Plaan:

Sissejuhatus

• 1 Seeria esimese n liikme summa
  • 1.1 Mõned osalised summad
  • 1.2 Euleri valem
  • 1.3 Osasummade arvuteoreetilised omadused
• 2 Seeriate lähenemine
  • 2.1 Oresme tõestus
  • 2.2 Alternatiivne tõend lahknevuse kohta
• 3 Osalised summad
• 4 lingitud rida
  • 4.1 Dirichlet seeria
  • 4.2 Vahelduvad seeriad
  • 4.3 Juhuslikud harmoonilised seeriad
  • 4.4 “Õhendatud” harmooniliste seeria
Märkmed

Sissejuhatus

Matemaatikas on harmooniline jada summa, mis koosneb lõpmatust arvust liikmetest, naturaalridade järjestikuste arvude pöördarvudest:

.

Sari kannab nime harmooniline, kuna iga selle liige, alates teisest, on kahe naaberliikme harmooniline keskmine.

1. Rea esimese n liikme summa

Sarja üksikud liikmed kipuvad nulli jõudma, kuid nende summa läheb lahku. Harmoonilise jada n-s osasumma s n on n-s harmooniline arv:

1.1. Mõned osalised summad

1.2. Euleri valem

1740. aastal sai L. Euler rea esimese n liikme summa jaoks asümptootilise avaldise:

,

kus on Euleri-Mascheroni konstant ja ln on naturaallogaritm.

Seega, kui väärtus on suure n jaoks:

- Euleri valem harmooniliste jada esimese n liikme summa kohta.

1.3. Osasummade arvuteoreetilised omadused

2. Rea konvergents

juures

Harmooniliste jada lahkneb väga aeglaselt (selleks, et osasumma ületaks 100, on vaja umbes 10 43 seeria elementi).

Harmooniliste seeriate erinevust saab näidata, võrreldes seda teleskoopseeriaga:

,

mille osasumma on ilmselt võrdne:

.

2.1. Oresme tõestus

Lahknevuse tõendi saab koostada, rühmitades terminid järgmiselt:

Viimane rida läheb ilmselgelt lahku. See tõend pärineb keskaegselt teadlaselt Nicholas Oremilt (umbes 1350).

2.2. Alternatiivne tõend lahknevuse kohta

Oletame, et harmooniliste jada koondub summale:

Seejärel murrud ümber paigutades saame:

Võtame selle teisest sulust välja:

Asendage teine ​​sulg järgmisega:

Liigutame selle vasakule küljele:

Asendame seeria summa tagasi:

See võrrand on ilmselgelt vale, kuna üks on suurem kui pool, üks kolmandik on suurem kui üks neljandik ja nii edasi. Seega on meie eeldus ridade lähenemise kohta vale ja seeria lahkneb.

ei ole võrdne 0-ga, sest iga sulg on positiivne.

See tähendab, et S on lõpmatus ja meie toimingud selle liitmiseks või lahutamiseks võrdsuse mõlemalt poolelt on vastuvõetamatud.

3. Osalised summad

n harmooniliste ridade osasumma,

helistas n-th harmooniline arv.

Erinevus vahel n harmooniline arv ja naturaallogaritm n koondub Euleri-Mascheroni konstandile.

Erinevus erinevate harmooniliste arvude vahel ei ole kunagi võrdne täisarvuga ja ühegi harmoonilise arvuga, välja arvatud H 1 = 1 ei ole täisarv.

4. Lingitud read

4.1. Dirichlet seeria

Üldistatud harmooniline jada (või Dirichlet' seeria) on jada

.

Üldistatud harmooniliste jada lahkneb α≤1 korral ja koondub α>1 korral.

Üldistatud harmooniliste ridade järku α summa on võrdne Riemanni zeta funktsiooni väärtusega:

Paarisarvude puhul väljendub see väärtus selgelt läbi arvu pi, näiteks , ja juba α=3 puhul on selle väärtus analüütiliselt teadmata.

4.2. Vahelduvad seeriad

Vahelduva harmoonilise jada (mustad segmendid) esimesed 14 osasummat, mis näitavad lähenemist naturaallogaritmile 2 (punane joon).

Erinevalt harmoonilistest seeriatest, milles kõik terminid on võetud plussmärgiga, on seeria

koondub Leibnizi kriteeriumi järgi. Seetõttu nad ütlevad, et sellisel sarjal on tingimuslik lähenemine. Selle summa on võrdne naturaallogaritmiga 2:

See valem on Mercatori seeria erijuhtum ( Inglise), Taylori seeria naturaallogaritmi jaoks.

Sarnase seeria võib saada Taylori seeriast arctangensi jaoks:

Seda tuntakse Leibnizi seeriana.

4.3. Juhuslikud harmoonilised seeriad

Biron Shmuland Alberta ülikoolist uuris juhusliku seeria omadusi

Kus s n sõltumatud, identselt jaotatud juhuslikud muutujad, mis võtavad väärtused +1 ja −1 sama tõenäosusega ½. Näidatakse, et selle summa tõenäosus on 1 ja seeria summa on huvitavate omadustega juhuslik suurus. Näiteks punktides +2 või -2 arvutatud tõenäosustiheduse funktsiooni väärtus on 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., mis erineb väärtusest -4 vähem kui 10. Shmulandi töö selgitab, miks see väärtus on 1/8 lähedal, kuid mitte sellega võrdne.

4.4. “Õhendatud” harmooniliste seeria

Kempneri seeria ( Inglise)

Kui vaadelda harmoonilist rida, millesse on jäänud ainult liikmed, mille nimetajad ei sisalda arvu 9, siis selgub, et ülejäänud summa koondub arvule<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

1.1. Arvurida ja selle summa

Definitsioon 1. Olgu antud numbrijada. Moodustame väljendi

(1)

mida nimetatakse numbriseeria. Numbrid kutsutakse numbri liikmed ja väljend
 ühine liige rida .

Näide 1. Leidke seeria ühine termin
.

juures
,

juures

Seda on lihtne mõista, et seeria ühine termin .

