Selleks, et arvutada rea summa, peate lihtsalt rea elemendid teatud arv kordi lisama. Näiteks:
Ülaltoodud näites tehti seda väga lihtsalt, kuna pidime kokku võtma lõplik numberüks kord. Aga mis siis, kui summeerimise ülempiir on lõpmatus? Näiteks kui peame leidma järgmiste seeriate summa:
Analoogiliselt eelmise näitega võime selle summa kirjutada järgmiselt:
Aga mida edasi teha?! Selles etapis on vaja kontseptsiooni tutvustada osaline summa rida. Niisiis, sarja osaline summa(tähistatud S n) on seeria esimese n liikme summa. Need. meie puhul:
Seejärel saab osasumma piiriks arvutada algseeria summa:
Seega jaoks rea summa arvutamine, on vaja kuidagi leida avaldis rea (S n ) osasummale. Meie konkreetne juhtum seeria on kahanev geomeetriline progressioon, mille nimetaja on 1/3. Nagu me teame, esimese n elemendi summa geomeetriline progressioon arvutatakse valemiga:
siin b 1 on geomeetrilise progressiooni esimene element (meie puhul on see 1) ja q on progressiooni nimetaja (meie puhul 1/3). Seetõttu on meie seeria osasumma S n võrdne:
Siis on meie seeria (S) summa vastavalt ülaltoodud definitsioonile võrdne:
Eespool käsitletud näited on üsna lihtsad. Tavaliselt on seeriate summa arvutamine palju keerulisem ja suurim raskus seisneb seeriate osasumma leidmises. Esitletud allpool Interneti-kalkulaator, mis põhineb süsteemil Wolfram Alpha, võimaldab arvutada üsna keerukate seeriate summa. Veelgi enam, kui kalkulaator ei leidnud seeriate summat, on see tõenäoline see seeria on lahknev (sel juhul kuvab kalkulaator sellist teadet nagu "sum diverges"), st. See kalkulaator aitab kaudselt saada aimu ka seeriate konvergentsist.
Oma seeria summa leidmiseks peate määrama seeria muutuja, liitmise alam- ja ülemise piiri, samuti seeria n-nda liikme avaldise (st seeria enda tegeliku avaldise) .
Mõnda füüsika ja matemaatika ülesannet saab lahendada omaduste abil numbriseeria. Kaks kõige lihtsamat koolides õpetatavat numbrijada on algebraline ja geomeetriline. Selles artiklis vaatleme lähemalt summa leidmise küsimust lõputu progress geomeetriline kahanemine.
Geomeetriline edenemine
Need sõnad tähendavad järgmist seeriat reaalarvud, mille elemendid a i vastavad avaldisele:
Siin on i elemendi number reas, r on konstantne arv, mida nimetatakse nimetajaks.
See määratlus näitab, et teades progressiooni mis tahes liiget ja selle nimetajat, saate taastada kogu arvude jada. Näiteks kui 10. element on teada, siis selle r-ga jagamisel saadakse 9. element, uuesti jagades aga 8. ja nii edasi. Need lihtne arutluskäik lubage meil kirjutada avaldis, mis kehtib vaadeldava arvu jada jaoks:
Progressiooni näide nimetajaga 2 oleks järgmine jada:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Kui nimetaja on võrdne -2, saadakse täiesti erinev seeria:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geomeetriline progressioon on palju kiirem kui algebraline progressioon, see tähendab, et selle tingimused suurenevad kiiresti ja vähenevad kiiresti.
Progressiooni i-liikmete summa
Lahenduste jaoks praktilisi probleeme sageli peate arvutama mitme vaadeldava elemendi summa numbrijada. Sel juhul on see tõsi järgmine valem:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
On näha, et i-liikmete summa arvutamiseks peate teadma ainult kahte arvu: a 1 ja r, mis on loogiline, kuna need määravad üheselt kogu jada.
