1. lehekülg
Logaritmiline funktsioon (80) teostab kogu w tasandi pöördvõrdelise kaardistamise lõiguga ribaks - i / /: i, lõpmatu lehekihiga Riemanni pind täielikule z -tasandile.
Logaritmiline funktsioon: y logax, kus logaritmide baas a on positiivne arv, mis ei ole võrdne ühega.
Logaritmiline funktsioon mängib algoritmide kavandamisel ja analüüsimisel erilist rolli, seega tasub seda üksikasjalikumalt käsitleda. Kuna me tegeleme sageli analüütiliste tulemustega, mille puhul konstantne tegur on välja jäetud, kasutame logi TV noteerimist, jättes välja aluse. Logaritmi aluse muutmine muudab logaritmi väärtust ainult konstantse teguri võrra, kuid teatud kontekstides tekivad logaritmi aluse eritähendused.
Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon. Selle graafik (joonis 247) saadakse eksponentsiaalfunktsiooni graafikult (sama alusega), painutades joonist piki esimese koordinaatnurga poolitajat. Samuti saadakse mis tahes pöördfunktsiooni graafik.
Seejärel sisestatakse logaritmiline funktsioon eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina. Nendest definitsioonidest saab hõlpsasti tuletada mõlema funktsiooni omadusi. Just see määratlus pälvis Gaussi heakskiidu, kes väljendas samal ajal mittenõustumist Göttingeni teadusuudiste ülevaates talle antud hinnanguga. Samas lähenes Gauss küsimusele laiemast vaatenurgast kui da Cunha. Viimane piirdus eksponentsiaalsete ja logaritmiliste funktsioonide arvestamisega reaalses piirkonnas, Gauss aga laiendas nende määratlust keerukatele muutujatele.
Logaritmiline funktsioon y logax on monotoonne kogu oma määratlusvaldkonnas.
Logaritmiline funktsioon on pidev ja diferentseeruv kogu oma määratlusvaldkonnas.
Logaritmiline funktsioon suureneb monotoonselt, kui a I. Kui 0 a 1, väheneb logaritmiline funktsioon alusega a monotoonselt.
Logaritmiline funktsioon on määratletud ainult x positiivsete väärtuste jaoks ja üks-ühele kuvatakse intervall (0; 4 - os.
Logaritmiline funktsioon y loga x on eksponentsiaalfunktsiooni yax pöördfunktsioon.
Logaritmiline funktsioon: y ogax, kus logaritmide baas a on positiivne arv, mis ei ole võrdne ühega.
Logaritmilised funktsioonid sobivad hästi polüetüleeni hiiliva olemuse füüsikaliste kontseptsioonidega tingimustes, kus deformatsioonikiirus on madal. Selles osas langevad need kokku Andraade võrrandiga, seega kasutatakse neid mõnikord katseandmete ligikaudseks määramiseks.
Logaritmiline funktsioon ehk naturaallogaritm ja In z määratakse transtsendentaalse võrrandi g ei lahendamise teel u suhtes. Reaalväärtuste x ja y piirkonnas, tingimusel et x 0, lubab see võrrand ainulaadset lahendust.
Koolikursusel “Matemaatiline analüüs” on suure tähtsusega logaritmide osa. Logaritmiliste funktsioonide ülesanded põhinevad erinevatel põhimõtetel kui võrratuste ja võrrandite ülesanded. Logaritmi ja logaritmi funktsiooni mõistete definitsioonide ja põhiomaduste tundmine tagab tüüpiliste USE probleemide eduka lahendamise.
Enne kui hakkame selgitama, mis on logaritmiline funktsioon, tasub vaadata logaritmi definitsiooni.
Vaatame konkreetset näidet: log a x = x, kus a › 0, a ≠ 1.
Logaritmide peamised omadused võib loetleda mitmes punktis:
Logaritm
Logaritmeerimine on matemaatiline tehe, mis võimaldab kontseptsiooni omadusi kasutades leida arvu või avaldise logaritmi.
Näited:
Logaritmfunktsioon ja selle omadused
Logaritmilisel funktsioonil on vorm
Märgime kohe ära, et funktsiooni graafik võib olla kasvav, kui a › 1 ja kahanev, kui 0 ‹ a ‹ 1. Sellest olenevalt on funktsioonikõver ühel või teisel kujul.
