saab seostada ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga O\vec(i)\vec(j), mille alguspunkt O ühtib poolusega, ja abstsissteljega (täpsemalt positiivse poolabstsissiga telg) langeb kokku polaarteljega. Ordinaattelg lõpetatakse risti abstsissteljega, nii et saadakse parempoolne ristkülikukujuline koordinaatsüsteem (joonis 2.28, b). Alusvektorite pikkused määrab polaarteljel paiknev skaala segment.

Vastupidi, kui tasapinnal on antud parempoolne ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis, võttes polaarteljeks abstsissi positiivse pooltelje, saame polaarkoordinaatide süsteemi (seotud antud ristkülikukujulisega).

Tuletame valemid, mis ühendavad punktist O erineva punkti M ristkülikukujulisi koordinaate x,y ja selle polaarkoordinaate r,\varphi. Vastavalt joonisele 2.28,b saame

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(cases)

Need valemid võimaldavad teadaolevatest polaarkoordinaatidest leida ristkülikukujulisi koordinaate. Vastupidine üleminek viiakse läbi vastavalt valemitele:

\left\(\begin(joonitud)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(joondatud)\paremale .

Kaks viimast võrdsust määravad polaarnurga kuni liikmeteni 2\pi n , kus n\in\mathbb(Z) . X\ne0 puhul järeldub neist, et \operaatorinimi(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) leitakse valemite järgi (joonis 2.29):

\varphi=\left\(\begin(joonitud)\operaatorinimi(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\operaatorinimi(arctg)\frac(y)(x),\ quad&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

Näide 2.9. Polaarkoordinaatide süsteemis Or\varphi :

a) joonesta koordinaatsirge r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

b) kujutada punkte M_1,~M_2 polaarkoordinaatidega r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). Leidke nende punktide polaarnurkade põhiväärtused;

c) leida punktide M_1,~M_2 ristkülikukujulised koordinaadid.

Lahendus. a) Koordinaadijooned r=1,~r=2,~r=3 tähistavad vastava raadiusega ringjooni ja sirged \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2) Ja \varphi=\frac(3\pi)(4)- poolsirge (joonis 2.30, a).

b) Joonistame punktid M_1\!\left(3,\frac(9\pi)(4)\right) Ja M_2\!\left(3,-\frac(7\pi)(4)\right)(Joon. 2.30, b, c). Nende koordinaadid erinevad polaarnurga poolest, kuid neil on sama peamine tähendus \varphi=\frac(\pi)(4). Seetõttu on see sama punkt, mis langeb punktiga kokku M\!\left(3,\frac(\pi)(4)\right), näidatud joonisel 2.30, a.

c) Võttes arvesse punkti b, leiame punkti M ristkülikukujulised koordinaadid. Kasutades valemeid (2.17) saame:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2), see on M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\right).

Märkused 2.8

1. Polaarnurga põhiväärtust saab valida erinevalt, näiteks 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. Kahe punkti vaheline kaugus M_1(r_1,\varphi_1) Ja M_2(r_2,\varphi_2)(lõigu pikkus M_1M_2) arvutatakse valemiga

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

mis tuleneb koosinusteoreemist (joon. 2.31).

3. Raadiusvektoritele ja konstrueeritud rööpküliku orienteeritud ala S_(\ast)^(\land) (joonis 2.31) leitakse valemiga

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

On positiivne, kui \varphi_1<\varphi_2 (antud juhul raadiusvektorite paari orientatsioon \overright nool(OM_1) Ja \overright nool(OM_2)õige) ja negatiivne, kui \varphi_1>\varphi_2(raadiusvektorite paari orientatsioon \overright nool(OM_1) Ja \overright nool(OM_2) vasakule).

Näide 2.10. Polaarkoordinaadid on antud \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4 Ja \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2 punktid A ja B (joonis 2.32). Vaja leida:

a) skalaarkorrutis \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

b) lõigu AB pikkus;

c) väline toode \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

d) kolmnurga OAB pindala S_(OAB);

e) lõigu AB keskpunkti C koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, mis on seotud antud polaarsega.

Lahendus. a) Skalaarkorrutise definitsiooni järgi leiame

\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

b) Leidke lõigu pikkus (vt märkuste 2.8 lõige 2):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).

c) Leiame väliskorrutise vektoritele ehitatud rööpküliku orienteeritud alana ja:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).

