Geomeetriline progressioon on arvuline jada, mille esimene liige erineb nullist ja iga järgnev liige on võrdne eelmise liikmega, mis on korrutatud samaga võrdne nulliga number.
Geomeetrilise progressiooni mõiste
Geomeetriline progressioon on tähistatud b1,b2,b3, …, bn, ….
Geomeetrilise vea mis tahes liikme suhe selle eelmise liikmega on võrdne sama arvuga, st b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. See tuleneb otseselt määratlusest aritmeetiline progressioon. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks. Tavaliselt tähistatakse geomeetrilise progressiooni nimetajat tähega q.
Lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa |q| jaoks<1
Üks geomeetrilise progressiooni määramise viise on määrata selle esimene liige b1 ja geomeetrilise vea q nimetaja. Näiteks b1=4, q=-2. Need kaks tingimust määravad geomeetrilise progressiooni 4, -8, 16, -32, ….
Kui q>0 (q ei võrdu 1-ga), siis progresseerumine on monotoonne jada. Näiteks jada 2, 4,8,16,32, ... on monotoonselt kasvav jada (b1=2, q=2).
Kui geomeetrilise vea nimetaja on q=1, siis on kõik geomeetrilise progressiooni liikmed omavahel võrdsed. Sellistel juhtudel öeldakse, et progresseerumine on konstantne jada.
Selleks, et arvujada (bn) oleks geomeetriline progressioon, on vajalik, et iga selle liige, alates teisest, oleks naaberliikmete geomeetriline keskmine. See tähendab, et on vaja täita järgmine võrrand
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), iga n>0 korral, kus n kuulub naturaalarvude hulka N.
Nüüd paneme (Xn) - geomeetriline progressioon. Geomeetrilise progressiooni q nimetaja ja |q|∞).
Kui nüüd tähistada S-ga lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa, siis saame järgmine valem:
S=x1/(1-q).
Vaatame lihtsat näidet:
Leidke lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
S leidmiseks kasutame lõpmatu aritmeetilise progressiooni summa valemit. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Kui iga naturaalarvu kohta n vaste reaalarvuga a n , siis öeldakse, et on antud numbrijada :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Seega on numbrijada loomuliku argumendi funktsioon.
Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas n-s tähtaeg järjestused ja naturaalarv n — tema number .
Kahest kõrvuti asetsevast liikmest a n Ja a n +1 jada liige a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), A a n — eelmine ( suunas a n +1 ).
Jada määratlemiseks peate määrama meetodi, mis võimaldab teil leida jada mis tahes arvuga liikme.
Sageli määratakse järjestus kasutades n-nda termini valemid , ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.
Näiteks,
positiivsete jada paaritud arvud saab anda valemiga
a n= 2n- 1,
ja vaheldumise järjekord 1 Ja -1 - valem
b n = (-1)n +1 . ◄
Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.
Näiteks,
Kui a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Kui a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis esimesed seitse liiget numbrijada paigaldage järgmiselt:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Jadad võivad olla lõplik Ja lõputu .
Jada nimetatakse ülim kui tal on lõplik number liikmed. Jada nimetatakse lõputu , kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.
Näiteks,
kahekohaliste naturaalarvude jada:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
lõplik.
Algarvude jada:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
lõputu. ◄
Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.
Jada nimetatakse väheneb , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.
Näiteks,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — järjestuse suurenemine;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — kahanev järjestus. ◄
Nimetatakse jada, mille elemendid arvu kasvades ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .
Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.
Aritmeetiline progressioon
Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
on aritmeetiline progressioon, kui see on olemas naturaalarv n tingimus on täidetud:
a n +1 = a n + d,
Kus d - teatud arv.
Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgnevate ja eelmiste liikmete vahel alati konstantne:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse märkimisest.
Näiteks,
Kui a 1 = 3, d = 4 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Näiteks,
leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
siis ilmselgelt
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.
arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.
Näiteks,
a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.
Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Seega
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k
a n = a k + (n- k)d.
Näiteks,
Sest a 5 saab kirja panna
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
siis ilmselgelt
| a n=
| a n-k
+a n+k
|
| 2
|
iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.
Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral järgmine võrdsus:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Näiteks,
aritmeetilises progressioonis
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
esiteks n Aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne äärmuslike liikmete summa ja liikmete arvu poole korrutisega:
Siit eelkõige järeldub, et kui on vaja tingimused kokku võtta
a k, a k +1 , . . . , a n,
siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:
Näiteks,
aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused a 1 , a n, d, n JaS n ühendatud kahe valemiga:
Seega, kui kolme tähendused Nendest kogustest on antud, siis määratakse nende valemite põhjal kahe ülejäänud suuruse vastavad väärtused, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandisüsteemiks.
Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:
- Kui d > 0 , siis see suureneb;
- Kui d < 0 , siis see väheneb;
- Kui d = 0 , siis on jada paigal.
Geomeetriline progressioon
Geomeetriline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, mis on korrutatud sama arvuga.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:
b n +1 = b n · q,
Kus q ≠ 0 - teatud arv.
Seega on antud geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.
Geomeetrilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja märkimisest.
Näiteks,
Kui b 1 = 1, q = -3 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 ja nimetaja q teda n Kolmanda termini saab leida järgmise valemi abil:
b n = b 1 · qn -1 .
Näiteks,
leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = b 1 · qn,
siis ilmselgelt
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmisega (proportsionaalne).
Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:
arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut võrdne tootegaülejäänud kaks, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.
Näiteks,
Tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Seega
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
mis tõestab soovitud väidet. ◄
Pange tähele, et n Geomeetrilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka iga eelmine liige b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest
b n = b k · qn - k.
Näiteks,
Sest b 5 saab kirja panna
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · qn - k,
b n = b n - k · q k,
siis ilmselgelt
b n 2 = b n - k· b n + k
geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut, alates teisest, võrdub sellest võrdsel kaugusel oleva progressiooni liikmete korrutisega.
Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Näiteks,
geomeetrilises progressioonis
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
esiteks n nimetajaga geomeetrilise progressiooni liikmed q ≠ 0 arvutatakse valemiga:
Ja millal q = 1 - vastavalt valemile
S n= nb 1
Pange tähele, et kui teil on vaja tingimused kokku võtta
b k, b k +1 , . . . , b n,
siis kasutatakse valemit:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Näiteks,
geomeetrilises progressioonis 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n Ja S n ühendatud kahe valemiga:
Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest mis tahes väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.
Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :
- progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
b 1 > 0 Ja q> 1;
b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;
- Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;
b 1 < 0 Ja q> 1.
Kui q< 0 , siis geomeetriline progressioon on vahelduv: selle tingimused koos paaritud arvud on sama märgiga kui selle esimene liige ja paarisarvuga terminitel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.
Esimese toode n geomeetrilise progressiooni tingimusi saab arvutada järgmise valemi abil:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Näiteks,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon
Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem 1 , see on
|q| < 1 .
Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhuks
1 < q< 0 .
Sellise nimetaja korral on jada vahelduv. Näiteks,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta arv, millele esimeste summa piiranguteta läheneb n progresseerumise liikmed, mille arv kasvab piiramatult n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Näiteks,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos
Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatame vaid kahte näidet.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , See
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Näiteks,
1, 3, 5, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega 2 Ja
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga q , See
logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .
Näiteks,
2, 12, 72, . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga 6 Ja
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄
Mõnda füüsika ja matemaatika ülesannet saab lahendada omaduste abil numbriseeria. Kaks kõige lihtsamat koolides õpetatavat numbrijada on algebraline ja geomeetriline. Selles artiklis vaatleme üksikasjalikumalt küsimust, kuidas leida summa piiratud progressioon geomeetriline kahanemine.
Geomeetriline edenemine
Need sõnad tähendavad järgmist seeriat reaalarvud, mille elemendid a i vastavad avaldisele:
Siin on i elemendi number reas, r on konstantne arv, mida nimetatakse nimetajaks.
See määratlus näitab, et teades progressiooni mis tahes liiget ja selle nimetajat, saate taastada kogu arvude jada. Näiteks kui 10. element on teada, siis selle r-ga jagades saadakse 9. element, uuesti jagades aga 8. ja nii edasi. Need lihtne arutluskäik lubage meil kirjutada avaldis, mis kehtib vaadeldava arvuseeria jaoks:
Progressiooni näide nimetajaga 2 oleks järgmine jada:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Kui nimetaja on võrdne -2, saadakse täiesti erinev seeria:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geomeetriline progressioon on palju kiirem kui algebraline progressioon, see tähendab, et selle tingimused suurenevad kiiresti ja vähenevad kiiresti.
Progressiooni i-liikmete summa
Lahenduste jaoks praktilisi probleeme Tihti tuleb arvutada kõnealuse numbrijada mitme elemendi summa. Sel juhul kehtib järgmine valem:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
On näha, et i-liikmete summa arvutamiseks peate teadma ainult kahte arvu: a 1 ja r, mis on loogiline, kuna need määravad üheselt kogu jada.