Siin on logaritmide joonistamise omadused ja meetod:
- f(x) domeen on kõigi positiivsete arvude hulk, st. x võib võtta mis tahes väärtuse vahemikust (0; + ∞);
- ODZ funktsioon on kõigi reaalarvude hulk, st. y võib olla võrdne mis tahes arvuga vahemikust (— ∞; +∞);
- kui logaritmi alus a › 1, siis f(x) suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
- kui logaritmi alus on 0 ‹ a ‹ 1, siis F on kahanev;
- logaritmiline funktsioon ei ole paaris ega paaritu;
- graafiku kõver läbib alati punkti koordinaatidega (1;0).
Mõlemat tüüpi graafikuid on väga lihtne luua. Vaatame protsessi näite abil
Kõigepealt peate meeles pidama lihtsa logaritmi ja selle funktsioonide omadused. Nende abiga peate koostama tabeli x ja y konkreetsete väärtuste jaoks. Seejärel peaksite märgistama saadud punktid koordinaatide teljele ja ühendama need sujuva joonega. See kõver on vajalik graafik.
Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus, mille annab y= a x. Selle kontrollimiseks piisab, kui joonistada mõlemad kõverad samale koordinaatteljele.
On ilmne, et mõlemad jooned on teineteise peegelpildid. Ehitades sirge y = x, näete sümmeetriatelge.
Probleemile vastuse kiireks leidmiseks peate arvutama punktide väärtused y = log 2 x jaoks ja seejärel lihtsalt nihutama koordinaatpunkti alguspunkti kolm jaotust mööda OY telge ja 2 jaotust allapoole. vasakule piki OX-telge.
Tõestuseks koostame graafiku y = log 2 (x+2)-3 punktide arvutustabeli ja võrdleme saadud väärtusi joonisega.
Nagu näete, langevad tabeli koordinaadid ja graafikul olevad punktid kokku, seetõttu viidi mööda telgesid ülekanne õigesti.
Näited tüüpiliste ühtse riigieksami ülesannete lahendamisest
Enamiku testimisülesandeid saab jagada kaheks: definitsioonipiirkonna otsimine, funktsiooni tüübi näitamine graafiku joonise põhjal, funktsiooni suurenemise/kahanemise määramine.
Ülesannetele kiireks vastamiseks on vaja selgelt aru saada, et f(x) suureneb, kui logaritmi astendaja a › 1 ja väheneb, kui 0 ‹ a ‹ 1. Kuid mitte ainult alus, vaid ka argument võib kujundit oluliselt mõjutada funktsiooni kõverast.
linnukesega märgitud F(x) on õiged vastused. Sel juhul tekitavad kahtlusi näited 2 ja 3. Logi ees olev “-” märk muutub kasvades kahanevaks ja vastupidi.
Seetõttu graafik y=-log 3 x väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses ja y= -log (1/3) x suureneb, hoolimata asjaolust, et alus 0 ‹ a ‹ 1.
Vastus: 3,4,5.
Vastus: 4.
Seda tüüpi ülesandeid peetakse lihtsaks ja neile antakse 1–2 punkti.
3. ülesanne.
Määrake, kas funktsioon on kahanev või kasvav, ja märkige selle definitsioonipiirkond.
Y = log 0,7 (0,1 x 5)
Kuna logaritmi alus on väiksem kui üks, kuid suurem kui null, siis x funktsioon väheneb. Vastavalt logaritmi omadustele peab ka argument olema suurem kui null. Lahendame ebavõrdsuse:
Vastus: definitsioonipiirkond D(x) – intervall (50; + ∞).
Vastus: 3, 1, OX telg, parem.
Sellised ülesanded on klassifitseeritud keskmiseks ja hinnatakse 3–4 punkti.
5. ülesanne. Leidke funktsiooni väärtuste vahemik:
Logaritmi omaduste põhjal on teada, et argument saab olla ainult positiivne. Seetõttu arvutame funktsiooni vastuvõetavate väärtuste vahemiku. Selleks peate lahendama kahe ebavõrdsuse süsteemi.
Antakse logaritmi põhiomadused, logaritmgraaf, definitsioonipiirkond, väärtuste hulk, põhivalemid, suurenemine ja kahanemine. Vaadeldakse logaritmi tuletise leidmist. Nagu ka integraal, astmeridade laiendamine ja esitamine kompleksarvude abil.