Piirkond on positiivne, kuna vektorid \overright arrow (OA) Ja \overrightarrow(OB) moodustavad õige paari (\varphi_A<\varphi_B) .

d) Kolmnurga OAB pindala on pool raadiusvektorite abil konstrueeritud rööpküliku pindalast \overright arrow (OA) Ja \overrightarrow(OB).

Sest S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(vt lõiku "c"), siis S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

e) Valemite (2.17) abil leiame punktide A ja B ristkülikukujulised koordinaadid:

\begin(kogutud)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(kogutud)

ja seejärel lõigu AB keskpunkti C koordinaadid (vt märkuste 2.1 lõige 3):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

Näide 2.11. Oxy koordinaattasandile on märgitud punkt A(4,-3). Leia:

a) punkti A polaarkoordinaadid", punkti A kujutis raadiusvektori pööramisel \overright arrow (OA) nurga \frac(\pi)(3) ümber alguspunkti (joonis 2.33);

b) punkti A_1 polaarkoordinaadid, punkti A kujutis, kui tasapind on pööratud ühikulise raadiusega ringi suhtes, mille keskpunkt on algpunktis (vt tasanditeisenduste näidet b punktis 2.2.4).

Lahendus. a) Leidke punkti A polaarkoordinaadid. Valemite (2.17) järgi, võttes arvesse joonist 2.29, saame:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\operaatorinimi(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \operaatorinimi(arctg)\frac(-3)(4)=-\operaatorinimi(arctg)\frac(3)(4),

kuna punkt A asub veerandis \text(IV).

Raadiusvektori pööramisel \overright arrow (OA) pooluse ümber nurga \frac(\pi)(3) võrra polaarraadius ei muutu, kuid polaarnurk suureneb. Seetõttu punkti A" polaarkoordinaadid: r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\operaatorinimi(arctg)\frac(3)(4), ja \varphi_(A") on polaarnurga põhiväärtus (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

b) Inverteerimisel raadiusega R ringi suhtes väljendatakse kujutise polaarkoordinaadid r",\varphi" pöördkujutise polaarkoordinaatide r,\varphi kaudu järgmiste valemitega:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

Seega, võttes arvesse punkti “a”, leiame (R=1 korral):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\operaatorinimi(arctg)\frac(3)(4 ).

1. lehekülg

Esimese kvadrandi mis tahes punkti y-koordinaadid on positiivsed.

Kolmanda ja neljanda kvadrandi punktid on negatiivsete Y-koordinaatidega ja kolmandas kvadrandis on punktide X-koordinaadid negatiivsed.

Koordinaaditahvel kuvab ArchiCAD kursori praeguse asukoha täpsed X- ja Y-koordinaadid kasutatavas koordinaatsüsteemis.

Teises kvadrandis on punktide X-koordinaadid positiivsed ja Y-koordinaadid negatiivsed.

Raskus seisneb selles, et kuningannade asukoha määravad ainult nende Y-koordinaadid ja X-koordinaadid ei ole positsiooni esituses selgesõnaliselt olemas.

Lahenduse otsimisel kasutab joonisel fig. 4.7, testib kuningannade Y-koordinaatide erinevaid väärtusi. Kus programmis on alternatiivsete võimaluste loendamise järjekord määratud?

Kuna tavaliselt kirjutatakse üles punkti X-koordinaat ja seejärel Y-koordinaat, siis avaldis - r - / Q - P ei määra veel vajalikku väärtust. Tulemus on võrdne X-telje koordinaatide erinevuse jagatisega Y-telje koordinaatide väärtuste erinevusega, mis definitsiooni kohaselt annab joone kalde pöördväärtuse.

KOORDINAATVÄÄRTUSED) ja asetab selle väljundsõnumite tabelisse ja väljundandmete loendisse. Seejärel edastatakse see käsk, mis sisaldab valitud ekraani asukoha X- ja Y-koordinaate, põhiarvutisse.