Kahanev jada ja selle liikmete summa
Nüüd kaalume erijuhtum. Eeldame, et nimetaja r moodul ei ületa ühte, see on -1 Vähenevat geomeetrilist progressiooni on huvitav kaaluda, kuna selle liikmete lõpmatu summa kaldub olema lõplik reaalarv. Vaatame summa valemit. Seda on lihtne teha, kui kirjutada välja eelmises lõigus toodud avaldis S i jaoks. Meil on: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Vaatleme juhtumit, kui i->∞. Kuna nimetaja moodul on väiksem kui 1, siis selle suurendamine lõpmatu astmeni annab nulli. Seda saab kontrollida näitega r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Selle tulemusena saab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa järgmiselt: Seda valemit kasutatakse praktikas sageli näiteks jooniste pindalade arvutamiseks. Seda kasutatakse ka Elea Zenoni kilpkonna ja Achilleuse paradoksi lahendamiseks. Ilmselgelt, arvestades summat lõputu progress geomeetriline suurenemine (r>1), annab tulemuseks S ∞ = +∞. Näitame, kuidas ülaltoodud valemeid ülesande lahendamise näite abil rakendada. On teada, et lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa on 11. Pealegi on selle 7. liige 6 korda väiksem kui kolmas liige. Mis on selle numbrirea esimene element? Kõigepealt kirjutame välja kaks avaldist 7. ja 3. elemendi määramiseks. Saame: Jagades esimese avaldise teisega ja väljendades nimetaja, saame: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Kuna seitsmenda ja kolmanda liikme suhe on antud ülesandepüstituses, saate selle asendada ja leida r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Arvutasime r viie kümnendkoha täpsusega. Kuna saadud väärtus on väiksem kui üks, siis progresseerumine väheneb, mis õigustab selle lõpmatu summa valemi kasutamist. Kirjutame esimese liikme avaldise läbi summa S ∞: Asendame selle valemiga teadaolevad väärtused ja saame vastuse: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zenon Eleast on kuulus kreeka filosoof, kes elas 5. sajandil eKr. e. Tänapäeva on jõudnud hulk selle apogeesid ehk paradokse, milles sõnastatakse matemaatika lõpmatult suure ja lõpmatult väikese probleem. Zenoni üks kuulsamaid paradokse on Achilleuse ja kilpkonna vaheline konkurents. Zenon uskus, et kui Achilleus annaks kilpkonnale kauguses mingi eelise, ei jõua ta kunagi sellele järele. Näiteks laske Achilleusel joosta 10 korda kiiremini kui roomav loom, kes on näiteks 100 meetrit tema ees. Kui sõdalane jookseb 100 meetrit, roomab kilpkonn 10 meetrit eemale, olles uuesti 10 meetrit jooksnud, näeb Achilleus, et kilpkonn roomab veel 1 meetri. Nii võib vaielda lõpmatuseni, konkurentide vahe tõepoolest väheneb, kuid kilpkonn jääb alati ette. Viinud Zeno järeldusele, et liikumist pole olemas ja kõik ümbritsevad objektide liikumised on illusioon. Muidugi eksis Vana-Kreeka filosoof. Paradoksi lahendus peitub selles, et pidevalt kahanevate segmentide lõpmatu summa kaldub lõplikule arvule. Ülaltoodud juhul saame Achilleuse läbitud distantsi kohta: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Rakendades lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa valemit, saame: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 meetrit See tulemus näitab, et Achilleus jõuab kilpkonnale järele, kui see roomab vaid 11 111 meetrit. Vanad kreeklased ei osanud matemaatikas töötada lõpmatute suurustega. Selle paradoksi saab aga lahendada, kui pöörame tähelepanu mitte lõpmatule arvule lünkadele, mida Achilleus peab ületama, vaid piiratud arvule samme, mida jooksja oma eesmärgini jõudmiseks vajab. Lisamaterjalid Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 9. klassile
Poisid, täna tutvume teist tüüpi progresseerumisega. Näide. 1,2,4,8,16... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega ja $q=2$. Näide. 8,8,8,8... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kaheksaga, Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kolmega, Geomeetrilisel progressioonil on monotoonsuse omadused. Nii nagu aritmeetilises progressioonis, kui geomeetrilises progressioonis on elementide arv lõplik, nimetatakse progressiooni lõplikuks geomeetriliseks progressiooniks. $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$. Tuleme tagasi oma näidete juurde. Näide. 1,2,4,8,16... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega, Näide. 16,8,4,2,1,1/2… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kuueteistkümnega ja $q=\frac(1)(2)$. Näide. 8,8,8,8... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kaheksaga ja $q=1$. Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kolmega ja $q=-1$. Näide. Antud geomeetriline progressioon $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $. Lahendus. Näide. Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 192, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on 192. Leidke selle progressiooni kümnes liige. Lahendus. Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$. $S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. $S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. Oleme saanud lõpliku geomeetrilise progressiooni summa valemi. Lahendus. Näide. Lahendus. $S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$. Arvjada on geomeetriline progressioon ainult siis, kui iga liikme ruut on võrdne progressiooni kahe külgneva liikme korrutisega. Ärge unustage, et piiratud progressiooni korral ei ole see tingimus esimese ja viimase liikme puhul täidetud. Geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme moodul on võrdne selle kahe külgneva liikme geomeetrilise keskmisega. Lahendus. Õppetund teemal "Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon" (algebra, 10. klass)
Tunni eesmärk: tutvustades õpilastele uut tüüpi järjestust – lõpmatult vähenevat geomeetrilist progressiooni. Varustus: projektor, ekraan. Tunni tüüp:õppetund – õppimine uus teema. Tundide ajal I
. Org. hetk. Märkige tunni teema ja eesmärk. II
. Õpilaste teadmiste täiendamine. 9. klassis õppisite aritmeetilist ja geomeetrilist progressiooni. Küsimused 1. Aritmeetilise progressiooni definitsioon. (Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, võrdub samale arvule lisatud eelmise liikmega). 2. Valem n aritmeetilise progressiooni liige ( 3. Esimese summa valem n aritmeetilise progressiooni terminid. ( 4. Geomeetrilise progressiooni definitsioon. (Geomeetriline progressioon on nullist erinevate arvude jada, mille iga liige alates teisest võrdub eelmise liikmega, mis on korrutatud sama arvuga). 5. Valem n geomeetrilise progressiooni liige ( 6. Esimese summa valem n geomeetrilise progressiooni liikmed. ( 7. Milliseid valemeid sa veel tead? ( 5. Geomeetrilise progressiooni jaoks 6. Geomeetrilise progressiooni jaoks 7. Eksponentsiaalselt b
3
= 8
Ja b
5
= 2
. Otsi b
4
. (4) 8. Eksponentsiaalselt b
3
= 8
Ja b
5
= 2
. Otsi b
1
Ja
q
. 9. Eksponentsiaalselt b
3
= 8
Ja b
5
= 2
. Otsi S
5
. (62) III
. Uue teema õppimine(esitluse demonstreerimine). Vaatleme ruutu, mille külg on võrdne 1-ga. Joonistame veel ühe ruudu, mille külg on poole väiksem esimesest ruudust, siis teise ruudu, mille külg on pool teisest, siis järgmise ruudu jne. Iga kord on uue ruudu külg võrdne poolega eelmisest. Selle tulemusena saime ruutude külgede jada Ja mis on väga oluline, mida rohkem me selliseid väljakuid ehitame, seda väiksemaks jääb väljaku külg. Näiteks, Need. Kui arv n suureneb, lähenevad progressiooni liikmed nullile. Seda joonist kasutades võite kaaluda teist järjestust. Näiteks ruutude pindalade järjestus: Vaatame teist näidet. Võrdkülgne kolmnurk mille külg on 1 cm. Ehitame järgmise kolmnurga, mille tipud asuvad 1. kolmnurga külgede keskpunktides, vastavalt teoreemile umbes keskjoon kolmnurk - 2. külg on võrdne poole esimese küljega, 3. külg on võrdne poole 2. küljega jne. Jällegi saame kolmnurkade külgede pikkuste jada. Kui arvestada negatiivse nimetajaga geomeetrilist progressiooni. Siis jälle kasvavate numbritega n progresseerumise tingimused lähenevad nullile. Pöörame tähelepanu nende jadade nimetajatele. Kõikjal olid nimetajad absoluutväärtuses väiksemad kui 1. Võime järeldada: geomeetriline progressioon on lõpmatult kahanev, kui selle nimetaja moodul on väiksem kui 1. Definitsioon:
Geomeetrilist progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks, kui selle nimetaja moodul on väiksem kui üks. Definitsiooni kasutades saate otsustada, kas geomeetriline progressioon on lõpmatult kahanev või mitte. Ülesanne Kas jada on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, kui see on antud valemiga: Lahendus: see geomeetriline progressioon väheneb lõpmatult. b) see jada ei ole lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. Vaatleme ruutu, mille külg on 1. Jaga see pooleks, üks pooltest pooleks jne. Kõigi saadud ristkülikute pindalad moodustavad lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni: Kõigi sel viisil saadud ristkülikute pindalade summa on võrdne 1. ruudu pindalaga ja võrdne 1-ga.