Logaritmi definitsioon
Logaritm alusega a on y funktsioon (x) = log a x, pöördvõrdeline eksponentsiaalfunktsioonile alusega a: x (y) = a y.
Kümnendlogaritm on arvu aluse logaritm 10 : log x ≡ log 10 x.
Naturaalne logaritm on e aluse logaritm: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Logaritmi graafik saadakse eksponentsiaalfunktsiooni graafikult, peegeldades seda sirge y = x suhtes. Vasakul on funktsiooni y graafikud (x) = log a x nelja väärtuse jaoks logaritmi alused: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
ja a = 1/8
. Graafik näitab, et kui a > 1
logaritm suureneb monotoonselt. Kui x suureneb, aeglustub kasv oluliselt. Kell 0
< a < 1
logaritm väheneb monotoonselt.
Logaritmi omadused
Domeen, väärtuste kogum, kasvav, kahanev
Logaritm on monotoonne funktsioon, seega pole sellel äärmusi. Logaritmi peamised omadused on toodud tabelis.
| Domeen | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Väärtuste vahemik | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotoonne | monotoonselt suureneb | monotoonselt väheneb |
| Nullid, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0 | Ei | Ei |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Privaatsed väärtused
Nimetatakse logaritm aluse 10ni kümnendlogaritm ja on tähistatud järgmiselt:
Logaritm baasini e helistas naturaallogaritm:
Logaritmide põhivalemid
Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad logaritmi omadused:
Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed
Aluse asendamise valem
Logaritm on logaritmi võtmise matemaatiline tehe. Logaritmide võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liigeste summadeks.
Potentsieerimine on logaritmile pöördvõrdeline matemaatiline tehe. Potentsieerimise ajal tõstetakse antud alust ekspressiooniastmeni, mille üle potentseerimine sooritatakse. Sel juhul muudetakse terminite summad tegurite korrutisteks.
Logaritmide põhivalemite tõestus
Logaritmidega seotud valemid tulenevad eksponentsiaalfunktsioonide valemitest ja pöördfunktsiooni definitsioonist.
Vaatleme eksponentsiaalfunktsiooni omadust
.
Siis
.
Rakendame eksponentsiaalfunktsiooni omadust
:
.
Tõestame baasi asendamise valemit.
;
.
Eeldades, et c = b, on meil:
Pöördfunktsioon
Logaritmi pöördväärtus baasile a on eksponentsiaalne funktsioon, mille astendaja on a.
Kui siis
Kui siis
Logaritmi tuletis
Mooduli x logaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>
Logaritmi tuletise leidmiseks tuleb see taandada alusele e.
;
.
Integraalne
Logaritmi integraal arvutatakse osade kaupa integreerimisel: .
Niisiis,
Kompleksarve kasutavad avaldised
Mõelge kompleksarvu funktsioonile z:
.
Avaldame kompleksarvu z mooduli kaudu r ja argument φ
:
.
Seejärel, kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
Siiski argument φ
ei ole üheselt määratletud. Kui paned
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate jaoks sama number n.
Seetõttu ei ole logaritm kui kompleksmuutuja funktsioon ühe väärtusega funktsioon.
Jõuseeria laiendamine
Kui laienemine toimub:
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
"Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik."
Byvalina L.L., matemaatikaõpetaja, MBOU keskkool Kiselevka külas Ulchski rajoonis Habarovski territooriumil
Algebra 10. klass
Tunni teema: "Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik."
Tunni tüüp: uue materjali õppimine.
Tunni eesmärgid:
moodustavad logaritmifunktsiooni ja selle põhiomaduste esituse;
arendada oskust joonistada logaritmilist funktsiooni;
edendada oskuste kujunemist tuvastada graafikult logaritmilise funktsiooni omadusi;
tekstiga töötamise oskuste arendamine, teabe analüüsivõime, süstematiseerimis-, hindamis- ja kasutusoskus;
paaris- ja mikrogrupis töötamise oskuste arendamine (suhtlemisoskused, dialoog, ühine otsuste tegemine)
Kasutatud tehnikad: tõesed, valed väited, INSERT, klaster, syncwine
Varustus: PowerPointi esitlus, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid (kaardid, tekstimaterjal, tabelid), ruudulised paberilehed,
Tundide ajal:
Kõne etapp:
Õpetaja tutvustus. Töötame teema “Logaritmid” valdamisega. Mida me praegu teame ja saame teha?