Kahanev jada ja selle liikmete summa
Nüüd kaalume erijuhtum. Eeldame, et nimetaja r moodul ei ületa ühte, see on -1 Vähenevat geomeetrilist progressiooni on huvitav kaaluda, kuna selle liikmete lõpmatu summa kaldub olema lõplik reaalarv. Saame summa valemi Seda on lihtne teha, kui kirjutada välja eelmises lõigus toodud avaldis S i jaoks. Meil on: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Vaatleme juhtumit, kui i->∞. Kuna nimetaja moodul on väiksem kui 1, siis selle suurendamine lõpmatu astmeni annab nulli. Seda saab kontrollida näitega r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Selle tulemusena saab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa järgmiselt: Seda valemit kasutatakse praktikas sageli näiteks jooniste pindalade arvutamiseks. Seda kasutatakse ka Elea Zenoni kilpkonna ja Achilleuse paradoksi lahendamiseks. On ilmne, et kui arvestada lõpmatu geomeetrilise kasvava progressiooni summaga (r>1), saadakse tulemus S ∞ = +∞. Näitame, kuidas ülaltoodud valemeid ülesande lahendamise näite abil rakendada. On teada, et lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa on 11. Pealegi on selle 7. liige 6 korda väiksem kui kolmas liige. Mis on selle numbrirea esimene element? Kõigepealt kirjutame välja kaks avaldist 7. ja 3. elemendi määramiseks. Saame: Jagades esimese avaldise teisega ja väljendades nimetaja, saame: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Kuna seitsmenda ja kolmanda liikme suhe on antud ülesandepüstituses, saate selle asendada ja leida r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Arvutasime r viie kümnendkoha täpsusega. Kuna saadud väärtus on väiksem kui üks, siis progresseerumine väheneb, mis õigustab selle lõpmatu summa valemi kasutamist. Kirjutame esimese liikme avaldise läbi summa S ∞: Asendame selle valemiga teadaolevad väärtused ja saame vastuse: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zenon Eleast on kuulus kreeka filosoof, kes elas 5. sajandil eKr. e. Tänapäeva on jõudnud hulk selle apogeesid ehk paradokse, milles sõnastatakse matemaatika lõpmatult suure ja lõpmatult väikese probleem. Zenoni üks kuulsamaid paradokse on Achilleuse ja kilpkonna vaheline konkurents. Zenon uskus, et kui Achilleus annaks kilpkonnale kauguses mingi eelise, ei jõua ta kunagi sellele järele. Näiteks laske Achilleusel joosta 10 korda kiiremini kui roomav loom, kes on näiteks 100 meetrit tema ees. Kui sõdalane jookseb 100 meetrit, roomab kilpkonn 10 meetrit eemale.Joosnud uuesti 10 meetrit, näeb Achilleus, et kilpkonn roomab veel 1 meetri. Nii võib vaielda lõpmatuseni, konkurentide vahe tõepoolest väheneb, kuid kilpkonn jääb alati ette. Viinud Zeno järeldusele, et liikumist pole olemas ja kõik ümbritsevad objektide liikumised on illusioon. Muidugi eksis Vana-Kreeka filosoof. Paradoksi lahendus peitub selles, et pidevalt vähenevate segmentide lõpmatu summa kaldub lõplikule arvule. Ülaltoodud juhul saame Achilleuse läbitud distantsi kohta: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Rakendades lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa valemit, saame: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 meetrit See tulemus näitab, et Achilleus jõuab kilpkonnale järele, kui see roomab vaid 11 111 meetrit. Vanad kreeklased ei osanud matemaatikas töötada lõpmatute suurustega. Selle paradoksi saab aga lahendada, kui pöörame tähelepanu mitte lõpmatule arvule lünkadele, mida Achilleus peab ületama, vaid piiratud arvule samme, mida jooksja oma eesmärgini jõudmiseks vajab. Punktis olevate lõpmata väikeste ja lõpmata suurte funktsioonide definitsioonid ja omadused. Omaduste ja teoreemide tõestused. Lõpmatult väikeste ja lõpmata suurte funktsioonide vaheline seos. Las x 0
on lõplik või lõpmatu punkt: ∞, -∞ või +∞. Lõpmatu väikese funktsiooni definitsioon Lõpmatult suure funktsiooni definitsioon Lõpmata väikeste funktsioonide summa, erinevuse ja korrutise omadus Summa, vahe ja toode Lõplik arv lõpmatuid funktsioone kui x → x 0
on lõpmata väike funktsioon x → x 0
.
See omadus on funktsiooni piiride aritmeetiliste omaduste otsene tagajärg. Teoreem piiratud funktsiooni ja infinitesimaalarvu korrutise kohta Piiratud funktsiooni korrutis mõnel punkti x torgatud naabruskonnal 0
, lõpmatu väikeseni, nagu x → x 0
, on lõpmata väike funktsioon x → x 0
.
Funktsiooni esitamise omadus konstandi ja lõpmata väikse funktsiooni summana Selleks, et funktsioon f (x) oli piiratud piir, see on vajalik ja piisav Teoreem piiratud funktsiooni ja lõpmata suure summa kohta Piiratud funktsiooni summa või erinevus punkti x mõnel punkteeritud naabruskonnal 0
, ja lõpmata suur funktsioon, nagu x → x 0
, on lõpmata suur funktsioon x → x 0
.
Teoreem piiratud funktsiooni jagamise kohta lõpmata suurega Kui funktsioon f (x) on lõpmatult suur kui x → x 0
ja funktsioon g (x)- on piiratud punkti x mingi torgatud ümbrusega 0