Uue süsteemi XOt Y asukoht vana süsteemi xOy suhtes määratakse siis, kui vana süsteemi järgi on teada uue algpunkti O koordinaadid a ja b ning telgede Ox ja OtX vaheline nurk a. Tähistame x ja y-ga suvalise punkti M koordinaate vana süsteemi suhtes ning sama punkti X ja Y koordinaate uue süsteemi suhtes. Meie ülesanne on väljendada vanu koordinaate x ja y läbi uute X ja Y. Saadud teisendusvalemid peaksid ilmselgelt sisaldama konstandid a, b ja oc. Sellele üldisele probleemile leiame lahenduse, vaadeldes kahte erijuhtumit.

See viitab kahele andmeloendi elemendile – X ja Y. Meie terminali kuvaprotsessoril on eraldi käsud, et liigutada kiiret X- ja Y-koordinaatides uude asukohta. Seetõttu peab rutiin SET ORIGIN genereerima kaks kuvaprotsessori käsku. Lisaks peate määrama, kas käsuga SET ORIGIN lähtestatud objekt on segment või element. Selleks teeb protseduur korrelatsioonitabeli päringu käsuparameetrivälja abil. Segmendi puhul määratakse asukoht ekraanil absoluutsetes koordinaatides, elemendi puhul - suhtelistes. Rutiin, mis täidab käsku SET ORIGIN, peab vastavate kuvaprotsessori käskude jaoks määrama või tühjendama spetsiaalse biti.

Programm uurib lõputult seda lõpmatut kosmosepiirkonda, jõudmata kunagi eesmärgile lähemale. Selles jaotises määratletud kaheksa kuninganna probleemi olekuruum sisaldab esmapilgul täpselt seda tüüpi lõksu. Kuid selgub, et see on siiski lõplik, kuna Y-koordinaadid valitakse piiratud hulgast ja seetõttu ei saa lauale ohutult asetada rohkem kui kaheksa emandat.

Seda käsku täitev protseduur pakub nelja tüüpi vahendeid objektide interaktiivseks genereerimiseks. Esimene tööriist on üldistatud protseduur sirgjoonte joonistamiseks. Joonistamine toimub nii, et liigutatakse erimärk rea algusesse ja seejärel liigutatakse rea lõppu. Kui teisaldate sildi rea lõppu, luuakse vektor, mis ühendab rea alguse ja sildi praeguse asukoha. Vabastades valguspliiatsi korpusel oleva klahvi, saate liigutada märgi joonistatava joone ühest otsast teise. Kui kasutaja osutab ACCEPT valgusnupule, genereeritakse käsk L4, mille abil edastatakse põhiarvutisse tõmmatud joone X, Y koordinaadid.

Lehekülgi: 1

Tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi moodustavad kaks üksteisega risti asetsevat koordinaattelge OX ja OY. Koordinaatide teljed lõikuvad punktis O, mida nimetatakse alguspunktiks, ja igal teljel valitakse positiivne suund. Parempoolses koordinaatsüsteemis valitakse telgede positiivne suund nii, et kui OY-telg on suunatud ülespoole, on OX-telg suunatud paremale.

Neli nurka (I, II, III, IV), mille moodustavad koordinaatteljed X"X ja Y"Y, nimetatakse koordinaatnurkadeks või kvadrantideks

Punkti A asukoht tasapinnal määratakse kahe koordinaadiga x ja y. X-koordinaat võrdub lõigu OB pikkusega, y-koordinaat on võrdne lõigu OC pikkusega valitud mõõtühikutes. Lõigud OB ja OC on määratletud joontega, mis on tõmmatud punktist A paralleelselt Y"Y" ja X"X telgedega. X-koordinaati nimetatakse punkti A abstsissiks, y-koordinaati punkti A ordinaadiks. See on kirjutatud järgmiselt: .

Kui punkt A asub koordinaatnurgas I, siis punktil A on positiivne abstsiss ja ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas II, siis punktil A on negatiivne abstsiss ja positiivne ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas III, siis punktil A on negatiivne abstsiss ja ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas IV, siis punktil A on positiivne abstsiss ja negatiivne ordinaat.

Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ruumis on moodustatud kolmest üksteisega risti asetsevast koordinaatteljest OX, OY ja OZ. Koordinaatide teljed lõikuvad punktis O, mida nimetatakse alguspunktiks, igal teljel valitakse positiivne suund, mida tähistatakse nooltega ja telgedel olevate segmentide mõõtühik. Ühikud on tavaliselt kõikidel telgedel samad (mis ei ole kohustuslik). OX - abstsisstelg, OY - ordinaattelg, OZ - rakendustelg.