Õpilane vastab.
Me teame: definitsioon, logaritmi omadused, logaritmi põhiidentiteet, uuele alusele ülemineku valemid, logaritmide kasutusvaldkonnad.
Me saame: arvutada logaritme, lahendada lihtsaid logaritmilisi võrrandeid, teisendada logaritme.
Milline mõiste on tihedalt seotud logaritmi mõistega? (astme mõistega, kuna logaritm on eksponent)
Õpilasülesanne. Kasutades logaritmi mõistet, täitke mis tahes kaks tabelit
a > 1 ja kell 0 a (Lisa nr 1)
X
1
2
4
8
16
X
1
2
4
8
16
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
| X | | | 1 | 3 | 9 | X | | | 1 | 3 | 9 |
|
| | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
Rühmade töö kontrollimine.
Mida kujutavad esitatud väljendid? (eksponentvõrrandid, eksponentsiaalfunktsioonid)
Õpilasülesanne. Lahendage eksponentsiaalvõrrandid muutujaavaldise abil X muutuja kaudu juures.
Selle töö tulemusena saadakse järgmised valemid:
Vahetagem saadud avaldistes kohad X Ja juures. Mida me saime?
Kuidas te neid funktsioone nimetaksite? (logaritmiline, kuna muutuja on logaritmi märgi all). Kuidas seda funktsiooni üldkujul kirjutada? .
Meie tunni teema on "Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik".
Logaritmiline funktsioon on funktsioon kujul kus A- antud number, a>0, a≠1.
Meie ülesandeks on õppida koostama ja uurima logaritmiliste funktsioonide graafikuid ning rakendama nende omadusi.
Teie laudadel on kaardid küsimustega. Kõik need algavad sõnadega "Kas sa usud, et..."
Vastus küsimusele saab olla ainult "jah" või "ei". Kui "jah", siis pange esimeses veerus küsimusest paremale märk "+", kui "ei", siis märk "-". Kui kahtlete, pange märk "?".
Paaris töötama. Tööaeg 3 minutit. (Lisa nr 2)
| № p/p | Küsimused: | A | B | IN |
| Kas sa usud, et... |
||||
| 1. | Oy telg on logaritmilise funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot. | + |
||
| 2. | Eksponent- ja logaritmfunktsioonid on vastastikku pöördfunktsioonid | + |
||
| 3. | Eksponentsiaalse y=a x ja logaritmiliste funktsioonide graafikud on sirge y = x suhtes sümmeetrilised. | + |
||
| 4. | Logaritmilise funktsiooni määratluspiirkond on terve arvurida X (-∞, +∞) | - |
||
| 5. | Logaritmilise funktsiooni väärtuste vahemik on intervall juures (0, +∞) | - |
||
| 6. | Logaritmifunktsiooni monotoonsus sõltub logaritmi alusest | + |
||
| 7. | Mitte iga logaritmilise funktsiooni graafik ei läbi punkti koordinaatidega (1; 0). | - |
||
| 8. | Logaritmiline kõver on sama eksponentsiaalkõver, mis paikneb koordinaattasandil erinevalt. | + |
||
| 9. | Logaritmifunktsiooni kumerus ei sõltu logaritmi baasist. | - |
||
| 10. | Logaritmiline funktsioon ei ole paaris ega paaritu. | + |
||
| 11. | Logaritmiline funktsioon on suurima väärtusega ja mitte kõige väiksema väärtusega millal a > 1 ja vastupidi, millal 0 a | - |
||
Pärast õpilaste vastuste ärakuulamist täidetakse tahvli koondtabeli esimene veerg.
Sisu mõistmise etapp(10 min).
Tabeli küsimustega tööd kokku võttes valmistab õpetaja õpilasi ette mõtteks, et küsimustele vastates me veel ei tea, kas meil on õigus või vale.