Seetõttu saab vajaliku seeria kirjutada järgmiselt

.

Koostame sel viisil seeria (1) liikmetest jada :

;

;

;

Selle jada iga liige esindab arvurea esimeste liikmete vastava arvu summat.

2. definitsioon. Esimese summa P nimetatakse seeria (1) liikmeid n - osaline summa numbriseeria .

3. määratlus. Numbriseeria helistas koonduv, Kui
, kus number helistas sarja summa ja kirjutage
. Kui

osasummade piir on lõpmatu või seda pole olemas, siis nimetatakse jada lahknev.

Näide 2. Kontrollige seeriat lähenemise suhtes
.

Selleks, et arvutada n- osaline summa kujutame ette üht levinud terminit
seeriad lihtmurdude summa kujul

Koefitsientide võrdlemine samadel kraadidel n, saame tundmatute koefitsientide jaoks lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi A Ja IN

Siit leiame selle
, A
.

Seetõttu on sarja üldmõistel vorm

Siis osaline summa saab esitada kujul

Pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist võtab see vormi

.

Arvutame seeriate summa

Kuna piirväärtus on võrdne lõpliku arvuga, siis see jada läheneb .

Näide 2. Kontrollige seeriat lähenemise suhtes

- lõpmatu geomeetriline progressioon.

Nagu teada, esimese summa P geomeetrilise progressiooni liikmed juures q 1 on võrdne
.

Siis on meil järgmised juhtumid :

1. Kui
, See

2. Kui
, See
, st. rida läheb lahku.

3. Kui
, siis tuleb sari siis ära näha
, st. rida läheb lahku.

4. Kui
, siis tuleb sari siis ära näha
, kui osasummas on paarisarv liikmeid ja
, kui arv on paaritu, st.
ei eksisteeri, seetõttu lahkneb seeria.

4. määratlus. Erinevus seeriate summa vahel S ja osaline summa helistas ülejäänud seeria ja on määratud
, st.
.

Kuna koonduvate seeriate jaoks
, See
,

need. saab olema b.m.v. juures
. Nii et väärtus on seeria summa ligikaudne väärtus.

Rea summa definitsioonist tulenevad koonduvate ridade omadused:

1. Kui read Ja koonduma, s.t. vastavad summad S Ja K, siis seeria koondub, kuhu
, ja selle summa on võrdne A S + B K.

2. Kui seeria läheneb , siis sellest saadud jada koondub

seeriaid, jättes või lisades lõpliku arvu termineid. Tõsi on ka vastupidine.

1.2. Vajalik lähenemise märk. Harmoonilised seeriad

Teoreem. Kui rida koondub, siis seeria ühine liige kipub olema null as
, st.
.

Tõepoolest, meil on

Siis , mida oli vaja tõestada.

Tagajärg. Kui
, siis seeria läheb lahku . Vastupidine ei ole üldiselt tõsi, nagu allpool näidatud.

Definitsioon 5. Vaata seeriat helistas harmooniline.

Selle seeria jaoks on vajalik omadus täidetud, kuna
.

Samal ajal on see lahknev. Näitame seda

Seega harmooniliste jada lahkneb.

2. teema : Piisavalt märke seeriate konvergentsist

positiivsete tingimustega

2.1. Võrdlusmärgid

Olgu antud kaks positiivsete tingimustega seeriat:

Võrdluse märk. Kui kõigi ridade (1) ja (2) liikmete puhul, alates teatud arvust, ebavõrdsus
ja seeria (2) koondub, siis koondub ka seeria (1). Samamoodi, kui
ja seeria (2) lahkneb, siis lahkneb ka seeria (1).

Lase Ja vastavalt ridade (1-2) osasummad ja K seeriate summa (2). Siis piisavalt suureks P meil on

Sest
ja siis piiratud
, st. seeria (1) koondub.

Märgi teine ​​osa on tõestatud sarnasel viisil.

Näide 3. Uurige seeriat lähenemise suhtes

.

Võrrelge sarja liikmetega
.

Alustades
, meil on
.

Alates sarjast koondub
, siis ka see seeria koondub.

Praktikas on sageli mugavam kasutada võrdluseks nn piiravat kriteeriumi, mis tuleneb eelmisest.

Võrdluse piir. Kui kahe positiivsete tingimustega seeria (1-2) puhul on tingimus täidetud

, See

ridade (1) konvergentsist järgneb seeriate (2) lähenemine ja seeriate (1) lahknemisest jada (2) lahknemisest , need. read käituvad samamoodi.

Näide 4. Uurige seeriat lähenemise suhtes
.

Võrdluseks võtame harmoonilised seeriad,

mis on lahknev.

ja seetõttu on meie seeriad erinevad.

Kommenteeri. Tihti on mugav kasutada nn üldistatud harmooniline rida , mis, nagu allpool näidatud, koondub punktiga
ja lahkneb kell
.

Harmoonilised seeriad- summa, mis koosneb lõpmatust arvust liikmetest, naturaalrea järjestikuste arvude pöördväärtustest:

texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1) (4) + \cdots +\frac(1) (k) + \cdots .

Seeria esimese n liikme summa

Sarja üksikud liikmed kipuvad nulli jõudma, kuid nende summa läheb lahku. Harmoonilise jada n-s osasumma s n on n-s harmooniline arv:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)

Mõned osalised summad

Euleri valem

Kell Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc tähenduses Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \varepsilon _n \rightarrow 0, seega suurtele Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc :

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Euleri valem esimese summa kohta Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi leiate jaotisest matemaatika/README.): n harmooniliste sarja liikmed.

Täpsem asümptootiline valem harmooniliste ridade osalise summa jaoks:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Kus Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): B_(2k)- Bernoulli numbrid.

See seeria lahkneb, kuid selle arvutuste viga ei ületa kunagi poolt esimesest kõrvalejäetud terminist.