, See Teoreem funktsiooni jagamise kohta, mis on allpool piiratud lõpmatu väikesega Kui funktsioon , mis asub punkti mõnel torgatud naabruses, on altpoolt piiratud absoluutväärtuses positiivse arvuga: Lõpmatult suurte funktsioonide võrratuste omadus Kui funktsioon on lõpmatult suur: Sellel kinnisvaral on kaks erijuhtu. Olgu punkti mõnel torgatud naabruses funktsioonid ja rahuldatakse ebavõrdsus: Kahest eelnevast omadusest tuleneb seos lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vahel. Kui funktsioon on lõpmatult suur juures , siis funktsioon on lõpmatult väike juures . Kui funktsioon on , ja jaoks lõpmatult väike, on funktsioon lõpmatult suur. Lõpmatult väikese ja lõpmata suure funktsiooni suhet saab väljendada sümboolselt: Kui lõpmata väikesel funktsioonil on teatud märk kohas , see tähendab, et see on positiivne (või negatiivne) punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal, siis saame selle kirjutada järgmiselt: Siis saab sümboolset seost lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide vahel täiendada järgmiste seostega: Täiendavad valemid lõpmatuse sümbolite kohta leiate lehelt Olgu funktsioon lõpmatult suur: Võtame suvalise jada, mis läheneb . Seejärel, alates mõnest arvust N, kuuluvad jada elemendid sellesse naabruskonda: Funktsiooni piiri määratluse järgi Heine järgi, Kinnistu on tõendatud. Viited: Vaatleme nüüd lõpmatu geomeetrilise progressiooni liitmise küsimust. Nimetagem antud lõpmatu progressiooni osasummat selle esimeste liikmete summaks. Tähistame osasummat sümboliga Iga lõpmatu edenemise jaoks selle osasummadest saab koostada (ka lõpmatu) jada Olgu piiramatu kasvuga jadal piirang Sel juhul nimetatakse arvu S, st progressiooni osasummade piiri, lõpmatu progressiooni summaks. Tõestame, et lõpmatul kahaneval geomeetrilisel progressioonil on alati summa ja tuletame selle summa valemi (saame ka näidata, et kui lõpmatul progressioonil pole summat, siis seda pole olemas). Kirjutame osasumma avaldise progressiooni liikmete summaks valemi (91.1) abil ja arvestame osasumma piiriks Teoreemist 89 on teada, et kahaneva progressiooni korral; seetõttu leiame erinevuse piirteoreemi rakendades (siin kasutatakse ka reeglit: konstantne tegur võetakse piirmärgist kaugemale). Eksisteerimine on tõestatud ja samal ajal saadakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa valem: Võrdsuse (92,1) saab kirjutada ka vormis Siin võib tunduda paradoksaalne, et lõpmatu arvu terminite summale omistatakse väga kindel lõplik väärtus. Selle olukorra selgitamiseks võib anda selge illustratsiooni. Vaatleme ruutu, mille külg on võrdne ühega (joonis 72). Jagage see ruut horisontaalse joonega kaheks võrdseks osaks ja kinnitage ülemine osa alumise külge, nii et moodustub ristkülik külgedega 2 ja . Pärast seda jagame selle ristküliku parema poole uuesti horisontaaljoonega pooleks ja kinnitame ülemise osa alumise külge (nagu on näidatud joonisel 72). Seda protsessi jätkates muudame pidevalt algse ruudu, mille pindala on 1, võrdseteks kujunditeks (võttes harvendavate astmetega trepi kuju). Selle protsessi lõpmatu jätkumisega jaotatakse kogu ruudu pindala lõpmatuks arvuks liikmeteks - ristkülikute pindaladeks, mille alused on 1 ja kõrgused. Ristkülikute pindalad moodustavad täpselt lõpmatu kahaneva progressiooni, selle summa st nagu arvata võib, võrdne väljaku pindalaga. Näide. Leidke järgmiste lõpmatute progressioonide summad: Lahendus a) Märkame, et see progressioon Seetõttu leiame valemi (92.2) abil b) Siin tähendab see seda, et sama valemi (92.2) abil saame c) Leiame, et sellel progressioonil pole seega summat. Lõikes 5 on näidatud lõpmatult kahaneva progresseerumise liikmete summa valemi rakendamine perioodilise kümnendmurru teisendamiseks harilikuks murruks. 1. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa on 3/5 ja selle nelja esimese liikme summa on 13/27. Leidke progressiooni esimene liige ja nimetaja. 2. Leidke neli arvu, mis moodustavad vahelduva geomeetrilise progressiooni, mille teine liige on esimesest 35 võrra väiksem ja kolmas 560 võrra suurem kui neljas. 3. Näidake, et kui jada moodustab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, siis jada mis tahes jaoks moodustab see lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni. Kas see väide peab paika, millal Tuletage geomeetrilise progressiooni liikmete korrutise valem. Esimene tase Niisiis, istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks: Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul on neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, kumb teine ja nii kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast: Numbrite jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri. Näiteks meie jada jaoks: Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu ka th number) on alati sama. Numbriga arvu nimetatakse jada n-ndaks liikmeks. Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: . Meie puhul: Levinumad progressioonitüübid on aritmeetiline ja geomeetriline. Selles teemas räägime teisest tüübist - geomeetriline progressioon. Juba iidsetel aegadel tegeles kaubanduse praktiliste vajadustega Itaalia matemaatik munk Leonardo Pisast (tuntud paremini Fibonacci nime all). Munga ees seisis ülesanne kindlaks teha, milline on väikseim raskuste arv, millega saab toodet kaaluda? Fibonacci tõestab oma töödes, et selline kaalude süsteem on optimaalne: See on üks esimesi olukordi, kus inimesed pidid tegelema geomeetrilise progressiooniga, millest olete ilmselt juba kuulnud ja millest teil on vähemalt üldine arusaam. Kui olete teemast täielikult aru saanud, mõelge, miks selline süsteem on optimaalne? Praegu avaldub elupraktikas