Grupiülesanne. Vastused küsimustele leiab teksti §4 lk 240-242 uurides. Kuid ma soovitan mitte ainult teksti lugeda, vaid valida üks neljast eelnevalt saadud funktsioonist: , , , , koostada selle graafik ja tuvastada graafiku järgi logaritmilise funktsiooni omadused. Iga rühmaliige teeb seda märkmikus. Ja siis ehitatakse suurele ruudulisele paberilehele funktsiooni graafik. Pärast töö lõpetamist räägib iga rühma esindaja oma töö kaitseks.
Grupiülesanne.Üldista funktsiooni omadused for a > 1 Ja 0 a (Lisa nr 3)
Funktsiooni omadused y = log a x juures a > 1.
Funktsiooni omadused y = log a x, juures 0 .
Telg OU on logaritmilise funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot ja juhul, kui a>1, ja juhul, kui 0
Funktsiooni graafik y = log a x läbib koordinaatidega punkti (1;0)
Grupiülesanne. Tõesta, et eksponentsiaal- ja logaritmfunktsioonid on vastastikku pöördvõrdelised.
Õpilased joonistavad logaritmilise ja eksponentsiaalse funktsiooni graafiku samas koordinaatsüsteemis
Vaatleme korraga kahte funktsiooni: eksponentsiaalne y = a X ja logaritmiline y = log a X.
Joonisel 2 on skemaatiliselt kujutatud funktsioonide graafikud y = a x Ja y = log a X juhul kui a>1.
Joonisel 3 on skemaatiliselt kujutatud funktsioonide graafikud y = a x Ja y = log a X juhul kui 0
Joonis 3.
Järgmised väited vastavad tõele.
Funktsiooni graafik y = log a X on sümmeetriline funktsiooni y = a x graafiku suhtes sirge suhtes y = x.
Määratud funktsiooni väärtus y = a x on komplekt y>0 ja funktsiooni määratluspiirkond y = log a X on komplekt x>0.
Telg Oh on funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot y = a x ja telg OU on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot y = log a X.
Funktsioon y = a x suureneb koos a>1 ja funktsioon y = log a X suureneb ka koos a>1. Funktsioon y = a x väheneb kell 0у = log a X väheneb ka juures 0
Seega soovituslik y = a x ja logaritmiline y = log a X funktsioonid on vastastikku pöördvõrdelised.
Funktsiooni graafik y = log a X nimetatakse logaritmiliseks kõveraks, kuigi tegelikult ei suudetud uut nime välja mõelda. Lõppude lõpuks on see sama eksponent, mis toimib eksponentsiaalfunktsiooni graafikuna, paiknedes ainult koordinaattasandil erinevalt.
Peegelduse staadium. Esialgne kokkuvõte.
Pöördume tagasi tunni alguses käsitletud küsimuste juurde ja arutame saadud tulemusi. Vaatame, võib-olla on meie arvamus pärast tööd muutunud.
Õpilased võrdlevad rühmades oma eeldusi õpikuga töötamisel saadud teabega, koostades funktsioonide graafikuid ja nende omaduste kirjeldusi, teevad tabelis muudatusi, jagavad klassiga oma mõtteid ja arutavad iga küsimuse vastuseid.
Kõne etapp. Millistel juhtudel saab teie arvates logaritmilise funktsiooni omadusi rakendada?
Õpilaste oodatavad vastused: logaritmivõrrandite lahendamine, võrratused, logaritme sisaldavate arvavaldiste võrdlemine, keerukamate logaritmifunktsioonide konstrueerimine, teisendamine ja uurimine.
Sisu mõistmise etapp.
Töö logaritmiliste funktsioonide graafikute äratundmisest, definitsioonipiirkonna leidmisest, funktsioonide monotoonsuse määramisest. (Lisa nr 4)
1. Leidke funktsiooni domeen:
1)juures= logi 0,3 X 2) juures= logi 2 (x-1) 3) juures= logi 3 (3)
(0; +∞) b) (1; +∞) c) (-∞; 3) d) (0;1]
A) x≠0 b) x>0 V)
.
1
2
3
4
5
6
7
1)a, 2)b, 3)c
1)a, 2)b, 3)a
a, c
V
B, C
A)
A)
Teadmiste laiendamiseks uuritava teema kohta pakutakse õpilastele teksti "Logaritmilise funktsiooni rakendamine looduses ja tehnoloogias". (Lisa nr 5) Me kasutame Tehnoloogiline meetod "klaster" teema vastu huvi säilitamiseks.