Osasummade arvuteoreetilised omadused

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)

Sarjade lahknevus

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaata matemaatikat/README – abi seadistamisel.): s_n\rightarrow \infty juures Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): n\rightarrow \infty

Harmooniliste jada lahkneb väga aeglaselt (selleks, et osasumma ületaks 100, on vaja umbes 10 43 seeria elementi).

Harmooniliste seeriate erinevust saab näidata, võrreldes seda teleskoopseeriaga:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1) (n) ,

mille osasumma on ilmselt võrdne:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n .

Oresme tõestus

Lahknevuse tõendi saab koostada, rühmitades terminid järgmiselt:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.: \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \parem] + \vasak[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\parem] + \vasak[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\right] + \left[\frac(1) (4) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1) (8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1) (2)\ \ \ + \quad \frac(1) (2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1) (2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(joonda)

Viimane rida läheb ilmselgelt lahku. See tõend pärineb keskaegselt teadlaselt Nicholas Oremilt (umbes 1350).

Alternatiivne tõend lahknevuse kohta

Erinevus vahel Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi leiate jaotisest matemaatika/README.): n harmooniline arv ja naturaallogaritm Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi leiate jaotisest matemaatika/README.): n koondub Euleri-Mascheroni konstandile.

Erinevus erinevate harmooniliste arvude vahel ei ole kunagi võrdne täisarvuga ja ühegi harmoonilise arvuga, välja arvatud Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaata matemaatikat/README – abi seadistamisel.): H_1=1, ei ole täisarv.

Seotud sari

Dirichlet seeria

Üldistatud harmooniline jada (või Dirichlet' seeria) on jada

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots .

Üldistatud harmooniliste jada lahkneb juures Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \alpha \leqslant 1 ja koondub kell Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \alpha > 1 .

Üldistatud harmooniliste järjestuste summa Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \alpha võrdne Riemanni zeta funktsiooni väärtusega:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)

Paarisarvude puhul väljendatakse seda väärtust selgelt pi-na, näiteks Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), ja juba α=3 puhul on selle väärtus analüütiliselt teadmata.

Teine näide harmooniliste ridade lahknemisest võib olla seos Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n .

Vahelduvad seeriad

Erinevalt harmoonilistest seeriatest, milles kõik terminid on võetud plussmärgiga, on seeria

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaata matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.: 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

See valem on Mercatori seeria erijuhtum ( Inglise), Taylori seeria naturaallogaritmi jaoks.

Sarnase seeria võib tuletada Arktangensi Taylori seeriast:

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaata matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).

Seda suhet tuntakse Leibnizi seeriana.

Juhuslikud harmoonilised seeriad

2003. aastal uuriti juhusliku seeria omadusi

Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),

Kus Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaata matemaatikat/README – abi seadistamisel.): s_n- sõltumatud, identselt jaotatud juhuslikud muutujad, mis võtavad väärtused +1 ja -1 sama tõenäosusega ½. Näidatakse, et see jada läheneb tõenäosusega 1 ja seeria summa on huvitavate omadustega juhuslik suurus. Näiteks punktides +2 või -2 arvutatud tõenäosustiheduse funktsioonil on väärtus:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

erineb ⅛-st vähem kui 10–42.

“Õhendatud” harmooniliste seeria

Kempneri seeria ( Inglise)

Kui vaadelda harmoonilist rida, millesse on jäänud ainult liikmed, mille nimetajad ei sisalda arvu 9, siis selgub, et ülejäänud summa koondub arvule<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi leiate jaotisest matemaatika/README.): n, võetakse “hõrenenud” seeriate summaks järjest vähem termineid. See tähendab, et lõppkokkuvõttes jäetakse valdav enamus harmooniliste ridade summat moodustavatest terminitest kõrvale, et mitte ületada ülalt piiravat geomeetrilist progressiooni.

Kirjutage ülevaade artiklist "Harmoonilised seeriad"

Märkmed

Vaadake seda malli Jadad ja seeriad Jadad Rida, põhi Numbriseeria (toimingud numbriseeriaga) Funktsionaalne seeria Muud tüüpi read Ühinemise märgid Vaadake seda malli Märgid ridade konvergentsist Kõigi ridade jaoks Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum^\infty_(n=1)a_n Positiivsete märkide jaoks read Neile, kes võtavad kordamööda read Vormi ridade jaoks Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Vaadake matemaatikat/README – abi seadistamisel.): \sum^\infty_(n=1)a_n b_n Funktsiooniridade jaoks Fourier seeria jaoks