Ülesanne leida progressiooni esimene liige
Zenoni kuulus paradoks kiire Achilleuse ja aeglase kilpkonnaga
Tund ja ettekanne teemal: "Arvujadad. Geomeetriline progressioon"
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Pädevused ja juured Funktsioonid ja graafikud
Tänase tunni teemaks on geomeetriline progressioon.Geomeetriline progressioon
Definitsioon. Arvjada, milles iga liige, alates teisest, võrdub eelmise ja mingi fikseeritud arvu korrutisega, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks.
Defineerime oma jada rekursiivselt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kus b ja q on teatud arvud. Arvu q nimetatakse progressiooni nimetajaks.
ja $q=1$.
ja $q=-1$.
Kui $b_(1)>0$, $q>1$,
siis järjestus suureneb.
Kui $b_(1)>0$, siis $0 Jada tähistatakse tavaliselt kujul: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Pange tähele, et kui jada on geomeetriline progressioon, siis on ka liikmete ruutude jada geomeetriline progressioon. Teises jadas on esimene liige võrdne $b_(1)^2$ ja nimetaja on võrdne $q^2$.Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem
Geomeetrilist progressiooni saab täpsustada ka analüütilisel kujul. Vaatame, kuidas seda teha:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Märkame kergesti mustrit: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Meie valemit nimetatakse "geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemiks".
ja $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
a) On teada, et $b_(1)=6, q=3$. Leidke $b_(5)$.
b) On teada, et $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Leia n.
c) On teada, et $q=-2, b_(6)=96$. Leia $b_(1)$.
d) On teada, et $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Leia q.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, kuna $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Teame, et $b_(7)-b_(5)=192$ ja $b_(5)+b_(6)=192$.
Teame ka: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Seejärel:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Saime võrrandisüsteemi:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(juhtumid)$.
Võrdstades võrrandid, saame:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Saime kaks lahendit q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Asendage järjestikku teise võrrandiga:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ lahendusi pole.
Saime selle: $b_(1)=4, q=2$.
Leiame kümnenda liikme: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.Lõpliku geomeetrilise progressiooni summa
Olgu meil lõplik geomeetriline progressioon. Arvutame, nagu aritmeetilise progressiooni puhul, selle liikmete summa.
Tutvustame selle liikmete summa tähistust: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Juhul, kui $q=1$. Kõik geomeetrilise progressiooni liikmed on võrdsed esimese liikmega, siis on ilmne, et $S_(n)=n*b_(1)$.
Vaatleme nüüd juhtumit $q≠1$.
Korrutame ülaltoodud summa q-ga.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Märge:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
Näide.
Leidke geomeetrilise progressiooni seitsme esimese liikme summa, mille esimene liige on 4 ja nimetaja 3.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Leia geomeetrilise progressiooni viies liige, mis on teada: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.Geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus
Poisid, on antud geomeetriline progressioon. Vaatame selle kolme järjestikust liiget: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Me teame seda:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Seejärel:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Kui progresseerumine on piiratud, kehtib see võrdsus kõigi liikmete kohta, välja arvatud esimene ja viimane.
Kui ei ole ette teada, mis kujul jada on, kuid on teada, et: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Siis võime julgelt öelda, et see on geomeetriline progressioon.
Vaatame seda identiteeti: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ nimetatakse keskmiseks geomeetrilised numbrid a ja b.
Näide.
Leia x selline, et $x+2; 2x+2; 3x+3$ olid geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget.
Kasutame iseloomulikku omadust:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ja $x_(2)=-1$.
Asendame oma lahendused järjestikku algse avaldisega:
Kui $x=2$, saime jada: 4;6;9 – geomeetriline progressioon $q=1.5$.
$x=-1$ korral saame jada: 1;0;0.
Vastus: $x=2.$Iseseisvalt lahendatavad probleemid
1. Leidke geomeetrilise progressiooni 16;-8;4;-2… kaheksas esimene liige.
2. Leidke geomeetrilise progressiooni 11,22,44… kümnes liige.
3. On teada, et $b_(1)=5, q=3$. Leidke $b_(7)$.
4. On teada, et $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Leia n.
5. Leidke geomeetrilise progressiooni 3;12;48… esimese 11 liikme summa.
6. Leia x selline, et $3x+4; 2x+4; x+5$ on geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget. 
)
või 
)
)
)
, Kus 
; 
; 
; 
, 
)
leida viies termin. 
leida n liige. 
geomeetrilise progressiooni moodustamine nimetajaga .
. Ja jälle, kui n suureneb lõputult, siis läheneb pindala nullile nii lähedale kui soovite.
juures 
.
.
; 
.. Me leiame q
.
; 
; 
; 
.