"Kas see funktsioon leiab rakendust meid ümbritsevas maailmas?", vastame sellele küsimusele pärast logaritmilise spiraali tekstiga töötamist.
Klastri "Logaritmilise funktsiooni rakendamine" koostamine. Õpilased töötavad rühmades, moodustades klastreid. Seejärel kaitstakse klastreid ja arutatakse neid.
Klastri näide.
Kasutades logaritmilist funktsiooni
Loodus
Peegeldus
Millest sul enne tänast õppetundi aimugi polnud ja mis on sulle nüüd selgeks saanud?
Mida olete logaritmilise funktsiooni ja selle rakenduste kohta õppinud?
Milliste raskustega te ülesannete täitmisel kokku puutusite?
Tõstke esile küsimus, mis oli teile vähem selge.
Milline teave teid huvitas?
Koostage logaritmiline funktsioon syncwine
Hinda oma rühma tööd (Lisa nr 6 “Rühma tulemuslikkuse hindamisleht”)
Kodutöö:§ 4 p.240-243, nr 69-75 (isegi)
Kirjandus:
Azevitš A.I. Kakskümmend harmooniatundi: Humanitaar- ja matemaatikakursus. - M.: Shkola-Press, 1998.-160 lk.: ill. (Ajakirja “Matemaatika koolis” raamatukogu. 7. väljaanne.)
Zaire.Bek S.I. Kriitilise mõtlemise arendamine klassiruumis: käsiraamat üldhariduskoolide õpetajatele. institutsioonid. – M. Haridus, 2011. – 223 lk.
Kolyagin Yu.M. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiilitase. – M.: Haridus, 2010.
Korchagin V.V. Ühtne riigieksam 2009. Matemaatika. Temaatilised koolitusülesanded. – M.: Eksmo, 2009.
Ühtne riigieksam 2008. Matemaatika. Temaatilised koolitusülesanded/ Koreshkova T.A. ja teised - M.: Eksmo, 2008
Tšuvaši Vabariigi haridus- ja noorsoopoliitika ministeerium
Riigi autonoomne professionaal
Tšuvaši Vabariigi õppeasutus
"Tšeboksary transpordi- ja ehitustehnoloogia kolledž"
(GAPOU "Cheboksary Technical School TransStroyTech"
Tšuvašia haridusministeerium)
Metoodiline arendus
ODP. 01 Matemaatika
"Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava"
Cheboksary - 2016
Selgitav märkus………………................................................ ........ ......……………………………
Teoreetiline põhjendus ja metoodiline teostus……………………................................4-10
Järeldus …………………………………………………………… .............................................................. üksteist
Taotlused……………………………………………………………………………………… ..............................................................13
Selgitav märkus
Tunnimooduli metoodiline arendus erialal „Matemaatika“ teemal „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik" rubriigist "Juured, astmed ja logaritmid" on koostatud matemaatika tööprogrammi ja kalender-teemaplaani alusel. Tunni teemad on omavahel seotud sisu ja põhisätete poolest.
Selle teema uurimise eesmärk on õppida logaritmilise funktsiooni mõistet, uurida selle põhiomadusi, õppida koostama logaritmilise funktsiooni graafikut ja õppida nägema logaritmilist spiraali meid ümbritsevas maailmas.
Selle tunni programmimaterjal põhineb matemaatikateadmistel. Tunnimooduli metoodiline arendus koostati teoreetiliste tundide läbiviimiseks teemal: „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava" -1 tund. Praktilises tunnis kinnistavad omandatud teadmisi: funktsioonide definitsioonid, nende omadused ja graafikud, graafikute teisendused, pidevad ja perioodilised funktsioonid, pöördfunktsioonid ja nende graafikud, logaritmfunktsioonid.
Metoodilise arenduse eesmärk on anda õpilastele metoodilist abi tunnimooduli õppimisel teemal „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava". Õppekavavälise iseseisva tööna saavad õpilased lisaallikate abil koostada sõnumi teemal “Logaritmid ja nende rakendamine looduses ja tehnikas”, ristsõnu ja mõistatusi. Teema „Logaritmfunktsioonid, nende omadused ja graafikud“ õppimisel omandatud haridusalaseid teadmisi ja erialaseid pädevusi rakendatakse järgmiste osade „Võrrandid ja võrratused“ ning „Matemaatilise analüüsi põhimõtted“ uurimisel.