Katkend, mis iseloomustab sarja Harmonic

Kohutav päev hakkas lõppema. Istusin avatud akna ääres, ei tundnud ega kuulnud midagi. Maailm muutus minu jaoks tardunud ja rõõmutuks. Tundus, et ta eksisteeris eraldi, ei raatsinud teed mu väsinud ajju ega puudutanud mind kuidagi... Aknalaual mängides siplesid ikka veel rahutud “rooma” varblased. Alt kostis inimhääli ja tavalist päevakära, mis sagis linnas. Aga see kõik jõudis minuni läbi mingi väga tiheda “seina”, mis peaaegu ei lasknudki helisid läbi... Minu tavaline sisemaailm oli tühi ja kurt. Ta muutus täiesti võõraks ja tumedaks... Armsat, südamlikku isa polnud enam olemas. Ta järgnes Girolamole...
Aga mul oli ikkagi Anna. Ja ma teadsin, et pean elama selleks, et päästa vähemalt teda kogenud tapja käest, kes nimetas end "Jumala vikaariks", pühaks paavstiks... Raske oli isegi ette kujutada, kui Caraffa oleks lihtsalt tema "asekuningas, ” siis milliseks metsaliseks peab osutuma see tema armastatud Jumal?!. Üritasin oma "külmunud" olekust välja tulla, kuid nagu selgus, polnud see nii lihtne - keha ei allunud üldse, ei tahtnud ellu tulla ja väsinud Hing otsis ainult rahu. Siis, nähes, et midagi head ei õnnestu, otsustasin lihtsalt rahule jätta, lastes kõigel kulgeda omasoodu.
Ilma millelegi muule mõtlemata ja midagi otsustamata "lendasin lihtsalt minema" sinna, kuhu mu haavatud Hing püüdles, et saada päästetud... Puhata ja vähemalt natukene unustada, minnes kurjast "maisest" maailmast kaugele. sinna, kus valitses ainult valgus ...
Teadsin, et Caraffa ei jäta mind kuigi kauaks üksi, hoolimata sellest, mida ma just läbi elasin, vastupidi – ta arvab, et valu on mind nõrgestanud ja desarmeerinud ning võib-olla üritab ta mind sel hetkel alistuma sundida. mingisuguse – järjekordse hirmuäratava löögi andmine...
Päevad möödusid. Kuid minu suurimaks üllatuseks Caraffa ei ilmunud... See oli tohutu kergendus, kuid kahjuks ei lasknud see mul lõõgastuda. Sest iga hetk ootasin, millise alatuse tema tume, kuri hing minu jaoks välja mõtleb...
Valu tuhmus iga päevaga tasapisi, peamiselt tänu ootamatule ja rõõmsale juhtumile, mis juhtus paar nädalat tagasi ja jahmatas mind täielikult - mul oli võimalus oma surnud isa kuulda!..
Ma ei näinud teda, kuid ma kuulsin ja mõistsin iga sõna väga selgelt, nagu oleks isa minu kõrval. Alguses ma ei uskunud seda, arvates, et olen täielikust kurnatusest lihtsalt meeletu. Aga kõnet korrati... See oli tõepoolest isa.
Rõõmuga ei tulnud ma mõistusele ja kartsin ikka, et äkki, just nüüd, tõuseb ta lihtsalt püsti ja kaob!.. Aga isa ei kadunud. Ja olles veidi rahunenud, sain lõpuks talle vastata...
— Kas see oled tõesti sina!? Kus sa praegu oled?... Miks ma sind ei näe?
– Mu tütar... Sa ei näe, sest sa oled täiesti kurnatud, kallis. Anna näeb, et olin temaga. Ja sa näed, kallis. Teil on vaja lihtsalt aega rahuneda.
Puhas tuttav soojus levis üle kogu mu keha, ümbritsedes mind rõõmu ja valgusega...
- Kuidas läheb, isa!? Ütle mulle, kuidas see välja näeb, see teine ​​elu?.. Milline see on?
– Ta on imeline, kallis!.. Ainult et ta on ikka ebatavaline. Ja nii erinev meie kunagisest maisest!.. Siin elavad inimesed omas maailmas. Ja need on nii ilusad, need “maailmad”!.. Aga ma ei saa ikka hakkama. Ilmselt on minu jaoks veel liiga vara... – hääl vaibus hetkeks, justkui otsustades, kas rääkida edasi.
- Sinu Girolamo kohtus minuga, tütar... Ta on sama elav ja armastav kui Maal... Ta igatseb sind väga ja igatseb. Ja ta palus mul öelda, et ta armastab sind seal sama palju... Ja ootab sind alati, kui sa tuled... Ja sinu ema on ka meiega. Me kõik armastame ja ootame sind, kallis. Me igatseme sind väga... Hoolitse enda eest, tütar. Ärge laske Karaffal nautida teid mõnitada.
– Kas sa tuled veel minu juurde, isa? Kas ma kuulen sind veel? – kartsin, et ta äkki kaob, palvetasin.
- Rahune maha, tütar. Nüüd on see minu maailm. Ja Caraffa võim ei laiene talle. Ma ei jäta sind ega Annat kunagi. Ma tulen teie juurde alati, kui helistate. Rahune maha, kallis.
- Kuidas sa end tunned, isa? Kas sa tunned midagi?.. – oma naiivsest küsimusest pisut piinlikult küsisin siiski.
-Ma tunnen kõike, mida tundsin Maal, ainult palju eredamalt. Kujutage ette pliiatsijoonistust, mis on järsku värvidega täidetud – kõik mu tunded, kõik mu mõtted on palju tugevamad ja värvilisemad. Ja veel üks asi... Vabaduse tunne on vapustav!.. Tundub, et ma olen samasugune, nagu ma olen alati olnud, aga samas täiesti teistsugune... Ma ei tea, kuidas seda teile seletada täpsemalt, kallis... Justkui saaksin kohe kõike maailma omaks võtta või lihtsalt lennata kaugele-kaugele, tähtede poole... Kõik tundub võimalik, nagu saaksin kõike, mida tahan! Seda on väga raske öelda, sõnadesse panna... Aga uskuge mind, tütar, see on imeline! Ja veel üks asi... Ma mäletan nüüd kogu oma elu! Ma mäletan kõike, mis minuga kunagi juhtus... See kõik on hämmastav. See "teine" elu, nagu selgus, polegi nii hull... Seega, ära karda, tütar, kui sa pead siia tulema, siis me kõik ootame sind.
– Ütle, isa... Kas tõesti on seal ka Caraffa-suguseid inimesi ootamas imeline elu?.. Aga, sel juhul on see jälle kohutav ülekohus!.. Kas tõesti on kõik jälle nagu Maal?!. Kas ta tõesti ei saa kunagi kättemaksu?!!
- Oh ei, mu rõõm, siin pole Karaffa jaoks kohta. Olen kuulnud, et temasugused inimesed lähevad kohutavasse maailma, aga ma pole seal veel käinud. Nad ütlevad, et see on see, mida nad väärivad!.. Ma tahtsin seda näha, aga mul pole veel aega olnud. Ära muretse, tütar, siia jõudes saab ta selle, mida väärib.
„Kas sa saad mind sealt edasi aidata, isa?” küsisin varjatud lootusega.
– Ma ei tea, kallis... Ma pole sellest maailmast veel aru saanud. Ma olen nagu laps, kes teeb esimesi samme... Ma pean kõigepealt “käima õppima”, enne kui saan sulle vastata... Ja nüüd pean minema. Vabandust kallis. Kõigepealt pean õppima elama meie kahe maailma vahel. Ja siis ma tulen teie juurde sagedamini. Ole julge, Isidora, ja ära anna kunagi Karaffale alla. Ta saab kindlasti selle, mida ta väärib, uskuge mind.
Isa hääl muutus vaiksemaks, kuni muutus täiesti kõhnaks ja kadus... Mu hing rahunes. See oli tõesti TEMA!.. Ja ta elas jälle, alles nüüd omas, mulle veel võõras, postuumlikus maailmas... Aga ta mõtles ja tundis ikkagi, nagu ta ise just ütles - isegi palju helgemalt kui edasi elades Maa. Ma ei osanud enam karta, et ma ei saa temast kunagi teada... Et ta oli mu igaveseks maha jätnud.
Aga mu naiselik hing, vaatamata kõigele, kurvastas teda ikkagi... Selle üle, et ma ei saanud teda üksikuna tundes lihtsalt inimest kallistada... Et ma ei suutnud oma melanhoolia ja hirmu varjata. tema lai rind, rahu tahtis... Et tema tugev õrn peopesa ei saanud enam mu väsinud pead silitada, justkui öeldes, et kõik saab korda ja kõik saab kindlasti korda... Tundsin meeleheitlikult puudust nendest väikestest ja näiliselt tühistest, aga nii kallid, puhtalt “inimlikud” rõõmud ja hing oli nende järele näljane, ei suutnud rahu leida. Jah, ma olin sõdalane... Aga ma olin ka naine. Tema ainus tütar, kes teadis alati, et isegi kui juhtub halvim, on isa alati olemas, alati minuga... Ja ma igatsesin seda kõike valusalt...
Mingil kombel hõljuvat kurbust maha raputades sundisin end Karaffa peale mõtlema. Sellised mõtted tegid mu kohe kainestamiseks ja sundisid end sisemiselt kokku võtma, kuna sain suurepäraselt aru, et see “rahu” on vaid ajutine hingetõmbumine...
Kuid minu suurimaks üllatuseks Caraffa siiski ei ilmunud...
Päevad möödusid ja ärevus kasvas. Üritasin välja mõelda mingeid selgitusi tema puudumisele, kuid kahjuks ei tulnud midagi tõsist meelde... Tundsin, et ta valmistab midagi ette, aga ei osanud arvata, mida. Kurnatud närvid andsid järele. Ja et ootamisest päris hulluks ei läheks, hakkasin iga päev palees ringi käima. Mul ei keelatud välja minna, aga ka ei kiidetud heaks, seetõttu, tahtmata kinnises olemist jätkata, otsustasin enda jaoks, et lähen jalutama... vaatamata sellele, et ehk kellelegi ei meeldiks. Palee osutus tohutuks ja ebatavaliselt rikkalikuks. Tubade ilu hämmastas kujutlusvõimet, kuid isiklikult ei saanud ma kunagi elada sellises pilkupüüdvas luksuses... Seinte ja lagede kullamine oli rõhuv, riivas imeliste freskode meisterlikkust, lämmatades kuldses sädelevas keskkonnas. toonid. Tundsin rõõmuga austust kunstnike andekusele, kes selle imelise kodu maalisid, imetledes nende loomingut tundide kaupa ja imetledes siiralt parimat käsitööd. Seni pole mind keegi tülitanud, keegi pole mind kunagi takistanud. Kuigi alati leidus inimesi, kes pärast kohtumist kummardasid ja liikusid edasi, igaüks tormas oma asjadega. Vaatamata sellisele võltsile "vabadusele" oli see kõik murettekitav ja iga uus päev tõi üha rohkem ärevust. See "rahu" ei saa kesta igavesti. Ja ma olin peaaegu kindel, et see "sünnitab" minu jaoks kindlasti mingi kohutava ja valusa õnnetuse...