geomeetriline progressioon raha panka paigutamisel, kui eelmise perioodi eest kontole kogunenud summalt koguneb intressisumma. Ehk kui panna raha hoiukassasse tähtajalisele hoiusele, siis aasta pärast suureneb hoius esialgse summa võrra, s.t. uus summa võrdub sissemakse korrutisega. Teisel aastal suureneb see summa võrra, s.o. sel ajal saadud summa korrutatakse uuesti jne. Sarnast olukorda kirjeldatakse ka nn. arvutamise ülesannetes liitintress- protsent võetakse iga kord kontol olevast summast, võttes arvesse eelnevat intressi. Nendest ülesannetest räägime veidi hiljem. Geomeetrilise progressiooni rakendamisel on palju lihtsamaid juhtumeid. Näiteks gripi levik: üks inimene nakatas teise inimese, nemad omakorda teise inimese ja seega on teiseks nakatumislaineks inimene ja nemad omakorda nakatas teise... ja nii edasi. . Muide, finantspüramiid, seesama MMM, on lihtne ja kuiv arvutus, mis põhineb geomeetrilise progressiooni omadustel. Huvitav? Selgitame välja. Oletame, et meil on numbrijada: Vastate kohe, et see on lihtne ja sellise jada nimi on aritmeetiline progressioon koos selle liikmete erinevusega. Kuidas see tundub: Kui lahutate eelmisest arvust järgmisest arvust, näete, et iga kord, kui saate uue erinevuse (ja nii edasi), kuid jada on kindlasti olemas ja seda on lihtne märgata - iga järgnev arv on kordades suurem kui eelmine! Seda tüüpi numbrijada nimetatakse geomeetriline progressioon ja on määratud. Geomeetriline progressioon () on arvuline jada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks. Piirangud, et esimene liige ( ) ei ole võrdne ega ole juhuslik. Oletame, et neid pole ja esimene liige on ikkagi võrdne ja q on võrdne, hmm.. olgu, siis selgub: Nõus, et see pole enam edasiminek. Nagu te mõistate, saame samad tulemused, kui on mõni muu arv kui null, a. Nendel juhtudel progresseerumist lihtsalt ei toimu, kuna kogu numbriseeria on kas kõik nullid või üks arv ja kõik ülejäänud on nullid. Nüüd räägime üksikasjalikumalt geomeetrilise progressiooni nimetajast, see tähendab o. Kordame: - see on number mitu korda iga järgnev termin muutub? geomeetriline progressioon. Mis see teie arvates olla võiks? See on õige, positiivne ja negatiivne, kuid mitte null (me rääkisime sellest veidi kõrgemal). Oletame, et meie oma on positiivne. Olgu meie puhul a. Mis on teise liikme väärtus ja? Sellele saate hõlpsalt vastata: See on õige. Seega, kui, siis on kõigil järgnevatel edenemise terminitel sama märk - nad on positiivsed. Mis siis, kui see on negatiivne? Näiteks a. Mis on teise liikme väärtus ja? See on täiesti erinev lugu Proovige selle edenemise tingimusi kokku lugeda. Kui palju sa said? Mul on. Seega, kui, siis geomeetrilise progressiooni liikmete märgid vahelduvad. See tähendab, et kui näete selle liikmete vahelduvate märkidega progressi, on selle nimetaja negatiivne. Need teadmised aitavad teil end proovile panna selleteemaliste probleemide lahendamisel. Nüüd harjutame veidi: proovige kindlaks teha, millised arvujadad on geomeetriline ja millised aritmeetiline progressioon: Sain aru? Võrdleme oma vastuseid: Pöördume tagasi oma viimase progressiooni juurde ja proovime leida selle liiget, nagu aritmeetilises. Nagu võite arvata, on selle leidmiseks kaks võimalust. Korrutame iga liikme järjestikku arvuga. Niisiis, kirjeldatud geomeetrilise progressiooni liige on võrdne. Nagu juba arvasite, tuletate nüüd ise valemi, mis aitab teil leida geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme. Või olete selle juba enda jaoks välja töötanud, kirjeldades, kuidas samm-sammult liiget leida? Kui jah, siis kontrollige oma arutluskäigu õigsust. Illustreerime seda näitega, kuidas leida selle progressiooni th liige: Teisisõnu: Leia ise antud geomeetrilise progressiooni liikme väärtus. Juhtus? Võrdleme oma vastuseid: Pange tähele, et saite täpselt sama arvu kui eelmises meetodis, kui korrutasime järjestikku geomeetrilise progressiooni iga eelmise liikmega. Tuletatud valem kehtib kõigi väärtuste kohta - nii positiivsete kui ka negatiivsete. Kontrollige seda ise, arvutades geomeetrilise progressiooni liikmed järgmistel tingimustel: , a. Kas sa lugesid? Võrdleme tulemusi: Nõus, et progresseerumise liiget oleks võimalik leida samamoodi kui liiget, kuid on võimalus, et arvutatakse valesti. Ja kui oleme juba leidnud geomeetrilise progressiooni th liikme, siis mis saaks olla lihtsam kui kasutada valemi "kärbitud" osa. Hiljuti rääkisime sellest, et see võib olla nullist suurem või väiksem, kuid on olemas eriväärtused, mille puhul nimetatakse geomeetrilist progressiooni. lõpmatult väheneb. Miks sa arvad, miks see nimi on antud? Näeme, et iga järgnev liige on teguri võrra väiksem kui eelmine, kuid kas seal on mõni arv? Vastate kohe - "ei". Sellepärast see lõpmatult väheneb – väheneb ja väheneb, kuid ei muutu kunagi nulliks. Et selgelt mõista, kuidas see visuaalselt välja näeb, proovime joonistada oma edenemise graafikut. Niisiis, meie puhul on valem järgmine: Graafikutel oleme harjunud joonistama sõltuvust, seega: Avaldise olemus pole muutunud: esimeses kirjes näitasime geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse sõltuvust selle järgarvust ja teises kirjes võtsime lihtsalt geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse kui , ja tähistas järjekorranumbrit