Tunni didaktiline ülesehitus:
Teema:« Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik »
Tegevuse tüüp: kombineeritud.
Tunni eesmärgid:
Hariduslik- teadmiste kujundamine logaritmilise funktsiooni mõiste valdamisel, logaritmilise funktsiooni omadused; kasutada probleemide lahendamiseks graafikuid.
Arendav- vaimsete operatsioonide arendamine läbi konkretiseerimise, visuaalse mälu arendamine, eneseharimise vajadus, kognitiivsete protsesside arengu soodustamine.
Hariduslik- tunnetusliku tegevuse, vastutustunde, üksteise austamise, vastastikuse mõistmise, enesekindluse edendamine; suhtluskultuuri edendamine; teadliku suhtumise ja õpihuvi edendamine.
Haridusvahendid:
Teema metoodiline arendus;
Personaalarvuti;
Sh.A Alimovi õpik “Algebra ja analüüsi algus” 10.-11.klass. Kirjastus "Prosveštšenje".
Subjektisisesed ühendused: eksponentsiaalfunktsioon ja logaritmiline funktsioon.
Interdistsiplinaarsed sidemed: algebra ja matemaatiline analüüs.
Üliõpilanepeab teadma:
logaritmilise funktsiooni määratlus;
logaritmilise funktsiooni omadused;
logaritmilise funktsiooni graafik.
Üliõpilanepeaks suutma:
sooritada logaritme sisaldavate avaldiste teisendusi;
leida arvu logaritm, rakendada logaritmide võtmisel logaritmide omadusi;
määrata punkti asukoht graafikul selle koordinaatide järgi ja vastupidi;
rakendada graafide koostamisel logaritmilise funktsiooni omadusi;
Tehke graafikute teisendusi.
Tunniplaan
1. Organisatsioonimoment (1 min).
2. Tunni eesmärkide ja eesmärkide püstitamine. Õpilaste õppetegevuse motiveerimine (1 min).
3. Algteadmiste ja -oskuste täiendamise etapp (3 min).
4. Kodutööde kontrollimine (2 min).
5. Uute teadmiste omastamise etapp (10 min).
6. Uute teadmiste kinnistamise etapp (15 min).
7. Tunnis õpitud materjali jälgimine (10 min).
8. Kokkuvõtete tegemine (2 min).
9. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp (1 min).
Tundide ajal:
1. Organisatsioonimoment.
Sisaldab õpetaja klassi tervitamist, ruumi ettevalmistamist tunniks ja puudujate kontrollimist.
2. Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.
Täna räägime logaritmilise funktsiooni mõistest, joonistame funktsiooni graafiku ja uurime selle omadusi.
3. Põhiteadmiste ja oskuste uuendamise etapp.
See viiakse läbi klassiga frontaalse töö vormis.
Mis oli viimane funktsioon, mida uurisime? Joonista skemaatiliselt tahvlile.
Andke eksponentsiaalfunktsiooni definitsioon.
Mis on eksponentsiaalvõrrandi juur?
Logaritmi defineerimine?
Millised on logaritmide omadused?
Mis on peamine logaritmiline identiteet?
4. Kodutööde kontrollimine.
Õpilased avavad vihikud ja näitavad lahendatud ülesandeid. Esitage küsimusi, mis tekkisid kodutööde tegemisel.
5. Uute teadmiste assimilatsiooni etapp.
Õpetaja: Avage märkmikud, kirjutage üles tänane kuupäev ja tunni teema "Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik".
Definitsioon: Logaritmiline funktsioon on vormi funktsioon
Kus on antud arv, .
Vaatame selle funktsiooni graafiku koostamist konkreetse näite abil.
Koostame funktsioonide ja graafikud.
| |
|
| |
|
Märkus 1: Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus, kus 
. Seetõttu on nende graafikud sümmeetrilised koordinaatnurkade I ja III poolitaja suhtes (joonis 1).
Tuginedes logaritmi määratlusele ja graafikute tüübile, teeme kindlaks logaritmilise funktsiooni omadused:
1) Määratluse ulatus: , sest logaritmi definitsiooni järgi x>0.
2) Funktsioonide ulatus: .