Vajalik kriteerium ridade konvergentsi jaoks (tõesta).

1. teoreem.(arvrea konvergentsi vajalik tingimus). Kui numbriseeria koondub, See .

Tõestus. Sari koondub, st. on piir. Märka seda .

Mõelgem. Siis . Siit, .

Järeldus 1.Kui tingimus ei ole täidetud, siis seeria lahkneb.

Märkus 1. Tingimusest ei piisa arvurea konvergentsi jaoks. Näiteks, harmooniline seeria lahkneb, kuigi esineb.

Definitsioon 1. Numbriseeria a n +1 +a n+2 +…=, mis saadakse antud reast esimese kõrvale jättes P liikmeid kutsutakse n- m Meeldetuletus sellest reast ja on määratud Rn.

2. teoreem.Kui numbriseeria koondub, siis koondub mis tahes jääk. tagasi:Kui vähemalt üks rea jääk koondub, siis seeria ise läheneb. Veelgi enam, mis tahes n PEAL võrdsus S=S n+Rn .

Järeldus 2. Arvridade lähenemine või lahknemine ei muutu, kui eemaldate või lisate paar esimest terminit.

Järeldus 3..

32. Positiivsete seeriate võrdluskriteeriumid ja märk

1. teoreem(märk seeriate võrdlemisest ebavõrdsuse positiivsete terminitega) . LaseJa - seeriad mittenegatiivsete terminitega, ja iga n jaoks PEAL tingimus a n on täidetud£ miljardit Siis:

1) seeriate lähenemisestsuurte terminitega seeria koondubväiksemate liikmetega;

2) sarja lahknemisestväiksemate terminitega seeria lahknebsuurte riistadega.

Märkus 1. Teoreem on tõene, kui tingimus ja n£ b n teostatud mingist numbrist NÎ N .

2. teoreem(märk positiivsete terminitega seeriate võrdlusest piirkujul) .

LaseJa - seeria mittenegatiivsete terminitega ja on olemas . Siis need seeriad koonduvad või lahknevad samaaegselt .

33. D'Alemberti test positiivse märgiga ridade konvergentsi jaoks

1. teoreem(D'Alemberti märk). Lase - positiivsete tingimustega sari on olemas .

Seejärel koondub seeria punktis q<1 ja lahkneb q juures>1 .