mitte kui, vaid kui. Kõik, mis tuleb teha, on graafiku koostamine. Kas sa näed? Funktsioon väheneb, kaldub nulli, kuid ei ületa seda kunagi, seega on see lõpmatult vähenev. Märgime graafikule oma punktid ja samal ajal koordinaadi ja tähenduse: Proovige skemaatiliselt kujutada geomeetrilise progressiooni graafikut, kui selle esimene liige on samuti võrdne. Analüüsige, mis vahe on meie eelmisest graafikust? Kas said hakkama? Siin on graafik, mille ma välja mõtlesin: Nüüd, kui olete geomeetrilise progressiooni teema põhitõdesid täielikult mõistnud: teate, mis see on, teate, kuidas selle liiget leida ja teate ka, mis on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, liigume edasi selle põhiomaduse juurde. Kas mäletate aritmeetilise progressiooni liikmete omadust? Jah, jah, kuidas leida progressiooni teatud arvu väärtust, kui selle progressiooni tingimuste eelnevad ja järgnevad väärtused on olemas. Kas sa mäletad? See: Nüüd seisame silmitsi täpselt sama küsimusega geomeetrilise progressiooni terminite kohta. Sellise valemi tuletamiseks alustame joonistamist ja arutlemist. Näete, see on väga lihtne ja kui unustate, saate selle ise välja saada. Võtame veel ühe lihtsa geomeetrilise progressiooni, milles teame ja. Kuidas leida? Aritmeetilise progressiooniga on see lihtne ja lihtne, aga kuidas on siin? Tegelikult pole ka geomeetrias midagi keerulist - tuleb lihtsalt iga meile antud väärtus valemi järgi kirja panna. Võite küsida, mida me sellega nüüd tegema peaksime? Jah, väga lihtne. Esmalt kujutame neid valemeid pildil ja proovime nendega erinevaid manipulatsioone teha, et väärtuseni jõuda. Abstraheerigem meile antud arvudest, keskendugem ainult nende väljendamisele läbi valemi. Peame leidma oranžiga esiletõstetud väärtuse, teades sellega külgnevaid termineid. Proovime nendega teha erinevaid toiminguid, mille tulemusena saame. Lisand. Sellest väljendist, nagu näete, ei saa me seda kuidagi väljendada, seetõttu proovime teist võimalust - lahutamist. Lahutamine. Nagu näete, ei saa me ka seda väljendada, seetõttu proovime neid väljendeid üksteisega korrutada. Korrutamine. Vaadake nüüd hoolikalt, mis meil on, korrutades meile antud geomeetrilise progressiooni tingimused võrreldes sellega, mida on vaja leida: Arva ära, millest ma räägin? Õigesti, et leida, peame võtma soovitud numbriga külgnevate geomeetriliste progressioonide arvude ruutjuure, korrutatuna üksteisega: Palun. Te ise tuletasite geomeetrilise progressiooni omaduse. Proovige see valem kirjutada üldkujul. Juhtus? Kas unustasite tingimuse? Mõelge, miks see oluline on, näiteks proovige see ise arvutada. Mis sel juhul juhtub? See on õige, täielik jama, sest valem näeb välja selline: Seetõttu ärge unustage seda piirangut. Nüüd arvutame, millega see võrdub Õige vastus -! Kui sa ei unustanud arvutamise käigus teist võimalikku väärtust, siis oled suurepärane ja võid kohe trenniga edasi minna ja kui ununes, siis loe allpool juttu ja pane tähele, miks on vaja mõlemad juured üles kirjutada vastuses. Joonistame mõlemad oma geomeetrilised progressioonid – üks väärtusega ja teine väärtusega ning kontrollime, kas mõlemal on õigus eksisteerida: Selleks, et kontrollida, kas selline geomeetriline progressioon on olemas või mitte, tuleb vaadata, kas kõik selle antud liikmed on samad? Arvutage q esimese ja teise juhtumi jaoks. Vaadake, miks me peame kirjutama kaks vastust? Sest otsitava termini märk sõltub sellest, kas see on positiivne või negatiivne! Ja kuna me ei tea, mis see on, peame kirjutama mõlemad vastused pluss- ja miinusmärgiga. Nüüd, kui olete omandanud põhipunktid ja tuletanud geomeetrilise progressiooni omaduse valemi, leidke, teadke ja Võrrelge oma vastuseid õigete vastustega: Mis te arvate, mis siis, kui meile ei antaks soovitud arvuga külgneva geomeetrilise progressiooni liikmete väärtused, vaid sellest võrdsel kaugusel. Näiteks peame leidma, ja antud ja. Kas saame antud juhul kasutada tuletatud valemit? Proovige seda võimalust kinnitada või ümber lükata samal viisil, kirjeldades, millest iga väärtus koosneb, nagu tegite valemi algsel tuletamisel at. Vaata nüüd uuesti hoolega. Sellest võime järeldada, et valem töötab mitte ainult naabritega geomeetrilise progressiooni soovitud liikmetega, aga ka koos võrdsel kaugusel sellest, mida liikmed otsivad. Seega on meie esialgne valem järgmine: See tähendab, et kui esimesel juhul me seda ütlesime, siis nüüd ütleme, et see võib olla võrdne mis tahes väiksema naturaalarvuga. Peaasi, et see on mõlema antud numbri puhul sama. Harjutage konkreetsete näidetega, olge lihtsalt äärmiselt ettevaatlik! Otsustas? Loodan, et olite äärmiselt tähelepanelik ja märkasite väikest saaki. Võrdleme tulemusi. Kahel esimesel juhul rakendame rahulikult ülaltoodud valemit ja saame järgmised väärtused: Kolmandal juhul saame meile antud numbrite seerianumbrite hoolika uurimise põhjal aru, et need ei asu otsitavast numbrist võrdsel kaugusel: see on eelmine number, kuid on eemaldatud ühest kohast, seega valemit ei ole võimalik rakendada. Kuidas seda lahendada? Tegelikult pole see nii raske, kui tundub! Paneme kirja, millest iga meile antud ja otsitav number koosneb. Nii et meil on ja. Vaatame, mida saame nendega teha? Soovitan jagada. Saame: Asendame oma andmed valemiga: Järgmine