Kui võtta X-suunaks parema käe pöial, Y-suunaks nimetissõrm ja Z-suunaks keskmine sõrm, siis moodustub parema käe koordinaatsüsteem. Vasaku käe sarnased sõrmed moodustavad vasaku koordinaatsüsteemi. Teisisõnu valitakse telgede positiivne suund nii, et kui OX-telg on pööratud vastupäeva 90°, langeb selle positiivne suund kokku OY-telje positiivse suunaga, kui seda pöörlemist vaadeldakse OZ-i positiivsest suunast. telg. Parem- ja vasakpoolset koordinaatsüsteemi on võimatu kombineerida nii, et vastavad teljed langeksid kokku.

Punkti A asukoht ruumis määratakse kolme koordinaadiga x, y ja z. X koordinaat on võrdne lõigu OB pikkusega, y koordinaat on lõigu OC pikkus, z koordinaat on lõigu OD pikkus valitud mõõtühikutes. Lõigud OB, OC ja OD on määratletud tasapindadega, mis on tõmmatud punktist A paralleelselt tasanditega YOZ, XOZ ja XOY. Koordinaati x nimetatakse punkti A abstsissiks, y-koordinaati punkti A ordinaadiks, z-koordinaati punkti A aplikaadiks. See on kirjutatud järgmiselt: .

ODA. Koordinaatsüsteemi (O; , , ) kutsutakse. ristkülikukujuline, kui: 1) baasvektoritel on ühikpikkus: = = =1;

2) baasvektorid on paarikaupa ortogonaalsed (risti): ⏊ ⏊ .

baasvektoritele viidatakse tavaliselt kui baasvektorid ja koordinaadid on x, y, z. Koordinaatide telgedeks nimetatakse: Ox - abstsisstelg, Oy - ordinaattelg, Oz - rakendustelg.

Teoreem. Vektori =(X,Y,Z) pikkus on võrdne selle koordinaatide ruutude summa juurega: | |= .

Dokument. Vektorit kujutab ristkülikukujulise rööptahuka diagonaal, mille küljed on X, .

Rööptahuka külgede pikkused on võrdsed |X|,|Y|,|Z|.Ristkülikukujulise paralleeli diagonaali pikkuse ruut. on võrdne selle külgede pikkuste ruutude summaga (peate Pythagorase teoreemi rakendama kaks korda). Siit saame soovitud valemi.

Tagajärg. punktide A() ja B() vaheline kaugus on võrdne AB=.

Dokument. AB=| |, a =().

13. Vektori projektsiooni suurus teljele. Suunakoosinused.

Telg on sirgjoon, millel valitakse suund. Olgu suund teljel antud ühikvektoriga.

Olgu suvaline vektor ja olgu A΄ ja B΄ punktide A ja B ortogonaalprojektsioonid sirgele l. Vektori nimi vektori projektsioon l-teljele.

ODA. Nimetatakse vektori projektsiooni suurust l-teljele. vektori koordinaat sirgel l baasvektori suhtes, st. selline arv, mis = , .

Seega eristame vektori projektsiooni teljele ja vektori projektsiooni suurust teljele: esimene on vektor ja teine arv. Vektori paralleelsel ülekandmisel nihutatakse ka vektorit paralleelselt l-teljel. Seetõttu ei sõltu vektori projektsiooni suurus vektori esindaja valikust. Samuti on vektorite summa projektsioonisuurus võrdne nende projektsioonisuuruste summaga.

Teoreem. Vektori projektsiooni suurus teljele on võrdne selle vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega: =| |cosφ,kus φ=<().

Doc. Vaatleme kahte juhtumit: 1) teravnurk, 2) nürinurk.

Suunakoosinused.

Olgu α, β, γ nurgad, mille vektor =(X,Y,Z) teeb koordinaattelgedega. Nimetatakse nende nurkade koosinused cosα, cosβ, cosγ. vektori suunakoosinused.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

On selge, et vektori koordinaadid on võrdsed selle vektori projektsioonide suurustega koordinaatide telgedel. Seetõttu X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

Siit leiame suunakoosinused: cos = = ; cosβ= ; cosγ=