Tõestus. Lase q<1. Зафиксируем число R selline, et q<lk< 1. По определению numbrijada piir, mõnest arvust NÎ N ebavõrdsus kehtib a n +1 /a n<p, need. a n +1 <p×a n . Siis a N +1 < p×a N, a N +2 <p 2 × a N . Seda on lihtne induktsiooni abil näidata kÎ N ebavõrdsus tõsi , a N + k<p k ×a N . Kuid seeria läheneb nagu geomeetriline jada ( lk<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд samuti koondub. Järelikult ka seeria koondub (teoreemi 2.2 järgi).

Lase q>1. Siis mingist numbrist NÎ N ebavõrdsus tõsi a n +1 /a n>1, st. a n +1 >a n. Seega numbrist N järgnevus ( a n) suureneb ja tingimus ei ole täidetud. Järeldus 2.1 järgi järeldub siit, et seeria erineb kell q>1.

Märkus 1. Integraaltesti abil on lihtne kontrollida, kas arvuseeria koondub, kui A>1 ja lahkneb, kui a 1 nael. Rida helistas harmooniline seeria, ja sari meelevaldsetega aÎ R helistas üldistatud harmoonilised jada.

34. Vahelduvad read. Leibnizi test vahelduvate ridade märkide konvergentsi jaoks

Suvaliste märkide terminitega seeriate uurimine on keerulisem ülesanne, kuid kahel juhul on mugavad märgid: vahelduvate märkide seeriate jaoks - Leibnizi teoreem; Absoluutselt koonduvate seeriate puhul rakendame mis tahes märki mittenegatiivsete terminitega uuritavatest seeriatest.

Definitsioon 1. Numbriseeria nimetatakse signaliseeriv, kui suvalisel kahel kõrvuti asetseval terminil on vastandmärgid, st. sarjal on vorm või , kus a n>0 igaühe kohta nÎ N .

1. teoreem(Leibniz). Vahelduv seeria läheneb, kui:

1) (a n) - mitte kasvav järjestus;

2) juures.

Sel juhul ei ületa vahelduvate ridade summa moodul selle esimese liikme moodulit, s.o.|S|£ a 1 .

Mannekeenide read. Näited lahendustest

Tervitan kõiki teisel aastal pääsenuid! Selles õppetükis või õigemini õppetundide seerias õpime ridade haldamist. Teema pole väga keeruline, kuid selle valdamine nõuab teadmisi juba esimesest aastast, eelkõige peate mõistma mis on piir ja suutma leida kõige lihtsamad piirid. Siiski pole midagi, nagu ma selgitan, annan vajalikele õppetundidele asjakohased lingid. Mõnele lugejale võib matemaatiliste seeriate, lahendusmeetodite, märkide, teoreemide teema tunduda omapärane ja isegi pretensioonikas absurdne. Sel juhul ei pea te olema liiga "koormatud", me aktsepteerime fakte nii, nagu need on, ja lihtsalt õpime lahendama tüüpilisi tavalisi ülesandeid.

1) Mannekeenide read, ja samovaridele kohe rahul :)

Teema ülikiire ettevalmistuse eest Seal on pdf-vormingus kiirkursus, mille abil saate oma praktikat tõesti sõna otseses mõttes päevaga “tõsta”.

Arvrea mõiste

Üldiselt numbriseeria võib kirjutada nii: .
Siin:
– matemaatilise summa ikoon;
– sarja ühine termin(pidage meeles seda lihtsat terminit);
- "loendur" muutuja. Tähistus tähendab, et summeerimine toimub 1-st "pluss lõpmatuseni", see tähendab, et kõigepealt on meil , siis , siis ja nii edasi - lõpmatuseni. Muutuja asemel kasutatakse mõnikord muutujat või. Summeerimine ei pruugi alata ühest, mõnel juhul võib see alata nullist, kahest või ükskõik millisest naturaalarv.

Vastavalt muutujale "loendur" saab mis tahes seeriat laiendada:
- ja nii edasi, lõpmatuseni.

Komponendid - See NUMBRID mida nimetatakse liikmed rida. Kui need kõik ei ole negatiivsed (suurem kui null või sellega võrdne), siis sellist seeriat nimetatakse positiivne arvuseeria.

Näide 1

See, muide, on juba "lahing" ülesanne - praktikas on üsna sageli vaja seeria mitu terminit kirja panna.

Esiteks, siis:
Siis, siis:
Siis, siis:

Protsessi võib jätkata lõputult, kuid vastavalt tingimusele oli vaja kirjutada seeria kolm esimest terminit, seega kirjutame vastuse üles:

Pange tähele põhimõttelist erinevust numbrijada,
milles mõisteid ei summeerita, vaid neid sellisena käsitletakse.

Näide 2

Kirjutage seeria kolm esimest terminit

See on näide, mille saate ise lahendada, vastus on tunni lõpus

Isegi esmapilgul keeruka seeria puhul pole seda keeruline laiendatud kujul kirjeldada:

Näide 3

Kirjutage seeria kolm esimest terminit

Tegelikult täidetakse ülesannet suuliselt: vaimselt asendada seeria ühise terminiga kõigepealt, siis ja. Lõpuks:

Jätame vastuse järgmiselt: Parem on mitte lihtsustada saadud seeriatermineid, see on ei esine toimingud: , , . Miks? Vastus on vormis õpetajal on palju lihtsam ja mugavam kontrollida.

Mõnikord juhtub vastupidine ülesanne

Näide 4

Siin pole selget lahendusalgoritmi, peate lihtsalt mustrit nägema.
Sel juhul:

Kontrollimiseks saab saadud seeriat laiendatud kujul "tagasi kirjutada".