samm, mille saame leida, on - selleks peame võtma saadud arvu kuupjuure. Vaatame nüüd uuesti, mis meil on. Meil on see olemas, kuid me peame selle leidma ja see omakorda võrdub: Leidsime kõik arvutamiseks vajalikud andmed. Asendage valemis: Meie vastus: . Proovige mõnda muud sarnast probleemi ise lahendada: Kui palju sa said? Mul on - . Nagu näete, sisuliselt vajate mäleta ainult ühte valemit- . Ülejäänu saate igal ajal ilma raskusteta ise välja võtta. Selleks kirjutage lihtsalt paberile lihtsaim geomeetriline progressioon ja kirjutage ülalkirjeldatud valemi järgi üles, millega iga selle arv on võrdne. Vaatame nüüd valemeid, mis võimaldavad meil kiiresti arvutada geomeetrilise progressiooni liikmete summa antud intervallis: Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemi tuletamiseks korrutage ülaltoodud võrrandi kõik osad arvuga. Saame: Vaadake hoolikalt: mis on kahel viimasel valemil ühist? See on õige, näiteks tavaliikmed ja nii edasi, välja arvatud esimene ja viimane liige. Proovime 2. võrrandist 1. lahutada. Mis sa said? Nüüd väljendage geomeetrilise progressiooni terminit valemi kaudu ja asendage saadud avaldis meie viimase valemiga: Rühmitage väljend. Peaksite saama: Kõik, mis tuleb teha, on väljendada: Vastavalt sellele antud juhul. Mis siis kui? Mis valem siis töötab? Kujutage ette geomeetrilist progressiooni punktis. Milline ta on? Identsete numbrite seeria on õige, seega näeb valem välja järgmine: Nii aritmeetilise kui ka geomeetrilise progressiooni kohta on palju legende. Üks neist on legend Setist, male loojast. Paljud teavad, et malemäng leiutati Indias. Kui Hindu kuningas teda kohtas, rõõmustas ta naise teravmeelsusest ja tema võimalike ametikohtade mitmekesisusest. Saanud teada, et selle leiutas üks tema alamatest, otsustas kuningas teda isiklikult premeerida. Ta kutsus leiutaja enda juurde ja käskis tal küsida kõike, mida ta tahtis, lubades täita ka kõige osavama soovi. Seta palus mõtlemisaega ja kui Seta järgmisel päeval kuninga ette ilmus, üllatas ta kuningat oma palve enneolematu tagasihoidlikkusega. Ta palus malelaua esimesele ruudule anda nisutera, teise nisutera, kolmanda, neljanda jne. Kuningas vihastas ja ajas Seti minema, öeldes, et sulase taotlus ei vääri kuninga suuremeelsust, kuid lubas, et sulane saab oma terad kõigi laua ruutude eest. Ja nüüd küsimus: arvutage geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutades, mitu tera peaks Seth saama? Alustame arutluskäiku. Kuna vastavalt tingimusele küsis Seth nisutera malelaua esimesele ruudule, teisele, kolmandale, neljandale jne, siis näeme, et probleem on geomeetrilises progressioonis. Millega see antud juhul võrdub? Malelaua ruutude koguarv. Vastavalt,. Meil on kõik andmed olemas, jääb üle vaid need valemiga ühendada ja arvutada. Et kujutada ette antud arvu "skaala" vähemalt ligikaudselt, teisendame astme omaduste abil: Muidugi, kui tahad, võid võtta kalkulaatori ja arvutada, mis numbrini sa lõpuks saad, ja kui ei, siis pead jääma minu sõnale: avaldise lõppväärtus on. kvintiljon kvadriljon triljon miljardit miljonit tuhat. Phew) Kui soovite ette kujutada selle arvu tohutut suurust, siis hinnake, kui suurt ait oleks vaja kogu viljakoguse mahutamiseks. Kui kuningas oleks olnud tugev matemaatikas, oleks ta võinud kutsuda teadlase enda terasid kokku lugema, sest miljoni tera kokkulugemiseks oleks tal vaja vähemalt päeva väsimatut loendamist ja arvestades, et on vaja lugeda kvintiljoneid, terad tuleks lugeda kogu tema elu jooksul. Nüüd lahendame lihtsa ülesande, mis hõlmab geomeetrilise progressiooni liikmete summat. Niisiis, geomeetrilise progressiooni esimene liige on Vasja, see tähendab inimene. Geomeetrilise progressiooni kolmas liige on kaks inimest, keda ta nakatas esimesel saabumise päeval. Edasijõudnute kogusumma võrdub 5A õpilaste arvuga. Sellest lähtuvalt räägime progressist, milles: Asendame oma andmed geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemis: Terve klass jääb mõne päevaga haigeks. Ei usu valemeid ja numbreid? Proovige ise kujutada õpilaste "nakatumist". Juhtus? Vaata, kuidas see minu jaoks välja näeb: Arvutage ise, mitu päeva kuluks õpilastel grippi haigestumiseks, kui igaüks nakatab inimese ja klassis oli ainult üks inimene. Mis väärtuse sa said? Selgus, et kõik hakkasid päevapealt haigeks jääma. Nagu näete, sarnaneb selline ülesanne ja selle joonis püramiidiga, kuhu iga järgnev "toob" uusi inimesi. Ent varem või hiljem saabub hetk, mil viimane ei suuda kedagi meelitada. Meie puhul, kui kujutame ette, et klass on isoleeritud, sulgeb isik ahelast (). Seega, kui inimene oleks seotud finantspüramiidiga, milles raha anti, kui tõite kaasa veel kaks osalejat, siis inimene (või üldiselt) ei tooks kedagi, seega kaotaks see kõik, mis ta sellesse finantskelmusesse investeeris. Kõik ülal öeldu viitab kahanevale või suurenevale geomeetrilisele progressioonile, kuid nagu mäletate, on meil eritüüp – lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. Kuidas arvutada selle liikmete summa? Ja miks on seda tüüpi progresseerumisel teatud omadused? Arutame selle koos välja. Niisiis, kõigepealt vaatame uuesti seda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni joonist meie näitest: Vaatame nüüd veidi varem tuletatud geomeetrilise progressiooni summa valemit: Mille poole me püüdleme? See on õige, graafik näitab, et see kipub nulli. See tähendab, et at, on vastavalt peaaegu võrdne, avaldise arvutamisel saame peaaegu. Sellega seoses usume, et lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa arvutamisel võib selle sulg tähelepanuta jätta, kuna see on võrdne. - valem on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa. TÄHTIS! Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutame ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma summa lõpmatu liikmete arv. Kui on määratud konkreetne arv n, siis kasutame n liikme summa valemit, isegi kui või. Nüüd harjutame. Loodan, et olite äärmiselt ettevaatlik. Võrdleme oma vastuseid: Nüüd teate geomeetrilisest progressioonist kõike ja on aeg liikuda teoorialt praktikale. Kõige tavalisemad eksamil esinevad geomeetrilise progressiooni probleemid on liitintressi arvutamise probleemid. Need on need, millest me räägime. Olete ilmselt kuulnud niinimetatud liitintressi valemist. Kas saate aru, mida see tähendab? Kui ei, siis mõtleme selle välja, sest kui mõistate protsessi ennast, saate kohe aru, mis geomeetrilisel progressioonil sellega pistmist on. Me kõik läheme panka ja teame, et hoiustele kehtivad erinevad tingimused: see sisaldab tähtaega, lisateenuseid ja intressi kahel erineval arvutamisviisil - lihtsal ja keerulisel. KOOS lihtne huvi kõik on enam-vähem selge: intressi koguneb üks kord hoiutähtaja lõpus. See tähendab, et kui me ütleme, et deponeerime 100 rubla aastaks, siis need krediteeritakse alles aasta lõpus. Vastavalt sellele saame sissemakse lõpuks rublad kätte. Liitintress- see on valik, milles see esineb intressi kapitaliseerimine, st. nende lisamine hoiusummale ja hilisem tulu arvestamine mitte esialgselt, vaid kogunenud hoiusesummalt. Suurtähtede kasutamine ei toimu pidevalt, vaid teatud sagedusega. Reeglina on sellised perioodid võrdsed ja kõige sagedamini kasutavad pangad kuud, kvartalit või aastat. Oletame, et deponeerime iga-aastaselt samu rublasid, kuid igakuise sissemakse kapitaliseerimisega. Mida me teeme? Kas sa saad siin kõigest aru? Kui ei, siis mõtleme selle samm-sammult välja. Tõime rublad panka. Kuu lõpuks peaks meie kontol olema summa, mis koosneb meie rubladest ja intressidest, mis on: Nõus? Saame selle sulgudest välja võtta ja siis saame: Nõus, see valem on juba sarnasem sellele, mida me alguses kirjutasime. Jääb üle vaid protsendid välja mõelda Probleemiavalduses räägitakse meile aastamääradest. Nagu teate, me ei korruta - teisendame protsendid kümnendmurrudeks, see tähendab: eks? Nüüd võite küsida, kust see number pärit on? Väga lihtne! Sai aru? Proovige nüüd kirjutada, kuidas see valemi osa välja näeks, kui ma ütleksin, et intressi arvestatakse iga päev. Hästi tehtud! Tuleme tagasi oma ülesande juurde: kirjutage, kui palju laekub meie kontole teisel kuul, arvestades, et kogunenud hoiuse summalt koguneb intress. Või teisisõnu: Ma arvan, et olete juba märganud mustrit ja näinud selles kõiges geomeetrilist progressiooni. Kirjutage, millega selle liige võrdub ehk teisisõnu, millise rahasumma me kuu lõpus saame. Nagu näha, kui paned aastaks lihtintressiga raha panka, siis saad rublasid ja kui liitintressiga, siis rublasid. Kasu on väike, kuid see juhtub ainult aasta jooksul, kuid pikema perioodi jooksul on kapitaliseerimine palju tulusam: Vaatame teist tüüpi probleeme, mis hõlmavad liitintressi. Pärast seda, mida olete välja mõelnud, on see teie jaoks elementaarne. Niisiis, ülesanne: Ettevõte Zvezda alustas tööstusesse investeerimist 2000. aastal, kapitali dollarites. Alates 2001. aastast on see igal aastal saanud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. Kui palju kasumit saab ettevõte Zvezda 2003. aasta lõpus, kui kasumit ringlusest ei eemaldata? Firma Zvezda kapital 2000. aastal. Või kirjutame lühidalt: Meie juhtumi jaoks: 2000, 2001, 2002 ja 2003. Vastused: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Geomeetriline progressioon ( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks. 2) Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand on . 3) võib võtta mis tahes väärtusi, välja arvatud ja. 4) , - geomeetrilise progressiooni omadus (külgnevad terminid) või Kui leiate selle, ärge unustage seda peaks olema kaks vastust. Näiteks, 5) Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga: Kui progresseerumine väheneb lõpmatult, siis: TÄHTIS! Me kasutame lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma lõpmatu arvu liikmete summa. 6) Liitintressi ülesandeid arvutatakse ka geomeetrilise progressiooni 00. liikme valemiga, eeldusel, et raha ei ole ringlusest välja võetud: Geomeetriline progressioon( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda numbrit kutsutakse geomeetrilise progressiooni nimetaja. Geomeetrilise progressiooni nimetaja võib võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud ja. Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand - . Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
Ülesanne leida progressiooni esimene liige
Zenoni kuulus paradoks kiire Achilleuse ja aeglase kilpkonnaga
Infinitesimaalsete ja lõpmata väikeste funktsioonide definitsioonid
Funktsioon α (x) helistas lõpmatult väike nagu x kipub x-le 0
0
, ja see on võrdne nulliga:
.