3) Ühe logaritm võrdub nulliga, aluse logaritm on võrdne ühega: , .
4) Funktsioon , intervalli suurenemine (joonis 1).
5) Funktsioon , intervalli vähenemine (joonis 1).
6) märkide püsivuse intervallid:
Kui , siis kell ; kell ;
Kui , siis kell ;
Märkus 2. Iga logaritmilise funktsiooni graafik läbib alati punkti (1; 0).
Teoreem: Kui 
, kus , siis .
6. Uute teadmiste kinnistamise etapp.
Õpetaja: Lahendame ülesandeid nr 318 - nr 322 (paaritu) (§18 Alimov Sh.A. “Algebra ja analüüsi alged” 10-11 klass).
1) 
sest funktsioon suureneb.
3), kuna funktsioon väheneb.
1), sest ja .
3), sest ja .
1) , sest , , siis .
3) , sest 10> 1, siis .
1) väheneb
3) suureneb.
7. Kokkuvõtete tegemine.
- Täna tegime klassis head tööd! Mida uut sa täna tunnis õppisid?
(Uut tüüpi funktsioon – logaritmiline funktsioon)
Esitage logaritmilise funktsiooni definitsioon.
(Funktsiooni y = logax, (a > 0, a ≠ 1) nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks)
Hästi tehtud! Õige! Nimeta logaritmilise funktsiooni omadused.
(funktsiooni määratluspiirkond, funktsiooni väärtuste hulk, monotoonsus, märgi püsivus)
8. Tunnis õpitava materjali kontroll.
Õpetaja: Uurime, kui hästi olete valdanud teemat „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava". Selleks kirjutame kontrolltöö (lisa 1). Töö koosneb neljast ülesandest, mis tuleb lahendada logaritmilise funktsiooni omadusi kasutades. Testi täitmiseks antakse teile 10 minutit.
9. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp.
Tahvlile ja päevikutesse kirjutamine: Alimov Sh.A. “Algebra ja analüüsi algus” 10-11 klass. §18 nr 318 - nr 322 (paaris)
Järeldus
Metoodilise arenduse kasutamise käigus saavutasime kõik oma eesmärgid ja eesmärgid. Selles metoodilises arenduses võeti arvesse kõiki logaritmifunktsiooni omadusi, tänu millele õppisid õpilased teisendama logaritme sisaldavaid avaldisi ja koostama logaritmiliste funktsioonide graafikuid. Praktiliste ülesannete täitmine aitab kinnistada õpitud materjali ning teadmiste ja oskuste kontrollimise jälgimine aitab õpetajatel ja õpilastel teada saada, kui tulemuslik oli nende töö tunnis. Metoodiline arendus võimaldab õpilastel saada teema kohta huvitavat ja harivat teavet, üldistada ja süstematiseerida teadmisi, rakendada logaritmide ja logaritmiliste funktsioonide omadusi erinevate logaritmivõrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Alimov Sh., Kolyagin Yu, Sidorov Yu, Fedorova N. E., Shabunin M. I. akadeemik Tihhonov A. N. Algebra ja matemaatilise analüüsi alged - M. Haridus, 2011.
Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. jt Algebra ja matemaatilise analüüsi algus (põhi- ja profiilitasemed). 10 klassi - M., 2006.
Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. ja teised, toim. Žižtšenko A.B. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus (põhi- ja erialatase). 10 klassi - M., 2005.
Lisichkin V. T. Matemaatika lahendustega ülesannetes: õpik / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - 3. väljaanne, kustutatud. - Peterburi. [ja teised]: Lan, 2011 (Arhangelsk). - 464 s.
Interneti ressursid:
http://school-collection.edu.ru - Elektrooniline õpik “Matemaatika in
kool, XXI sajand."
http://fcior.edu.ru - teabe-, koolitus- ja kontrollimaterjalid.
www.school-collection.edu.ru – digitaalsete haridusressursside ühtne kogu.
Rakendused
Valik 1.
2. variant.
Hindamiskriteeriumid:
Märgistus "3" (rahuldav) antakse kahele õigesti täidetud näitele.
Hinde „4“ (hea) antakse, kui mõni 3 näidet on õigesti täidetud.
Hinne “5” (suurepärane) antakse kõigile 4 õigesti täidetud näitele.