Siin on näide, mida on veidi keerulisem ise lahendada:

Näide 5

Kirjutage summa ahendatud kujul koos seeria ühise liikmega

Tehke kontroll, kirjutades seeria uuesti laiendatud kujul

Arvridade konvergents

Teema üks peamisi eesmärke on konvergentsiridade uuring. Sel juhul on võimalikud kaks juhtumit:

1) Ridalahkneb. See tähendab, et lõpmatu summa on võrdne lõpmatusega: või summad üldiselt ei eksisteeri, nagu näiteks sarjas
(siin, muide, on näide negatiivsete terminitega seeriast). Hea näide lahknevast arvuseeriast leiti tunni alguses: . Siin on üsna ilmne, et seeria iga järgmine liige on seega suurem kui eelmine ja seetõttu seeria lahkneb. Veel triviaalsem näide: .

2) Ridakoondub. See tähendab, et lõpmatu summa on võrdne mõnega lõplik arv: . Palun: – see jada läheneb ja selle summa on null. Sisukama näitena võime tuua lõpmatult väheneb geomeetriline progressioon, mis on meile teada juba kooliajast: . Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse järgmise valemi abil: , kus on progressiooni esimene liige ja selle alus, mis tavaliselt kirjutatakse kujul õige fraktsioonid Sel juhul: , . Seega: Saadakse lõplik arv, mis tähendab, et seeria koondub, mida oli vaja tõestada.

Valdav enamikul juhtudel siiski leidke seeria summa ei ole nii lihtne ja seetõttu kasutatakse praktikas rea konvergentsi uurimiseks spetsiaalseid teoreetiliselt tõestatud märke.

Seeriate lähenemise kohta on mitmeid märke: vajalik test seeria konvergentsi jaoks, võrdlustestid, D'Alemberti test, Cauchy testid, Leibnizi märk ja mõned muud märgid. Millal millist märki kasutada? See sõltub sarja ühisliikmest, piltlikult öeldes sarja “täidisest”. Ja varsti lahendame kõik.

! Õppetunni edasiseks õppimiseks peate aru hästi mis on piir ja hea on osata paljastada tüübi määramatust. Materjali ülevaatamiseks või uurimiseks vaadake artiklit Piirid. Näited lahendustest.

Vajalik märk seeria lähenemisest

Kui jada läheneb, kipub selle ühine liige olema null: .

Üldjuhul vastupidine ei kehti, st kui , siis võib seeria kas läheneda või lahkneda. Ja seetõttu kasutatakse seda märki õigustamiseks lahknevused rida:

Kui seeria ühine termin nulli ei kipu, siis seeria läheb lahku

Või lühidalt: kui , siis seeria läheb lahku. Eelkõige on võimalik olukord, kus limiiti pole üldse olemas, nagu näiteks piiri. Seega põhjendasid nad kohe ühe seeria lahknemist :)

Kuid palju sagedamini on lahkneva jada piir võrdne lõpmatusega ja "x" asemel toimib see "dünaamilise" muutujana. Värskendame oma teadmisi: piiranguid “x”-ga nimetatakse funktsioonide piirideks ja piiranguid muutujaga “en” numbriliste jadade piirideks. Ilmne erinevus seisneb selles, et muutuja "en" võtab diskreetseid (katkestavaid) looduslikke väärtusi: 1, 2, 3 jne. Kuid see asjaolu ei mõjuta piirmäärade lahendamise meetodeid ja määramatuste avalikustamise meetodeid.

Tõestame, et esimese näite seeriad lahknevad.
Sarja tavaline liige:

Järeldus: rida lahkneb

Vajalikku funktsiooni kasutatakse sageli reaalsetes praktilistes ülesannetes:

Näide 6

Meil on polünoomid lugejas ja nimetajas. See, kes luges hoolikalt läbi ja mõistis artiklis ebakindluse avaldamise meetodit Piirid. Näited lahendustest, ilmselt sain sellest aru kui lugeja ja nimetaja suurimad astmed võrdne, siis on piir lõplik arv .

Jagage lugeja ja nimetaja arvuga

Uuritav sari lahkneb, kuna ridade konvergentsi vajalik kriteerium ei ole täidetud.

Näide 7

Uurige seeriat lähenemise suhtes

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Niisiis, kui meile antakse MIS TAHES numbriseeria, Esiteks kontrollime (mõtteliselt või mustandi järgi): kas selle ühine termin kipub nulli? Kui ei, siis sõnastame näidete nr 6, 7 põhjal lahenduse ja anname vastuse, et seeria lahkneb.

Milliseid näiliselt lahknevaid seeriaid oleme kaalunud? Kohe on selge, et sarjad meeldivad või lähevad lahku. Näidete nr 6 ja 7 seeriad on samuti erinevad: kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome ja lugeja juhtiv võimsus on suurem või võrdne nimetaja juhtiva võimsusega. Kõigil neil juhtudel kasutame näidete lahendamisel ja koostamisel vajalikku ridade konvergentsi märki.

Miks seda märki nimetatakse vajalik? Mõistke kõige loomulikumal viisil: selleks, et seeria läheks kokku, vajalik, nii et selle ühine termin kipub olema null. Ja kõik oleks suurepärane, kuid seal on rohkem mitte piisavalt. Teisisõnu, kui seeria ühine liige kipub olema null, EI TÄHENDAN see, et seeria läheneb– see võib nii läheneda kui ka lahkneda!

Tutvuge:

Seda seeriat nimetatakse harmooniline seeria. Palun pea meeles! Numbrisarjadest on ta primabaleriin. Täpsemalt baleriin =)

Seda on lihtne näha , AGA. Matemaatilise analüüsi teoorias on tõestatud, et harmooniliste jada lahkneb.

Peaksite meeles pidama ka üldistatud harmooniliste seeria kontseptsiooni:

1) See rida lahkneb aadressil . Näiteks seeriad , , lahknevad.
2) See rida koondub aadressil . Näiteks jada , , , koonduvad. Rõhutan veel kord, et peaaegu kõigi praktiliste ülesannete puhul pole meile üldse oluline, millega võrdub näiteks seeria summa, oluline on selle lähenemise fakt.

Need on elementaarsed faktid jadateooriast, mis on juba tõestatud ja mis tahes praktilise näite lahendamisel võib julgelt viidata näiteks rea lahknemisele või jada konvergentsile.