Funktsioon f (x) helistas lõpmatult suur nagu x kipub x-le 0
, kui funktsiooni limiit on x → x 0
, ja see on võrdne lõpmatusega:
.
Lõpmata väikeste funktsioonide omadused
,
kus on lõpmata väike funktsioon x → x 0
.
Lõpmatult suurte funktsioonide omadused
.
,
ja funktsioon on lõpmatult väike kui x → x 0
:
,
ja seal on torgatud naabruses punkt, mille kohta Siis
.
,
ja funktsioonid ja , mõnel punkti naabruskonnal rahuldavad ebavõrdsust:
,
siis on funktsioon samuti lõpmatult suur:
.
.
Siis kui , siis ja .
Kui , siis ja .Lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vaheline seos
,
.
.
Samamoodi, kui lõpmata suurel funktsioonil on teatud märk kohas , kirjutavad nad:
või .
,
,
,
.
"Punktid lõpmatuses ja nende omadused."Omaduste ja teoreemide tõestamine
Piiratud funktsiooni ja lõpmata väikese korrutise teoreemi tõestus
.
Ja olgu punkt, millel on torgatud naabruskond
aadressil .
aadressil .
Siis
aadressil .
.
Seejärel lõpmata suurte jadade võrratuste omaduse järgi
.
Kuna jada on suvaline, koondudes , siis funktsiooni piiri definitsiooni järgi Heine järgi,
.
L.D. Kudrjavtsev. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 2003.
Harjutused
Geomeetriline progressioon. Põhjalik näidetega juhend (2019)
Numbrite jada
Miks on vaja geomeetrilist progressiooni ja selle ajalugu?
Geomeetriline progressioon.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" - paneme selle üldisesse vormi ja saame:Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon.
Kõigepealt paneme kirja mõne terminitest koosneva geomeetrilise progressiooni.
Ütleme siis:
Vaatame, mis sul on. Siin on graafik, mille ma välja mõtlesin:
Geomeetrilise progressiooni omadus.
Proovime lisada kaks väljendit ja saame:
Mis sa said?
ja vastavalt:
Arvestades: ,
Leia:Geomeetrilise progressiooni liikmete summa.
Õige.
See on:
Kui ait on m kõrge ja m lai, peaks selle pikkus ulatuma km, s.o. kaks korda kaugemal kui Maast Päikeseni.
Vasja 5A klassi õpilane haigestus grippi, kuid jätkab koolis käimist. Iga päev nakatab Vasya kahte inimest, kes omakorda nakatavad veel kahte inimest jne. Klassis on ainult inimesed. Mitme päeva pärast jääb kogu klass grippi haigeks?
või
Probleemid liitintressi arvutamisel.
Kordan: probleemipüstitus ütleb umbes AASTAARUANNE kogunevad intressid IGAKUINE. Nagu teate, võtab pank aasta kuu pärast meilt osa iga-aastasest intressist kuus:
Kas said hakkama? Võrdleme tulemusi:
Siin on see, mida ma sain:
Kas? Kontrollime!
- ettevõtte Zvezda kapital 2001. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2002. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2003. aastal.
Vastavalt:
rubla
Pange tähele, et selles ülesandes ei ole meil jaotust ei poolt ega poolt, kuna protsent antakse AASTA ja seda arvutatakse AASTA. See tähendab, et liitintressi probleemi lugemisel pöörake tähelepanu sellele, milline protsent on antud ja millisel perioodil see arvutatakse, ning alles siis jätkake arvutustega.
Nüüd teate kõike geomeetrilisest progressioonist.Koolitus.
MDM kapitaliettevõte:
- suureneb 100%, see tähendab 2 korda.
Vastavalt:
rubla
MSK rahavoogude ettevõte:
- suureneb kordades.
Vastavalt:
rubla
rublaTeeme kokkuvõtte.
, juures (võrdkaugel terminid)
või
võiGEOMEETRILINE EDENDAMINE. LÜHIDALT PEAMISEST
või