Üldiselt on kõnealune materjal väga sarnane ebaõigete integraalide uurimine, ja see on lihtsam neile, kes on seda teemat uurinud. Noh, neile, kes pole seda õppinud, on see topelt lihtsam :)

Niisiis, mida teha, kui seeria ühine termin KIPPUB nulli? Sellistel juhtudel peate näidete lahendamiseks kasutama teisi, piisav lähenemise/lahknemise märgid:

Positiivsete arvuseeriate võrdluskriteeriumid

Juhin teie tähelepanu, et siin räägime ainult positiivsetest arvuridadest (mitte-negatiivsete terminitega).

Võrdlusmärke on kaks, ühte neist ma lihtsalt nimetan võrdluse märk, teine ​​- võrdluse piir.

Esmalt kaalume võrdlusmärk või õigemini selle esimene osa:

Mõelge kahele positiivsele arvuseeriale ja . Kui teada, et sari – koondub, ja alustades mõnest arvust, on ebavõrdsus täidetud, siis seeria samuti koondub.

Teisisõnu: Suuremate terminitega ridade koondumisest järgneb väiksemate tingimustega ridade konvergents. Praktikas kehtib ebavõrdsus sageli kõigi väärtuste puhul:

Näide 8

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Kõigepealt kontrollime(vaimselt või mustandis) täitmine:
, mis tähendab, et vähese verega ei olnud võimalik maha saada.

Vaatame üldistatud harmooniliste ridade “pakki” ja kõrgeimale astmele keskendudes leiame sarnase jada: Teooriast on teada, et see koondub.

Kõigi naturaalarvude puhul kehtib ilmne ebavõrdsus:

ja suuremad nimetajad vastavad väiksematele murdudele:
, mis tähendab võrdluskriteeriumi põhjal uuritavat seeriat koondub koos kõrval .

Kui teil on kahtlusi, võite alati ebavõrdsust üksikasjalikult kirjeldada! Kirjutame üles mitme arvu “en” konstrueeritud võrratuse:
Kui siis
Kui siis
Kui siis
Kui siis
….
ja nüüd on see ebavõrdsus täiesti selge täidetud kõigi naturaalarvude puhul “en”.

Analüüsime võrdluskriteeriumi ja lahendatud näidet mitteformaalsest vaatenurgast. Siiski, miks sari läheneb? Siin on põhjus. Kui seeria läheneb, siis sellel on mõned lõplik summa: . Ja kuna kõik sarja liikmed vähem rea vastavad terminid, siis on selge, et ridade summa ei saa olla suurem kui arv ja veelgi enam, ei saa olla võrdne lõpmatusega!

Samamoodi saame tõestada "sarnaste" seeriate lähenemist: , , jne.

! Märge, et kõigil juhtudel on meil nimetajates “plussid”. Vähemalt ühe miinuse olemasolu võib kõnealuse toote kasutamist tõsiselt raskendada. võrdlusmärk. Näiteks kui jada võrreldakse samal viisil koonduva jadaga (esimeste liikmete jaoks kirjutatakse välja mitu ebavõrdsust), siis tingimus ei täitu üldse! Siin saate kõrvale hiilida ja valida võrdluseks näiteks mõne teise koonduva seeria, kuid see toob kaasa tarbetuid broneeringuid ja muid tarbetuid raskusi. Seetõttu on seeria konvergentsi tõestamiseks palju lihtsam kasutada võrdluse piir(vt järgmist lõiku).

Näide 9

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Ja selles näites soovitan teil ise mõelda võrdlusatribuudi teine ​​osa:

Kui teada, et sari – lahkneb ja alustades mõnest numbrist (sageli algusest peale), ebavõrdsus on rahuldatud, siis seeria samuti lahkneb.

Teisisõnu: Väiksemate terminitega rea ​​lahknemisest järgneb suuremate terminitega seeria lahknemine.

Mida tuleks teha?
Uuritavat jada on vaja võrrelda lahkneva harmoonilise jadaga. Paremaks mõistmiseks konstrueerige mitu konkreetset ebavõrdsust ja veenduge, et ebavõrdsus on õiglane.

Lahendus ja näidiskujundus on tunni lõpus.

Nagu juba märgitud, kasutatakse praktikas äsja käsitletud võrdluskriteeriumi harva. Numbrisarjade tõeline tööhobune on võrdluse piir, ja kasutussageduselt suudab see vaid konkureerida d'Alemberti märk.

Limit test arvuliselt positiivsete seeriate võrdlemiseks

Mõelge kahele positiivsele arvuseeriale ja . Kui nende seeriate ühisliikmete suhte piir on võrdne lõplik nullist erinev arv: , siis mõlemad seeriad koonduvad või lahknevad samaaegselt.

Millal kasutatakse piiravat kriteeriumi? Piiravat võrdluskriteeriumi kasutatakse siis, kui seeria “täidis” on polünoomid. Kas üks polünoom nimetajas või polünoomid nii lugejas kui ka nimetajas. Valikuliselt võivad polünoomid asuda juurte all.

Tegeleme reaga, mille puhul eelmine võrdlusmärk on takerdunud.

Näide 10

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Võrdleme seda seeriat koonduva seeriaga. Võrdluseks kasutame piiravat kriteeriumi. On teada, et seeria läheneb. Kui suudame näidata, et see on võrdne lõplik, nullist erinev number, tõestatakse, et seeriad ka koonduvad.

Saadakse lõplik nullist erinev arv, mis tähendab, et uuritav seeria on koondub koos kõrval .

Miks valiti võrdluseks sari? Kui oleksime valinud üldistatud harmooniliste jadate “puurist” mõne muu seeria, siis poleks see piir õnnestunud lõplik, nullist erinev numbrid (saate katsetada).

Märge: kui kasutame piiravat võrdluskriteeriumi, vahet pole, millises järjekorras ühisliikmete seost koostada, võiks vaadeldavas näites seose koostada ka vastupidi: - see ei muudaks asja olemust.